اعشاری کسر- تنوع کسری، که یک عدد "گرد" در مخرج دارد: 10، 100، 1000 و غیره، به عنوان مثال، کسر 5/10 دارای نماد اعشاری 0.5 است. بر اساس این اصل، کسررا می توان در فرماعشاری کسری.

دستورالعمل ها

بیایید بگوییم که باید در آن تصور کنیم فرماعشاری کسر 18/25.
ابتدا باید مطمئن شوید که یکی از اعداد "گرد" در مخرج ظاهر می شود: 100، 1000 و غیره. برای این کار باید مخرج را در 4 ضرب کنید. اما باید هم صورت و هم مخرج را در 4 ضرب کنید.

ضرب در صورت و مخرج کسری 18/25 در 4، 72/100 می شود. این ثبت شده است کسربه صورت اعشاری فرمبنابراین: 0.72.

در ریاضیات، کسر، عدد گویا است که برابر با یک یا چند قسمت است که واحد به آن تقسیم می شود. در این حالت، رکورد کسری باید حاوی دو عدد باشد: یکی از آنها دقیقاً نشان می دهد که واحد در هنگام ایجاد این کسری به چند سهم تقسیم شده است و دیگری نشان می دهد که کسری شامل چه تعداد از این سهام است. اگر این دو عدد به صورت یک عدد و یک مخرج که با یک خط از هم جدا شده اند نوشته شوند، این فرمت ضبط را کسر "مشترک" می نامند. با این حال، قالب دیگری برای نوشتن کسری وجود دارد که به آن «اعشاری» می‌گویند.

شکل سه طبقه نوشتن اعداد، که در آن مخرج بالای صورتگر قرار دارد، و همچنین یک خط تقسیم بین آنها وجود دارد، همیشه راحت نیست. این ناراحتی به ویژه با گسترش گسترده رایانه های شخصی شروع به آشکار شدن کرد. شکل اعشاری نمایش کسرها این اشکال را ندارد - نیازی به مشخص کردن عدد نیست ، زیرا طبق تعریف همیشه برابر با ده برابر با توان منفی است. بنابراین، یک عدد کسری را می توان روی یک خط نوشت، اگرچه طول آن در بیشتر موارد بسیار بزرگتر از طول کسری معمولی مربوطه خواهد بود.

مزیت دیگر نوشتن اعداد به صورت اعشاری این است که مقایسه آنها بسیار آسان تر است. از آنجایی که مخرج هر رقم از این دو عدد یکسان است، کافی است فقط دو رقم از ارقام مربوطه را با هم مقایسه کنیم، در حالی که هنگام مقایسه کسرهای معمولی لازم است هم صورت و هم مخرج هر یک از آنها در نظر گرفته شود. این مزیت نه تنها برای افراد، بلکه برای رایانه ها نیز مهم است - برنامه ریزی اعداد در قالب اعشاری بسیار آسان است.

قوانین چند صد ساله برای جمع، ضرب و سایر عملیات ریاضی وجود دارد که به شما امکان می دهد محاسبات را روی کاغذ یا در ذهن خود با اعداد در قالب اعشار انجام دهید. این یکی دیگر از مزایای این فرمت نسبت به کسرهای معمولی است. اگرچه با پیشرفت فناوری رایانه، زمانی که حتی ساعت ها دارای ماشین حساب هستند، کمتر و کمتر به چشم می آیند.

مزایای توصیف شده قالب اعشاری برای ثبت اعداد کسری نشان می دهد که هدف اصلی آن ساده کردن کار با کمیت های ریاضی است. این قالب معایبی هم دارد - به عنوان مثال، برای نوشتن کسرهای تناوبی به کسر اعشاری، باید یک عدد در پرانتز نیز اضافه کنید و اعداد غیر منطقی در قالب اعشاری همیشه یک مقدار تقریبی دارند. با این حال، در سطح فعلی توسعه مردم و فناوری های آنها، استفاده از آن بسیار راحت تر از قالب معمول برای نوشتن کسر است.

کسر اعشاری کسری است که در آن مخرج توان طبیعی 10 است. این کسر، برای مثال، کسر است. آنها را با یک کاما در سمت راست، زیرا در مخرج صفر وجود دارد، یعنی:

در چنین نمادگذاری، اعداد سمت چپ اعشار قسمت صحیح و اعداد سمت راست اعشار قسمت کسری کسر اعشاری داده شده را تشکیل می دهند.

فرض کنید p/q یک عدد گویا مثبت باشد. از حساب، فرآیند تقسیم به خوبی شناخته شده است، به شما این امکان را می دهد که یک عدد را به عنوان کسری اعشاری نشان دهید. ماهیت فرآیند تقسیم این است که ابتدا بزرگترین عدد صحیح را در دفعاتی که q در p موجود است را پیدا کنیم. اگر p مضرب q باشد، در اینجا فرآیند تقسیم به پایان می رسد. در غیر این صورت، باقیمانده ظاهر می شود. در مرحله بعد، آنها متوجه می شوند که این باقیمانده چند دهم q حاوی است، و در این مرحله ممکن است فرآیند به پایان برسد، یا یک باقیمانده جدید ظاهر شود. در مورد دوم پیدا کنید که حاوی چند صدم q است و غیره.

اگر مخرج q هیچ عامل اول دیگری جز 2 یا 5 نداشته باشد، پس از تعداد محدودی از مراحل، باقیمانده برابر با صفر خواهد بود، فرآیند تقسیم به پایان می رسد و کسر معمولی داده شده به کسر اعشاری نهایی تبدیل می شود. در واقع در این حالت همیشه می توان یک عدد صحیح را انتخاب کرد به طوری که پس از ضرب کردن صورت و مخرج کسر معین در آن، کسری مساوی به دست آید که در آن مخرج نشان دهنده توان طبیعی ده خواهد بود. به عنوان مثال، این کسر است

که می تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

با این حال، بدون انجام این تبدیل ها، تقسیم صورت بر مخرج، خواننده همان نتیجه را خواهد گرفت:

اگر مخرج کسری تقلیل ناپذیر حداقل یک مقسوم علیه اول به غیر از 2 یا 5 داشته باشد، در این صورت فرآیند تقسیم بر q هرگز به پایان نمی رسد (هیچ یک از باقیمانده های بعدی به صفر نمی رسد).

پس از انجام تقسیم، متوجه می شویم

برای نوشتن نتیجه به دست آمده در این مثال، اعداد 0 و 6 را به طور متناوب در داخل پرانتز قرار داده و نوشته شده است:

در این مثال و سایر موارد مشابه، عمل تقسیم به نتیجه نهایی به عنوان اعشار منجر نمی شود. ممکن است با تعمیم مفهوم کسر اعشاری همچنان بگوییم که ضریب 965/132 با کسری متناوب نامتناهی نشان داده می شود. اعداد تکرار شونده 06 دوره این کسری نامیده می شوند و تعداد آنها در مثال ما برابر است. طول دوره است.

برای درک دلیل پدیده تناوب یک کسری، به عنوان مثال، فرآیند تقسیم بر 7 را بررسی می کنیم. اگر تقسیم به طور کامل انجام نشود، باقی مانده ظاهر می شود که فقط می تواند یکی از مقادیر زیر را داشته باشد: 1، 2، 3، 4، 5، 6. و در هر یک از مراحل زیر، باقیمانده دوباره یکی از این شش مقدار را خواهد داشت. بنابراین، حداکثر تا مرحله هفتم، به ناچار با یکی از مقادیر باقیمانده که قبلاً ظاهر شده‌اند، مواجه می‌شویم و از این مرحله، فرآیند تقسیم به صورت دوره‌ای می‌شود. هم مقادیر موجودی ها و هم اعداد ضریب به صورت دوره ای تکرار می شوند. همین استدلال در مورد هر مقسوم علیه دیگری صدق می کند.

بنابراین، هر کسر معمولی به عنوان یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی نشان داده می شود. قابل توجه است که برعکس، هر کسر اعشاری تناوبی را می توان به عنوان یک کسر معمولی نشان داد. بیایید نشان دهیم که چگونه این عمل انجام می شود. در این مورد، از فرمول مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش استفاده می شود (بند 92).

را می توان اینگونه فهمید:

در اینجا عبارت‌های سمت راست، که از دومی شروع می‌شوند، یک پیشروی هندسی بی‌نهایت با مخرج و جمله اول تشکیل می‌دهند.

با استفاده از فرمول (92.2):

واضح است که همین فرآیند به هر کسر تناوبی نامتناهی اجازه می‌دهد که به شکل یک کسر معمولی (و همانطور که نشان داده می‌شود، دقیقاً کسری که در فرآیند تقسیم، کسر تناوبی نامتناهی از آن در نوبت به دست می آید). با این حال، در اینجا یک استثنا وجود دارد. کسری را در نظر بگیرید

و فرآیند تبدیل آن به کسر مشترک را اعمال کنید:

ما به عدد 1/2 رسیدیم که به نظر می رسد یک کسر اعشاری محدود است

هر زمان که دوره کسر نامتناهی به شکل (9) باشد، نتیجه مشابهی به دست خواهد آمد. بنابراین، ما جفت اعداد مانند، برای مثال،

گاهی اوقات اجازه دادن به رکوردهای فرم نیز مفید است

رسماً کسرهای اعشاری متناهی را به صورت نامتناهی با دوره (0) نشان می دهد.

تمام آنچه در مورد تبدیل کسر معمولی به کسری اعشاری تناوبی و بالعکس گفته شد در مورد اعداد گویا مثبت اعمال می شود. در مورد یک عدد منفی، می توانید این کار را به دو صورت انجام دهید.

1) عدد مثبت مقابل عدد منفی داده شده را بگیرید و آن را به اعشار تبدیل کنید و در مقابل آن علامت منفی قرار دهید. به عنوان مثال، برای - 5/3 ما دریافت می کنیم

2) یک عدد گویا منفی معین را به عنوان مجموع جزء صحیح آن (منفی) و جزء کسری آن (غیر منفی) ارائه دهید و سپس فقط این قسمت کسری عدد را به کسری اعشاری تبدیل کنید. مثلا:

برای نوشتن اعداد ارائه شده به عنوان مجموع جزء صحیح منفی آنها و یک کسر اعشاری متناهی یا نامتناهی، نماد زیر پذیرفته می شود (شکل مصنوعی نوشتن یک عدد منفی):

در اینجا علامت منفی نه در مقابل کل کسری، بلکه بالای تمام قسمت آن قرار می گیرد تا تاکید شود که فقط کل قسمت منفی است و قسمت کسری پس از اعشار مثبت است.

این نماد یکنواختی در نمادگذاری کسرهای اعشاری مثبت و منفی ایجاد می کند و در آینده در تئوری لگاریتم های اعشاری استفاده خواهد شد (بخش 28). برای تمرین، از خواننده دعوت می کنیم تا انتقال از یک رکورد به رکورد دیگر را در مثال ها بررسی کند:

اکنون می‌توانیم نتیجه نهایی را فرموله کنیم: هر عدد گویا را می‌توان با یک کسر تناوبی اعشاری نامتناهی نشان داد، و برعکس، هر کسری یک عدد گویا را مشخص می‌کند. کسر اعشاری متناهی نیز امکان نوشتن دو شکل را به صورت کسر اعشاری نامتناهی می دهد: با نقطه (0) و با نقطه (9).

در حال حاضر در مدرسه ابتدایی، دانش آموزان در معرض کسری هستند. و سپس در هر موضوعی ظاهر می شوند. شما نمی توانید اقدامات را با این اعداد فراموش کنید. بنابراین، شما باید تمام اطلاعات مربوط به کسرهای معمولی و اعشاری را بدانید. این مفاهیم پیچیده نیستند، نکته اصلی این است که همه چیز را به ترتیب درک کنید.

چرا کسری مورد نیاز است؟

دنیای اطراف ما از تمام اشیاء تشکیل شده است. بنابراین نیازی به سهام نیست. اما زندگی روزمره دائماً افراد را وادار می کند تا با قسمت هایی از اشیا و اشیا کار کنند.

به عنوان مثال، شکلات از چند تکه تشکیل شده است. موقعیتی را در نظر بگیرید که کاشی او توسط دوازده مستطیل تشکیل شده است. اگر آن را به دو قسمت تقسیم کنید، 6 قسمت به دست می آید. به راحتی می توان آن را به سه تقسیم کرد. اما نمی توان به پنج نفر یک عدد تکه شکلات داد.

به هر حال، این برش ها قبلاً کسری هستند. و تقسیم بیشتر آنها منجر به ظهور اعداد پیچیده تر می شود.

"کسری" چیست؟

این عددی است که از قطعات یک واحد تشکیل شده است. از نظر ظاهری، مانند دو عدد به نظر می رسد که با یک افقی یا اسلش از هم جدا شده اند. به این ویژگی کسری می گویند. عددی که در بالا (سمت چپ) نوشته شده است، شمارنده نامیده می شود. آنچه در پایین (راست) است مخرج است.

در اصل، اسلش یک علامت تقسیم است. یعنی صورت را می توان تقسیم و مخرج را تقسیم کننده نامید.

چه کسری وجود دارد؟

در ریاضیات فقط دو نوع وجود دارد: کسرهای معمولی و اعشاری. دانش‌آموزان در مدرسه ابتدایی با اولین‌ها آشنا می‌شوند و آنها را صرفاً «کسری» می‌نامند. دومی در کلاس پنجم آموخته خواهد شد. آن وقت است که این نام ها ظاهر می شوند.

کسرهای مشترک همه آنهایی هستند که به صورت دو عدد از هم جدا شده با یک خط نوشته می شوند. مثلا 4/7. اعشار عددی است که در آن قسمت کسری دارای نماد موقعیتی است و با کاما از عدد کامل جدا می شود. به عنوان مثال، 4.7. دانش آموزان باید به وضوح درک کنند که دو مثال ارائه شده اعداد کاملاً متفاوتی هستند.

هر کسر ساده را می توان به صورت اعشاری نوشت. این جمله تقریباً همیشه برعکس صادق است. قوانینی وجود دارد که به شما امکان می دهد کسر اعشاری را به عنوان کسر مشترک بنویسید.

این نوع کسرها چه زیرگونه هایی دارند؟

بهتر است با توجه به مطالعه آنها به ترتیب زمانی شروع شود. کسری های معمولی اول هستند. در بین آنها 5 زیرگونه قابل تشخیص است.

درست. صورت آن همیشه کمتر از مخرج آن است.

اشتباه. صورت آن بزرگتر یا مساوی مخرج آن است.

تقلیل پذیر/غیر قابل تقلیل. ممکن است معلوم شود که یا درست است یا غلط. نکته مهم دیگر این است که آیا صورت و مخرج فاکتورهای مشترکی دارند یا خیر. اگر وجود دارد، لازم است هر دو قسمت کسر را بر آنها تقسیم کنیم، یعنی آن را کاهش دهیم.

مختلط. یک عدد صحیح به بخش کسری منظم (نامنظم) معمول آن اختصاص داده می شود. علاوه بر این، همیشه در سمت چپ است.

کامپوزیت. از دو کسری که بر یکدیگر تقسیم شده اند تشکیل شده است. یعنی شامل سه خط کسری در آن واحد است.

کسرهای اعشاری فقط دو نوع فرعی دارند:

متناهی، یعنی آن که جزء کسری آن محدود است (پایان دارد).

بی نهایت - عددی که ارقام آن بعد از نقطه اعشار به پایان نمی رسد (می توان آنها را بی پایان نوشت).

چگونه کسر اعشاری را به کسری معمولی تبدیل کنیم؟

اگر این یک عدد متناهی باشد، یک ارتباط بر اساس قانون اعمال می شود - همانطور که من می شنوم، بنابراین می نویسم. یعنی باید آن را درست بخوانید و یادداشت کنید، اما بدون کاما، اما با نوار کسری.

به عنوان یک اشاره در مورد مخرج مورد نیاز، باید به خاطر داشته باشید که همیشه یک و چند صفر است. باید به تعداد اعدادی که در قسمت کسری عدد مورد نظر وجود دارد، از دومی بنویسید.

چگونه کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم اگر جزء صحیح آنها وجود نداشته باشد، یعنی برابر با صفر؟ به عنوان مثال، 0.9 یا 0.05. پس از اعمال قانون مشخص شده، معلوم می شود که باید اعداد صحیح صفر بنویسید. اما نشان داده نشده است. تنها چیزی که باقی می ماند نوشتن قطعات کسری است. عدد اول دارای مخرج 10 و عدد دوم دارای مخرج 100 خواهد بود. یعنی مثال های داده شده اعداد زیر را به عنوان پاسخ خواهند داشت: 9/10، 5/100. علاوه بر این، معلوم می شود که دومی را می توان با 5 کاهش داد. بنابراین، نتیجه برای آن باید به عنوان 1/20 نوشته شود.

چگونه می توان یک کسر اعشاری را به کسری معمولی تبدیل کرد اگر جزء صحیح آن با صفر متفاوت باشد؟ به عنوان مثال، 5.23 یا 13.00108. در هر دو مثال کل قسمت خوانده می شود و مقدار آن نوشته می شود. در مورد اول 5 است، در مورد دوم 13 است. سپس باید به قسمت کسری بروید. قرار است همین عملیات با آنها انجام شود. شماره اول 23/100 ظاهر می شود، دومی - 108/100000. مقدار دوم باید دوباره کاهش یابد. پاسخ کسرهای مختلط زیر را به دست می دهد: 5 23/100 و 13 27/25000.

چگونه یک کسر اعشاری نامتناهی را به کسری معمولی تبدیل کنیم؟

اگر غیر دوره ای باشد، چنین عملیاتی امکان پذیر نخواهد بود. این واقعیت به این دلیل است که هر کسری اعشاری همیشه به یک کسر متناهی یا تناوبی تبدیل می شود.

تنها کاری که می توانید با چنین کسری انجام دهید گرد کردن آن است. اما پس از آن اعشار تقریباً برابر با آن بی نهایت خواهد بود. در حال حاضر می توان آن را به یک نمونه معمولی تبدیل کرد. اما روند معکوس: تبدیل به اعشار هرگز مقدار اولیه را نمی دهد. یعنی کسرهای نامتناهی غیر تناوبی به کسرهای معمولی تبدیل نمی شوند. این باید یادآوری شود.

چگونه یک کسر تناوبی نامتناهی را به عنوان کسری معمولی بنویسیم؟

در این اعداد همیشه یک یا چند رقم بعد از اعشار وجود دارد که تکرار می شود. به آنها دوره می گویند. به عنوان مثال، 0.3 (3). اینجا «3» در دوره است. آنها به عنوان منطقی طبقه بندی می شوند زیرا می توانند به کسرهای معمولی تبدیل شوند.

کسانی که با کسرهای تناوبی مواجه شده اند می دانند که می توانند خالص یا مخلوط باشند. در مورد اول، نقطه بلافاصله از کاما شروع می شود. در دوم، قسمت کسری با تعدادی اعداد شروع می شود و سپس تکرار شروع می شود.

قاعده ای که با آن باید یک اعشار نامتناهی را به عنوان کسری مشترک بنویسید برای دو نوع اعداد نشان داده شده متفاوت خواهد بود. نوشتن کسرهای تناوبی خالص به عنوان کسرهای معمولی بسیار آسان است. مانند موارد متناهی، آنها باید تبدیل شوند: نقطه را در صورتگر بنویسید، و مخرج عدد 9 خواهد بود، به تعداد ارقامی که نقطه حاوی آن است، تکرار می شود.

به عنوان مثال، 0، (5). عدد یک قسمت صحیح ندارد، بنابراین باید بلافاصله با قسمت کسری شروع کنید. 5 را به عنوان صورت و 9 را به عنوان مخرج بنویسید یعنی پاسخ کسری 5/9 خواهد بود.

قانون نحوه نوشتن یک کسر تناوبی اعشاری معمولی که مختلط است.

به طول دوره نگاه کنید. مخرج این مقدار 9 خواهد بود.

مخرج را بنویسید: ابتدا 9 و سپس صفر.

برای تعیین عدد، باید تفاوت دو عدد را یادداشت کنید. تمام اعداد بعد از نقطه اعشار به همراه نقطه کوچک می شوند. کسر - بدون دوره است.

به عنوان مثال، 0.5(8) - کسر اعشاری تناوبی را به عنوان یک کسر مشترک بنویسید. قسمت کسری قبل از نقطه شامل یک رقم است. بنابراین یک صفر خواهد بود. همچنین فقط یک عدد در دوره وجود دارد - 8. یعنی فقط یک نه وجود دارد. یعنی باید در مخرج 90 بنویسید.

برای تعیین عدد، باید 5 را از 58 کم کنید. معلوم می شود 53. به عنوان مثال، شما باید پاسخ را به صورت 53/90 بنویسید.

چگونه کسرها به اعشار تبدیل می شوند؟

ساده ترین گزینه عددی است که مخرج آن عدد 10، 100 و غیره باشد. سپس مخرج به سادگی کنار گذاشته می شود و یک کاما بین قسمت های کسری و عدد صحیح قرار می گیرد.

شرایطی وجود دارد که مخرج به راحتی به 10، 100 و غیره تبدیل می شود، به عنوان مثال، اعداد 5، 20، 25. کافی است آنها را به ترتیب در 2، 5 و 4 ضرب کنیم. فقط باید نه تنها مخرج، بلکه صورتگر را در همان عدد ضرب کنید.

برای همه موارد دیگر، یک قانون ساده مفید است: صورت را بر مخرج تقسیم کنید. در این مورد، ممکن است دو پاسخ ممکن را دریافت کنید: یک کسر اعشاری متناهی یا تناوبی.

عملیات با کسرهای معمولی

جمع و تفریق

دانش آموزان زودتر از دیگران با آنها آشنا می شوند. علاوه بر این، در ابتدا کسرها مخرج یکسانی دارند و سپس مخرج های متفاوتی دارند. قوانین کلی را می توان به این طرح کاهش داد.

حداقل مضرب مشترک مخرج ها را پیدا کنید.

برای همه کسرهای معمولی عوامل اضافی بنویسید.

صورت ها و مخرج ها را در فاکتورهایی که برای آنها مشخص شده ضرب کنید.

اعداد کسرها را جمع کنید (کسر کنید) و مخرج مشترک را بدون تغییر رها کنید.

اگر عدد مینیوند از عدد فرعی کوچکتر باشد، باید بفهمیم که عدد مختلط داریم یا کسری مناسب.

در حالت اول، باید یکی از کل قسمت را قرض بگیرید. مخرج را به صورت کسر اضافه کنید. و سپس تفریق را انجام دهید.

در مورد دوم، لازم است قاعده تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر اعمال شود. یعنی از ماژول subtrahend، ماژول minuend را کم کنید و در پاسخ علامت "-" قرار دهید.

با دقت به نتیجه جمع (تفریق) نگاه کنید. اگر کسری نامناسب دریافت کردید، باید کل قسمت را انتخاب کنید. یعنی صورت را بر مخرج تقسیم کنید.

ضرب و تقسیم

برای انجام آنها، کسرها نیازی به کاهش به مخرج مشترک ندارند. این کار انجام اقدامات را آسان تر می کند. اما آنها همچنان از شما می خواهند که قوانین را رعایت کنید.

هنگام ضرب کسرها، باید به اعداد موجود در صورت و مخرج نگاه کنید. اگر هر صورت و مخرج یک عامل مشترک داشته باشد، می توان آنها را کاهش داد.

اعداد را ضرب کنید.

مخرج ها را ضرب کنید.

اگر نتیجه یک کسر قابل کاهش باشد، باید دوباره ساده شود.

هنگام تقسیم، ابتدا باید تقسیم را با ضرب و تقسیم کننده (کسر دوم) را با کسر متقابل جایگزین کنید (عدد و مخرج را عوض کنید).

سپس مانند ضرب ادامه دهید (از نقطه 1 شروع کنید).

در کارهایی که باید در یک عدد کامل ضرب (تقسیم) کنید، دومی باید به صورت کسری نامناسب نوشته شود. یعنی با مخرج 1. سپس همانطور که در بالا توضیح داده شد عمل کنید.



عملیات با اعشار

جمع و تفریق

البته همیشه می توانید اعشار را به کسری تبدیل کنید. و طبق برنامه ای که قبلا توضیح داده شده عمل کنید. اما گاهی اوقات راحت تر است که بدون این ترجمه عمل کنید. سپس قوانین جمع و تفریق آنها دقیقاً یکسان خواهد بود.

تعداد ارقام را در قسمت کسری عدد یعنی بعد از نقطه اعشار برابر کنید. عدد صفرهای از دست رفته را به آن اضافه کنید.

کسرها را طوری بنویسید که کاما زیر کاما باشد.

مانند اعداد طبیعی جمع (تفریق) کنید.

کاما را بردارید.

ضرب و تقسیم

مهم است که نیازی به اضافه کردن صفر در اینجا ندارید. کسرها باید همانطور که در مثال آورده شده اند رها شوند. و سپس طبق برنامه پیش بروید.

برای ضرب، باید کسرها را یکی زیر دیگری بنویسید، بدون توجه به کاما.

مثل اعداد طبیعی ضرب کنید.

در پاسخ یک کاما قرار دهید و از انتهای سمت راست پاسخ به تعداد ارقامی که در قسمت های کسری هر دو عامل هستند بشمارید.

برای تقسیم، ابتدا باید تقسیم کننده را تبدیل کنید: آن را به یک عدد طبیعی تبدیل کنید. یعنی با توجه به اینکه در قسمت کسری مقسوم علیه چند رقم باشد آن را در 10 و 100 و ... ضرب کنید.

سود تقسیمی را در همان عدد ضرب کنید.

کسری اعشاری را بر یک عدد طبیعی تقسیم کنید.

در لحظه ای که تقسیم کل قسمت تمام می شود، در پاسخ خود کاما قرار دهید.



اگر یک مثال شامل هر دو نوع کسر باشد چه؟

بله، در ریاضیات اغلب نمونه هایی وجود دارد که در آنها باید عملیاتی را روی کسرهای معمولی و اعشاری انجام دهید. در چنین وظایفی دو راه حل ممکن وجود دارد. شما باید به طور عینی اعداد را وزن کنید و بهینه را انتخاب کنید.

راه اول: نمایش اعشار معمولی

اگر تقسیم یا ترجمه منجر به کسرهای محدود شود، مناسب است. اگر حداقل یک عدد قسمت تناوبی بدهد، این تکنیک ممنوع است. بنابراین، حتی اگر دوست ندارید با کسرهای معمولی کار کنید، باید آنها را بشمارید.

راه دوم: کسرهای اعشاری را معمولی بنویسید

اگر قسمت بعد از نقطه اعشار شامل 1-2 رقم باشد، این تکنیک راحت است. اگر تعداد آنها بیشتر باشد، ممکن است به یک کسر معمولی بسیار بزرگ برسید و نماد اعشاری کار را سریع‌تر و آسان‌تر محاسبه می‌کند. بنابراین، شما همیشه باید با هوشیاری کار را ارزیابی کنید و ساده ترین روش راه حل را انتخاب کنید.

در این مقاله به نحوه انجام آن خواهیم پرداخت تبدیل کسرها به اعشارو همچنین فرآیند معکوس را در نظر بگیرید - تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی. در اینجا قوانین تبدیل کسرها را تشریح می کنیم و راه حل های دقیقی برای مثال های معمولی ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

تبدیل کسرها به اعشار

اجازه دهید دنباله ای را که در آن با آن سروکار داریم را مشخص کنیم تبدیل کسرها به اعشار.

ابتدا نحوه نمایش کسری با مخرج 10، 100، 1000، ... را به صورت اعشاری بررسی خواهیم کرد. این با این واقعیت توضیح داده می شود که کسرهای اعشاری اساساً شکل فشرده ای از نوشتن کسرهای معمولی با مخرج 10، 100، ... هستند.

پس از آن، ما جلوتر خواهیم رفت و نشان خواهیم داد که چگونه هر کسری معمولی (نه فقط آنهایی که مخرج 10، 100، ... دارند) را به عنوان کسری اعشاری بنویسیم. وقتی کسرهای معمولی به این شکل رفتار می‌شوند، هم کسرهای اعشاری متناهی و هم کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی به دست می‌آیند.

حالا بیایید در مورد همه چیز به ترتیب صحبت کنیم.

تبدیل کسرهای مشترک با مخرج 10، 100، ... به اعشار

برخی از کسرهای مناسب قبل از تبدیل شدن به اعشار نیاز به "آماده سازی اولیه" دارند. این در مورد کسرهای معمولی صدق می کند که تعداد ارقام در صورت آن کمتر از تعداد صفرهای مخرج است. به عنوان مثال، کسری مشترک 2/100 ابتدا باید برای تبدیل به کسر اعشاری آماده شود، اما کسری 9/10 نیازی به آماده سازی ندارد.

"آماده سازی مقدماتی" کسرهای معمولی مناسب برای تبدیل به کسرهای اعشاری شامل افزودن آنقدر صفر به سمت چپ در صورتگر است که تعداد کل ارقام در آنجا برابر با تعداد صفرهای مخرج می شود. به عنوان مثال، کسری پس از افزودن صفرها شبیه به .

هنگامی که یک کسر مناسب را آماده کردید، می توانید آن را به اعشار تبدیل کنید.

بدهیم قانون تبدیل کسر مشترک مناسب با مخرج 10، 100، یا 1000، ... به کسری اعشاری. از سه مرحله تشکیل شده است:

• 0 بنویس
• بعد از آن یک نقطه اعشار قرار می دهیم.
• عدد را از صورت‌حساب می‌نویسیم (به همراه صفرهای اضافه شده، اگر آنها را اضافه کرده باشیم).

بیایید کاربرد این قانون را هنگام حل مثال در نظر بگیریم.

مثال.

کسر مناسب 37/100 را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

مخرج شامل عدد 100 است که دو صفر دارد. شمارنده شامل عدد 37 است، نماد آن دارای دو رقم است، بنابراین، این کسری برای تبدیل به کسری اعشاری نیازی به آماده سازی ندارد.

حالا 0 می نویسیم و یک اعشار می گذاریم و عدد 37 را از صورت شمار می نویسیم و کسر اعشاری 0.37 را می گیریم.

پاسخ:

0,37 .

برای تقویت مهارت تبدیل کسرهای معمولی مناسب با اعداد 10، 100، ... به کسرهای اعشاری، حل را به مثال دیگری تحلیل می کنیم.

مثال.

کسر مناسب 107/10000000 را به صورت اعشاری بنویسید.

راه حل.

تعداد ارقام در کسر 3 و تعداد صفرهای مخرج 7 است، بنابراین این کسر مشترک باید برای تبدیل به اعشار آماده شود. باید 7-3=4 صفر را در سمت چپ در صورتگر جمع کنیم تا مجموع ارقام آنجا برابر با تعداد صفرهای مخرج شود. ما گرفتیم.

تنها چیزی که باقی می ماند ایجاد کسر اعشاری مورد نیاز است. برای این کار اولاً 0 می نویسیم، ثانیاً کاما می گذاریم، ثالثاً عدد را از روی صورت با صفرهای 0000107 می نویسیم، در نتیجه کسری اعشاری 0.0000107 داریم.

پاسخ:

0,0000107 .

کسرهای نامناسب هنگام تبدیل به اعشار نیازی به آماده سازی ندارند. موارد زیر باید رعایت شود قوانین تبدیل کسرهای نامناسب با مخرج 10، 100، ... به اعشار:

• عدد را از روی شمارنده بنویسید؛
• ما از یک نقطه اعشار برای جدا کردن رقم های سمت راست به تعداد صفر در مخرج کسر اصلی استفاده می کنیم.

بیایید هنگام حل یک مثال به کاربرد این قانون نگاه کنیم.

مثال.

کسر نامناسب 56,888,038,009/100,000 را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

اولاً عدد 56888038009 را یادداشت می کنیم و ثانیاً 5 رقم سمت راست را با اعشار جدا می کنیم زیرا مخرج کسر اصلی 5 صفر است. در نتیجه، کسر اعشاری 568880.38009 را داریم.

پاسخ:

568 880,38009 .

برای تبدیل یک عدد مختلط به کسر اعشاری که مخرج جزء کسری آن عدد 10 یا 100 یا 1000 و ... است، می توان عدد مختلط را به کسری معمولی نامناسب تبدیل کرد و سپس حاصل را تبدیل کرد. کسری به کسری اعشاری اما می توانید از موارد زیر نیز استفاده کنید قانون تبدیل اعداد مختلط با مخرج کسری 10، 100، یا 1000، ... به کسرهای اعشاری:

• در صورت لزوم، ما "آماده سازی اولیه" قسمت کسری عدد مختلط اصلی را با اضافه کردن تعداد صفرهای مورد نیاز به سمت چپ در شمارنده انجام می دهیم.
• قسمت صحیح عدد مختلط اصلی را بنویسید.
• یک نقطه اعشار قرار دهید.
• عدد را به همراه صفرهای اضافه شده از روی عدد می نویسیم.

بیایید به مثالی نگاه کنیم که در آن تمام مراحل لازم برای نشان دادن یک عدد مختلط را به عنوان کسری اعشاری انجام می دهیم.

مثال.

عدد مختلط را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

مخرج قسمت کسری دارای 4 صفر است و صورتگر شامل عدد 17 است که از 2 رقم تشکیل شده است، بنابراین باید دو صفر به سمت چپ در صورتگر اضافه کنیم تا تعداد ارقام در آنجا با تعداد آنها برابر شود. صفر در مخرج با انجام این کار، شمارشگر 0017 خواهد بود.

حالا قسمت صحیح عدد اصلی یعنی عدد 23 را می نویسیم و یک اعشار می گذاریم و بعد از آن عدد را از روی عدد به همراه صفرهای اضافه شده یعنی 0017 می نویسیم و اعشار مورد نظر را بدست می آوریم. کسر 23.0017.

بیایید کل راه حل را به طور خلاصه بنویسیم: .

البته می شد ابتدا عدد مختلط را به صورت کسر نامناسب نشان داد و سپس آن را به کسری اعشاری تبدیل کرد. با این رویکرد، راه حل به این صورت است: .

پاسخ:

23,0017 .

تبدیل کسرها به اعشار متناهی و نامتناهی

شما می توانید نه تنها کسرهای معمولی با مخرج 10، 100، ... را به کسر اعشاری، بلکه کسرهای معمولی را با مخرج های دیگر نیز تبدیل کنید. اکنون خواهیم فهمید که چگونه این کار انجام می شود.

در برخی موارد، کسر معمولی اصلی به راحتی به یکی از مخرج‌های 10، 100، یا 1000، ... تقلیل می‌یابد (به آوردن کسری معمولی به مخرج جدید مراجعه کنید)، پس از آن نمایش کسری حاصل کار دشواری نیست. به عنوان کسر اعشاری به عنوان مثال، واضح است که کسر 2/5 را می توان به کسری با مخرج 10 تقلیل داد، برای این کار باید صورت و مخرج را در 2 ضرب کنید که کسری 4/10 به دست می آید که با توجه به قوانین مورد بحث در پاراگراف قبل، به راحتی به کسر اعشاری 0، 4 تبدیل می شود.

در موارد دیگر، شما باید از روش دیگری برای تبدیل کسر معمولی به اعشار استفاده کنید که اکنون به بررسی آن می پردازیم.

برای تبدیل یک کسری معمولی به کسری اعشاری، صورت کسری بر مخرج تقسیم می شود، ابتدا با کسری اعشاری مساوی با هر عدد صفر بعد از نقطه اعشار (در این مورد در بخش مساوی صحبت کردیم و در این مورد صحبت کردیم). کسرهای اعشاری نابرابر). در این حالت تقسیم به همان روشی انجام می شود که تقسیم بر ستونی از اعداد طبیعی است و در ضریب زمانی که تقسیم کل قسمت سود به پایان می رسد یک نقطه اعشار قرار می گیرد. همه اینها از راه حل های مثال های زیر مشخص می شود.

مثال.

کسر 621/4 را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

بیایید عدد 621 را به صورت کسری اعشاری نشان دهیم و یک نقطه اعشار و چند صفر بعد از آن اضافه کنیم. اول، بیایید 2 رقم 0 را اضافه کنیم، بعداً، در صورت لزوم، همیشه می توانیم صفرهای بیشتری اضافه کنیم. بنابراین، ما 621.00 داریم.

حالا با یک ستون عدد 621000 را بر 4 تقسیم می کنیم. سه مرحله اول هیچ تفاوتی با تقسیم اعداد طبیعی بر ستون ندارد و پس از آن به تصویر زیر می رسیم:

به این ترتیب به نقطه اعشار در سود می رسیم و باقیمانده با صفر متفاوت است. در این حالت، یک نقطه اعشار در ضریب قرار می دهیم و بدون توجه به کاما، تقسیم را در یک ستون ادامه می دهیم:

این تقسیم را کامل می کند و در نتیجه کسر اعشاری 155.25 را بدست می آوریم که با کسر معمولی اصلی مطابقت دارد.

پاسخ:

155,25 .

برای تجمیع مطالب، راه حل مثال دیگری را در نظر بگیرید.

مثال.

کسر 21/800 را به اعشار تبدیل کنید.

راه حل.

برای تبدیل این کسر معمولی به اعشار، یک ستون از کسر اعشاری 21000 ... را بر 800 تقسیم می کنیم. بعد از مرحله اول باید یک نقطه اعشار در ضریب قرار دهیم و سپس تقسیم را ادامه دهیم:

در نهایت، 0 باقیمانده را بدست آوردیم، این تبدیل کسر مشترک 21/400 به کسری اعشاری را تکمیل می کند و به کسری اعشاری 0.02625 رسیدیم.

پاسخ:

0,02625 .

ممکن است اتفاق بیفتد که هنگام تقسیم صورت بر مخرج کسری معمولی، باز هم باقیمانده 0 به دست نیاید. در این موارد تقسیم را می توان به طور نامحدود ادامه داد. با این حال، با شروع از یک مرحله خاص، باقی مانده ها شروع به تکرار دوره ای می کنند و اعداد در ضریب نیز تکرار می شوند. این بدان معنی است که کسر اصلی به یک کسر اعشاری متناوب بی نهایت تبدیل می شود. بیایید این را با یک مثال نشان دهیم.

مثال.

کسر 19/44 را به صورت اعشاری بنویسید.

راه حل.

برای تبدیل یک کسر معمولی به اعشار، تقسیم بر ستون را انجام دهید:

از قبل مشخص است که در حین تقسیم، باقی مانده های 8 و 36 شروع به تکرار کردند، در حالی که در ضریب اعداد 1 و 8 تکرار می شوند. بنابراین، کسر مشترک اصلی 19/44 به کسری اعشاری تناوبی 0.43181818...=0.43(18) تبدیل می شود.

پاسخ:

0,43(18) .

برای نتیجه گیری این نکته، متوجه خواهیم شد که کدام کسرهای معمولی را می توان به کسری اعشاری متناهی تبدیل کرد و کدام یک را فقط به کسر تناوبی تبدیل کرد.

اجازه دهید یک کسر معمولی تقلیل‌ناپذیر در مقابل خود داشته باشیم (اگر کسر قابل کاهش است، ابتدا کسر را کاهش می‌دهیم)، و باید بفهمیم که می‌توان آن را به کدام کسره اعشاری تبدیل کرد - متناهی یا تناوبی.

واضح است که اگر بتوان یک کسر معمولی را به یکی از مخرج های 10، 100، 1000، ... تقلیل داد، آنگاه کسر حاصل را می توان به راحتی طبق قوانینی که در پاراگراف قبل مطرح شد، به کسر اعشاری نهایی تبدیل کرد. اما به مخرج 10، 100، 1000 و غیره. همه کسرهای معمولی داده نمی شوند. فقط کسری که مخرج آنها حداقل یکی از اعداد 10، 100، ... باشد را می توان به چنین مخرج هایی تقلیل داد و چه اعدادی می توانند مقسوم علیه 10، 100، ... باشند؟ اعداد 10، 100، ... به ما امکان پاسخگویی به این سوال را می دهند و آنها به شرح زیر هستند: 10 = 2 5، 100 = 2 2 5 5، 1000 = 2 2 2 5 5 5، .... از این رو مقسوم‌کننده‌ها 10، 100، 1000 و غیره هستند. فقط اعدادی می توانند وجود داشته باشند که تجزیه آنها به عوامل اول فقط شامل اعداد 2 و (یا) 5 باشد.

اکنون می توانیم یک نتیجه کلی در مورد تبدیل کسرهای معمولی به اعشاری انجام دهیم:

• اگر در تجزیه مخرج به عوامل اول فقط اعداد 2 و (یا) 5 وجود داشته باشند، می توان این کسری را به کسری اعشاری نهایی تبدیل کرد.
• اگر علاوه بر دو و پنج، اعداد اول دیگری در بسط مخرج وجود داشته باشد، این کسر به کسر تناوبی اعشاری نامتناهی تبدیل می‌شود.

مثال.

بدون تبدیل کسرهای معمولی به اعشار، به من بگویید که کدام یک از کسرهای 47/20، 7/12، 21/56، 31/17 را می توان به کسری اعشاری نهایی تبدیل کرد و کدام یک را فقط می توان به کسری تناوبی تبدیل کرد.

راه حل.

مخرج کسر 47/20 به ضرایب اول به صورت 20=2·2·5 فاکتور می شود. در این بسط فقط دو و پنج وجود دارد، بنابراین این کسر را می توان به یکی از مخرج های 10، 100، 1000، ... کاهش داد (در این مثال، به مخرج 100)، بنابراین، می توان آن را به یک اعشار نهایی تبدیل کرد. کسر.

تجزیه مخرج کسر 7/12 به ضرایب اول به صورت 12=2·2·3 است. از آنجایی که شامل ضریب اول 3، متفاوت از 2 و 5 است، این کسر را نمی توان به صورت اعشار محدود نشان داد، اما می تواند به اعشار تناوبی تبدیل شود.

کسر 21/56 - انقباضی پس از انقباض به شکل 3/8 به خود می گیرد. فاکتورگیری مخرج به ضرایب اول شامل سه عامل برابر با 2 است، بنابراین کسر مشترک 3/8 و بنابراین کسر مساوی 21/56 را می توان به کسر اعشاری نهایی تبدیل کرد.

در نهایت، بسط مخرج کسری 31/17 خود 17 است، بنابراین این کسر را نمی توان به کسر اعشاری متناهی تبدیل کرد، بلکه می تواند به کسر متناوب نامتناهی تبدیل شود.

پاسخ:

47/20 و 21/56 را می توان به کسر اعشاری متناهی تبدیل کرد، اما 7/12 و 31/17 را فقط می توان به کسری تناوبی تبدیل کرد.

کسرهای معمولی به اعشار نامتناهی غیر تناوبی تبدیل نمی شوند

اطلاعات پاراگراف قبل این سوال را ایجاد می کند: "آیا تقسیم صورت کسری بر مخرج می تواند منجر به کسری نامتناهی غیر تناوبی شود؟"

پاسخ: خیر هنگام تبدیل یک کسر مشترک، نتیجه می تواند یک کسری اعشاری متناهی یا یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی باشد. اجازه دهید توضیح دهیم که چرا اینطور است.

از قضیه تقسیم پذیری با باقیمانده، مشخص می شود که باقیمانده همیشه کمتر از مقسوم علیه است، یعنی اگر مقداری صحیح را بر یک عدد صحیح q تقسیم کنیم، باقیمانده فقط می تواند یکی از اعداد 0، 1، 2 باشد. ، ...، q-1. نتیجه این است که پس از اینکه ستون تقسیم عدد صحیح یک کسر معمولی بر مخرج q را کامل کرد، در بیش از مراحل q یکی از دو حالت زیر ایجاد می شود:

• یا باقیمانده 0 بدست می آوریم، این تقسیم را به پایان می رساند و کسر اعشاری نهایی را به دست می آوریم.
• یا باقیمانده ای به دست می آوریم که قبلاً ظاهر شده است، پس از آن باقیمانده ها مانند مثال قبلی شروع به تکرار می کنند (از آنجایی که هنگام تقسیم اعداد مساوی بر q، باقیمانده های مساوی به دست می آیند که از قضیه تقسیم پذیری قبلاً ذکر شده نتیجه می شود). منجر به یک کسر اعشاری متناوب نامتناهی می شود.

هیچ گزینه دیگری نمی تواند وجود داشته باشد، بنابراین، هنگام تبدیل یک کسر معمولی به کسری اعشاری، یک کسری اعشاری غیر تناوبی نامتناهی به دست نمی آید.

از استدلال ارائه شده در این پاراگراف نیز چنین استنباط می شود که طول دوره یک کسری اعشاری همیشه کمتر از مقدار مخرج کسری معمولی مربوطه است.

تبدیل اعشار به کسری

حالا بیایید بفهمیم که چگونه یک کسر اعشاری را به یک کسر معمولی تبدیل کنیم. بیایید با تبدیل کسرهای اعشاری نهایی به کسرهای معمولی شروع کنیم. پس از این، روشی برای معکوس کردن کسرهای اعشاری متناوب نامتناهی در نظر خواهیم گرفت. در پایان، اجازه دهید در مورد عدم امکان تبدیل کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی به کسرهای معمولی بگوییم.

تبدیل اعشار انتهایی به کسری

بدست آوردن کسری که به صورت اعشار نهایی نوشته می شود بسیار ساده است. قانون تبدیل کسر اعشاری نهایی به کسری مشترکشامل سه مرحله است:

• ابتدا، کسر اعشاری داده شده را در صورت‌گر بنویسید، در صورتی که قبلاً نقطه اعشار و تمام صفرهای سمت چپ را حذف کرده باشید.
• ثانیاً، یک را در مخرج بنویسید و به همان تعداد صفر به آن اضافه کنید که بعد از اعشار در کسر اعشاری اصلی وجود دارد.
• سوم، در صورت لزوم، کسر حاصل را کاهش دهید.

بیایید به راه حل های مثال ها نگاه کنیم.

مثال.

اعداد اعشاری 3.025 را به کسری تبدیل کنید.

راه حل.

اگر اعشار را از کسر اعشاری اصلی حذف کنیم، عدد 3025 به دست می آید. هیچ صفری در سمت چپ وجود ندارد که ما آنها را کنار بگذاریم. پس در صورت کسر مورد نظر عدد 3025 را می نویسیم.

عدد 1 را در مخرج می نویسیم و 3 صفر به سمت راست آن اضافه می کنیم، زیرا در کسر اعشاری اصلی 3 رقم بعد از نقطه اعشار وجود دارد.

بنابراین ما کسر مشترک 3025/1000 را بدست آوردیم. این کسر را می توان 25 کاهش داد، به دست می آوریم .

پاسخ:

.

مثال.

کسر اعشاری 0.0017 را به کسری تبدیل کنید.

راه حل.

بدون نقطه اعشار، کسر اعشاری اصلی شبیه 00017 است، با دور انداختن صفرهای سمت چپ، عدد 17 را به دست می‌آوریم که عدد کسری معمولی مورد نظر است.

ما یک را با چهار صفر در مخرج می نویسیم، زیرا کسر اعشاری اصلی دارای 4 رقم بعد از نقطه اعشار است.

در نتیجه ما یک کسری معمولی 17/10000 داریم. این کسر غیر قابل تقلیل است و تبدیل کسر اعشاری به کسری معمولی کامل است.

پاسخ:

.

هنگامی که قسمت صحیح کسر اعشاری نهایی غیر صفر باشد، می توان آن را بلافاصله به یک عدد مختلط تبدیل کرد و کسری مشترک را دور زد. بدهیم قانون تبدیل کسر اعشاری نهایی به عدد مختلط:

• عدد قبل از نقطه اعشار باید به عنوان یک عدد صحیح از عدد مختلط مورد نظر نوشته شود.
• در شمارش بخش کسری باید عدد بدست آمده از قسمت کسری کسر اعشاری اصلی را پس از دور انداختن تمام صفرهای سمت چپ بنویسید.
• در مخرج قسمت کسری باید عدد 1 را یادداشت کنید، که به آن تعداد صفر به سمت راست اضافه کنید که بعد از نقطه اعشار در کسر اعشاری اصلی وجود دارد.
• در صورت لزوم، قسمت کسری عدد مخلوط حاصل را کاهش دهید.

بیایید به مثالی از تبدیل کسر اعشاری به عدد مختلط نگاه کنیم.

مثال.

کسر اعشاری 152.06005 را به صورت یک عدد مختلط بیان کنید

برای نوشتن یک عدد گویا m/n به صورت کسری اعشاری، باید صورت را بر مخرج تقسیم کنید. در این حالت ضریب به صورت کسری اعشاری متناهی یا نامتناهی نوشته می شود.

این عدد را به صورت کسر اعشاری بنویسید.

راه حل. صورت هر کسری را بر مخرج آن به یک ستون تقسیم کنید: آ)تقسیم 6 بر 25; ب)تقسیم 2 بر 3; V) 1 را بر 2 تقسیم کنید و سپس کسر حاصل را به یک اضافه کنید - قسمت صحیح این عدد مخلوط.

کسرهای عادی تقلیل ناپذیر که مخرج آنها شامل ضرایب اول غیر از 2 و 5 ، به صورت کسر اعشاری پایانی نوشته می شوند.

که در مثال 1چه زمانی آ)مخرج 25=5·5; چه زمانی V)مخرج 2 است، بنابراین اعشار نهایی 0.24 و 1.5 را می گیریم. چه زمانی ب)مخرج 3 است، بنابراین نتیجه را نمی توان به صورت اعشار محدود نوشت.

آیا می توان بدون تقسیم طولانی، چنین کسری معمولی را که مخرج آن غیر از 2 و 5 مقسوم علیه دیگری ندارد، به کسر اعشاری تبدیل کرد؟ بیایید آن را بفهمیم! کدام کسری را اعشار می نامند و بدون نوار کسری نوشته می شود؟ پاسخ: کسری با مخرج 10; 100; 1000 و غیره و هر یک از این اعداد یک محصول است برابرتعداد دو و پنج در واقع: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 و غیره

در نتیجه، مخرج یک کسر عادی تقلیل‌ناپذیر باید به صورت حاصل ضرب «دو» و «پنج» نمایش داده شود و سپس در 2 و (یا) 5 ضرب شود تا «دو» و «پنج» برابر شوند. سپس مخرج کسر برابر با 10 یا 100 یا 1000 و غیره خواهد بود. برای اطمینان از اینکه مقدار کسر تغییر نمی کند، صورت کسر را در همان عددی که مخرج را در آن ضرب کرده ایم ضرب می کنیم.

کسرهای رایج زیر را به صورت اعشاری بیان کنید:

راه حل. هر یک از این کسرها غیر قابل تقلیل هستند. بیایید مخرج هر کسر را به ضرایب اول تبدیل کنیم.

20=2·2·5. نتیجه گیری: یک "الف" وجود ندارد.

8=2·2·2. نتیجه گیری: سه "الف" وجود ندارد.

25=5·5. نتیجه گیری: دو "دو" از دست رفته است.

اظهار نظر.در عمل، آنها اغلب از فاکتورسازی مخرج استفاده نمی کنند، بلکه فقط این سوال را مطرح می کنند: مخرج چقدر باید ضرب شود تا نتیجه یک با صفر شود (10 یا 100 یا 1000 و غیره). و سپس شمارنده در همان عدد ضرب می شود.

بنابراین، در صورت آ)(مثال 2) از عدد 20 می توانید با ضرب در 5 عدد 100 را بدست آورید ، بنابراین باید صورت و مخرج را در 5 ضرب کنید.

چه زمانی ب)(مثال 2) از عدد 8 عدد 100 به دست نمی آید، اما عدد 1000 با ضرب در 125 به دست می آید. هم صورت (3) و هم مخرج (8) کسر در 125 ضرب می شوند.

چه زمانی V)(مثال 2) از 25 اگر در 4 ضرب کنید 100 به دست می آید. این بدان معناست که عدد 8 باید در 4 ضرب شود.

کسر اعشاری نامتناهی که در آن یک یا چند رقم به طور ثابت در یک دنباله تکرار می شود نامیده می شود. تناوبیبه صورت اعشاری مجموعه ارقام تکرار شونده دوره این کسر نامیده می شود. برای اختصار، دوره کسری یک بار در داخل پرانتز نوشته می شود.

چه زمانی ب)(مثال 1) فقط یک رقم تکراری وجود دارد و برابر با 6 است. بنابراین، نتیجه ما 0.66 ... به این صورت نوشته می شود: 0,(6) . آنها می خوانند: نقطه صفر، شش در دوره.

اگر بین نقطه اعشار و نقطه اول یک یا چند رقم غیر تکراری وجود داشته باشد، چنین کسر تناوبی را کسر تناوبی مختلط می نامند.

کسر مشترک غیر قابل تقلیل که مخرج آن است همراه با دیگرانضریب شامل ضریب است 2 یا 5 ، تبدیل می شود مختلطکسر دوره ای

اعداد را به صورت اعشاری بنویسید.