من عباراتی که در آنها می توان از اعداد، نمادهای حسابی و پرانتز همراه با حروف استفاده کرد، عبارت های جبری نامیده می شود.

نمونه هایی از عبارات جبری:

2m -n; 3 · (2a + b)؛ 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b)؛ a 2 - 2ab;

از آنجایی که یک حرف در یک عبارت جبری را می توان با تعدادی اعداد مختلف جایگزین کرد، حرف را متغیر و خود عبارت جبری را عبارت با متغیر می نامند.

II. اگر در یک عبارت جبری حروف (متغیرها) با مقادیر آنها جایگزین شوند و اقدامات مشخص شده انجام شود، عدد حاصل را مقدار عبارت جبری می نامند.

نمونه ها

معنی عبارت را پیدا کنید:

1) a + 2b -c با a = -2. b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| در x = -8; y = -5; z = 6..

راه حل

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c با a = -2. b = 10; c = -3.5. به جای متغیرها، بیایید مقادیر آنها را جایگزین کنیم. دریافت می کنیم: 2) |x| + |y| -|z| در x = -8; y = -5; z = 6. مقادیر نشان داده شده را جایگزین کنید. به یاد داشته باشید که ماژولعدد منفی برابر با عدد مقابل آن و ماژول استعدد مثبت

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

برابر با خود این عدد دریافت می کنیم: III.

مقادیر حرف (متغیر) که عبارت جبری برای آنها معنی دارد، مقادیر مجاز حرف (متغیر) نامیده می شود.

نمونه هامی دانیم که شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید، بنابراین، هر یک از این عبارات با توجه به مقدار حرف (متغیر) که مخرج کسری را به صفر تبدیل می کند، معنی نخواهد داشت!

در مثال 1) این مقدار a = 0 است. در واقع، اگر 0 را به جای a جایگزین کنید، باید عدد 6 را بر 0 تقسیم کنید، اما این کار نمی تواند انجام شود. پاسخ: عبارت 1) وقتی a = 0 باشد معنی ندارد.

در مثال 2) مخرج x 4 = 0 در x = 4 است، بنابراین، این مقدار x = 4 را نمی توان گرفت. پاسخ: عبارت 2) وقتی x = 4 معنی ندارد.

در مثال 3) مخرج x + 2 = 0 است که x = -2 است. پاسخ: عبارت 3) وقتی x = -2 معنی ندارد.

در مثال 4) مخرج 5 -|x| است = 0 برای |x| = 5. و از آنجا که |5| = 5 و |-5| = 5، پس نمی توانید x = 5 و x = -5 را بگیرید. پاسخ: عبارت 4) در x = -5 و در x = 5 معنی ندارد.
IV. اگر برای هر مقدار مجاز متغیرها، مقادیر متناظر این عبارات برابر باشند، دو عبارت به طور یکسان با هم برابر هستند.

مثال: 5 (a – b) و 5a – 5b نیز برابر هستند، زیرا برابری 5 (a – b) = 5a – 5b برای هر مقدار a و b صادق خواهد بود. برابری 5 (a – b) = 5a – 5b یک هویت است.

هویت برابری است که برای تمام مقادیر مجاز متغیرهای موجود در آن معتبر است. نمونه‌هایی از هویت‌هایی که قبلاً برای شما شناخته شده‌اند، برای مثال، ویژگی‌های جمع و ضرب و ویژگی توزیعی هستند.

جایگزینی یک عبارت با عبارتی مشابه دیگر، تبدیل هویت یا به سادگی تبدیل یک عبارت نامیده می شود. تبدیل‌های یکسان عبارات با متغیرها بر اساس ویژگی‌های عملیات روی اعداد انجام می‌شود.

نمونه ها

الف)با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5· (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| در x = -8; y = -5; z = 6.. بیایید خاصیت توزیعی (قانون) ضرب را به یاد بیاوریم:

(a+b)c=ac+bc(قانون توزیعی ضرب نسبت به جمع: برای ضرب مجموع دو عدد در عدد سوم، می توانید هر جمله را در این عدد ضرب کنید و نتایج حاصل را اضافه کنید).
(a-b) c=a c-b ج(قانون توزیعی ضرب نسبت به تفریق: برای ضرب تفاضل دو عدد در عدد سوم، می توان عدد مینیوند را ضرب و در این عدد جداگانه تفریق کرد و عدد دوم را از نتیجه اول کم کرد).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

ب)با استفاده از خواص جابجایی و تداعی (قوانین) جمع، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

نمونه هابیایید قوانین (خواص) جمع را اعمال کنیم:

a+b=b+a(جایگزینی: مرتب کردن مجدد عبارات، مجموع را تغییر نمی دهد).
(a+b)+c=a+(b+c)(ترکیبی: برای افزودن عدد سوم به مجموع دو جمله، می توانید مجموع عدد دوم و سوم را به عدد اول اضافه کنید).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V)با استفاده از خواص جابجایی و انجمنی (قوانین) ضرب، عبارت را به یکسان برابر تبدیل کنید:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1)؛ 9) 3a · (-3) · 2 ثانیه

نمونه هابیایید قوانین (خواص) ضرب را اعمال کنیم:

a·b=b·a(تعویض: تنظیم مجدد عوامل، محصول را تغییر نمی دهد).
(الف ب) c=a (ب ج)(ترکیبی: برای ضرب حاصلضرب دو عدد در عدد سوم می توانید عدد اول را در حاصل ضرب عدد دوم و سوم ضرب کنید).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

اگر یک عبارت جبری به صورت یک کسر تقلیل پذیر داده شود، با استفاده از قانون کاهش کسری می توان آن را ساده کرد، یعنی. آن را با یک عبارت ساده تر یکسان جایگزین کنید.

نمونه ها

نمونه هابا استفاده از کاهش کسر ساده کنید. تقلیل کسری به معنای تقسیم صورت و مخرج آن بر یک عدد (بیان) غیر از صفر است. کسر 10) کاهش می یابد 3b ; کسر 11) کاهش می یابدالف و کسر 12) کاهش می یابد 7n

. دریافت می کنیم:

از عبارات جبری برای ایجاد فرمول استفاده می شود.فرمول یک عبارت جبری است که به صورت تساوی نوشته می شود و رابطه بین دو یا چند متغیر را بیان می کند. مثال: فرمول مسیری که می دانید s=v t

(s - مسافت طی شده، v - سرعت، t - زمان). به یاد داشته باشید که چه فرمول های دیگری را می شناسید.

صفحه 1 از 1 1 یک عبارت گسترده ترین اصطلاح ریاضی است. اساساً در این علم همه چیز از آنها تشکیل شده است و همه عملیات نیز بر روی آنها انجام می شود. سوال دیگر این است که بسته به نوع خاص آنها به طور کامل استفاده می شودروش های مختلف و تکنیک ها بنابراین، کار با مثلثات، کسر یا لگاریتم سه استاقدامات مختلف

. عبارتی که معنی ندارد می تواند یکی از دو نوع باشد: عددی یا جبری. اما این مفهوم به چه معناست، مثال آن چگونه است و سایر نکات بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

اگر عبارتی از اعداد، پرانتزها، مثبت ها و منفی ها و سایر نمادهای عملیات حسابی تشکیل شده باشد، می توان آن را با خیال راحت عددی نامید. که کاملاً منطقی است: فقط باید نگاهی دیگر به اولین مؤلفه آن بیندازید.

یک عبارت عددی می تواند هر چیزی باشد: نکته اصلی این است که حاوی حروف نباشد. و در زیر "هر چیزی" در در این موردهمه چیز قابل درک است: از یک عدد ساده که به تنهایی ایستاده است، تا لیست عظیمی از آنها و نشانه هایی از عملیات حسابی که نیاز به محاسبه بعدی نتیجه نهایی دارد. کسری نیز هست بیان عددی، اگر هیچ a، b، c، d و غیره نداشته باشد، یک نوع کاملاً متفاوت است که کمی بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت.

شرایط برای بیانی که معنی ندارد

وقتی یک کار با کلمه "محاسبه" شروع می شود، می توانیم در مورد تبدیل صحبت کنیم. مسئله این است که این عمل همیشه توصیه نمی شود: اگر بیانی که معنی ندارد به منصه ظهور برسد، نیازی به آن نیست. مثال ها بی نهایت تعجب آور است: گاهی برای اینکه بفهمیم از ما سبقت گرفته است، باید پرانتزها را برای مدت طولانی و خسته کننده و با شمارش شمارش باز کنیم...

نکته اصلی که باید به خاطر داشت این است که هیچ معنایی در عباراتی که نتیجه نهایی آنها به عملی که در ریاضیات ممنوع است خلاصه نمی شود وجود ندارد. اگر بخواهیم کاملاً صادق باشیم، آنگاه خود تغییر شکل بی معنا می شود، اما برای اینکه بفهمید، ابتدا باید آن را انجام دهید. چنین پارادوکسی!

معروف ترین، اما نه کمتر مهم ممنوع است عملیات ریاضی- این تقسیم بر صفر است.

بنابراین، برای مثال، در اینجا عبارتی وجود دارد که معنی ندارد:

(17+11):(5+4-10+1).

اگر با محاسبات ساده، براکت دوم را به یک رقم کاهش دهیم، آنگاه صفر خواهد شد.

با همان اصل، یک "عنوان افتخاری" به این عبارت داده می شود:

(5-18):(19-4-20+5).

عبارات جبری

این همان عبارت عددی است اگر حروف ممنوعه به آن اضافه شود. سپس جبری تمام عیار می شود. همچنین می تواند در همه اندازه ها و اشکال موجود باشد. عبارت جبری مفهوم گسترده تری است که مفهوم قبلی را در بر می گیرد. اما منطقی بود که مکالمه را نه با آن، بلکه با یک عدد شروع کنیم تا واضح تر و قابل درک تر باشد. به هر حال، این که آیا یک عبارت جبری معنا دارد یا خیر، سوال خیلی پیچیده ای نیست، اما توضیح بیشتری دارد.

چرا اینطور است؟

یک عبارت تحت اللفظی یا یک عبارت با متغیرها مترادف هستند. توضیح اولین عبارت آسان است: بالاخره شامل حروف است! مورد دوم نیز رمز و راز قرن نیست: به جای حروف می توانید جایگزین کنید اعداد مختلف، که در نتیجه معنای عبارت تغییر می کند. حدس زدن اینکه حروف در این مورد متغیر هستند کار دشواری نیست. بر اساس قیاس، اعداد ثابت هستند.

و در اینجا به موضوع اصلی باز می گردیم: بی معنی؟

نمونه هایی از عبارات جبری که معنی ندارند

شرط بی معنی بودن یک عبارت جبری مانند یک عبارت عددی است، تنها با یک استثنا، یا به عبارت دقیق تر، یک اضافه. هنگام تبدیل و محاسبه نتیجه نهایی، شما باید متغیرها را در نظر بگیرید، بنابراین این سوال مطرح نمی شود که "کدام عبارت معنی ندارد؟"، بلکه "در چه مقدار متغیر این عبارت معنا نخواهد داشت؟" و "آیا مقداری از متغیر وجود دارد که در آن عبارت معنای خود را از دست بدهد؟"

به عنوان مثال، (18-3):(a+11-9).

وقتی a برابر با 2- باشد، عبارت فوق معنی ندارد.

اما در مورد (a+3):(12-4-8) به جرات می توان گفت که این عبارتی است که برای هیچ الف معنی ندارد.

به همین ترتیب، هر چیزی که b را جایگزین عبارت (b - 11): (12+1) کنید، باز هم معنا خواهد داشت.

مشکلات معمولی با موضوع "بیانی که معنی ندارد"

کلاس هفتم این موضوع را در ریاضیات، در میان دیگران، مطالعه می کند، و تکالیف مربوط به آن اغلب هم مستقیماً بعد از درس مربوطه و هم به عنوان یک "سوال ترفند" در ماژول ها و امتحانات یافت می شود.

اینجاست که چرا ارزش بررسی دارد وظایف معمولیو روش های حل آنها

مثال 1.

آیا این عبارت معنی دارد:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

لازم است تمام محاسبات را در پرانتز انجام دهید و عبارت را به شکل زیر بیاورید:

نتیجه نهایی شامل بنابراین بیان بی معنی است.

مثال 2.

چه عباراتی معنا ندارد؟

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

باید محاسبه شود ارزش نهاییبرای هر یک از عبارات

پاسخ: 1; 2.

مثال 3.

محدوده مقادیر قابل قبول برای عبارات زیر را بیابید:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

محدوده مقادیر مجاز (APV) همه آن اعداد است، هنگام جایگزینی آنها بیان متغیرمعنا پیدا خواهد کرد.

یعنی کار به این شکل به نظر می رسد: مقادیری را پیدا کنید که در آنها تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞)، یا b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞)، یا b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

مثال 4.

در چه مقادیری عبارت زیر معنی نخواهد داشت؟

براکت دوم زمانی که بازی برابر با -3 باشد برابر با صفر است.

پاسخ: y=-3

مثال 4.

کدام یک از عبارات فقط در x = -14 معنی ندارد؟

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 و 3، زیرا در حالت اول، اگر x = -14 را جایگزین کنید، براکت دوم برابر با 28- خواهد بود و نه صفر، همانطور که در تعریف یک عبارت بی معنی به نظر می رسد.

مثال 5.

بیایید و عبارتی را بنویسید که معنی ندارد.

18/(2-46+17-33+45+15).

عبارات جبری با دو متغیر

علیرغم این واقعیت که تمام عباراتی که معنی ندارند، ماهیت یکسانی دارند، پیچیدگی آنها سطوح متفاوتی دارد. بنابراین، می توان گفت که نمونه های عددی مثال های ساده ای هستند، زیرا ساده تر از نمونه های جبری هستند. تعداد متغیرها در دومی بر دشواری حل می افزاید. اما آنها نباید یکسان به نظر برسند: نکته اصلی این است که اصل کلی راه حل را به خاطر بسپارید و آن را اعمال کنید، صرف نظر از اینکه آیا مثال مشابه یک مشکل استاندارد است یا دارای اضافات ناشناخته است.

به عنوان مثال، ممکن است این سوال پیش بیاید که چگونه می توان چنین کاری را حل کرد.

جفت اعدادی که برای عبارت نامعتبر هستند را پیدا کرده و بنویسید:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

پاسخ های ممکن:

اما در واقع، فقط ترسناک و دست و پا گیر به نظر می رسد، زیرا در واقع حاوی چیزهایی است که برای مدت طولانی شناخته شده است: مربع و اعداد مکعبی، برخی عملیات های حسابی مانند تقسیم، ضرب، تفریق و جمع. برای راحتی، به هر حال، می توانید مشکل را به شکل کسری کاهش دهید.

شمارنده کسر حاصل خوشحال نیست: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). این یک واقعیت است. اما دلیل دیگری برای شادی وجود دارد: برای حل کار حتی نیازی به لمس آن ندارید! با توجه به تعریفی که قبلاً صحبت شد، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید و اینکه دقیقاً چه چیزی بر آن تقسیم می شود، کاملاً بی اهمیت است. بنابراین، این عبارت را بدون تغییر می گذاریم و جفت اعداد را از این گزینه ها در مخرج جایگزین می کنیم. در حال حاضر نقطه سوم کاملاً مطابقت دارد و یک براکت کوچک را به صفر تبدیل می کند. اما توقف در آنجا توصیه بدی است، زیرا ممکن است چیز دیگری مناسب باشد. در واقع: نکته پنجم نیز به خوبی و با شرایط مطابقت دارد.

جواب را می نویسیم: 3 و 5.

در نتیجه

همانطور که می بینید، این موضوع بسیار جالب است و چندان پیچیده نیست. فهمیدن آن کار دشواری نخواهد بود. اما تمرین چند مثال هرگز ضرری ندارد!

یک عبارت گسترده ترین اصطلاح ریاضی است. اساساً در این علم همه چیز از آنها تشکیل شده است و همه عملیات نیز بر روی آنها انجام می شود. سوال دیگر این است که بسته به نوع خاص از روش ها و تکنیک های کاملا متفاوتی استفاده می شود. بنابراین، کار با مثلثات، کسرها یا لگاریتم ها سه عمل متفاوت هستند. عبارتی که معنی ندارد می تواند یکی از دو نوع باشد: عددی یا جبری. اما این مفهوم به چه معناست، مثال آن چگونه است و سایر نکات بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

عبارات عددی

اگر عبارتی از اعداد، پرانتزها، مثبت ها و منفی ها و سایر نمادهای عملیات حسابی تشکیل شده باشد، می توان آن را با خیال راحت عددی نامید. که کاملاً منطقی است: فقط باید نگاهی دیگر به اولین مؤلفه آن بیندازید.

یک عبارت عددی می تواند هر چیزی باشد: نکته اصلی این است که حاوی حروف نباشد. و در این مورد منظور ما از "هر چیزی" همه چیز است: از یک عدد ساده که به تنهایی ایستاده است، تا فهرست عظیمی از آنها و نشانه هایی از عملیات حسابی که نیاز به محاسبه بعدی نتیجه نهایی دارند. کسری نیز اگر حاوی a، b، c، d و غیره نباشد یک عبارت عددی است، زیرا در این صورت یک نوع کاملاً متفاوت است که کمی بعد در مورد آن صحبت خواهد شد.

شرایط برای بیانی که معنی ندارد

وقتی یک کار با کلمه "محاسبه" شروع می شود، می توانیم در مورد تبدیل صحبت کنیم. مسئله این است که این عمل همیشه توصیه نمی شود: اگر بیانی که معنی ندارد به منصه ظهور برسد، نیازی به آن نیست. مثال ها بی نهایت تعجب آور است: گاهی برای اینکه بفهمیم از ما سبقت گرفته است، باید پرانتزها را برای مدت طولانی و خسته کننده و با شمارش شمارش باز کنیم...

نکته اصلی که باید به خاطر داشت این است که هیچ معنایی در عباراتی که نتیجه نهایی آنها به عملی که در ریاضیات ممنوع است خلاصه نمی شود وجود ندارد. اگر بخواهیم کاملاً صادق باشیم، آنگاه خود تغییر شکل بی معنا می شود، اما برای اینکه بفهمید، ابتدا باید آن را انجام دهید. چنین پارادوکسی!

معروف ترین، اما نه کم اهمیت ترین عملیات ممنوعه ریاضی، تقسیم بر صفر است.

بنابراین، برای مثال، در اینجا عبارتی وجود دارد که معنی ندارد:

(17+11):(5+4-10+1).

اگر با محاسبات ساده، براکت دوم را به یک رقم کاهش دهیم، آنگاه صفر خواهد شد.

با همان اصل، یک "عنوان افتخاری" به این عبارت داده می شود:

(5-18):(19-4-20+5).

عبارات جبری

این همان عبارت عددی است اگر حروف ممنوعه به آن اضافه شود. سپس جبری تمام عیار می شود. همچنین می تواند در همه اندازه ها و اشکال موجود باشد. عبارت جبری مفهوم گسترده تری است که مفهوم قبلی را در بر می گیرد. اما منطقی بود که مکالمه را نه با آن، بلکه با یک عدد شروع کنیم تا واضح تر و قابل درک تر باشد. به هر حال، این که آیا یک عبارت جبری معنا دارد یا خیر، سوال خیلی پیچیده ای نیست، اما توضیح بیشتری دارد.

چرا اینطور است؟

یک عبارت تحت اللفظی یا یک عبارت با متغیرها مترادف هستند. توضیح اولین عبارت آسان است: بالاخره شامل حروف است! مورد دوم نیز رمز و راز قرن نیست: به جای حروف، می توانید اعداد مختلفی را جایگزین کنید، در نتیجه معنای عبارت تغییر می کند. حدس زدن اینکه حروف در این مورد متغیر هستند کار دشواری نیست. بر اساس قیاس، اعداد ثابت هستند.

و در اینجا به موضوع اصلی باز می گردیم: عبارتی که معنی ندارد چیست؟

نمونه هایی از عبارات جبری که معنی ندارند

شرط بی معنی بودن یک عبارت جبری مانند یک عبارت عددی است، تنها با یک استثنا، یا به عبارت دقیق تر، یک اضافه. هنگام تبدیل و محاسبه نتیجه نهایی، شما باید متغیرها را در نظر بگیرید، بنابراین این سوال مطرح نمی شود که "کدام عبارت معنی ندارد؟"، بلکه "در چه مقدار متغیر این عبارت معنا نخواهد داشت؟" و "آیا مقداری از متغیر وجود دارد که در آن عبارت معنای خود را از دست بدهد؟"

به عنوان مثال، (18-3):(a+11-9).

وقتی a برابر با 2- باشد، عبارت فوق معنی ندارد.

اما در مورد (a+3):(12-4-8) به جرات می توان گفت که این عبارتی است که برای هیچ الف معنی ندارد.

به همین ترتیب، هر چیزی که b را جایگزین عبارت (b - 11): (12+1) کنید، باز هم معنا خواهد داشت.

مشکلات معمولی با موضوع "بیانی که معنی ندارد"

کلاس هفتم این موضوع را در ریاضیات، در میان دیگران، مطالعه می کند، و تکالیف مربوط به آن اغلب هم مستقیماً بعد از درس مربوطه و هم به عنوان یک "سوال ترفند" در ماژول ها و امتحانات یافت می شود.

به همین دلیل است که ارزش دارد مشکلات و روش های معمولی برای حل آنها در نظر گرفته شود.

مثال 1.

آیا این عبارت معنی دارد:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

لازم است تمام محاسبات را در پرانتز انجام دهید و عبارت را به شکل زیر بیاورید:

نتیجه نهایی شامل تقسیم بر صفر است، بنابراین عبارت بی معنی است.

مثال 2.

چه عباراتی معنا ندارد؟

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

شما باید مقدار نهایی را برای هر عبارت محاسبه کنید.

پاسخ: 1; 2.

مثال 3.

محدوده مقادیر قابل قبول برای عبارات زیر را بیابید:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

محدوده مقادیر مجاز (APV) تمام اعدادی است که وقتی به جای متغیرها جایگزین شوند، عبارت معنی پیدا می کند.

یعنی کار به این شکل به نظر می رسد: مقادیری را پیدا کنید که در آنها تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞)، یا b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞)، یا b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

مثال 4.

در چه مقادیری عبارت زیر معنی نخواهد داشت؟

براکت دوم زمانی که بازی برابر با -3 باشد برابر با صفر است.

پاسخ: y=-3

مثال 4.

کدام یک از عبارات فقط در x = -14 معنی ندارد؟

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 و 3، زیرا در حالت اول، اگر x = -14 را جایگزین کنید، براکت دوم برابر با 28- خواهد بود و نه صفر، همانطور که در تعریف یک عبارت بی معنی به نظر می رسد.

مثال 5.

بیایید و عبارتی را بنویسید که معنی ندارد.

18/(2-46+17-33+45+15).

عبارات جبری با دو متغیر

علیرغم این واقعیت که تمام عباراتی که معنی ندارند، ماهیت یکسانی دارند، پیچیدگی آنها سطوح متفاوتی دارد. بنابراین، می توان گفت که نمونه های عددی مثال های ساده ای هستند، زیرا ساده تر از جبری هستند. تعداد متغیرها در دومی بر دشواری حل می افزاید. اما آنها نباید از نظر ظاهری گیج کننده باشند: نکته اصلی این است که اصل کلی راه حل را به خاطر بسپارید و آن را اعمال کنید، صرف نظر از اینکه آیا مثال مشابه یک مشکل استاندارد است یا دارای اضافات ناشناخته است.

به عنوان مثال، ممکن است این سوال پیش بیاید که چگونه می توان چنین کاری را حل کرد.

جفت اعدادی که برای عبارت نامعتبر هستند را پیدا کرده و بنویسید:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

پاسخ های ممکن:

اما در واقع، فقط ترسناک و دست و پا گیر به نظر می رسد، زیرا در واقع حاوی چیزهایی است که برای مدت طولانی شناخته شده است: مربع و اعداد مکعبی، برخی عملیات های حسابی مانند تقسیم، ضرب، تفریق و جمع. برای راحتی، به هر حال، می توانید مشکل را به شکل کسری کاهش دهید.

شمارنده کسر حاصل خوشحال نیست: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). این یک واقعیت است. اما دلیل دیگری برای شادی وجود دارد: برای حل کار حتی نیازی به لمس آن ندارید! با توجه به تعریفی که قبلاً صحبت شد، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید و اینکه دقیقاً چه چیزی بر آن تقسیم می شود، کاملاً بی اهمیت است. بنابراین، این عبارت را بدون تغییر می گذاریم و جفت اعداد را از این گزینه ها در مخرج جایگزین می کنیم. در حال حاضر نقطه سوم کاملاً مطابقت دارد و یک براکت کوچک را به صفر تبدیل می کند. اما توقف در آنجا توصیه بدی است، زیرا ممکن است چیز دیگری مناسب باشد. در واقع: نکته پنجم نیز به خوبی و با شرایط مطابقت دارد.

جواب را می نویسیم: 3 و 5.

در نتیجه

همانطور که می بینید، این موضوع بسیار جالب است و چندان پیچیده نیست. فهمیدن آن کار دشواری نخواهد بود. اما تمرین چند مثال هرگز ضرری ندارد!

هنگام مطالعه مبحث اعداد، حروف و عبارات با متغیرها، باید به مفهوم توجه کنید. ارزش بیانی. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که مقدار یک عبارت عددی چقدر است و مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیر برای مقادیر متغیر انتخاب شده چیست. برای روشن شدن این تعاریف مثال هایی می آوریم.

پیمایش صفحه.

ارزش یک عبارت عددی چیست؟

آشنایی با عبارات عددی تقریباً از اولین درس های ریاضی در مدرسه شروع می شود. تقریباً بلافاصله مفهوم "مقدار یک عبارت عددی" معرفی می شود. این به عباراتی اشاره دارد که از اعدادی که با علائم عملیات حسابی (+، -، ·، :) به هم متصل شده اند، اشاره دارد. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

مقدار بیان عددی– این عددی است که پس از انجام تمام اعمال در عبارت عددی اصلی به دست می آید.

برای مثال عبارت عددی 1+2 را در نظر بگیرید. با انجام این کار، عدد 3 را دریافت می کنیم که مقدار عبارت عددی 1+2 است.

غالباً در عبارت "معنای یک عبارت عددی" کلمه "عددی" حذف می شود و فقط "معنای عبارت" را می گویند ، زیرا هنوز مشخص است که معنای عبارت چیست.

تعریف فوق از معنای یک عبارت در مورد عبارات عددی از نوع پیچیده تر که در دبیرستان مطالعه می شوند نیز صدق می کند. در اینجا لازم به ذکر است که ممکن است با عبارات عددی مواجه شوید که مقادیر آنها قابل تعیین نباشد. این به این دلیل است که در برخی از عبارات امکان انجام اعمال ضبط شده وجود ندارد. به عنوان مثال، به همین دلیل است که نمی توانیم مقدار عبارت 3:(2-2) را مشخص کنیم. چنین عبارات عددی نامیده می شوند عباراتی که معنی ندارد.

غالباً در عمل، آنقدر که عبارت عددی مورد توجه است، معنای آن نیست. یعنی وظیفه تعیین معنای یک عبارت معین به وجود می آید. در این مورد معمولاً می گویند که باید ارزش عبارت را پیدا کنید. این مقاله به تفصیل فرآیند یافتن ارزش عبارات عددی انواع مختلف را بررسی می‌کند و مثال‌های زیادی را با توضیحات دقیق راه‌حل‌ها در نظر می‌گیرد.

معنی عبارات تحت اللفظی و متغیر

علاوه بر عبارات عددی، عبارات تحت اللفظی، یعنی عباراتی که در آنها یک یا چند حرف همراه با اعداد وجود دارد، مورد مطالعه قرار می گیرند. حروف در یک عبارت تحت اللفظی می توانند اعداد مختلفی را نشان دهند و اگر حروف با این اعداد جایگزین شوند، عبارت تحت اللفظی به یک عبارت عددی تبدیل می شود.

تعریف.

اعدادی که در یک عبارت تحت اللفظی جایگزین حروف می شوند نامیده می شوند معانی این حروف، و مقدار عبارت عددی حاصل را فراخوانی می کنند مقدار یک عبارت تحت اللفظی برای مقادیر حروف داده شده.

بنابراین، برای عبارات تحت اللفظی، نه تنها در مورد معنای عبارت تحت اللفظی، بلکه در مورد معنای عبارت تحت اللفظی با توجه به مقادیر داده شده (داده شده، مشخص شده، و غیره) حروف صحبت می شود.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید عبارت تحت اللفظی 2·a+b را در نظر بگیریم. اجازه دهید مقادیر حروف a و b داده شود، به عنوان مثال، a=1 و b=6. با جایگزینی حروف در عبارت اصلی با مقادیر آنها، یک عبارت عددی به شکل 2·1+6 دریافت می کنیم، مقدار آن 8 است. بنابراین، عدد 8 مقدار عبارت تحت اللفظی 2·a+b برای مقادیر داده شده حروف a=1 و b=6 است. اگر مقادیر حروف دیگری داده می شد، آنگاه مقدار عبارت حرف را برای آن مقادیر حروف دریافت می کردیم. برای مثال با a=5 و b=1 مقدار 2·5+1=11 را داریم.

در جبر دبیرستان، حروف در عبارات حروف مجاز هستند معانی مختلفی به خود بگیرند، چنین حروفی را متغیر و عبارات حروف را عبارت با متغیر می نامند. برای این عبارات، مفهوم مقدار یک عبارت با متغیرها برای مقادیر انتخاب شده از متغیرها معرفی شده است. بیایید بفهمیم که چیست.

تعریف.

مقدار یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر متغیر انتخاب شدهمقدار یک عبارت عددی است که پس از جایگزینی مقادیر متغیر انتخاب شده در عبارت اصلی به دست می آید.

اجازه دهید تعریف بیان شده را با یک مثال توضیح دهیم. عبارتی را با متغیرهای x و y به شکل 3·x·y+y در نظر بگیرید. بیایید x=2 و y=4 را در نظر بگیریم، این مقادیر متغیر را با عبارت اصلی جایگزین کنیم و عبارت عددی 3·2·4+4 را بدست آوریم. بیایید مقدار این عبارت را محاسبه کنیم: 3·2·4+4=24+4=28. مقدار یافت شده 28 مقدار عبارت اصلی با متغیرهای 3·x·y+y برای مقادیر انتخابی متغیرهای x=2 و y=4 است.

اگر مقادیر متغیر دیگری را انتخاب کنید، به عنوان مثال، x=5 و y=0، آنگاه این مقادیر متغیر انتخاب شده با مقدار عبارت متغیر برابر با 3·5·0+0=0 مطابقت دارد.

ممکن است توجه داشته باشید که گاهی اوقات مقادیر مختلف انتخاب شده از متغیرها ممکن است به مقادیر بیان مساوی منجر شود. به عنوان مثال، برای x=9 و y=1 مقدار عبارت 3 x y+y 28 است (از 3 9 1+1=27+1=28)، و در بالا نشان دادیم که همان مقدار عبارت با متغیرها است. دارای x=2 و y=4 است.

مقادیر متغیر را می توان از متناظر آنها انتخاب کرد محدوده مقادیر قابل قبول. در غیر این صورت، هنگام جایگزینی مقادیر این متغیرها در عبارت اصلی، یک عبارت عددی دریافت خواهید کرد که معنی ندارد. به عنوان مثال، اگر x=0 را انتخاب کنید و این مقدار را با عبارت 1/x جایگزین کنید، عبارت عددی 1/0 را دریافت خواهید کرد که منطقی نیست، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

فقط اضافه می شود که عباراتی با متغیرهایی وجود دارد که مقادیر آنها به مقادیر متغیرهای موجود در آنها بستگی ندارد. به عنوان مثال، مقدار یک عبارت با یک متغیر x به شکل 2+x−x به مقدار این متغیر بستگی ندارد و برای هر مقدار انتخاب شده از متغیر x از محدوده مقادیر مجاز آن، برابر است با 2 ، که در این حالت مجموعه تمام اعداد حقیقی است.

مراجع

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هفتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.

بیان عددی- این هر رکوردی از اعداد، نمادهای حسابی و پرانتز است. یک عبارت عددی می تواند به سادگی از یک عدد تشکیل شده باشد. به یاد بیاورید که عملیات حسابی پایه عبارتند از «جمع»، «تفریق»، «ضرب» و «تقسیم». این اقدامات با علائم "+"، "-"، "∙"، ":" مطابقت دارد.

البته برای اینکه بتوانیم یک عبارت عددی به دست آوریم، ثبت اعداد و نمادهای حسابی باید معنی دار باشد. بنابراین، برای مثال، چنین ورودی 5: + ∙ را نمی توان یک عبارت عددی نامید، زیرا مجموعه ای تصادفی از نمادها است که معنایی ندارد. برعکس، 5 + 8 ∙ 9 در حال حاضر یک عبارت عددی واقعی است.

مقدار یک عبارت عددی

بیایید بلافاصله بگوییم که اگر اقدامات نشان داده شده در عبارت عددی را انجام دهیم، در نتیجه یک عدد به دست می آوریم. این شماره نامیده می شود مقدار یک عبارت عددی.

بیایید سعی کنیم محاسبه کنیم که در نتیجه انجام اقدامات مثال خود چه چیزی به دست می آوریم. با توجه به ترتیب انجام عملیات حسابی ابتدا عملیات ضرب را انجام می دهیم. 8 را در 9 ضرب می کنیم 72 می گیریم حالا 72 و 5 را جمع کنید 77 می گیریم.
بنابراین، 77 - معنیعبارت عددی 5 + 8 ∙ 9.

برابری عددی

می توانید آن را به این صورت بنویسید: 5 + 8 ∙ 9 = 77. در اینجا برای اولین بار از علامت "=" ("برابر") استفاده کردیم. چنین نمادی که در آن دو عبارت عددی با علامت "=" از هم جدا می شوند نامیده می شود برابری عددی. علاوه بر این، اگر مقادیر سمت چپ و راست برابری منطبق باشند، برابری نامیده می شود. وفادار. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - برابری صحیح.
اگر بنویسیم 5 + 8 ∙ 9 = 100، آنگاه این از قبل خواهد بود برابری کاذب، از آنجایی که مقادیر سمت چپ و راست این برابری دیگر منطبق نیستند.

لازم به ذکر است که در بیان عددی می توانیم از پرانتز نیز استفاده کنیم. پرانتز بر ترتیب انجام اقدامات تأثیر می گذارد. بنابراین، برای مثال، بیایید مثال خود را با اضافه کردن پرانتز اصلاح کنیم: (5 + 8) ∙ 9. حالا ابتدا باید 5 و 8 را جمع کنید. 13 می گیریم. و سپس 13 را در 9 ضرب می کنیم. به 117 می رسیم. بنابراین، (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – معنیعبارت عددی (5 + 8) ∙ 9.

برای خواندن صحیح یک عبارت، باید تعیین کنید که آخرین عمل برای محاسبه مقدار یک عبارت عددی داده شده کدام عمل انجام می شود. بنابراین، اگر آخرین عمل تفریق باشد، عبارت "تفاوت" نامیده می شود. بر این اساس، اگر آخرین عمل جمع باشد - "جمع"، تقسیم - "ضریب"، ضرب - "محصول"، توان - "قدرت".

به عنوان مثال، عبارت عددی (1+5) (10-3) به این صورت است: "ضرب حاصل جمع اعداد 1 و 5 و تفاضل اعداد 10 و 3."

نمونه هایی از عبارات عددی

در اینجا مثالی از یک عبارت عددی پیچیده تر آورده شده است:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

در پرانتز عبارت $\frac(1)(4)+3.75$ را داریم. کسر اعشاری 3.75 را به کسری معمولی تبدیل کنید.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

بنابراین، $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

بعد، در صورت شمار کسر \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]ما عبارت 1.25+3.47+4.75-1.47 را داریم. برای ساده کردن این عبارت، قانون جابجایی جمع را اعمال می کنیم که می گوید: "مجموع با تغییر مکان عبارات تغییر نمی کند." یعنی 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

در مخرج کسری عبارت $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

می گیریم $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 دلار

چه زمانی عبارات عددی معنی ندارند؟

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. در مخرج کسر $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$مقدار عبارت $3\centerdot 3-9$ 0 است. و همانطور که می دانیم، تقسیم بر صفر غیرممکن است. بنابراین، کسری $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ معنایی ندارد. به عبارات عددی که معنی ندارند گفته می شود که "بدون معنی" هستند.

اگر در بیان عددی علاوه بر اعداد از حروف نیز استفاده کنیم، خواهیم داشت