درک عبارات کسری برای کودک دشوار است. اکثر مردم با آن مشکل دارند. هنگام مطالعه مبحث "جمع کسری با اعداد کامل"، کودک دچار بی‌حسی می‌شود و حل مسئله برای او دشوار است. در بسیاری از مثال ها قبل از انجام یک عمل باید یک سری محاسبات انجام شود. برای مثال، کسرها را تبدیل کنید یا کسر نامناسب را به کسر مناسب تبدیل کنید.

بیایید آن را به وضوح برای کودک توضیح دهیم. سه سیب که دو تای آنها کامل می شود را برداریم و سومی را به 4 قسمت تقسیم کنیم. یک برش از سیب بریده شده جدا کنید و سه عدد باقیمانده را در کنار دو میوه کامل قرار دهید. از یک طرف ¼ سیب و از طرف دیگر 2 ¾ سیب می گیریم. اگر آنها را با هم ترکیب کنیم، سه سیب به دست می آید. بیایید سعی کنیم 2 ¾ سیب را ¼ کاهش دهیم، یعنی یک برش دیگر برداریم، 2 2/4 سیب به دست می آوریم.

بیایید نگاهی دقیق تر به عملیات با کسری که شامل اعداد صحیح است بیندازیم:

اول، بیایید قانون محاسبه عبارات کسری با مخرج مشترک را به خاطر بسپاریم:

در نگاه اول، همه چیز آسان و ساده است. اما این فقط در مورد عباراتی است که نیازی به تبدیل ندارند.

چگونه می توان مقدار یک عبارت را که مخرج آن متفاوت است، پیدا کرد

در برخی از کارها باید معنای عبارتی را پیدا کنید که مخرج آن متفاوت است. بیایید به یک مورد خاص نگاه کنیم:
3 2/7+6 1/3

بیایید مقدار این عبارت را پیدا کنیم، برای آن برای دو کسر پیدا می کنیم مخرج مشترک.

برای اعداد 7 و 3 این 21 است. قسمت های صحیح را به همان ترتیب رها می کنیم و قسمت های کسری را به 21 می رسانیم، برای این کسر اول را در 3 ضرب می کنیم، دومی را در 7 ضرب می کنیم، به دست می آید:
6/21+7/21، فراموش نکنید که قطعات کامل قابل تبدیل نیستند. در نتیجه دو کسری با مخرج یکسان بدست می آوریم و مجموع آنها را محاسبه می کنیم:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
اگر نتیجه جمع یک کسری نامناسب باشد که قبلاً یک قسمت صحیح دارد چه می شود:
2 1/3+3 2/3
IN در این موردکل اجزا و قطعات کسری را با هم جمع می کنیم، به دست می آید:
5 3/3 همانطور که می دانید 3/3 یک است، یعنی 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

یافتن مجموع کاملاً واضح است، بیایید به تفریق نگاه کنیم:

از تمام آنچه گفته شد، قانون عملیات با اعداد مختلط به شرح زیر است:

• اگر نیاز به تفریق یک عدد صحیح از یک عبارت کسری دارید، نیازی نیست که عدد دوم را به صورت کسری نشان دهید، کافی است این عمل را فقط روی قسمت های عدد صحیح انجام دهید.

بیایید خودمان معنای عبارات را محاسبه کنیم:

بیایید نگاهی دقیق تر به مثال زیر حرف "m" بیندازیم:

4 5/11-2 8/11، صورت کسر اول کوچکتر از دوم است. برای انجام این کار، یک عدد صحیح از کسر اول قرض می گیریم،
3 5/11+11/11=3 کل 16/11، دومی را از کسر اول کم کنید:
3 16/11-2 8/11=1 کل 8/11

• هنگام تکمیل کار مراقب باشید، فراموش نکنید که کسرهای نامناسب را به کسرهای مخلوط تبدیل کنید و کل قسمت را برجسته کنید. برای انجام این کار، باید مقدار صورت را بر مقدار مخرج تقسیم کنید، سپس آنچه اتفاق می‌افتد جای کل قسمت را می‌گیرد، باقیمانده صورت‌گر خواهد بود، به عنوان مثال:

19/4=4 ¾، بیایید بررسی کنیم: 4*4+3=19، مخرج 4 بدون تغییر باقی می ماند.

بیایید خلاصه کنیم:

قبل از شروع کار مربوط به کسرها، لازم است تجزیه و تحلیل کنیم که چه نوع بیانی است، چه تبدیلی باید روی کسری انجام شود تا راه حل صحیح باشد. به دنبال راه حل منطقی تر باشید. راه سخت را نرو همه اقدامات را برنامه ریزی کنید، ابتدا تصمیم بگیرید پیش نویس، سپس آن را به دفترچه یادداشت مدرسه خود منتقل کنید.

برای جلوگیری از سردرگمی هنگام حل عبارات کسری، باید از قانون سازگاری پیروی کنید. همه چیز را با دقت و بدون عجله تصمیم بگیرید.

این درس جمع و تفریق را پوشش می دهد. کسرهای جبریبا مخرج های مختلف. ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک با مخرج های مختلف را جمع و تفریق کنیم. برای انجام این کار، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. در عین حال، ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای جبری را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف یکی از مهمترین و دشوارترین مباحث درس پایه هشتم است. علاوه بر این، این مبحث در بسیاری از مباحث درس جبر که در آینده مطالعه خواهید کرد، ظاهر خواهد شد. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را مطالعه می کنیم و همچنین یک سری کامل را تجزیه و تحلیل می کنیم. نمونه های معمولی.

بیایید ساده ترین مثال را در نظر بگیریم کسرهای معمولی.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قانون جمع کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. مخرج مشترک کسرهای معمولی است کمترین مضرب مشترک(LCM) مخرج اصلی.

تعریف

حداقل عدد طبیعی، که به طور همزمان بر اعداد و .

برای یافتن LCM لازم است مخرج ها را به تفکیک کنید عوامل اصلی، و سپس همه عوامل اولی را که در بسط هر دو مخرج گنجانده شده اند انتخاب کنید.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن مخرج مشترک، باید برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید (در واقع، مخرج مشترک را بر مخرج کسر مربوطه تقسیم کنید).

سپس هر کسر در ضریب اضافی حاصل ضرب می شود. با کسری می گیریم مخرج های مشابه، جمع و تفریق که در درس های قبل یاد گرفتیم.

دریافت می کنیم: .

پاسخ:.

اجازه دهید اکنون جمع کسرهای جبری با مخرج های مختلف را در نظر بگیریم. ابتدا اجازه دهید به کسری که مخرج آنها اعداد است نگاه کنیم.

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگوریتم حل کاملاً مشابه مثال قبلی است. یافتن مخرج مشترک این کسرها آسان است: و عوامل اضافی برای هر یک از آنها.

.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید فرمول بندی کنیم الگوریتم جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف:

1-کمترین مخرج مشترک کسرها را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها عوامل اضافی را بیابید (با تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسر داده شده).

3. شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی مربوطه ضرب کنید.

4. جمع یا تفریق کسرها با استفاده از قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه.

اکنون مثالی را با کسری در نظر می گیریم که مخرج آن شامل است عبارات تحت اللفظی.

مثال 3.جمع کسرها: .

راه حل:

از آنجایی که عبارات حروف در هر دو مخرج یکسان است، باید مخرج مشترکی برای اعداد پیدا کنید. مخرج مشترک نهایی به این صورت خواهد بود: . پس راه حل این مثالدارای فرم:.

پاسخ:.

مثال 4.تفریق کسرها: .

راه حل:

اگر هنگام انتخاب مخرج مشترک نمی توانید "تقلب" کنید (نمی توانید آن را فاکتور بگیرید یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید)، باید حاصل ضرب مخرج هر دو کسر را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیرید.

پاسخ:.

به طور کلی، هنگام تصمیم گیری نمونه های مشابه، سخت ترین کار پیدا کردن یک مخرج مشترک است.

بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 5.ساده کردن: .

راه حل:

هنگام یافتن مخرج مشترک، ابتدا باید سعی کنید مخرج کسرهای اصلی را در نظر بگیرید (برای ساده کردن مخرج مشترک).

در این مورد خاص:

سپس تعیین مخرج مشترک آسان است: .

ما عوامل اضافی را تعیین می کنیم و این مثال را حل می کنیم:

پاسخ:.

حال بیایید قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف را تعیین کنیم.

مثال 6.ساده کردن: .

راه حل:

پاسخ:.

مثال 7.ساده کردن: .

راه حل:

.

پاسخ:.

اکنون مثالی را در نظر می گیریم که در آن نه دو، بلکه سه کسری اضافه می شود (از همه اینها، قوانین جمع و تفریق برای بیشترکسرها ثابت می مانند).

مثال 8.ساده کردن: .

اعداد کسری معمولی ابتدا با دانش آموزان کلاس پنجم ملاقات می کنند و در طول زندگی آنها را همراهی می کنند، زیرا در زندگی روزمره اغلب لازم است یک شی را نه به عنوان یک کل، بلکه در قطعات جداگانه در نظر بگیریم یا از آن استفاده کنیم. مطالعه این موضوع را شروع کنید - به اشتراک بگذارید. سهام قسمت های مساوی هستند، که این یا آن شی به آن تقسیم می شود. به هر حال، همیشه نمی توان برای مثال، طول یا قیمت یک محصول را به عنوان یک عدد کامل بیان کرد. خود کلمه "کسری" که از فعل "تقسیم کردن" - تقسیم به قطعات و ریشه عربی تشکیل شده است در قرن هشتم در زبان روسی بوجود آمد.

عبارات کسری از دیرباز سخت ترین شاخه ریاضیات در نظر گرفته شده است. در قرن هفدهم، زمانی که اولین کتاب های درسی ریاضیات ظاهر شد، آنها را «اعداد شکسته» می نامیدند که درک آن برای مردم بسیار دشوار بود.

ظاهر مدرنباقیمانده های کسری ساده، که قسمت های آن با یک خط افقی از هم جدا شده اند، برای اولین بار توسط فیبوناچی - لئوناردو پیزا ترویج شد. تاریخ آثار او به 1202 می رسد. اما هدف این مقاله این است که به سادگی و به وضوح برای خواننده توضیح دهد که چگونه کسرهای مختلط با مخرج های مختلف ضرب می شوند.

ضرب کسری با مخرج های مختلف

در ابتدا ارزش تعیین کردن را دارد انواع کسری:

• صحیح؛
• نادرست؛
• مختلط

در مرحله بعد، باید به یاد داشته باشید که چگونه اعداد کسری با مخرج یکسان ضرب می شوند. قاعده این فرآیند به طور مستقل دشوار نیست: نتیجه ضرب کسرهای ساده با مخرج های یکسان یک عبارت کسری است که صورت آن حاصل ضرب اعداد است و مخرج حاصل ضرب مخرج این کسرها است. . یعنی در واقع مخرج جدید مربع یکی از مخرج های اولیه است.

هنگام ضرب کسرهای ساده با مخرج های مختلفبرای دو یا چند عامل این قانون تغییر نمی کند:

الف/ب * ج/د = a*c / ب*د.

تنها تفاوت این است که عدد حاصل در زیر خط کسری حاصل ضرب اعداد مختلف و طبیعتاً مربع یک خواهد بود. بیان عددیناممکن نیست

شایان ذکر است که ضرب کسری با مخرج های مختلف را با استفاده از مثال ها در نظر بگیرید:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

مثال‌ها از روش‌هایی برای کاهش عبارات کسری استفاده می‌کنند. شما فقط می توانید اعداد کسر را با اعداد مخرج کاهش دهید.

در کنار ساده اعداد کسری، مفهوم کسرهای مختلط وجود دارد. یک عدد مختلط از یک عدد صحیح و یک جزء کسری تشکیل شده است، یعنی مجموع این اعداد است:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

ضرب چگونه کار می کند؟

چندین مثال برای بررسی ارائه شده است.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

مثال از ضرب یک عدد در استفاده می کند بخش کسری معمولی، قانون این عمل را می توان به صورت زیر نوشت:

الف* ب/ج = a*b /ج

در واقع چنین حاصل ضربی مجموع باقی مانده های کسری یکسان است و تعداد عبارت ها نشان دهنده این عدد طبیعی است. مورد خاص:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

راه حل دیگری برای ضرب یک عدد در باقیمانده کسری وجود دارد. فقط باید مخرج را بر این عدد تقسیم کنید:

د* e/f = e/f: د.

این تکنیک برای استفاده زمانی مفید است که مخرج بر یک عدد طبیعی بدون باقیمانده یا به قول آنها بر یک عدد کامل تقسیم شود.

اعداد مختلط را به کسرهای نامناسب تبدیل کنید و حاصل ضرب را به روشی که قبلا توضیح داده شد به دست آورید:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

این مثال شامل روش ارائه است کسر مختلطبه اشتباه، می توان آن را به عنوان یک فرمول کلی نیز نشان داد:

الف بج = a*b+ج / ج، که در آن مخرج کسر جدید با ضرب کل جزء با مخرج و جمع آن با صورت باقی مانده کسری اصلی تشکیل می شود و مخرج ثابت می ماند.

این فرآیند نیز در آن کار می کند سمت معکوس. برای جدا کردن کل قسمت و باقیمانده کسری، باید صورت کسر نامناسب را با استفاده از یک "گوشه" بر مخرج آن تقسیم کنید.

ضرب کسرهای نامناسب به روشی پذیرفته شده تولید می شود. هنگام نوشتن زیر یک خط کسری، باید کسرها را در صورت لزوم کاهش دهید تا با استفاده از این روش، اعداد را کاهش دهید و محاسبه نتیجه را آسان‌تر کنید.

راهنماهای زیادی در اینترنت برای حل مسائل پیچیده ریاضی وجود دارد تغییرات مختلفبرنامه ها مقدار کافیچنین خدماتی کمک خود را در شمارش ضرب کسری با اعداد مختلفدر مخرج - به اصطلاح ماشین حساب آنلاین برای محاسبه کسر. آنها نه تنها می توانند ضرب کنند، بلکه می توانند سایر عملیات های ساده حسابی را با کسرهای معمولی و اعداد مختلط انجام دهند. کار کردن با آن آسان است عملیات ریاضیو روی "محاسبه" کلیک کنید. برنامه به صورت خودکار محاسبه می کند.

مبحث عملیات حسابی با کسرها در سراسر تحصیل دانش آموزان راهنمایی و دبیرستان مرتبط است. در دبیرستان دیگر ساده ترین گونه ها را در نظر نمی گیرند، اما عبارات کسری عدد صحیح، اما دانش قوانین تبدیل و محاسبات که قبلاً به دست آمده است به شکل اصلی خود اعمال می شود. تسلط کامل بر دانش پایه به شما اطمینان کامل می دهد تصمیم موفقبیشتر وظایف پیچیده.

در پایان، منطقی است که سخنان لو نیکولایویچ تولستوی را نقل کنیم که نوشت: "انسان یک کسری است. در اختیار آدمی نیست که صورتش را - شایستگی هایش - را زیاد کند، اما هرکسی می تواند مخرج خود را - نظرش را درباره خودش کم کند و با این کاهش به کمالش نزدیک شود.

این درس جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه را پوشش می دهد. ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک را با مخرج مشابه جمع و تفریق کنیم. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. یادگیری کار با کسری با مخرج مشابه یکی از پایه های یادگیری نحوه کار با کسرهای جبری است. به ویژه، درک این موضوع، تسلط بیشتر را آسان می کند موضوع دشوار- جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه را مطالعه خواهیم کرد و همچنین تعدادی مثال معمولی را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

قانون جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج مشابه

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih کسری از یک-به-تو -می دان-م-نا-ته-لا-می (منطبق است با قاعده مشابه برای ضربات معمولی): که برای جمع یا محاسبه کسرهای الگب را-ی-چه-سکیه با یک به شما است. know-me-on-te-la-mi لازم است -ho-di-mo-compile a-geb-ra-i-che-compile مربوط به مجموع اعداد، و علامت-me-na-tel را بدون هیچ گونه ترک کنید.

ما این قانون را هم برای مثال ven-draws معمولی و هم برای مثال al-geb-ra-i-che-draw درک می کنیم.

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای معمولی

مثال 1. جمع کسرها: .

راه حل

بیایید تعداد کسرها را جمع کنیم و علامت را ثابت بگذاریم. پس از این، عدد را تجزیه کرده و به چند و ترکیب ساده وارد می کنیم. بیایید آن را دریافت کنیم: .

توجه: یک خطای استاندارد که هنگام حل انواع نمونه های مشابه، برای -klu-cha-et-sya در راه حل ممکن زیر مجاز است: . این یک اشتباه فاحش است، زیرا علامت همان چیزی است که در کسرهای اصلی بود.

مثال 2. جمع کسرها: .

راه حل

این یکی هیچ تفاوتی با قبلی ندارد: .

نمونه هایی از اعمال قانون برای کسرهای جبری

از درو-بیت های معمولی به الگب رای-چه-اسکیم می رویم.

مثال 3. کسرها را جمع کنید: .

راه حل: همانطور که در بالا ذکر شد، ترکیب کسری های الگب-را-ی-چه به هیچ وجه با کلمه مشابه جنگ های معمولی تفاوت ندارد. بنابراین روش حل یکسان است: .

مثال 4. شما کسر هستید: .

راه حل

شما-چی-تا-نی از الگب-را-ای-چه-سکیح کسری از جمع تنها با این واقعیت است که در عدد پی سی و ات سیا در تعداد کسرهای استفاده شده تفاوت دارد. به همین دلیل است.

مثال 5. شما کسری هستید: .

راه حل: .

مثال 6. ساده کنید: .

راه حل: .

نمونه هایی از اعمال قانون به دنبال کاهش

در کسری که در نتیجه مرکب یا محاسبه به یک معنا باشد، ترکیبات ممکن است نیا. علاوه بر این، نباید ODZ کسرهای al-geb-ra-i-che-skih را فراموش کنید.

مثال 7. Simplify: .

راه حل: .

در عین حال. به طور کلی، اگر ODZ کسرهای اولیه با ODZ کل منطبق باشد، می توان آن را حذف کرد (به هر حال، کسر در پاسخ است، همچنین با تغییرات قابل توجه مربوطه وجود نخواهد داشت). اما اگر ODZ کسرهای استفاده شده و پاسخ مطابقت نداشته باشد، ODZ باید نشان داده شود.

مثال 8. ساده کنید: .

راه حل: . در همان زمان، y (ODZ کسرهای اولیه با ODZ نتیجه منطبق نیست).

جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف

برای جمع کردن و خواندن کسری های الگب رای چه با شناخت های مختلف، آنا-لو-گیو را با کسرهای معمولی-ون-نی انجام می دهیم و آن را به الگب منتقل می کنیم. -ra-i-che-fractions.

بیایید ساده ترین مثال را برای کسرهای معمولی بررسی کنیم.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قوانین جمع کردن کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع با کسری، لازم است آن را به یک علامت مشترک برسانیم. در نقش یک علامت کلی برای کسرهای معمولی، شما عمل می کنید کمترین مضرب مشترک(NOK) علائم اولیه.

تعریف

کوچکترین عدد که در همان زمان به اعداد و.

برای پیدا کردن NOC، باید دانش را به مجموعه‌های ساده تقسیم کنید، و سپس هر چیزی را که تعداد زیادی وجود دارد را انتخاب کنید، که در تقسیم‌بندی هر دو علامت گنجانده شده است.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن دانش کلی، لازم است که هر یک از کسرها یک ساکن کثرت کامل را بیابند (در واقع علامت مشترک را روی علامت کسر متناظر بریزند).

سپس هر کسر در یک ضریب نیمه پر ضرب می شود. بیایید از همان کسرهایی که می‌شناسید، آنها را جمع کنید و آنها را بخوانید.

بیا بخوریم: .

پاسخ:.

اکنون به ترکیب کسری های الگب رای چه با علائم مختلف نگاه می کنیم. حالا بیایید به کسرها نگاه کنیم و ببینیم آیا عددی وجود دارد یا خیر.

جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگو ریتم تصمیم ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen به مثال قبلی. گرفتن علامت مشترک کسرهای داده شده آسان است: و ضریب های اضافی برای هر یک از آنها.

.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید تشکیل دهیم الگو ریتم جمع و محاسبه کسرهای الگب رای چه اسکیه با علائم مختلف:

1. کوچکترین علامت مشترک کسر را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها ضرایب اضافی بیابید (در واقع، علامت مشترک علامت کسری -ام داده شده است).

3. تا تعداد زیادی اعداد در ضرایب تا به کامل مربوطه.

4. کسرها را با استفاده از اضافات حق جزئی و محاسبه کسرها با همان دانش -me-na-te-la-mi اضافه یا محاسبه کنید.

حالا بیایید به مثالی با کسری نگاه کنیم که در علامت آن حروف you -nia وجود دارد.

این درس جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را پوشش می دهد. ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای مشترک با مخرج های مختلف را جمع و تفریق کنیم. برای انجام این کار، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. معلوم می شود که کسرهای جبری از قوانین یکسانی پیروی می کنند. در عین حال، ما قبلاً می دانیم که چگونه کسرهای جبری را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف یکی از مهمترین و دشوارترین مباحث درس پایه هشتم است. علاوه بر این، این مبحث در بسیاری از مباحث درس جبر که در آینده مطالعه خواهید کرد، ظاهر خواهد شد. به عنوان بخشی از درس، قوانین جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف را مطالعه می کنیم و همچنین تعدادی مثال معمولی را تجزیه و تحلیل می کنیم.

بیایید ساده ترین مثال را برای کسرهای معمولی بررسی کنیم.

مثال 1.جمع کسرها: .

راه حل:

بیایید قانون جمع کسرها را به خاطر بسپاریم. برای شروع، کسرها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد. مخرج مشترک کسرهای معمولی است کمترین مضرب مشترک(LCM) مخرج اصلی.

تعریف

کوچکترین عدد طبیعی که بر هر دو عدد و .

برای یافتن LCM، باید مخرج ها را به فاکتورهای اول فاکتور کنید و سپس تمام عوامل اولی را که در بسط هر دو مخرج گنجانده شده اند، انتخاب کنید.

; . سپس LCM اعداد باید شامل دو دو و دو سه باشد: .

پس از یافتن مخرج مشترک، باید برای هر کسر یک عامل اضافی پیدا کنید (در واقع، مخرج مشترک را بر مخرج کسر مربوطه تقسیم کنید).

سپس هر کسر در ضریب اضافی حاصل ضرب می شود. کسرهایی با مخرج یکسان بدست می آوریم که جمع و تفریق آنها را در درس های قبل یاد گرفتیم.

دریافت می کنیم: .

پاسخ:.

اجازه دهید اکنون جمع کسرهای جبری با مخرج های مختلف را در نظر بگیریم. ابتدا اجازه دهید به کسری که مخرج آنها اعداد است نگاه کنیم.

مثال 2.جمع کسرها: .

راه حل:

الگوریتم حل کاملاً مشابه مثال قبلی است. یافتن مخرج مشترک این کسرها آسان است: و عوامل اضافی برای هر یک از آنها.

.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید فرمول بندی کنیم الگوریتم جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف:

1-کمترین مخرج مشترک کسرها را بیابید.

2. برای هر یک از کسرها عوامل اضافی را بیابید (با تقسیم مخرج مشترک بر مخرج کسر داده شده).

3. شمارنده ها را در فاکتورهای اضافی مربوطه ضرب کنید.

4. جمع یا تفریق کسرها با استفاده از قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج مشابه.

اکنون مثالی را با کسری در نظر می گیریم که مخرج آن شامل عبارات حرفی است.

مثال 3.جمع کسرها: .

راه حل:

از آنجایی که عبارات حروف در هر دو مخرج یکسان است، باید مخرج مشترکی برای اعداد پیدا کنید. مخرج مشترک نهایی به این صورت خواهد بود: . بنابراین، راه حل این مثال به نظر می رسد:.

پاسخ:.

مثال 4.تفریق کسرها: .

راه حل:

اگر هنگام انتخاب مخرج مشترک نمی توانید "تقلب" کنید (نمی توانید آن را فاکتور بگیرید یا از فرمول های ضرب اختصاری استفاده کنید)، باید حاصل ضرب مخرج هر دو کسر را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیرید.

پاسخ:.

به طور کلی، هنگام حل چنین مثال هایی، دشوارترین کار یافتن مخرج مشترک است.

بیایید به یک مثال پیچیده تر نگاه کنیم.

مثال 5.ساده کردن: .

راه حل:

هنگام یافتن مخرج مشترک، ابتدا باید سعی کنید مخرج کسرهای اصلی را در نظر بگیرید (برای ساده کردن مخرج مشترک).

در این مورد خاص:

سپس تعیین مخرج مشترک آسان است: .

ما عوامل اضافی را تعیین می کنیم و این مثال را حل می کنیم:

پاسخ:.

حال بیایید قوانین جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف را تعیین کنیم.

مثال 6.ساده کردن: .

راه حل:

پاسخ:.

مثال 7.ساده کردن: .

راه حل:

.

پاسخ:.

اکنون مثالی را در نظر می گیریم که در آن نه دو، بلکه سه کسری اضافه می شود (به هر حال، قوانین جمع و تفریق برای تعداد بیشتری از کسرها ثابت می مانند).

مثال 8.ساده کردن: .