هنگام مطالعه مبحث اعداد، حروف و عبارات با متغیرها، باید به مفهوم توجه کنید. ارزش بیانی. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که مقدار یک عبارت عددی چقدر است و مقدار یک عبارت تحت اللفظی و یک عبارت با متغیر برای مقادیر متغیر انتخاب شده چیست. برای روشن شدن این تعاریف مثال هایی می آوریم.

پیمایش صفحه.

ارزش یک عبارت عددی چیست؟

آشنایی با عبارات عددی تقریباً از اولین درس های ریاضی در مدرسه شروع می شود. تقریباً بلافاصله مفهوم "مقدار یک عبارت عددی" معرفی می شود. این به عباراتی اشاره دارد که از اعدادی که با علائم عملیات حسابی (+، -، ·، :) به هم متصل شده اند، اشاره دارد. اجازه دهید تعریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

مقدار بیان عددی– این عددی است که پس از انجام تمام اقدامات در نسخه اصلی به دست می آید به صورت عددی.

برای مثال عبارت عددی 1+2 را در نظر بگیرید. با انجام این کار، عدد 3 را دریافت می کنیم که مقدار عبارت عددی 1+2 است.

غالباً در عبارت «معنای عبارت عددی» کلمه «عددی» حذف می شود و به سادگی می گویند «معنای عبارت»، زیرا هنوز مشخص است که معنای عبارت مورد بحث چیست.

تعریف فوق از معنای یک عبارت در مورد عبارات عددی بیش از نوع پیچیدهکه در دبیرستان تحصیل می کنند. در اینجا لازم به ذکر است که ممکن است با عبارات عددی مواجه شوید که مقادیر آنها قابل تعیین نباشد. این به این دلیل است که در برخی از عبارات امکان انجام اعمال ضبط شده وجود ندارد. به عنوان مثال، به همین دلیل است که نمی توانیم مقدار عبارت 3:(2-2) را مشخص کنیم. چنین عبارات عددی نامیده می شوند عباراتی که معنی ندارد.

غالباً در عمل، آنقدر که عبارت عددی مورد توجه است، معنای آن نیست. یعنی وظیفه تعیین معنای یک عبارت معین به وجود می آید. در این مورد معمولاً می گویند که باید ارزش عبارت را پیدا کنید. این مقاله به تفصیل فرآیند یافتن مقدار عبارات عددی را مورد بحث قرار می دهد انواع مختلف، و نمونه های زیادی با توضیحات مفصلتصمیمات

معنی عبارات تحت اللفظی و متغیر

علاوه بر عبارات عددی، عبارات تحت اللفظی، یعنی عباراتی که در آنها یک یا چند حرف همراه با اعداد وجود دارد، مورد مطالعه قرار می گیرند. حروف در یک عبارت تحت اللفظی می توانند اعداد مختلفی را نشان دهند و اگر حروف با این اعداد جایگزین شوند، عبارت تحت اللفظی به یک عبارت عددی تبدیل می شود.

تعریف.

اعدادی که در یک عبارت تحت اللفظی جایگزین حروف می شوند نامیده می شوند معانی این حروف، و مقدار عبارت عددی حاصل را فراخوانی می کنند مقدار یک عبارت تحت اللفظی برای مقادیر حروف داده شده.

بنابراین، برای عبارات تحت اللفظی، ما نه تنها در مورد معنای عبارت تحت اللفظی، بلکه در مورد معنای عبارت تحت اللفظی مقادیر داده شده (داده شده، نشان داده شده، و غیره) حروف صحبت می کنیم.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید عبارت تحت اللفظی 2·a+b را در نظر بگیریم. اجازه دهید مقادیر حروف a و b داده شود، به عنوان مثال، a=1 و b=6. با جایگزینی حروف در عبارت اصلی با مقادیر آنها، یک عبارت عددی به شکل 2·1+6 دریافت می کنیم، مقدار آن 8 است. بنابراین، عدد 8 مقدار عبارت تحت اللفظی 2·a+b برای مقادیر داده شده حروف a=1 و b=6 است. اگر مقادیر حروف دیگری داده می شد، آنگاه مقدار عبارت حرف را برای آن مقادیر حروف دریافت می کردیم. برای مثال با a=5 و b=1 مقدار 2·5+1=11 را داریم.

در دبیرستان، هنگام مطالعه جبر، حروف در عبارات حروف مجاز است معانی مختلف، چنین حروفی را متغیر و عبارات حرفی را عبارت با متغیر می نامند. برای این عبارات، مفهوم مقدار یک عبارت با متغیرها برای مقادیر انتخابی متغیرها معرفی شده است. بیایید بفهمیم که چیست.

تعریف.

مقدار یک عبارت با متغیرهایی برای مقادیر متغیر انتخاب شدهمقدار یک عبارت عددی است که پس از جایگزینی مقادیر متغیر انتخاب شده به عبارت اصلی به دست می آید.

اجازه دهید تعریف بیان شده را با یک مثال توضیح دهیم. عبارتی را با متغیرهای x و y به شکل 3·x·y+y در نظر بگیرید. بیایید x=2 و y=4 را در نظر بگیریم، این مقادیر متغیر را با عبارت اصلی جایگزین کنیم و عبارت عددی 3·2·4+4 را بدست آوریم. بیایید مقدار این عبارت را محاسبه کنیم: 3·2·4+4=24+4=28. مقدار یافت شده 28 مقدار عبارت اصلی با متغیرهای 3·x·y+y برای مقادیر انتخابی متغیرهای x=2 و y=4 است.

اگر مقادیر متغیر دیگری را انتخاب کنید، به عنوان مثال، x=5 و y=0، آنگاه این مقادیر متغیر انتخاب شده با مقدار عبارت متغیر برابر با 3·5·0+0=0 مطابقت دارد.

ممکن است توجه داشته باشید که گاهی اوقات مقادیر مختلف انتخاب شده از متغیرها ممکن است به مقادیر بیان مساوی منجر شود. به عنوان مثال، برای x=9 و y=1 مقدار عبارت 3 x y+y 28 است (از 3 9 1+1=27+1=28)، و در بالا نشان دادیم که همان مقدار عبارت با متغیرها است. دارای x=2 و y=4 است.

مقادیر متغیر را می توان از متناظر آنها انتخاب کرد محدوده مقادیر قابل قبول. در غیر این صورت، هنگام جایگزینی مقادیر این متغیرها در عبارت اصلی، یک عبارت عددی دریافت خواهید کرد که معنی ندارد. به عنوان مثال، اگر x=0 را انتخاب کنید و این مقدار را با عبارت 1/x جایگزین کنید، عبارت عددی 1/0 را دریافت خواهید کرد که منطقی نیست، زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

فقط اضافه می شود که عباراتی با متغیرهایی وجود دارد که مقادیر آنها به مقادیر متغیرهای موجود در آنها بستگی ندارد. به عنوان مثال، مقدار یک عبارت با یک متغیر x به شکل 2+x−x به مقدار این متغیر بستگی ندارد و برای هر مقدار انتخاب شده از متغیر x از محدوده مقادیر مجاز آن، برابر است با 2 ، که در در این موردمجموعه تمام اعداد حقیقی است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هفتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - ویرایش هفدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 240 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019315-3.
• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.

عبارات عددی و جبری. تبدیل عبارات

یک عبارت در ریاضیات چیست؟ چرا به تبدیل بیان نیاز داریم؟

سوال به قول خودشان جالب است... واقعیت این است که این مفاهیم اساس همه ریاضیات هستند. تمام ریاضیات از عبارات و تبدیل آنها تشکیل شده است. خیلی واضح نیست؟ بگذار توضیح بدهم.

فرض کنید یک مثال شیطانی در پیش دارید. بسیار بزرگ و بسیار پیچیده. فرض کنید شما در ریاضیات خوب هستید و از هیچ چیز نمی ترسید! میشه فورا جواب بدی؟

تو مجبوری تصميم گرفتناین مثال به طور مداوم، گام به گام، این مثال ساده کردن. البته طبق قوانین خاصی. آن ها انجام دادن تبدیل بیان. هرچه این تحولات را با موفقیت بیشتری انجام دهید، در ریاضیات قوی تر خواهید بود. اگر ندانید که چگونه تبدیل های درست را انجام دهید، نمی توانید آنها را در ریاضیات انجام دهید. هیچ چی...

برای جلوگیری از چنین آینده ناخوشایندی (یا حال...)، درک این موضوع ضرری ندارد.)

ابتدا بیایید بفهمیم چه عبارتی در ریاضیات است. چه اتفاقی افتاده است بیان عددیو چیست عبارت جبری.

یک عبارت در ریاضیات چیست؟

بیان در ریاضیات- این یک مفهوم بسیار گسترده است. تقریباً هر چیزی که در ریاضیات با آن سروکار داریم مجموعه ای از عبارات ریاضی است. هر مثال، فرمول، کسری، معادله، و غیره - همه از آن تشکیل شده است عبارات ریاضی.

3+2 یک عبارت ریاضی است. ج 2 - د 2- این نیز یک عبارت ریاضی است. هر دو کسری سالم و حتی یک عدد همگی عبارات ریاضی هستند. به عنوان مثال، معادله این است:

5x + 2 = 12

شامل دو عبارت ریاضی است که با علامت مساوی به هم متصل می شوند. یک عبارت در سمت چپ و دیگری در سمت راست است.

که در نمای کلیمدت، اصطلاح " بیان ریاضی"اغلب برای جلوگیری از زمزمه استفاده می شود. از شما می پرسند که مثلاً کسری معمولی چیست؟ و چگونه پاسخ دهید؟!

پاسخ اول: این ... ممممم... چنین چیزی ... که در آن ... آیا می توانم کسری را بهتر بنویسم؟ کدام را میخواهی؟"

پاسخ دوم: " کسر مشترک- این است (با خوشحالی و شادی!) بیان ریاضی ، که از یک صورت و یک مخرج تشکیل شده است!"

گزینه دوم به نوعی چشمگیرتر خواهد بود، درست است؟)

این هدف از عبارت " بیان ریاضی "بسیار خوب. هر دو درست و محکم. اما برای کاربرد عملیباید به خوبی تسلط داشته باشند انواع خاص عبارات در ریاضیات .

نوع خاص بحث دیگری است. این موضوع کاملاً متفاوت است!هر نوع بیان ریاضی دارد مال خودممجموعه ای از قوانین و تکنیک هایی که باید هنگام تصمیم گیری استفاده شود. برای کار با کسری - یک مجموعه. برای کار با عبارات مثلثاتی - مورد دوم. برای کار با لگاریتم - سوم. و غیره. در جایی این قوانین منطبق هستند، در جایی به شدت متفاوت هستند. اما از این کلمات ترسناک نترسید. ما بر لگاریتم ها، مثلثات و دیگر چیزهای اسرارآمیز در بخش های مربوطه مسلط خواهیم شد.

در اینجا ما به دو نوع اصلی از عبارت های ریاضی (یا - تکرار، بسته به اینکه چه کسی...) مسلط خواهیم شد. عبارات عددی و عبارات جبری.

عبارات عددی

چه اتفاقی افتاده است بیان عددی? این یک مفهوم بسیار ساده است. خود نام نشان می دهد که این عبارت با اعداد است. همان طوری است که میبینی. یک عبارت ریاضی که از اعداد، کروشه ها و نمادهای حسابی تشکیل شده باشد، عبارت عددی نامیده می شود.

7-3 یک عبارت عددی است.

(8+3.2) 5.4 نیز یک عبارت عددی است.

و این هیولا:

همچنین یک عبارت عددی، بله ...

یک عدد معمولی، یک کسری، هر مثالی از محاسبه بدون X و حروف دیگر - همه اینها عبارات عددی هستند.

علامت اصلی عددیعبارات - در آن بدون حروف. هیچ یک. فقط اعداد و نمادهای ریاضی (در صورت لزوم). ساده است، درست است؟

و با عبارات عددی چه کاری می توانید انجام دهید؟ عبارات عددی معمولاً قابل شمارش هستند. برای انجام این کار، این اتفاق می افتد که شما باید براکت ها را باز کنید، علائم را تغییر دهید، مخفف کنید، اصطلاحات را عوض کنید - یعنی. انجام دادن تبدیل بیان. اما بیشتر در مورد آن در زیر.

در اینجا با یک عبارت عددی به چنین مورد خنده‌داری می‌پردازیم شما نیازی به انجام کاری نداریدخب اصلا هیچی! این عملیات دلپذیر - هیچ کاری نکردن)- زمانی اجرا می شود که عبارت معنی ندارد.

چه زمانی یک عبارت عددی معنی ندارد؟

واضح است که اگر نوعی ابراکادابرا در مقابل خود ببینیم، مانند

پس ما هیچ کاری نمی کنیم چون معلوم نیست در این مورد چه باید کرد. نوعی مزخرفات شاید تعداد مثبت ها را بشمار...

اما عبارات ظاهری کاملاً مناسبی وجود دارد. به عنوان مثال این:

(2+3): (16 - 2 8)

با این حال، این عبارت نیز معنی ندارد! به این دلیل ساده که در پرانتز دوم - اگر بشمارید - صفر می گیرید. اما شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید! این یک عمل ممنوع در ریاضیات است. بنابراین با این عبارت هم نیازی به انجام کاری نیست. برای هر کار با چنین عبارتی، پاسخ همیشه یکسان خواهد بود: "این تعبیر معنی ندارد!"

برای دادن چنین پاسخی، البته، باید محاسبه می‌کردم که چه چیزی در پرانتز است. و گاهی اوقات چیزهای زیادی در پرانتز وجود دارد... خوب، هیچ کاری نمی توانید در مورد آن انجام دهید.

در ریاضیات عملیات ممنوعه چندانی وجود ندارد. فقط یک مورد در این تاپیک وجود دارد. تقسیم بر صفر. محدودیت‌های اضافی ناشی از ریشه‌ها و لگاریتم‌ها در مباحث مربوطه مورد بحث قرار گرفته‌اند.

بنابراین، یک ایده از چیست بیان عددی- بدست آورد. مفهوم عبارت عددی معنی ندارد- متوجه شد بیایید ادامه دهیم.

عبارات جبری

اگر حروف در یک عبارت عددی ظاهر شوند، این عبارت می شود ... عبارت می شود ... بله! می شود عبارت جبری. مثلا:

5a 2; 3x-2y; 3 (z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (الف + ب) 2; ...

چنین عباراتی نیز نامیده می شود عبارات تحت اللفظییا عبارات با متغیرهاعملاً همین است. اصطلاح 5a + cبه عنوان مثال، هر دو لفظی و جبری، و یک عبارت با متغیرها.

مفهوم عبارت جبری -گسترده تر از عددی آی تی شامل می شودو تمام عبارات عددی آن ها یک عبارت عددی نیز یک عبارت جبری است، فقط بدون حروف. هر شاه ماهی یک ماهی است، اما هر ماهی یک شاه ماهی نیست...)

چرا حروف الفبا- واضح است. خوب، از آنجایی که حروف وجود دارد ... عبارت بیان با متغیرهاهمچنین خیلی گیج کننده نیست. اگر متوجه شدید که اعداد زیر حروف پنهان هستند. انواع اعداد را می توان زیر حروف پنهان کرد... و 5 و 18- و هر چیز دیگری. یعنی یک حرف می تواند باشد جایگزین کردنبر اعداد مختلف. به همین دلیل حروف نامیده می شوند متغیرها.

در بیان y+5، مثلا، در - کمیت متغیر. یا فقط می گویند " متغیر"، بدون کلمه "قدر". برخلاف پنج که یک مقدار ثابت است. یا به سادگی - ثابت.

مدت، اصطلاح عبارت جبریبه این معنی که برای کار با این عبارت باید از قوانین و قوانین استفاده کنید جبر. اگر حسابیسپس با اعداد خاص کار می کند جبر- با همه اعداد به طور همزمان. یک مثال ساده برای روشن شدن مطلب

در حساب می توانیم آن را بنویسیم

اما اگر چنین برابری را از طریق عبارات جبری بنویسیم:

a + b = b + a

ما فورا تصمیم می گیریم همهسوالات برای همه اعدادسکته. برای همه چیز بی نهایت چون زیر حروف آو بضمنی همهشماره. و نه تنها اعداد، بلکه حتی سایر عبارات ریاضی. جبر اینگونه عمل می کند.

چه زمانی یک عبارت جبری معنی ندارد؟

همه چیز در مورد عبارت عددی واضح است. در آنجا نمی توان بر صفر تقسیم کرد. و آیا با حروف می توان فهمید بر چه چیزی تقسیم می کنیم؟!

بیایید به عنوان مثال این عبارت را با متغیرها در نظر بگیریم:

2: (آ - 5)

آیا منطقی است؟ چه کسی می داند؟ آ- هر تعداد ...

هر، هر... اما یک معنی وجود دارد آ، که برای آن این عبارت دقیقامعنی ندارد! و این عدد چیست؟ آره! این 5 است! اگر متغیر آبا عدد 5 جایگزین کنید (آنها می گویند "جایگزین") ، در پرانتز صفر می گیرید. که قابل تقسیم نیست. پس معلوم می شود که بیان ما معنی ندارد، اگر a = 5. اما برای ارزش های دیگر آآیا منطقی است؟ آیا می توانید اعداد دیگری را جایگزین کنید؟

قطعا. در چنین مواردی به سادگی می گویند که بیان

2: (آ - 5)

برای هر ارزشی منطقی است آ, به جز a = 5 .

کل مجموعه اعدادی که می توانجایگزینی به یک عبارت داده شده نامیده می شود محدوده مقادیر قابل قبولاین بیان

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد. بیایید به عبارت با متغیرها نگاه کنیم و بفهمیم: در چه مقداری از متغیر عملیات ممنوعه (تقسیم بر صفر) به دست می آید؟

و سپس حتما به سوال وظیفه نگاه کنید. آنها چه می پرسند؟

معنی ندارد، معنای حرام ما جواب خواهد بود.

اگر بپرسید این عبارت در چه مقدار متغیر است معنی دارد(تفاوت را احساس کنید!)، پاسخ خواهد بود همه اعداد دیگرجز حرام

چرا به معنای عبارت نیاز داریم؟ او هست، نیست... چه فرقی می کند؟! نکته اینجاست که این مفهوم در دبیرستان اهمیت زیادی پیدا می کند. بسیار مهم! این اساس مفاهیم محکمی مانند دامنه مقادیر قابل قبول یا دامنه یک تابع است. بدون این، شما به هیچ وجه نمی توانید معادلات یا نابرابری های جدی را حل کنید. مثل این.

تبدیل عبارات تحولات هویتی

ما با عبارات عددی و جبری آشنا شدیم. ما متوجه شدیم که عبارت "عبارت معنی ندارد" به چه معناست. حالا باید بفهمیم که چیست دگرگونی عباراتپاسخ ساده است، تا سرحد رسوایی.) این هر عمل با بیان است. همین. شما از کلاس اول این دگرگونی ها را انجام می دهید.

بیایید عبارت عددی جالب 3+5 را در نظر بگیریم. چگونه می توان آن را تبدیل کرد؟ بله خیلی ساده! محاسبه:

این محاسبه تبدیل عبارت خواهد بود. شما می توانید همان عبارت را متفاوت بنویسید:

در اینجا ما اصلاً چیزی را حساب نکردیم. فقط عبارت را یادداشت کرد به شکلی متفاوتاین نیز دگرگونی بیان خواهد بود. می توانید آن را اینگونه بنویسید:

و این نیز دگرگونی یک بیان است. شما می توانید هر تعداد که می خواهید چنین دگرگونی هایی ایجاد کنید.

هرعمل در بیان هربه نوشتن آن به شکل دیگری تبدیل عبارت می گویند. و این همه است. همه چیز بسیار ساده است. اما اینجا یک چیز وجود دارد قانون بسیار مهمآنقدر مهم است که با خیال راحت می توان آن را نامید قانون اصلیتمام ریاضیات شکستن این قانون به ناچارمنجر به خطا می شود. آیا وارد آن می شویم؟)

بیایید بگوییم که بیان خود را به طور تصادفی تغییر داده ایم، مانند این:

دگرگونی؟ قطعا. ما عبارت را به شکل دیگری نوشتیم، اینجا چه اشکالی دارد؟

اینطور نیست.) نکته این است که تحولات "به صورت تصادفی"اصلاً به ریاضیات علاقه ای ندارند.) تمام ریاضیات بر روی تبدیل هایی بنا شده است که در آن ظاهر, اما ماهیت بیان تغییر نمی کند.سه به اضافه پنج را می توان به هر شکلی نوشت، اما باید هشت باشد.

تحولات، عباراتی که ماهیت را تغییر نمی دهندنامیده می شوند همسان.

دقیقا تحولات هویتیو به ما این امکان را می دهد که گام به گام، یک مثال پیچیده را در عین حفظ کردن، به یک عبارت ساده تبدیل کنیم اصل مثالاگر در زنجیره دگرگونی ها اشتباه کنیم، یک تبدیل نه یکسان انجام دهیم، آنگاه تصمیم خواهیم گرفت. یکی دیگرمثال. با پاسخ های دیگری که به پاسخ های صحیح مربوط نمی شوند.)

این قانون اصلی برای حل هر کار است: حفظ هویت تحولات.

برای وضوح مثالی با عبارت عددی 3+5 زدم. که در عبارات جبریتبدیل های یکسان توسط فرمول ها و قوانین ارائه می شود. فرض کنید در جبر یک فرمول وجود دارد:

a(b+c) = ab + ac

این بدان معنی است که در هر مثالی می توانیم به جای عبارت a(b+c)با خیال راحت یک عبارت بنویسید ab + ac. و بالعکس. این تبدیل یکسانریاضیات به ما امکان انتخاب بین این دو عبارت را می دهد. و کدام یک را بنویسید - از مثال ملموسبستگی دارد.

مثالی دیگر. یکی از مهم‌ترین و ضروری‌ترین تبدیل‌ها، ویژگی اساسی یک کسر است. برای جزئیات بیشتر می توانید به لینک نگاه کنید، اما در اینجا فقط قانون را به شما یادآوری می کنم: اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد یا عبارتی که برابر با صفر نباشد ضرب (تقسیم) شود، کسر تغییر نخواهد کرد.در اینجا نمونه ای از تبدیل هویت با استفاده از این ویژگی است:

همانطور که احتمالا حدس زدید این زنجیره می تواند تا بی نهایت ادامه پیدا کند...) یک خاصیت بسیار مهم. این است که به شما امکان می دهد انواع هیولاهای نمونه را به سفید و کرکی تبدیل کنید.)

فرمول های زیادی وجود دارد که تبدیل های یکسان را تعریف می کند. اما مهمترین آنها عددی کاملا معقول هستند. یکی از تحولات اساسی، فاکتورسازی است. این در تمام ریاضیات - از ابتدایی تا پیشرفته استفاده می شود. بیایید با او شروع کنیم. در درس بعدی.)

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.