عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

• آموزشی: گسترش درک دانش آموزان از جبر گزاره ای، معرفی عملیات منطقی و جداول صدق.
• رشدی:
توانایی دانش آموزان را برای کار با مفاهیم و نمادهای منطق ریاضی توسعه دهید. ادامه شکل گیری تفکر منطقی؛ توسعه فعالیت های شناختی؛ گسترش افق دید دانش آموزان
• آموزشی:
توانایی بیان نظر خود را توسعه دهید؛ مهارت های کار مستقل را تقویت کنید

نوع درس: درس ترکیبی - توضیح مطالب جدید و به دنبال آن تجمیع دانش به دست آمده.

مدت زمان درس: 40 دقیقه

پایه مادی و فنی:

• تخته سفید تعاملی برد هوشمند.
• برنامه MS Windows - پاورپوینت 2007.
• نسخه ای از درس الکترونیک تهیه شده توسط معلم (ارائه در پاورپوینت 2007).
• کارت های وظیفه تهیه شده توسط معلم.

طرح درس:

من لحظه سازمانی- 1 دقیقه

II. تعیین اهداف درس - 2 دقیقه.

III. به روز رسانی دانش - 9 دقیقه.

IV. ارائه مطالب جدید - 15 دقیقه.

V. ادغام مطالب مورد مطالعه - 8 دقیقه.

VI. بازتاب "جملات ناتمام" - 3 دقیقه.

VII. نتیجه گیری تکالیف - 2 دقیقه.

پیشرفت درس

I. لحظه سازمانی.

با سلام و احترام به غایبان کلاس.

اسلاید 1

ما به مطالعه بخش ادامه می دهیم "زبان منطقی". امروز درس ما به موضوع "گزاره های منطقی" اختصاص دارد. بیایید با بررسی شروع کنیم مشق شب(اشعار دانش آموزان خوانده می شود که حاوی پیوندهای منطقی (عملیات) بسیاری است و نتیجه می گیرد که اطلاعات دلخواه را می توان بدون ابهام بر اساس جبر منطق تفسیر کرد).

بنابراین، هدف درس ما این است که عملیات منطقی را مطالعه کنیم و بفهمیم که اطلاعات دلخواه را می توان بدون ابهام بر اساس جبر منطق تفسیر کرد. اما ابتدا باید مطالب آموخته شده در آخرین درس را مرور کنید.

III. به روز رسانی دانش (نظرسنجی پیشانی).

تکلیف 1. کار با کارت ها (به سؤالات پرسیده شده پاسخ های مختصری بدهید).

• انواع جملات (ساده و پیچیده)
• کدام یک از جملات زیر عبارت هستند؟
• سلام!
• بدیهیات نیازی به اثبات ندارد.
• باران می بارد.
• دمای بیرون چقدر است؟
• روبل واحد پولی روسیه است.
• شما حتی نمی توانید ماهی را بدون مشکل از آبگیر بیرون بیاورید.

عدد 2 مقسوم علیه عدد 9 نیست.

• عدد x از 2 بیشتر نیست.
• 7. درستی یا نادرستی عبارت را مشخص کنید:
• علوم کامپیوتر در دوره دبیرستان تحصیل می شود.
• "E" ششمین حرف الفبا است.
• مربع یک لوزی است.
• 12+14 > 30.
• مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.
• 23+12=5*7.

مجموع زوایای یک مثلث 1900 است.

پنگوئن ها در قطب شمال زمین زندگی می کنند.

پس بیانیه چیست؟ (جمله ای که می توان گفت درست یا نادرست است.) یک جمله ساده چیست؟ (یک عبارت ساده (ابتدی) نامیده می شود که هیچ بخشی از آن یک دستور نباشد.)گزاره مرکب چیست؟ (یک عبارت مرکب شامل

جملات ساده، با اتصالات منطقی (عملیات) متصل می شوند.)

وظیفه 2.

جملات مرکب را از جملات ساده بسازید: "الف = پتیا در حال خواندن کتاب است"، "ب = پتیا در حال نوشیدن چای است." (روی صفحه - اسلاید 2)به کار خود ادامه دهیم.

1. وظیفه 3. در عبارات زیر، عبارات ساده را برجسته کنید و هر یک از آنها را با یک حرف نشان دهید:
2. در زمستان، کودکان به اسکیت روی یخ یا اسکی می روند. (اسلاید 3)
3. این درست نیست که خورشید به دور زمین حرکت می کند. (اسلاید 4)
4. اگر دیروز یکشنبه بود، پس دیما دیروز در مدرسه نبود و تمام روز را پیاده روی می کرد. (اسلاید 6)

IV. ارائهمواد جدید

در کارهای قبلی، از اتصالات منطقی مختلفی استفاده می شد: "و"، "یا"، "نه"، "اگر: سپس:"، "اگر و فقط اگر:". در منطق جبر، اتصالات منطقی و عملیات منطقی مربوطه نام‌های خاصی دارند. بیایید 3 عملیات منطقی اساسی را در نظر بگیریم - وارونگی، ربط و تفکیک، که با کمک آنها می توانید عبارات ترکیبی را بدست آورید. (اسلاید 7)

هر عملیات منطقی با جدولی به نام جدول حقیقت تعریف می شود. جدول حقیقت یک عبارت منطقی جدولی است که در آن تمام ترکیبات ممکن از مقادیر داده های منبع در سمت چپ و در سمت راست - مقدار عبارت برای هر ترکیب نوشته می شود.

نفی یک عملیات منطقی است که هر عبارت ساده (ابتدایی) را با یک عبارت جدید مرتبط می کند که معنای آن مخالف عبارت اصلی است. ( اسلاید 8)

بیایید قاعده ساختن نفی یک جمله ساده را در نظر بگیریم.

قانون:هنگام ساختن نفی به یک جمله ساده، یا از عبارت «درست نیست که» استفاده می شود، یا نفی به یک محمول ساخته می شود، سپس ذره «نه» به محمول اضافه می شود و کلمه «همه» می شود. با "بعضی" جایگزین شده و بالعکس.

وظیفه 4.یک وارونگی (نفی) به یک عبارت ساده بسازید:

1. A = من یک کامپیوتر در خانه دارم. ( اسلاید 9)
2. الف = همه پسران کلاس یازدهم دانش آموزان ممتاز هستند.
3. آیا این بیانیه نفی خواهد بود: "همه پسران کلاس یازدهم دانش آموزان ممتاز نیستند." ( اسلاید 10)

جمله «همه پسران کلاس یازدهم دانش‌آموز ممتاز نیستند» رد این جمله نیست که «همه پسران کلاس یازدهم دانش‌آموز ممتاز هستند». جمله "همه پسران پایه یازدهم دانش آموزان ممتاز هستند" نادرست است و نفی عبارت نادرست باید یک گزاره صحیح باشد. اما جمله "همه پسران کلاس یازدهم دانش آموزان ممتاز نیستند" درست نیست، زیرا در بین دانش آموزان کلاس یازدهم هم دانش آموزان ممتاز و هم دانش آموزان غیر ممتاز وجود دارند.

نفی را می توان به صورت گرافیکی به عنوان یک مجموعه نشان داد. ( اسلاید 11)

بیایید عملیات منطقی زیر را در نظر بگیریم - پیوند. عبارتی که از دو گزاره با ترکیب آنها با پیوند "و" تشکیل شده است، ربط یا ضرب منطقی نامیده می شود (علاوه بر اتصالات اضافه - a، اما، اگرچه) استفاده می شود.

ربط- یک عملیات منطقی که هر دو عبارت ابتدایی را با یک دستور جدید مرتبط می کند، که اگر و تنها در صورتی درست باشد که هر دو عبارت اولیه درست باشند. ( اسلاید 12)

از نظر گرافیکی، یک ربط را می توان به عنوان یک مجموعه نشان داد. ( اسلاید 13)

بیایید عملیات منطقی زیر را در نظر بگیریم - تفکیک. گزاره ای که از دو گزاره تشکیل شده باشد که با "یا" پیوندی متحد شده اند، تفکیک یا جمع منطقی نامیده می شود.

تفکیک- یک عملیات منطقی که هر دو عبارت ابتدایی را با یک دستور جدید مرتبط می کند، که اگر و فقط اگر هر دو گزاره اولیه نادرست باشند نادرست است. ( اسلاید 14)

از نظر گرافیکی، یک تفکیک را می توان به عنوان یک مجموعه نشان داد. ( اسلاید 15)

بنابراین، سه عملیات اساسی که آموخته ایم چیست؟ ( اسلاید 16)

بیایید سعی کنیم دانش جدید خود را هنگام انجام آزمون به کار ببریم.

V. تلفیق مطالب مورد مطالعه (کار در هیئت مدیره).

وظیفه 5. نمودار و تعیین آن را مطابقت دهید. اسلاید 17)

وظیفه 6. دو عبارت ساده وجود دارد: A = "عدد 10 زوج است"، B = "گرگ یک گیاهخوار است." تمام گزاره های ترکیبی ممکن را از آنها بسازید و صدق آنها را مشخص کنید.

جواب: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

وظیفه 8. دو عبارت ساده داده می شود: A = "روبل واحد پول روسیه است"، B = "hryvnia واحد پول ایالات متحده است." کدام اظهارات درست است؟

4)A v B

پاسخ ها: 1) 0; 2) 1; 3) 0؛ 4) 1.

VI. انعکاس "جملات ناتمام."

• درس را جالب دیدم زیرا:
• آنچه در مورد درس بیشتر دوست داشتم:
• چیزی که برای من تازگی داشت این بود:

VII. نتیجه گیری مشق شب.

کار کلاس به عنوان یک کل و تک تک دانش آموزانی که در درس برتر بودند ارزیابی می شوند.

تکالیف:

1) تعاریف اولیه را بیاموزید، نمادها را بدانید.

2) جملات ساده را بیان کنید. (در کل باید 5 مجموعه از دو عبارت وجود داشته باشد). از آنها انواع گزاره های مرکب را بنویسید و صدق آنها را مشخص کنید.

لیست مواد استفاده شده:

1. علوم کامپیوتر و ICT. کلاس 10-11. سطح نمایه
2. قسمت 1: کلاس دهم: کتاب درسی موسسات آموزش عمومی / M.E. فیوشین، ع.ا. Ressin - M.: Bustard، 2008
3. مبانی ریاضی علوم کامپیوتر. کتاب درسی /E.V. آندریوا، ال.ال. بوسووا، I.N. فالینا - م.: BINOM. آزمایشگاه دانش، 1386
4. مواد از معلم علوم کامپیوتر N.P. Pospelova، موسسه آموزشی شهری مدرسه متوسطه شماره 22، سوچی

بخش هایی از ارائه توسط معلم علوم کامپیوتر K.Yu.

بیانیه شکل پیچیده تری نسبت به نام است. وقتی گزاره‌ها را به بخش‌های ساده‌تر تجزیه می‌کنیم، همیشه یک نام می‌گیریم. بگو، عبارت "خورشيد ستاره است" شامل نامهاي "خورشيد" و "ستاره" به عنوان اجزاي آن است.بیانیه

- جمله ای که از نظر دستوری صحیح است، همراه با معنی (محتوا) که بیان می کند و درست یا نادرست است. مفهوم بیان یکی از مفاهیم اصلی است،مفاهیم کلیدی تعریف دقیق، به همان اندازه در بخش های مختلف آن قابل استفاده است.

یک گزاره در صورتی که توصیفی که ارائه می دهد با وضعیت واقعی مطابقت داشته باشد صحیح و اگر با آن مطابقت نداشته باشد نادرست تلقی می شود. "درست" و "نادرست" را "ارزشهای حقیقت اظهارات" می نامند.

از بیانیه های فردی به روش های مختلفمی توانید عبارات جدیدی بسازید.

به عنوان مثال، از جملات "باد می وزد" و "باران می آید" می توانید جملات پیچیده تری بسازید: "باد می وزد و باران می آید"، "یا باد می وزد یا باران می آید"، "اگر باران می بارد، پس باد می وزد". "، و غیره.

بیانیه نامیده می شود ساده،مگر اینکه شامل عبارات دیگری به عنوان بخشی از آن باشد.

بیانیه نامیده می شود من پیچیده ام، در صورتی که با استفاده از اتصالات منطقی از سایر دستورات ساده تر به دست آمده باشد.

بیایید بیشترین را در نظر بگیریم راه های مهمساخت عبارات پیچیده

بیانیه منفیشامل یک گزاره اولیه و یک نفی است که معمولاً با کلمات "نه"، "این درست نیست" بیان می شود. بنابراین یک گزاره منفی یک گزاره پیچیده است: به عنوان قسمت خود عبارتی متفاوت از آن را شامل می شود. به عنوان مثال، نفی عبارت "10 عدد زوج است" عبارت "10 عدد زوج نیست" است (یا: "این درست نیست که 10 عدد زوج است").

بیایید گزاره ها را با حروف الف، ب، ج،... معنی کامل مفهوم نفی یک گزاره را با این شرط به دست دهیم: اگر گزاره A درست باشد، نفی آن نادرست است و اگر A نادرست باشد، نفی آن صادق است. به عنوان مثال، از آنجایی که «1 یک عدد صحیح مثبت است» درست است، نفی آن «1 عدد صحیح مثبت نیست» نادرست است و از آنجایی که «1 یک عدد اول است» نادرست است، نفی آن «1 عدد اول نیست» است. درست است.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "and" یک دستور پیچیده به نام ایجاد می کند پیوند. عباراتی که به این روش متصل می شوند، "اعضای یک ربط" نامیده می شوند.

به عنوان مثال، اگر جملات "امروز گرم است" و "دیروز سرد بود" به این ترتیب ترکیب شوند، ربط "امروز گرم است و دیروز سرد بود" به دست می آید.

یک حرف ربط تنها در صورتی صادق است که هر دو عبارت موجود در آن درست باشند. اگر حداقل یکی از اعضای آن نادرست باشد، کل حرف ربط نادرست است.

در زبان معمولی، دو گزاره زمانی که از نظر محتوا یا معنا به یکدیگر مرتبط باشند، با حرف ربط «و» به هم متصل می شوند. ماهیت این ارتباط کاملاً مشخص نیست، اما واضح است که ما حرف ربط «او با کت راه می‌رفت و من به سمت دانشگاه می‌رفتم» را تعبیری تلقی نمی‌کنیم که معنا دارد و می‌تواند درست یا نادرست باشد. اگرچه عبارات "2 عدد اول است" و "مسکو است شهر بزرگدرست است، ما تمایلی نداریم که پیوند آنها را "2 عدد اول است و مسکو یک شهر بزرگ است" درست بدانیم، زیرا عبارات تشکیل دهنده آن از نظر معنی با یکدیگر مرتبط نیستند. منطق با ساده‌سازی معنای ربط و سایر اتصالات منطقی و برای این منظور، کنار گذاشتن مفهوم نامشخص «ارتباط گزاره‌ها با معنا»، معنای این پیوندها را گسترده‌تر و واضح‌تر می‌کند.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "یا" می دهد تفکیکاین اظهارات عباراتی که یک تفکیک را تشکیل می دهند «اعضای جدایی» نامیده می شوند. .

کلمه «یا» در زبان روزمره دو معنای متفاوت دارد. گاهی به معنای "یکی یا دیگری یا هر دو" است و گاهی "یکی یا دیگری، اما نه هر دو". به عنوان مثال، عبارت "این فصل می خواهم بروم" ملکه بیل"یا به آیدا" امکان بازدید دوبار از اپرا را فراهم می کند. عبارت "او در دانشگاه مسکو یا یاروسلاول تحصیل می کند" به این معنی است که فرد مراجعه کننده فقط در یکی از این دانشگاه ها تحصیل کرده است.

اولین معنای "یا" نامیده می شود غیر انحصاریدر این معنا، تفکیک دو گزاره به این معنی است که حداقل یکی از این گزاره ها صادق است، صرف نظر از اینکه هر دو صادق هستند یا خیر. در دومی گرفته شده است انحصارییا دقیق، تفکیک دو گزاره بیان می کند که یکی از گزاره ها درست و دومی نادرست است.

تفکیک غیر انحصاری زمانی درست است که حداقل یکی از گزاره‌های تشکیل‌دهنده آن درست باشد، و تنها زمانی نادرست است که هر دو عضو آن نادرست باشند.

تفکیک انحصاری زمانی درست است که فقط یکی از جمله های آن صادق باشد و زمانی نادرست است که هر دو عبارت آن صادق یا هر دو نادرست باشند.

در منطق و ریاضیات، کلمه "یا" تقریباً همیشه به معنای غیر انحصاری استفاده می شود.

بیانیه مشروط -یک عبارت پیچیده که معمولاً با استفاده از پیوند "اگر ... پس ..." فرموله می شود و ثابت می کند که یک رویداد، حالت و غیره به یک معنا مبنای یا شرط دیگری است.

به عنوان مثال: "اگر آتش وجود دارد، پس دود وجود دارد"، "اگر عددی بر 9 بخش پذیر است، بر 3 بخش پذیر است" و غیره.

یک دستور شرطی از دو عبارت ساده تر تشکیل شده است. به آن چیزی که قبل از کلمه «اگر» آمده است گفته می شود اساس،یا پیشین(قبلی)، عبارتی که بعد از کلمه «آن» آمده است نامیده می شود نتیجه،یا نتیجه ای(بعدی).

مقصود ما از تصدیق قول شرط اولاً این نیست که آنچه در اساس آن گفته می شود واقع شود و آنچه در نتیجه گفته می شود غایب باشد. به عبارت دیگر، نمی‌توان اتفاق افتاد که مقدم صادق و نتیجة آن باطل باشد.

در یک گزاره شرطی، معمولاً مفاهیم شرط کافی و لازم تعریف می شود: مقدم (زمینه) شرط کافی برای نتیجه (نتیجه) است و نتیجه آن است. شرط لازمبرای پیشین برای مثال، صدق عبارت شرطی «اگر انتخاب عقلانی است، بهترین گزینه موجود انتخاب می‌شود» به این معناست که عقلانیت دلیل کافی برای انتخاب بهترین گزینه‌های موجود است و انتخاب چنین گزینه‌ای شرط لازم برای عقلانیت آن است.

یک عملکرد معمولی یک دستور شرطی، توجیه یک عبارت با ارجاع به گزاره دیگر است. برای مثال، این حقیقت که نقره رسانای الکتریکی است را می‌توان با اشاره به فلز بودن آن توجیه کرد: «اگر نقره یک فلز است، رسانای الکتریکی است».

ارتباط بین دلیل و موجه (بنیاد و نتیجه) بیان شده توسط یک گزاره شرطی دشوار است نمای کلیو فقط گاهی ماهیت آن نسبتاً مشخص است. این ارتباط می تواند اولاً یک ارتباط نتیجه منطقی باشد که بین مقدمات و نتیجه گیری صحیح صورت می گیرد ("اگر همه موجودات زنده چند سلولی فانی باشند و چتر دریایی چنین موجودی باشد پس فانی است"). ثانیاً، طبق قانون طبیعت ("اگر جسمی در معرض اصطکاک قرار گیرد، شروع به گرم شدن می کند"). ثالثاً، یک ارتباط علی ("اگر ماه در گره مدار خود در ماه جدید باشد، خورشید گرفتگی")؛ چهارم، یک الگوی اجتماعی، یک قانون، یک سنت («اگر جامعه تغییر کند، فرد نیز تغییر می کند»، «اگر نصیحت معقول است، باید رعایت شود») و غیره.

ارتباطی که با یک گزاره شرطی بیان می‌شود معمولاً با این باور همراه است که نتیجه با ضرورت خاصی از دلیل «پیش می‌آید» و قانون کلی وجود دارد که توانسته است آن را صورت‌بندی کند، ما می‌توانیم به طور منطقی نتیجه را از دلیل استنتاج کنیم. .

برای مثال، گزاره شرطی "اگر بیسموت یک فلز است، انعطاف پذیر است" به نظر می رسد قانون کلی "همه فلزات انعطاف پذیر هستند" را پیش فرض می گیرد و نتیجه این عبارت را نتیجه منطقی پیشین خود می کند.

هم در زبان معمولی و هم در زبان علم، یک گزاره شرطی، علاوه بر کارکرد توجیه، می تواند تعدادی کار دیگر را نیز انجام دهد: تنظیم شرطی که با هیچ قانون یا قاعده کلی ضمنی مرتبط نباشد («اگر من می خواهم، من شنل خود را می برم)) دنباله ای را ضبط کنید ("اگر تابستان گذشته خشک بود، امسال بارانی است"). ابراز ناباوری به شکلی عجیب و غریب ("اگر این مشکل را حل کنید، آخرین قضیه فرما را ثابت خواهم کرد")؛ مخالفت ("اگر سنجد در باغ رشد کند، پس عمویی در کیف زندگی می کند") و غیره.

استفاده از جملات شرطی با عوامل روانشناختی خاصی همراه است. ما معمولاً چنین گزاره‌ای را تنها در صورتی بیان می‌کنیم که با اطمینان ندانیم که آیا مقدم و پیامد آن درست است یا نادرست. در غیر این صورت، استفاده از آن غیر طبیعی به نظر می رسد ("اگر پشم پنبه فلزی است، رسانای الکتریکی است").

عبارت شرطی بسیار است کاربرد گستردهدر تمام زمینه های استدلال در منطق معمولاً با نشان داده می شود گفتار ضمنی، یا مفاهیم. در عین حال، منطق استفاده از «اگر...، پس...» را روشن، نظام‌مند و ساده می‌کند و آن را از تأثیر عوامل روان‌شناختی رها می‌کند.

منطق، به ویژه از این واقعیت انتزاع می شود که ارتباط بین دلیل و نتیجه، مشخصه یک گزاره شرطی، بسته به زمینه، می تواند نه تنها با استفاده از «اگر... آنگاه...»، بلکه با استفاده از سایر زبانی نیز بیان شود. به معنی.

به عنوان مثال، "از آنجایی که آب مایع است، فشار را به همه جهات به طور یکنواخت منتقل می کند"، "اگرچه پلاستیکین فلز نیست، پلاستیک است"، "اگر چوب فلز بود، رسانای الکتریکی بود" و غیره. گزاره‌ها در زبان منطق به‌وسیله دلالت نشان داده می‌شوند، اگرچه استفاده از «اگر... آنگاه...» در آنها کاملاً طبیعی نخواهد بود.

با بیان یک دلالت، ادعا می کنیم که نمی تواند مبنای آن موجود باشد و پیامد آن غایب باشد. به عبارت دیگر، یک دلالت تنها در صورتی نادرست است که دلیل آن صادق و نتیجه آن نادرست باشد.

این تعریف، مانند تعاریف قبلی از اتصالات، فرض می‌کند که هر گزاره یا درست یا نادرست است و ارزش صدق یک گزاره پیچیده فقط به ارزش‌های صدق عبارات تشکیل‌دهنده آن و نحوه اتصال آنها بستگی دارد.

دلالت زمانی صادق است که هم دلیل و هم نتیجه آن صادق یا نادرست باشد; اگر دلیلش باطل باشد و نتیجه اش درست باشد درست است. فقط در مورد چهارم که دلیل صادق و نتیجه باطل است، دلالت باطل است.

این دلالت به این معنا نیست که گزاره های الف و ب به نحوی از نظر محتوا با یکدیگر مرتبط هستند. اگر B درست باشد، گزاره «اگر A، پس B» بدون در نظر گرفتن درست یا نادرست بودن A و اینکه آیا از نظر معنایی با B مرتبط است یا خیر صادق است.

به عنوان مثال، جملات زیر درست در نظر گرفته می شوند: "اگر در خورشید حیات وجود داشته باشد، دو برابر دو برابر چهار"، "اگر ولگا یک دریاچه است، پس توکیو یک روستای بزرگ است" و غیره. گزاره شرطی نیز درست است. وقتی الف نادرست است، و در عین حال، درست یا نادرست بودن B و ارتباط محتوایی آن با الف یا نه فرقی نمی کند. عبارات درست عبارتند از: "اگر خورشید یک مکعب است، پس زمین یک مثلث است"، "اگر دو و دو برابر پنج، پس توکیو یک شهر کوچک است" و غیره.

در استدلال معمولی، بعید است که همه این اظهارات به عنوان معنی دار در نظر گرفته شوند، و باز هم کمتر درست باشند.

اگرچه استلزام برای بسیاری از اهداف مفید است، اما کاملاً با درک معمول اتصال شرطی سازگار نیست. استلزام بسیاری از ویژگی های مهم رفتار منطقی یک عبارت شرطی را پوشش می دهد، اما در عین حال توصیف کافی از آن نیست.

در نیم قرن اخیر تلاش های شدیدی برای اصلاح نظریه استلزام صورت گرفته است. در عین حال، بحث کنار گذاشتن مفهوم توصیف شده دلالت نیست، بلکه در کنار آن مفهوم دیگری را معرفی می کند که نه تنها ارزش های صدق گزاره ها، بلکه ارتباط آنها را در محتوا نیز در نظر می گیرد.

ارتباط نزدیک با استلزام معادل سازی، که گاهی اوقات "مضمون مضاعف" نامیده می شود.

معادل سازی- یک گزاره پیچیده "A، اگر و فقط اگر B" از گزاره های A و B تشکیل شده و به دو مفهوم تجزیه می شود: "اگر A، آنگاه B" و "اگر B، پس A". به عنوان مثال: "مثلث متساوی الاضلاع است اگر و فقط اگر متساوی الاضلاع باشد." اصطلاح "معادل" همچنین به پیوند "...، اگر و فقط اگر..." اشاره می کند، به کمک آن یک عبارت پیچیده معین از دو گزاره تشکیل می شود. به جای «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر» و غیره می توان برای این منظور استفاده کرد.

اگر پیوندهای منطقی بر حسب صدق و کذب تعریف شوند، یک معادل درست است اگر و تنها در صورتی که هر دو گزاره سازنده آن ارزش صدق یکسانی داشته باشند، یعنی زمانی که هر دو درست و هر دو نادرست باشند. بر این اساس، معادل زمانی نادرست است که یکی از گزاره های موجود در آن صحیح و دیگری نادرست باشد.

هنگام بررسی روش های تشکیل گزاره های پیچیده از موارد ساده، ساختار درونی گزاره های ساده در نظر گرفته نشد. آنها به عنوان ذرات تجزیه ناپذیر تنها با یک خاصیت در نظر گرفته شدند: درست یا نادرست بودن. گفته های ساده

تصادفی نیست که گاهی اوقات آنها را اتمی می نامند: از آنها، مانند آجرهای ابتدایی، با کمک اتصالات منطقی "و"، "یا" و غیره، عبارات پیچیده ("مولکولی") مختلفی ساخته می شود.

حال باید روی این سوال بمانیم ساختار داخلییا ساختار درونی خود گزاره‌های ساده: از چه بخش‌های خاصی تشکیل شده‌اند و چگونه این بخش‌ها به هم مرتبط هستند.

فوراً باید تأکید شود که عبارات ساده را می توان به روش های مختلف به اجزای سازنده آنها تجزیه کرد. نتیجه تجزیه بستگی به هدفی دارد که برای آن انجام می شود، یعنی به مفهوم استنتاج منطقی (نتیجه منطقی) که در چارچوب آن چنین اظهاراتی تحلیل می شود.

علاقه خاص به گزاره های طبقه بندی شده در درجه اول با این واقعیت توضیح داده می شود که توسعه منطق به عنوان یک علم با مطالعه پیوندهای منطقی آنها آغاز شد. علاوه بر این، گزاره هایی از این نوع به طور گسترده در استدلال ما استفاده می شود. نظریه ارتباطات منطقی گزاره های مقوله ای معمولاً نامیده می شود قیاسی.

به عنوان مثال، در عبارت "همه دایناسورها منقرض شده اند"، ویژگی "منقرض بودن" به دایناسورها نسبت داده شده است. در گزاره «برخی دایناسورها پرواز کردند» قابلیت پرواز به آن نسبت داده شده است گونه های خاصدایناسورها گزاره "همه دنباله دارها سیارک نیستند" وجود ویژگی "سیارک بودن" را در هر یک از دنباله دارها رد می کند. گزاره «برخی از حیوانات گیاهخوار نیستند» گیاهخواری برخی از حیوانات را رد می کند.

اگر ویژگی های کمی موجود در یک بیانیه طبقه بندی شده را نادیده بگیریم و با کلمات "همه" و "بعضی" بیان می شود، دو نسخه از این گزاره ها به دست می آید: مثبت و منفی. ساختار آنها:

"S P است" و "S P نیست"

که در آن حرف S نشان دهنده نام موردی است که در مورد آن ما در مورددر یک عبارت، و حرف P نام یک ویژگی ذاتی یا غیر ذاتی در این شی است.

نام شیء مورد اشاره در یک عبارت طبقه بندی شده نامیده می شود موضوع، و نام صفت آن است محمول. موضوع و محمول نامیده می شود شرایطعبارات مقوله ای و با اتصالات "هست" یا "نیست" ("هست" یا "نیست" و غیره) به هم متصل می شوند. مثلاً در عبارت «خورشيد ستاره است»، اصطلاحات نام «خورشيد» و «ستاره» (اولي موضوع قول، دومي محمول آن) و كلمه «است». ” رابط است.

گزاره‌های ساده‌ای مانند «S است (نمی‌باشد) P است» انتساب نامیده می‌شوند: آنها شامل انتساب (انتساب) برخی از ویژگی‌ها به یک شی هستند.

گزاره های اسنادی با اظهارات مربوط به روابطی که در آن روابط بین دو یا چند شیء برقرار می شود، مخالفند: "سه کمتر از پنج است"، "کیف بزرگتر از اودسا است"، "بهار بهتر از پاییز است"، "پاریس بین مسکو و نیویورک، و غیره. جملات در مورد روابط نقش مهمی در علم، به ویژه در ریاضیات دارند. آنها به گزاره های مقوله ای تقلیل پذیر نیستند، زیرا روابط بین چندین شی (مانند "برابر"، "عشق"، "گرم تر"، "بین است" و غیره) قابل تقلیل به ویژگی های اشیاء منفرد نیستند. یکی از کاستی های قابل توجه منطق سنتی این بود که قضاوت در مورد روابط را قابل تقلیل به قضاوت در مورد خواص می دانست.

در یک بیان مقوله ای، ارتباط بین شیء و صفت نه تنها برقرار می شود، بلکه قطعی است مشخصه کمیموضوع بیان در عباراتی مانند "همه S هستند (نه) P هستند، کلمه "all" به معنای "هر یک از اشیاء کلاس مربوطه" است. در عباراتی مانند "بعضی از S هستند (نه) P هستند، کلمه "بعضی" به معنای غیر انحصاری استفاده می شود و به معنای "بعضی یا شاید همه" است. در معنای انحصاری، کلمه "بعضی" به معنای "فقط برخی" یا "بعضی، اما نه همه" است. تفاوت بین دو معنای این کلمه را می توان با جمله "بعضی از ستاره ها ستاره هستند" نشان داد. در معنای غیر انحصاری به معنای "بعضی، شاید همه، ستاره ها هستند" و آشکارا درست است. در معنای استثنایی، این عبارت به معنای "فقط برخی از ستارگان ستاره هستند" است و به وضوح نادرست است.

در عبارات قطعی، تعلق برخی از ویژگی ها به اشیاء مورد نظر تأیید یا رد می شود و اشاره می شود که آیا در مورد همه این اشیاء صحبت می کنیم یا درباره برخی از آنها.

بنابراین، چهار نوع گزاره طبقه بندی ممکن است:

همه S P است - یک گزاره کلی مثبت،

برخی از S P است - یک جمله مثبت خاص،

همه S P نیست - یک گزاره به طور کلی منفی،

برخی از S P نیست - یک عبارت منفی خاص.

گزاره های دسته بندی را می توان نتیجه جایگزینی برخی از نام ها در عبارات زیر با فاصله (بیضی) در نظر گرفت: "همه ... هستند ..."، "بعضی ... هستند ..."، "همه ... هستند" نه ...» و «بعضی ... نیستند ...». هر یک از این عبارات یک ثابت منطقی (عملیات منطقی) است که به ما امکان می دهد از دو نام یک دستور بدست آوریم. به عنوان مثال، با جایگزین کردن نام های "پرنده" و "پرنده" به جای نقطه، به ترتیب عبارت های زیر را به دست می آوریم: "همه پروازها پرنده هستند"، "بعضی از پروازها پرنده هستند"،

استنباط ها

"همه آنهایی که پرواز می کنند پرنده نیستند" و "بعضی که پرواز می کنند پرنده نیستند." گزاره اول و سوم نادرست و دوم و چهارم درست است.

استنباط ها

"از یک قطره آب، کسی که می داند چگونه منطقی فکر کند، می تواند در مورد وجود اقیانوس اطلس یا آبشار نیاگارا نتیجه بگیرد، حتی اگر هرگز یکی یا دیگری را ندیده باشد و هرگز در مورد آنها نشنیده باشد... ناخن های شخص، با دست، کفش، چین های شلوار روی زانو، در امتداد ضخیم شدن پوست روی بزرگ و انگشت اشاره، با حالت چهره و سرآستین های پیراهنش - از چنین چیزهای کوچکی نمی توان حرفه او را حدس زد. و شکی نیست که مجموع همه اینها یک ناظر آگاه را به نتیجه گیری صحیح ترغیب می کند.»

این نقل قول از مقاله سیاستی معروف ترین کارآگاه و مشاور ادبیات جهان، شرلوک هلمز است. بر اساس کوچکترین جزئیات، او زنجیره های منطقی بی عیب و نقصی از استدلال ایجاد کرد و جنایات پیچیده را حل کرد، اغلب بدون ترک آپارتمان خود در خیابان بیکر. هولمز از روش قیاسی استفاده کرد که خود او ایجاد کرد، که همانطور که دوستش دکتر واتسون معتقد بود، حل جرم را به آستانه یک علم دقیق رساند.

البته هولمز در مورد اهمیت کسر در علم پزشکی قانونی تا حدودی اغراق کرد، اما استدلال او در مورد روش قیاسی کار خود را کرد. «کسر» از یک اصطلاح خاص که فقط برای عده کمی شناخته شده است به مفهومی رایج و حتی مد روز تبدیل شده است. رواج هنر استدلال صحیح، و بالاتر از همه استدلال قیاسی، از شایستگی هولمز کمتر از تمام جنایاتی است که او حل کرد. او توانست «جذابیت یک رویا را به منطق ببخشد و راه خود را از طریق هزارتوی کریستالی استنتاجات ممکن به یک نتیجه درخشان برساند» (V. Nabokov).

کسر است مورد خاصاستنباط ها

در به معنای وسیعاستنباط -یک عملیات منطقی که در نتیجه آن یک بیانیه جدید از یک یا چند گزاره پذیرفته شده (موقعیت) به دست می آید - یک نتیجه (نتیجه گیری، نتیجه).

بسته به اینکه آیا ارتباطی بین مقدمات و نتیجه وجود دارد نتیجه منطقی، دو نوع استنتاج قابل تشخیص است.

در هسته استدلال قیاسییک قانون منطقی نهفته است که نتیجه آن با ضرورت منطقی از مقدمات پذیرفته شده حاصل می شود.

ویژگی متمایزچنین نتیجه ای این است که همیشه از مقدمات واقعی به یک نتیجه واقعی منتهی می شود.

در استدلال استقراییارتباط بین مقدمات و نتیجه نه بر اساس قانون منطق، بلکه بر مبنای برخی دلایل واقعی یا روانشناختی است که ماهیت صرفاً صوری ندارند.

در چنین استنتاجی، نتیجه گیری به طور منطقی از مقدمات ناشی نمی شود و ممکن است حاوی اطلاعاتی باشد که در آنها وجود ندارد. بنابراین، پایایی مقدمات به معنای قابل اعتماد بودن گزاره ای نیست که به طور استقرایی از آنها مشتق شده است. استقرا فقط محتمل، یا را می دهد قابل قبول، نتیجه گیری هایی که نیاز به تأیید بیشتر دارند.

استنتاج های قیاسی برای مثال شامل موارد زیر است:

اگر باران ببارد، زمین خیس است. باران می بارد.

زمین خیس است.

اگر هلیم یک فلز است، رسانای الکتریکی است. هلیوم رسانای الکتریکی نیست.

هلیم یک فلز نیست.

خطی که محل را از نتیجه جدا می کند، طبق معمول جایگزین کلمه "بنابراین" می شود.

نمونه هایی از استقراء عبارتند از:

آرژانتین یک جمهوری است. برزیل یک جمهوری است. ونزوئلا یک جمهوری است. اکوادور یک جمهوری است.

آرژانتین، برزیل، ونزوئلا، اکوادور کشورهای آمریکای لاتین هستند.

همه ایالت های آمریکای لاتین جمهوری هستند .

ایتالیا یک جمهوری است، پرتغال یک جمهوری است، فنلاند یک جمهوری است، فرانسه یک جمهوری است.

ایتالیا، پرتغال، فنلاند، فرانسه کشورهای اروپای غربی هستند.

همه کشورهای اروپای غربی جمهوری هستند.

استقرا تضمین کاملی برای به دست آوردن یک حقیقت جدید از حقیقت های موجود ارائه نمی دهد. حداکثر چیزی که می توانیم در مورد آن صحبت کنیم، درجه خاصی از احتمال استنباط گزاره است. پس مقدمات هر دو استنتاج استقرایی اول و دوم صحیح است، اما نتیجه اولی صحیح و دومی نادرست است. در واقع، همه ایالت های آمریکای لاتین جمهوری هستند. اما در میان کشورهای اروپای غربی نه تنها جمهوری ها، بلکه پادشاهی ها نیز وجود دارد، به عنوان مثال انگلستان، بلژیک و اسپانیا.

استنباط ها

استنتاج‌های مشخصه، انتقال منطقی از دانش عمومی به دانش خاص هستند، مانند:

تمام فلزات انعطاف پذیر هستند. مس یک فلز است.

مس انعطاف پذیر است.

در تمام مواردی که لازم است برخی از پدیده ها را بر اساس آنچه قبلاً شناخته شده است در نظر گرفت قانون کلیو برای نتیجه گیری لازم در خصوص این پدیده ها به صورت استنتاج نتیجه می گیریم. استدلال منتهی از دانش درباره برخی اشیاء (دانش خصوصی) به دانش درباره همه اشیاء یک طبقه خاص ( دانش عمومیالقایی معمولی هستند. همیشه این احتمال وجود دارد که تعمیم عجولانه و بی اساس باشد ("ناپلئون یک فرمانده است؛ سووروف یک فرمانده است؛ این بدان معنی است که هر فرد یک فرمانده است").

در عین حال، نمی توان قیاس را با گذار از عام به جزئی و استقراء را با گذار از جزئی به کلی تشخیص داد.

در استدلال، «شکسپیر غزل نوشت. بنابراین، این درست نیست که شکسپیر غزل ننوشته است، اما هیچ انتقالی از عام به خاص وجود ندارد. استدلال "اگر آلومینیوم پلاستیک است یا خاک رس پلاستیک است، پس آلومینیوم پلاستیک است"، همانطور که معمولاً تصور می شود، استقرایی است، اما هیچ گذار از جزئی به کلی وجود ندارد.

استنتاج، اشتقاق نتایجی است که به اندازه مقدمات پذیرفته شده قابل اعتماد هستند، استقراء، اشتقاق نتایج محتمل (قابل قبول) است. استنتاج های استقرایی هم شامل انتقال از جزئی به کلی و هم قیاس، روش های ایجاد روابط علّی، تأیید پیامدها، توجیه هدفمند و غیره است.

علاقه خاص نشان داده شده در استدلال قیاسی قابل درک است. آنها به دست آوردن حقایق جدید از دانش موجود و علاوه بر این، با کمک استدلال ناب، بدون توسل به تجربه، شهود، عقل سلیم و غیره امکان پذیر می شوند. یا احتمال دیگری - شاید بالا - برای یک نتیجه گیری واقعی. با شروع از مقدمات واقعی و استدلال قیاسی، مطمئن هستیم که در همه موارد به دانش قابل اعتمادی دست خواهیم یافت.

با تأکید بر اهمیت استنباط در فرآیند آشکارسازی و اثبات دانش، نباید آن را از استقراء جدا کرد و دومی را دست کم گرفت. تقریبا همه چیز مقررات عمومیاز جمله قوانین علمی، نتایج تعمیم استقرایی هستند. به این معنا، استقراء اساس دانش ماست. به خودی خود صدق و اعتبار خود را تضمین نمی کند، بلکه فرضیاتی را به وجود می آورد، آنها را با تجربه پیوند می زند و از این طریق اعتبار خاصی را کم و بیش به آنها می بخشد. درجه بالااحتمالات تجربه سرچشمه و اساس دانش بشری است. استقرا، با شروع از آنچه در تجربه درک می شود، وسیله ای ضروری برای تعمیم و نظام مندسازی آن است.

قوانین منطقی

فصل

مفهوم قانون منطقی

قوانین منطقی اساس تفکر انسان را تشکیل می دهند. آنها تعیین می کنند که چه زمانی گزاره های دیگر به طور منطقی از برخی گزاره ها پیروی می کنند و آن چارچوب آهنی نامرئی را نشان می دهند که استدلال ثابت بر آن استوار است و بدون آن به گفتار آشفته و نامنسجم تبدیل می شود. بدون قانون منطقی، نمی توان فهمید که نتیجه منطقی چیست و در نتیجه اثبات چیست.

درست یا همانطور که معمولاً می گویند تفکر منطقی تفکر بر اساس قوانین منطق است ، مطابق با آن الگوهای انتزاعی که توسط آنها ثابت شده است. این موضوع اهمیت این قوانین را توضیح می دهد.

قوانین منطقی همگن در سیستم های منطقی ترکیب می شوند که معمولاً به آنها "منطق" نیز می گویند. هر کدام از آنها توضیحاتی ارائه می دهند ساختار منطقیقطعه یا نوع خاصی از استدلال ما.

برای مثال، قوانینی که ارتباطات منطقی گزاره‌ها را، مستقل از ساختار درونی گزاره‌ها، توصیف می‌کنند، در سیستمی به نام «منطق گزاره‌ای» ترکیب می‌شوند. قوانین منطقی که ارتباط گزاره‌های مقوله‌ای را تعیین می‌کنند، یک سیستم منطقی به نام «منطق گزاره‌های مقوله‌ای» یا «قیاس‌شناسی» و غیره را تشکیل می‌دهند.

قوانین منطقی عینی هستند و به اراده و آگاهی انسان بستگی ندارند. آنها نتیجه توافق بین مردم نیستند، برخی قراردادهای خاص توسعه یافته یا خود به خود شکل گرفته است. آنها محصول نوعی «روح جهانی» نیستند، همانطور که افلاطون زمانی معتقد بود. قدرت قوانين منطق بر شخص، نيروي واجب آنها براي تفكر صحيح، به اين دليل است كه آنها بازتابي در انديشه انسان از دنياي واقعي و تجربه صدها ساله شناخت و دگرگوني آن توسط انسان است.

مانند سایر قوانین علمی، قوانین منطقی نیز جهانی و ضروری هستند. آنها همیشه و در همه جا عمل می کنند و به طور یکسان به همه مردم و در همه دوران ها گسترش می یابند. نمایندگان

مفهوم قانون منطقی

ملل مختلف و فرهنگ های مختلف، زن و مرد، مصریان باستان و پولینزیای مدرن، از نظر منطق استدلال خود، تفاوتی با یکدیگر ندارند.

ضرورتی که در قوانین منطقی نهفته است، به نوعی حتی ضروری‌تر و تغییر ناپذیرتر از ضرورت طبیعی یا فیزیکی است. حتی تصور اینکه منطقا ضروری می تواند غیر از این باشد غیرممکن است. اگر چیزی با قوانین طبیعت مغایرت داشته باشد و از نظر فیزیکی غیرممکن باشد، هیچ مهندس، هر چقدر هم که استعداد داشته باشد، قادر به اجرای آن نخواهد بود. اما اگر چیزی با قوانین منطق مغایرت داشته باشد و از نظر منطقی غیرممکن باشد، نه تنها یک مهندس - حتی یک موجود قادر مطلق، اگر ناگهان ظاهر شود، نمی تواند آن را زنده کند.

همانطور که قبلاً گفته شد، در استدلال صحیح، نتیجه با ضرورت منطقی از مقدمات حاصل می شود و طرح کلیچنین استدلالی یک قانون منطقی است.

تعداد طرح های استدلال صحیح (قوانین منطقی) بی نهایت است. بسیاری از این طرح ها از طریق عمل استدلال برای ما شناخته شده است. ما آنها را به طور شهودی به کار می بریم، بدون اینکه متوجه شویم هر استنتاجی که به درستی انجام می دهیم از یک یا آن قانون منطقی استفاده می کند.

قبل از اینکه وارد شوید مفهوم کلیقانون منطقی، ما چندین مثال از طرح های استدلالی ارائه می دهیم که نشان دهنده قوانین منطقی است. به جای متغیرهای A، B، C، ...، که معمولاً برای نشان دادن گزاره ها استفاده می شوند، همانطور که در دوران باستان انجام می شد، از کلمات "اول" و "دوم" به جای متغیرها استفاده می کنیم.

«اگر اولی هست، دومی هم هست. اولی وجود دارد بنابراین، مورد دوم وجود دارد.این طرح استدلالی به ما امکان می‌دهد از گزاره یک گزاره شرطی ("اگر اولی وجود دارد، دومی وجود دارد") و بیانیه مبنای آن ("اول وجود دارد") به بیانیه یک نتیجه حرکت کنیم. "دومی وجود دارد"). بر اساس این طرح، به ویژه، استدلال پیش می رود: «اگر یخ گرم شود، ذوب می شود. یخ گرم شده است؛ بنابراین ذوب می شود.»

طرح دیگری از استدلال صحیح: «یا اولی یا دومی اتفاق می‌افتد. اولی وجود دارد این بدان معناست که دومی وجود ندارد.»از طریق این طرح، از دو بدیل متقابلاً منحصر به فرد و تعیین اینکه کدام یک از آنها مصداق دارد، گذار به نفی بدیل دوم انجام می شود. مثلاً: «یا داستایوفسکی در مسکو به دنیا آمد، یا در سن پترزبورگ به دنیا آمد. داستایوفسکی در مسکو به دنیا آمد. این به این معنی است که این درست نیست که او در سن پترزبورگ به دنیا آمده است. در وسترن آمریکایی «خوب، بد و زشت»، یکی از شخصیت‌های بد به دیگری می‌گوید: «به یاد داشته باشید، دنیا به دو بخش تقسیم می‌شود: کسانی که هفت تیر در دست دارند و آن‌هایی که حفاری می‌کنند. من الان هفت تیر دارم، پس بیل را بردارید.» این استدلال نیز بر اساس طرح مشخص شده است.

و یک مثال مقدماتی نهایی از یک قانون منطقی، یا طرح کلی استدلال صحیح: «اولین یا دومی است. اما اولی اینطور نیست. این بدان معناست که مورد دوم همین است.»به جای عبارت «اول» عبارت «روز است» و به جای «دوم» عبارت «شب است» را جایگزین می کنیم. از نمودار انتزاعی استدلال می کنیم: «روز است یا شب. اما اینکه روز است درست نیست.

پس الان شب است.»

اینها تعدادی هستند مدارهای سادهاستدلال صحیح، نشان دهنده مفهوم قانون منطقی است. صدها و صدها طرح مشابه در سرمان نشسته است، اگرچه ما از آن آگاه نیستیم. بر اساس آنها منطقی یا درست استدلال می کنیم.

قانون منطق (قانون منطقی)- عبارتی که به جای اجزای معنادار، فقط ثابت ها و متغیرهای منطقی را شامل می شود و در هر زمینه ای از استدلال صادق است.

اجازه دهید به عنوان مثال یک عبارت را که فقط از متغیرها و ثابت های منطقی تشکیل شده است، در نظر بگیریم، عبارت: "اگر A، آنگاه B; یعنی اگر نه A، پس نه B. ثابت های منطقی در اینجا اتصالات گزاره ای «اگر، آنگاه» و «نه» هستند. متغیرهای A و B بیانگر برخی از عبارات هستند. بیایید بگوییم A عبارت "علت وجود دارد" و B عبارت "یک معلول وجود دارد". با این محتوای خاص، این استدلال را به دست می آوریم: «اگر علتی باشد، معلولی هم هست. این بدان معناست که اگر معلول نباشد، علتی وجود ندارد.» فرض کنید به جای A عبارت «عدد بر شش بخش پذیر است» و به جای B عبارت «عدد بر سه بخش پذیر است» جایگزین شود. با این محتوای خاص، بر اساس نمودار مورد بحث، استدلال می کنیم: «عددی اگر بر شش بخش پذیر باشد، بر سه بخش پذیر است. بنابراین، اگر عددی بر سه بخش پذیر نباشد، بر شش بخش پذیر نیست». هر گزاره دیگری جایگزین متغیرهای A و B شود، اگر این گزاره ها درست باشند، نتیجه حاصل از آنها درست خواهد بود.

در منطق، معمولاً این شرط وجود دارد که ناحیه اشیایی که استدلال در مورد آنها انجام می شود و عبارات درج شده در قانون منطقی در مورد آن صحبت می کنند نمی تواند خالی باشد: باید حداقل یک شیء داشته باشد. در غیر این صورت، استدلال بر اساس طرح، که یک قانون منطق است، می تواند از مقدمات درست به نتیجه ای نادرست منتهی شود.

به عنوان مثال، از فرض واقعی "همه فیل ها حیوان هستند" و "همه فیل ها خرطوم دارند"، طبق قانون منطق، نتیجه واقعی "برخی از حیوانات خرطوم دارند" به دست می آید. اما اگر دامنه اشیاء مورد نظر خالی باشد، پیروی از قانون منطق نتیجه‌گیری واقعی را با توجه به مقدمات درست تضمین نمی‌کند. ما طبق همان طرح استدلال خواهیم کرد، اما این بار در مورد کوه های طلا. بیایید نتیجه بگیریم: «همه کوه های طلایی کوه هستند. تمام کوه های طلایی طلایی هستند. بنابراین برخی از کوه‌ها طلایی هستند.» هر دو فرض این نتیجه گیری درست است. اما نتیجه گیری او "برخی کوه ها طلایی هستند" به وضوح نادرست است: کوه طلایی وجود ندارد.

مفهوم قانون منطقی

بنابراین، استدلال مبتنی بر قانون منطق با دو ویژگی مشخص می شود:

چنین استدلالی همیشه از مقدمات واقعی به یک نتیجه واقعی منتهی می شود.

نتیجه با ضرورت منطقی از مقدمات ناشی می شود.

قانون منطقی نیز نامیده می شود توتولوژی منطقی.

توتولوژی منطقی- عبارتی که صرف نظر از موضوعات مورد بحث صادق باقی می ماند، یا عبارت "همیشه درست".

به عنوان مثال، تمام نتایج جایگزینی در قانون منطقی نفی مضاعف "اگر A، پس درست نیست که A نیست" گزاره های درست هستند: "اگر دوده سیاه است، پس درست نیست که سیاه نیست." «اگر انسان از ترس بلرزد، این درست نیست که از ترس نمی لرزد» و غیره.

همانطور که قبلاً ذکر شد، مفهوم قانون منطقی مستقیماً با مفهوم دلالت منطقی مرتبط است: نتیجه گیری به طور منطقی از مقدمات پذیرفته شده ناشی می شود اگر توسط یک قانون منطقی با آنها مرتبط باشد. به عنوان مثال، از مقدمات "اگر A، پس B" و "اگر B، پس C" نتیجه "اگر A، پس C" به طور منطقی به دست می آید، زیرا عبارت "اگر A، پس B، و اگر B، پس C، پس اگر A، C نشان دهنده یک قانون منطقی است، یعنی قانون گذر(گذرا). فرض کنید از فرضیه های «اگر شخصی پدر باشد، پدر و مادر است» و «اگر شخصی پدر یا مادر باشد، پدر یا مادر است»، طبق این قانون، نتیجه چنین می شود: «اگر شخص پدر است، سپس پدر یا مادر است.»

دنباله منطقی- رابطه بین مقدمات و نتیجه گیری استنتاجی که طرح کلی آن یک قانون منطقی است.

از آنجایی که ارتباط دلالت منطقی مبتنی بر یک قانون منطقی است، با دو ویژگی مشخص می شود:

نتیجه منطقی از مقدمات درست تنها به یک نتیجه واقعی منتهی می شود.

نتیجه ای که از مقدمات به دست می آید با ضرورت منطقی از آنها نتیجه می گیرد.

همه قوانین منطقی به طور مستقیم مفهوم نتیجه منطقی را تعریف نمی کنند. قوانینی هستند که ارتباطات منطقی دیگری را توصیف می کنند: «و»، «یا»، «این درست نیست» و غیره و فقط به طور غیرمستقیم به رابطه دلالت منطقی مربوط می شوند. این، به ویژه، قانون تناقض است که در زیر در نظر گرفته می شود: «این درست نیست که یک بیانیه خودسرانه و

افکار هوشمند فقط زمانی به وجود می آیند که کارهای احمقانه قبلا انجام شده باشد.

تنها کسانی که تلاش های پوچ انجام می دهند قادر به دستیابی به غیرممکن خواهند بود. آلبرت انیشتین

دوستان خوب، کتاب های خوب و وجدان خواب - این یک زندگی ایده آل است. مارک تواین

شما نمی توانید به گذشته برگردید و شروع خود را تغییر دهید، اما می توانید اکنون شروع کنید و پایان خود را تغییر دهید.

با بررسی دقیق تر، به طور کلی برای من روشن می شود که آن تغییراتی که به نظر می رسد با گذشت زمان رخ می دهند، در واقع هیچ تغییری ندارند: فقط دیدگاه من نسبت به چیزها تغییر می کند. (فرانتس کافکا)

و گرچه وسوسه رفتن همزمان دو راه بسیار است، اما نمی توان با یک دسته کارت هم با شیطان و هم با خدا بازی کرد...

قدردان کسانی باشید که با آنها می توانید خودتان باشید.
بدون نقاب، حذفیات و جاه طلبی.
و مواظب آنها باش، آنها به دست سرنوشت به سوی تو فرستاده شده اند.
به هر حال، فقط تعداد کمی از آنها در زندگی شما وجود دارد

برای پاسخ مثبت، فقط یک کلمه کافی است - "بله". تمام کلمات دیگر برای نه گفتن ساخته شده اند. دان امینادو

از یک نفر بپرسید: "خوشبختی چیست؟" و خواهید فهمید که او بیشتر از همه دلتنگ چه چیزی است.

اگر می خواهید زندگی را درک کنید، پس از باور آنچه می گویند و می نویسند دست بردارید، بلکه مشاهده کنید و احساس کنید. آنتون چخوف

هیچ چیز در دنیا مخرب تر و غیر قابل تحمل تر از بی عملی و انتظار نیست.

رویاهای خود را محقق کنید، روی ایده ها کار کنید. کسانی که به شما می خندیدند شروع به حسادت به شما خواهند کرد.

رکوردها باید شکسته شوند.

نیازی به هدر دادن زمان ندارید، اما روی آن سرمایه گذاری کنید.

تاریخ بشریت تاریخ تعداد نسبتاً کمی از مردم است که به خود ایمان داشتند.

خودت را به لبه پرتگاه هل دادی؟ آیا دیگر هیچ فایده ای در زندگی نمی بینید؟ این به این معنی است که شما از قبل نزدیک هستید... به تصمیم برای رسیدن به پایین برای اینکه از آن فاصله بگیرید و تصمیم بگیرید برای همیشه خوشحال باشید، نزدیک هستید... پس از پایین نترسید - از آن استفاده کنید...

اگر صادق و رک باشید، مردم شما را فریب خواهند داد. همچنان صادق و رک باشید

به ندرت در کاری موفق می شود که فعالیتش برای او شادی ایجاد نکند. دیل کارنگی

اگر حداقل یک شاخه گل در روحت باقی مانده باشد، یک پرنده آوازخوان همیشه روی آن خواهد نشست.

یکی از قوانین زندگی می گوید به محض اینکه دری بسته می شود در دیگری باز می شود. اما مشکل این است که ما به در قفل شده نگاه می کنیم و به در باز توجه نمی کنیم. آندره ژید

تا زمانی که شخصاً با او صحبت نکنید، یک نفر را قضاوت نکنید زیرا تمام چیزی که می شنوید شایعه است. مایکل جکسون

اول شما را نادیده می گیرند، سپس به شما می خندند، سپس با شما می جنگند، سپس شما برنده می شوید. مهاتما گاندی

زندگی انسان به دو نیمه تقسیم می شود: در نیمه اول آنها به سمت دوم تلاش می کنند و در طول نیمه دوم به سمت نیمه اول تلاش می کنند.

اگر خودتان کاری انجام ندهید، چگونه می توانید کمک کنید؟ شما فقط می توانید یک وسیله نقلیه در حال حرکت را برانید

همه چیز اتفاق خواهد افتاد. فقط زمانی که تصمیم به انجام آن گرفتید.

تو این دنیا می تونی دنبال همه چیز بگردی جز عشق و مرگ... خودشون وقتی وقتش رسید پیدات می کنن.

رضایت درونی، علیرغم دنیای اطراف، دارایی بسیار ارزشمندی است. سریدار مهاراج

از همین الان شروع کنید تا در نهایت زندگی ای را که دوست دارید ببینید. مارکوس اورلیوس

باید هر روز را طوری زندگی کنیم که انگار آخرین لحظه است. ما تمرین نداریم - ما زندگی داریم. ما آن را از دوشنبه شروع نمی کنیم - ما امروز زندگی می کنیم.

هر لحظه از زندگی یک فرصت دیگر است.

یک سال بعد با چشم های دیگری به دنیا نگاه خواهید کرد و حتی این درختی که در نزدیکی خانه شما رشد می کند به نظر شما متفاوت خواهد بود.

لازم نیست به دنبال خوشبختی باشید - باید آن را داشته باشید. اوشو

تقریباً هر داستان موفقیتی که من می شناسم با شخصی شروع شد که به پشت دراز کشیده بود و از شکست شکست خورد. جیم ران

هر سفر طولانی با یک قدم آغاز می شود، اولین قدم.

هیچکس بهتر از تو نیست هیچکس باهوش تر از تو نیست تازه زودتر شروع کردند. برایان تریسی

آن که می دود می افتد. کسی که می خزد نمی افتد. پلینی بزرگ

شما فقط باید درک کنید که در آینده زندگی می کنید و بلافاصله خود را در آنجا خواهید یافت.

من زندگی را به جای وجود انتخاب می کنم. جیمز آلن هتفیلد

وقتی قدر داشته های خود را بدانید و در جستجوی ایده آل ها زندگی نکنید، واقعاً خوشحال خواهید شد.

فقط کسانی که بدتر از ما هستند در مورد ما بد فکر می کنند و آنهایی که از ما بهتر هستند به سادگی برای ما زمانی ندارند. عمر خیام

گاهی با یک تماس از شادی جدا می شویم... یک گفتگو... یک اعتراف...

انسان با اعتراف به ضعف خود قوی می شود. اونره بالزاک

کسی که روح خود را فروتن کند، قوی تر از اونکه شهرها را فتح می کند

وقتی فرصتی پیش می آید، باید از آن استفاده کنید. و وقتی آن را گرفتید، به موفقیت رسیدید - از آن لذت ببرید. شادی را احساس کنید. و اجازه دهید همه اطرافیان شما شلنگ شما را به خاطر احمق بودن بمکند در حالی که حتی یک ریال هم برای شما ندادند. و سپس - ترک. زیبا. و همه را در شوک رها کنید.

هرگز ناامید نشو. و اگر قبلاً دچار ناامیدی شده اید، پس با ناامیدی به کار خود ادامه دهید.

یک قدم قاطع به جلو نتیجه یک ضربه خوب از پشت است!

در روسیه باید یا مشهور یا ثروتمند باشید تا با شما همان گونه رفتار شود که در اروپا با آنها رفتار می کنند. کنستانتین رایکین

این همه به نگرش شما بستگی دارد. (چاک نوریس)

هیچ استدلالی نمی تواند راهی را به فرد نشان دهد که او نمی خواهد رومن رولان را ببیند

آنچه به آن اعتقاد دارید، دنیای شما می شود. ریچارد متسون

جایی که نیستیم خوبه ما دیگر در گذشته نیستیم و به همین دلیل زیبا به نظر می رسد. آنتون چخوف

ثروتمندان ثروتمندتر می شوند زیرا یاد می گیرند بر مشکلات مالی غلبه کنند. آنها آنها را فرصتی برای یادگیری، رشد، توسعه و ثروتمند شدن می بینند.

هر کس جهنم خود را دارد - لازم نیست آتش و قیر باشد! جهنم ما یک زندگی تلف شده است! جایی که رویاها منتهی می شوند

مهم نیست چقدر سخت کار می کنید، مهم نتیجه است.

مهربان ترین دست ها، مهربان ترین لبخندها و عاشق ترین قلب را فقط مادر دارد...

برندگان در زندگی همیشه با روح فکر می کنند: من می توانم، می خواهم، من. از سوی دیگر، بازنده ها افکار پراکنده خود را بر روی آنچه می توانند داشته باشند، می توانند انجام دهند یا نمی توانند انجام دهند متمرکز می کنند. به عبارت دیگر، برندگان همیشه مسئولیت را بر عهده می گیرند، در حالی که بازنده ها شرایط یا افراد دیگر را مقصر شکست خود می دانند. دنیس واتلی.

زندگی یک کوه است، آهسته بالا می روی، سریع پایین می آیی. گای دو موپاسان

مردم آنقدر می ترسند که قدمی به سوی یک زندگی جدید بردارند که حاضرند چشمان خود را روی هر چیزی که مناسب آنها نیست ببندند. اما این ترسناک‌تر است: اینکه یک روز از خواب بیدار شوید و بفهمید که همه چیز در این نزدیکی یکسان نیست، یکسان نیست، یکسان نیست... برنارد شاو

دوستی و اعتماد خرید و فروش نمی شود.

همیشه، در هر دقیقه از زندگی، حتی زمانی که کاملاً خوشحال هستید، یک نگرش نسبت به اطرافیان خود داشته باشید: - در هر صورت، چه با شما چه بدون شما، آنچه را که بخواهم انجام خواهم داد.

در دنیا فقط می توانید بین تنهایی و ابتذال یکی را انتخاب کنید. آرتور شوپنهاور

فقط باید به مسائل متفاوت نگاه کرد و زندگی در جهت دیگری جریان خواهد داشت.

آهن به آهنربا این را گفت: من بیشتر از همه از تو متنفرم، زیرا تو بدون داشتن قدرت کافی برای کشیدن تو، جذب می کنی! فردریش نیچه

زندگی کردن را یاد بگیر حتی زمانی که زندگی غیر قابل تحمل می شود. N. Ostrovsky

تصویری که در ذهن خود می بینید در نهایت به زندگی شما تبدیل خواهد شد.

"در نیمه اول زندگی خود از خود می پرسید که چه چیزی توانایی دارید، اما در نیمه دوم - چه کسی به آن نیاز دارد؟"

هیچ وقت برای تعیین هدف جدید یا یافتن رویای جدید دیر نیست.

سرنوشت خود را کنترل کنید وگرنه شخص دیگری خواهد کرد.

زیبایی را در زشت ببینید،
طغیان رودخانه را در نهرها ببینید...
که می داند چگونه در زندگی روزمره شاد باشد،
او واقعا هست مرد شاد! ای. اسدوف

از حکیم پرسیدند:

چند نوع دوستی وجود دارد؟

چهار، او پاسخ داد.
دوستان مانند غذا هستند - هر روز به آنها نیاز دارید.
دوستان مانند دارو هستند، وقتی احساس بدی دارید به دنبال آنها می گردید.
دوستانی هستند، مثل یک بیماری، خودشان به دنبال تو می گردند.
اما دوستانی مانند هوا وجود دارند - شما نمی توانید آنها را ببینید، اما آنها همیشه با شما هستند.

من همان کسی می شوم که می خواهم - اگر باور داشته باشم که تبدیل خواهم شد. گاندی

قلبت را باز کن و به آرزوهایش گوش کن. رویاهای خود را دنبال کنید، زیرا تنها از طریق کسانی که از خود خجالت نمی کشند، جلال خداوند آشکار می شود. پائولو کوئیلو

رد شدن چیزی برای ترس نیست. آدم باید از چیز دیگری بترسد - سوءتفاهم شدن. امانوئل کانت

واقع بین باشید - غیرممکن را مطالبه کنید! چه گوارا

اگر بیرون باران می بارد، برنامه های خود را به تعویق نیندازید.
اگر مردم شما را باور ندارند از رویاهایتان دست نکشید.
بر ضد طبیعت و مردم حرکت کنید. شما یک شخص هستید. تو قوی هستی
و به یاد داشته باشید - هیچ هدف دست نیافتنی وجود ندارد - ضریب تنبلی بالا، فقدان نبوغ و انباری از بهانه وجود دارد.

یا شما جهان را خلق می کنید، یا جهان شما را می آفریند. جک نیکلسون

من عاشق وقتی که مردم همینطور لبخند می زنند. به عنوان مثال، شما سوار اتوبوس هستید و فردی را می بینید که از پنجره به بیرون نگاه می کند یا اس ام اس می نویسد و لبخند می زند. روحت را خیلی خوب می کند. و من خودم می خواهم لبخند بزنم.

بخش هایی از ارائه توسط معلم علوم کامپیوتر K.Yu.

بیانیه -جمله ای که از نظر دستوری صحیح است، همراه با معنی (محتوای) که بیان می کند و درست یا نادرست است.

مفهوم بیانیه یکی از مفاهیم اولیه و کلیدی منطق مدرن است. به این ترتیب، تعریف دقیقی را که در بخش‌های مختلف آن به یک اندازه قابل اجرا باشد، اجازه نمی‌دهد.

یک گزاره در صورتی که توصیفی که ارائه می دهد با وضعیت واقعی مطابقت داشته باشد صحیح و اگر با آن مطابقت نداشته باشد نادرست تلقی می شود. "درست" و "نادرست" را "ارزشهای حقیقت اظهارات" می نامند.

از گزاره های فردی، گزاره های جدید را می توان به روش های مختلف ساخت. به عنوان مثال، از جملات "باد می وزد" و "باران است" می توان جملات پیچیده تری را ایجاد کرد: "باد می وزد و باران می بارد"، "یا باد می وزد یا باران می آید"، "اگر ببارد" باران می بارد، سپس باد می وزد» و غیره.

بیانیه نامیده می شود ساده،مگر اینکه شامل عبارات دیگری به عنوان بخشی از آن باشد.

بیانیه نامیده می شود مجتمع،اگر با استفاده از اتصالات منطقی از دیگر عبارات ساده تر به دست آمده باشد.

بیایید مهم ترین راه های ساخت عبارات پیچیده را در نظر بگیریم.

بیانیه منفیشامل یک گزاره اولیه و یک نفی است که معمولاً با کلمات "نه"، "این درست نیست" بیان می شود. بنابراین یک گزاره منفی یک گزاره پیچیده است: به عنوان قسمت خود عبارتی متفاوت از آن را شامل می شود. به عنوان مثال، نفی عبارت "10 عدد زوج است" عبارت "10 عدد زوج نیست" است (یا: "این درست نیست که 10 عدد زوج است").

بیایید عبارات را با حروف مشخص کنیم الف، ب، ج،... معنی کامل مفهوم نفی یک گزاره با شرط: اگر گزاره الفدرست است، نفی آن نادرست است و اگر الفنادرست است، نفی آن صادق است. به عنوان مثال، از آنجایی که گزاره «1 یک عدد صحیح مثبت است» درست است، نفی آن «1 عدد صحیح مثبت نیست» نادرست است و از آنجایی که «1 یک عدد اول است» نادرست است، نفی آن «1 عدد اول نیست». ” درست است.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "and" یک دستور پیچیده به نام ایجاد می کند پیوند.عباراتی که از این طریق به هم متصل می شوند، «اعضای پیوند» نامیده می شوند.

به عنوان مثال، اگر جملات "امروز گرم است" و "دیروز سرد بود" به این ترتیب ترکیب شوند، ربط "امروز گرم است و دیروز سرد بود" به دست می آید.

یک حرف ربط تنها در صورتی صادق است که هر دو عبارت موجود در آن درست باشند. اگر حداقل یکی از اعضای آن نادرست باشد، کل حرف ربط نادرست است.

در زبان معمولی، دو گزاره زمانی که از نظر محتوا یا معنا به یکدیگر مرتبط باشند، با حرف ربط «و» به هم متصل می شوند. ماهیت این ارتباط کاملاً مشخص نیست، اما واضح است که ما حرف ربط «او با کت راه می‌رفت و من به سمت دانشگاه می‌رفتم» را تعبیری تلقی نمی‌کنیم که معنا دارد و می‌تواند درست یا نادرست باشد. اگرچه جملات "2 عدد اول است" و "مسکو یک شهر بزرگ است" درست است، اما ما تمایلی نداریم که پیوند آنها را "2 عدد اول است و مسکو یک شهر بزرگ است" صحیح بدانیم، زیرا اجزای این جملات از نظر معنا به هم مرتبط نیستند. منطق با ساده‌سازی معنای ربط و سایر اتصالات منطقی و برای این منظور، کنار گذاشتن مفهوم نامشخص «ارتباط گزاره‌ها با معنا»، معنای این پیوندها را گسترده‌تر و مشخص‌تر می‌کند.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "یا" می دهد تفکیکاین اظهارات عباراتی که یک تفکیک را تشکیل می دهند «اعضای جدایی» نامیده می شوند.

کلمه "یا" در زبان روزمره دو معنای متفاوت دارد. گاهی به معنای "یکی یا دیگری یا هر دو" است و گاهی "یکی یا دیگری، اما نه هر دو". به عنوان مثال، عبارت "این فصل می خواهم به ملکه بیل یا آیدا بروم" امکان بازدید دوبار از اونرا را فراهم می کند. عبارت «او در دانشگاه مسکو یا یاروسلاول تحصیل می کند» به این معناست که فرد مذکور تنها در یکی از این دانشگاه ها تحصیل می کند.

اولین معنای "یا" نامیده می شود غیر انحصاریدر این معنا، تفکیک دو گزاره به این معنی است که حداقل یکی از این گزاره ها صادق است، صرف نظر از اینکه هر دو صادق هستند یا خیر. در دومی گرفته شده است انحصارییا به معنای دقیق، تفکیک دو گزاره بیان می کند که یکی از گزاره ها درست و دومی نادرست است.

تفکیک غیر انحصاری زمانی درست است که حداقل یکی از گزاره‌های تشکیل‌دهنده آن درست باشد، و تنها زمانی نادرست است که هر دو عضو آن نادرست باشند.

تفکیک انحصاری زمانی درست است که فقط یکی از جمله های آن صادق باشد و زمانی نادرست است که هر دو عبارت آن صادق یا هر دو نادرست باشند.

در منطق و ریاضیات، کلمه "یا" تقریباً همیشه به معنای غیر انحصاری استفاده می شود.

بیانیه مشروط -یک عبارت پیچیده، که معمولاً با استفاده از رابط "اگر...، آنگاه..." فرموله می شود و آن یک رویداد، حالت و غیره را ایجاد می کند. به یک معنا مبنای یا شرط دیگری است.

به عنوان مثال: "اگر آتش وجود دارد، پس دود وجود دارد"، "اگر عددی بر 9 بخش پذیر باشد، بر 3 بخش پذیر است" و غیره.

یک دستور شرطی از دو عبارت ساده تر تشکیل شده است. به آن چیزی که قبل از کلمه «اگر» آمده است گفته می شود اساس،یا پیشین(قبلی)، عبارتی که بعد از کلمه «آن» آمده است نامیده می شود نتیجه،یا نتیجه ای(بعدی).

مقصود ما از تصدیق قول شرط اولاً این نیست که آنچه در اساس آن گفته می شود واقع شود و آنچه در نتیجه گفته می شود غایب باشد. به عبارت دیگر، نمی‌توان اتفاق افتاد که مقدم صادق و نتیجة آن باطل باشد.

در بیان شرطی، معمولاً مفاهیم شرط کافی و لازم تعریف می شود: مقدم (زمینه) شرط کافی برای نتیجه (نتیجه) است و نتیجه شرط لازم برای مقدم است. برای مثال، صدق عبارت شرطی «اگر انتخاب عقلانی است، بهترین گزینه موجود انتخاب می‌شود» به این معناست که عقلانیت دلیل کافی برای انتخاب بهترین گزینه‌های موجود است و انتخاب چنین گزینه‌ای شرط لازم برای عقلانیت آن است.

یک عملکرد معمولی یک دستور شرطی، توجیه یک عبارت با ارجاع به گزاره دیگر است. برای مثال، این حقیقت که نقره رسانای الکتریکی است را می‌توان با اشاره به فلز بودن آن توجیه کرد: «اگر نقره یک فلز است، رسانای الکتریکی است».

ارتباط بین زمین گیر و زمینه (زمینه و پیامد) بیان شده توسط یک گزاره شرطی دشوار است به طور کلی مشخص شود، و فقط گاهی اوقات ماهیت آن نسبتاً روشن است. این ارتباط می تواند اولاً یک ارتباط نتیجه منطقی باشد که بین مقدمات و نتیجه گیری صحیح صورت می گیرد ("اگر همه موجودات زنده چند سلولی فانی باشند و چتر دریایی چنین موجودی باشد پس فانی است"). ثانیاً، طبق قانون طبیعت ("اگر جسمی در معرض اصطکاک قرار گیرد، شروع به گرم شدن می کند"). ثالثاً، یک ارتباط علی ("اگر ماه در گره مدار خود در ماه جدید باشد، خورشید گرفتگی رخ می دهد"). چهارم، نظم اجتماعی، قاعده، سنت و غیره. («اگر جامعه تغییر کند، فرد نیز تغییر می کند»، «اگر توصیه منطقی است، باید اجرا شود»).

ارتباطی که با یک گزاره شرطی بیان می‌شود معمولاً با این باور همراه است که نتیجه با ضرورت خاصی از دلیل «پیش می‌آید» و قانون کلی وجود دارد که توانسته است آن را صورت‌بندی کند، ما می‌توانیم به طور منطقی نتیجه را از دلیل استنتاج کنیم. .

به عنوان مثال، گزاره شرطی "اگر بیسموت یک فلز پلاستیکی است" به نظر می رسد قانون کلی "هیچ فلزی پلاستیکی نیست" را پیش فرض می گیرد و نتیجه این عبارت را نتیجه منطقی پیشین خود می کند.

هم در زبان معمولی و هم در زبان علم، یک گزاره شرطی، علاوه بر کارکرد توجیه، می تواند تعدادی کار دیگر را نیز انجام دهد: تنظیم شرطی که با هیچ قانون یا قاعده کلی ضمنی مرتبط نباشد («اگر من می خواهم، من شنل خود را می برم)) هر دنباله ای را ضبط کنید ("اگر تابستان گذشته خشک بود ، امسال بارانی است"). ابراز ناباوری به شکلی عجیب و غریب ("اگر این مشکل را حل کنید، آخرین قضیه فرما را اثبات خواهم کرد")؛ مخالفت ("اگر سنجد در باغ رشد می کند ، پس مردی در کیف زندگی می کند") و غیره. تعدد و ناهمگونی توابع یک عبارت شرطی به طور قابل توجهی تحلیل آن را پیچیده می کند.

استفاده از جملات شرطی با عوامل روانشناختی خاصی همراه است. بنابراین، ما معمولاً چنین گزاره‌ای را تنها در صورتی تنظیم می‌کنیم که به طور قطع ندانیم که مقدم و نتیجه آن درست است یا نادرست. در غیر این صورت، استفاده از آن غیر طبیعی به نظر می رسد ("اگر پشم پنبه فلزی است، یک رسانای الکتریکی است").

گزاره شرطی کاربرد بسیار گسترده ای در همه زمینه های استدلال پیدا می کند. در منطق معمولاً با نشان داده می شود بیانیه ضمنی،یا مفاهیمدر عین حال، منطق استفاده از «اگر...، پس...» را روشن، نظام‌مند و ساده می‌کند و آن را از تأثیر عوامل روان‌شناختی رها می‌کند.

منطق، به ویژه از این واقعیت انتزاع می شود که ارتباط بین دلیل و نتیجه، مشخصه یک گزاره شرطی، بسته به زمینه، نه تنها با استفاده از «اگر...، پس...»، بلکه سایر موارد نیز قابل بیان است. ابزار زبانی به عنوان مثال، "از آنجایی که آب مایع است، فشار را به طور یکنواخت در همه جهات منتقل می کند"، "اگرچه پلاستیکین فلز نیست، پلاستیک است"، "اگر چوب فلز بود، رسانای الکتریکی بود" و غیره. این گزاره ها و گزاره های مشابه در زبان منطق به صورت ضمنی نشان داده می شوند، اگرچه استفاده از «اگر...، آنگاه...» در آنها کاملاً طبیعی نخواهد بود.

با بیان یک دلالت، ادعا می کنیم که نمی تواند مبنای آن موجود باشد و پیامد آن غایب باشد. به عبارت دیگر، دلالت تنها در صورتی نادرست است که دلیل آن صادق و نتیجه آن نادرست باشد.

این تعریف، مانند تعاریف قبلی از اتصالات، فرض می‌کند که هر گزاره یا درست یا نادرست است و ارزش صدق یک گزاره پیچیده فقط به ارزش‌های صدق عبارات تشکیل‌دهنده و نحوه اتصال آنها بستگی دارد.

دلالت زمانی صادق است که هم دلیل و هم نتیجه آن صادق یا نادرست باشد; اگر دلیلش باطل باشد و نتیجه اش درست باشد درست است. فقط در مورد چهارم که دلیل صادق و نتیجه باطل است، دلالت باطل است.

به طور ضمنی گفته نمی شود الفو دراز نظر محتوا به نوعی با یکدیگر مرتبط هستند. اگر درست باشد دربیانیه "اگر الف،که IN"بدون توجه به اینکه آیا درست است الفدرست یا نادرست است و از نظر معنی با دریا نه

به عنوان مثال، عبارات زیر درست در نظر گرفته می شود: "اگر زندگی در خورشید وجود دارد، پس دو و دو برابر با چهار"، "اگر ولگا یک دریاچه است، پس توکیو یک دهکده بزرگ است" و غیره. یک گزاره شرطی وقتی درست است الفدروغ، و باز هم بی تفاوت، درست است دریا نه و آیا از نظر محتوا به آن مربوط است الفیا نه عبارات درست عبارتند از: "اگر خورشید یک مکعب است، پس زمین یک مثلث است"، "اگر دو و دو برابر پنج، پس توکیو یک شهر کوچک است" و غیره.

در استدلال معمولی، بعید است که همه این اظهارات به عنوان معنی دار در نظر گرفته شوند، و باز هم کمتر درست باشند.

اگرچه استلزام برای بسیاری از اهداف مفید است، اما کاملاً با درک معمول اتصال شرطی سازگار نیست. استلزام بسیاری از ویژگی های مهم رفتار منطقی یک عبارت شرطی را پوشش می دهد، اما در عین حال توصیف کافی از آن نیست.

در نیم قرن اخیر تلاش های شدیدی برای اصلاح نظریه استلزام صورت گرفته است. در عین حال، بحث کنار گذاشتن مفهوم توصیف شده دلالت نیست، بلکه در کنار آن مفهوم دیگری را معرفی می کند که نه تنها ارزش های صدق گزاره ها، بلکه ارتباط آنها را در محتوا نیز در نظر می گیرد.

ارتباط نزدیک با استلزام معادل سازی،گاهی اوقات "مضمون دوگانه" نامیده می شود.

هم ارزی عبارت پیچیده ای است "A اگر و فقط اگر B" که از گزاره های Li B تشکیل شده و به دو مفهوم تجزیه می شود: "اگر الف،سپس B، و "اگر B، پس الف".برای مثال: "مثلث متساوی الاضلاع است اگر و فقط اگر متساوی الاضلاع باشد." اصطلاح "معادل" همچنین به پیوند "...، اگر و فقط اگر..." اشاره می کند، به کمک آن یک عبارت پیچیده معین از دو گزاره تشکیل می شود. به جای «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر» و غیره می توان برای این منظور استفاده کرد.

اگر پیوندهای منطقی بر حسب صدق و کذب تعریف شوند، یک هم ارزی درست است اگر و تنها در صورتی که هر دو گزاره سازنده ارزش صدق یکسانی داشته باشند، یعنی. زمانی که هر دو درست یا هر دو نادرست هستند. بر این اساس، معادل زمانی نادرست است که یکی از گزاره های موجود در آن صحیح و دیگری نادرست باشد.

منطق گزاره ای که به آن منطق گزاره ای نیز می گویند، شاخه ای از ریاضیات و منطق است که اشکال منطقی گزاره های پیچیده ساخته شده از گزاره های ساده یا ابتدایی را با استفاده از عملیات منطقی مطالعه می کند.

منطق گزاره‌ای از محتوای گزاره‌ها انتزاع می‌کند و ارزش صدق آن‌ها، یعنی درست یا نادرست بودن گزاره را بررسی می‌کند.

تصویر بالا تصویری از پدیده ای است که به پارادوکس دروغگو معروف است. در عین حال، به نظر نویسنده پروژه، چنین پارادوکس هایی تنها در محیط هایی که عاری از مشکلات سیاسی نیستند امکان پذیر است، جایی که می توان به فردی پیشینی برچسب دروغگو زد. در دنیای طبیعی چند لایه موضوع "حقیقت" یا "کاذب" تنها اظهارات فردی ارزیابی می شود . و بعداً در این درس با شما آشنا می شوید فرصتی برای ارزیابی بسیاری از اظهارات در مورد این موضوع برای خود (و سپس به پاسخ های صحیح نگاه کنید). از جمله عبارات پیچیده که در آنها موارد ساده تر با نشانه هایی از عملیات منطقی به هم مرتبط هستند. اما ابتدا، اجازه دهید این عملیات را روی خود بیانیه ها در نظر بگیریم.

منطق گزاره ای در علوم کامپیوتر و برنامه نویسی به صورت اعلام متغیرهای منطقی و اختصاص مقادیر منطقی "نادرست" یا "درست" به آنها استفاده می شود که روند اجرای بیشتر برنامه به آن بستگی دارد. در برنامه‌های کوچکی که فقط یک متغیر بولی درگیر می‌شود، معمولاً به متغیر بولی نامی مانند «پرچم» داده می‌شود و زمانی که مقدار متغیر «true» است و «پرچم پایین است»، معنای آن بالاست مقدار این متغیر "نادرست" است. در برنامه های بزرگ که چندین یا حتی متغیرهای منطقی زیادی در آن ها وجود دارد، متخصصان موظفند نام متغیرهای منطقی را در قالب عبارات و جملات ارائه دهند. بار معنایی، متمایز کردن آنها از سایر متغیرهای منطقی و قابل درک برای سایر متخصصان که متن این برنامه را خواهند خواند.

بنابراین، یک متغیر منطقی با نام "UserRegistered" (یا آنالوگ انگلیسی زبان آن) را می توان در قالب یک عبارت اعلام کرد که در صورت وجود شرایط ارسال داده های ثبت نام، می توان مقدار منطقی "true" را به آن اختصاص داد. توسط کاربر و این داده ها توسط برنامه معتبر شناخته می شود. در محاسبات بعدی، ممکن است مقادیر متغیرها بسته به مقدار منطقی (درست یا نادرست) متغیر UserRegistered تغییر کند. در موارد دیگر، به متغیری، به عنوان مثال، با نام "بیش از سه روز مانده به روز"، می توان قبل از بلوک خاصی از محاسبات، مقدار "True" را به آن اختصاص داد و در طول اجرای بعدی برنامه، این مقدار می تواند ذخیره شده یا به "false" تغییر یافته و پیشرفت اجرای بیشتر به مقدار این متغیر بستگی دارد.

اگر یک برنامه از چندین متغیر منطقی استفاده کند که نام آنها به صورت دستورات باشد و عبارات پیچیده تری از آنها ساخته شود، توسعه برنامه بسیار ساده تر است اگر قبل از توسعه آن، همه عملیات را از روی آن یادداشت کنیم. عبارات در قالب فرمول های مورد استفاده در منطق بیانیه نسبت به ما در طول این درس چیزی است که ما انجام خواهیم داد.

عملیات منطقی روی عبارات

برای گزاره‌های ریاضی همیشه می‌توان بین دو گزینه متفاوت، «درست» و «نادرست» انتخاب کرد، اما برای گزاره‌هایی که به زبان «کلامی» بیان می‌شوند، مفاهیم «حقیقت» و «نادرست» تا حدودی مبهم‌تر هستند. با این حال، برای مثال، اشکال کلامی مانند "برو خانه" و "باران است؟" بنابراین واضح است که گزاره ها اشکال کلامی هستند که در آنها چیزی بیان می شود . جملات استفهامی یا تعجبی، استیناف و همچنین خواسته یا خواسته، بیانیه نیستند. آنها را نمی توان با مقادیر "درست" و "نادرست" ارزیابی کرد.

برعکس، گزاره‌ها را می‌توان به‌عنوان مقادیری در نظر گرفت که می‌توانند به دو معنی «درست» و «نادرست» باشند.

به عنوان مثال، قضاوت های زیر داده می شود: "سگ حیوان است"، "پاریس پایتخت ایتالیا است"، "3

اولین مورد از این گزاره ها را می توان با نماد "درست"، دوم با "نادرست"، سوم با "درست" و چهارم با "نادرست" ارزیابی کرد. این تفسیر از گزاره ها موضوع جبر گزاره ای است. ما عبارات را با حروف بزرگ نشان خواهیم داد با حروف لاتین الف, ب، ... و معانی آنها به ترتیب درست و نادرست وو L. در گفتار معمولی، ارتباط بین عبارات "و"، "یا" و دیگران استفاده می شود.

این ارتباطات با اتصال عبارات مختلف به یکدیگر اجازه می دهد تا عبارات جدیدی را تشکیل دهند - اظهارات پیچیده . به عنوان مثال، رابط "و". بگذارید اظهارات داده شود: " π بیش از 3" و بیانیه " π کمتر از 4". شما می توانید یک عبارت جدید - پیچیده را سازماندهی کنید " π بیش از 3 و π کمتر از 4". بیانیه "اگر π پس غیر منطقی π ² نیز غیرمنطقی است" با اتصال دو عبارت با همبند "اگر - آنگاه" به دست می آید و در نهایت، می توانیم با انکار گزاره اصلی، یک عبارت جدید - یک گزاره پیچیده - بدست آوریم.

در نظر گرفتن گزاره ها به عنوان مقادیری که معانی می گیرند وو L، در ادامه تعریف خواهیم کرد عملیات منطقی روی عبارات ، که به ما امکان می دهد از این عبارات عبارات پیچیده جدیدی به دست آوریم.

بگذارید دو عبارت دلخواه داده شود الفو ب.

1 . اولین عملیات منطقی روی این عبارات - پیوند - نشان دهنده تشکیل یک دستور جدید است که به آن اشاره می کنیم. الف ∧ بو اگر و فقط اگر درست است الفو بدرست هستند. در گفتار معمولی، این عملیات مربوط به ارتباط عبارات با پیوند "و" است.

جدول حقیقت برای پیوند:

2 . دومین عملیات منطقی روی عبارات الفو ب- تفکیک به صورت الف ∨ ب، به صورت زیر تعریف می شود: درست است اگر و فقط اگر حداقل یکی از عبارات اصلی درست باشد. در گفتار معمولی، این عملیات مربوط به اتصال عبارات با پیوند "یا" است. با این حال، در اینجا ما یک "یا" غیرقابل تقسیم داریم که به معنای "یا یا" درک می شود که الفو بهر دو نمی توانند درست باشند در تعریف منطق گزاره ای الف ∨ بهم درست است اگر فقط یکی از گزاره ها درست باشد و هم اگر هر دو گزاره درست باشند الفو ب.

جدول حقیقت برای تفکیک:

3 . سومین عملیات منطقی روی عبارات الفو ب، بیان شده است الف → ب; گزاره ای که به این ترتیب به دست می آید اگر و فقط اگر نادرست است الفدرست است، اما بنادرست الفتماس گرفت توسط بسته , ب - نتیجه ، و بیانیه الف → ب - دنبال کردن ، ضمنی نیز نامیده می شود. در گفتار معمولی، این عملیات با پیوند "اگر-آنگاه" مطابقت دارد: "اگر الف، آن باما در تعریف منطق گزاره ای، این گزاره صرف نظر از درست یا نادرست بودن گزاره همیشه صادق است. ب. این شرایط را می‌توان به اختصار چنین بیان کرد: «از باطل همه چیز به دست می‌آید». به نوبه خود، اگر الفدرست است، اما بنادرست است، پس کل بیانیه الف → بنادرست اگر و فقط اگر درست خواهد بود الف، و بدرست هستند. به طور خلاصه، این را می توان به صورت زیر فرموله کرد: "کاذب نمی تواند از حقیقت حاصل شود."

جدول حقیقتی که باید دنبال شود (مفهوم):

4 . چهارمین عملیات منطقی روی گزاره ها، به طور دقیق تر روی یک گزاره، نفی یک گزاره نامیده می شود الفو با ~ نشان داده می شود الف(همچنین می توانید از نماد ~ استفاده نکنید، بلکه از نماد ¬ و همچنین یک امتیاز اضافی در بالا استفاده کنید الف). ~ الفزمانی وجود دارد که نادرست است الفدرست است و زمانی درست است الفنادرست

جدول حقیقت برای نفی:

5 . و در نهایت پنجمین عملیات منطقی روی گزاره ها را هم ارزی می نامند و نشان می دهند الف ↔ ب. بیانیه حاصل الف ↔ بیک جمله درست است اگر و فقط اگر الفو بهر دو درست هستند یا هر دو نادرست.

جدول حقیقت برای معادل سازی:

اکثر زبان های برنامه نویسی دارای نمادهای خاصی برای نشان دادن معانی منطقی عبارات هستند که تقریباً در همه زبان ها به صورت صحیح و نادرست نوشته می شوند.

بیایید موارد فوق را خلاصه کنیم. منطق گزاره ای ارتباطاتی را مطالعه می کند که کاملاً با روشی که برخی از گزاره ها از دیگران ساخته می شوند تعیین می شوند که ابتدایی نامیده می شوند. در این حالت گزاره های ابتدایی به عنوان کل در نظر گرفته می شوند و نمی توان آنها را به اجزاء تجزیه کرد.

اجازه دهید در جدول زیر نام ها، نمادها و معنای عملیات منطقی روی دستورات را سیستماتیک کنیم (به زودی دوباره به آنها برای حل مثال ها نیاز خواهیم داشت).

برای عملیات منطقی درست است قوانین منطق جبر، که می تواند برای ساده سازی عبارات بولی استفاده شود. باید توجه داشت که در منطق گزاره ای از محتوای معنایی یک گزاره انتزاع می شود و خود را به در نظر گرفتن آن از موضع درست یا نادرست بودن آن محدود می کند.

مثال 1.

1) (2 = 2) و (7 = 7) ;

2) Not(15;

3) ("کاج" = "بلوط") یا ("گیلاس" = "افرا");

4) نه ("کاج" = "بلوط") ;

5) (نه (15 20) ;

6) ("چشم داده شده برای دیدن") و ("زیر طبقه سوم طبقه دوم است");

7) (6/2 = 3) یا (7*5 = 20) .

1) منظور از عبارت در پرانتز اول "درست" است، معنای عبارت در پرانتز دوم نیز صادق است. هر دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند (قوانین این عملیات را در بالا ببینید)، بنابراین ارزش منطقی کل این عبارت "درست" است.

2) منظور از عبارت داخل پرانتز «نادرست» است. قبل از این گزاره یک عملیات منطقی نفی وجود دارد، بنابراین معنای منطقی کل این گزاره «صحیح» است.

3) منظور از عبارت داخل کروشه اول «نادرست» است، معنای عبارت داخل کروشه دوم نیز «نادرست» است. عبارات با عملیات منطقی "OR" به هم متصل می شوند و هیچ یک از عبارات مقدار "true" را ندارند. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه «کاذب» است.

4) منظور از عبارت داخل پرانتز «نادرست» است. پیش از این بیان، عملیات منطقی نفی است. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه «درست» است.

5) عبارت داخل پرانتز در اولین کروشه نفی می شود. این گزاره در داخل پرانتز به معنای «نادرست» است، بنابراین نفی آن به معنای منطقی «درست» خواهد بود. عبارت داخل پرانتز دوم به معنای «نادرست» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند، یعنی "درست و نادرست" به دست می آید. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه «کاذب» است.

6) منظور از عبارت داخل کروشه اول «درست» است، معنای عبارت داخل کروشه دوم نیز «درست» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند، یعنی "واقعی و حقیقت" به دست می آید. بنابراین، معنای منطقی کل عبارت داده شده "درست" است.

7) منظور از عبارت در پرانتز اول "درست" است. منظور از عبارت داخل پرانتز دوم «نادرست» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "OR"، یعنی "درست یا نادرست" به هم متصل می شوند. بنابراین، معنای منطقی کل عبارت داده شده "درست" است.

مثال 2.جملات پیچیده زیر را با استفاده از عملیات منطقی بنویسید:

1) "کاربر ثبت نام نشده است"؛

2) "امروز یکشنبه است و برخی از کارمندان سر کار هستند";

3) "کاربر در صورتی ثبت می شود که داده های ارسالی توسط کاربر معتبر تلقی شود."

1) ص- عبارت واحد "کاربر ثبت شده است"، عملیات منطقی: ;

2) ص- بیانیه واحد "امروز یکشنبه است" q- «بعضی از کارمندان سر کار هستند»، عملیات منطقی: ;

3) ص- بیانیه واحد "کاربر ثبت شده است" q- "داده های ارسال شده توسط کاربر معتبر یافت شد"، عملیات منطقی: .

نمونه هایی از منطق گزاره ای را خودتان حل کنید و سپس به راه حل ها نگاه کنید

مثال 3.مقادیر منطقی عبارات زیر را محاسبه کنید:

1) ("70 ثانیه در یک دقیقه وجود دارد") یا ("یک ساعت در حال اجرا زمان را نشان می دهد");

2) (28 > 7) و (300/5 = 60) ;

3) ("تلویزیون - وسیله برقی") و ("شیشه - چوب");

4) Not((300 > 100) OR ("شما می توانید تشنگی خود را با آب رفع کنید"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

مثال 4.جملات پیچیده زیر را با استفاده از عملیات منطقی بنویسید و مقادیر منطقی آنها را محاسبه کنید:

1) "اگر ساعت زمان را اشتباه نشان می دهد، ممکن است در زمان اشتباه به کلاس برسید"؛

2) "در آینه می توانید انعکاس خود و پاریس، پایتخت ایالات متحده آمریکا را ببینید".

مثال 5.مقدار بولی یک عبارت را تعیین کنید

(ص → q) ↔ (r → س) ,

ص = "278 > 5" ,

q= "سیب = پرتقال",

ص = "0 = 9" ,

س= "کلاه سر را می پوشاند".

فرمول های منطق گزاره ای

مفهوم شکل منطقی یک عبارت پیچیده با استفاده از مفهوم روشن می شود فرمول های منطق گزاره ای .

در مثال های 1 و 2 یاد گرفتیم که عبارات پیچیده را با استفاده از عملیات منطقی بنویسیم. در واقع به آنها فرمول های منطق گزاره ای می گویند.

برای نشان دادن عبارات، مانند مثال ذکر شده، ما همچنان از حروف استفاده می کنیم

ص, q, r, ..., ص 1 , q 1 , r 1 , ...

این حروف نقش متغیرهایی را ایفا می کنند که مقادیر true و true و false را به عنوان مقادیر در نظر می گیرند. به این متغیرها متغیرهای گزاره ای نیز می گویند. در ادامه با آنها تماس خواهیم گرفت فرمول های ابتدایی یا اتم ها .

برای ساخت فرمول های منطق گزاره ای، علاوه بر حروف ذکر شده در بالا، از علائم عملیات منطقی استفاده می شود.

~, ∧, ∨, →, ↔,

و همچنین نمادهایی که امکان خواندن بدون ابهام فرمول ها را فراهم می کند - براکت چپ و راست.

مفهوم فرمول های منطق گزاره ای بیایید آن را به صورت زیر تعریف کنیم:

1) فرمول های ابتدایی (اتم ها) فرمول های منطق گزاره ای هستند.

2) اگر الفو ب- فرمول های منطق گزاره ای، سپس ~ الف , (الف ∧ ب) , (الف ∨ ب) , (الف → ب) , (الف ↔ ب) نیز فرمول های منطق گزاره ای هستند;

3) فقط آن عبارات فرمول های منطق گزاره ای هستند که این از 1) و 2 نتیجه می شود.

تعریف فرمول منطق گزاره ای شامل فهرستی از قوانین تشکیل این فرمول ها است. طبق تعریف، هر فرمول منطقی گزاره‌ای یا یک اتم است یا از اتم‌ها در نتیجه به کارگیری منسجم قانون 2 تشکیل شده است.

مثال 6.اجازه دهید ص- جمله واحد (اتم) "همه اعداد گویا واقعی هستند" q- "برخی از اعداد واقعی اعداد گویا هستند" r- "برخی از اعداد گویا واقعی هستند." فرمول های منطق گزاره ای زیر را به صورت گزاره های کلامی ترجمه کنید:

6) .

1) "هیچ اعداد واقعی که گویا باشند وجود ندارد"؛

2) "اگر همه اعداد گویا واقعی نیستند، پس خیر اعداد گویا، که معتبر هستند"؛

3) «اگر همه اعداد گویا حقیقی باشند، برخی از اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی از اعداد گویا واقعی هستند».

4) «همه اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی اعداد گویا اعداد حقیقی هستند».

5) «همه اعداد گویا حقیقی هستند اگر و فقط در صورتی که اینطور نباشد که همه اعداد گویا واقعی نباشند».

6) «اینطور نیست که همه اعداد گویا حقیقی نباشند و اعداد حقیقی گویا یا اعداد گویا وجود نداشته باشند».

مثال 7.یک جدول صدق برای فرمول منطق گزاره ای ایجاد کنید ، که در جدول قابل تعیین است f .

راه حل. با ثبت مقادیر ("درست" یا "نادرست") برای گزاره های منفرد (اتم ها) شروع به جمع آوری جدول صدق می کنیم. ص , qو r. تمام مقادیر ممکن در هشت ردیف جدول نوشته شده است. علاوه بر این، هنگام تعیین مقادیر عملیات ضمنی و حرکت به سمت راست در جدول، به یاد می‌آوریم که وقتی «نادرست» از «درست» آمده است، مقدار برابر با «نادرست» است.

توجه داشته باشید که هیچ اتمی شکل ~ را ندارد الف , (الف ∧ ب) , (الف ∨ ب) , (الف → ب) , (الف ↔ ب) . فرمول های پیچیده این نوع را دارند.

اگر آن را بپذیریم، تعداد پرانتزها در فرمول های منطق گزاره ای کاهش می یابد

1) در فرمول پیچیدهما جفت بیرونی براکت ها را حذف می کنیم.

2) بیایید علائم عملیات منطقی را "به ترتیب تقدم" ترتیب دهیم:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

در این لیست، علامت ↔ بیشترین دامنه و علامت ~ کمترین دامنه را دارد. دامنه یک علامت عملیاتی به آن بخشهایی از فرمول منطق گزاره ای اطلاق می شود که وقوع این علامت مورد نظر در مورد آنها اعمال می شود (که بر اساس آن عمل می کند). بنابراین، می توان در هر فرمولی آن جفت پرانتز را که می توان بازیابی کرد، با در نظر گرفتن "ترتیب تقدم" حذف کرد. و هنگام بازگردانی پرانتز ابتدا تمام پرانتزهای مربوط به همه رخدادهای علامت ~ قرار می گیرند (از چپ به راست حرکت می کنیم) سپس به همه رخدادهای علامت ∧ و غیره.

مثال 8.پرانتزها را در فرمول منطق گزاره ای بازیابی کنید ب ↔ ~ سی ∨ D ∧ الف .

راه حل. براکت ها گام به گام به شرح زیر بازیابی می شوند:

ب ↔ (~ سی) ∨ D ∧ الف

ب ↔ (~ سی) ∨ (D ∧ الف)

ب ↔ ((~ سی) ∨ (D ∧ الف))

(ب ↔ ((~ سی) ∨ (D ∧ الف)))

هر فرمول منطقی گزاره ای را نمی توان بدون پرانتز نوشت. مثلا در فرمول ها الف → (ب → سی) و ~( الف → ب) حذف بیشتر براکت ها امکان پذیر نیست.

توتولوژی ها و تضادها

توتولوژی های منطقی (یا به سادگی توتولوژی ها) فرمول های منطق گزاره ای هستند به گونه ای که اگر حروف خودسرانه با گزاره هایی (درست یا نادرست) جایگزین شوند، نتیجه همیشه یک گزاره درست خواهد بود.

از آنجایی که صدق یا نادرستی گزاره های پیچیده فقط به معانی بستگی دارد، نه به محتوای گزاره ها، که هر کدام با حرف خاصی مطابقت دارد، پس بررسی اینکه آیا یک گزاره داده شده یک توتولوژی است یا نه، می تواند به روش زیر انجام شود. در عبارت مورد مطالعه، مقادیر 1 و 0 (به ترتیب "درست" و "نادرست") به تمام روش های ممکن جایگزین حروف می شوند و مقادیر منطقی عبارات با استفاده از عملیات منطقی محاسبه می شوند. اگر همه این مقادیر برابر با 1 باشند، عبارت مورد مطالعه یک توتولوژی است، و اگر حداقل یک جایگزینی 0 را به دست آورد، آن یک توتولوژی نیست.

بنابراین، یک فرمول منطقی گزاره ای که مقدار "true" را برای هر توزیعی از مقادیر اتم های موجود در این فرمول می گیرد، نامیده می شود. یکسان با فرمول واقعی یا توتولوژی .

معنای مخالف یک تناقض منطقی است. اگر تمام مقادیر عبارات برابر با 0 باشد، عبارت یک تناقض منطقی است.

بنابراین، یک فرمول منطقی گزاره ای که مقدار "نادرست" را برای هر توزیعی از مقادیر اتم های موجود در این فرمول می گیرد، نامیده می شود. فرمول یکسان نادرست یا تناقض .

علاوه بر توتولوژی ها و تضادهای منطقی، فرمول هایی از منطق گزاره ای وجود دارد که نه توتولوژی هستند و نه تناقض.

مثال 9.یک جدول صدق برای یک فرمول منطق گزاره ای بسازید و تعیین کنید که آیا این یک توتولوژی، یک تضاد یا هیچکدام نیست.

راه حل. بیایید یک جدول حقیقت ایجاد کنیم:

در معانی دلالت، خطی نمی یابیم که «درست» دلالت بر «کاذب» کند. تمام مقادیر عبارت اصلی برابر با "درست" است. در نتیجه، این فرمول منطق گزاره ای یک توتولوژی است.