در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از. در اینجا ما تعاریفی از توان یک عدد ارائه می دهیم، در حالی که همه توان های ممکن را به تفصیل در نظر می گیریم، از توان طبیعی شروع می کنیم و با توان غیر منطقی خاتمه می دهیم. در مطالب شما نمونه های زیادی از درجات را خواهید یافت که تمام ظرافت هایی را که به وجود می آید را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

توان با توان طبیعی، مربع یک عدد، مکعب یک عدد

بیا شروع کنیم با . با نگاهی به آینده، بیایید بگوییم که تعریف توان یک عدد a با توان طبیعی n برای a داده شده است که آن را می نامیم. پایه مدرکو n که ما آنها را صدا خواهیم کرد توان. همچنین توجه می کنیم که درجه ای با توان طبیعی از طریق یک محصول تعیین می شود، بنابراین برای درک مطالب زیر باید درک درستی از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عددی با توان طبیعی nعبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است، یعنی .
به طور خاص، توان یک عدد a با توان 1، خود عدد a است، یعنی a 1 =a.

شایان ذکر است فوراً در مورد قوانین خواندن مدارک تحصیلی ذکر شود. روش جهانی برای خواندن نماد a n این است: "a به توان n". در برخی موارد، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "الف به توان n ام" و "نام قدرت a". برای مثال، بیایید توان 8 12 را در نظر بگیریم، این "هشت به توان دوازده" یا "هشت به توان دوازدهم" یا "دوازدهمین توان از هشت" است.

توان دوم یک عدد و همچنین توان سوم یک عدد نام های خاص خود را دارند. توان دوم یک عدد نامیده می شود مربع عددبه عنوان مثال، 7 2 به عنوان "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" خوانده می شود. توان سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعبیبه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "پنج مکعب" خواند یا می توانید بگویید "مکعب عدد 5".

وقت آوردن است نمونه هایی از درجه با توان طبیعی. بیایید با درجه 5 7 شروع کنیم، در اینجا 5 پایه درجه است و 7 توان است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 توان (4.32) 9 است.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه توان 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از مغایرت، تمام پایه های توان را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند را در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال، درجات زیر را با توان های طبیعی می آوریم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب، برای وضوح کامل، در این مرحله تفاوت موجود در رکوردهای فرم (-2) 3 و -2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (-2) 3 توان 2- با توان طبیعی 3 است و عبارت -2 3 (می توان آن را به صورت -(2 3) نوشت) با عدد، مقدار توان 2 3 مطابقت دارد. .

توجه داشته باشید که یک نماد برای توان یک عدد a با توان n به شکل a^n وجود دارد. علاوه بر این، اگر n یک عدد طبیعی چند مقداری باشد، توان در پرانتز گرفته می شود. برای مثال، 4^9 نماد دیگری برای توان 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" وجود دارد: 14^(21) , (−2,1)^(155) . در ادامه، ما در درجه اول از نماد درجه به شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از مشکلات معکوس افزایش توان با توان طبیعی، مشکل یافتن پایه توان از یک مقدار معلوم توان و یک توان شناخته شده است. این وظیفه منجر به .

معلوم است که بسیاری اعداد گویاهر کدام از اعداد کامل و کسری تشکیل شده است یک عدد کسریرا می توان به صورت مثبت یا منفی نشان داد کسر مشترک. در پاراگراف قبل، درجه را با یک توان عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین، برای تکمیل تعریف درجه با شاخص منطقی، باید به توان عدد a با یک توان کسری m/n معنی بدهید که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید درجه ای را با یک توان کسری شکل در نظر بگیریم. برای اینکه ویژگی قدرت به قدرت معتبر باقی بماند، برابری باید برقرار باشد . اگر برابری حاصل و نحوه تعیین مان را در نظر بگیریم، منطقی است که آن را بپذیریم، مشروط بر اینکه برای m، n و a داده شده، عبارت معنا داشته باشد.

به راحتی می توان بررسی کرد که همه ویژگی های یک درجه با توان صحیح معتبر هستند (این کار در بخش خصوصیات یک درجه با توان گویا انجام شد).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد تا موارد زیر را بیان کنیم نتیجه: اگر عبارت m، n و a معنی داشته باشد، توان a با توان کسری m/n را ریشه n ام به توان m می نامند.

این عبارت ما را به تعریف درجه با توان کسری نزدیک می کند. تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که توصیف کنیم که عبارت در چه چیزی m، n و a معنا دارد. بسته به محدودیت هایی که بر روی m، n و a اعمال می شود، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه این است که با گرفتن a≥0 برای m مثبت و a>0 برای m منفی، یک محدودیت بر a اعمال کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از درجه با توان کسری بدست می آوریم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، ریشه n عدد a به توان m نامیده می شود، یعنی .

توان کسری صفر نیز با این نکته مشخص می شود که نشانگر باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با توان مثبت کسری m/n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه عدد صفر با کسری شاخص منفیمعنی ندارد

لازم به ذکر است که با این تعریف از درجه با توان کسری، یک اخطار وجود دارد: برای برخی منفی a و برخی m و n، عبارت معنا پیدا می کند و ما با ارائه شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال، ورودی ها منطقی هستند یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند بگوییم که توان هایی با یک توان کسری شکل منطقی نیست، زیرا پایه نباید منفی باشد.

روش دیگر برای تعیین درجه با توان کسری m/n، در نظر گرفتن مجزا نماهای زوج و فرد ریشه است. این روش مستلزم یک شرط اضافی است: توان عدد a که توان آن برابر است به عنوان توان عدد a در نظر گرفته می شود که توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (در زیر اهمیت این شرط را توضیح خواهیم داد. ). یعنی اگر m/n کسری تقلیل ناپذیر باشد، برای هر عدد طبیعی k درجه ابتدا با .

برای n و m مثبت، عبارت برای هر غیرمنفی a معنا دارد (ریشه زوج یک عدد منفی برای m معنی ندارد، عدد a همچنان باید با صفر متفاوت باشد (در غیر این صورت تقسیم وجود خواهد داشت). با صفر). و برای n فرد و m مثبت، عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی، عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر وجود نداشته باشد. صفر).

استدلال فوق ما را به این تعریف درجه با توان کسری می رساند.

تعریف.

فرض کنید m/n یک کسری تقلیل ناپذیر، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسر قابل تقلیل، درجه با . توان عددی با توان کسری تقلیل ناپذیر m/n برابر است



اجازه دهید توضیح دهیم که چرا درجه ای با توان کسری تقلیل پذیر ابتدا با درجه ای با توان تقلیل ناپذیر جایگزین می شود. اگر صرفاً درجه را به صورت تعریف کنیم و در مورد تقلیل ناپذیری کسر m/n قید نکنیم، با موقعیت‌هایی مشابه موارد زیر مواجه می‌شویم: از آنجایی که 6/10 = 3/5 است، پس برابری باید برقرار باشد. ، ولی ، آ .

قسمت دوم. فصل 6
دنباله ای از اعداد

مفهوم درجه با توان غیر منطقی

بگذارید یک عدد مثبت و a یک عدد غیر منطقی باشد.
به عبارت a* چه معنایی باید داد؟
برای شفاف‌تر شدن ارائه، آن را به صورت خصوصی انجام می‌دهیم
مثال. یعنی یک - 2 و a = 1، 624121121112 قرار می دهیم. . . .
اینجا، و - بی پایان اعشاری، بر این اساس تدوین شده است
قانون: شروع از رقم چهارم اعشار، برای تصویر a
فقط از اعداد 1 و 2 استفاده می شود و تعداد اعداد 1 است.
در یک ردیف قبل از عدد 2 نوشته شده است، همیشه افزایش می یابد
یکی کسر a غیر تناوبی است، زیرا در غیر این صورت تعداد ارقام 1 است،
ثبت شده در یک ردیف در تصویر او محدود خواهد بود.
بنابراین، a یک عدد غیر منطقی است.
بنابراین، چه معنایی باید به عبارت داده شود
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . آر
برای پاسخ به این سوال، بیایید دنباله ای از مقادیر را ایجاد کنیم
و با کمبود و مازاد با دقت (0.1)*. ما گرفتیم
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
بیایید دنباله های مربوط به توان های عدد 2 را ایجاد کنیم:
2M. 2M*; 21*624; 21'62*1; ...، (3)
21D. 21" 63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
دنباله (3) با افزایش دنباله افزایش می یابد
(1) (قضیه 2 § 6).
دنباله (4) در حال کاهش است زیرا دنباله در حال کاهش است
(2).
هر جمله از دنباله (3) کمتر از هر جمله دنباله است
(4)، و بنابراین دنباله (3) محدود است
از بالا، و دنباله (4) از پایین محدود شده است.
بر اساس قضیه توالی محدود یکنواخت
هر کدام از دنباله های (3) و (4) حدی دارند. اگر

384 مفهوم درجه ج شاخص غیر منطقی. .

اکنون معلوم می شود که تفاوت بین دنباله های (4) و (3) همگرا می شود
به صفر برسد، سپس نتیجه خواهد شد که هر دوی این دنباله ها،
یک حد مشترک دارند
تفاوت جمله های اول دنباله های (3) و (4)
21-7 - 21'* = 2|، در (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
تفاوت ترم دوم
21:63 - 21.62 = 21.62 (2°'01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
تفاوت جمله های n
0,0000. ..0 1
2>.««…(2" - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
بر اساس قضیه 3 § 6
لیم 10 اینچ / 2 = 1.
بنابراین، دنباله های (3) و (4) یک حد مشترک دارند. این
حد تنها عدد واقعی است که بزرگتر است
همه اعضای دنباله (3) و کمتر از همه اعضای دنباله
(4)، توصیه می شود آن را مقدار دقیق 2 * در نظر بگیرید.
از آنچه گفته شد چنین استنباط می شود که به طور کلی قبول است
تعریف زیر:
تعریف. اگر a^> 1، قدرت a با غیر منطقی است
توان a یک عدد واقعی است
که از تمام توان های این عدد که نماهای آن هستند بیشتر است
تقریب های منطقی a با نقطه ضعف، و کمتر از همه درجات
این عدد که نماهای آن تقریب های گویا و با
اضافی.
اگر یک<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
عدد واقعی است که از همه توان ها بیشتر است
این عدد که نماهای آن تقریب های گویا و
با مازاد و کمتر از تمام توان های این عدد که شاخص های آن
- تقریب های منطقی a با یک نقطه ضعف.
اگر a- 1 باشد، درجه آن با توان غیر منطقی a
1 است.
با استفاده از مفهوم حد می توان این تعریف را تدوین کرد
بنابراین:
توان یک عدد مثبت با توان غیر منطقی
و حدی که دنباله به آن تمایل دارد نامیده می شود
قدرت های گویا این عدد، مشروط بر اینکه دنباله
شارحان این قدرت ها به a، یعنی.
аа = lim аЧ
ب - *
13 D، K. Fatsheev، I. S. Sominsky

درجه ای با توان منطقی، ویژگی های آن.

عبارت a n برای همه a و n تعریف شده است، به جز مورد a=0 برای n≤0. بیایید ویژگی های چنین قدرت هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر اعداد a، b و هر اعداد صحیح m و n برابری ها معتبر هستند:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0)؛ a 1 =a; a 0 = 1 (a≠0).

به ویژگی زیر نیز توجه کنید:

اگر m>n، یک m >a n برای a>1 و a m<а n при 0<а<1.

در این بخش مفهوم توان های یک عدد را تعمیم می دهیم و به عبارات نوع 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 و غیره طبیعی است که تعریفی به گونه ای ارائه شود که توان های دارای توان های گویا دارای همان ویژگی ها (یا حداقل بخشی از آنها) با توان های دارای توان های عدد صحیح باشند. سپس، به طور خاص، توان nام عددباید برابر با a باشدمتر . در واقع، اگر ملک

(a p) q =a pq

سپس اجرا می شود

آخرین تساوی (با تعریف ریشه n) به این معنی است که عددباید ریشه n a باشدمتر

تعریف.

توان یک عدد a>0 با توان گویا r=، که در آن m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است (n> 1)، عدد است.

بنابراین، طبق تعریف

(1)

توان 0 فقط برای نماهای مثبت تعریف می شود. طبق تعریف 0 r = 0 برای هر r>0.

درجه با توان غیر منطقی.

عدد گنگرا می توان در فرم نشان دادحد دنباله ای از اعداد گویا: .

اجازه دهید . سپس قدرت هایی با توان منطقی وجود دارد. می توان ثابت کرد که توالی این قوا همگرا هستند. حد این دنباله نامیده می شود درجه با توان پایه و غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه روی نمودار تابع y = 2 رسم کنیمایکس قبلاً مقدار 2 را با استفاده از ماشین حساب محاسبه کرده باشیدایکس در بخش [-2; 3] با گام 1/4 (شکل 1, a) و سپس با گام 1/8 (شکل 1, b ادامه ذهنی همان ساخت و ساز با مراحل 1/16, 1/32). و غیره، می بینیم که نقاط به دست آمده را می توان با یک منحنی صاف به هم متصل کرد، که به طور طبیعی می توان آن را نمودار یک تابع در نظر گرفت، که در طول کل خط اعداد تعریف شده و افزایش می یابد و مقادیر را می گیرد.در نقاط عقلانی(شکل 1، ج). به اندازه کافی ساخته شده است عدد بزرگنقاط نمودار تابع، می توانید مطمئن شوید که این تابع دارای ویژگی های مشابه است (تفاوت در این است که تابعدر R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که اعداد 2 را می توان به این شکل تعریف کردα و برای هر α غیر منطقی، که توابع داده شده با فرمول y=2 x و پیوسته خواهد بود و تابع y=2ایکس افزایش می یابد و عملکرددر طول کل خط اعداد کاهش می یابد.

اجازه دهید به طور کلی نحوه تعیین عدد a را توضیح دهیم α برای α غیر منطقی برای a>1. ما می خواهیم اطمینان حاصل کنیم که تابع y = aایکس افزایش می یافت سپس برای هر r عقلی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<αباید نابرابری های الف را برآورده کند r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x، می توان متوجه شد که مقادیر مربوط به a r 1 و a r 2 کمی متفاوت خواهد بود. می توان ثابت کرد که فقط یک عدد y وجود دارد که از همه a بزرگتر است r 1 برای همه r منطقی 1 و حداقل a r 2 برای همه r منطقی 2 . این عدد y طبق تعریف a است α .

به عنوان مثال، با استفاده از یک ماشین حساب برای محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n، جایی که x n و x` n - تقریب اعشاری اعدادمتوجه خواهیم شد که هر چه x نزدیکتر باشد n و x`n k ، 2 کمتر متفاوت است x n و 2 x` n .

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب، با در نظر گرفتن تقریب اعشاری زیربا توجه به کمبود و زیاده روی به روابط می رسیم

;

;

;

;

.

معنی محاسبه شده در ماشین حساب عبارت است از:

.

عدد a نیز به همین ترتیب تعیین می شود α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 برای هر α و 0α = 0 برای α> 0.

تابع نمایی.

در آ > 0, آ = 1، تابع تعریف شده است y = a ایکس، متفاوت از ثابت. این تابع نامیده می شود تابع نماییبا پایهآ.

y=a ایکسدر آ> 1:

نمودارهای توابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ> 1 در شکل نشان داده شده است.

ویژگی های اصلی تابع نمایی y=a ایکسدر 0< آ < 1:

• دامنه تعریف یک تابع کل خط اعداد است.
• محدوده عملکرد - بازه (0; + ) .
• این تابع در کل خط اعداد به شدت یکنواخت افزایش می یابد، یعنی اگر ایکس 1 < x 2، سپس تبر 1 > a x 2 .
• در ایکس= 0 مقدار تابع 1 است.
• اگر ایکس> 0، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
به خواص عمومیتابع نمایی مانند 0< a < 1, так и при a > 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - x= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکسبرای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ

درجه ای با توان منطقی، ویژگی های آن.

عبارت a n برای همه a و n تعریف شده است، به جز مورد a=0 برای n≤0. بیایید ویژگی های چنین قدرت هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر اعداد a، b و هر اعداد صحیح m و n برابری ها معتبر هستند:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0)؛ a 1 =a; a 0 = 1 (a≠0).

به ویژگی زیر نیز توجه کنید:

اگر m>n، یک m >a n برای a>1 و a m<а n при 0<а<1.

در این بخش مفهوم توان های یک عدد را تعمیم می دهیم و به عبارات نوع 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 و غیره طبیعی است که تعریفی به گونه ای ارائه شود که توان های دارای توان های گویا دارای همان ویژگی ها (یا حداقل بخشی از آنها) با توان های دارای توان های عدد صحیح باشند. سپس، به طور خاص، توان nام عددباید برابر با a باشدمتر . در واقع، اگر ملک

(a p) q =a pq

سپس اجرا می شود

آخرین تساوی (با تعریف ریشه n) به این معنی است که عددباید ریشه n a باشدمتر

تعریف.

توان یک عدد a>0 با توان گویا r=، که در آن m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است (n> 1)، عدد است.

بنابراین، طبق تعریف

(1)

توان 0 فقط برای نماهای مثبت تعریف می شود. طبق تعریف 0 r = 0 برای هر r>0.

درجه با توان غیر منطقی.

عدد گنگرا می توان در فرم نشان دادحد دنباله ای از اعداد گویا: .

اجازه دهید . سپس قدرت هایی با توان منطقی وجود دارد. می توان ثابت کرد که توالی این قوا همگرا هستند. حد این دنباله نامیده می شود درجه با توان پایه و غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه روی نمودار تابع y = 2 رسم کنیمایکس قبلاً مقدار 2 را با استفاده از ماشین حساب محاسبه کرده باشیدایکس در بخش [-2; 3] با گام 1/4 (شکل 1, a) و سپس با گام 1/8 (شکل 1, b ادامه ذهنی همان ساخت و ساز با مراحل 1/16, 1/32). و غیره، می بینیم که نقاط به دست آمده را می توان با یک منحنی صاف به هم متصل کرد، که به طور طبیعی می توان آن را نمودار یک تابع در نظر گرفت، که در طول کل خط اعداد تعریف شده و افزایش می یابد و مقادیر را می گیرد.در نقاط عقلانی(شکل 1، ج). با ساختن تعداد کافی نقاط در نمودار تابع، می توانید مطمئن شوید که این تابع دارای ویژگی های مشابه است (تفاوت در این است که تابعدر R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که اعداد 2 را می توان به این شکل تعریف کردα و برای هر α غیر منطقی، که توابع داده شده با فرمول y=2 x و پیوسته خواهد بود و تابع y=2ایکس افزایش می یابد و عملکرددر طول کل خط اعداد کاهش می یابد.

اجازه دهید به طور کلی نحوه تعیین عدد a را توضیح دهیم α برای α غیر منطقی برای a>1. ما می خواهیم اطمینان حاصل کنیم که تابع y = aایکس افزایش می یافت سپس برای هر r عقلی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<αباید نابرابری های الف را برآورده کند r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x، می توان متوجه شد که مقادیر مربوط به a r 1 و a r 2 کمی متفاوت خواهد بود. می توان ثابت کرد که فقط یک عدد y وجود دارد که از همه a بزرگتر است r 1 برای همه r منطقی 1 و حداقل a r 2 برای همه r منطقی 2 . این عدد y طبق تعریف a است α .

به عنوان مثال، با استفاده از یک ماشین حساب برای محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n، جایی که x n و x` n - تقریب اعشاری اعدادمتوجه خواهیم شد که هر چه x نزدیکتر باشد n و x`n k ، 2 کمتر متفاوت است x n و 2 x` n .

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب، با در نظر گرفتن تقریب اعشاری زیربا توجه به کمبود و زیاده روی به روابط می رسیم

;

;

;

;

.

معنی محاسبه شده در ماشین حساب عبارت است از:

.

عدد a نیز به همین ترتیب تعیین می شود α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 برای هر α و 0α = 0 برای α> 0.

تابع نمایی.

در آ > 0, آ = 1، تابع تعریف شده است y = a ایکس، متفاوت از ثابت. این تابع نامیده می شود تابع نماییبا پایهآ.

y=a ایکسدر آ> 1:

نمودارهای توابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ> 1 در شکل نشان داده شده است.

ویژگی های اصلی تابع نمایی y=a ایکسدر 0< آ < 1:

• دامنه تعریف یک تابع کل خط اعداد است.
• محدوده عملکرد - بازه (0; + ) .
• این تابع در کل خط اعداد به شدت یکنواخت افزایش می یابد، یعنی اگر ایکس 1 < x 2، سپس تبر 1 > a x 2 .
• در ایکس= 0 مقدار تابع 1 است.
• اگر ایکس> 0، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
به خصوصیات کلی تابع نمایی مانند 0< a < 1, так и при a > 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - x= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکسبرای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ

رونق اطلاعات در زیست شناسی - مستعمرات میکروب ها در ظرف پتری خرگوش ها در استرالیا واکنش های زنجیره ای - در شیمی در فیزیک - فروپاشی رادیواکتیو، تغییر فشار جوبا تغییر در ارتفاع، خنک شدن بدن در فیزیک - فروپاشی رادیواکتیو، تغییر در فشار اتمسفر با تغییر در ارتفاع، خنک شدن بدن. انتشار آدرنالین در خون و از بین رفتن آن نیز ادعا می کنند که میزان اطلاعات هر 10 سال دو برابر می شود.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

بیان 2 x 2 2 = 4 2 5 = = = 1/2 4 = 1/16 2 4/3 = 32 4 = 0.5 = 1/2 3.5 = 1/2 7 = 1/(8 2) = 2/ 16 2) =

3=1، … 1; 1.7 1.73; 1.732;1.73205; 1, ;… توالی افزایش می یابد 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73; 2 1.732; 2 1.73205 ; 2 1، ؛... دنباله Bounded افزایش می یابد، به این معنی که به یک حد همگرا می شود - مقدار 2 3

می توان π 0 را تعریف کرد

10 10 18 ویژگی های تابع y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="ویژگی های تابع y = a x n \ n a >10 21

مقدار اطلاعات هر 10 سال در امتداد محور Ox دو برابر می شود - طبق قانون پیشروی حسابی: 1،2،3،4…. در امتداد محور Oy - طبق قانون پیشرفت هندسی: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... نمودار یک تابع نمایی که به آن توان می گویند (از لاتین exponere - برای خودنمایی)