اگر برای هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید a n ، سپس می گویند داده شده است دنباله اعداد :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین، دنباله اعداد تابعی از آرگومان طبیعی است.

عدد آ 1 تماس گرفت اولین ترم دنباله ، عدد آ 2 — ترم دوم دنباله ، عدد آ 3 — سوم و غیره عدد a n تماس گرفت ترم نهمدنباله ها و یک عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو مجاور a n و a n +1 عضو سکانس a n +1 تماس گرفت متعاقب (به سمت a n )، آ a n — قبلی (به سمت a n +1 ).

برای تعریف یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد عضوی از دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب توالی با استفاده از آن مشخص می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

مثلا،

دنباله ای از اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست آورد

a n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر عضوی از دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

مثلا،

اگر آ 1 = 1 ، آ a n +1 = a n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک 1= 1, یک 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت جمله اول دنباله عددی به صورت زیر ایجاد می شود:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی می تواند باشد نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی ، اگر تعداد اعضا محدود باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان ، اگر تعداد اعضای آن بی نهایت زیاد باشد.

مثلا،

دنباله ای از اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، اگر هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود در حال کاهش ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

مثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - توالی کاهشی ◄

دنباله ای که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو با شروع از دومی برابر با عضو قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n, . . .

در صورت وجود، یک پیشرفت حسابی است عدد طبیعی n شرط برقرار است:

a n +1 = a n + د,

جایی که د - یک عدد مشخص

بنابراین، تفاوت بین شرایط بعدی و قبلی یک داده شده است پیشرفت حسابیهمیشه ثابت:

یک 2 - آ 1 = یک 3 - آ 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

عدد د تماس گرفت تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تعریف یک تصاعد حسابی کافی است اولین جمله و تفاوت آن را نشان دهیم.

مثلا،

اگر آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشروی حسابی با جمله اول آ 1 و تفاوت د او n

a n = یک 1 + (n- 1)د

مثلا،

جمله سی ام پیشروی حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

a n= یک 1 + (n- 1)د،

a n +1 = آ 1 + nd,

سپس به وضوح

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی از یک پیشروی حسابی هستند، اگر و فقط اگر یکی از آنها با میانگین حسابی دو نفر دیگر برابر باشد.

مثلا،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

◄

توجه داشته باشید که n ترم امین یک پیشروی حسابی را می توان نه تنها از طریق پیدا کرد آ 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

a n = یک ک + (n- ک)د.

مثلا،

برای آ 5 را می توان نوشت

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

a n = یک n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

سپس به وضوح

هر عضوی از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نصف مجموع اعضای این پیشروی حسابی با فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی برابری زیر برقرار است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

مثلا،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, زیرا

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

اولین n عبارات یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی و تعداد عبارت‌ها:

از اینجا، به ویژه، نتیجه می شود که اگر شما نیاز به جمع بندی شرایط دارید

یک ک, یک ک +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

مثلا،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، پس کمیت ها آ 1 , a n, د, nواس n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. که در آن:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با یکی قبلی ضرب در همان عدد است.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - یک عدد مشخص

بنابراین، نسبت جمله بعدی یک پیشرفت هندسی معین به قبلی یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q تماس گرفت مخرج پیشرفت هندسی.

برای تعریف یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنیم.

مثلا،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت هفتم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · qn -1 .

مثلا،

جمله هفتم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ب 1 · qn -2 ,

b n = ب 1 · qn -1 ,

b n +1 = ب 1 · qn,

سپس به وضوح

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، عبارت زیر صادق است:

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند، اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو عدد دیگر باشد.

مثلا،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله داده شده توسط فرمول b n= -3 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نظر را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم هفتم یک پیشرفت هندسی را نه تنها می توان از طریق آن یافت ب 1 ، بلکه هر عضو قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · qn - ک.

مثلا،

برای ب 5 را می توان نوشت

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · qn - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس به وضوح

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مجذور هر جمله از یک تصاعد هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با حاصل ضرب عبارت های این پیشروی در فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

مثلا،

در پیشرفت هندسی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , زیرا

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که اگر نیاز به جمع بندی شرایط دارید

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

مثلا،

در پیشرفت هندسی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای یک پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: جمله های آن با اعداد فرد دارای علامت مشابه با جمله اول هستند و عبارت های دارای اعداد زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n شرایط یک پیشرفت هندسی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

Pn= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

مثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است یک پیشروی هندسی نامتناهی نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، به این معنا که

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است دنباله ای کاهشی نباشد. متناسب با موقعیت است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله متناوب است. مثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع اولین ها بدون محدودیت به آن نزدیک می شود نام ببرید n اعضای یک پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

مثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د ، آن

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

مثلا،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q ، آن

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

مثلا،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

ریاضی یعنی چیمردم طبیعت و خودشان را کنترل می کنند.

ریاضیدان شوروی، آکادمیک A.N. کولموگروف

پیشرفت هندسی.

در کنار مسائل مربوط به پیشرفت های حسابی، مسائل مربوط به مفهوم پیشرفت هندسی نیز در کنکور ریاضی رایج است. برای حل موفقیت آمیز چنین مسائلی، باید ویژگی های پیشروی های هندسی را بدانید و مهارت های خوبی در استفاده از آنها داشته باشید.

این مقاله به ارائه خصوصیات اساسی پیشروی هندسی اختصاص دارد. نمونه هایی از حل مسائل معمولی نیز در اینجا ارائه شده است., وام گرفته شده از تکالیف کنکور ریاضی.

اجازه دهید ابتدا ویژگی های اساسی پیشرفت هندسی را یادداشت کنیم و مهم ترین فرمول ها و عبارات را به خاطر بیاوریم., مربوط به این مفهوم

تعریف.دنباله اعدادی را پیشروی هندسی می نامند اگر هر عددی که از عدد دوم شروع می شود برابر با عدد قبلی باشد که در همان عدد ضرب شود. عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می گویند.

برای پیشرفت هندسیفرمول ها معتبر هستند

, (1)

جایی که . فرمول (1) فرمول عبارت کلی یک پیشروی هندسی نامیده می‌شود و فرمول (2) نشان‌دهنده ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی است: هر جمله از پیشرفت با میانگین هندسی عبارت‌های همسایه و .

توجه داشته باشید، که دقیقاً به دلیل همین ویژگی است که پیشرفت مورد بحث "هندسی" نامیده می شود.

فرمول های (1) و (2) فوق به صورت زیر تعمیم داده می شوند:

, (3)

برای محاسبه مقداراولین اعضای یک پیشرفت هندسیفرمول اعمال می شود

اگر نشان دهیم، پس

جایی که . از آنجایی که فرمول (6) تعمیم فرمول (5) است.

در صورتی که و پیشرفت هندسیبی نهایت در حال کاهش است برای محاسبه مقداراز تمام عبارات یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت کاهشی، از فرمول استفاده می‌شود

. (7)

مثلا ، با استفاده از فرمول (7) می توانیم نشان دهیم، چی

جایی که . این برابری ها از فرمول (7) به دست می آیند که، (برابری اول) و، (برابری دوم).

قضیه.اگر پس از آن

اثبات اگر پس از آن

قضیه ثابت شده است.

بیایید به بررسی نمونه هایی از حل مسائل در موضوع "پیشرفت هندسی" بپردازیم.

مثال 1.با توجه به:، و. پیدا کردن .

راه حل.اگر فرمول (5) را اعمال کنیم، پس

پاسخ: .

مثال 2.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.از آنجایی که و از فرمول های (5)، (6) استفاده می کنیم و یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله دوم سیستم (9) بر معادله اول تقسیم شود، سپس یا . از این نتیجه می شود که . بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. اگر، سپس از معادله اول سیستم (9) داریم.

2. اگر، پس.

مثال 3.اجازه دهید، و. پیدا کردن .

راه حل.از فرمول (2) نتیجه می شود که یا . از آن پس یا .

با شرط. با این حال، بنابراین. از آنجایی که و سپس در اینجا ما یک سیستم معادلات داریم

اگر معادله دوم سیستم بر معادله اول تقسیم شود، یا .

از آنجایی که معادله یک ریشه مناسب منحصر به فرد دارد. در این حالت از معادله اول سیستم نتیجه می شود.

با در نظر گرفتن فرمول (7) بدست می آوریم.

پاسخ: .

مثال 4.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.از آن به بعد.

از آن پس یا

طبق فرمول (2) داریم . در این راستا از برابری (10) یا .

با این حال، به شرط، بنابراین.

مثال 5.مشخص است که . پیدا کردن .

راه حل. طبق قضیه دو برابری داریم

از آن پس یا . چون پس .

پاسخ: .

مثال 6.داده شده: و . پیدا کردن .

راه حل.با در نظر گرفتن فرمول (5) بدست می آوریم

از آن به بعد. از آن زمان و سپس .

مثال 7.بگذار باشد. پیدا کردن .

راه حل.با توجه به فرمول (1) می توانیم بنویسیم

بنابراین، داریم یا . معلوم است که و , بنابراین و .

پاسخ: .

مثال 8.مخرج یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را پیدا کنید اگر

و .

راه حل. از فرمول (7) به دست می آیدو . از اینجا و از شرایط مسئله یک سیستم معادلات به دست می آوریم

اگر معادله اول سیستم مربع باشد, و سپس معادله به دست آمده را بر معادله دوم تقسیم کنید، سپس دریافت می کنیم

یا .

پاسخ: .

مثال 9.تمام مقادیری را که دنباله , , یک پیشرفت هندسی است را بیابید.

راه حل.اجازه دهید، و. با توجه به فرمول (2) که ویژگی اصلی یک پیشرفت هندسی را تعریف می کند، می توانیم بنویسیم یا .

از اینجا معادله درجه دوم را بدست می آوریم, که ریشه آن استو .

بیایید بررسی کنیم: اگرو سپس و اگر، پس، و .

در مورد اول داریمو , و در دوم – و .

پاسخ: ، .

مثال 10.معادله را حل کنید

, (11)

کجا و .

راه حل. سمت چپ معادله (11) مجموع یک پیشروی هندسی نزولی نامتناهی است که در آن و با توجه به: و .

از فرمول (7) به دست می آید، چی . در این رابطه معادله (11) شکل می گیردیا . ریشه مناسب معادله درجه دوماست

پاسخ: .

مثال 11.پ دنباله ای از اعداد مثبتیک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهد، آ - پیشرفت هندسی، چه ربطی داره . پیدا کردن .

راه حل.زیرا توالی محاسباتی، آن (ویژگی اصلی پیشرفت حسابی). از آنجا که، سپس یا . این دلالت می کنه که ، که پیشروی هندسی فرم دارد. طبق فرمول (2)، سپس آن را یادداشت می کنیم.

از آن زمان و سپس . در این مورد، بیانشکل یا . به شرط، بنابراین از معادلهما گرفتیم تنها تصمیممشکل در حال بررسی، یعنی .

پاسخ: .

مثال 12.مجموع را محاسبه کنید

. (12)

راه حل. دو طرف مساوی (12) را در 5 ضرب کنید و بدست آورید

اگر (12) را از عبارت بدست آمده کم کنیم، آن

یا .

برای محاسبه، مقادیر را با فرمول (7) جایگزین می کنیم و بدست می آوریم. از آن به بعد.

پاسخ: .

نمونه هایی از حل مسئله که در اینجا آورده شده است برای متقاضیان در هنگام آمادگی برای کنکور مفید خواهد بود. برای مطالعه عمیق تر روش های حل مسئله, مربوط به پیشرفت هندسی, می تواند به کار رود وسایل کمک آموزشیاز فهرست ادبیات توصیه شده

1. مجموعه مسائل در ریاضیات برای متقاضیان کالج / ویرایش. M.I. اسکانوی. – م.: میر و آموزش، 1392. – 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: بخش های اضافی برنامه آموزشی مدرسه. - M.: Lenand / URSS، 2014. – 216 ص.

3. Medynsky M.M. دوره کامل ریاضیات ابتداییدر وظایف و تمرینات کتاب 2: توالی اعداد و پیشرفت ها. - م.: ویرایش، 2015. – 208 ص.

هنوز سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

در حال حاضر در مصر باستاننه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانست. برای مثال، مشکلی از پاپیروس رایند وجود دارد: «هفت صورت هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد و هر خوشه جو می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟

برنج. 1. مسئله پیشروی هندسی مصر باستان

این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن 13th. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه روم ظاهر می‌شوند (معلوماً زائر) که هر کدام دارای 7 قاطر هستند که هر کدام دارای 7 کیسه است. حاوی 7 نان است که هر کدام دارای 7 کارد و هر کدام دارای 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند شی وجود دارد.

مجموع n جمله اول پیشرفت هندسی S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . این فرمول را می توان مثلاً به این صورت اثبات کرد: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

عدد b 1 q n را به S n اضافه کنید و بدست آورید:

از اینجا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) و فرمول لازم را بدست می آوریم.

قبلاً بر روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم می رسد. قبل از میلاد مسیح e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که چگونه این واقعیت برای بابلی ها شناخته شده است. .

افزایش سریع پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، به طور مکرر به عنوان نماد بصری وسعت جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعش این فرصت را می دهد که خودش جایزه را انتخاب کند و او تعداد دانه های گندمی را می خواهد که اگر یکی در مربع اول صفحه شطرنج قرار گیرد، دو دانه گندم به دست می آید. دوم، چهار در سوم، هشت در چهارم، و غیره، هر بار تعداد دو برابر می شود. ولادیکا این فکر را کرد ما در مورد، حداکثر حدود چند کیسه، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید (2 64 - 1) دانه دریافت کند که به صورت یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا مقدار مورد نیاز غلات جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان نشان دهنده احتمالات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تفسیر می شود.

به راحتی می توان فهمید که این عدد واقعا 20 رقمی است:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 ∙10 19 می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟

اگر مخرج بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی می تواند افزایش یابد یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n برای n به اندازه کافی بزرگ می تواند به طور دلخواه کوچک شود. در حالی که پیشرفت هندسی فزاینده به طور غیرمنتظره ای به سرعت افزایش می یابد، پیشرفت هندسی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.

هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر با صفر متفاوت است و مجموع n ترم پیشروی هندسی Sn = b 1 (1 – q n) / (1 – q) به عدد S = b 1 / ( 1 - q). (مثلاً F. Viet اینگونه استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می نامند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این پرسش که معنای جمع کردن کل پیشرفت هندسی، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن چیست، برای ریاضیدانان به اندازه کافی روشن نبود.

یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان برای مثال در آپوریاهای زنو "Half Division" و "Achilles and the Tortoise" مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (با فرض طول 1) مجموع تعداد بی نهایت قطعه 1/2، 1/4، 1/8 و غیره است. البته این مورد از دیدگاه ایده ها در مورد یک پیشرفت هندسی نامتناهی با مجموع محدود. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟

در آپوریا در مورد آشیل، وضعیت کمی پیچیده تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشرفت 1/2 نیست، بلکه عدد دیگری است. به عنوان مثال آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v طی می کند و در این مدت لاک پشت فاصله lu/v را طی می کند. هنگامی که آشیل این بخش را اجرا می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u /v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با جمله اول است. l و مخرج u /v. این مجموع - قسمتی که آشیل در نهایت به محل ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 – u /v) = lv / (v – u). اما باز هم این نتیجه را چگونه باید تفسیر کرد و اصلاً چرا منطقی است؟ برای مدت طولانیخیلی واضح نبود

ارشمیدس از مجموع یک پیشرفت هندسی برای تعیین مساحت بخش سهمی استفاده کرد. بگذارید این بخش از سهمی با وتر AB محدود شود و مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. بیایید خطوطی موازی با DC از طریق نقاط A، E، F، B رسم کنیم. بگذارید مماس رسم شده در نقطه D این خطوط را در نقاط K، L، M، N قطع کند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. بر اساس تئوری کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند که در آن معادله سهمی به صورت y 2 = 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین است، y طول پاره ای موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).

به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، و از آنجایی که DK = 2DL، پس KA = 4LH. زیرا KA = 2LG، LH = HG. مساحت بخش ADB سهمی برابر است با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقیمانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توانید همان عملیات را انجام دهید - به یک مثلث (Δ) تقسیم شده و دو بخش باقی مانده () و غیره:

مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و بنابراین نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD و ΔDRB، با هم برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔADB است. با تکرار این عمل هنگام اعمال بر روی بخش‌های AH، HD، DR و RB، مثلث‌هایی از آن‌ها انتخاب می‌شود که مساحت آن‌ها با هم 4 برابر کمتر از مساحت مثلث‌های ΔAHD و ΔDRB با هم خواهد بود. بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB است. و به همین ترتیب:

بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه ای که بین یک خط مستقیم و یک سهمی قرار دارد، چهار سوم مثلثی را تشکیل می دهد که قاعده یکسان و ارتفاع برابر دارد."

پیشروی هندسی، همراه با حساب، سری اعداد مهمی است که در آن مطالعه می شود دوره مدرسهجبر در کلاس نهم. در این مقاله به مخرج یک پیشروی هندسی و چگونگی تأثیر ارزش آن بر خواص آن خواهیم پرداخت.

تعریف پیشرفت هندسی

ابتدا اجازه دهید تعریف این سری اعداد را ارائه دهیم. پیشروی هندسی مجموعه ای از اعداد گویا است که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.

برای مثال اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (اول عنصر) را در 2 ضرب کنید، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنید، به دست می آید. 12 و غیره.

اعضای دنباله مورد بررسی معمولاً با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که تعداد عنصر در سری را نشان می دهد.

تعریف فوق از پیشرفت را می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد نظر می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای ادامه داد ارزش های بزرگ n

مخرج پیشرفت هندسی

عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی یا بزرگتر یا کمتر از یک باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:

• b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله فقط در مقدار مطلق افزایش می یابد، اما بسته به علامت اعداد کاهش می یابد.
• b = 1. غالباً به این حالت پیشرفت نمی گویند، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.

فرمول برای مقدار

قبل از حرکت به بررسی وظایف خاصبا استفاده از مخرج نوع پیشرفت در نظر گرفته شده، یک فرمول مهم باید برای مجموع n عنصر اول آن ارائه شود. فرمول به نظر می رسد: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

اگر دنباله بازگشتی عبارات پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان بدست آورید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا مجموع را بدست آورید. هر عددیاعضا.

توالی بی نهایت در حال کاهش

در بالا توضیح داده شد که چیست. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.

از آنجایی که تفاوت (1 - b) بدون توجه به مقدار مخرج همیشه مثبت خواهد بود، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش S∞ به‌طور منحصربه‌فردی با علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می‌شود.

اکنون بیایید به چندین مشکل نگاه کنیم که در آن نحوه اعمال دانش به دست آمده را برای اعداد خاص نشان خواهیم داد.

کار شماره 1. محاسبه عناصر مجهول پیشرفت و جمع

با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و عنصر اول آن 3 است. جمله های هفتم و دهم آن برابر با چه چیزی خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟

شرایط مشکل بسیار ساده است و شامل استفاده مستقیم از فرمول های فوق می شود. بنابراین، برای محاسبه عنصر شماره n از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر هفتم داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای ترم دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.

بیایید از فرمول معروف برای جمع استفاده کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

مسئله شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه یک پیشروی

فرض کنید -2 برابر با مخرج پیشرفت هندسی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. لازم است مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.

مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از فرمول های شناخته شده حل کرد. به 2 روش قابل حل است روش های مختلف. برای تکمیل ارائه موضوع، هر دو را ارائه می کنیم.

روش 1. ایده ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. مقدار کوچکتر را محاسبه می کنیم: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگتر را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 در حال حاضر در مقداری است که باید با توجه به شرایط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین m و n جمله سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 پیش می رویم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مقدار کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

مسئله شماره 3. مخرج چیست؟

فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.

بر اساس شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته، برای مجموع پیشرفت بی نهایت کاهش می یابد. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. باقی مانده است که مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید و تعداد مورد نیاز را بدست آورید: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 یا -0.333 (3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که مشاهده می شود، |-1 / 3|

کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد

اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازسازی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.

برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عبارت شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم کنید، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه پنجم از نسبت عبارات شناخته شده از بیان مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را در یکی از عبارات عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

بنابراین، مخرج پیشرفت bn و پیشرفت هندسی bn-1 * 17.2304966 = an را پیدا کردیم که در آن b = 1.148698.

از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟

اگر کاربرد عملی این سری اعداد وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفا نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.

در زیر 3 نمونه از معروف ترین آنها آورده شده است:

• پارادوکس زنو، که در آن آشیل زیرک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم دنباله ای از اعداد بی نهایت در حال کاهش حل می شود.
• اگر روی هر مربع یک تخته شطرنج دانه های گندم قرار دهید به طوری که در مربع اول 1 دانه، در دوم - 2، در سوم - 3 و غیره قرار دهید، سپس برای پر کردن تمام مربع های تخته به شما نیاز دارید. 18446744073709551615 دانه!
• در بازی "برج هانوی"، برای جابجایی دیسک ها از یک میله به میله دیگر، باید 2n - 1 عملیات انجام داد، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی با تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.

فرمول nامین ترم یک پیشرفت هندسی بسیار ساده است. هم در معنا و هم در ظاهر کلی. اما انواع مشکلات در فرمول ترم n وجود دارد - از بسیار ابتدایی تا کاملا جدی. و در روند آشنایی ما قطعا هر دو را در نظر خواهیم گرفت. خوب، بیایید با هم آشنا شویم؟)

بنابراین، برای شروع، در واقع فرمولn

او اینجاست:

b n = ب 1 · qn -1

فرمول فقط یک فرمول است، هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست. حتی ساده تر و فشرده تر از فرمول مشابه به نظر می رسد. معنی فرمول نیز به سادگی چکمه های نمدی است.

این فرمول به شما امکان می دهد هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را بر اساس عدد آن پیدا کنید. n".

همانطور که می بینید، معنی قیاس کامل با یک تصاعد حسابی است. ما عدد n را می دانیم - همچنین می توانیم عبارت را زیر این عدد بشماریم. هر کدوم که بخوایم بدون ضرب مکرر در "q" چندین و چند بار. این تمام نکته است.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با پیشرفت ها، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما واضح باشد، اما من همچنان وظیفه خود می دانم که هر کدام را رمزگشایی کنم. محض احتیاط.

پس بزن که بریم:

ب 1 – اولینمدت پیشرفت هندسی؛

q – ;

n- شماره عضو؛

b n – نهمین (nث)اصطلاح یک پیشرفت هندسی

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم متصل می کند - بn, ب 1 , qو n. و تمام مشکلات پیشرفت حول این چهار چهره کلیدی می چرخد.

"چگونه حذف می شود؟"– یه سوال کنجکاو میشنوم... ابتدایی! نگاه کن

چه چیزی برابر است دومینعضو پیشرفت؟ مشکلی نیست! ما مستقیماً می نویسیم:

b 2 = b 1 ·q

عضو سوم چطور؟ مشکلی هم نیست! جمله دوم را ضرب می کنیم یک بار دیگر درq.

مثل این:

B 3 = b 2 q

اکنون به یاد بیاوریم که جمله دوم به نوبه خود برابر با b 1 ·q است و این عبارت را با برابری خود جایگزین کنیم:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

ما گرفتیم:

ب 3 = b 1 ·q 2

حال بیایید مدخل خود را به زبان روسی بخوانیم: سومعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در دومیندرجه. متوجه شدي؟ نه هنوز؟ باشه یه قدم دیگه

ترم چهارم چیست؟ همه همینطور! تکثیر کردن قبلی(یعنی ترم سوم) در q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

جمع:

ب 4 = b 1 ·q 3

و دوباره به روسی ترجمه می کنیم: چهارمعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در سومدرجه.

و غیره. خوب ... چطوره؟ الگو رو گرفتی؟ آره! برای هر جمله با هر عدد، تعداد عوامل یکسان q (یعنی درجه مخرج) همیشه خواهد بود. یک عدد کمتر از تعداد عضو مورد نظرn.

بنابراین، فرمول ما بدون تغییرات خواهد بود:

b n =ب 1 · qn -1

همین است.)

خوب، بیایید مشکلات را حل کنیم، حدس می زنم؟)

حل مسائل فرمولnترم یک پیشرفت هندسی.

بیایید طبق معمول با استفاده مستقیم از فرمول شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمولی وجود دارد:

در پیشرفت هندسی مشخص است که ب 1 = 512 و q = -1/2. جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ فرمولی قابل حل است. مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی. اما باید با فرمول ترم n گرم شویم، درست است؟ اینجا داریم گرم می کنیم.

داده های ما برای اعمال فرمول به شرح زیر است.

اولین عضو مشخص است. این 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که بفهمیم تعداد عضو n چقدر است. مشکلی نیست! آیا ما به ترم دهم علاقه مندیم؟ بنابراین ما ده را به جای n در فرمول کلی جایگزین می کنیم.

و با دقت حساب را محاسبه کنید:

پاسخ 1

همانطور که می بینید، ترم دهم پیشرفت منهای بود. هیچ چیز تعجب آور نیست: مخرج پیشرفت ما -1/2 است، یعنی. منفیعدد. و این به ما می گوید که نشانه های پیشرفت ما به طور متناوب، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. در اینجا یک مشکل مشابه وجود دارد، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

در پیشرفت هندسی، مشخص است که:

ب 1 = 3

جمله سیزدهم پیشرفت را پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط این بار مخرج پیشرفت است غیر منطقی. ریشه دو. خوب، اشکالی ندارد. فرمول یک چیز جهانی است، می تواند با هر عددی کنار بیاید.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول البته آن طور که باید کار کرد، اما... اینجاست که بعضی ها گیر می کنند. بعد با روت چه کار کنیم؟ چگونه یک ریشه را به توان دوازدهم برسانیم؟

چطوری... باید بفهمی که هر فرمولی البته چیز خوبیه ولی دانش تمام ریاضیات قبلی لغو نمیشه! چگونه باید ساخت؟ بله، خواص درجات را به خاطر بسپار! بیایید ریشه را تبدیل کنیم درجه کسریو – طبق فرمول ارتقاء درجه به درجه.

مثل این:

جواب: 192

و این همه است.)

مشکل اصلی در کاربرد مستقیم فرمول ترم n چیست؟ آره! مشکل اصلی این است کار با مدرک!یعنی قدرت اعداد منفی، کسرها، ریشه ها و ساختارهای مشابه. پس کسانی که در این مورد مشکل دارند لطفا درجات و خواص آنها را تکرار کنند! وگرنه سرعت این تاپیک رو هم کم می کنید، بله...)

اکنون بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمول، اگر بقیه داده شود. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی، دستور العمل یکنواخت و بسیار ساده است - فرمول را بنویسnعضو در نمای کلی! درست در دفترچه کنار شرایط. و سپس، از روی شرایط، متوجه می شویم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کم است. و از فرمول بیان می کنیم مقدار مورد نیاز. همه!

به عنوان مثال، چنین مشکل بی ضرر.

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج 3 567 است. جمله اول این تصاعد را بیابید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً طبق طلسم کار می کنیم.

بیایید فرمول ترم n را بنویسیم!

b n = ب 1 · qn -1

چه چیزی به ما داده شده است؟ ابتدا مخرج پیشرفت داده می شود: q = 3.

علاوه بر این، به ما داده شده است عضو پنجم: ب 5 = 567 .

همه؟ نه! به ما نیز شماره n داده شده است! این پنج است: n = 5.

امیدوارم قبلا متوجه شده باشید که چه چیزی در ضبط است ب 5 = 567 دو پارامتر به طور همزمان پنهان می شوند - این پنجمین عبارت خود (567) و شماره آن (5) است. قبلاً در درس مشابهی در مورد این موضوع صحبت کردم، اما فکر می کنم در اینجا نیز ارزش ذکر آن را دارد.)

اکنون داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 · 3 5-1

ما حساب را انجام می دهیم، ساده می کنیم و چیز ساده ای می گیریم معادله خطی:

81 ب 1 = 567

حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که می بینید، هیچ مشکلی برای یافتن ترم اول وجود ندارد. اما هنگام جستجوی مخرج qو اعداد nممکن است شگفتی هایی نیز وجود داشته باشد. و همچنین باید برای آنها آماده باشید (سورپرایزها)، بله.)

مثلا این مشکل:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج مثبت 162 و جمله اول این تصاعد 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

این بار عبارت اول و پنجم به ما داده می شود و از ما خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. در اینجا ما می رویم.

فرمول را می نویسیمnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

داده های اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

مقدار از دست رفته q. مشکلی نیست! بیایید اکنون آن را پیدا کنیم.) هر چیزی را که می دانیم در فرمول جایگزین می کنیم.

ما گرفتیم:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

یک معادله ساده درجه چهارم. و حالا - با دقت!بر در این مرحلهراه حل، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج می کنند و پاسخ می گیرند q=3 .

مثل این:

q4 = 81

q = 3

اما در واقع، این یک پاسخ ناتمام است. به طور دقیق تر، ناقص. چرا؟ نکته این است که پاسخ q = -3 همچنین مناسب: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل معادله قدرت است x n = آهمیشه داشته است دو ریشه متضاددر زوجn . با مثبت و منفی:

هر دو مناسب هستند.

به عنوان مثال، هنگام تصمیم گیری (یعنی دومیندرجه)

x 2 = 9

به دلایلی از ظاهر شگفت زده نمی شوید دوریشه x=±3؟ اینجا هم همینطوره و با هر دیگری زوجدرجه (چهارم، ششم، دهم و ...) به همین ترتیب خواهد بود. جزئیات در تاپیک در مورد است

از همین رو راه حل صحیحبه این صورت خواهد بود:

q 4 = 81

q= 3±

خوب، ما علائم را مرتب کردیم. کدام یک درست است - مثبت یا منفی؟ خوب، بیایید دوباره بیانیه مشکل را در جستجوی آن بخوانیم اطلاعات اضافی. البته ممکن است وجود نداشته باشد، اما در این مشکل چنین اطلاعاتی وجود دارد در دسترس.شرایط ما در متن ساده بیان می کند که یک پیشرفت با آن داده می شود مخرج مثبت

بنابراین پاسخ واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر بیان مشکل به این صورت باشد چه اتفاقی می افتد:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی 162 است و جمله اول این پیشروی 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

تفاوت در چیست؟ آره! در شرایط هیچ چیهیچ اشاره ای به علامت مخرج نشده است. نه مستقیم و نه غیر مستقیم. و در اینجا مشکل از قبل وجود داشت دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله بله! هم با یک مثبت و هم با یک منفی.) از نظر ریاضی، این واقعیت به این معنی است که وجود دارد دو پیشرفت، که متناسب با شرایط مشکل است. و هر کدام مخرج خاص خود را دارند. فقط برای سرگرمی، تمرین کنید و پنج ترم اول هر کدام را بنویسید.)

حالا بیایید پیدا کردن شماره عضو را تمرین کنیم. این مشکل سخت ترین است، بله. اما همچنین خلاق تر است.)

با توجه به یک پیشرفت هندسی:

3; 6; 12; 24; …

چه عددی در این پیشروی عدد 768 است؟

گام اول همچنان همان است: فرمول را بنویسnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

و اکنون، طبق معمول، داده‌هایی را که می‌دانیم جایگزین آن می‌کنیم. هوم... کار نمیکنه! جمله اول کجا، مخرج کجا، بقیه کجا؟!

کجا، کجا... چرا به چشم نیاز داریم؟ مژه های خود را تکان می دهید؟ این بار پیشرفت به صورت مستقیم به ما داده می شود دنباله هاآیا می توانیم اولین عضو را ببینیم؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 = 3). در مورد مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم، اما شمارش آن بسیار آسان است. البته اگر بفهمی...

پس حساب می کنیم. به طور مستقیم با توجه به معنای یک پیشرفت هندسی: ما هر یک از اصطلاحات آن را (به جز اولی) می گیریم و بر مورد قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل اینجوری:

q = 24/12 = 2

دیگر چه می دانیم؟ ما همچنین مقداری از این پیشروی برابر با 768 را می دانیم. تحت تعدادی n:

b n = 768

ما شماره او را نمی دانیم، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن او است.) بنابراین ما به دنبال آن هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم برای جایگزینی را در فرمول دانلود کرده ایم. بدون اینکه خودت بدانی.)

در اینجا ما جایگزین می کنیم:

768 = 3 2n -1

بیایید موارد ابتدایی را انجام دهیم - هر دو طرف را بر سه تقسیم کنیم و معادله را به شکل معمول بازنویسی کنیم: مجهول در سمت چپ است، معلوم در سمت راست است.

ما گرفتیم:

2 n -1 = 256

این یک معادله جالب است. ما باید "n" را پیدا کنیم. چی، غیر معمول؟ بله، من بحث نمی کنم. در واقع، این ساده ترین چیز است. به این دلیل نامیده می شود که مجهول (در در این مورداین شماره n) هزینه ها در نشانگردرجه.

در مرحله یادگیری پیشرفت هندسی (این کلاس نهم است) به شما یاد نمی دهند که چگونه معادلات نمایی را حل کنید، بله ... این موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز ترسناکی وجود ندارد. حتی اگر نمی دانید چنین معادلاتی چگونه حل می شوند، بیایید سعی کنیم ما را پیدا کنیم n، با منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

بیایید شروع به صحبت کنیم. در سمت چپ ما یک دوش داریم تا حدی مشخص. ما هنوز نمی دانیم که این مدرک دقیقاً چیست، اما این ترسناک نیست. اما به یقین می دانیم که این مدرک برابر با 256 است! بنابراین ما به یاد می آوریم که تا چه حد دو به ما 256 می دهد. آیا یادتان هست؟ آره! که در هشتمدرجه!

256 = 2 8

اگر به خاطر نمی آورید یا در تشخیص درجه ها مشکل دارید، اشکالی ندارد: ما فقط دو، مکعب، چهارم، پنجم و غیره را به صورت متوالی مربع می کنیم. انتخاب، در واقع، اما در این سطح بسیار خوب کار خواهد کرد.

به هر شکلی، ما دریافت می کنیم:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهمعضو پیشرفت ما همین، مشکل حل شد.)

پاسخ: 9

چی؟ حوصله سر بر؟ از چیزهای ابتدایی خسته شده اید؟ موافق. و من هم همینطور بیایید به سطح بعدی برویم.)

وظایف پیچیده تر

حالا بیایید مشکلات چالش برانگیزتر را حل کنیم. خیلی جالب نیست، اما مواردی که برای رسیدن به پاسخ نیاز به کمی کار دارند.

مثلا این یکی

جمله دوم یک تصاعد هندسی را در صورتی بیابید که جمله چهارم آن 24- و جمله هفتم آن 192 باشد.

این یک کلاسیک از این ژانر است. دو اصطلاح مختلف از پیشرفت شناخته شده است، اما باید یک اصطلاح دیگر پیدا کرد. علاوه بر این، همه اعضا همسایه نیستند. که در ابتدا گیج کننده است، بله ...

همانطور که در، برای حل چنین مشکلاتی ما دو روش را در نظر خواهیم گرفت. روش اول جهانی است. جبری. بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین از اینجا شروع خواهیم کرد.)

ما هر اصطلاح را با توجه به فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشروی حسابی است. فقط این بار با آن کار می کنیم یکی دیگرفرمول کلی این همه است.) اما اصل یکسان است: ما می گیریم و یکی یکیما داده های اولیه خود را در فرمول ترم n جایگزین می کنیم. برای هر عضو - خود آنها.

برای ترم چهارم می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

بخور یک معادله آماده است.

برای ترم هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در مجموع، ما دو معادله برای همان پیشرفت .

ما یک سیستم از آنها جمع آوری می کنیم:

علیرغم ظاهر تهدید آمیز آن، این سیستم بسیار ساده است. واضح ترین راه حل جایگزینی ساده است. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزین آن به پایین:

بعد از اینکه کمی با معادله پایینی سر و کله زدیم (کاهش توان ها و تقسیم بر 24-)، به دست می آید:

q 3 = -8

اتفاقاً همین معادله را می توان به روش ساده تری به دست آورد! کدام یک؟ حالا راز دیگری را به شما نشان خواهم داد، اما بسیار زیبا، قدرتمند و راه مفیدراه حل هایی برای چنین سیستم هایی چنین سیستم هایی که معادلات آنها شامل فقط کار می کندحداقل در یکی. تماس گرفت روش تقسیمیک معادله به معادله دیگر

بنابراین، ما یک سیستم پیش روی خود داریم:

در هر دو معادله سمت چپ - کار کردن، و در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوب.) بگیریم و... معادله پایینی را تقسیم بر بالا! یعنی چی، بیایید یک معادله را بر معادله دیگر تقسیم کنیم؟بسیار ساده. آن را بگیریم سمت چپ یک معادله (پایین تر) و تقسیم کردناو در سمت چپمعادله دیگر (بالا). سمت راست مشابه است: سمت راستیک معادله تقسیم کردنبر سمت راستیکی دیگر.

کل فرآیند تقسیم به این شکل است:

اکنون، با کاهش هر چیزی که می توان کاهش داد، دریافت می کنیم:

q 3 = -8

چه چیزی در مورد این روش خوب است؟ بله، زیرا در فرآیند چنین تقسیم بندی می توان همه چیز بد و ناخوشایند را با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی می ماند! به همین دلیل است که داشتن آن بسیار مهم است فقط ضربحداقل در یکی از معادلات سیستم. هیچ ضربی وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد، بله ...

به طور کلی، این روش (مانند بسیاری از روش های غیر پیش پا افتاده دیگر حل سیستم ها) حتی شایسته یک درس جداگانه است. من قطعا آن را با جزئیات بیشتر بررسی خواهم کرد. روزی…

با این حال، مهم نیست که دقیقاً چگونه سیستم را حل کنید، در هر صورت، اکنون باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ریشه مکعب را استخراج کنید و کارتان تمام شد!

لطفاً توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به قرار دادن یک مثبت/منفی در اینجا نیست. ریشه ما از درجه فرد (سوم) است. و پاسخ نیز یکسان است، بله.)

بنابراین، مخرج پیشرفت پیدا شده است. منهای دو عالی! این روند ادامه دارد.)

برای جمله اول (مثلاً از معادله بالا) به دست می آوریم:

عالی! عبارت اول را می دانیم، مخرج آن را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که هر عضوی از پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله دومی.)

برای ترم دوم همه چیز بسیار ساده است:

ب 2 = ب 1 · q= 3·(-2) = -6

پاسخ: -6

بنابراین، ما روش جبری را برای حل مسئله شکسته ایم. دشوار؟ نه واقعا موافقم طولانی و خسته کننده؟ بله قطعا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد روش گرافیکیخوب قدیمی و برای ما آشنا.)

بیایید یک مشکل ترسیم کنیم!

آره! دقیقا. دوباره پیشرفت خود را بر روی محور اعداد به تصویر می کشیم. لازم نیست از یک خط کش پیروی کنید، لازم نیست فواصل مساوی بین عبارت ها حفظ شود (که اتفاقاً یکسان نخواهد بود، زیرا پیشرفت هندسی است!)، بلکه به سادگی به صورت شماتیکبیایید دنباله خود را ترسیم کنیم.

من اینجوری گرفتم:

حالا به تصویر نگاه کنید و متوجه شوید. چند عامل یکسان "q" از هم جدا می شوند چهارمو هفتماعضا؟ درست است، سه!

بنابراین، ما حق داریم بنویسیم:

-24·q 3 = 192

از اینجا به راحتی می توان q را پیدا کرد:

q 3 = -8

q = -2

این عالی است، ما قبلاً مخرج آن را در جیب خود داریم. حالا بیایید دوباره به تصویر نگاه کنیم: چه تعداد از این مخرج ها بین آنها قرار دارد دومینو چهارماعضا؟ دو! بنابراین برای ثبت ارتباط بین این اصطلاحات، مخرج را مطرح می کنیم مربع.

پس می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 ، جایی که ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده خود را با عبارت b 2 جایگزین می کنیم، بشماریم و بدست آوریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این، در اینجا ما اصلاً نیازی به شمارش اولین ترم نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک راه ساده و واضح وجود دارد - نور. اما یک عیب جدی نیز دارد. حدس زدی؟ آره! فقط برای قطعات بسیار کوتاه پیشرفت خوب است. آنهایی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما خیلی زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر از قبل دشوار است، بله... سپس ما مشکل را به صورت تحلیلی، از طریق سیستم حل می کنیم.) و سیستم ها چیزهای جهانی هستند. آنها می توانند هر عددی را مدیریت کنند.

چالش حماسی دیگر:

ترم دوم پیشرفت هندسی 10 بیشتر از جمله اول و جمله سوم 30 بیشتر از دومی است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چی، باحال؟ اصلا! همه یکسان. دوباره بیان مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) هر اصطلاح را طبق فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

ترم دوم: b 2 = b 1 q

ترم سوم: b 3 = b 1 q 2

2) ارتباط بین اعضا را از بیان مشکل یادداشت می کنیم.

شرط را می خوانیم: جمله دوم پیشرفت هندسی 10 بزرگتر از جمله اول است.بس کن، این ارزشمند است!

پس می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات محض ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله به دست آوردیم. بیایید آنها را در یک سیستم ترکیب کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما شاخص های بسیار زیادی برای حروف وجود دارد. بیایید به جای عبارت دوم و سوم عبارات آنها را از طریق جمله اول و مخرج جایگزین کنیم! آیا بیهوده بود که آنها را نقاشی کردیم؟

ما گرفتیم:

اما چنین سیستمی دیگر هدیه نیست، بله... چگونه این را حل کنیم؟ متأسفانه، هیچ طلسم مخفی جهانی برای حل پیچیده وجود ندارد غیر خطیهیچ سیستمی در ریاضیات وجود ندارد و نمی تواند وجود داشته باشد. این خارق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره سختی باید به ذهن شما برسد این است که بفهمید اما آیا یکی از معادلات سیستم قابل تقلیل نیست نمای زیبا، به عنوان مثال اجازه می دهد یکی از متغیرها را به راحتی بیان کند؟

بیایید آن را بفهمیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از دومی است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) آیا نباید از همان معادله اول تلاش کنیم چیزیبیان از طریق چیزی؟از آنجایی که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، در این صورت بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 از طریق q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با معادله اول با استفاده از معادله های خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

همه! پس بیان کردیم غیر ضروریمتغیر (b 1) را به ما بدهید لازم است(ق). بله، این ساده ترین عبارتی نیست که ما دریافت کردیم. نوعی کسری... اما سیستم ما در سطح مناسبی است، بله.)

معمول. ما میدانیم چه کنیم.

ما ODZ را می نویسیم (لزوما!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و همه کسرها را باطل می کنیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

همه چیز را بر ده تقسیم می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و همه چیز را از سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

تنها یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

جواب: 3

همانطور که می بینید، مسیر حل اکثر مسائل مربوط به فرمول ترم n یک پیشروی هندسی همیشه یکسان است: خواندن با دقتشرط مسئله و با استفاده از فرمول n ام کل را ترجمه می کنیم اطلاعات مفیدبه جبر محض

برای مثال:

1) ما طبق فرمول هر عبارتی را که در مسئله آورده شده است به طور جداگانه شرح می دهیمnعضو ام

2) از شرایط مسئله ارتباط بین اعضا را به شکل ریاضی تبدیل می کنیم. ما یک معادله یا سیستم معادلات می سازیم.

3) معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم، پارامترهای مجهول پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت وجود پاسخ مبهم، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) شرایط تکلیف را با دقت مطالعه می کنیم. ما همچنین پاسخ دریافتی را با شرایط DL (در صورت وجود) بررسی می کنیم.

اکنون بیایید مشکلات اصلی را که اغلب منجر به خطا در فرآیند حل مشکلات پیشروی هندسی می شوند، فهرست کنیم.

1. حساب ابتدایی. عملیات با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل یکی از این سه نقطه مشکل داشته باشد، به ناچار در این تاپیک دچار اشتباه خواهید شد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه در بالا ذکر شد را تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر

حالا بیایید به چند مشکل معمولی امتحان با ارائه ای کمتر آشنا از شرایط نگاه کنیم. بله، بله، درست حدس زدید! این اصلاح شدهو عود کنندهفرمول های ترم n. ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و روی پیشرفت حسابی کار کرده ایم. اینجا همه چیز شبیه است. اصل موضوع همین است.

به عنوان مثال، این مشکل از OGE:

پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 3 2 n . مجموع جمله اول و چهارم آن را بیابید.

این بار پیشرفت برای ما کاملاً معمول نیست. در قالب نوعی فرمول. پس چی؟ این فرمول است همچنین یک فرمولnعضو ام!من و شما می دانیم که فرمول ترم n را می توان هم به صورت کلی، با استفاده از حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص. با خاصجمله اول و مخرج

در مورد ما، در واقع، یک فرمول اصطلاح کلی برای یک پیشروی هندسی با پارامترهای زیر به ما داده می شود:

ب 1 = 6

q = 2

بیایید بررسی کنیم؟) بیایید فرمول ترم n را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم. ب 1 و q. ما گرفتیم:

b n = ب 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

ما با استفاده از فاکتورگیری و ویژگی های توان ها ساده می کنیم و به دست می آوریم:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

همانطور که می بینید، همه چیز منصفانه است. اما هدف ما نشان دادن اشتقاق یک فرمول خاص نیست. این چنین است، یک انحراف غزلی. صرفاً برای درک.) هدف ما حل مشکل با استفاده از فرمولی است که در شرایط به ما داده شده است. متوجه شدید؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین کنیم n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثل این. به هر حال، من تنبل نخواهم شد و یک بار دیگر توجه شما را به یک اشتباه معمولی در محاسبه ترم اول جلب می کنم. به فرمول نگاه نکنید b n= 3 2n، بلافاصله عجله کنید بنویسید که ترم اول یک سه است! این یک اشتباه فاحش است، بله...)

بیا ادامه بدهیم. جایگزین کنیم n=4 و جمله چهارم را بشمارید:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

و در نهایت مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

جواب: 54

مشکل دیگر.

پیشرفت هندسی با شرایط زیر مشخص می شود:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

جمله چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با یک فرمول مکرر داده می شود. بسیار خوب.) نحوه کار با این فرمول - ما هم می دانیم

پس عمل می کنیم. گام به گام.

1) دو بشمار متوالیعضو پیشرفت

اولین ترم قبلاً به ما داده شده است. منهای هفت. اما ترم بعدی، دوم، به راحتی با استفاده از فرمول عود قابل محاسبه است. البته اگر اصل عملکرد آن را درک کنید.)

بنابراین ترم دوم را حساب می کنیم طبق اول معروف:

ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21

2) مخرج پیشرفت را محاسبه کنید

مشکلی هم نداره راست، بیایید تقسیم کنیم دومیندیک در اولین.

ما گرفتیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را بنویسیدnعضو ام به شکل معمولی و محاسبه عضو مورد نیاز.

بنابراین، ما عبارت اول را می دانیم و مخرج را نیز می دانیم. پس می نویسیم:

b n= -7·3n -1

ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

پاسخ: -189

همانطور که می بینید، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشروی هندسی اساساً هیچ تفاوتی با پیشروی حسابی ندارد. فقط درک ماهیت و معنای کلی این فرمول ها مهم است. خوب، شما همچنین باید معنای پیشرفت هندسی را درک کنید، بله.) و سپس هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب، بیایید خودمان تصمیم بگیریم؟)

کارهای بسیار ابتدایی برای گرم کردن:

1. با توجه به پیشرفت هندسی که در آن ب 1 = 243، الف q = -2/3. جمله ششم پیشرفت را پیدا کنید.

2. عبارت کلی پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 5∙2 n +1 . عدد آخرین جمله سه رقمی این پیشروی را پیدا کنید.

3. پیشرفت هندسی با شرایط زیر داده می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4. با توجه به یک پیشرفت هندسی:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین جمله منفی برابر است با چیست؟

چه چیزی فوق العاده سخت به نظر می رسد؟ اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی شما را نجات می دهد. خوب، فرمول ترم n، البته.

5. جمله سوم پیشرفت هندسی 14- و جمله هشتم 112 است. مخرج پیشروی را بیابید.

6. مجموع جمله های اول و دوم پیشروی هندسی 75 و مجموع جمله های دوم و سوم 150 است. جمله ششم پیشروی را بیابید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; -3888; -1؛ 800; -32; 448.

این تقریباً تمام است. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که شمارش را یاد بگیریم مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبله کشف کنید پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایتو مقدار آن اتفاقاً یک چیز بسیار جالب و غیر معمول! در درس های بعدی بیشتر در مورد این موضوع توضیح داده خواهد شد.)