طبق بررسی نمونه، سپرده گذاران بر اساس اندازه سپرده خود در Sberbank شهر گروه بندی شدند:

تعريف كردن:

1) دامنه تغییرات؛

2) اندازه متوسط ​​سپرده؛

3) انحراف خطی متوسط.

4) پراکندگی؛

5) انحراف معیار؛

6) ضریب تغییرات مشارکت.

راه حل:

این سری توزیع شامل فواصل باز است. در چنین سری‌هایی معمولاً مقدار فاصله گروه اول برابر با مقدار فاصله گروه بعدی و مقدار فاصله گروه آخر برابر با مقدار بازه گروه بعدی در نظر گرفته می‌شود. قبلی.

مقدار فاصله گروه دوم برابر با 200 است، بنابراین مقدار گروه اول نیز برابر با 200 است. مقدار فاصله گروه ماقبل آخر برابر با 200 است، یعنی آخرین بازه نیز خواهد بود. دارای ارزش 200 هستند.

1) اجازه دهید محدوده تغییرات را به عنوان تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار مشخصه تعریف کنیم:

دامنه تغییرات در اندازه سپرده 1000 روبل است.

2) اندازه متوسط ​​سهم با استفاده از فرمول میانگین حسابی موزون تعیین می شود.

اجازه دهید ابتدا مقدار گسسته ویژگی را در هر بازه تعیین کنیم. برای این کار، با استفاده از فرمول میانگین حسابی ساده، نقاط میانی فواصل را پیدا می کنیم.

مقدار متوسط ​​اولین بازه خواهد بود:

دوم - 500 و غیره

بیایید نتایج محاسبات را در جدول وارد کنیم:

میانگین سپرده در Sberbank شهر 780 روبل خواهد بود:

3) میانگین انحراف خطی میانگین حسابی انحرافات مطلق مقادیر فردی یک مشخصه از میانگین کلی است:

روش محاسبه میانگین انحراف خطی در سری توزیع بازه ای به شرح زیر است:

1. میانگین حسابی وزنی، همانطور که در بند 2 نشان داده شده است، محاسبه می شود.

2. انحراف مطلق از میانگین تعیین می شود:

3. انحرافات حاصل در فرکانس ضرب می شوند:

4. مجموع انحرافات وزنی را بدون در نظر گرفتن علامت بیابید:

5. مجموع انحرافات وزنی بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود:

استفاده از جدول داده های محاسبه راحت است:

میانگین انحراف خطی اندازه سپرده مشتریان Sberbank 203.2 روبل است.

4) پراکندگی میانگین حسابی مجذور انحرافات هر مقدار مشخصه از میانگین حسابی است.

محاسبه واریانس در سری های توزیع بازه ای با استفاده از فرمول انجام می شود:

روش محاسبه واریانس در این مورد به شرح زیر است:

1. همانطور که در بند 2 نشان داده شده است، میانگین حسابی وزنی را تعیین کنید.

2. انحراف از میانگین را بیابید:

3. مربع انحراف هر گزینه از میانگین:

4. مجذور انحرافات را در وزن ها (فرکانس ها) ضرب کنید:

5. محصولات حاصل را خلاصه کنید:

6. مقدار حاصل بر مجموع وزن ها (فرکانس ها) تقسیم می شود:

بیایید محاسبات را در یک جدول قرار دهیم:

برنامه اکسل هم توسط حرفه ای ها و هم برای آماتورها بسیار ارزشمند است، زیرا کاربران با هر سطح مهارتی می توانند با آن کار کنند. به عنوان مثال، هر کسی با حداقل مهارت های "ارتباطاتی" در اکسل می تواند یک نمودار ساده ترسیم کند، یک صفحه مناسب و غیره بسازد.

در عین حال، این برنامه حتی به شما امکان می دهد انواع مختلفی از محاسبات را انجام دهید، به عنوان مثال، محاسبات، اما این نیاز به یک سطح آموزشی کمی متفاوت دارد. با این حال، اگر به تازگی شروع به آشنایی نزدیک با این برنامه کرده اید و به هر چیزی که به شما کمک می کند کاربر پیشرفته تری شوید علاقه مند هستید، این مقاله برای شما مناسب است. امروز به شما می گویم میانگین چقدر است انحراف معیارفرمول در اکسل، چرا به آن نیاز است و، به طور دقیق، زمانی که از آن استفاده می شود. برو!

آنچه هست

بیایید با تئوری شروع کنیم. معمولاً انحراف معیار نامیده می شود ریشه دوم، از میانگین حسابی همه مجذور اختلاف بین کمیت های موجود و همچنین میانگین حسابی آنها به دست می آید. به هر حال، این مقدار معمولاً حرف یونانی "سیگما" نامیده می شود. بر این اساس انحراف استاندارد با استفاده از فرمول STANDARDEVAL محاسبه می شود، برنامه این کار را برای خود کاربر انجام می دهد.

ماهیت این مفهوم شناسایی درجه تغییرپذیری یک ابزار است، یعنی به روش خود شاخصی است که از آمار توصیفی به دست آمده است. این تغییرات در نوسانات یک ابزار را در یک دوره زمانی مشخص مشخص می کند. با استفاده از فرمول های STANDARDEVAL، می توانید انحراف معیار نمونه را تخمین بزنید، در حالی که منطقی و مقادیر متننادیده گرفته می شوند.

فرمول

به محاسبه انحراف معیار در کمک می کند فرمول اکسل، که به صورت خودکار در اکسل ارائه می شود. برای پیدا کردن آن، باید بخش فرمول را در اکسل پیدا کنید، و سپس یکی به نام STANDARDEVAL را انتخاب کنید، بنابراین بسیار ساده است.

پس از این، پنجره ای در مقابل شما ظاهر می شود که در آن باید داده هایی را برای محاسبه وارد کنید. به طور خاص، دو عدد باید در فیلدهای خاص وارد شود، پس از آن برنامه خود انحراف استاندارد را برای نمونه محاسبه می کند.

بدون شک، فرمول ها و محاسبات ریاضی موضوعی نسبتاً پیچیده هستند و همه کاربران نمی توانند بلافاصله با آن کنار بیایند. با این حال، اگر کمی عمیق‌تر بگردید و کمی جزئی‌تر به موضوع نگاه کنید، معلوم می‌شود که همه چیز آنقدر غم‌انگیز نیست. امیدوارم با استفاده از مثال محاسبه انحراف معیار در این مورد قانع شده باشید.

ویدیو برای کمک

X i -متغیرهای تصادفی (جاری)؛

ایکس– مقدار متوسط ​​متغیرهای تصادفی برای نمونه با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

بنابراین، واریانس میانگین مجذور انحرافات است . یعنی مقدار متوسط ​​ابتدا محاسبه می شود، سپس گرفته می شود تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین مربع است ، اضافه می شود و سپس بر تعداد مقادیر در جمعیت داده شده تقسیم می شود.

تفاوت بین یک مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مربع به طوری که تمام انحرافات منحصرا تبدیل شوند اعداد مثبتو در جمع بندی انحرافات مثبت و منفی از تخریب متقابل خودداری شود. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم.

راه حل واژه جادویی"پراکندگی" فقط از این سه کلمه تشکیل شده است: میانگین - مربع - انحراف.

انحراف معیار (MSD)

با گرفتن جذر واریانس، به اصطلاح " انحراف معیار".اسامی وجود دارد "انحراف استاندارد" یا "سیگما" (از نام حرف یونانی σ .). فرمول انحراف معیار:

بنابراین، پراکندگی مجذور سیگما است یا انحراف استاندارد مجذور است.

انحراف استاندارد، بدیهی است که اندازه پراکندگی داده ها را نیز مشخص می کند، اما اکنون (برخلاف پراکندگی) می توان آن را با داده های اصلی مقایسه کرد، زیرا آنها واحدهای اندازه گیری یکسانی دارند (این از فرمول محاسبه مشخص است). دامنه تغییرات تفاوت بین مقادیر شدید است. انحراف استاندارد به عنوان معیار عدم قطعیت نیز در بسیاری از محاسبات آماری دخیل است. برای تعیین درجه دقت استفاده می شود برآوردهای مختلفو پیش بینی ها اگر تغییرات بسیار زیاد باشد، انحراف معیار نیز زیاد خواهد بود و بنابراین پیش‌بینی نادرست خواهد بود، که مثلاً در فواصل اطمینان بسیار گسترده بیان می‌شود.

بنابراین در روش های پردازش داده های آماری در ارزیابی املاک، بسته به دقت مورد نیاز کار، از قانون دو یا سه سیگما استفاده می شود.

برای مقایسه قانون دو سیگما و قانون سه سیگما از فرمول لاپلاس استفاده می کنیم:

F - F

که در آن Ф(x) تابع لاپلاس است.

حداقل ارزش

β = حداکثر مقدار

s = مقدار سیگما (انحراف استاندارد)

a = متوسط

در این مورد استفاده می شود نمای خصوصیفرمول لاپلاس زمانی که مرزهای α و β مقادیر متغیر تصادفی X به طور مساوی از مرکز توزیع a = M(X) با مقدار معینی d فاصله دارند: a = a-d، b = a+d. یا (1) فرمول (1) احتمال انحراف معین d یک متغیر تصادفی Xc را تعیین می کند. قانون عادیتوزیع از او انتظارات ریاضی M(X) = a. اگر در فرمول (1) به ترتیب d = 2s و d = 3s را بگیریم، به دست می آوریم: (2)، (3).

قانون دو سیگما

می توان تقریباً قابل اعتماد (با احتمال اطمینان 0.954) که همه مقادیر یک متغیر تصادفی X با قانون توزیع نرمال از انتظار ریاضی آن M(X) = a به مقداری که بیشتر از 2 ثانیه نباشد (دو انحراف استاندارد) انحراف داشته باشد. ). احتمال اطمینان (Pd) احتمال رویدادهایی است که به طور معمول به عنوان قابل اعتماد پذیرفته می شوند (احتمال آنها نزدیک به 1 است).

بیایید قانون دو سیگما را به صورت هندسی نشان دهیم. در شکل شکل 6 منحنی گاوسی را با مرکز توزیع a نشان می دهد. مساحت محدود شده توسط کل منحنی و محور Ox برابر با 1 (100%) و مساحت ذوزنقه منحنی بین آبسیساهای a-2s و a+2s طبق قانون دو سیگما برابر است. به 0.954 (95.4٪ از کل منطقه). مساحت مناطق سایه دار 1-0.954 = 0.046 (»5٪ از کل مساحت) است. این نواحی را ناحیه بحرانی متغیر تصادفی می نامند. مقادیر یک متغیر تصادفی که در منطقه بحرانی قرار می گیرد بعید است و در عمل به طور معمول غیرممکن است.

احتمال مشروط ارزش های غیر ممکنسطح معنی داری یک متغیر تصادفی نامیده می شود. سطح معنی داری با استفاده از فرمول به احتمال اطمینان مربوط می شود:

که در آن q سطح معنی داری است که به صورت درصد بیان می شود.

قانون سه سیگما

هنگام حل مسائلی که نیاز به قابلیت اطمینان بیشتری دارند، زمانی که احتمال اطمینان (Pd) برابر با 0.997 (به طور دقیق تر، 0.9973) در نظر گرفته شود، به جای قانون دو سیگما، طبق فرمول (3)، از قانون استفاده می شود. سه سیگما

مطابق با قانون سه سیگمابا احتمال اطمینان 0.9973، منطقه بحرانی ناحیه مقادیر مشخصه خارج از بازه (a-3s, a+3s) خواهد بود. سطح معنی داری 0.27 درصد است.

به عبارت دیگر، این احتمال وجود دارد که قدر مطلقانحرافات از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز می کند، بسیار کوچک، یعنی برابر با 0.0027 = 1-0.9973. این بدان معنی است که تنها 0.27٪ موارد این اتفاق می افتد. چنین وقایعی را بر اساس اصل عدم امکان وقوع حوادث بعید می توان عملاً غیرممکن دانست. آن ها نمونه برداری بسیار دقیق است.

این ماهیت قانون سه سیگما است:

اگر یک متغیر تصادفی به طور نرمال توزیع شود، قدر مطلق انحراف آن از انتظارات ریاضی از سه برابر انحراف استاندارد (MSD) تجاوز نمی کند.

در عمل، قانون سه سیگما به صورت زیر اعمال می شود: اگر توزیع متغیر تصادفی مورد مطالعه ناشناخته باشد، اما شرط مشخص شده در قانون فوق برقرار باشد، دلیلی وجود دارد که فرض کنیم متغیر مورد مطالعه به طور معمول توزیع شده است. ; در غیر این صورت به طور معمول توزیع نمی شود.

سطح اهمیت بسته به درجه مجاز خطر و وظیفه در دست گرفته می شود. برای ارزیابی املاک و مستغلات، معمولاً نمونه ای کمتر دقیق با پیروی از قانون دو سیگما اتخاذ می شود.

پراکندگی. انحراف معیار

پراکندگیمیانگین حسابی مجذور انحرافات هر ویژگی از میانگین کلی است. بسته به داده های منبع، واریانس می تواند بدون وزن (ساده) یا وزنی باشد.

واریانس با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

· برای داده های گروه بندی نشده

· برای داده های گروه بندی شده

روش محاسبه واریانس وزنی:

1. میانگین موزون حسابی را تعیین کنید

2. انحراف متغیر از میانگین تعیین می شود

3. مربع انحراف هر گزینه از میانگین

4-مربع انحرافات را در وزن (فرکانس) ضرب کنید

5. محصولات حاصل را خلاصه کنید

6. مقدار حاصل بر مجموع مقیاس ها تقسیم می شود

فرمول تعیین واریانس را می توان به فرمول زیر تبدیل کرد:

- ساده

روش محاسبه واریانس ساده است:

1. میانگین حسابی را تعیین کنید

2. مجذور میانگین حسابی

3. هر گزینه را در ردیف مربع کنید

4. یافتن گزینه مجموع مربع

5. مجموع مربع ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید. میانگین مربع را تعیین کنید

6. تفاوت بین میانگین مربع مشخصه و مربع میانگین را تعیین کنید

همچنین فرمول تعیین واریانس وزنی را می توان به فرمول زیر تبدیل کرد:

آن ها پراکندگی برابر است با تفاوت بین میانگین مقادیر مجذور صفت و مجذور میانگین حسابی. هنگام استفاده از فرمول تبدیل شده، روش اضافی برای محاسبه انحراف مقادیر فردی یک مشخصه از x حذف می شود و خطا در محاسبه مربوط به گرد کردن انحرافات حذف می شود.

پراکندگی دارای تعدادی ویژگی است که برخی از آنها محاسبه را آسان تر می کند:

1) پراکندگی یک مقدار ثابت صفر است.

2) اگر همه انواع مقادیر ویژگی به همان تعداد کاهش یابد، واریانس کاهش نخواهد یافت.

3) اگر همه انواع مقادیر مشخصه به همان تعداد بار (برابر) کاهش یابد، واریانس یک عامل کاهش می یابد.

انحراف معیار- نشان دهنده جذر واریانس است:

· برای داده های گروه بندی نشده:

;

· برای سری تغییرات:

دامنه تغییرات، میانگین خطی و انحراف معیار کمیت نامیده می شوند. آنها همان واحدهای اندازه گیری را دارند ارزش های فردیامضا کردن.

واریانس و انحراف معیار پرکاربردترین معیارهای تغییرات هستند. این با این واقعیت توضیح داده می شود که آنها در اکثر قضایای نظریه احتمال گنجانده شده اند، که به عنوان پایه و اساس آمار ریاضی عمل می کند. علاوه بر این، واریانس را می توان به عناصر مؤلفه آن تجزیه کرد و به شخص اجازه می دهد تأثیر را ارزیابی کند عوامل مختلف، باعث تنوع صفت می شود.

محاسبه شاخص های تغییرات برای بانک ها گروه بندی شده بر اساس حاشیه سود در جدول نشان داده شده است.

میانگین انحراف خطی و استاندارد نشان می دهد که مقدار یک مشخصه به طور متوسط ​​چقدر در بین واحدها و جمعیت مورد مطالعه در نوسان است. بنابراین، در در این مورد مقدار متوسطنوسانات در میزان سود عبارتند از: با توجه به میانگین انحراف خطی، 0.882 میلیون روبل. با انحراف استاندارد - 1.075 میلیون روبل. انحراف معیار همیشه بیشتر از میانگین انحراف خطی است. اگر توزیع مشخصه نزدیک به نرمال باشد، بین S و d رابطه وجود دارد: S=1.25d یا d=0.8S. انحراف معیار نشان می دهد که چگونه بخش عمده ای از واحدهای جمعیت نسبت به میانگین حسابی قرار دارند. صرف نظر از شکل توزیع، 75 مقدار از ویژگی در بازه x 2S و حداقل 89 از همه مقادیر در بازه x 3S قرار می گیرند (قضیه P.L. Chebyshev).

جذر واریانس را انحراف معیار از میانگین می گویند که به صورت زیر محاسبه می شود:

ابتدایی تبدیل جبریفرمول انحراف استاندارد آن را به شکل زیر هدایت می کند:

این فرمول اغلب در عمل محاسبه راحت تر است.

انحراف استاندارد، درست مانند میانگین انحراف خطی، نشان می دهد که مقادیر مشخص یک مشخصه به طور متوسط ​​چقدر از مقدار متوسط ​​خود انحراف دارند. انحراف معیار همیشه بیشتر از میانگین انحراف خطی است. رابطه زیر بین آنها وجود دارد:

با دانستن این نسبت، می توانید از شاخص های شناخته شده برای تعیین مجهول استفاده کنید، به عنوان مثال، اما (من a را محاسبه کنید و بالعکس انحراف استاندارد اندازه مطلق تغییرپذیری یک مشخصه را اندازه گیری می کند و در همان واحدهای اندازه گیری مقادیر مشخصه (روبل، تن، سال و غیره) بیان می شود. این یک معیار مطلق برای تنوع است.

برای علائم جایگزین، برای مثال حضور یا عدم حضور آموزش عالیفرمول های بیمه، پراکندگی و انحراف معیار به شرح زیر است:

اجازه دهید محاسبه انحراف معیار را با توجه به داده های یک سری گسسته نشان دهیم که توزیع دانشجویان در یکی از دانشکده های دانشگاه را بر اساس سن مشخص می کند (جدول 6.2).

جدول 6.2.

نتایج محاسبات کمکی در ستون های 2-5 جدول آورده شده است. 6.2.

میانگین سنی یک دانش آموز، سال، با فرمول میانگین حسابی وزنی (ستون 2) تعیین می شود:

مجذور انحرافات سن فردی دانش آموز از میانگین در ستون های 3-4 آمده است و حاصل ضرب انحرافات مجذور و فرکانس های مربوطه در ستون 5 آمده است.

با استفاده از فرمول (6.2) واریانس سن، سال دانش آموزان را پیدا می کنیم:

سپس o = l/3.43 1.85 *oda، i.e. هر مقدار خاص از سن دانش آموز 1.85 سال از میانگین انحراف دارد.

ضریب تغییرات

در مقدار مطلق خود، انحراف معیار نه تنها به درجه تنوع مشخصه بستگی دارد، بلکه به سطوح مطلق گزینه ها و میانگین نیز بستگی دارد. بنابراین، میانگین را مقایسه کنید انحراف معیارسری های تنوع با سطوح متوسط ​​مختلف به طور مستقیم غیرممکن است. برای اینکه بتوانید چنین مقایسه ای انجام دهید، باید پیدا کنید وزن مخصوصمیانگین انحراف (خطی یا درجه دوم) در میانگین حسابی که به صورت درصد بیان می شود، یعنی. محاسبه معیارهای نسبی تنوع

ضریب تغییرات خطی با فرمول محاسبه می شود

ضریب تغییرات با فرمول زیر تعیین می شود:

در ضرایب تغییرات، نه تنها غیرقابل مقایسه بودن مربوط به واحدهای مختلف اندازه گیری مشخصه مورد مطالعه حذف می شود، بلکه عدم مقایسه ای که به دلیل تفاوت در مقدار میانگین های حسابی ایجاد می شود نیز حذف می شود. علاوه بر این، شاخص های تنوع، همگنی جمعیت را مشخص می کند. اگر ضریب تغییرات از 33 درصد تجاوز نکند، جمعیت همگن در نظر گرفته می شود.

طبق جدول. 6.2 و نتایج محاسبات به دست آمده در بالا، ضریب تغییرات، % را طبق فرمول (6.3) تعیین می کنیم:

اگر ضریب تغییرات بیش از 33٪ باشد، این نشان دهنده ناهمگونی جمعیت مورد مطالعه است. مقدار به دست آمده در مورد ما نشان می دهد که جمعیت دانش آموزان بر اساس سن از نظر ترکیب همگن هستند. بنابراین، یک کارکرد مهم تعمیم شاخص‌های تغییرات، ارزیابی قابلیت اطمینان میانگین‌ها است. کمتر c1، a2 و V، هر چه مجموعه پدیده های حاصل از همگن تر باشد و میانگین حاصله قابل اطمینان تر باشد. با توجه به "قانون سه سیگما" در نظر گرفته شده توسط آمار ریاضی، در سری های معمولی توزیع شده یا نزدیک به آنها، انحراف از میانگین حسابی بیش از ± 3st در 997 مورد از 1000 رخ می دهد. بنابراین، دانستن ایکس و a، می توانید یک ایده اولیه کلی از سری تغییرات بدست آورید. اگر مثلاً میانگین حق الزحمهکارمند در شرکت 25000 روبل بود و a برابر با 100 روبل است، سپس با احتمال نزدیک به قطعیت می توان استدلال کرد که دستمزد کارکنان شرکت در محدوده (25000 ± 3 x 100) در نوسان است، یعنی. از 24700 تا 25300 روبل.