میانگین حسابی ساده عبارت است از میانگین که در تعیین حجم کل یک مشخصه کلیتداده ها به طور مساوی بین تمام واحدهای موجود در این جمعیت توزیع می شود. بنابراین، متوسط ​​تولید سالانه به ازای هر کارمند، مقدار خروجی است که توسط هر کارمند تولید می شود اگر کل حجم خروجی به طور مساوی بین همه کارکنان سازمان توزیع شود. میانگین حسابی مقدار ساده با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

میانگین حسابی ساده- برابر است با نسبت مجموع مقادیر منفرد یک مشخصه به تعداد ویژگی ها در مجموع

مثال 1. یک تیم 6 کارگر ماهانه 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 هزار روبل دریافت می کند.

دستمزد متوسط ​​را پیدا کنید راه حل: (3 + 3.2 + 3.3 + 3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 هزار روبل.

میانگین وزنی حسابی

اگر حجم مجموعه داده بزرگ باشد و نشان دهنده یک سری توزیع باشد، میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود. به این ترتیب میانگین موزون قیمت هر واحد تولید تعیین می شود: هزینه کل تولید (مجموع محصولات مقدار آن بر قیمت یک واحد تولید) بر مقدار کل تولید تقسیم می شود.

بیایید این را به شکل فرمول زیر تصور کنیم:

میانگین وزنی حسابی- برابر است با نسبت (مجموع حاصل از مقدار یک ویژگی به دفعات تکرار این ویژگی) به (مجموع فرکانس های همه ویژگی ها) در صورت استفاده از انواع جمعیت مورد مطالعه به تعداد نابرابر رخ می دهد.

مثال 2. میانگین حقوق کارگران کارگاه در ماه را بیابید

میانگین حقوق را می توان با تقسیم به دست آورد مبلغ کلدستمزد برای تعداد کلکارگران:

پاسخ: 3.35 هزار روبل.

میانگین حسابی برای سری های بازه ای

هنگام محاسبه میانگین حسابی برای یک سری تغییرات بازه ای، ابتدا میانگین هر بازه را به عنوان نصف مجموع حد بالا و پایین و سپس میانگین کل سری تعیین کنید. در مورد بازه های باز، مقدار بازه پایین یا بالایی با اندازه فواصل مجاور آنها تعیین می شود.

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند.

مثال 3. میانگین سنی دانش آموزان عصر را مشخص کنید.

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند. درجه تقریب آنها به میزان نزدیک شدن توزیع واقعی واحدهای جمعیتی در بازه به یکنواختی بستگی دارد.

هنگام محاسبه میانگین ها، نه تنها از مقادیر مطلق، بلکه نسبی (فرکانس) نیز می توان به عنوان وزن استفاده کرد.

هر فرد در دنیای مدرنهنگام برنامه ریزی برای گرفتن وام یا ذخیره سبزیجات برای زمستان، به طور دوره ای با مفهومی به عنوان "ارزش متوسط" روبرو می شوید. بیایید دریابیم: چیست، چه انواع و کلاس هایی وجود دارد و چرا در آمار و سایر رشته ها استفاده می شود.

مقدار متوسط ​​- چیست؟

نام مشابه (SV) یک مشخصه تعمیم یافته مجموعه ای از پدیده های همگن است که توسط هر یک از مشخصه های متغیر کمی تعیین می شود.

با این حال، افرادی که از چنین تعاریف مبهم دور هستند، این مفهوم را به عنوان یک مقدار متوسط ​​از چیزی درک می کنند. مثلاً قبل از گرفتن وام، کارمند بانک حتماً سؤال می کند مشتری بالقوهداده هایی را در مورد درآمد متوسط ​​برای سال ارائه می دهد، یعنی مقدار کل پولی که یک فرد به دست آورده است. با جمع بندی درآمد کل سال و تقسیم بر تعداد ماه ها محاسبه می شود. بنابراین، بانک قادر خواهد بود تعیین کند که آیا مشتری خود می تواند بدهی خود را به موقع بازپرداخت کند یا خیر.

چرا استفاده می شود؟

به عنوان یک قاعده، مقادیر متوسط ​​به طور گسترده ای برای ارائه یک توصیف خلاصه از برخی پدیده های اجتماعی با ماهیت توده ای استفاده می شود. آنها همچنین می توانند برای محاسبات در مقیاس کوچکتر استفاده شوند، مانند مورد وام در مثال بالا.

با این حال، اغلب مقادیر متوسط ​​هنوز برای اهداف جهانی استفاده می شود. نمونه یکی از آنها محاسبه میزان برق مصرفی شهروندان در طول یک ماه تقویمی است. بر اساس داده‌های به‌دست‌آمده، حداکثر استانداردها متعاقباً برای دسته‌هایی از جمعیتی که از مزایای دولت برخوردار هستند، ایجاد می‌شود.

همچنین با استفاده از مقادیر متوسط، عمر خدمات گارانتی معین است لوازم خانگی، اتومبیل ها، ساختمان ها و غیره. بر اساس داده های جمع آوری شده از این طریق، زمانی استانداردهای مدرن کار و استراحت ایجاد شد.

در واقع، هر پدیده ای از زندگی مدرن که ماهیتی توده ای داشته باشد، به هر نحوی لزوماً با مفهوم مورد بررسی مرتبط است.

حوزه های کاربردی

این پدیده تقریباً در تمام علوم دقیق، به ویژه علوم تجربی، کاربرد وسیعی دارد.

یافتن میانگین در پزشکی، مهندسی، آشپزی، اقتصاد، سیاست و غیره از اهمیت بالایی برخوردار است.

بر اساس داده های به دست آمده از این گونه تعمیم ها، آنها داروهای درمانی، برنامه های آموزشی و حداقل ایجاد می کنند. دستمزد زندگیو حقوق، ایجاد برنامه های آموزشی، تولید مبلمان، پوشاک و کفش، محصولات بهداشتی و موارد دیگر.

در ریاضیات به این اصطلاح «مقدار متوسط» می گویند و برای تصمیم گیری استفاده می شود نمونه های مختلفو وظایف ساده ترین آنها جمع و تفریق با کسرهای معمولی است. پس از همه، همانطور که مشخص است، برای حل نمونه های مشابهلازم است هر دو کسر را به کاهش دهیم مخرج مشترک.

همچنین در ملکه علوم دقیق از اصطلاح "مقدار متوسط" که از نظر معنی مشابه است، اغلب استفاده می شود. متغیر تصادفی" برای اکثر افراد به عنوان «انتظار ریاضی» که بیشتر در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود، آشناتر است. شایان ذکر است که یک پدیده مشابه در هنگام انجام محاسبات آماری نیز اعمال می شود.

میانگین ارزش در آمار

با این حال، مفهوم مورد مطالعه اغلب در آمار استفاده می شود. همانطور که می دانید این علم خود در محاسبه و تحلیل تخصص دارد ویژگی های کمیپدیده های اجتماعی توده ای بنابراین، مقدار متوسط ​​در آمار به عنوان یک روش تخصصی برای دستیابی به اهداف اصلی آن - جمع آوری و تجزیه و تحلیل اطلاعات استفاده می شود.

ماهیت این روش آماری جایگزینی مقادیر منحصر به فرد مشخصه مورد نظر با یک مقدار متوسط ​​متعادل معین است.

به عنوان مثال می توان به شوخی معروف غذایی اشاره کرد. بنابراین، در یک کارخانه معین سه شنبه ها برای ناهار، روسای آن معمولاً کاسه گوشت می خورند و کارگران عادی کلم خورشتی می خورند. بر اساس این داده‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که کارکنان کارخانه به‌طور متوسط ​​سه‌شنبه‌ها با رول‌های کلم غذا می‌خورند.

با اينكه این مثالکمی اغراق آمیز است، اما اشکال اصلی روش یافتن مقدار متوسط ​​- تسطیح را نشان می دهد. ویژگیهای فردیاشیاء یا اشخاص

در مقادیر متوسط ​​از آنها نه تنها برای تجزیه و تحلیل اطلاعات جمع آوری شده، بلکه برای برنامه ریزی و پیش بینی اقدامات بعدی استفاده می شود.

همچنین برای ارزیابی نتایج به دست آمده (مثلا اجرای طرح کشت و برداشت گندم در فصل بهار و تابستان) استفاده می شود.

نحوه محاسبه صحیح

اگرچه بسته به نوع SV فرمول های مختلفی برای محاسبه آن وجود دارد، اما در نظریه عمومی آمار، به عنوان یک قاعده، تنها از یک روش برای محاسبه مقدار میانگین یک مشخصه استفاده می شود. برای انجام این کار ابتدا باید مقادیر همه پدیده ها را با هم جمع کنید و سپس مجموع حاصل را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

هنگام انجام چنین محاسباتی، شایان ذکر است که مقدار متوسط ​​همیشه همان بعد (یا واحدها) واحد فردی جمعیت را دارد.

شرایط محاسبه صحیح

فرمول مورد بحث در بالا بسیار ساده و جهانی است، بنابراین اشتباه کردن با آن تقریبا غیرممکن است. با این حال، همیشه ارزش در نظر گرفتن دو جنبه را دارد، در غیر این صورت داده های به دست آمده منعکس کننده وضعیت واقعی نیستند.

کلاس های SV

پس از یافتن پاسخ برای سؤالات اساسی: "مقدار متوسط ​​چقدر است؟"، "کجا استفاده می شود؟" و "چگونه می توانید آن را محاسبه کنید؟"، ارزش دارد که بفهمید چه کلاس ها و انواع SV ها وجود دارد.

اول از همه، این پدیده به 2 کلاس تقسیم می شود. اینها میانگین های ساختاری و توانی هستند.

انواع SV های قدرت

هر یک از کلاس های فوق به نوبه خود به انواعی تقسیم می شوند. کلاس آرام بخش چهار دارد.

• میانگین حسابی رایج ترین نوع SV است. این عبارت میانگینی است که در تعیین حجم کل مشخصه مورد نظر در مجموعه ای از داده ها به طور مساوی بین تمام واحدهای این مجموعه توزیع می شود.

  این نوع به زیرگروه تقسیم می شود: SV حسابی ساده و وزن دار.

• میانگین هارمونیک شاخصی است که معکوس میانگین حسابی ساده است که از مقادیر متقابل مشخصه مورد بررسی محاسبه می شود.

  در مواردی استفاده می شود که مقادیر فردی مشخصه و محصول مشخص باشد، اما داده های فرکانس مشخص نیست.

• میانگین هندسی اغلب برای تجزیه و تحلیل نرخ رشد پدیده های اقتصادی استفاده می شود. این امکان را برای حفظ اثر بدون تغییر فراهم می کند ارزش های فردیارزش داده شده، نه مقدار.

  همچنین می تواند ساده و متعادل باشد.

• مقدار میانگین مربع هنگام محاسبه شاخص های فردی مانند ضریب تغییرات، مشخص کردن ریتم خروجی محصول و غیره استفاده می شود.

  همچنین برای محاسبه قطر متوسط ​​لوله ها، چرخ ها، میانگین اضلاع مربع و ارقام مشابه استفاده می شود.

  مانند سایر انواع میانگین ها، ریشه میانگین مربع می تواند ساده و وزن دار باشد.

انواع کمیت های ساختاری

علاوه بر SV های متوسط، انواع ساختاری اغلب در آمار استفاده می شود. آنها برای محاسبه ویژگی های نسبی مقادیر یک مشخصه متفاوت مناسب تر هستند ساختار داخلیردیف های توزیع

دو نوع از این قبیل وجود دارد.

میانگین(در ریاضیات و آمار) مجموعه اعداد - مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد آنها. یکی از رایج ترین معیارهای گرایش مرکزی است.

فیثاغورثی ها (همراه با میانگین هندسی و میانگین هارمونیک) پیشنهاد کردند.

موارد خاص میانگین حسابی عبارتند از میانگین (جمعیت عمومی) و میانگین نمونه (نمونه).

معرفی

اجازه دهید مجموعه ای از داده ها را نشان دهیم ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n، سپس میانگین نمونه معمولاً با یک نوار افقی روی متغیر (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) نشان داده می شود. ایکسبا یک خط").

حرف یونانی μ برای نشان دادن میانگین حسابی کل جمعیت استفاده می شود. برای یک متغیر تصادفی که مقدار میانگین برای آن تعیین شده است، μ است میانگین احتمالیا انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی. اگر مجموعه ایکسیک مجموعه است اعداد تصادفیبا میانگین احتمالی μ، سپس برای هر نمونه ایکس مناز این مجموعه μ = E( ایکس من) انتظار ریاضی این نمونه است.

در عمل، تفاوت بین μ و x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) این است که μ یک متغیر معمولی است زیرا شما می توانید یک نمونه را به جای کل جمعیت ببینید. بنابراین، اگر نمونه به صورت تصادفی (از نظر تئوری احتمال) نشان داده شود، آنگاه x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (اما نه μ) را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع احتمال در نمونه در نظر گرفت ( توزیع احتمال میانگین).

هر دوی این مقادیر به یک شکل محاسبه می شوند:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

اگر ایکسیک متغیر تصادفی است، سپس انتظارات ریاضی ایکسرا می توان به عنوان میانگین حسابی مقادیر در اندازه گیری های مکرر یک کمیت در نظر گرفت ایکس. این جلوه ای از قانون اعداد بزرگ است. بنابراین از میانگین نمونه برای تخمین مقدار مورد انتظار ناشناخته استفاده می شود.

در جبر ابتدایی ثابت شده است که میانگین n+ 1 عدد بالاتر از حد متوسط nاعداد اگر و فقط اگر عدد جدید بزرگتر از میانگین قدیم باشد، اگر و فقط اگر عدد جدید کمتر از میانگین باشد کمتر، و اگر و فقط اگر عدد جدید با میانگین برابر باشد، تغییر نمی‌کند. بیشتر n، تفاوت بین میانگین جدید و قدیمی کمتر است.

توجه داشته باشید که چندین «متوسط» دیگر وجود دارد، از جمله توان میانگین، میانگین کلموگروف، میانگین هارمونیک، میانگین حسابی-هندسی، و میانگین های وزنی مختلف (به عنوان مثال، میانگین وزنی حسابی، میانگین وزنی هندسی، میانگین هارمونیک وزنی).

مثال ها

• برای سه عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 3 تقسیم کنید:

• برای چهار عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 4 تقسیم کنید:

یا ساده تر 5+5=10، 10:2. چون 2 عدد را جمع می‌کردیم، یعنی چند عدد جمع می‌کنیم، بر آن تعداد تقسیم می‌کنیم.

متغیر تصادفی پیوسته

برای کمیت توزیع شده پیوسته f (x) (\displaystyle f(x))، میانگین حسابی در بازه [a; b ] (\displaystyle ) از طریق یک انتگرال معین تعیین می شود:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

برخی از مشکلات استفاده از میانگین

عدم استحکام

اگرچه میانگین های حسابی اغلب به عنوان میانگین ها یا گرایش های مرکزی استفاده می شوند، این مفهوم در مورد آمارهای قوی صدق نمی کند، به این معنی که میانگین حسابی تابع نفوذ قوی"انحرافات بزرگ" قابل توجه است که برای توزیع هایی با ضریب چولگی زیاد، میانگین حسابی ممکن است با مفهوم "میانگین" مطابقت نداشته باشد و مقادیر میانگین از آمارهای قوی (به عنوان مثال، میانه) بهتر می تواند مرکز را توصیف کند. گرایش

یک مثال کلاسیک محاسبه درآمد متوسط ​​است. میانگین حسابی را می توان به اشتباه به عنوان یک میانه تفسیر کرد، که ممکن است به این نتیجه برسد که افراد با درآمد بالاتر از میزان واقعی بیشتر هستند. درآمد «متوسط» به این معنا تفسیر می‌شود که بیشتر افراد درآمدی در حدود این عدد دارند. این درآمد «متوسط» (به معنای میانگین حسابی) بالاتر از درآمد بیشتر افراد است، زیرا درآمد بالا با انحراف زیاد از میانگین، میانگین حسابی را بسیار منحرف می‌کند (در مقابل، میانگین درآمد در میانه "مقاومت می کند" در برابر چنین کجی). با این حال، این درآمد «متوسط» چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد متوسط ​​نمی گوید (و چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد معین نمی گوید). با این حال، اگر مفاهیم «متوسط» و «اکثر مردم» را ساده نگیرید، می‌توانید به این نتیجه نادرست برسید که بیشتر مردم درآمدی بالاتر از آنچه که هستند، دارند. به عنوان مثال، گزارشی از درآمد خالص «متوسط» در مدینه، واشنگتن، که به عنوان میانگین حسابی کل درآمد خالص سالانه ساکنان محاسبه می‌شود، به‌طور شگفت‌انگیزی نتیجه خواهد داد. عدد بزرگبه خاطر بیل گیتس نمونه (1، 2، 2، 2، 3، 9) را در نظر بگیرید. میانگین حسابی 3.17 است، اما پنج مقدار از شش مقدار زیر این میانگین است.

بهره مرکب

اگر اعداد تکثیر کردن، اما نه تا کردن، باید از میانگین هندسی استفاده کنید نه از میانگین حسابی. اغلب این حادثه هنگام محاسبه بازده سرمایه گذاری در امور مالی اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، اگر سهمی در سال اول 10% سقوط کرد و در سال دوم 30% افزایش یافت، در این صورت محاسبه میانگین افزایش "متوسط" طی آن دو سال به عنوان میانگین حسابی (-10٪ + 30%) نادرست است / 2 = 10٪؛ میانگین صحیح در این مورد توسط نرخ رشد سالانه مرکب ارائه می شود که نرخ رشد سالانه را تنها در حدود 8.16653826392٪ ≈ 8.2٪ نشان می دهد.

دلیل این امر این است که درصدها هر بار نقطه شروع جدیدی دارند: 30٪ 30٪ است. از عددی کمتر از قیمت ابتدای سال اول:اگر سهام از 30 دلار شروع شود و 10 درصد کاهش یابد، در آغاز سال دوم 27 دلار ارزش دارد. اگر سهام 30 درصد افزایش یابد، در پایان سال دوم 35.1 دلار ارزش خواهد داشت. میانگین حسابی این رشد 10 درصد است، اما از آنجایی که سهام طی 2 سال تنها 5.1 دلار افزایش یافته است، میانگین رشد 8.2 درصدی نتیجه نهایی 35.1 دلار را به دست می دهد:

[30 دلار (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دلار (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دلار]. اگر از میانگین حسابی 10% به همین ترتیب استفاده کنیم، مقدار واقعی را بدست نمی آوریم: [30 دلار (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دلار].

سود مرکب در پایان 2 سال: 90٪ * 130٪ = 117٪، یعنی کل افزایش 17٪ است و میانگین بهره مرکب سالانه 117٪ ≈ 108.2٪ (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\تقریباً 108.2% ، یعنی افزایش متوسط ​​سالانه 8.2٪.

جهت ها

هنگام محاسبه میانگین حسابی برخی از متغیرهایی که به صورت چرخه ای تغییر می کنند (مانند فاز یا زاویه)، باید دقت ویژه ای داشت. برای مثال، میانگین 1° و 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 درجه خواهد بود. این عدد به دو دلیل نادرست است.

• ابتدا، اندازه‌های زاویه‌ای فقط برای محدوده 0 تا 360 درجه (یا از 0 تا 2π وقتی بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شوند) تعریف می‌شوند. بنابراین همان جفت اعداد را می توان به صورت (1° و -1°) یا به صورت (1° و 719°) نوشت. مقادیر متوسط ​​هر جفت متفاوت خواهد بود: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ دور )) .
• دوم، در این مورد، مقدار 0 درجه (معادل 360 درجه) از نظر هندسی یک مقدار متوسط ​​بهتر خواهد بود، زیرا اعداد کمتر از 0 درجه نسبت به هر مقدار دیگر انحراف دارند (مقدار 0 درجه کمترین واریانس را دارد). مقایسه کنید:
  • عدد 1 درجه از 0 درجه فقط 1 درجه منحرف می شود.
  • عدد 1 درجه از میانگین محاسبه شده 180 درجه در 179 درجه منحرف می شود.

مقدار متوسط ​​برای یک متغیر چرخه ای محاسبه شده با استفاده از فرمول بالا به طور مصنوعی نسبت به میانگین واقعی به سمت وسط محدوده عددی جابه جا می شود. به همین دلیل، میانگین به روش دیگری محاسبه می شود، یعنی عدد با کوچکترین واریانس ( نقطه مرکزی). همچنین به جای تفریق از فاصله مدولار (یعنی فاصله محیطی) استفاده می شود. به عنوان مثال، فاصله مدولار بین 1 درجه و 359 درجه 2 درجه است، نه 358 درجه (در یک دایره بین 359 درجه و 360 درجه ==0 درجه - یک درجه، بین 0 درجه و 1 درجه - همچنین در مجموع 1 درجه - 2 درجه).

4.3. مقادیر متوسط ماهیت و معنای مقادیر متوسط

اندازه متوسطدر آمار یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک پدیده را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می کند، که منعکس کننده ارزش یک مشخصه متغیر در هر واحد از یک جمعیت از نظر کیفی همگن است. در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.

به عنوان مثال، یک شاخص کلی از درآمد کارگران یک شرکت سهامی (JSC) میانگین درآمد یک کارگر است که توسط نسبت صندوق تعیین می شود. دستمزدو پرداخت های اجتماعی برای دوره مورد بررسی (سال، سه ماهه، ماه) به تعداد کارگران JSC.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. میانگینآنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است منعکس می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی وجود دارد تصادفاتو لازم است.هنگام محاسبه میانگین ها، به دلیل عمل قانون اعداد بزرگ، تصادفی بودن از بین می رود و متعادل می شود، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی مشخصه در هر مورد خاص انتزاع کرد. . توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر فردی، نوسانات در ارزش علمی میانگین ها نهفته است. تعمیم دادنویژگی های جمعیت ها

در جایی که نیاز به تعمیم ایجاد می شود، محاسبه چنین ویژگی هایی منجر به جایگزینی بسیاری از مقادیر مختلف فردی از ویژگی می شود. میانگینشاخصی که کل مجموعه پدیده ها را مشخص می کند، که امکان شناسایی الگوهای ذاتی پدیده های اجتماعی انبوه را که در پدیده های فردی نامرئی هستند، می دهد.

میانگین نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است، این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان را مشخص می کند.

میانگین مشخصه خلاصه ای از قوانین فرآیند در شرایطی است که در آن رخ می دهد.

4.4. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. در هر مورد خاص، یکی از مقادیر متوسط ​​استفاده می شود: حساب، گارمونیک، هندسی، درجه دوم، مکعبیو غیره. میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس است آرام بخشمیانگین.

علاوه بر میانگین های توان، از میانگین های ساختاری در عمل آماری استفاده می شود که حالت و میانه در نظر گرفته می شود.

اجازه دهید با جزئیات بیشتری در مورد میانگین توان صحبت کنیم.

میانگین حسابی

رایج ترین نوع میانگین است میانگین حسابیدر مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر مشخصه واحدهای جداگانه آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (کل) حجم یک مشخصه متفاوت مشخص می شوند که دامنه کاربرد میانگین حسابی را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد، به عنوان مثال: کل صندوق دستمزد مجموع دستمزدها است. در بین تمام کارگران، برداشت ناخالص مجموع محصولات تولید شده از کل فصل کاشت است.

برای محاسبه میانگین حسابی، باید مجموع تمام مقادیر ویژگی ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

از میانگین حسابی در فرم استفاده می شود میانگین ساده و میانگین وزنی.شکل اولیه و تعیین کننده میانگین ساده است.

میانگین حسابی سادهبرابر با مجموع ساده مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تقسیم می شود، تقسیم بر تعداد کل این مقادیر (در مواردی که مقادیر فردی مشخصه گروه بندی نشده وجود دارد استفاده می شود):

جایی که
- مقادیر فردی متغیر (انواع)؛ متر - تعداد واحدهای جمعیت

علاوه بر این، محدودیت های جمع در فرمول ها نشان داده نخواهد شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین خروجی یک کارگر (مکانیک) را بیابید اگر بدانید هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، یعنی. تعدادی از مقادیر فردی مشخصه داده شده است، قطعات:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

میانگین حسابی ساده با استفاده از فرمول (4.1)، 1 عدد محاسبه می شود:

میانگین گزینه هایی که چند بار تکرار می شوند یا به قول خودشان وزن های متفاوتی دارند نامیده می شود وزن داروزن ها تعداد واحدها هستند گروه های مختلفجمع (گزینه های یکسان در یک گروه ترکیب می شوند).

میانگین وزنی حسابی- میانگین مقادیر گروه بندی شده، - با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

, (4.2)

جایی که
- وزن (تکرار تکرار علائم یکسان)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها و فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

ما تکنیک محاسبه میانگین حسابی وزنی را با استفاده از مثالی که در بالا توضیح داده شد، نشان می‌دهیم. برای انجام این کار، داده های منبع را گروه بندی کرده و در یک جدول قرار می دهیم. 4.1.

جدول 4.1

توزیع نیروی کار برای تولید قطعات

با توجه به فرمول (4.2)، میانگین حسابی وزنی برابر است با عدد:

در برخی موارد، وزن ممکن است ارائه نشود ارزش های مطلق، اما نسبی (در درصد یا کسری از واحد). سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که
- خاص بودن، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل همه

اگر فرکانس ها به صورت کسری (ضرایب) شمارش شوند، پس
= 1، و فرمول میانگین موزون حسابی به شکل زیر است:

محاسبه میانگین حسابی وزنی از میانگین گروهی طبق فرمول انجام می شود:

,

جایی که f-تعداد واحدها در هر گروه

نتایج حاصل از محاسبه میانگین حسابی از میانگین گروه در جدول ارائه شده است. 4.2.

جدول 4.2

توزیع کارگران بر اساس میانگین طول خدمت

در این مثال، گزینه ها داده های فردی در مورد طول خدمت تک تک کارگران نیستند، بلکه میانگین برای هر کارگاه است. ترازو fتعداد کارگران در مغازه ها هستند. بنابراین، میانگین تجربه کاری کارگران در سراسر شرکت، سال‌ها خواهد بود:

.

محاسبه میانگین حسابی در سری های توزیع

اگر مقادیر مشخصه ای که میانگین می شود به صورت فواصل ("از - تا") مشخص شود، به عنوان مثال. سری بازه ای توزیع، سپس هنگام محاسبه میانگین حسابی، نقاط میانی این بازه ها به عنوان مقادیر مشخصه ها در گروه ها در نظر گرفته می شود و در نتیجه یک سری گسسته تشکیل می شود. مثال زیر را در نظر بگیرید (جدول 4.3).

بیایید از یک سری بازه ای به یک سری گسسته با جایگزین کردن مقادیر بازه ای با مقادیر میانگین آنها حرکت کنیم/(میانگین ساده

جدول 4.3

توزیع کارگران JSC بر اساس سطح دستمزد ماهانه

مقادیر بازه های باز (اول و آخرین) به طور مشروط با فواصل مجاور آنها (دوم و ماقبل آخر) برابر است.

با این محاسبه میانگین، مقداری عدم دقت مجاز است، زیرا فرضی در مورد توزیع یکنواخت واحدهای مشخصه در گروه وجود دارد. با این حال، هرچه بازه باریکتر و واحدهای بازه بیشتر باشد، خطا کمتر است.

پس از یافتن نقاط میانی فواصل، محاسبات به همان روشی که در یک سری گسسته انجام می شود انجام می شود - گزینه ها در فرکانس ها (وزن ها) ضرب می شوند و مجموع محصولات بر مجموع فرکانس ها (وزن ها) تقسیم می شود. هزار روبل:

.

بنابراین، متوسط ​​سطح دستمزد کارگران JSC 729 روبل است. هر ماه.

محاسبه میانگین حسابی اغلب مستلزم زمان و کار زیادی است. با این حال، در تعدادی از موارد، روش محاسبه میانگین را می توان در صورت استفاده از ویژگی های آن ساده و تسهیل کرد. اجازه دهید (بدون اثبات) برخی از خصوصیات اساسی میانگین حسابی را ارائه کنیم.

ملک 1. اگر تمام مقادیر فردی یک مشخصه (به عنوان مثال. همه گزینه ها) کاهش یا افزایش در منبار، سپس مقدار متوسط مشخصه جدید به ترتیب کاهش یا افزایش خواهد یافت منیک بار.

ملک 2. اگر همه گونه های مشخصه ای که به طور میانگین می شود کاهش یابدبا عدد A بدوزید یا افزایش دهید، سپس میانگین حسابی مطابقت دارددر واقع به همان عدد A کاهش یا افزایش خواهد یافت.

ملک 3. اگر وزن تمام گزینه های میانگین کاهش یابد یا افزایش در به بار، آنگاه میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

به عنوان وزن های متوسط، به جای شاخص های مطلق، می توانید استفاده کنید وزن مخصوصدر کل کل (سهم یا درصد). این محاسبات میانگین را ساده می کند.

برای ساده کردن محاسبات میانگین، مسیر کاهش مقادیر گزینه ها و فرکانس ها را دنبال می کنند. بزرگترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که، به عنوان آمقدار یکی از گزینه های مرکزی که بالاترین فرکانس را دارد، به عنوان / - مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل مساوی) انتخاب می شود. کمیت A را نقطه مرجع می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین را "روش شمارش از صفر شرطی" یا "در راه لحظه ها."

بیایید همه گزینه ها را فرض کنیم ایکسابتدا با همان عدد A کاهش یافت و سپس کاهش یافت منیک بار. ما یک سری متغیر جدید از توزیع گزینه های جدید به دست می آوریم .

سپس گزینه های جدیدبیان خواهد شد:

,

و میانگین حسابی جدید آنها , -لحظه اول سفارش-فرمول:

.

برابر است با میانگین گزینه های اصلی که ابتدا کاهش می یابد آ،و سپس در منیک بار.

برای به دست آوردن میانگین واقعی، یک لحظه مرتبه اول مورد نیاز است متر 1 ، ضربدر منو اضافه کنید آ:

.

این روش محاسبه میانگین حسابی از یک سری تغییرات نامیده می شود "در راه لحظه ها."این روش در ردیف ها با فواصل مساوی استفاده می شود.

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 4.4.

جدول 4.4

توزیع شرکت های کوچک در منطقه بر اساس ارزش دارایی های تولید ثابت (FPF) در سال 2000.

پیدا کردن اولین لحظه سفارش

.

سپس، A = 19 را بگیرید و آن را بدانید من= 2، محاسبه کنید ایکس،هزار روبل.:

انواع مقادیر متوسط ​​و روش های محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری می توان انواع مسائل تحقیقی را تنظیم کرد که برای حل آنها باید میانگین مناسب انتخاب شود. در این مورد، لازم است با قانون زیر هدایت شود: کمیت هایی که صورت و مخرج میانگین را نشان می دهند باید از نظر منطقی با یکدیگر مرتبط باشند.

• میانگین های توان;
• میانگین های ساختاری.

اجازه دهید کنوانسیون های زیر را معرفی کنیم:

مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود.

میانگین، جایی که نوار بالا نشان می دهد که میانگین گیری مقادیر فردی انجام می شود.

فرکانس (تکرارپذیری مقادیر مشخصه فردی).

میانگین های مختلفی از فرمول میانگین توان عمومی به دست می آید:

(5.1)

وقتی k = 1 - میانگین حسابی؛ k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = -2 - ریشه میانگین مربع.

مقادیر متوسط ​​می توانند ساده یا وزن دار باشند. میانگین های موزوناینها مقادیری هستند که در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است اعداد مختلفی داشته باشند و بنابراین هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر، "مقیاس" تعداد واحدهای کل در گروه های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط.

میانگین حسابی- رایج ترین نوع میانگین. زمانی استفاده می‌شود که محاسبه بر روی داده‌های آماری گروه‌بندی‌نشده انجام می‌شود، جایی که باید میانگین ترم را بدست آورید. میانگین حسابی مقدار متوسط ​​یک مشخصه است که با به دست آوردن آن حجم کل مشخصه در مجموع بدون تغییر باقی می ماند.

فرمول میانگین حسابی ( ساده) دارای فرم است

که در آن n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال، متوسط ​​حقوق کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حسابی محاسبه می شود:

شاخص های تعیین کننده در اینجا حقوق هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین، مقدار کل دستمزد ثابت باقی ماند، اما به طور مساوی بین همه کارکنان توزیع شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین حقوق کارگران یک شرکت کوچک با استخدام 8 نفر را محاسبه کنید:

هنگام محاسبه مقادیر میانگین، مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تکرار می شود، می تواند تکرار شود، بنابراین مقدار متوسط ​​با استفاده از داده های گروه بندی شده محاسبه می شود. در این مورد ما در مورددر مورد استفاده میانگین وزنی حسابی، که دارای فرم است

(5.3)

بنابراین، باید میانگین قیمت سهام یک شرکت سهامی را در معاملات بورس محاسبه کنیم. مشخص است که معاملات طی 5 روز (5 نوبت معاملاتی) انجام شده است، تعداد سهام فروخته شده به نرخ فروش به شرح زیر توزیع شده است:

1 - 800 ak. - 1010 روبل.

2 - 650 ak. - 990 روبل.

3 - 700 ak. - 1015 روبل.

4 - 550 ak. - 900 روبل.

5 - 850 ak. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهام، نسبت کل مبلغ معاملات (TVA) به تعداد سهام فروخته شده (KPA) است.

مقادیر متوسط ​​به طور گسترده در آمار استفاده می شود. مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفی فعالیت تجاری را مشخص می کند: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

میانگین - این یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. درک صحیح از ماهیت میانگین اهمیت ویژه آن را در اقتصاد بازار تعیین می کند، زمانی که میانگین، از طریق فردی و تصادفی، به ما اجازه می دهد تا کلی و ضروری را شناسایی کنیم، تا روند الگوهای توسعه اقتصادی را شناسایی کنیم.

مقدار متوسط - اینها شاخص های کلی هستند که در آنها اقدامات بیان می شود شرایط عمومی، الگوهای پدیده مورد مطالعه.

میانگین های آماری بر اساس داده های انبوه از مشاهده انبوه به طور صحیح سازماندهی شده آماری (مستمر و انتخابی) محاسبه می شوند. با این حال، میانگین آماری اگر از داده های انبوه برای یک جمعیت کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، عینی و معمولی خواهد بود. به عنوان مثال، اگر متوسط ​​دستمزد را در تعاونی ها و شرکت های دولتی محاسبه کنید و نتیجه را به کل جمعیت تعمیم دهید، آنگاه میانگین ساختگی است، زیرا برای جمعیتی ناهمگن محاسبه شده است و چنین میانگینی معنای خود را از دست می دهد.

با کمک میانگین، تفاوت‌های ارزش یک مشخصه که به دلایلی در واحدهای مشاهده‌ای منفرد ایجاد می‌شوند، هموار می‌شوند.

به عنوان مثال، میانگین بهره وری یک فروشنده به دلایل زیادی بستگی دارد: صلاحیت، مدت خدمت، سن، نوع خدمات، سلامت و غیره.

میانگین خروجی منعکس کننده ویژگی کلی کل جمعیت است.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است، بنابراین در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

هر مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را با توجه به هر یک از مشخصه ها مشخص می کند. برای به دست آوردن درک کامل و جامع از جمعیت مورد مطالعه با توجه به تعدادی از ویژگی های اساسی، به طور کلی لازم است سیستمی از مقادیر متوسط ​​وجود داشته باشد که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند.

میانگین های مختلفی وجود دارد:

میانگین حسابی؛

میانگین هندسی؛

میانگین هارمونیک؛

مربع میانگین؛

میانگین زمانی

بیایید به چند نوع میانگین که بیشتر در آمار استفاده می شود نگاه کنیم.

میانگین حسابی

میانگین حسابی ساده (بدون وزن) برابر است با مجموع مقادیر مجزای صفت تقسیم بر تعداد این مقادیر.

مقادیر مجزای یک مشخصه را variant می نامند و با x() نشان داده می شوند. تعداد واحدهای جمعیت با n نشان داده می شود، مقدار متوسط ​​مشخصه با نشان داده می شود . بنابراین، میانگین حسابی ساده برابر است با:

با توجه به داده های سری توزیع گسسته، واضح است که همان مقادیر مشخصه (انواع) چندین بار تکرار می شود. بنابراین گزینه x در مجموع 2 بار و گزینه x 16 بار و غیره رخ می دهد.

تعداد مقادیر یکسان یک مشخصه در سری توزیع فرکانس یا وزن نامیده می شود و با نماد n نشان داده می شود.

بیایید میانگین حقوق یک کارگر را محاسبه کنیم در مالش.:

صندوق دستمزد برای هر گروه از کارگران برابر است با حاصل ضرب گزینه ها و فراوانی و مجموع این محصولات کل صندوق دستمزد همه کارگران را نشان می دهد.

با توجه به این، محاسبات را می توان به شکل کلی ارائه کرد:

فرمول حاصل را میانگین حسابی وزنی می نامند.

در نتیجه پردازش، مطالب آماری را می توان نه تنها در قالب سری های توزیع گسسته، بلکه در قالب سری های تغییرات بازه ای با بازه های بسته یا باز ارائه کرد.

میانگین برای داده های گروه بندی شده با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود:

در عمل آمارهای اقتصادی، گاهی لازم است میانگین را با استفاده از میانگین های گروهی یا میانگین های تک تک افراد جامعه (میانگین جزئی) محاسبه کرد. در چنین مواردی، میانگین‌های گروهی یا خصوصی به‌عنوان گزینه (x) در نظر گرفته می‌شوند که بر اساس آن، میانگین کلی به‌عنوان یک میانگین حسابی موزون معمولی محاسبه می‌شود.

ویژگی های اساسی میانگین حسابی .

میانگین حسابی چند ویژگی دارد:

1. مقدار میانگین حسابی از کاهش یا افزایش فراوانی هر مقدار از ویژگی x به میزان n برابر تغییر نخواهد کرد.

اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، مقدار متوسط ​​تغییر نمی کند.

2. ضریب مشترک مقادیر فردی یک مشخصه را می توان فراتر از علامت میانگین گرفت:

3. میانگین مجموع (تفاوت) دو یا چند کمیت برابر است با مجموع (تفاوت) میانگین آنها:

4. اگر x = c، که در آن c یک مقدار ثابت است، پس
.

5. مجموع انحراف مقادیر ویژگی X از میانگین حسابی x برابر با صفر است:

میانگین هارمونیک

همراه با میانگین حسابی، آمار از میانگین هارمونیک، معکوس میانگین حسابی مقادیر معکوس صفت استفاده می کند. مانند میانگین حسابی، می تواند ساده و وزنی باشد.

ویژگی های سری تغییرات به همراه میانگین ها حالت و میانه هستند.

روش - این مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در جمعیت مورد مطالعه تکرار می شود. برای سری های توزیع گسسته، حالت مقدار متغیری با بالاترین فرکانس خواهد بود.

برای سری های توزیع بازه ای با فواصل مساوی، حالت با فرمول تعیین می شود:

جایی که
- مقدار اولیه بازه حاوی حالت؛

- مقدار فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله قبل از مدال.

- فرکانس فاصله پس از یک حالت.

میانه - این گزینه ای است که در وسط سری تغییرات قرار دارد. اگر سری توزیع گسسته و دارای تعداد فرد فرد باشد، آنگاه میانه گزینه ای خواهد بود که در وسط سری مرتب شده قرار دارد (سری مرتب شده چینش واحدهای جمعیت به ترتیب صعودی یا نزولی است).

در محاسبه میانگین گم می شود.

میانگین معنیمجموعه اعداد برابر است با مجموع اعداد S تقسیم بر تعداد این اعداد. یعنی معلوم می شود که میانگین معنیبرابر است: 19/4 = 4.75.

توجه داشته باشید

اگر می خواهید میانگین هندسی را فقط برای دو عدد پیدا کنید، به ماشین حساب مهندسی نیاز ندارید: ریشه دوم را بگیرید ( ریشه دوم) از هر عددی را می توان با استفاده از معمولی ترین ماشین حساب انجام داد.

مشاوره مفید

برخلاف میانگین حسابی، میانگین هندسی به شدت تحت تأثیر انحرافات و نوسانات زیاد بین مقادیر فردی در مجموعه شاخص های مورد مطالعه قرار نمی گیرد.

منابع:

• ماشین حساب آنلاین که میانگین هندسی را محاسبه می کند
• میانگین فرمول هندسی

میانگینارزش یکی از ویژگی های مجموعه اعداد است. عددی را نشان می‌دهد که نمی‌تواند خارج از محدوده تعریف‌شده توسط بزرگترین و کوچک‌ترین مقادیر در آن مجموعه اعداد قرار گیرد. میانگینمقدار حسابی رایج ترین نوع میانگین است.

دستورالعمل ها

تمام اعداد مجموعه را جمع کنید و آنها را بر تعداد عبارت ها تقسیم کنید تا میانگین حسابی به دست آید. بسته به شرایط محاسباتی خاص، گاهی اوقات ساده تر است که هر یک از اعداد را بر تعداد مقادیر موجود در مجموعه تقسیم کنید و نتیجه را جمع کنید.

برای مثال، در صورت عدم امکان محاسبه میانگین حسابی در سیستم عامل ویندوز، از آن استفاده کنید. می توانید با استفاده از گفتگوی راه اندازی برنامه آن را باز کنید. برای انجام این کار، کلیدهای میانبر WIN + R را فشار دهید یا روی دکمه Start کلیک کنید و از منوی اصلی Run را انتخاب کنید. سپس calc را در قسمت ورودی تایپ کنید و Enter را فشار دهید یا دکمه OK را بزنید. همین کار را می توان از طریق منوی اصلی انجام داد - آن را باز کنید، به بخش "همه برنامه ها" و در بخش "استاندارد" بروید و خط "ماشین حساب" را انتخاب کنید.

تمام اعداد مجموعه را به ترتیب با فشار دادن کلید Plus بعد از هر یک از آنها (به جز آخرین مورد) یا کلیک کردن روی دکمه مربوطه در رابط ماشین حساب وارد کنید. همچنین می توانید اعداد را از صفحه کلید یا با کلیک کردن روی دکمه های رابط مربوطه وارد کنید.

پس از وارد کردن آخرین مقدار مجموعه، کلید اسلش را فشار دهید یا در واسط ماشین حساب روی آن کلیک کنید و تعداد اعداد را در ترتیب تایپ کنید. سپس علامت مساوی را فشار دهید تا ماشین حساب میانگین حسابی را محاسبه و نمایش دهد.

برای همین منظور می توانید از ویرایشگر صفحه گسترده مایکروسافت اکسل استفاده کنید. در این حالت، ویرایشگر را راه اندازی کنید و تمام مقادیر دنباله اعداد را در سلول های مجاور وارد کنید. اگر پس از وارد کردن هر عدد، Enter یا کلید فلش پایین یا راست را فشار دهید، خود ویرایشگر کانون ورودی را به سلول مجاور منتقل می کند.

اگر نمی خواهید فقط میانگین را ببینید، روی سلول کنار آخرین عدد وارد شده کلیک کنید. منوی کشویی یونانی سیگما (Σ) را برای دستورات ویرایش در تب Home گسترش دهید. خط را انتخاب کنید " میانگین"و ویرایشگر فرمول لازم را برای محاسبه میانگین درج می کند مقدار حسابیبه سلول انتخاب شده کلید Enter را فشار دهید و مقدار محاسبه می شود.

میانگین حسابی یکی از معیارهای گرایش مرکزی است که به طور گسترده در ریاضیات و محاسبات آماری استفاده می شود. یافتن میانگین حسابی برای چندین مقدار بسیار ساده است، اما هر کار تفاوت های ظریف خاص خود را دارد که برای انجام محاسبات صحیح به سادگی لازم است بدانید.

میانگین حسابی چیست

نحوه پیدا کردن میانگین حسابی

ویژگی های کار با اعداد منفی

1. یافتن میانگین حسابی عمومی با استفاده از روش استاندارد.
2. یافتن میانگین حسابی اعداد منفی.
3. محاسبه میانگین حسابی اعداد مثبت.

پاسخ های هر عمل با کاما از هم جدا شده اند.

کسرهای طبیعی و اعشاری

هنگام کار با کسرهای طبیعیآنها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد که در تعداد اعداد آرایه ضرب می شود. شمارنده پاسخ مجموع اعداد داده شده عناصر کسری اصلی خواهد بود.

• ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل ها

لطفا توجه داشته باشید که در مورد کلیمیانگین اعداد هندسیبا ضرب این اعداد و گرفتن ریشه توان مربوط به تعداد اعداد از آنها پیدا می شود. برای مثال، اگر باید میانگین هندسی پنج عدد را پیدا کنید، باید ریشه توان را از حاصل ضرب استخراج کنید.

برای پیدا کردن میانگین هندسی دو عدد از قانون اساسی استفاده کنید. حاصل ضرب آنها را پیدا کنید، سپس جذر آن را بگیرید، زیرا عدد دو است که با قدرت ریشه مطابقت دارد. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 16 و 4، حاصل ضرب آنها را 16 4=64 بیابید. از عدد به دست آمده، جذر √64=8 را استخراج کنید. این چیزی است که اتفاق خواهد افتاد مقدار مورد نیاز. لطفا توجه داشته باشید که میانگین حسابی این دو عدد بزرگتر و مساوی 10 است. اگر کل ریشه استخراج نشد، نتیجه را به ترتیب دلخواه گرد کنید.

برای یافتن میانگین هندسی بیش از دو عدد، از قانون اساسی نیز استفاده کنید. برای انجام این کار، حاصل ضرب تمام اعدادی را که باید میانگین هندسی آنها را بیابید، پیدا کنید. از حاصل ضرب، ریشه توان را برابر تعداد اعداد استخراج کنید. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 2، 4 و 64، حاصل ضرب آنها را پیدا کنید. 2 4 64 = 512. از آنجایی که باید نتیجه میانگین هندسی سه عدد را پیدا کنید، ریشه سوم را از حاصل ضرب بگیرید. انجام این کار به صورت شفاهی دشوار است، بنابراین از یک ماشین حساب مهندسی استفاده کنید. برای این منظور دارای دکمه "x^y" است. شماره 512 را بگیرید، دکمه "x^y" را فشار دهید، سپس عدد 3 را بگیرید و دکمه "1/x" را فشار دهید، برای یافتن مقدار 1/3، دکمه "=" را فشار دهید. نتیجه افزایش 512 را به توان 1/3 می گیریم که مربوط به ریشه سوم است. 512^1/3=8 را دریافت کنید. این میانگین هندسی اعداد 2.4 و 64 است.

با استفاده از یک ماشین حساب مهندسی، می توانید میانگین هندسی را به روش دیگری پیدا کنید. دکمه log را روی صفحه کلید خود پیدا کنید. پس از آن، لگاریتم هر یک از اعداد را بگیرید، مجموع آنها را پیدا کنید و آن را بر تعداد اعداد تقسیم کنید. آنتی لگاریتم را از عدد بدست آمده بگیرید. این میانگین هندسی اعداد خواهد بود. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی همان اعداد 2، 4 و 64، مجموعه ای از عملیات را روی ماشین حساب انجام دهید. شماره 2 را شماره گیری کنید، سپس دکمه log را فشار دهید، دکمه "+" را فشار دهید، عدد 4 را بگیرید و دوباره log و "+" را فشار دهید، 64 را شماره گیری کنید، log و "=" را فشار دهید. نتیجه عددی برابر با مجموع لگاریتم های اعشاری اعداد 2، 4 و 64 خواهد بود. عدد حاصل را بر 3 تقسیم کنید، زیرا این تعداد اعدادی است که میانگین هندسی برای آنها جستجو می شود. از نتیجه، با تعویض دکمه case آنتی لگاریتم را بگیرید و از همان کلید log استفاده کنید. نتیجه عدد 8 خواهد بود، این میانگین هندسی مورد نظر است.