سطح ورودی

پیشرفت هندسی راهنمای جامعبا مثال (2019)

دنباله اعداد

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. به عنوان مثال:

شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.

عددی که دارای عدد است، nامین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

رایج ترین انواع پیشروی، حسابی و هندسی است. در این مبحث در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.

چرا پیشرفت هندسی و تاریخچه آن مورد نیاز است؟

حتی در دوران باستان، راهب ریاضیدان ایتالیایی، لئوناردو پیزا (که بیشتر به فیبوناچی معروف است) به نیازهای عملی تجارت می پرداخت. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کند کوچکترین وزنی که می توان برای وزن کردن یک محصول استفاده کرد چقدر است؟ فیبوناچی در آثار خود ثابت می‌کند که چنین سیستمی از وزن‌ها بهینه است: این یکی از اولین موقعیت‌هایی است که در آن افراد مجبور بودند با یک پیشروی هندسی دست و پنجه نرم کنند، که احتمالاً قبلاً در مورد آن شنیده‌اید و حداقل آن را داشته‌اید. مفهوم کلی. پس از درک کامل موضوع، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟

در حال حاضر، در عمل زندگی، پیشرفت هندسیهنگام سرمایه گذاری پول در بانک، زمانی که میزان بهره بر روی مقدار انباشته شده در حساب دوره قبل محاسبه می شود، خود را نشان می دهد. به عبارت دیگر، اگر پول را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید، پس از یک سال سپرده به مقدار اصلی افزایش می یابد، یعنی. مبلغ جدید برابر است با سهم ضرب شده در. در یک سال دیگر، این مقدار افزایش می یابد، یعنی. مقدار بدست آمده در آن زمان دوباره ضرب خواهد شد و به همین ترتیب. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسبه به اصطلاح توضیح داده شده است بهره مرکب- درصد هر بار از مبلغ موجود در حساب با در نظر گرفتن سود قبلی اخذ می شود. کمی بعد در مورد این وظایف صحبت خواهیم کرد.

موارد ساده تری وجود دارد که در آن پیشرفت هندسی اعمال می شود. به عنوان مثال، شیوع آنفولانزا: یک نفر فرد دیگری را آلوده کرد، آنها نیز به نوبه خود فرد دیگری را آلوده کردند و بنابراین موج دوم عفونت یک فرد است و آنها نیز به نوبه خود دیگری را آلوده کردند ... و غیره. .

به هر حال، یک هرم مالی، همان MMM، یک محاسبه ساده و خشک بر اساس ویژگی های یک پیشرفت هندسی است. جالبه؟ بیایید آن را بفهمیم.

پیشرفت هندسی

فرض کنید یک دنباله اعداد داریم:

بلافاصله پاسخ می دهید که آسان است و نام چنین سکانسی است پیشرفت حسابیبا اختلاف اعضایش این چطوره:

اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید، خواهید دید که هر بار تفاوت جدیدی دریافت می کنید (و غیره)، اما دنباله قطعا وجود دارد و به راحتی قابل توجه است - هر عدد بعدی چند برابر بزرگتر از عدد قبلی است!

این نوع دنباله اعداد نامیده می شود پیشرفت هندسیو تعیین شده است.

پیشروی هندسی () دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

محدودیت هایی که عبارت اول ( ) برابر نیست و تصادفی نیستند. بیایید فرض کنیم که آنها آنجا نیستند، و جمله اول هنوز برابر است، و q برابر است با، هوم.. بگذارید باشد، سپس معلوم می شود:

موافق باشید که این دیگر یک پیشرفت نیست.

همانطور که متوجه شدید، اگر عددی غیر از صفر، a وجود داشته باشد، همان نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد، به سادگی هیچ پیشرفتی وجود نخواهد داشت، زیرا کل سری اعداد یا همه صفر خواهند بود یا یک عدد، و بقیه صفر هستند.

حالا بیایید در مورد مخرج پیشروی هندسی، یعنی o با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

بیایید تکرار کنیم: - این شماره است هر ترم بعدی چند بار تغییر می کند؟پیشرفت هندسی

به نظر شما چه چیزی می تواند باشد؟ درست است، مثبت و منفی، اما صفر نیست (در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).

بیایید فرض کنیم که ما مثبت است. اجازه دهید در مورد ما، a. ارزش ترم دوم چیست و؟ شما به راحتی می توانید پاسخ دهید که:

درست است. بر این اساس، اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند.

اگه منفی باشه چی؟ به عنوان مثال، الف. ارزش ترم دوم چیست و؟

این یک داستان کاملا متفاوت است

سعی کنید شرایط این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین، اگر، پس علائم شرایط پیشروی هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشروی با علائم متناوب برای اعضای آن مشاهده کردید، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مسائل مربوط به این موضوع خود را آزمایش کنید.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله اعداد یک تصاعد هندسی و کدام یک پیشرفت حسابی هستند:

متوجه شدید؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

• پیشرفت هندسی - 3، 6.
• پیشرفت حسابی - 2، 4.
• این نه یک پیشرفت حسابی است و نه یک پیشرفت هندسی - 1، 5، 7.

بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم اصطلاح آن را پیدا کنیم، درست مانند حساب. همانطور که ممکن است حدس زده باشید، دو راه برای پیدا کردن آن وجود دارد.

هر جمله را به صورت متوالی ضرب می کنیم.

بنابراین، امین ترم پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.

همانطور که قبلاً حدس زدید، اکنون شما خودتان فرمولی را استخراج خواهید کرد که به شما کمک می کند هر عضوی از پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا قبلاً آن را برای خود توسعه داده اید و نحوه یافتن عضو گام به گام را شرح داده اید؟ اگر چنین است، صحت استدلال خود را بررسی کنید.

اجازه دهید این را با مثال یافتن ترم این پیشرفت نشان دهیم:

به عبارت دیگر:

مقدار ترم پیشروی هندسی داده شده را خودتان بیابید.

کار کرد؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی در هر جمله قبلی پیشرفت هندسی ضرب کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

فرمول مشتق شده برای همه مقادیر - هم مثبت و هم منفی صادق است. این را خودتان با محاسبه شرایط پیشرفت هندسی با شرایط زیر بررسی کنید: , a.

حساب کردی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

موافق باشید که می توان یک ترم یک پیشرفت را به همان روش یک ترم پیدا کرد، اما امکان محاسبه نادرست وجود دارد. و اگر ما قبلاً عبارت ترم هندسی را پیدا کرده باشیم، چه چیزی می تواند ساده تر از استفاده از بخش "قطع" فرمول باشد.

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.

اخیراً در مورد این واقعیت صحبت کردیم که می تواند هر دو بیشتر و کمتر از صفربا این حال، مقادیر خاصی وجود دارد که برای آنها پیشرفت هندسی نامیده می شود بی نهایت در حال کاهش.

فکر می کنید چرا این نام را گذاشته اند؟
ابتدا، اجازه دهید مقداری پیشرفت هندسی متشکل از اصطلاحات را بنویسیم.
پس بیایید بگوییم:

می بینیم که هر عبارت بعدی یک ضریب از جمله قبلی کمتر است، اما آیا عددی وجود خواهد داشت؟ شما بلافاصله پاسخ خواهید داد - "نه". به همین دلیل است که بی نهایت در حال کاهش است - کاهش می یابد و کاهش می یابد، اما هرگز صفر نمی شود.

برای درک واضح اینکه چگونه از نظر بصری به نظر می رسد، بیایید سعی کنیم نموداری از پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین، برای مورد ما، فرمول به شکل زیر است:

در نمودارها ما عادت داریم که وابستگی را ترسیم کنیم، بنابراین:

ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در مدخل اول وابستگی مقدار عضوی از یک پیشروی هندسی را به عدد ترتیبی آن نشان دادیم و در ورودی دوم به سادگی مقدار عضوی از یک پیشرفت هندسی را به عنوان در نظر گرفتیم. ، و شماره ترتیبی را نه به عنوان، بلکه به عنوان تعیین کرد. تنها کاری که باید انجام شود ساخت یک نمودار است.
ببینیم چی گرفتی این نموداری است که من به آن رسیدم:

می بینی؟ تابع کاهش می یابد، به سمت صفر میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نقاط خود را روی نمودار مشخص کنیم، و در همان زمان مختصات و معنی آن چیست:

سعی کنید نمودار یک پیشروی هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید اگر جمله اول آن نیز برابر باشد. تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟

موفق شدی؟ این نموداری است که من به آن رسیدم:

اکنون که اصول مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً درک کرده اید: می دانید که چیست، می دانید چگونه اصطلاح آن را پیدا کنید، و همچنین می دانید که پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی چیست، بیایید به ویژگی اصلی آن برویم.

خاصیت پیشرفت هندسی.

آیا خاصیت اصطلاحات یک پیشروی حسابی را به خاطر دارید؟ بله، بله، چگونه می توان مقدار تعداد معینی از یک پیشرفت را در زمانی که مقادیر قبلی و بعدی شرایط این پیشرفت وجود دارد، پیدا کرد. یادت هست؟ اینجاست:

اکنون دقیقاً با همین سؤال برای شرایط پیشروی هندسی روبرو هستیم. برای استخراج چنین فرمولی، بیایید طراحی و استدلال را شروع کنیم. خواهید دید، بسیار آسان است، و اگر فراموش کردید، می توانید خودتان آن را بیرون بیاورید.

بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر را در نظر بگیریم، که در آن می دانیم و. چگونه پیدا کنیم؟ با پیشرفت حسابی آسان و ساده است، اما در اینجا چطور؟ در واقع، در هندسی نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط باید هر مقداری را که به ما داده شده مطابق فرمول یادداشت کنید.

ممکن است بپرسید اکنون در مورد آن چه باید بکنیم؟ بله خیلی ساده ابتدا بیایید این فرمول ها را در یک تصویر به تصویر بکشیم و سعی کنیم دستکاری های مختلفی با آنها انجام دهیم تا به مقدار آن برسیم.

بیایید از اعدادی که به ما داده می شود انتزاع کنیم، بیایید فقط بر بیان آنها از طریق فرمول تمرکز کنیم. ما باید مقدار برجسته شده را پیدا کنیم نارنجی، شناخت اعضای مجاور آن. بیایید سعی کنیم با آنها تولید کنیم اقدامات مختلف، در نتیجه می توانیم بدست آوریم.

اضافه
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و دریافت می کنیم:

از این عبارت، همانطور که می بینید، ما به هیچ وجه نمی توانیم آن را بیان کنیم، بنابراین، گزینه دیگری - تفریق را امتحان خواهیم کرد.

تفریق.

همانطور که می بینید، ما نمی توانیم این را نیز بیان کنیم، بنابراین، بیایید سعی کنیم این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.

ضرب.

اکنون با ضرب عبارات پیشرفت هندسی که به ما داده شده در مقایسه با آنچه که باید پیدا شود، به دقت به آنچه داریم نگاه کنید:

حدس بزنید در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ درست است، برای پیدا کردن ما نیاز به گرفتن ریشه مربعاز اعداد پیشروی هندسی مجاور اعداد مورد نظر ضرب در یکدیگر:

در اینجا شما بروید. شما خودتان خاصیت پیشرفت هندسی را به دست آوردید. سعی کنید این فرمول را در آن بنویسید نمای کلی. کار کرد؟

شرط را فراموش کرده اید؟ به این فکر کنید که چرا مهم است، برای مثال سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید. در این صورت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ درست است، حماقت کامل، زیرا فرمول شبیه به این است:

بر این اساس، این محدودیت را فراموش نکنید.

حالا بیایید محاسبه کنیم که برابر است

پاسخ صحیح این است! اگر در حین محاسبه دومین مقدار ممکن را فراموش نکردید، پس عالی هستید و می توانید بلافاصله به تمرین بروید، و اگر فراموش کردید، آنچه در زیر بحث شده است را بخوانید و توجه کنید که چرا هر دو ریشه باید در آن نوشته شوند. پاسخ

بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با مقدار و دیگری با مقدار و بررسی کنیم که آیا هر دوی آنها حق وجود دارند یا خیر:

برای بررسی اینکه آیا چنین تصاعدی هندسی وجود دارد یا خیر، باید دید که آیا تمام عبارات داده شده آن یکسان هستند؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.

ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ چون علامت اصطلاح مورد نظر شما به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که نمی دانیم چیست، باید هر دو پاسخ را با یک مثبت و یک منفی بنویسیم.

حالا که به نکات اصلی تسلط پیدا کردید و فرمول خاصیت پیشروی هندسی را استخراج کردید، پیدا کنید، دانستن و

پاسخ های خود را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:

چه فکر می‌کنید، چه می‌شود اگر مقادیر شرایط پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر، بلکه با فاصله مساوی از آن به ما داده شود. به عنوان مثال، ما باید پیدا کنیم، و داده و. آیا می توانیم در این مورد از فرمولی که به دست آورده ایم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان روش تأیید یا رد کنید، و توضیح دهید که هر مقدار از چه چیزی تشکیل شده است، همانطور که در ابتدا فرمول را استخراج کردید.
چه چیزی به دست آوردی؟

حالا دوباره با دقت نگاه کنید.
و بر این اساس:

از اینجا می توانیم نتیجه بگیریم که فرمول کار می کند نه تنها با همسایگانبا شرایط مورد نظر از پیشرفت هندسی، بلکه با مساوی فاصلهاز آنچه اعضا به دنبال آن هستند.

بنابراین، فرمول اولیه ما به شکل زیر است:

یعنی اگر در حالت اول گفتیم، حالا می گوییم می تواند برابر با هر عدد طبیعی که کوچکتر است باشد. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان است.

تمرین کنید نمونه های خاص، فقط بسیار مراقب باشید!

1. ، . پیدا کنید.
2. ، . پیدا کنید.
3. ، . پیدا کنید.

تصمیم گرفتی؟ امیدوارم خیلی دقت کرده باشید و متوجه یک شکار کوچک شده باشید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم.

در دو مورد اول با آرامش فرمول فوق را اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:

در مورد سوم، با بررسی دقیق شماره سریال شماره هایی که به ما داده شده است، متوجه می شویم که آنها با شماره مورد نظر ما فاصله ندارند: شماره قبلی است، اما در یک موقعیت حذف شده است، بنابراین امکان اعمال فرمول وجود ندارد

چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست! بیایید بنویسیم که هر عددی که به ما داده شده و عددی که به دنبال آن هستیم شامل چه مواردی است.

پس داریم و. بیایید ببینیم با آنها چه کاری می توانیم انجام دهیم؟ پیشنهاد میکنم تقسیم بر دریافت می کنیم:

ما داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

گام بعدی که می توانیم پیدا کنیم - برای این باید برداریم ریشه مکعبیاز عدد به دست آمده

حالا بیایید دوباره به آنچه داریم نگاه کنیم. ما آن را داریم، اما باید آن را پیدا کنیم، و به نوبه خود برابر است با:

ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. در فرمول جایگزین کنید:

پاسخ ما: .

سعی کنید مشکل مشابه دیگری را خودتان حل کنید:
داده شده:،
پیدا کردن:

چقدر گرفتی؟ من دارم - .

همانطور که می بینید، اساسا شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپار- . شما می توانید همه بقیه را خودتان بدون هیچ مشکلی در هر زمانی برداشت کنید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشروی هندسی را روی یک کاغذ بنویسید و طبق فرمولی که در بالا توضیح داده شد، هر یک از اعداد آن را بنویسید.

مجموع عبارات یک تصاعد هندسی.

حالا بیایید به فرمول هایی نگاه کنیم که به ما امکان می دهد به سرعت مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی را در یک بازه معین محاسبه کنیم:

برای بدست آوردن فرمول مجموع ترم های یک پیشرفت هندسی محدود، تمام قسمت های معادله فوق را در ضرب کنید. دریافت می کنیم:

با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ همینطور است، مثلاً اعضای مشترک و غیره به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم معادله 1 را از معادله 2 کم کنیم. چه چیزی به دست آوردی؟

اکنون عبارت پیشرفت هندسی را از طریق فرمول بیان کنید و عبارت حاصل را با آخرین فرمول خود جایگزین کنید:

عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:

تنها کاری که باید انجام شود این است که بیان کنیم:

بر این اساس، در این مورد.

اگر چه؟ آن وقت چه فرمولی کار می کند؟ یک پیشروی هندسی در را تصور کنید. او چگونه است؟ یک سری اعداد یکسان صحیح است، بنابراین فرمول به صورت زیر خواهد بود:

افسانه های زیادی در مورد پیشرفت حسابی و هندسی وجود دارد. یکی از آنها افسانه ست، خالق شطرنج است.

بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد، از شوخ طبعی او و موقعیت های مختلف ممکن در او خوشحال شد. پادشاه که متوجه شد توسط یکی از رعایای خود اختراع شده است، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را به نزد خود احضار کرد و به او دستور داد هر آنچه را که می خواهد از او بخواهد و قول داد حتی ماهرانه ترین آرزو را برآورده کند.

ستا برای فکر کردن وقت خواست و وقتی روز بعد ستا در برابر شاه حاضر شد، شاه را با تواضع بی سابقه درخواست خود شگفت زده کرد. او خواست که برای مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای مربع دوم یک دانه گندم، برای سومین، چهارمین و غیره یک دانه گندم بدهد.

پادشاه عصبانی شد و شیث را بیرون کرد و گفت که درخواست خادم شایسته سخاوت پادشاه نیست، اما قول داد که خادم دانه های خود را برای تمام مربع های تخته دریافت کند.

و حالا سوال: با استفاده از فرمول مجموع شرایط یک تصاعد هندسی، محاسبه کنید که ست چند دانه باید دریافت کند؟

بیایید استدلال را شروع کنیم. از آنجایی که طبق شرط، ست برای مربع اول صفحه شطرنج، برای دومی، سومی، چهارمی و غیره یک دانه گندم درخواست کرد، پس در مشکل می بینیم که ما در مورددر مورد پیشرفت هندسی در این مورد چه چیزی برابر است؟
درسته

مجموع مربع های صفحه شطرنج. به ترتیب، . ما تمام داده ها را داریم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به فرمول وصل کنیم و محاسبه کنیم.

برای تصور حداقل "مقیاس" یک عدد معین، با استفاده از ویژگی های درجه تبدیل می کنیم:

البته، اگر بخواهید، می توانید یک ماشین حساب بگیرید و محاسبه کنید که در نهایت چه عددی به دست می آورید، و اگر نه، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
یعنی:

کوئینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون هزار.

فیو) اگر می‌خواهید عظمت این عدد را تصور کنید، تخمین بزنید که یک انبار برای گنجاندن کل غلات چقدر بزرگ است.
اگر انبار متر ارتفاع و متر عرض داشته باشد، طول آن باید کیلومتر طول بکشد، یعنی. دو برابر فاصله زمین تا خورشید

اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود، می توانست خود دانشمند را برای شمردن دانه ها دعوت کند، زیرا برای شمردن یک میلیون دانه، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر نیاز داشت و با توجه به اینکه شمردن کوئینتیلیون ها ضروری است، غلات باید در طول زندگی او شمرد.

حالا بیایید یک مسئله ساده را حل کنیم که شامل مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی است.
دانش آموز کلاس 5 واسیا با آنفولانزا بیمار شد ، اما همچنان به مدرسه می رود. هر روز واسیا دو نفر را آلوده می کند که به نوبه خود دو نفر دیگر و غیره را آلوده می کنند. فقط افراد در کلاس هستند. چند روز دیگر کل کلاس به آنفولانزا مبتلا می شوند؟

بنابراین، اولین اصطلاح پیشرفت هندسی واسیا است، یعنی یک شخص. ترم هفتم پیشرفت هندسی، دو نفری است که در روز اول ورودش به آن مبتلا شد. مبلغ کلاعضای پیشرفت برابر با تعداد دانش آموزان در 5A است. بر این اساس، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:

بیایید داده های خود را با فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:

کل کلاس در عرض چند روز بیمار می شوند. فرمول ها و اعداد را باور نمی کنید؟ سعی کنید "عفونت" دانش آموزان را خودتان به تصویر بکشید. کار کرد؟ ببین برای من چطور به نظر می رسد:

خودتان محاسبه کنید اگر هر کدام یک نفر را مبتلا کنند و فقط یک نفر در کلاس باشد چند روز طول می کشد تا دانش آموزان به آنفولانزا مبتلا شوند.

چه ارزشی گرفتی؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز مریض شدند.

همانطور که می بینید، چنین کار و ترسیمی برای آن شبیه یک هرم است که در آن هر مورد بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را جذب کند. در مورد ما، اگر تصور کنیم که کلاس ایزوله است، فرد از زنجیره () را می بندد. بنابراین، اگر فردی درگیر یک هرم مالی بود که در صورت آوردن دو شرکت کننده دیگر در آن پول داده می شد، آن شخص (یا مورد کلی) کسی را نمی آوردند و بر این اساس، هر آنچه را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده بودند از دست می دادند.

همه آنچه در بالا گفته شد به یک پیشرفت هندسی کاهش یا افزایش اشاره دارد، اما، همانطور که به یاد دارید، ما یک نوع خاص داریم - یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت ویژگی های خاصی دارد؟ بیا با هم بفهمیمش

بنابراین، ابتدا اجازه دهید دوباره به این ترسیم یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت از مثال خود نگاه کنیم:

حالا بیایید به فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی که کمی قبل از آن مشتق شده است نگاه کنیم:
یا

ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است، نمودار نشان می دهد که تمایل به صفر دارد. یعنی در، تقریباً برابر خواهد بود، به ترتیب، هنگام محاسبه عبارت تقریباً به دست خواهیم آورد. در این رابطه، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی، می‌توان از این براکت صرف نظر کرد، زیرا برابر خواهد بود.

- فرمول مجموع عبارات یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

مهم!ما از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع را پیدا کنیم. بی نهایتتعداد اعضا

اگر عدد خاصی n مشخص شده باشد، از فرمول جمع n جمله استفاده می کنیم، حتی اگر یا.

حالا بیایید تمرین کنیم.

1. مجموع اولین جمله های پیشروی هندسی را با و بیابید.
2. مجموع عبارت های یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با و بیابید.

امیدوارم بی نهایت دقت کرده باشید بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

اکنون شما همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و زمان آن رسیده که از تئوری به عمل بروید. رایج ترین مشکلات پیشرفت هندسی که در امتحان با آن مواجه می شوند، مشکلات محاسبه بهره مرکب است. اینها مواردی هستند که در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مشکلات در محاسبه بهره مرکب

احتمالاً نام فرمول بهره مرکب را شنیده اید. میفهمی یعنی چی؟ اگر نه، بیایید آن را بفهمیم، زیرا هنگامی که خود فرآیند را درک کردید، بلافاصله متوجه خواهید شد که پیشرفت هندسی با آن چه ارتباطی دارد.

همه ما به بانک می رویم و می دانیم که وجود دارد شرایط مختلفبرای سپرده: این مدت و خدمات اضافی و سود با دو است به طرق مختلفمحاسبات آن - ساده و پیچیده است.

با علاقه سادههمه چیز کم و بیش روشن است: سود یک بار در پایان مدت سپرده تعلق می گیرد. یعنی اگر بگوییم 100 روبل برای یک سال واریز می کنیم، فقط در پایان سال اعتبار داده می شود. بر این اساس، تا پایان سپرده ما روبل دریافت خواهیم کرد.

بهره مرکب- این گزینه ای است که در آن رخ می دهد سرمایه بهره، یعنی اضافه شدن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از مبلغ اولیه، بلکه از مبلغ سپرده انباشته. حروف بزرگ به طور مداوم اتفاق نمی افتد، اما با مقداری فراوانی. به عنوان یک قاعده، چنین دوره هایی برابر هستند و اغلب بانک ها از یک ماه، سه ماهه یا سال استفاده می کنند.

بیایید فرض کنیم که سالانه همان روبل را واریز می کنیم، اما با سرمایه گذاری ماهانه سپرده. ما چه کار می کنیم؟

اینجا همه چی رو میفهمی؟ اگر نه، بیایید مرحله به مرحله آن را بفهمیم.

روبل به بانک آوردیم. تا پایان ماه، باید مبلغی در حساب خود داشته باشیم که شامل روبل خود به اضافه سود آن است، یعنی:

موافقید؟

می توانیم آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس به دست می آوریم:

موافقم، این فرمول در حال حاضر بیشتر شبیه آنچه در ابتدا نوشتیم است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که درصدها را مشخص کنید

در بیانیه مشکل به ما در مورد نرخ های سالانه گفته شده است. همانطور که می دانید، ما در ضرب نمی کنیم - درصدها را به اعشاری، یعنی:

درسته؟ حالا ممکن است بپرسید این شماره از کجا آمده است؟ خیلی ساده!
تکرار می کنم: بیانیه مشکل در مورد می گوید سالانهبهره ای که تعلق می گیرد ماهانه. همانطور که می دانید، در یک سال از ماه ها، بر این اساس، بانک بخشی از سود سالانه را در هر ماه از ما دریافت می کند:

متوجه شدی؟ حالا سعی کنید بنویسید اگر بگویم سود روزانه محاسبه می شود این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
موفق شدی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

آفرین! بیایید به وظیفه خود بازگردیم: بنویسید که در ماه دوم چقدر به حساب ما واریز می شود، با توجه به اینکه سود به مبلغ سپرده انباشته تعلق می گیرد.
این چیزی است که من دریافت کردم:

یا به عبارت دیگر:

من فکر می کنم که شما قبلاً متوجه یک الگو شده اید و یک پیشرفت هندسی را در همه این موارد مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن با چه مبلغی برابری می کند یا به عبارت دیگر در پایان ماه چقدر پول دریافت می کنیم.
انجام داد؟ بیایید بررسی کنیم!

همانطور که می بینید، اگر یک سال پول را با سود ساده در بانک بگذارید، روبل و اگر با نرخ بهره مرکب، روبل دریافت کنید. سود ناچیز است، اما این فقط در طول سال اتفاق می افتد، اما برای مدت طولانی تر، سرمایه گذاری بسیار سودآورتر است:

بیایید به نوع دیگری از مسائل مربوط به بهره مرکب نگاه کنیم. بعد از چیزی که فهمیدید، برای شما ابتدایی خواهد بود. بنابراین، وظیفه:

شرکت Zvezda سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2000 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1380 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. اگر سود از گردش خارج نشود، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چقدر سود خواهد داشت؟

سرمایه شرکت Zvezda در سال 2000.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2001.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2002.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2003.

یا می توانیم به طور خلاصه بنویسیم:

برای مورد ما:

2000، 2001، 2002 و 2003.

به ترتیب:
روبل
لطفاً توجه داشته باشید که در این مشکل ما تقسیم بر یا بر نداریم، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن یک مسئله بر روی سود مرکب دقت کنید که چند درصد داده شده و در چه دوره ای محاسبه می شود و فقط پس از آن به محاسبات بروید.
اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.

آموزش.

1. اگر معلوم باشد که و. عبارت پیشرفت هندسی را بیابید
2. اگر معلوم باشد که، و
3. شرکت ام دی ام کپیتال سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2003 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1383 تاکنون هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. شرکت MSK Cash Flow در سال 2005 سرمایه گذاری در این صنعت را به مبلغ 10000 دلار آغاز کرد و در سال 2006 شروع به کسب سود به مبلغ 100 دلار کرد. اگر سود از گردش خارج نمی شد، در پایان سال 2007، سرمایه یک شرکت چند دلار بیشتر از دیگری است؟

پاسخ ها:

1. از آنجایی که بیان مسئله نمی گوید که پیشرفت بی نهایت است و باید مجموع تعداد خاصی از عبارت های آن را پیدا کرد، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
2. 
   شرکت سرمایه MDM:

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - 100٪ افزایش می یابد، یعنی 2 برابر.
   به ترتیب:
   روبل
   شرکت MSK Cash Flow:

   2005، 2006، 2007.
   - افزایش می یابد، یعنی بارها.
   به ترتیب:
   روبل
   روبل

بیایید خلاصه کنیم.

1) پیشروی هندسی ( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

2) معادله شرایط پیشروی هندسی است.

3) می تواند هر مقداری را بگیرد به جز و.

• اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند;
• اگر، سپس تمام شرایط بعدی پیشرفت علائم جایگزین؛
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

4) با - خاصیت پیشرفت هندسی (اصطلاحات مجاور)

یا
، در (شرایط مساوی)

وقتی آن را پیدا کردید، آن را فراموش نکنید باید دو پاسخ وجود داشته باشد.

به عنوان مثال،

5) مجموع عبارات پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا

اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، آنگاه:
یا

مهم!ما از فرمول برای مجموع عبارت‌های یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش استفاده می‌کنیم، تنها در صورتی که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع تعداد نامتناهی از عبارت‌ها را پیدا کنیم.

6) مسائل مربوط به بهره مرکب نیز با استفاده از فرمول ترم ترم یک پیشروی هندسی محاسبه می شوند، مشروط بر اینکه پول نقداز گردش خارج نشدند:

پیشرفت هندسی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

پیشرفت هندسی( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی

مخرج پیشرفت هندسیمی تواند هر ارزشی به جز و.

• اگر همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی داشته باشند - آنها مثبت هستند.
• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت نشانه های متناوب را دارند.
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

معادله شرایط پیشرفت هندسی - .

مجموع شرایط یک تصاعد هندسیبا فرمول محاسبه می شود:
یا

فرمول n ام یک پیشروی هندسی بسیار ساده است. هم در معنا و هم در ظاهر کلی. اما انواع مشکلات در فرمول ترم n وجود دارد - از بسیار ابتدایی تا کاملا جدی. و در روند آشنایی ما قطعا هر دو را در نظر خواهیم گرفت. خوب، بیایید با هم آشنا شویم؟)

بنابراین، برای شروع، در واقع فرمولn

اینجاست:

b n = ب 1 · qn -1

فرمول فقط یک فرمول است، هیچ چیز ماوراء طبیعی نیست. حتی ساده تر و فشرده تر از فرمول مشابه به نظر می رسد. معنی فرمول نیز به سادگی چکمه های نمدی است.

این فرمول به شما امکان می دهد هر عضوی از یک پیشرفت هندسی را بر اساس عدد آن پیدا کنید. n".

همانطور که می بینید، معنی قیاس کامل با یک تصاعد حسابی است. ما عدد n را می دانیم - همچنین می توانیم عبارت را زیر این عدد بشماریم. هر کدوم که بخوایم بدون ضرب مکرر در "q" چندین و چند بار. این تمام نکته است.)

من درک می کنم که در این سطح از کار با پیشرفت ها، تمام مقادیر موجود در فرمول باید از قبل برای شما واضح باشد، اما من همچنان وظیفه خود می دانم که هر کدام را رمزگشایی کنم. محض احتیاط.

بنابراین، در اینجا می رویم:

ب 1 – اولمدت پیشرفت هندسی؛

q – ;

n- شماره عضو؛

b n – نهمین (nث)اصطلاح یک پیشرفت هندسی

این فرمول چهار پارامتر اصلی هر پیشرفت هندسی را به هم متصل می کند - بn, ب 1 , qو n. و تمام مشکلات پیشرفت حول این چهار چهره کلیدی می چرخد.

"چگونه حذف می شود؟"– یه سوال کنجکاو می شنوم... ابتدایی! نگاه کن

چه چیزی برابر است دومعضو پیشرفت؟ سوالی نیست! ما مستقیماً می نویسیم:

b 2 = b 1 ·q

و عضو سوم چطور؟ مشکلی هم نیست! جمله دوم را ضرب می کنیم یک بار دیگر درq.

مثل این:

B 3 = b 2 q

اکنون به یاد بیاوریم که جمله دوم به نوبه خود برابر با b 1 ·q است و این عبارت را با برابری خود جایگزین کنیم:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

دریافت می کنیم:

ب 3 = b 1 ·q 2

حال بیایید مدخل خود را به زبان روسی بخوانیم: سومعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در دومدرجه آیا آن را می گیرید؟ هنوز نه؟ باشه یه قدم دیگه

ترم چهارم چیست؟ همه چیز همان است! ضرب کنید قبلی(یعنی ترم سوم) در q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

مجموع:

ب 4 = b 1 ·q 3

و دوباره به روسی ترجمه می کنیم: چهارمعبارت برابر است با جمله اول ضرب در q در سومدرجه

و غیره. پس چگونه؟ الگو رو گرفتی؟ بله! برای هر جمله با هر عدد، تعداد عوامل یکسان q (یعنی درجه مخرج) همیشه خواهد بود. یک عدد کمتر از تعداد عضو مورد نظرn.

بنابراین، فرمول ما بدون گزینه خواهد بود:

b n =ب 1 · qn -1

همین است.)

خوب، بیایید مشکلات را حل کنیم، حدس می زنم؟)

حل مسائل فرمولnترم یک پیشرفت هندسی.

بیایید طبق معمول با استفاده مستقیم از فرمول شروع کنیم. در اینجا یک مشکل معمولی وجود دارد:

در پیشرفت هندسی مشخص است که ب 1 = 512 و q = -1/2. جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

البته این مشکل بدون هیچ فرمولی قابل حل است. مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی. اما ما باید با فرمول ترم n گرم شویم، درست است؟ اینجا داریم گرم می کنیم.

داده های ما برای اعمال فرمول به شرح زیر است.

اولین عضو مشخص است. این 512 است.

ب 1 = 512.

مخرج پیشرفت نیز شناخته شده است: q = -1/2.

تنها چیزی که باقی می ماند این است که بفهمیم تعداد عضو n چقدر است. سوالی نیست! آیا ما به ترم دهم علاقه مندیم؟ بنابراین ما ده را به جای n در فرمول کلی جایگزین می کنیم.

و با دقت حساب را محاسبه کنید:

پاسخ: -1

همانطور که می بینید، ترم دهم پیشرفت منهای بود. هیچ چیز تعجب آور نیست: مخرج پیشرفت ما -1/2 است، یعنی. منفیشماره و این به ما می گوید که نشانه های پیشرفت ما به طور متناوب، بله.)

اینجا همه چیز ساده است. در اینجا یک مشکل مشابه وجود دارد، اما از نظر محاسبات کمی پیچیده تر است.

در پیشرفت هندسی، مشخص است که:

ب 1 = 3

جمله سیزدهم پیشرفت را پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط این بار مخرج پیشرفت است غیر منطقی. ریشه دو. خوب، اشکالی ندارد. فرمول یک چیز جهانی است، می تواند با هر عددی کنار بیاید.

ما مستقیماً طبق فرمول کار می کنیم:

فرمول البته آن طور که باید کار کرد، اما... اینجاست که بعضی ها گیر می کنند. بعد با روت چه کار کنیم؟ چگونه یک ریشه را به توان دوازدهم برسانیم؟

چطوری... باید بفهمی که هر فرمولی البته چیز خوبیه ولی دانش تمام ریاضیات قبلی لغو نمیشه! چگونه بسازیم؟ بله، خواص درجات را به خاطر بسپار! بیایید ریشه را تبدیل کنیم درجه کسریو – طبق فرمول ارتقاء درجه به درجه.

مثل این:

جواب: 192

و این همه است.)

مشکل اصلی در کاربرد مستقیم فرمول ترم n چیست؟ بله! مشکل اصلی این است کار با مدرک!یعنی قدرت اعداد منفی، کسرها، ریشه ها و ساختارهای مشابه. پس کسانی که در این مورد مشکل دارند لطفا درجات و خواص آنها را تکرار کنند! وگرنه سرعت این تاپیک رو هم کم می کنید، بله...)

اکنون بیایید مشکلات جستجوی معمولی را حل کنیم یکی از عناصر فرمول، اگر بقیه داده شوند. برای حل موفقیت آمیز چنین مشکلاتی، دستور العمل یکنواخت و بسیار ساده است - فرمول را بنویسn-ام عضو به طور کلی!درست در دفترچه کنار شرایط. و سپس از روی شرط متوجه می شویم که چه چیزی به ما داده شده و چه چیزی کم است. و از فرمول بیان می کنیم مقدار مورد نیاز. همه!

به عنوان مثال، چنین مشکل بی ضرر.

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج 3 567 است. جمله اول این تصاعد را بیابید.

هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما مستقیماً طبق طلسم کار می کنیم.

بیایید فرمول ترم n را بنویسیم!

b n = ب 1 · qn -1

چه چیزی به ما داده شده است؟ ابتدا مخرج پیشرفت داده می شود: q = 3.

علاوه بر این، به ما داده شده است عضو پنجم: ب 5 = 567 .

همه؟ نه! به ما نیز شماره n داده شده است! این پنج است: n = 5.

امیدوارم قبلا متوجه شده باشید که چه چیزی در ضبط وجود دارد ب 5 = 567 دو پارامتر به طور همزمان پنهان می شوند - این پنجمین عبارت خود (567) و شماره آن (5) است. قبلاً در درس مشابهی در مورد این موضوع صحبت کردم، اما فکر می کنم در اینجا نیز ارزش ذکر آن را دارد.)

اکنون داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

567 = ب 1 · 3 5-1

ما حساب را انجام می دهیم، ساده می کنیم و چیز ساده ای می گیریم معادله خطی:

81 ب 1 = 567

حل می کنیم و می گیریم:

ب 1 = 7

همانطور که می بینید، هیچ مشکلی برای یافتن ترم اول وجود ندارد. اما هنگام جستجوی مخرج qو اعداد nممکن است شگفتی هایی نیز وجود داشته باشد. و همچنین باید برای آنها آماده باشید (سورپرایزها)، بله.)

مثلا این مشکل:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی با مخرج مثبت 162 و جمله اول این تصاعد 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

این بار جمله اول و پنجم به ما داده می شود و از ما خواسته می شود مخرج پیشرفت را پیدا کنیم. در اینجا ما می رویم.

فرمول را می نویسیمnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

داده های اولیه ما به شرح زیر خواهد بود:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

n = 5

مقدار از دست رفته q. سوالی نیست! بیایید اکنون آن را پیدا کنیم.) هر چیزی را که می دانیم در فرمول جایگزین می کنیم.

دریافت می کنیم:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

یک معادله ساده درجه چهارم. و حالا - با دقت!روشن در این مرحلهراه حل، بسیاری از دانش آموزان بلافاصله با خوشحالی ریشه (درجه چهارم) را استخراج می کنند و پاسخ می گیرند q=3 .

مثل این:

q4 = 81

q = 3

اما در واقع، این یک پاسخ ناتمام است. به طور دقیق تر، ناقص. چرا؟ نکته این است که پاسخ q = -3 همچنین مناسب: (-3) 4 نیز 81 خواهد بود!

این به دلیل معادله قدرت است x n = الفهمیشه داشته است دو ریشه متضاددر حتیn . با مثبت و منفی:

هر دو مناسب هستند.

به عنوان مثال، هنگام تصمیم گیری (یعنی دومدرجه)

x 2 = 9

به دلایلی از ظاهر شگفت زده نمی شوید دوریشه x=±3؟ اینجا هم همینطوره و با هر دیگری حتیدرجه (چهارم، ششم، دهم و ...) به همین ترتیب خواهد بود. جزئیات در تاپیک در مورد است

به همین دلیل است تصمیم درستبه این صورت خواهد بود:

q 4 = 81

q= 3±

خوب، ما علائم را مرتب کردیم. کدام یک درست است - مثبت یا منفی؟ خوب، بیایید در جستجوی دوباره بیانیه مشکل را بخوانیم اطلاعات اضافی. البته ممکن است وجود نداشته باشد، اما در این مشکل چنین اطلاعاتی وجود دارد موجود است.شرایط ما در متن ساده بیان می کند که یک پیشرفت با آن داده می شود مخرج مثبت

بنابراین پاسخ واضح است:

q = 3

اینجا همه چیز ساده است. فکر می کنید اگر بیان مشکل به این صورت باشد چه اتفاقی می افتد:

جمله پنجم یک تصاعد هندسی 162 است و جمله اول این پیشروی 2 است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چه فرقی دارد؟ بله! در شرایط هیچیهیچ اشاره ای به علامت مخرج نشده است. نه مستقیم و نه غیر مستقیم. و در اینجا مشکل از قبل وجود داشت دو راه حل!

q = 3 و q = -3

بله، بله! هم با یک مثبت و هم با یک منفی.) از نظر ریاضی، این واقعیت به این معنی است که وجود دارد دو پیشرفت، که متناسب با شرایط مشکل است. و هر کدام مخرج خاص خود را دارند. فقط برای سرگرمی، تمرین کنید و پنج ترم اول هر کدام را بنویسید.)

حالا بیایید پیدا کردن شماره عضو را تمرین کنیم. این مشکل سخت ترین است، بله. اما همچنین خلاق تر است.)

با توجه به یک پیشرفت هندسی:

3; 6; 12; 24; …

چه عددی در این پیشروی عدد 768 است؟

مرحله اول همچنان یکسان است: فرمول را بنویسnعضو ام!

b n = ب 1 · qn -1

و اکنون، طبق معمول، داده‌هایی را که می‌دانیم جایگزین آن می‌کنیم. هوم... کار نمیکنه! جمله اول کجا، مخرج کجا، بقیه کجا؟!

کجا، کجا... چرا به چشم نیاز داریم؟ مژه های خود را تکان می دهید؟ این بار پیشرفت مستقیم در فرم به ما داده می شود دنباله هاآیا می توانیم اولین عضو را ببینیم؟ می بینیم! این یک سه گانه است (b 1 = 3). در مورد مخرج چطور؟ ما هنوز آن را نمی بینیم، اما شمارش آن بسیار آسان است. البته اگر بفهمی...

پس حساب می کنیم. به طور مستقیم با توجه به معنای یک تصاعد هندسی: هر یک از اصطلاحات آن را (به جز اولی) می گیریم و بر مورد قبلی تقسیم می کنیم.

حداقل اینجوری:

q = 24/12 = 2

دیگر چه می دانیم؟ ما همچنین مقداری از این پیشروی برابر با 768 را می دانیم. تحت تعدادی عدد n:

b n = 768

ما شماره او را نمی دانیم، اما وظیفه ما دقیقاً یافتن او است.) بنابراین ما به دنبال آن هستیم. ما قبلاً تمام داده های لازم برای جایگزینی را در فرمول دانلود کرده ایم. بدون اینکه خودت بدانی.)

در اینجا ما جایگزین می کنیم:

768 = 3 2n -1

بیایید موارد ابتدایی را انجام دهیم - هر دو طرف را بر سه تقسیم کنیم و معادله را به شکل معمول بازنویسی کنیم: مجهول در سمت چپ است، معلوم در سمت راست است.

دریافت می کنیم:

2 n -1 = 256

این یک معادله جالب است. ما باید "n" را پیدا کنیم. چی، غیرعادی؟ بله، من بحث نمی کنم. در واقع، این ساده ترین چیز است. به این دلیل نامیده می شود که مجهول (در در این مورداین یک عدد است n) هزینه ها در نشانگردرجه

در مرحله یادگیری پیشرفت هندسی (این کلاس نهم است) به شما یاد نمی دهند که چگونه معادلات نمایی را حل کنید، بله ... این موضوع برای دبیرستان است. اما هیچ چیز ترسناکی وجود ندارد. حتی اگر نمی دانید چنین معادلاتی چگونه حل می شوند، بیایید سعی کنیم ما را پیدا کنیم n، با منطق ساده و عقل سلیم هدایت می شود.

بیایید شروع به صحبت کنیم. در سمت چپ ما یک دوش داریم تا حدی. ما هنوز نمی دانیم که این مدرک دقیقاً چیست، اما این ترسناک نیست. اما به یقین می دانیم که این مدرک برابر با 256 است! بنابراین ما به یاد می آوریم که تا چه حد دو به ما 256 می دهد. آیا یادتان هست؟ بله! در هشتمدرجه!

256 = 2 8

اگر به خاطر نمی آورید یا در تشخیص درجه ها مشکل دارید، این نیز اشکالی ندارد: فقط به صورت متوالی مربع دو، مکعب، چهارم، پنجم و غیره. انتخاب، در واقع، اما در این سطح بسیار خوب کار خواهد کرد.

به هر طریقی، ما دریافت می کنیم:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

بنابراین 768 است نهمعضو پیشرفت ما همین، مشکل حل شد.)

پاسخ: 9

چی؟ خسته کننده؟ از چیزهای ابتدایی خسته شده اید؟ موافقم منم همینطور بیایید به سطح بعدی برویم.)

وظایف پیچیده تر

حالا بیایید مشکلات چالش برانگیزتر را حل کنیم. خیلی جالب نیست، اما مواردی که برای رسیدن به پاسخ نیاز به کمی کار دارند.

مثلا این یکی

جمله دوم یک تصاعد هندسی را در صورتی بیابید که جمله چهارم آن 24- و جمله هفتم آن 192 باشد.

این یک کلاسیک از این ژانر است. دو اصطلاح مختلف از پیشرفت شناخته شده است، اما باید یک اصطلاح دیگر پیدا کرد. علاوه بر این، همه اعضا همسایه نیستند. که در ابتدا گیج کننده است، بله ...

همانطور که در، برای حل چنین مشکلاتی ما دو روش را در نظر خواهیم گرفت. روش اول جهانی است. جبری. بی عیب و نقص با هر داده منبع کار می کند. بنابراین از اینجا شروع خواهیم کرد.)

ما هر اصطلاح را با توجه به فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

همه چیز دقیقاً مانند یک پیشرفت حسابی است. فقط این بار با آن کار می کنیم دیگریفرمول کلی این همه است.) اما اصل یکسان است: ما می گیریم و یکی یکیما داده های اولیه خود را در فرمول ترم n جایگزین می کنیم. برای هر عضو - خود آنها.

برای ترم چهارم می نویسیم:

ب 4 = ب 1 · q 3

-24 = ب 1 · q 3

بخور یک معادله آماده است.

برای ترم هفتم می نویسیم:

ب 7 = ب 1 · q 6

192 = ب 1 · q 6

در مجموع، ما دو معادله برای همان پیشرفت .

ما یک سیستم از آنها جمع آوری می کنیم:

علیرغم ظاهر تهدید آمیز آن، این سیستم بسیار ساده است. واضح ترین راه حل جایگزینی ساده است. بیان می کنیم ب 1 از معادله بالا و جایگزین آن به معادله پایینی:

بعد از اینکه کمی با معادله پایینی سر و کله زدیم (کاهش توان ها و تقسیم بر 24-)، به دست می آید:

q 3 = -8

اتفاقا همین معادله را می توان به روش ساده تری به دست آورد! کدام یک؟ حالا راز دیگری را به شما نشان خواهم داد، اما بسیار زیبا، قدرتمند و راه مفیدراه حل هایی برای چنین سیستم هایی چنین سیستم هایی که معادلات آنها شامل فقط کار می کندحداقل در یکی. تماس گرفت روش تقسیمیک معادله به معادله دیگر

بنابراین، ما یک سیستم پیش روی خود داریم:

در هر دو معادله سمت چپ - کار کردن، و در سمت راست فقط یک عدد است. این خیلی نشانه خوب.) بگیریم و... معادله پایینی را تقسیم بر بالا! به چه معناست بیایید یک معادله را بر معادله دیگر تقسیم کنیم؟خیلی ساده آن را بگیریم سمت چپ یک معادله (پایین تر) و تقسیم کنیداو در سمت چپمعادله دیگر (بالا). سمت راست مشابه است: سمت راستیک معادله تقسیم کنیددر سمت راستدیگری

کل فرآیند تقسیم به صورت زیر است:

اکنون، با کاهش هر چیزی که می توان کاهش داد، دریافت می کنیم:

q 3 = -8

چه چیزی در مورد این روش خوب است؟ بله، زیرا در فرآیند چنین تقسیم بندی می توان همه چیز بد و ناخوشایند را با خیال راحت کاهش داد و یک معادله کاملاً بی ضرر باقی می ماند! به همین دلیل است که داشتن آن بسیار مهم است فقط ضربحداقل در یکی از معادلات سیستم. هیچ ضربی وجود ندارد - چیزی برای کاهش وجود ندارد، بله ...

به طور کلی، این روش (مانند بسیاری از روش های غیر پیش پا افتاده دیگر حل سیستم ها) حتی شایسته یک درس جداگانه است. من قطعا آن را با جزئیات بیشتر بررسی خواهم کرد. روزی…

با این حال، مهم نیست که دقیقاً چگونه سیستم را حل کنید، در هر صورت، اکنون باید معادله حاصل را حل کنیم:

q 3 = -8

مشکلی نیست: ریشه مکعب را استخراج کنید و کارتان تمام شد!

لطفاً توجه داشته باشید که هنگام استخراج نیازی به قرار دادن یک مثبت/منفی در اینجا نیست. ما یک ریشه از درجه فرد (سوم) داریم. و پاسخ نیز یکسان است، بله.)

بنابراین، مخرج پیشرفت پیدا شده است. منهای دو عالیه این روند ادامه دارد.)

برای جمله اول (مثلاً از معادله بالا) به دست می آوریم:

عالیه عبارت اول را می دانیم، مخرج را می دانیم. و اکنون ما این فرصت را داریم که هر عضوی از پیشرفت را پیدا کنیم. از جمله دومی.)

برای ترم دوم همه چیز بسیار ساده است:

ب 2 = ب 1 · q= 3·(-2) = -6

پاسخ: -6

بنابراین، ما روش جبری را برای حل مسئله شکسته ایم. سخته؟ نه واقعا موافقم طولانی و خسته کننده؟ بله قطعا. اما گاهی اوقات می توانید میزان کار را به میزان قابل توجهی کاهش دهید. برای این وجود دارد روش گرافیکیخوب قدیمی و برای ما آشنا.)

بیایید یک مشکل ترسیم کنیم!

بله! درست است. دوباره پیشرفت خود را بر روی محور اعداد به تصویر می کشیم. لازم نیست از یک خط کش پیروی کنید، لازم نیست فواصل مساوی بین عبارت ها حفظ شود (که اتفاقاً یکسان نخواهد بود، زیرا پیشرفت هندسی است!)، بلکه به سادگی به صورت شماتیکبیایید دنباله خود را ترسیم کنیم.

من اینجوری گرفتم:

حالا به تصویر نگاه کنید و متوجه شوید. چند عامل یکسان "q" از هم جدا می شوند چهارمو هفتماعضا؟ درست است، سه!

بنابراین، ما حق داریم بنویسیم:

-24·q 3 = 192

از اینجا به راحتی می توان q را پیدا کرد:

q 3 = -8

q = -2

این عالی است، ما قبلاً مخرج آن را در جیب خود داریم. حالا بیایید دوباره به تصویر نگاه کنیم: چه تعداد از این مخرج ها بین آنها قرار دارد دومو چهارماعضا؟ دو! بنابراین برای ثبت ارتباط بین این اصطلاحات، مخرج را مطرح می کنیم مربع.

پس می نویسیم:

ب 2 · q 2 = -24 ، کجا ب 2 = -24/ q 2

مخرج پیدا شده خود را با عبارت b 2 جایگزین می کنیم، بشماریم و بدست آوریم:

پاسخ: -6

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده تر و سریعتر از سیستم است. علاوه بر این، در اینجا ما اصلاً نیازی به شمارش اولین ترم نداشتیم! اصلا.)

در اینجا یک راه نور ساده و بصری وجود دارد. اما یک عیب جدی نیز دارد. حدس زدی؟ بله! فقط برای قطعات بسیار کوتاه پیشرفت خوب است. آنهایی که فاصله بین اعضای مورد علاقه ما خیلی زیاد نیست. اما در همه موارد دیگر ترسیم یک تصویر از قبل دشوار است، بله... سپس ما مشکل را به صورت تحلیلی، از طریق سیستم حل می کنیم.) و سیستم ها چیزهای جهانی هستند. آنها می توانند هر عددی را مدیریت کنند.

چالش حماسی دیگر:

ترم دوم پیشرفت هندسی 10 بیشتر از جمله اول و جمله سوم 30 بیشتر از دومی است. مخرج پیشرفت را پیدا کنید.

چی، باحال؟ نه اصلا! همه چیز یکسان است. دوباره بیان مسئله را به جبر خالص ترجمه می کنیم.

1) هر اصطلاح را طبق فرمول توصیف می کنیم nعضو ام!

جمله دوم: b 2 = b 1 q

ترم سوم: b 3 = b 1 q 2

2) ارتباط بین اعضا را از بیان مشکل یادداشت می کنیم.

شرط را می خوانیم: جمله دوم پیشرفت هندسی 10 بزرگتر از جمله اول است.بس کن، این ارزشمند است!

پس می نویسیم:

ب 2 = ب 1 +10

و ما این عبارت را به ریاضیات محض ترجمه می کنیم:

ب 3 = ب 2 +30

دو معادله به دست آوردیم. بیایید آنها را در یک سیستم ترکیب کنیم:

سیستم ساده به نظر می رسد. اما شاخص های بسیار زیادی برای حروف وجود دارد. بیایید به جای عبارت دوم و سوم عبارات آنها را از طریق جمله اول و مخرج جایگزین کنیم! آیا بیهوده بود که آنها را نقاشی کردیم؟

دریافت می کنیم:

اما چنین سیستمی دیگر هدیه نیست، بله... چگونه این را حل کنیم؟ متأسفانه، هیچ طلسم مخفی جهانی برای حل پیچیده وجود ندارد غیر خطیهیچ سیستمی در ریاضیات وجود ندارد و نمی تواند وجود داشته باشد. این فوق العاده است! اما اولین چیزی که هنگام تلاش برای شکستن چنین مهره سختی باید به ذهن شما برسد این است که بفهمید اما آیا یکی از معادلات سیستم قابل تقلیل نیست نمای زیبا، به عنوان مثال اجازه می دهد یکی از متغیرها را به راحتی بیان کند؟

بیایید آن را بفهمیم. معادله اول سیستم به وضوح ساده تر از معادله دوم است. ما او را شکنجه خواهیم کرد.) آیا نباید از همان معادله اول تلاش کنیم چیزیبیان از طریق چیزی؟از آنجایی که می خواهیم مخرج را پیدا کنیم q، در این صورت بیان آن برای ما بسیار سودمند خواهد بود ب 1 از طریق q.

بنابراین بیایید سعی کنیم این روش را با معادله اول با استفاده از معادله های خوب قدیمی انجام دهیم:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

همه! پس بیان کردیم غیر ضروریمتغیر (b 1) را به ما بدهید لازم است(ق). بله، این ساده ترین عبارتی نیست که ما دریافت کردیم. نوعی کسری... اما سیستم ما در سطح مناسبی است، بله.)

معمولی. ما می دانیم چه کنیم.

ما ODZ را می نویسیم (الزام!) :

q ≠ 1

همه چیز را در مخرج (q-1) ضرب می کنیم و همه کسرها را باطل می کنیم:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

همه چیز را بر ده تقسیم می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و همه چیز را از سمت چپ جمع می کنیم:

q 2 – 4 q + 3 = 0

نتیجه را حل می کنیم و دو ریشه می گیریم:

q 1 = 1

q 2 = 3

تنها یک پاسخ نهایی وجود دارد: q = 3 .

پاسخ: 3

همانطور که می بینید، مسیر حل اکثر مسائل مربوط به فرمول ترم n یک پیشروی هندسی همیشه یکسان است: خواندن با دقتشرط مسئله و با استفاده از فرمول n ام کل را ترجمه می کنیم اطلاعات مفیدبه جبر محض

یعنی:

1) ما طبق فرمول هر عبارتی را که در مسئله آورده شده است به طور جداگانه شرح می دهیمnعضو ام

2) از شرایط مسئله ارتباط بین اعضا را به شکل ریاضی تبدیل می کنیم. ما یک معادله یا سیستم معادلات می سازیم.

3) معادله یا سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم، پارامترهای مجهول پیشرفت را پیدا می کنیم.

4) در صورت وجود پاسخ مبهم، در جستجوی اطلاعات اضافی (در صورت وجود) شرایط تکلیف را با دقت مطالعه کنید. ما همچنین پاسخ دریافتی را با شرایط DL (در صورت وجود) بررسی می کنیم.

اکنون بیایید مشکلات اصلی را که اغلب منجر به خطا در فرآیند حل مشکلات پیشروی هندسی می شوند، فهرست کنیم.

1. حساب ابتدایی. عملیات با کسر و اعداد منفی.

2. اگر حداقل یکی از این سه نقطه مشکل داشته باشد، به ناچار در این تاپیک دچار اشتباه خواهید شد. متأسفانه ... پس تنبل نباشید و آنچه در بالا ذکر شد را تکرار کنید. و پیوندها را دنبال کنید - بروید. گاهی اوقات کمک می کند.)

فرمول های اصلاح شده و مکرر

اکنون اجازه دهید به چند مشکل معمولی امتحان با ارائه ای کمتر آشنا از شرایط نگاه کنیم. بله، بله، درست حدس زدید! این اصلاح شده استو عود کنندهفرمول های ترم n. ما قبلاً با چنین فرمول هایی روبرو شده ایم و روی پیشرفت حسابی کار کرده ایم. اینجا همه چیز شبیه است. اصل موضوع همین است.

به عنوان مثال، این مشکل از OGE:

پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 3 2 n . مجموع جمله اول و چهارم آن را بیابید.

این بار پیشرفت برای ما کاملاً معمول نیست. در قالب نوعی فرمول. پس چی؟ این فرمول است همچنین یک فرمولnعضو ام!من و شما می دانیم که فرمول ترم n را می توان هم به صورت کلی، با استفاده از حروف و هم برای نوشت پیشرفت خاص. با خاصجمله اول و مخرج

در مورد ما، در واقع، یک فرمول اصطلاح کلی برای یک پیشروی هندسی با پارامترهای زیر به ما داده می شود:

ب 1 = 6

q = 2

بررسی کنیم؟) بیایید فرمول ترم n را به صورت کلی بنویسیم و آن را جایگزین کنیم ب 1 و q. دریافت می کنیم:

b n = ب 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

ما با استفاده از فاکتورگیری و ویژگی های توان ها ساده می کنیم و به دست می آوریم:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

همانطور که می بینید، همه چیز منصفانه است. اما هدف ما نشان دادن اشتقاق یک فرمول خاص نیست. این چنین است، یک انحراف غزلی. صرفاً برای درک.) هدف ما حل مشکل با استفاده از فرمولی است که در شرایط به ما داده شده است. متوجه شدید؟) بنابراین ما مستقیماً با فرمول اصلاح شده کار می کنیم.

ترم اول را حساب می کنیم. جایگزین کنیم n=1 به فرمول کلی:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثل این. به هر حال، من تنبل نخواهم شد و یک بار دیگر توجه شما را به یک اشتباه معمولی در محاسبه ترم اول جلب می کنم. به فرمول نگاه نکنید b n= 3 2n، بلافاصله عجله بنویسید که ترم اول یک سه است! این یک اشتباه فاحش است، بله...)

ادامه دهیم. جایگزین کنیم n=4 و جمله چهارم را بشمارید:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

و در نهایت مقدار مورد نیاز را محاسبه می کنیم:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

جواب: 54

مشکل دیگر.

پیشرفت هندسی با شرایط زیر مشخص می شود:

ب 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

جمله چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت با یک فرمول مکرر داده می شود. خوب، باشه.) نحوه کار با این فرمول - ما هم می دانیم

پس عمل می کنیم. قدم به قدم.

1) دو بشمار متوالیعضو پیشرفت

اولین ترم قبلاً به ما داده شده است. منهای هفت. اما ترم بعدی و دوم را می توان به راحتی با استفاده از فرمول عود محاسبه کرد. البته اگر اصل عملکرد آن را درک کنید.)

بنابراین ترم دوم را حساب می کنیم طبق اول معروف:

ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21

2) مخرج پیشرفت را محاسبه کنید

مشکلی هم نداره راست، بیایید تقسیم کنیم دومدیک در اول

دریافت می کنیم:

q = -21/(-7) = 3

3) فرمول را بنویسیدnعضو ام به شکل معمولی و محاسبه عضو مورد نیاز.

بنابراین، ما عبارت اول و مخرج را نیز می دانیم. پس می نویسیم:

b n= -7·3n -1

ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

پاسخ: -189

همانطور که می بینید، کار با چنین فرمول هایی برای یک پیشروی هندسی اساساً هیچ تفاوتی با پیشروی حسابی ندارد. فقط درک ماهیت و معنای کلی این فرمول ها مهم است. خوب، شما همچنین باید معنای پیشرفت هندسی را درک کنید، بله.) و سپس هیچ اشتباه احمقانه ای وجود نخواهد داشت.

خوب، بیایید خودمان تصمیم بگیریم؟)

کارهای بسیار ابتدایی برای گرم کردن:

1. با توجه به پیشرفت هندسی که در آن ب 1 = 243، الف q = -2/3. جمله ششم پیشرفت را پیدا کنید.

2. عبارت کلی پیشرفت هندسی با فرمول داده می شود b n = 5∙2 n +1 . عدد آخرین جمله سه رقمی این پیشروی را پیدا کنید.

3. پیشرفت هندسی با شرایط زیر داده می شود:

ب 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید.

کمی پیچیده تر:

4. با توجه به یک پیشرفت هندسی:

ب 1 =2048; q =-0,5

ششمین جمله منفی برابر است با چیست؟

چه چیزی فوق العاده سخت به نظر می رسد؟ نه اصلا. منطق و درک معنای پیشرفت هندسی شما را نجات می دهد. خوب، فرمول ترم n، البته.

5. جمله سوم پیشرفت هندسی 14- و جمله هشتم 112 است. مخرج پیشروی را بیابید.

6. مجموع جمله های اول و دوم پیشروی هندسی 75 و مجموع جمله های دوم و سوم 150 است. جمله ششم پیشروی را بیابید.

پاسخ ها (به هم ریخته): 6; -3888; -1؛ 800; -32; 448.

این تقریباً تمام است. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که شمارش را یاد بگیریم مجموع n جمله اول یک پیشرفت هندسیبله کشف کنید پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش استو مقدار آن اتفاقاً یک چیز بسیار جالب و غیر معمول! در درس های بعدی بیشتر در مورد این موضوع توضیح داده خواهد شد.)

اگر برای هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید a n ، سپس می گویند داده شده است دنباله اعداد :

الف 1 , الف 2 , الف 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین، دنباله اعداد تابعی از آرگومان طبیعی است.

شماره الف 1 تماس گرفت اولین ترم دنباله ، شماره الف 2 — ترم دوم دنباله ، شماره الف 3 — سوم و غیره شماره a n تماس گرفت ترم نهمدنباله ها و یک عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو مجاور a n و a n +1 عضو سکانس a n +1 تماس گرفت بعدی (نسبت به a n )، A a n — قبلی (نسبت به a n +1 ).

برای تعریف یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد عضوی از دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب توالی با استفاده از آن مشخص می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

به عنوان مثال،

دنباله ای از اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست آورد

a n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر عضوی از دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

به عنوان مثال،

اگر الف 1 = 1 ، A a n +1 = a n + 5

الف 1 = 1,

الف 2 = الف 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

الف 3 = الف 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

الف 4 = الف 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

الف 5 = الف 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک 1= 1, یک 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت جمله اول دنباله عددی به صورت زیر ایجاد می شود:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

الف 6 = الف 4 + الف 5 = 3 + 5 = 8,

الف 7 = الف 5 + الف 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی می تواند باشد نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی ، اگر تعداد اعضا محدود باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان ، اگر تعداد اعضای آن بی نهایت زیاد باشد.

به عنوان مثال،

دنباله اعداد طبیعی دو رقمی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، اگر هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود در حال کاهش است ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

به عنوان مثال،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - توالی کاهشی ◄

دنباله ای که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو با شروع از دومی برابر با عضو قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

الف 1 , الف 2 , الف 3 , . . . , a n, . . .

در صورت وجود، یک پیشرفت حسابی است عدد طبیعی n شرط برقرار است:

a n +1 = a n + د,

کجا د - یک عدد مشخص

بنابراین، تفاوت بین عبارت‌های بعدی و قبلی یک پیشروی حسابی معین همیشه ثابت است:

یک 2 - الف 1 = یک 3 - الف 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

شماره د تماس گرفت تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تعریف یک تصاعد حسابی کافی است اولین جمله و تفاوت آن را نشان دهیم.

به عنوان مثال،

اگر الف 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

الف 5 = الف 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای یک پیشروی حسابی با جمله اول الف 1 و تفاوت د او n

a n = یک 1 + (n- 1)د

به عنوان مثال،

جمله سی ام پیشروی حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

a n= یک 1 + (n- 1)د،

a n +1 = الف 1 + nd,

سپس به وضوح

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی از یک پیشروی حسابی هستند، اگر و فقط اگر یکی از آنها با میانگین حسابی دو نفر دیگر برابر باشد.

به عنوان مثال،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

◄

توجه داشته باشید که n ترم سوم یک پیشروی حسابی را می توان نه تنها از طریق آن یافت الف 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

a n = یک ک + (n- ک)د.

به عنوان مثال،

برای الف 5 را می توان نوشت

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

a n = یک n-k + kd,

a n = یک n+k - kd,

سپس به وضوح

هر عضوی از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نصف مجموع اعضای این پیشروی حسابی با فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی برابری زیر برقرار است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

به عنوان مثال،

در پیشرفت حسابی

1) الف 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (الف 9 + الف 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, چون

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

اول n عبارات یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی و تعداد عبارت‌ها:

از اینجا، به ویژه، نتیجه می شود که اگر شما نیاز به جمع بندی شرایط دارید

یک ک, یک ک +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

به عنوان مثال،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، کمیت ها الف 1 , a n, د, nواس n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. در این مورد:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با عضو قبلی ضرب در همان عدد است.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

کجا q ≠ 0 - یک عدد مشخص

بنابراین، نسبت جمله بعدی یک پیشرفت هندسی معین به مورد قبلی یک عدد ثابت است:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

شماره q تماس گرفت مخرج پیشرفت هندسی.

برای تعریف یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنیم.

به عنوان مثال،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت هفتم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · qn -1 .

به عنوان مثال،

جمله هفتم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ب 1 · qn -2 ,

b n = ب 1 · qn -1 ,

b n +1 = ب 1 · qn,

سپس به وضوح

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، عبارت زیر صادق است:

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند، اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو عدد دیگر باشد.

به عنوان مثال،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله ای که توسط فرمول داده شده است b n= -3 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نظر را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم هفتم یک پیشرفت هندسی را نه تنها می توان از طریق آن یافت ب 1 ، بلکه هر عضو قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · qn - ک.

به عنوان مثال،

برای ب 5 را می توان نوشت

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · qn - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس به وضوح

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مجذور هر جمله از یک تصاعد هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با حاصل ضرب ترم های با فاصله مساوی این پیشرفت.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

به عنوان مثال،

در پیشرفت هندسی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , چون

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اول n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و چه زمانی q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که در صورت نیاز به جمع بندی شرایط

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

به عنوان مثال،

در پیشرفت هندسی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: جمله های آن با اعداد فرد دارای علامت مشابه با جمله اول هستند و عبارت های دارای اعداد زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n شرایط یک پیشرفت هندسی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

Pn= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

به عنوان مثال،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است یک پیشروی هندسی نامتناهی نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، یعنی

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است دنباله ای کاهشی نباشد. متناسب با موقعیت است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله متناوب است. به عنوان مثال،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع اولین ها بدون محدودیت به آن نزدیک می شود نام ببرید n اعضای یک پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

به عنوان مثال،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

الف 1 , الف 2 , الف 3 , . . . د ، آن

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

به عنوان مثال،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q ، آن

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

به عنوان مثال،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

بیایید یک سری خاص را در نظر بگیریم.

7 28 112 448 1792...

کاملاً واضح است که ارزش هر یک از عناصر آن دقیقاً چهار برابر بیشتر از عنصر قبلی است. یعنی این سریالیک پیشرفت است

پیشروی هندسی یک دنباله بی نهایت از اعداد است. ویژگی اصلییعنی عدد بعدی با ضرب در عددی خاص از عدد قبلی بدست می آید. این با فرمول زیر بیان می شود.

a z +1 =a z ·q، که z تعداد عنصر انتخاب شده است.

بر این اساس، z ∈ N.

دوره ای که پیشرفت هندسی در مدرسه مطالعه می شود کلاس نهم است. مثال ها به شما در درک مفهوم کمک می کنند:

0.25 0.125 0.0625...

بر اساس این فرمول، مخرج پیشرفت را می توان به صورت زیر یافت:

نه q و نه b z نمی توانند صفر باشند. همچنین هر یک از عناصر پیشرفت نباید برابر با صفر باشد.

بر این اساس، برای پیدا کردن عدد بعدی در یک سری، باید عدد آخر را در q ضرب کنید.

برای تنظیم این پیشرفت، باید اولین عنصر و مخرج آن را مشخص کنید. پس از این امکان یافتن هر یک از عبارت های بعدی و مجموع آنها وجود دارد.

انواع

بسته به q و a 1، این پیشرفت به چند نوع تقسیم می شود:

• اگر هر دو a 1 و q بزرگتر از یک باشند، چنین دنباله ای با هر کدام افزایش می یابد عنصر بعدیپیشرفت هندسی نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =3، q=2 - هر دو پارامتر بزرگتر از یک هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3 6 12 24 48 ...

• اگر |q| کوچکتر از یک است، یعنی ضرب در آن معادل تقسیم است، سپس یک پیشروی با شرایط مشابه یک پیشرفت هندسی کاهشی است. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =6، q=1/3 - a 1 بزرگتر از یک است، q کمتر است.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

6 2 2/3 ... - هر عنصری 3 برابر بزرگتر از عنصر بعدی است.

• علامت متناوب. اگر q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: a 1 = -3، q = -2 - هر دو پارامتر کمتر از صفر هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3, 6, -12, 24,...

فرمول ها

فرمول های زیادی برای استفاده راحت از پیشرفت های هندسی وجود دارد:

• فرمول ترم Z. به شما امکان می دهد یک عنصر را تحت یک عدد خاص بدون محاسبه اعداد قبلی محاسبه کنید.

مثال:q = 3, الف 1 = 4. شمارش عنصر چهارم پیشرفت الزامی است.

راه حل:الف 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع اولین عناصری که مقدار آنها برابر است z. به شما امکان می دهد مجموع تمام عناصر یک دنباله را تا سقف محاسبه کنیدیک zفراگیر.

از آنجایی که (1-q) در مخرج است، سپس (1 - q)≠ 0، بنابراین q برابر با 1 نیست.

توجه: اگر q=1 باشد، آنگاه پیشرفت یک سری اعداد بی نهایت تکراری خواهد بود.

مجموع پیشرفت هندسی، مثال:الف 1 = 2, q= -2. S5 را محاسبه کنید.

راه حل:اس 5 = 22 - محاسبه با استفاده از فرمول.

• مقدار اگر |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:الف 1 = 2 , q= 0.5. مقدار را پیدا کنید.

راه حل:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

برخی از خواص:

• خاصیت مشخصه. اگر شرط زیر باشد برای هر کدام کار می کندz، سپس سری اعداد داده شده یک پیشرفت هندسی است:

یک z 2 = یک z -1 · الفz+1

• همچنین، مربع هر عددی در یک تصاعد هندسی با جمع کردن مربع های هر دو عدد دیگر در یک سری داده شده، در صورتی که از این عنصر مساوی فاصله داشته باشند، به دست می آید.

یک z 2 = یک z - تی 2 + یک z + تی 2 ، کجاتی- فاصله بین این اعداد

• عناصردر q متفاوت استیک بار
• لگاریتم های عناصر یک پیشروی نیز یک پیشروی را تشکیل می دهند، اما حسابی، یعنی هر یک از آنها به تعداد معینی از قبلی بزرگتر هستند.

نمونه هایی از برخی مشکلات کلاسیک

برای درک بهتر پیشرفت هندسی، مثال هایی با راه حل های کلاس 9 می تواند کمک کند.

• شرایط:الف 1 = 3, الف 3 = 48. پیدا کنیدq.

راه حل: هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی استq یک باربیان برخی از عناصر بر حسب برخی دیگر با استفاده از مخرج ضروری است.

از این رو،الف 3 = q 2 · الف 1

هنگام تعویضq= 4

• شرایط:الف 2 = 6, الف 3 = 12. S 6 را محاسبه کنید.

راه حل:برای انجام این کار، فقط q، اولین عنصر را پیدا کنید و آن را در فرمول جایگزین کنید.

الف 3 = q· الف 2 از این رو،q= 2

a 2 = q · یک 1،به همین دلیل است a 1 = 3

S 6 = 189

• · الف 1 = 10, q= -2. عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل: برای این کار کافی است عنصر چهارم را از طریق اول و از طریق مخرج بیان کنیم.

a 4 = q 3· a 1 = -80

مثال کاربردی:

• یک مشتری بانک به مبلغ 10000 روبل سپرده گذاری کرد که تحت شرایط آن هر سال مشتری 6٪ از آن را به مبلغ اصلی اضافه می کند. بعد از 4 سال چقدر پول در حساب شما خواهد بود؟

راه حل: مبلغ اولیه 10 هزار روبل است. یعنی یک سال بعد از سرمایه گذاری حساب مبلغی معادل 10000 + 10000 خواهد داشت. · 0.06 = 10000 1.06

بر این اساس مبلغ در حساب پس از یک سال دیگر به شرح زیر بیان می شود:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

یعنی هر سال این مقدار 1.06 برابر افزایش می یابد. یعنی برای یافتن مقدار وجوه موجود در حساب پس از 4 سال کافی است عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید که با عنصر اول معادل 10 هزار و مخرج معادل 1.06 داده می شود.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

نمونه هایی از مسائل مربوط به محاسبه مبالغ:

از پیشرفت هندسی در مسائل مختلف استفاده می شود. مثالی برای یافتن مجموع می توان به صورت زیر ارائه کرد:

الف 1 = 4, q= 2، محاسبه کنیدS 5.

راه حل: تمام داده های لازم برای محاسبه مشخص است، فقط باید آنها را در فرمول جایگزین کنید.

اس 5 = 124

• الف 2 = 6, الف 3 = 18. مجموع شش عنصر اول را محاسبه کنید.

راه حل:

در ژئوم. پیشرفت، هر عنصر بعدی q برابر بیشتر از قبلی است، یعنی برای محاسبه مجموع باید عنصر را بدانیدالف 1 و مخرجq.

الف 2 · q = الف 3

q = 3

به طور مشابه، شما باید پیدا کنیدالف 1 ، دانستنالف 2 وq.

الف 1 · q = الف 2

a 1 =2

اس 6 = 728.

پیشرفت هندسیدر ریاضیات در مقایسه با حساب اهمیت کمتری ندارد. پیشروی هندسی دنباله ای از اعداد b1، b2،...، b[n] است که هر جمله بعدی از ضرب قبلی در یک عدد ثابت به دست می آید. این عدد که مشخص کننده سرعت رشد یا کاهش پیشرفت نیز می باشد نامیده می شود مخرج پیشرفت هندسیو نشان دهند

برای مشخص کردن کامل یک پیشروی هندسی، علاوه بر مخرج، باید اولین جمله آن را دانست یا تعیین کرد. برای مقدار مثبت مخرج، پیشروی دنباله ای یکنواخت است و اگر این دنباله اعداد به طور یکنواخت کاهشی و اگر یکنواخت افزایش می یابد. موردی که مخرج برابر با یک باشد، در عمل در نظر گرفته نمی شود، زیرا ما دنباله ای از اعداد یکسان داریم و جمع آنها هیچ فایده ای ندارد.

اصطلاح کلی پیشرفت هندسیبا فرمول محاسبه می شود

مجموع n جمله اول یک پیشروی هندسیبا فرمول تعیین می شود

بیایید به راه حل های مسائل پیشروی هندسی کلاسیک نگاه کنیم. بیایید با ساده ترین موارد برای درک شروع کنیم.

مثال 1. جمله اول یک تصاعد هندسی 27 و مخرج آن 1/3 است. شش جمله اول پیشرفت هندسی را بیابید.

راه حل: اجازه دهید شرط مسئله را در فرم بنویسیم

برای محاسبات از فرمول ترم n یک پیشرفت هندسی استفاده می کنیم

بر اساس آن، ما شرایط ناشناخته پیشرفت را پیدا می کنیم

همانطور که می بینید، محاسبه شرایط یک پیشرفت هندسی دشوار نیست. خود پیشرفت به این شکل خواهد بود

مثال 2. سه عبارت اول پیشرفت هندسی آورده شده است: 6; -12; 24. مخرج و جمله هفتم آن را بیابید.

راه حل: مخرج پیشروی هندسی را بر اساس تعریف آن محاسبه می کنیم

ما یک تصاعد هندسی متناوب به دست آورده ایم که مخرج آن برابر 2- است. ترم هفتم با استفاده از فرمول محاسبه می شود

این مشکل را حل می کند.

مثال 3. یک تصاعد هندسی با دو عبارت آن داده می شود . جمله دهم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید مقادیر داده شده را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

طبق قوانین، ما باید مخرج را پیدا کنیم و سپس مقدار مورد نظر را جستجو کنیم، اما برای جمله دهم داریم

همین فرمول را می توان بر اساس دستکاری های ساده با داده های ورودی به دست آورد. ترم ششم سریال را بر دیگری تقسیم می کنیم و در نتیجه به دست می آید

اگر مقدار حاصل در جمله ششم ضرب شود، عدد دهم را بدست می آوریم

بنابراین، برای چنین مشکلاتی، با استفاده از تبدیل های ساده به روشی سریع، می توانید راه حل صحیح را پیدا کنید.

مثال 4. پیشروی هندسی با فرمول های مکرر داده می شود

مخرج پیشروی هندسی و مجموع شش جمله اول را پیدا کنید.

راه حل:

بیایید داده های داده شده را در قالب یک سیستم معادلات بنویسیم

مخرج را با تقسیم معادله دوم بر معادله اول بیان کنید

بیایید جمله اول پیشروی را از معادله اول پیدا کنیم

اجازه دهید پنج عبارت زیر را محاسبه کنیم تا مجموع پیشرفت هندسی را به دست آوریم