هر مقدار جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین برای حل مسائل عملی، دانستن چندین ویژگی عددی کافی است که به لطف آنها ارائه ویژگی های اصلی ممکن می شود. متغیر تصادفیبه صورت کوتاه

این مقادیر در درجه اول شامل می شود انتظارات ریاضیو پراکندگی .

انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. به عنوان مشخص شده است.

بیشترین به روشی سادهانتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی X(w)، چگونگی را پیدا کنید انتگراللبسگدر رابطه با معیار احتمال آر اصلی فضای احتمال

همچنین می توانید انتظار ریاضی یک مقدار را به عنوان پیدا کنید انتگرال Lebesgueاز Xبا توزیع احتمال R Xمقادیر X:

مجموعه تمام مقادیر ممکن کجاست X.

انتظارات ریاضی توابع از یک متغیر تصادفی Xاز طریق توزیع یافت می شود R X. به عنوان مثال، اگر X- یک متغیر تصادفی با مقادیر در و f(x)- بدون ابهام بورلتابع X ، این که:

اگر F(x)- تابع توزیع X، پس انتظار ریاضی قابل نمایش است انتگرالLebesgue - Stieltjes (یا Riemann - Stieltjes):

در این مورد یکپارچگی Xاز نظر ( * ) مربوط به محدود بودن انتگرال است

در موارد خاص، اگر Xدارای توزیع گسسته با مقادیر احتمالی است x k, k=1، 2، . ، و احتمالات، سپس

اگر Xتوزیع کاملاً پیوسته با چگالی احتمال دارد p(x)، آن

در این حالت، وجود یک انتظار ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال مربوطه است.

ویژگی های انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی.

• انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این مقدار است:

سی- ثابت؛

• M=C.M[X]

• انتظارات ریاضی از مجموع مقادیر تصادفی گرفته شده برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

• انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل = حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M=M[X]+M[Y]

اگر Xو Yمستقل

اگر سری همگرا شوند:

الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی.

ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: همه مقادیر آنها را می توان مجددا شماره گذاری کرد اعداد طبیعی; به هر مقدار یک احتمال غیر صفر اختصاص دهید.

1. جفت ها را یک به یک ضرب کنید: x iدر p i.

2. محصول هر جفت را اضافه کنید x i p i.

به عنوان مثال، برای n = 4 :

تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهگام به گام، در نقاطی که احتمالات آنها علامت مثبت دارد، ناگهان افزایش می یابد.

مثال:انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول پیدا کنید.

پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به کل محور Ox تعلق دارد با برابری تعیین می شود:

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاینطراحی شده برای حل مسائلی که در آنها یا چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x) (به مثال مراجعه کنید). معمولاً در چنین کارهایی باید پیدا کنید انتظارات ریاضی، میانگین انحراف معیار، توابع f(x) و F(x) را رسم کنید..

دستورالعمل ها نوع داده منبع را انتخاب کنید: چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x).

چگالی توزیع f(x) داده می شود:

تابع توزیع F(x) داده می شود:

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال مشخص می شود
(قانون توزیع رایلی - مورد استفاده در مهندسی رادیو). M(x)، D(x) را پیدا کنید.

متغیر تصادفی X نامیده می شود مستمر ، اگر تابع توزیع آن F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در یک بازه معین استفاده می شود:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوه بر این، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مهم نیست که مرزهای آن در این بازه گنجانده شود یا خیر:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته تابع نامیده می شود
f(x)=F’(x)، مشتق تابع توزیع.

ویژگی های چگالی توزیع