(واقعی، کاملا مثبت)

توزیع نرمال، همچنین به نام توزیع گاوسییا گاوس - لاپلاس- توزیع احتمال که در حالت تک بعدی با تابع چگالی احتمال منطبق با تابع گاوسی مشخص می شود:

که در آن پارامتر μ انتظار (مقدار متوسط)، میانه و حالت توزیع است، و پارامتر σ انحراف استاندارد (σ² پراکندگی) توزیع است.

بنابراین، توزیع نرمال یک بعدی یک خانواده دو پارامتری از توزیع ها است. مورد چند متغیره در مقاله «توزیع چند متغیره-عادی» توضیح داده شده است.

توزیع نرمال استانداردتوزیع نرمال با انتظار ریاضی μ = 0 و انحراف معیار σ = 1 نامیده می شود.

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  اهمیت توزیع نرمال در بسیاری از زمینه های علوم (به عنوان مثال، آمار ریاضی و فیزیک آماری) از قضیه حد مرکزی نظریه احتمال ناشی می شود. اگر نتیجه یک مشاهده، مجموع تعداد زیادی از کمیت‌های تصادفی ضعیف به هم وابسته باشد، که هر کدام سهم کمی نسبت به مجموع کل دارند، با افزایش تعداد عبارت‌ها، توزیع نتیجه متمرکز و نرمال شده به سمت نرمال می‌رود. این قانون نظریه احتمال منجر به توزیع گسترده توزیع نرمال می شود که یکی از دلایل نامگذاری آن بود.

  خواص

  لحظات

  اگر متغیرهای تصادفی X 1 (\displaystyle X_(1))و X 2 (\displaystyle X_(2))مستقل هستند و دارای توزیع نرمال با انتظارات ریاضی هستند μ 1 (\displaystyle \mu _(1))و μ 2 (\displaystyle \mu _(2))و واریانس ها σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))و σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))بر این اساس، پس X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))همچنین دارای توزیع نرمال با انتظارات ریاضی است μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))و واریانس σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)نتیجه این است که یک متغیر تصادفی عادی را می توان به عنوان مجموع تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی عادی مستقل نشان داد.

  حداکثر آنتروپی

  توزیع نرمال دارای حداکثر آنتروپی دیفرانسیل در بین تمام توزیع های پیوسته است که واریانس آنها از مقدار معینی تجاوز نمی کند.

  مدلسازی متغیرهای شبه تصادفی عادی

  ساده ترین روش های مدل سازی تقریبی بر اساس قضیه حد مرکزی است. یعنی، اگر چندین کمیت مستقل با توزیع یکسان با واریانس محدود اضافه کنید، مجموع توزیع خواهد شد. تقریباخوب. به عنوان مثال، اگر 100 مورد مستقل را به عنوان استاندارد اضافه کنید به طور مساویمتغیرهای تصادفی توزیع شده، سپس توزیع مجموع تقریباً خواهد بود طبیعی.

  برای تولید برنامه‌ای متغیرهای شبه تصادفی با توزیع نرمال، ترجیحاً از تبدیل Box-Muller استفاده شود. این به شما امکان می دهد یک مقدار توزیع شده معمولی را بر اساس یک مقدار توزیع شده یکنواخت ایجاد کنید.

  توزیع نرمال در طبیعت و کاربردها

  توزیع نرمال اغلب در طبیعت یافت می شود. برای مثال، متغیرهای تصادفی زیر به خوبی با توزیع نرمال مدل‌سازی می‌شوند:

  • انحراف در هنگام تیراندازی
  • خطاهای اندازه گیری (البته خطاهای برخی از وسایل اندازه گیری توزیع نرمال ندارند).
  • برخی از ویژگی های موجودات زنده در یک جمعیت

  این توزیع بسیار گسترده است زیرا یک توزیع پیوسته بی نهایت قابل تقسیم با واریانس محدود است. بنابراین، برخی دیگر در حد به آن نزدیک می شوند، به عنوان مثال، دو جمله ای و پواسون. این توزیع بسیاری از فرآیندهای فیزیکی غیر قطعی را مدل می کند.

  ارتباط با سایر توزیع ها

  • توزیع نرمال یک توزیع پیرسون نوع XI است.
  • نسبت یک جفت متغیر تصادفی استاندارد مستقل که به طور معمول توزیع شده اند، توزیع کوشی دارد. یعنی اگر متغیر تصادفی X (\displaystyle X)نشان دهنده رابطه است X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(جایی که Y (\displaystyle Y)و Z (\displaystyle Z)- متغیرهای تصادفی عادی استاندارد مستقل)، سپس توزیع کوشی خواهد داشت.
  • اگر z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots,z_(k))- متغیرهای تصادفی عادی استاندارد مشترکاً مستقل، یعنی z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\ چپ (0,1\راست))، سپس متغیر تصادفی x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))دارای توزیع کای دو با k درجه آزادی است.
  • اگر متغیر تصادفی X (\displaystyle X)تابع توزیع لگ نرمال است، سپس لگاریتم طبیعی آن دارای توزیع نرمال است. یعنی اگر X ~ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\راست))، آن Y = ln⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \چپ(X\راست)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\راست )). و بالعکس، اگر Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\راست))، آن X = exp⁡ (Y) ~ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \درست)).
  • نسبت مربعات دو متغیر تصادفی عادی استاندارد دارد

  قانون توزیع نرمال (که اغلب قانون گاوس نامیده می شود) نقش بسیار مهمی در نظریه احتمال دارد و جایگاه ویژه ای در میان سایر قوانین توزیع دارد. این رایج ترین قانون توزیع در عمل است. ویژگی اصلی که قانون عادی را از سایر قوانین متمایز می کند این است که یک قانون محدود کننده است که سایر قوانین توزیع تحت شرایط معمولی معمولی به آن نزدیک می شوند.

  می‌توان ثابت کرد که مجموع تعداد کافی از متغیرهای تصادفی مستقل (یا ضعیف وابسته)، مشروط به هر گونه قوانین توزیع (با توجه به برخی محدودیت‌های بسیار ضعیف)، تقریباً از قانون عادی تبعیت می‌کند و این به طور دقیق‌تر صادق است. تعداد متغیرهای تصادفی که جمع می شوند بیشتر است. بسیاری از متغیرهای تصادفی که در عمل با آنها مواجه می شوند، مانند خطاهای اندازه گیری، خطاهای تیراندازی و غیره، می توانند به صورت مجموع تعداد بسیار زیادی از عبارت های نسبتاً کوچک - خطاهای ابتدایی که هر کدام ناشی از علت جداگانه، مستقل از دیگران. مهم نیست که خطاهای اولیه منفرد تابع چه قوانین توزیع هستند، ویژگی های این توزیع ها در مجموع تعداد زیادی از عبارت ها یکسان می شود و مجموع معلوم می شود که تابع قانون نزدیک به نرمال است. محدودیت اصلی اعمال شده بر خطاهای قابل جمع این است که همه آنها به طور یکنواخت نقش نسبتا کمی در کل بازی می کنند. اگر این شرط برآورده نشود و مثلاً یکی از خطاهای تصادفی به شدت در تأثیر آن بر مقدار بر سایر خطاها غالب باشد، قانون توزیع این خطای غالب تأثیر خود را بر مقدار تحمیل می کند و آن را تعیین می کند. ویژگی های اصلی قانون توزیع

  قضایایی که قانون عادی را به عنوان حدی برای مجموع عبارت‌های تصادفی کوچک یکنواخت مستقل ایجاد می‌کنند، در فصل 13 با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

  قانون توزیع نرمال با چگالی احتمال به شکل زیر مشخص می شود:

  منحنی توزیع نرمال ظاهری متقارن به شکل تپه دارد (شکل 6.1.1). حداکثر منحنی منحنی برابر با نقطه مطابقت دارد. با دور شدن از نقطه، چگالی توزیع کاهش می‌یابد، و در منحنی مجانبی به آبسیسا نزدیک می‌شود.

  

  بیایید معنای پارامترهای عددی را که در بیان قانون عادی گنجانده شده است (6.1.1) دریابیم. اجازه دهید ثابت کنیم که مقدار چیزی بیش از یک انتظار ریاضی نیست و مقدار انحراف معیار مقدار است. برای انجام این کار، ویژگی های عددی اصلی کمیت - انتظارات ریاضی و پراکندگی را محاسبه می کنیم.

  

  استفاده از تغییر متغیر

  به راحتی می توان بررسی کرد که اولین بازه از دو بازه در فرمول (6.1.2) برابر با صفر است. دومی انتگرال معروف اویلر-پواسون است:

  . (6.1.3)

  از این رو،

  آن ها پارامتر انتظار ریاضی از مقدار را نشان می دهد. این پارامتر، به ویژه در مسائل تیراندازی، اغلب به نام مرکز پراکندگی (به اختصار c.r.) نامیده می شود.

  بیایید واریانس کمیت را محاسبه کنیم:

  .

  تغییر متغیر را دوباره اعمال کنید

  با ادغام بر اساس قطعات، دریافت می کنیم:

  جمله اول در براکت‌های فرفری برابر با صفر است (از آنجایی که در کاهش سریع‌تر از هر افزایش توان) است، جمله دوم مطابق فرمول (6.1.3) برابر است با، از این رو

  در نتیجه، پارامتر در فرمول (6.1.1) چیزی بیش از انحراف استاندارد مقدار نیست.

  بیایید معنی پارامترها و توزیع نرمال را دریابیم. بلافاصله از فرمول (6.1.1) مشخص می شود که مرکز تقارن توزیع مرکز پراکندگی است. این از این واقعیت واضح است که وقتی علامت تفاوت معکوس شود، عبارت (6.1.1) تغییر نمی کند. اگر مرکز پراکندگی را تغییر دهید، منحنی توزیع در امتداد محور آبسیسا بدون تغییر شکل آن جابه‌جا می‌شود (شکل 6.1.2). مرکز پراکندگی موقعیت توزیع را روی محور آبسیسا مشخص می کند.

  

  بعد مرکز پراکندگی با بعد متغیر تصادفی یکسان است.

  پارامتر نه موقعیت، بلکه شکل منحنی توزیع را مشخص می کند. این ویژگی پراکندگی است. بزرگ‌ترین مختص منحنی توزیع نسبت معکوس دارد. هرچه افزایش می دهید، حداکثر مقدار کاهش می یابد. از آنجایی که مساحت منحنی توزیع باید همیشه برابر با وحدت باشد، هنگام افزایش، منحنی توزیع صاف تر می شود و در امتداد محور x کشیده می شود. برعکس، با کاهش، منحنی توزیع به سمت بالا کشیده می شود، همزمان از طرفین فشرده می شود و سوزنی شکل تر می شود. در شکل 6.1.3 سه منحنی نرمال (I، II، III) را در ; از این میان، منحنی I مربوط به بزرگترین و منحنی III با کوچکترین مقدار است. تغییر پارامتر معادل تغییر مقیاس منحنی توزیع است - افزایش مقیاس در امتداد یک محور و همان کاهش در امتداد محور دیگر.

  نمونه هایی از متغیرهای تصادفی توزیع شده بر اساس یک قانون عادی، قد یک فرد و جرم ماهی های صید شده از همان گونه است. توزیع نرمال به معنای موارد زیر است : مقادیری از قد انسان، توده ماهی های همان گونه وجود دارد که به طور شهودی به عنوان "عادی" (و در واقع میانگین) درک می شوند، و در یک نمونه به اندازه کافی بزرگ آنها بسیار بیشتر از مواردی هستند که یافت می شوند. به سمت بالا یا پایین متفاوت است.

  توزیع احتمال نرمال یک متغیر تصادفی پیوسته (گاهی اوقات یک توزیع گاوسی) را می توان زنگوله نامید، زیرا تابع چگالی این توزیع، متقارن در مورد میانگین، بسیار شبیه به برش یک زنگ (منحنی قرمز) است. در شکل بالا).

  احتمال مواجهه با مقادیر معین در یک نمونه برابر با مساحت شکل زیر منحنی است و در صورت توزیع نرمال می بینیم که در قسمت بالای «زنگ» که با مقادیر مطابقت دارد. با توجه به میانگین، مساحت، و در نتیجه احتمال، بیشتر از زیر لبه ها است. بنابراین، همان چیزی را که قبلاً گفته شد دریافت می کنیم: احتمال ملاقات با یک فرد با قد "طبیعی" و گرفتن ماهی با وزن "طبیعی" بیشتر از مقادیری است که به سمت بالا یا پایین متفاوت است. در بسیاری از موارد عملی، خطاهای اندازه گیری بر اساس قانون نزدیک به نرمال توزیع می شوند.

  بیایید دوباره به شکل ابتدای درس نگاه کنیم که تابع چگالی یک توزیع نرمال را نشان می دهد. نمودار این تابع با محاسبه یک نمونه داده خاص در بسته نرم افزاری به دست آمد آمار. بر روی آن، ستون های هیستوگرام بازه هایی از مقادیر نمونه را نشان می دهند که توزیع آنها نزدیک به (یا همانطور که معمولاً در آمار گفته می شود، تفاوت قابل توجهی با) نمودار واقعی تابع چگالی توزیع نرمال دارد که یک منحنی قرمز است. . نمودار نشان می دهد که این منحنی در واقع زنگی شکل است.

  توزیع نرمال از بسیاری جهات ارزشمند است زیرا تنها با دانستن مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته و انحراف استاندارد آن، می‌توانید هر احتمال مرتبط با آن متغیر را محاسبه کنید.

  توزیع نرمال همچنین این مزیت را دارد که یکی از ساده ترین ها برای استفاده است. آزمون های آماری مورد استفاده برای آزمون فرضیه های آماری - آزمون t Student- فقط در صورتی قابل استفاده است که داده های نمونه از قانون توزیع نرمال پیروی کنند.

  تابع چگالی توزیع نرمال یک متغیر تصادفی پیوستهرا می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

  ,

  جایی که ایکس- مقدار کمیت در حال تغییر، - مقدار متوسط، - انحراف معیار، ه=2.71828... - پایه لگاریتم طبیعی، =3.1416...

  ویژگی های تابع چگالی توزیع نرمال

  

  تغییرات در میانگین، منحنی تابع چگالی نرمال را به سمت محور حرکت می دهد گاو نر. اگر افزایش یابد، منحنی به سمت راست و اگر کاهش یابد، به سمت چپ حرکت می کند.

  اگر انحراف معیار تغییر کند، ارتفاع بالای منحنی تغییر می کند. هنگامی که انحراف معیار افزایش می یابد، بالای منحنی بالاتر است و زمانی که کاهش می یابد، کمتر است.

  احتمال قرار گرفتن یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین

  قبلاً در این پاراگراف ما شروع به حل مسائل عملی خواهیم کرد که معنای آن در عنوان مشخص شده است. بیایید ببینیم تئوری چه امکاناتی را برای حل مسائل فراهم می کند. مفهوم شروع برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین، تابع تجمعی توزیع نرمال است.

  تابع توزیع نرمال تجمعی:

  .

  با این حال، به دست آوردن جداول برای هر ترکیب ممکن از میانگین و انحراف استاندارد مشکل ساز است. بنابراین، یکی از راه های ساده برای محاسبه احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه معین، استفاده از جداول احتمال برای توزیع نرمال استاندارد شده است.

  توزیع نرمال را استاندارد یا نرمال می نامند.، که میانگین آن است و انحراف معیار است.

  تابع چگالی توزیع عادی استاندارد شده:

  .

  تابع تجمعی توزیع نرمال استاندارد شده:

  .

  شکل زیر تابع انتگرال توزیع نرمال استاندارد شده را نشان می دهد که نمودار آن با محاسبه یک نمونه داده معین در بسته نرم افزاری به دست آمده است. آمار. خود نمودار یک منحنی قرمز است و مقادیر نمونه به آن نزدیک می شوند.

  
  

  برای بزرگنمایی تصویر می توانید با دکمه سمت چپ ماوس روی آن کلیک کنید.

  استاندارد کردن یک متغیر تصادفی به معنای حرکت از واحدهای اصلی مورد استفاده در کار به واحدهای استاندارد شده است. استاندارد سازی طبق فرمول انجام می شود

  در عمل، تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی اغلب ناشناخته هستند، بنابراین مقادیر میانگین و انحراف استاندارد را نمی توان به طور دقیق تعیین کرد. آنها با میانگین حسابی مشاهدات و انحراف معیار جایگزین می شوند س. اندازه zانحراف مقادیر یک متغیر تصادفی از میانگین حسابی را هنگام اندازه گیری انحرافات استاندارد بیان می کند.

  بازه باز

  جدول احتمال برای توزیع نرمال استاندارد شده، که تقریباً در هر کتابی در زمینه آمار یافت می شود، حاوی احتمالاتی است که یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال استاندارد باشد. زمقداری کمتر از یک عدد مشخص خواهد گرفت z. یعنی از منهای بی نهایت تا به بازه باز می افتد z. به عنوان مثال، احتمال اینکه کمیت زکمتر از 1.5، برابر با 0.93319.

  مثال 1.این شرکت قطعاتی را تولید می کند که عمر مفید آنها به طور معمول با میانگین 1000 ساعت و انحراف استاندارد 200 ساعت توزیع می شود.

  برای یک قطعه به طور تصادفی انتخاب شده، احتمال اینکه عمر سرویس آن حداقل 900 ساعت باشد را محاسبه کنید.

  راه حل. بیایید اولین نماد را معرفی کنیم:

  احتمال مورد نظر.

  مقادیر متغیر تصادفی در یک بازه باز هستند. اما ما می دانیم که چگونه احتمال اینکه یک متغیر تصادفی مقداری کمتر از یک معین بگیرد را محاسبه کنیم و با توجه به شرایط مسئله، باید یک عدد مساوی یا بزرگتر از یک داده شده را پیدا کنیم. این قسمت دیگر فضای زیر منحنی چگالی معمولی (زنگ) است. بنابراین، برای یافتن احتمال مورد نظر، باید احتمال ذکر شده را از واحد کم کنید که متغیر تصادفی مقداری کمتر از 900 تعیین شده بگیرد:

  اکنون متغیر تصادفی باید استاندارد شود.

  ما به معرفی نماد ادامه می دهیم:

  z = (ایکس ≤ 900) ;

  ایکس= 900 - مقدار مشخص شده متغیر تصادفی.

  μ = 1000 - مقدار متوسط؛

  σ = 200 - انحراف استاندارد.

  با استفاده از این داده ها، شرایط مسئله را به دست می آوریم:

  .

  طبق جداول متغیر تصادفی استاندارد شده (مرز بازه ای) z= 0.5 برابر با احتمال 0.30854 است. آن را از وحدت کم کنید و آنچه را که در بیان مسئله لازم است بدست آورید:

  بنابراین، احتمال اینکه قطعه حداقل 900 ساعت عمر مفید داشته باشد 69٪ است.

  این احتمال را می توان با استفاده از تابع MS Excel NORM.DIST (مقدار انتگرال - 1) بدست آورد:

  پ(ایکس≥900) = 1 - پ(ایکس≤900) = 1 - NORM.DIST(900؛ 1000؛ 200؛ 1) = 1 - 0.3085 = 0.6915.

  درباره محاسبات در MS Excel - در یکی از پاراگراف های بعدی این درس.

  مثال 2.در یک شهر معین، متوسط ​​درآمد سالانه خانواده یک متغیر تصادفی معمولی با میانگین 300000 و انحراف معیار 50000 است آ. مقدار را پیدا کنید آ.

  راه حل. در این مشکل، 40% چیزی نیست جز این احتمال که متغیر تصادفی مقداری را از یک بازه باز که کمتر از مقدار معینی است که با حرف نشان داده شده است، بگیرد. آ.

  برای یافتن ارزش آ، ابتدا تابع انتگرال را می سازیم:

  

  با توجه به شرایط مشکل

  μ = 300000 - مقدار متوسط؛

  σ = 50000 - انحراف استاندارد؛

  ایکس = آ- مقداری که باید پیدا شود.

  ایجاد یک برابری

  .

  از جداول آماری متوجه می شویم که احتمال 0.40 با مقدار مرز بازه مطابقت دارد. z = −0,25 .

  بنابراین، ما برابری را ایجاد می کنیم

  

  و راه حل آن را پیدا کنید:

  آ = 287300 .

  پاسخ: 40 درصد خانواده ها کمتر از 287300 درآمد دارند.

  فاصله بسته

  در بسیاری از مسائل لازم است این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال مقداری در بازه زمانی از z 1 به z 2. یعنی در یک بازه بسته می افتد. برای حل چنین مسائلی باید در جدول احتمالات مربوط به مرزهای بازه را پیدا کرد و سپس تفاوت بین این احتمالات را یافت. این مستلزم کم کردن مقدار کوچکتر از مقدار بزرگتر است. نمونه هایی از راه حل های این مشکلات رایج به شرح زیر است و از شما خواسته می شود خودتان آن ها را حل کنید و سپس می توانید راه حل ها و پاسخ های صحیح را مشاهده کنید.

  مثال 3.سود یک بنگاه اقتصادی برای یک دوره معین یک متغیر تصادفی مشمول قانون توزیع عادی با ارزش متوسط ​​0.5 میلیون است. و انحراف معیار 0.354. احتمال اینکه سود شرکت از 0.4 تا 0.6 c.u باشد را تا دو رقم اعشار تعیین کنید.

  مثال 4.طول قطعه ساخته شده یک متغیر تصادفی است که طبق قانون عادی با پارامترها توزیع شده است. μ =10 و σ =0.071. در صورتی که ابعاد مجاز قطعه باید 05/0±10 باشد، احتمال عیوب را با دقت تا دو رقم اعشار بیابید.

  نکته: در این مشکل علاوه بر یافتن احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه بسته (احتمال دریافت قطعه غیر معیوب) باید یک عمل دیگر نیز انجام دهید.

  

  به شما امکان می دهد تا احتمال اینکه مقدار استاندارد شده را تعیین کنید زنه کمتر -zو نه بیشتر +z، جایی که z- یک مقدار دلخواه انتخاب شده از یک متغیر تصادفی استاندارد شده.

  یک روش تقریبی برای بررسی نرمال بودن یک توزیع

  یک روش تقریبی برای بررسی نرمال بودن توزیع مقادیر نمونه بر اساس موارد زیر است ویژگی توزیع نرمال: ضریب چولگی β 1 و ضریب کشیدگی β 2 برابر با صفر هستند.

  ضریب عدم تقارن β 1 تقارن توزیع تجربی نسبت به میانگین را به صورت عددی مشخص می کند. اگر ضریب چولگی صفر باشد، میانگین حسابی، میانه و مد برابر هستند: و منحنی چگالی توزیع نسبت به میانگین متقارن است. اگر ضریب عدم تقارن کمتر از صفر باشد (β 1 < 0 ، سپس میانگین حسابی کمتر از میانه است و میانه به نوبه خود کمتر از حالت () و منحنی به سمت راست منتقل شده است (در مقایسه با توزیع نرمال). اگر ضریب عدم تقارن بزرگتر از صفر باشد (β 1 > 0 ، پس میانگین حسابی بزرگتر از میانه است و میانه به نوبه خود بزرگتر از حالت () و منحنی به سمت چپ منتقل می شود (در مقایسه با توزیع نرمال).

  ضریب کورتوز β 2 غلظت توزیع تجربی حول میانگین حسابی در جهت محور را مشخص می کند اوهو درجه پیک شدن منحنی چگالی توزیع. اگر ضریب کشیدگی بزرگتر از صفر باشد، منحنی درازتر است (در مقایسه با توزیع نرمال)در امتداد محور اوه(گراف اوج بیشتری دارد). اگر ضریب کشیدگی کمتر از صفر باشد، منحنی مسطح تر است (در مقایسه با توزیع نرمال)در امتداد محور اوه(گراف مبهم تر است).

  ضریب عدم تقارن را می توان با استفاده از تابع MS Excel SKOS محاسبه کرد. اگر یک آرایه داده را علامت می‌زنید، باید محدوده داده را در یک کادر «Number» وارد کنید.

  
  

  ضریب کشیدگی را می توان با استفاده از تابع MS Excel KURTESS محاسبه کرد. هنگام علامت زدن یک آرایه داده، همچنین کافی است محدوده داده را در یک کادر "Number" وارد کنید.

  
  

  بنابراین همانطور که می دانیم با توزیع نرمال ضرایب چولگی و کشیدگی برابر با صفر است. اما اگر ضرایب چولگی 0.14-، 0.22، 0.43 و ضرایب کشیدگی 0.17، 0.31-، 0.55 را داشته باشیم، چه؟ سوال کاملا منصفانه است، زیرا در عمل ما فقط با مقادیر تقریبی و نمونه ای از عدم تقارن و کشش سروکار داریم که در معرض برخی پراکندگی اجتناب ناپذیر و کنترل نشده قرار دارند. بنابراین، نمی توان خواست که این ضرایب کاملاً برابر با صفر باشند. اما کافی یعنی چه؟

  مقايسه مقادير تجربي به دست آمده با مقادير قابل قبول الزامي است. برای انجام این کار، باید نابرابری های زیر را بررسی کنید (مقادیر ضرایب مدول را با مقادیر بحرانی - مرزهای منطقه آزمایش فرضیه مقایسه کنید).

  برای ضریب عدم تقارن β 1 .

  ) نقش مهمی در نظریه احتمال ایفا می کند و اغلب در حل مسائل عملی استفاده می شود. ویژگی اصلی آن این است که یک قانون محدود کننده است که سایر قوانین توزیع تحت شرایط معمولی معمولی به آن نزدیک می شوند. به عنوان مثال، مجموع تعداد کافی از متغیرهای تصادفی مستقل (یا ضعیف وابسته) تقریباً از قانون عادی پیروی می کند، و این درست است هر چه متغیرهای تصادفی بیشتری جمع شوند.

  به طور تجربی ثابت شده است که خطاهای اندازه گیری، انحراف در ابعاد هندسی و موقعیت عناصر سازه ساختمان در هنگام ساخت و نصب آنها و تغییر در خصوصیات فیزیکی و مکانیکی مصالح و بارهای وارد بر سازه های ساختمانی مشمول قانون عادی می باشد.

  تقریباً همه متغیرهای تصادفی تابع توزیع گاوسی هستند که انحراف آن از مقادیر متوسط ​​توسط مجموعه بزرگی از عوامل تصادفی ایجاد می شود که هر کدام به طور جداگانه ناچیز هستند. (تئوری حد مرکزی).

  توزیع نرمالتوزیع یک متغیر پیوسته تصادفی نامیده می شود، که چگالی احتمال آن شکل دارد (شکل 18.1).

  برنج. 18.1. قانون توزیع عادی در 1< a 2 .

  (18.1)

  که در آن a و پارامترهای توزیع هستند.

  ویژگی های احتمالی یک متغیر تصادفی که طبق قانون نرمال توزیع شده است برابر است با:

  انتظارات ریاضی (18.2)

  واریانس (18.3)

  انحراف معیار (18.4)

  ضریب عدم تقارن A = 0(18.5)

  اضافی E= 0. (18.6)

  پارامتر σ موجود در توزیع گاوسی برابر است با نسبت مربع میانگین متغیر تصادفی. اندازه آموقعیت مرکز توزیع (نگاه کنید به شکل 18.1) و مقدار را تعیین می کند آ- عرض توزیع (شکل 18.2)، یعنی. گسترش آماری حول مقدار متوسط

  برنج. 18.2. قانون توزیع نرمال در σ 1< σ 2 < σ 3

  احتمال سقوط به یک بازه معین (از x 1 تا x 2) برای یک توزیع نرمال، مانند همه موارد، توسط انتگرال چگالی احتمال (18.1) تعیین می شود، که از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود و با نشان داده می شود. تابع خاصی به نام تابع لاپلاس (انتگرال احتمال).

  یکی از نمایش های انتگرال احتمال:

  اندازه وتماس گرفت چندک

  مشاهده می شود که Ф(х) یک تابع فرد است، یعنی Ф(-х) = -Ф(х) . مقادیر این تابع در متون فنی و آموزشی در قالب جداول محاسبه و ارائه شده است.

  
  

  تابع توزیع قانون نرمال (شکل 18.3) را می توان از طریق انتگرال احتمال بیان کرد:

  برنج. 18.2. تابع توزیع نرمال

  احتمال یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس یک قانون عادی در فاصله زمانی از ایکس.به x، با عبارت تعیین می شود:

  لازم به ذکر است که

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0.5; Ф(-∞) = -0.5.

  هنگام حل مسائل عملی مربوط به توزیع، اغلب لازم است احتمال سقوط به بازه‌ای را در نظر بگیریم که با توجه به انتظارات ریاضی متقارن است اگر طول این بازه، یعنی. اگر خود بازه دارای مرزی از تا باشد، داریم:

  هنگام حل مسائل عملی، مرزهای انحراف متغیرهای تصادفی از طریق استاندارد بیان می شود، انحراف استاندارد، ضرب در یک عامل خاص که مرزهای منطقه انحراف متغیر تصادفی را تعیین می کند.

  با گرفتن و همچنین با استفاده از فرمول (18.10) و جدول Ф(х) (پیوست شماره 1) به دست می آید.

  این فرمول ها نشان می دهدکه اگر یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال باشد، احتمال انحراف آن از مقدار متوسط ​​آن بیش از σ 68.27٪، بیش از 2σ 95.45٪ و حداکثر 3σ - 99.73٪ است.

  از آنجایی که مقدار 0.9973 نزدیک به وحدت است، برای توزیع نرمال یک متغیر تصادفی انحراف بیش از 3σ از انتظارات ریاضی عملا غیرممکن تلقی می شود. این قانون که فقط برای توزیع نرمال معتبر است، قانون سه سیگما نامیده می شود. نقض آن محتمل است P = 1 - 0.9973 = 0.0027. این قانون هنگام تعیین حدود انحرافات مجاز از تحمل ویژگی های هندسی محصولات و سازه ها استفاده می شود.

  تصادفی اگر در نتیجه آزمایش بتواند مقادیر واقعی را با احتمالات معین به خود بگیرد. کامل ترین و جامع ترین مشخصه یک متغیر تصادفی قانون توزیع است. قانون توزیع تابعی است (جدول، نمودار، فرمول) که به شما امکان می دهد تا احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقدار معینی xi را بگیرد یا در یک بازه معین قرار بگیرد را تعیین کنید. اگر متغیر تصادفی قانون توزیع معینی داشته باشد، گفته می شود که طبق این قانون توزیع شده یا از این قانون توزیع تبعیت می کند.

  هر قانون توزیعتابعی است که به طور کامل یک متغیر تصادفی را از دیدگاه احتمالی توصیف می کند. در عمل، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی X اغلب باید فقط از روی نتایج آزمون قضاوت شود.

  توزیع نرمال

  توزیع نرمالتوزیع گاوسی نیز نامیده می شود، توزیع احتمالی است که نقش مهمی در بسیاری از زمینه های دانش، به ویژه در فیزیک دارد. یک کمیت فیزیکی زمانی از توزیع نرمال پیروی می کند که تحت تأثیر تعداد زیادی صداهای تصادفی باشد. واضح است که این وضعیت بسیار رایج است، بنابراین می توان گفت که از بین همه توزیع ها، توزیع نرمال در طبیعت رایج ترین است - از این رو یکی از نام های آن است.

  توزیع نرمال به دو پارامتر بستگی دارد - جابجایی و مقیاس، یعنی از نظر ریاضی، یک توزیع نیست، بلکه یک خانواده کامل از آنها است. مقادیر پارامتر با مقادیر میانگین (انتظار ریاضی) و گسترش (انحراف استاندارد) مطابقت دارد.

  

  

  توزیع نرمال استاندارد یک توزیع نرمال با انتظار ریاضی 0 و انحراف معیار 1 است.

  

  

  ضریب عدم تقارن

  

  ضریب چولگی اگر دم سمت راست توزیع بلندتر از سمت چپ باشد مثبت است و در غیر این صورت منفی است.

  اگر توزیع نسبت به انتظارات ریاضی متقارن باشد، ضریب عدم تقارن آن صفر است.

  

  ضریب چولگی نمونه برای آزمایش توزیع برای تقارن و همچنین یک آزمایش اولیه اولیه برای نرمال بودن استفاده می‌شود. به شما اجازه می دهد که فرضیه عادی بودن را رد کنید، اما به شما اجازه نمی دهد که بپذیرید.

  ضریب کورتوز

  

  ضریب کشیدگی (ضریب اوج) اندازه گیری وضوح اوج توزیع یک متغیر تصادفی است.

  "منهای سه" در انتهای فرمول معرفی شده است به طوری که ضریب کشیدگی توزیع نرمال برابر با صفر است. اگر اوج توزیع حول انتظار ریاضی تیز باشد مثبت و اگر پیک صاف باشد منفی است.

  

  لحظه های یک متغیر تصادفی

  لحظه یک متغیر تصادفی مشخصه عددی توزیع یک متغیر تصادفی معین است.