پیشرفت حسابینام یک دنباله از اعداد (شرایط یک پیشرفت)

که در آن هر عبارت بعدی با عبارت قبلی متفاوت است که به آن نیز گفته می شود تفاوت مرحله یا پیشرفت.

بنابراین، با مشخص کردن مرحله پیشرفت و اولین عبارت آن، می توانید هر یک از عناصر آن را با استفاده از فرمول پیدا کنید

ویژگی های یک پیشرفت حسابی

1) هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از عدد دوم شروع می شود، میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی پیشرفت است.

عکس آن نیز صادق است. اگر میانگین حسابی عبارات فرد ( زوج) مجاور یک پیشروی برابر با عبارتی باشد که بین آنها قرار دارد، آنگاه این دنباله اعداد یک تصاعد حسابی است. با استفاده از این عبارت، بررسی هر توالی بسیار آسان است.

همچنین با خاصیت پیشروی حسابی می توان فرمول فوق را به موارد زیر تعمیم داد

اگر شرایط را در سمت راست علامت مساوی بنویسید، تأیید آن آسان است

اغلب در عمل برای ساده کردن محاسبات در مسائل استفاده می شود.

2) مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی با استفاده از فرمول محاسبه می شود

فرمول مجموع یک پیشروی حسابی را به خوبی به خاطر بسپارید.

3) اگر نیاز دارید که نه کل مجموع، بلکه بخشی از دنباله را که از جمله k ام آن شروع می شود، پیدا کنید، فرمول جمع زیر برای شما مفید خواهد بود.

4) جالب توجه عملی یافتن مجموع n ترم یک پیشروی حسابی است که از عدد k ام شروع می شود. برای این کار از فرمول استفاده کنید

این مطالب نظری را به پایان می رساند و به حل مسائل رایج در عمل می پردازد.

مثال 1. جمله چهلم پیشروی حسابی 4;7;... را پیدا کنید.

راه حل:

با توجه به شرایطی که داریم

بیایید مرحله پیشرفت را تعیین کنیم

با استفاده از یک فرمول شناخته شده، عبارت چهلم پیشرفت را پیدا می کنیم

مثال 2. یک پیشروی حسابی با جمله های سوم و هفتم آن به دست می آید. جمله اول پیشروی و مجموع ده را پیدا کنید.

راه حل:

اجازه دهید عناصر داده شده پیشرفت را با استفاده از فرمول ها بنویسیم

معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم، در نتیجه مرحله پیشرفت را پیدا می کنیم

مقدار پیدا شده را با هر یک از معادلات جایگزین می کنیم تا اولین جمله پیشرفت حسابی را پیدا کنیم

مجموع ده جمله اول پیشرفت را محاسبه می کنیم

بدون استفاده از محاسبات پیچیده، تمام مقادیر مورد نیاز را پیدا کردیم.

مثال 3. یک تصاعد حسابی توسط مخرج و یکی از جمله های آن داده می شود. جمله اول پیشرفت را بیابید، مجموع 50 جمله آن که از 50 شروع می شود و مجموع 100 جمله اول.

راه حل:

بیایید فرمول صدمین عنصر پیشرفت را بنویسیم

و اولین مورد را پیدا کنید

بر اساس اولی، ترم 50 پیشرفت را پیدا می کنیم

یافتن مجموع قسمت پیشرفت

و مجموع 100 مورد اول

مقدار پیشرفت 250 است.

مثال 4.

تعداد عبارت های یک تصاعد حسابی را بیابید اگر:

a3-a1=8، a2+a4=14، Sn=111.

راه حل:

معادلات را بر حسب جمله اول و گام پیشروی بنویسیم و مشخص کنیم

مقادیر به دست آمده را با فرمول جمع جایگزین می کنیم تا تعداد عبارت های حاصل از جمع را مشخص کنیم

ما ساده سازی ها را انجام می دهیم

و معادله درجه دوم را حل کنید

از دو مقدار یافت شده، تنها عدد 8 با شرایط مشکل مطابقت دارد. بنابراین، مجموع هشت ترم اول پیشرفت 111 است.

مثال 5.

معادله را حل کنید

1+3+5+...+x=307.

راه حل: این معادله حاصل جمع یک تصاعد حسابی است. بیایید اولین عبارت آن را بنویسیم و تفاوت در پیشرفت را پیدا کنیم

اگر برای هر عدد طبیعی n با یک عدد واقعی مطابقت دهید a n ، سپس می گویند داده شده است دنباله اعداد :

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n , . . . .

بنابراین، دنباله اعداد تابعی از آرگومان طبیعی است.

عدد آ 1 تماس گرفت اولین ترم دنباله ، عدد آ 2 — ترم دوم دنباله ، عدد آ 3 — سوم و غیره عدد a n تماس گرفت ترم نهمدنباله ها و یک عدد طبیعی n — شماره او .

از دو عضو مجاور a n و a n +1 عضو سکانس a n +1 تماس گرفت متعاقب (به سمت a n )، آ a n — قبلی (به سمت a n +1 ).

برای تعریف یک دنباله، باید روشی را مشخص کنید که به شما امکان می دهد عضوی از دنباله را با هر عددی پیدا کنید.

اغلب توالی با استفاده از آن مشخص می شود فرمول های ترم n ، یعنی فرمولی که به شما امکان می دهد عضوی از یک دنباله را با تعداد آن تعیین کنید.

مثلا،

دنباله ای از اعداد فرد مثبت را می توان با فرمول به دست آورد

a n= 2n- 1,

و دنباله متناوب 1 و -1 - فرمول

ب n = (-1)n +1 . ◄

توالی را می توان تعیین کرد فرمول مکرر, یعنی فرمولی که هر عضوی از دنباله را بیان می کند، که با تعدادی شروع می شود، از طریق اعضای قبلی (یک یا چند).

مثلا،

اگر آ 1 = 1 ، آ a n +1 = a n + 5

آ 1 = 1,

آ 2 = آ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

آ 3 = آ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

آ 4 = آ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

آ 5 = آ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

اگر یک 1= 1, یک 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , سپس هفت جمله اول دنباله عددی به صورت زیر ایجاد می شود:

یک 1 = 1,

یک 2 = 1,

یک 3 = یک 1 + یک 2 = 1 + 1 = 2,

یک 4 = یک 2 + یک 3 = 1 + 2 = 3,

یک 5 = یک 3 + یک 4 = 2 + 3 = 5,

آ 6 = آ 4 + آ 5 = 3 + 5 = 8,

آ 7 = آ 5 + آ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

توالی می تواند باشد نهایی و بی پایان .

دنباله نامیده می شود نهایی ، اگر تعداد اعضا محدود باشد. دنباله نامیده می شود بی پایان ، اگر تعداد اعضای آن بی نهایت زیاد باشد.

مثلا،

دنباله دو رقمی اعداد طبیعی:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

نهایی

دنباله اعداد اول:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

بی پایان ◄

دنباله نامیده می شود افزایش می یابد ، اگر هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، بزرگتر از قبلی باشد.

دنباله نامیده می شود در حال کاهش ، در صورتی که هر یک از اعضای آن، با شروع از دوم، کمتر از قبلی باشد.

مثلا،

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - افزایش توالی؛

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - توالی کاهشی ◄

دنباله ای که با افزایش تعداد عناصر آن کاهش نمی یابد یا برعکس افزایش نمی یابد، نامیده می شود دنباله یکنواخت .

توالی های یکنواخت، به ویژه، دنباله های افزایشی و توالی های کاهشی هستند.

پیشرفت حسابی

پیشرفت حسابی دنباله ای است که در آن هر عضو با شروع از دومی برابر با عضو قبلی است که همان عدد به آن اضافه می شود.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . , a n, . . .

اگر برای هر عدد طبیعی باشد، یک تصاعد حسابی است n شرط برقرار است:

a n +1 = a n + د,

جایی که د - یک عدد مشخص

بنابراین، تفاوت بین عبارت‌های بعدی و قبلی یک پیشروی حسابی معین همیشه ثابت است:

یک 2 - آ 1 = یک 3 - آ 2 = . . . = a n +1 - a n = د.

عدد د تماس گرفت تفاوت پیشرفت حسابی.

برای تعریف یک تصاعد حسابی کافی است اولین جمله و تفاوت آن را نشان دهیم.

مثلا،

اگر آ 1 = 3, د = 4 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

یک 1 =3,

یک 2 = یک 1 + د = 3 + 4 = 7,

یک 3 = یک 2 + د= 7 + 4 = 11,

یک 4 = یک 3 + د= 11 + 4 = 15,

آ 5 = آ 4 + د= 15 + 4 = 19. ◄

برای پیشروی حسابی با جمله اول آ 1 و تفاوت د او n

a n = یک 1 + (n- 1)د

مثلا،

جمله سی ام پیشروی حسابی را پیدا کنید

1, 4, 7, 10, . . .

یک 1 =1, د = 3,

یک 30 = یک 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

یک n-1 = یک 1 + (n- 2)د،

a n= یک 1 + (n- 1)د،

a n +1 = آ 1 + nd,

سپس به وضوح

هر عضو یک پیشرفت حسابی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین حسابی اعضای قبلی و بعدی.

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی از یک پیشروی حسابی هستند، اگر و فقط اگر یکی از آنها با میانگین حسابی دو نفر دیگر برابر باشد.

مثلا،

a n = 2n- 7 ، یک پیشرفت حسابی است.

بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

a n = 2n- 7,

یک n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

یک n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

از این رو،

◄

توجه داشته باشید که n ترم امین یک پیشروی حسابی را می توان نه تنها از طریق پیدا کرد آ 1 ، بلکه هر قبلی یک ک

a n = یک ک + (n- ک)د.

مثلا،

برای آ 5 را می توان نوشت

یک 5 = یک 1 + 4د,

یک 5 = یک 2 + 3د,

یک 5 = یک 3 + 2د,

یک 5 = یک 4 + د. ◄

a n = یک n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

سپس به وضوح

هر عضوی از یک پیشروی حسابی، که از دومی شروع شود، برابر است با نصف مجموع اعضای این پیشروی حسابی با فاصله مساوی از آن.

علاوه بر این، برای هر پیشروی حسابی برابری زیر برقرار است:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

مثلا،

در پیشرفت حسابی

1) آ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (آ 9 + آ 11 )/2;

2) 28 = یک 10 = یک 3 + 7د= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) یک 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, زیرا

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

اولین n عبارات یک پیشروی حسابی برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع عبارات افراطی و تعداد عبارت‌ها:

از اینجا، به ویژه، نتیجه می شود که اگر شما نیاز به جمع بندی شرایط دارید

یک ک, یک ک +1 , . . . , a n,

سپس فرمول قبلی ساختار خود را حفظ می کند:

مثلا،

در پیشرفت حسابی 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

اس 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = اس 10 - اس 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

اگر یک تصاعد حسابی داده شود، پس کمیت ها آ 1 , a n, د, nواس n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر سه مورد از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

پیشروی حسابی یک دنباله یکنواخت است. که در آن:

• اگر د > 0 ، سپس در حال افزایش است.
• اگر د < 0 ، سپس در حال کاهش است.
• اگر د = 0 ، سپس دنباله ثابت خواهد بود.

پیشرفت هندسی

پیشرفت هندسی دنباله ای است که در آن هر عضو، با شروع از دوم، برابر با یکی قبلی ضرب در همان عدد است.

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . , b n, . . .

یک تصاعد هندسی برای هر عدد طبیعی است n شرط برقرار است:

b n +1 = b n · q,

جایی که q ≠ 0 - یک عدد مشخص

بنابراین، نسبت ترم بعدی یک معین است پیشرفت هندسییک عدد ثابت نسبت به عدد قبلی وجود دارد:

ب 2 / ب 1 = ب 3 / ب 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

عدد q تماس گرفت مخرج پیشرفت هندسی.

برای تعریف یک تصاعد هندسی کافی است اولین جمله و مخرج آن را مشخص کنیم.

مثلا،

اگر ب 1 = 1, q = -3 ، سپس پنج عبارت اول دنباله را به صورت زیر می یابیم:

ب 1 = 1,

ب 2 = ب 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ب 3 = ب 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ب 4 = ب 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ب 5 = ب 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ب 1 و مخرج q او n عبارت هفتم را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

b n = ب 1 · qn -1 .

مثلا،

جمله هفتم پیشرفت هندسی را پیدا کنید 1, 2, 4, . . .

ب 1 = 1, q = 2,

ب 7 = ب 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = ب 1 · qn -2 ,

b n = ب 1 · qn -1 ,

b n +1 = ب 1 · qn,

سپس به وضوح

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

هر عضو پیشروی هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با میانگین هندسی (متناسب) اعضای قبلی و بعدی.

از آنجایی که عکس آن نیز صادق است، عبارت زیر صادق است:

اعداد a، b و c عبارت‌های متوالی برخی از تصاعد هندسی هستند، اگر و فقط اگر مجذور یکی از آنها با حاصلضرب دو عدد دیگر برابر باشد، یعنی یکی از اعداد میانگین هندسی دو عدد دیگر باشد.

مثلا،

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله داده شده توسط فرمول b n= -3 2 n ، یک پیشرفت هندسی است. بیایید از عبارت بالا استفاده کنیم. ما داریم:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

از این رو،

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

که بیان مورد نظر را ثابت می کند. ◄

توجه داشته باشید که n ترم هفتم یک پیشرفت هندسی را نه تنها می توان از طریق آن یافت ب 1 ، بلکه هر عضو قبلی b k ، که برای آن استفاده از فرمول کافی است

b n = b k · qn - ک.

مثلا،

برای ب 5 را می توان نوشت

ب 5 = ب 1 · q 4 ,

ب 5 = ب 2 · س 3,

ب 5 = ب 3 · q 2,

ب 5 = ب 4 · q. ◄

b n = b k · qn - ک,

b n = b n - ک · q k,

سپس به وضوح

b n 2 = b n - ک· b n + ک

مجذور هر جمله از یک تصاعد هندسی، که از دومی شروع می شود، برابر است با حاصل ضرب ترم های با فاصله مساوی این پیشرفت.

علاوه بر این، برای هر پیشرفت هندسی برابری صادق است:

b m· b n= b k· b l,

متر+ n= ک+ ل.

مثلا،

در پیشرفت هندسی

1) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ب 5 · ب 7 ;

2) 1024 = ب 11 = ب 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ب 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ب 4 · ب 8 ;

4) ب 2 · ب 7 = ب 4 · ب 5 , زیرا

ب 2 · ب 7 = 2 · 64 = 128,

ب 4 · ب 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= ب 1 + ب 2 + ب 3 + . . . + b n

اولین n اعضای یک تصاعد هندسی با مخرج q ≠ 0 با فرمول محاسبه می شود:

و وقتی که q = 1 - طبق فرمول

S n= nb 1

توجه داشته باشید که اگر نیاز به جمع بندی شرایط دارید

b k, b k +1 , . . . , b n,

سپس از فرمول استفاده می شود:

مثلا،

در پیشرفت هندسی 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

اس 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = اس 10 - اس 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

اگر یک پیشروی هندسی داده شود، آنگاه کمیت ها ب 1 , b n, q, nو S n با دو فرمول به هم متصل می شوند:

بنابراین، اگر مقادیر هر سه از این کمیت ها داده شود، مقادیر متناظر دو کمیت دیگر از این فرمول ها تعیین می شود و در یک سیستم دو معادله با دو مجهول ترکیب می شوند.

برای یک پیشرفت هندسی با جمله اول ب 1 و مخرج q موارد زیر صورت می گیرد خواص یکنواختی :

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت افزایش می یابد:

ب 1 > 0 و q> 1;

ب 1 < 0 و 0 < q< 1;

• اگر یکی از شرایط زیر برآورده شود، پیشرفت کاهش می یابد:

ب 1 > 0 و 0 < q< 1;

ب 1 < 0 و q> 1.

اگر q< 0 ، سپس پیشرفت هندسی متناوب است: جمله های آن با اعداد فرد دارای علامت مشابه با جمله اول هستند و عبارت های دارای اعداد زوج دارای علامت مخالف هستند. واضح است که یک پیشرفت هندسی متناوب یکنواخت نیست.

محصول اولی n شرایط یک پیشرفت هندسی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

Pn= ب 1 · ب 2 · ب 3 · . . . · b n = (ب 1 · b n) n / 2 .

مثلا،

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است یک پیشروی هندسی نامتناهی نامیده می شود که مدول مخرج آن کمتر است 1 ، به این معنا که

|q| < 1 .

توجه داشته باشید که یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت ممکن است دنباله ای کاهشی نباشد. متناسب با موقعیت است

1 < q< 0 .

با چنین مخرجی، دنباله متناوب است. مثلا،

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش عددی را که مجموع اولین ها بدون محدودیت به آن نزدیک می شود نام ببرید n اعضای یک پیشرفت با افزایش نامحدود در تعداد n . این عدد همیشه محدود است و با فرمول بیان می شود

مثلا،

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

رابطه بین پیشرفت های حسابی و هندسی

پیشرفت های حسابی و هندسی ارتباط نزدیکی با هم دارند. بیایید فقط به دو نمونه نگاه کنیم.

آ 1 , آ 2 , آ 3 , . . . د ، آن

ب الف 1 , ب الف 2 , ب الف 3 , . . . ب د .

مثلا،

1, 3, 5, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت 2 و

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 7 2 . ◄

ب 1 , ب 2 , ب 3 , . . . - پیشرفت هندسی با مخرج q ، آن

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ورود به سیستم aq .

مثلا،

2, 12, 72, . . . - پیشرفت هندسی با مخرج 6 و

ال جی 2, ال جی 12, ال جی 72, . . . - پیشرفت حسابی با تفاوت ال جی 6 . ◄

قبل از اینکه تصمیم بگیریم مشکلات پیشروی حسابی، بیایید در نظر بگیریم که یک دنباله اعداد چیست، زیرا یک پیشروی حسابی است مورد خاصدنباله اعداد

دنباله اعداد مجموعه اعدادی است که هر عنصر آن شماره سریال خاص خود را دارد. عناصر این مجموعه را اعضای دنباله می نامند. شماره سریال یک عنصر دنباله با یک شاخص نشان داده می شود:

اولین عنصر دنباله؛

عنصر پنجم دنباله؛

- عنصر "nامین" دنباله، یعنی. عنصر "ایستاده در صف" در شماره n.

بین مقدار یک عنصر دنباله و شماره دنباله آن رابطه وجود دارد. بنابراین می توانیم دنباله ای را تابعی در نظر بگیریم که آرگومان آن عدد ترتیبی عنصر دنباله باشد. به عبارت دیگر می توان گفت که دنباله تابعی از آرگومان طبیعی است:

دنباله را می توان به سه روش تنظیم کرد:

1 . توالی را می توان با استفاده از جدول مشخص کرد.در این مورد، ما به سادگی مقدار هر یک از اعضای دنباله را تعیین می کنیم.

به عنوان مثال، شخصی تصمیم گرفت مدیریت زمان شخصی را به عهده بگیرد و برای شروع، تعداد زمانی را که در طول هفته در VKontakte صرف می کند، حساب کند. با ثبت زمان در جدول، دنباله ای متشکل از هفت عنصر دریافت می کند:

خط اول جدول تعداد روز هفته را نشان می دهد، دوم - زمان را در دقیقه. ما می بینیم که، یعنی دوشنبه، شخصی 125 دقیقه را در VKontakte، یعنی پنجشنبه - 248 دقیقه، و یعنی جمعه فقط 15 دقیقه صرف کرد.

2 . دنباله را می توان با استفاده از فرمول ترم n مشخص کرد.

در این حالت، وابستگی مقدار یک عنصر دنباله به تعداد آن به طور مستقیم در قالب یک فرمول بیان می شود.

به عنوان مثال، اگر، پس

برای یافتن مقدار یک عنصر دنباله با یک عدد معین، عدد عنصر را با فرمول n ام جایگزین می کنیم.

اگر بخواهیم مقدار یک تابع را در صورتی که مقدار آرگومان مشخص باشد، پیدا کنیم، همین کار را انجام می دهیم. مقدار آرگومان را با معادله تابع جایگزین می کنیم:

اگر مثلاً ، آن

اجازه دهید یک بار دیگر یادآوری کنم که در یک دنباله، بر خلاف یک تابع عددی دلخواه، آرگومان فقط می تواند یک عدد طبیعی باشد.

3 . دنباله را می توان با استفاده از فرمولی مشخص کرد که وابستگی مقدار عضو دنباله شماره n را به مقادیر اعضای قبلی بیان می کند. در این صورت، دانستن تنها تعداد عضو دنباله برای یافتن مقدار آن کافی نیست. باید اولین عضو یا چند عضو اول دنباله را مشخص کنیم.

به عنوان مثال، دنباله را در نظر بگیرید ,

ما می توانیم مقادیر اعضای دنباله را پیدا کنیم در دنباله، از سوم شروع می شود:

یعنی هر بار برای یافتن مقدار nام دنباله به دو مورد قبلی برمی گردیم. این روش برای تعیین یک دنباله نامیده می شود عود کننده، از کلمه لاتین تکرار شود- برگرد

اکنون می توانیم یک پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. پیشروی حسابی یک مورد خاص ساده از یک دنباله اعداد است.

پیشرفت حسابی دنباله ای عددی است که هر عضو آن با شروع از دومی برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است.

شماره تماس گرفته می شود تفاوت پیشرفت حسابی. اختلاف یک پیشروی حسابی می تواند مثبت، منفی یا برابر با صفر باشد.

اگر title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} افزایش می یابد.

به عنوان مثال، 2; 5 8; یازده؛...

اگر، پس هر ترم یک تصاعد حسابی کمتر از عبارت قبلی است و پیشرفت آن است در حال کاهش.

به عنوان مثال، 2; -1؛ -4 -7;...

اگر، پس همه شرایط پیشرفت برابر با یک عدد هستند، و پیشرفت برابر است ثابت.

مثلا 2;2;2;2;...

ویژگی اصلی یک پیشرفت حسابی:

بیایید به تصویر نگاه کنیم.

ما آن را می بینیم

، و در همان زمان

با اضافه کردن این دو برابری، به دست می آوریم:

.

دو طرف مساوی را بر 2 تقسیم کنید:

بنابراین، هر عضو پیشروی حسابی، با شروع از دوم، برابر است با میانگین حسابی دو عضو همسایه:

علاوه بر این، از آنجایی که

، و در همان زمان

، آن

، و بنابراین

هر جمله از یک پیشروی حسابی، که با title="k>l شروع می شود">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

فرمول ترم

می بینیم که شرایط پیشروی حسابی روابط زیر را برآورده می کند:

و در نهایت

گرفتیم فرمول ترم n

مهم!هر عضوی از یک پیشرفت حسابی را می توان از طریق و بیان کرد. با دانستن جمله اول و تفاوت یک پیشروی حسابی، می توانید هر یک از عبارت های آن را پیدا کنید.

مجموع n ترم یک پیشروی حسابی.

در یک تصاعد حسابی دلخواه، مجموع عبارت‌هایی که فاصله آن‌ها از حد فاصل آنها برابر است با یکدیگر برابر است:

یک تصاعد حسابی با n جمله در نظر بگیرید. اجازه دهید مجموع n جمله این پیشرفت برابر باشد.

بیایید شرایط پیشروی را ابتدا به ترتیب صعودی اعداد و سپس به ترتیب نزولی مرتب کنیم:

بیایید جفت اضافه کنیم:

مجموع هر پرانتز است، تعداد جفت ها n است.

ما گرفتیم:

بنابراین، مجموع n جمله یک پیشروی حسابی را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

در نظر بگیریم حل مسائل پیشروی حسابی.

1 . دنباله با فرمول n ام به دست می آید: . ثابت کنید که این دنباله یک تصاعد حسابی است.

اجازه دهید ثابت کنیم که تفاوت بین دو جمله مجاور دنباله برابر با یک عدد است.

ما دریافتیم که تفاوت بین دو عضو مجاور دنباله به تعداد آنها بستگی ندارد و ثابت است. بنابراین، طبق تعریف، این دنباله یک تصاعد حسابی است.

2 . با توجه به پیشرفت حسابی -31; -27;...

الف) 31 عبارت پیشرفت را بیابید.

ب) تعیین کنید که آیا عدد 41 در این پیشروی گنجانده شده است یا خیر.

آ)می بینیم که؛

بیایید فرمول ترم n را برای پیشرفت خود بنویسیم.

به طور کلی

در مورد ما ، از همین رو

یا حسابی نوعی دنباله عددی مرتب شده است که خصوصیات آن در بررسی می شود دوره مدرسهجبر این مقاله به طور مفصل به این سوال می‌پردازد که چگونه می‌توان مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کرد.

این چه نوع پیشرفتی است؟

قبل از اینکه به این سوال بپردازیم (چگونه مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم)، ارزش آن را دارد که بدانیم در مورد چه چیزی صحبت می کنیم.

به هر دنباله ای از اعداد حقیقی که با جمع کردن (کاهش) مقداری از هر عدد قبلی به دست می آید، پیشروی جبری (حسابی) نامیده می شود. این تعریف وقتی به زبان ریاضی ترجمه می‌شود، به این شکل است:

در اینجا i شماره سریال عنصر ردیف a i است. بنابراین، با دانستن تنها یک شماره شروع، می توانید به راحتی کل سری را بازیابی کنید. پارامتر d در فرمول را اختلاف پیشروی می نامند.

به راحتی می توان نشان داد که برای سری اعداد مورد نظر تساوی زیر برقرار است:

a n = a 1 + d * (n - 1).

یعنی برای یافتن مقدار عنصر n به ترتیب باید اختلاف d را به عنصر اول a 1 n-1 بار اضافه کنید.

مجموع یک پیشروی حسابی چقدر است: فرمول

قبل از ارائه فرمول برای مقدار مشخص شده، ارزش دارد که یک مورد خاص ساده را در نظر بگیرید. با توجه به پیشرفت اعداد طبیعی از 1 تا 10، باید مجموع آنها را پیدا کنید. از آنجایی که عبارات کمی در پیشروی وجود دارد (10)، می توان مشکل را به صورت مستقیم حل کرد، یعنی همه عناصر را به ترتیب جمع کرد.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

یک چیز قابل تامل است نکته جالب: از آنجایی که هر عبارت بعدی با مقدار یکسانی d = 1 متفاوت است، پس از جمع زوج اول با دهم، دوم با نهم و غیره نتیجه یکسانی به دست می آید. واقعا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

همانطور که می بینید از این مجموع فقط 5 عدد وجود دارد، یعنی دقیقا دو برابر تعداد عناصر سریال. سپس با ضرب تعداد مجموع (5) در نتیجه هر مجموع (11) به نتیجه ای که در مثال اول به دست آمده است خواهید رسید.

اگر این استدلال ها را تعمیم دهیم، می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

این عبارت نشان می دهد که اصلاً لازم نیست همه عناصر را در یک ردیف جمع کنیم، کافی است مقدار a 1 و آخرین a n را بدانیم تعداد کل n شرایط

اعتقاد بر این است که گاوس اولین کسی بود که وقتی به دنبال راه حلی برای یک مشکل بود به این برابری فکر کرد. معلم مدرسهوظیفه: 100 عدد صحیح اول را جمع کنید.

مجموع عناصر از m تا n: فرمول

فرمول ارائه شده در پاراگراف قبل به این سوال پاسخ می دهد که چگونه می توان مجموع یک تصاعد حسابی (عناصر اول) را پیدا کرد، اما اغلب در مسائل لازم است یک سری از اعداد در وسط پیشرفت جمع شود. چگونه انجامش بدهیم؟

ساده ترین راه برای پاسخ به این سوال با در نظر گرفتن مثال زیر است: بگذارید مجموع عبارت های m-th تا n-ام را پیدا کنید. برای حل مشکل باید قطعه داده شده از m تا n پیشرفت را در قالب یک سری اعداد جدید ارائه دهید. در چنین m-امین نمایندگیعبارت a m اولین مورد خواهد بود و a n با شماره n-(m-1) خواهد بود. در این صورت با اعمال فرمول استاندارد برای جمع، عبارت زیر به دست می آید:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

نمونه ای از استفاده از فرمول ها

با دانستن چگونگی یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، ارزش آن را دارد که مثال ساده ای از استفاده از فرمول های بالا را در نظر بگیرید.

در زیر یک دنباله عددی آمده است، باید مجموع عبارت های آن را پیدا کنید، که از 5 شروع می شود و به 12 ختم می شود:

اعداد داده شده نشان می دهد که تفاوت d برابر با 3 است. با استفاده از عبارت عنصر n، می توانید مقادیر 5 و 12 ترم پیشرفت را پیدا کنید. معلوم می شود:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

با دانستن مقادیر اعداد در انتهای پیشرفت جبری مورد بررسی، و همچنین دانستن اینکه چه اعدادی در سری اشغال می کنند، می توانید از فرمول جمع به دست آمده در پاراگراف قبل استفاده کنید. معلوم خواهد شد:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

شایان ذکر است که این مقدار را می توان متفاوت به دست آورد: ابتدا با استفاده از فرمول استاندارد مجموع 12 عنصر اول را پیدا کنید، سپس با استفاده از همان فرمول مجموع 4 عنصر اول را محاسبه کنید، سپس دومی را از مجموع اول کم کنید.

I. V. Yakovlev | مواد ریاضی | MathUs.ru

پیشرفت حسابی

پیشروی حسابی است نوع خاصدنباله بنابراین، قبل از تعریف یک پیشروی حسابی (و سپس هندسی)، لازم است به طور خلاصه بحث کنیم. مفهوم مهمدنباله اعداد

دنباله

دستگاهی را تصور کنید که روی صفحه آن اعداد خاصی یکی پس از دیگری نمایش داده می شود. فرض کنید 2; 7; 13; 1 6; 0; 3; : : : این مجموعه اعداد دقیقاً نمونه ای از یک دنباله است.

تعریف. دنباله اعداد مجموعه ای از اعداد است که در آن به هر عدد می توان یک عدد منحصر به فرد (یعنی مرتبط با یک عدد طبیعی منفرد) اختصاص داد. عدد n را nامین جمله دنباله می نامند.

بنابراین، در مثال بالا، اولین عدد 2 است، این اولین عضو دنباله است که می توان آن را با a1 نشان داد. عدد پنج دارای عدد 6 است پنجمین جمله دنباله است که می توان آن را با a5 نشان داد. به طور کلی، جمله n یک دنباله با (یا bn، cn و غیره) نشان داده می شود.

یک موقعیت بسیار راحت زمانی است که nامین ترم دنباله را بتوان با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول an = 2n 3 دنباله را مشخص می کند: 1; 1 3; 5 7; : : : فرمول an = (1)n دنباله را مشخص می کند: 1; 1 1 1 : : :

هر مجموعه ای از اعداد یک دنباله نیست. بنابراین، یک قطعه یک دنباله نیست. این شامل اعداد "بیش از حد" برای شماره گذاری مجدد است. مجموعه R تمام اعداد حقیقی نیز دنباله ای نیست. این حقایق در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت می شود.

پیشروی حسابی: تعاریف اساسی

اکنون ما آماده تعریف یک پیشرفت حسابی هستیم.

تعریف. پیشروی حسابی دنباله‌ای است که در آن هر جمله (از دومی شروع می‌شود) برابر است با مجموع جمله قبلی و مقداری ثابت (به نام اختلاف پیشروی حسابی).

به عنوان مثال، دنباله 2; 5 8; یازده : : : یک تصاعد حسابی با جمله اول 2 و اختلاف 3 است. دنباله 7; 2 3; 8; : : : یک پیشروی حسابی با اولین جمله 7 و اختلاف 5 است. دنباله 3; 3; 3; : : : یک تصاعد حسابی با اختلاف صفر است.

تعریف معادل: اگر تفاوت an+1 an یک مقدار ثابت (مستقل از n) باشد، دنباله an را پیشروی حسابی می نامند.

پیشروی حسابی را در صورتی که اختلاف آن مثبت باشد افزایش و اگر اختلاف آن منفی باشد کاهش می گویند.

1 اما در اینجا یک تعریف مختصرتر وجود دارد: دنباله تابعی است که بر روی مجموعه اعداد طبیعی تعریف شده است. به عنوان مثال، دنباله ای از اعداد حقیقی تابع f است: N ! آر.

به طور پیش فرض، دنباله ها بی نهایت در نظر گرفته می شوند، یعنی شامل تعداد نامتناهی اعداد هستند. اما هیچ کس ما را اذیت نمی کند که دنباله های محدود را در نظر بگیریم. در واقع، هر مجموعه محدودی از اعداد را می توان یک دنباله متناهی نامید. به عنوان مثال، دنباله پایانی 1 است. 2 3; 4; 5 از پنج عدد تشکیل شده است.

فرمول برای ترم n یک پیشرفت حسابی

به راحتی می توان درک کرد که یک پیشرفت حسابی به طور کامل توسط دو عدد تعیین می شود: جمله اول و تفاوت. بنابراین، این سؤال مطرح می شود: چگونه با دانستن جمله اول و تفاوت، یک عبارت دلخواه از یک پیشروی حسابی را پیدا کنید؟

گرفتن فرمول مورد نیازترم n یک پیشرفت حسابی دشوار نیست. اجازه دهید یک

مسئله 1. در پیشروی حسابی 2; 5 8; یازده : : : فرمول n ام را پیدا کنید و جمله صدم را محاسبه کنید.

راه حل. طبق فرمول (1) داریم:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

خاصیت و علامت سیر حسابی

خاصیت پیشروی حسابی. در پیشرفت حسابی برای هر

به عبارت دیگر، هر عضو یک پیشرفت حسابی (از دومی شروع می شود) میانگین حسابی اعضای همسایه خود است.

که همان چیزی است که لازم بود.

به طور کلی تر، پیشرفت حسابی a برابری را برآورده می کند

a n = a n k + a n + k

برای هر n > 2 و هر k طبیعی< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

به نظر می رسد که فرمول (2) نه تنها به عنوان یک شرط لازم، بلکه به عنوان یک شرط کافی برای اینکه دنباله یک پیشرفت حسابی باشد نیز عمل می کند.

علامت پیشروی حسابی. اگر تساوی (2) برای همه n > 2 برقرار باشد، دنباله an یک تصاعد حسابی است.

اثبات بیایید فرمول (2) را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

a na n 1 = a n+1a n:

از اینجا می توانیم ببینیم که تفاوت an+1 an به n بستگی ندارد، و این دقیقاً به این معنی است که دنباله an یک پیشرفت حسابی است.

ویژگی و علامت یک تصاعد حسابی را می توان در قالب یک جمله فرمول بندی کرد. برای راحتی، ما این کار را برای سه عدد انجام خواهیم داد (این وضعیتی است که اغلب در مشکلات رخ می دهد).

مشخص کردن یک پیشرفت حسابی سه عدد a، b، c یک تصاعد حسابی تشکیل می دهند اگر و فقط اگر 2b = a + c.

مسئله 2. (MSU، دانشکده اقتصاد، 2007) سه عدد 8x، 3 x2 و 4 به ترتیب نشان داده شده یک پیشرفت محاسباتی کاهشی را تشکیل می دهند. x را پیدا کنید و تفاوت این پیشرفت را نشان دهید.

راه حل. با خاصیت پیشرفت حسابی داریم:

2 (3 x2) = 8x 4، 2x2 + 8x 10 = 0، x2 + 4x 5 = 0، x = 1. x = 5:

اگر x = 1، آنگاه یک پیشرفت کاهشی 8، 2، 4 با اختلاف 6 دریافت می کنیم. این مورد مناسب نیست

پاسخ: x = 1، تفاوت 6 است.

مجموع n جمله اول یک پیشروی حسابی

در افسانه ها آمده است که روزی معلم به بچه ها گفت که مجموع اعداد 1 تا 100 را بیابند و آرام به خواندن روزنامه نشستند. با این حال هنوز چند دقیقه ای نگذشته بود که یکی از پسرها گفت که مشکل را حل کرده است. این کارل فردریش گاوس 9 ساله بود که بعدها یکی از آنها بود بزرگترین ریاضیداناندر تاریخ.

ایده گاوس کوچک به شرح زیر بود. اجازه دهید

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

بیایید این مقدار را به ترتیب معکوس بنویسیم:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

و این دو فرمول را اضافه کنید:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

هر عبارت داخل پرانتز برابر با 101 است و در مجموع 100 عبارت از این قبیل وجود دارد

2S = 101 100 = 10100;

ما از این ایده برای استخراج فرمول جمع استفاده می کنیم

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

یک اصلاح مفید برای فرمول (3) به دست می آید اگر فرمول nامین عبارت an = a1 + (n 1)d را جایگزین آن کنیم:

مسئله 3. مجموع تمام اعداد سه رقمی مثبت بخش پذیر بر 13 را بیابید.

راه حل. اعداد سه رقمی که مضرب 13 هستند یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند که جمله اول آن 104 و تفاوت آن 13 است. ترم n این پیشرفت به شکل زیر است:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

بیایید دریابیم که پیشرفت ما شامل چند عبارت است. برای انجام این کار، بیایید نابرابری را حل کنیم:

یک 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

بنابراین، 69 عضو در پیشرفت ما وجود دارد. با استفاده از فرمول (4) مقدار مورد نیاز را پیدا می کنیم:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2