امروز به بررسی معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم. ابتدا اجازه دهید به اصطلاح نگاه کنیم: معادله مثلثاتی همگن چیست. دارای ویژگی های زیر است:

1. باید شامل چندین اصطلاح باشد.
2. همه اصطلاحات باید دارای مدرک یکسان باشند.
3. همه توابع موجود در یک هویت مثلثاتی همگن باید لزوماً آرگومان یکسانی داشته باشند.

الگوریتم حل

بیایید شرایط را انتخاب کنیم

و اگر همه چیز با نکته اول روشن است، پس ارزش آن را دارد که در مورد دوم با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. داشتن یک درجه از اصطلاحات به چه معناست؟ بیایید به مشکل اول نگاه کنیم:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

اولین جمله در این معادله است 3cosx 3\cos x. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا فقط یک تابع مثلثاتی وجود دارد - cosx\cos x - و نه دیگران توابع مثلثاتیدر اینجا وجود ندارد، بنابراین درجه این عبارت 1 است. با دومی یکسان است - 5سینکس 5\sin x - در اینجا فقط سینوس وجود دارد، یعنی درجه این عبارت نیز برابر با یک است. بنابراین، ما یک هویت متشکل از دو عنصر داریم که هر کدام شامل یک تابع مثلثاتی و فقط یک عنصر است. این یک معادله درجه یک است.

بریم سراغ عبارت دوم:

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

اولین عضو این بنا است 4گناه2 x 4((\sin )^(2))x.

اکنون می توانیم راه حل زیر را بنویسیم:

گناه2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

به عبارت دیگر، جمله اول شامل دو تابع مثلثاتی است، یعنی درجه آن دو است. بیایید به عنصر دوم بپردازیم - sin2x\ sin 2x. بیایید این فرمول را به یاد بیاوریم - فرمول زاویه دوتایی:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

و دوباره، در فرمول حاصل دو تابع مثلثاتی داریم - سینوس و کسینوس. بنابراین مقدار توان این اصطلاح ساختی نیز برابر با دو است.

بریم سراغ عنصر سوم - 3. از درس ریاضی دبیرستانبه یاد می آوریم که هر عددی را می توان در 1 ضرب کرد، بنابراین آن را یادداشت می کنیم:

˜ 3=3⋅1

و واحد را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی پایه به شکل زیر نوشت:

1=گناه2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

بنابراین، می توانیم 3 را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3=3(گناه2 x⋅ cos2 x)=3گناه2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

بنابراین عبارت 3 ما به دو عنصر تقسیم می شود که هر کدام همگن هستند و درجه دوم دارند. سینوس در جمله اول دو بار و کسینوس در جمله دوم نیز دو بار رخ می دهد. بنابراین، 3 را می توان به عنوان یک عبارت با توان دو نشان داد.

عبارت سوم هم همینطور:

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 x

بیایید ببینیم. ترم اول است گناه3 x((\sin )^(3))x یک تابع مثلثاتی درجه سوم است. عنصر دوم - گناه2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

گناه2 ((\sin )^(2)) یک پیوند با مقدار توان دو ضرب در است cosx\cos x اولین عبارت است. در مجموع، عبارت سوم نیز دارای مقدار توان سه است. در نهایت، در سمت راست پیوند دیگری وجود دارد - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x یک عنصر درجه سوم است. بنابراین، ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم داریم.

ما سه هویت در درجات مختلف داریم که نوشته شده است. دوباره به عبارت دوم توجه کنید. در سوابق اصلی، یکی از اعضا بحث دارد 2 برابر 2 برابر ما مجبور هستیم با تبدیل آن با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی از شر این آرگومان خلاص شویم، زیرا همه توابع موجود در هویت ما لزوماً باید آرگومان یکسانی داشته باشند. و این یک نیاز برای معادلات مثلثاتی همگن است.

از فرمول هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم و جواب نهایی را یادداشت می کنیم

ما شرایط را مرتب کردیم، بیایید به راه حل برویم. صرف نظر از توان توان، حل برابری های این نوع همیشه در دو مرحله انجام می شود:

1) این را ثابت کنید

cosx≠0

\cos x\ne 0. برای این کار کافی است فرمول هویت مثلثاتی اصلی را به خاطر بیاورید. (گناه2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \راست) و به این فرمول جایگزین کنید cosx=0\cos x=0. عبارت زیر را دریافت خواهیم کرد:

گناه2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end (تراز کردن)

جایگزینی مقادیر به دست آمده، یعنی به جای cosx\cos x صفر است و در عوض سینکس\sin x — 1 یا -1، در عبارت اصلی، یک برابری عددی نادرست دریافت خواهیم کرد. این توجیهی است که

cosx≠0

2) مرحله دوم به طور منطقی از مرحله اول پیروی می کند. چون

cosx≠0

\cos x\ne 0، هر دو طرف ساختارمان را بر تقسیم می کنیم cosn x((\cos )^(n))x، که در آن n n توان خود معادله مثلثاتی همگن است. این چه چیزی به ما می دهد:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

سینکسcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end (تراز کردن) \\() \\ \پایان(آرایه)\]

به لطف این، ساخت اولیه دست و پا گیر ما به معادله کاهش می یابد n n درجه نسبت به مماس که جواب آن را می توان به راحتی با تغییر متغیر نوشت. این کل الگوریتم است. بیایید ببینیم در عمل چگونه کار می کند.

ما مشکلات واقعی را حل می کنیم

وظیفه شماره 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

قبلاً متوجه شده ایم که این یک معادله مثلثاتی همگن با توانی برابر با یک است. بنابراین، اول از همه، بیایید آن را دریابیم cosx≠0\cos x\ne 0. فرض کنید برعکس، که

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

مقدار به دست آمده را با عبارت خود جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

3⋅0+5⋅(±1) =0± 5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end (تراز کردن)

بر این اساس می توان گفت که cosx≠0\cos x\ne 0. معادله خود را بر تقسیم کنید cosx\cos x زیرا کل عبارت ما دارای مقدار توان یک است. دریافت می کنیم:

3(cosxcosx) +5(سینکسcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (تراز کردن)

این یک مقدار جدول نیست، بنابراین پاسخ شامل خواهد شد arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

چون arctg arctg arctg یک تابع فرد است، ما می توانیم "منهای" را از آرگومان خارج کنیم و آن را در مقابل arctg قرار دهیم. جواب نهایی را می گیریم:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

وظیفه شماره 2

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

همانطور که به یاد دارید، قبل از شروع حل آن، باید تغییراتی را انجام دهید. ما تحولات را انجام می دهیم:

4گناه2 x+2sinxcosx-3 (گناه2 x+ cos2 x)=0 4گناه2 x+2sinxcosx-3 گناه2 x-3 cos2 x=0گناه2 x+2sinxcosx-3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2)x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\پایان (تراز کردن)

ما ساختاری متشکل از سه عنصر دریافت کردیم. در ترم اول می بینیم گناه2 ((\sin )^(2))، یعنی مقدار توان آن دو است. در ترم دوم می بینیم سینکس\sin x و cosx\cos x - دوباره دو تابع وجود دارد، آنها ضرب می شوند، بنابراین درجه کل دوباره دو است. در لینک سوم می بینیم cos2 x((\cos )^(2))x - مشابه مقدار اول.

این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 راه حلی برای این ساختار نیست. برای انجام این کار، بیایید برعکس را فرض کنیم:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\پایان(آرایه)\]

ما این را ثابت کرده ایم cosx=0\cos x=0 نمی تواند یک راه حل باشد. بیایید به مرحله دوم برویم - کل عبارت خود را بر آن تقسیم کنیم cos2 x((\cos )^(2))x. چرا مربع؟ زیرا توان این معادله همگن برابر با دو است:

گناه2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 تی g2 x+2tgx-3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2)x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end (تراز کردن)

آیا می توان این عبارت را با استفاده از ممیز حل کرد؟ البته می توانید. اما من پیشنهاد می کنم قضیه را به خاطر بسپاریم، برعکس قضیه Vieta، و دریافتیم که این چند جمله ای را به شکل دو چند جمله ای ساده نشان می دهیم، یعنی:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end (تراز کردن)

بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند که آیا ارزش نوشتن ضرایب جداگانه برای هر گروه از راه‌حل‌های هویت‌ها را دارد یا آزار نمی‌دهد و ضرایب مشابه را در همه جا نوشت؟ به شخصه معتقدم استفاده از حروف مختلف بهتر و قابل اعتمادتر است تا اگر وارد یک دانشگاه فنی جدی با تست های تکمیلی ریاضی شوید، ممتحنین در پاسخ ایراد نگیرند.

وظیفه شماره 3

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ما قبلاً می دانیم که این یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم است، هیچ فرمول خاصی مورد نیاز نیست و تنها چیزی که از ما لازم است این است که عبارت را جابجا کنیم. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x در سمت چپ. بیایید بازنویسی کنیم:

گناه3 x+ گناه2 xcosx-2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

می بینیم که هر عنصر شامل سه تابع مثلثاتی است، بنابراین این معادله دارای مقدار توان سه است. حلش کنیم اول از همه باید این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 یک ریشه نیست:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(آرایه)\]

بیایید این اعداد را در ساختار اصلی خود جایگزین کنیم:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end (تراز کردن)

از این رو، cosx=0\cos x=0 راه حلی نیست. ما این را ثابت کرده ایم cosx≠0\cos x\ne 0. حالا که این را ثابت کردیم، اجازه دهید معادله اصلی خود را بر تقسیم کنیم cos3 x((\cos )^(3))x. چرا در مکعب؟ زیرا ما به تازگی ثابت کردیم که معادله اصلی ما دارای توان سوم است:

گناه3 xcos3 x+گناه2 xcosxcos3 x−2=0 تی g3 x+t g2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\پایان (تراز کردن)

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

tgx=t

بیایید ساختار را بازنویسی کنیم:

تی3 +تی2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

قبل از ما معادله مکعبی. چگونه آن را حل کنیم؟ در ابتدا، زمانی که این آموزش ویدیویی را جمع آوری می کردم، قصد داشتم ابتدا در مورد فاکتورگیری چند جمله ای ها و تکنیک های دیگر صحبت کنم. اما در در این موردهمه چیز بسیار ساده تر است به هویت داده شده ما نگاهی بیندازید، با عبارت با بالاترین درجه ارزش 1. علاوه بر این، همه ضرایب اعداد صحیح هستند. این بدان معناست که می‌توانیم از نتیجه‌ای از قضیه بزوت استفاده کنیم، که بیان می‌کند همه ریشه‌ها مقسوم‌کننده‌های عدد -2 هستند، یعنی عبارت آزاد.

این سؤال مطرح می شود: -2 بر چه چیزی تقسیم می شود؟ از آنجایی که 2 یک عدد اول است، گزینه های زیادی وجود ندارد. اینها می توانند اعداد زیر باشند: 1; 2 -1؛ -2. ریشه های منفی بلافاصله ناپدید می شوند. چرا؟ زیرا هر دوی آنها در مقدار مطلق بزرگتر از 0 هستند، بنابراین تی3 ((t)^(3)) از لحاظ مدول بزرگتر از تی2 ((t)^(2)). و از آنجایی که مکعب یک تابع فرد است، بنابراین عدد در مکعب منفی خواهد بود و تی2 ((t)^(2)) - مثبت، و این کل ساخت، با t=−1 t=-1 و t=-2 t=-2، بیشتر از 0 نخواهد بود. -2 را از آن کم کنید و عددی به دست آورید که مطمئناً کمتر از 0 است. فقط 1 و 2 را جایگزین هر یک از این اعداد می کنیم.

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

برابری عددی صحیح را بدست آورده ایم. از این رو، t=1 t=1 ریشه است.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 ریشه نیست.

طبق نتیجه و همان قضیه بزوت، هر چند جمله ای که ریشه آن باشد x0 ((x)_(0))، آن را به شکل زیر نشان دهید:

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=(((x)_(0)))P(x)

در مورد ما، در نقش x x به عنوان یک متغیر عمل می کند تیتی، و در نقش x0 ((x)_(0)) ریشه ای برابر با 1 است.

تی3 +تی2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

چگونه یک چند جمله ای را پیدا کنیم پ (t) P\ چپ (t\ راست)؟ بدیهی است که باید موارد زیر را انجام دهید:

P(t)= تی3 +تی2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

بیایید جایگزین کنیم:

تی3 +تی2 +0⋅t−2t-1=تی2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

بنابراین، چند جمله ای اصلی ما بدون باقیمانده تقسیم می شود. بنابراین، می توانیم برابری اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(t-1)( تی2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ما قبلاً ضریب اول را در نظر گرفته ایم. بیایید به مورد دوم نگاه کنیم:

تی2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

شاگردان باتجربه احتمالا قبلاً متوجه این موضوع شده اند این طرحهیچ ریشه ای ندارد، اما بیایید همچنان تفکیک کننده را محاسبه کنیم.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

متمایز کمتر از 0 است، بنابراین عبارت ریشه ندارد. در کل، ساخت و ساز عظیم به برابری معمول کاهش یافت:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(آرایه)\]

در پایان، من می خواهم چند نظر در مورد آخرین کار اضافه کنم:

1. آیا شرط همیشه برآورده می شود؟ cosx≠0\cos x\ne 0، و آیا اصلاً ارزش انجام این بررسی را دارد؟ البته نه همیشه. در مواردی که cosx=0\cos x=0 یک راه حل برای برابری ما است، باید آن را از پرانتز خارج کنیم، و سپس یک معادله همگن کامل در پرانتز باقی می ماند.
2. تقسیم یک چند جمله ای به چند جمله ای چیست؟ در واقع، اکثر مدارس این موضوع را مطالعه نمی‌کنند، و وقتی دانش‌آموزان برای اولین بار چنین طرحی را می‌بینند، یک شوک خفیف را تجربه می‌کنند. اما در واقع ساده است و خوش آمدید، که حل معادلات را بسیار تسهیل می کند درجات بالاتر. البته آموزش تصویری جداگانه ای به آن اختصاص داده خواهد شد که در آینده نزدیک منتشر خواهم کرد.

نکات کلیدی

معادلات مثلثاتی همگن یک موضوع مورد علاقه در همه انواع هستند تست ها. آنها را می توان خیلی ساده حل کرد - فقط یک بار تمرین کنید. برای اینکه مشخص شود در مورد چه چیزی صحبت می کنیم، اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم.

معادله مثلثاتی همگن معادله ای است که در آن هر جمله غیر صفر از تعداد یکسانی از عوامل مثلثاتی تشکیل شده باشد. اینها می توانند سینوس، کسینوس یا ترکیبی از آنها باشند - روش حل همیشه یکسان است.

درجه یک معادله مثلثاتی همگن تعداد عوامل مثلثاتی است که در عبارت های غیر صفر گنجانده شده است.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - هویت درجه 1.

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - درجه 2;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - درجه 3;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - و این معادله همگن نیست، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد - یک جمله غیر صفر که در آن هیچ عامل مثلثاتی وجود ندارد.

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 نیز یک معادله ناهمگن است. عنصر sin2x\sin 2x درجه دوم است (زیرا می توان آن را نشان داد

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x) 2sinx 2\sin x اولین است و عبارت 3 به طور کلی صفر است، زیرا هیچ سینوس یا کسینوس در آن وجود ندارد.

طرح راه حل کلی

طرح راه حل همیشه یکسان است:

بیایید این را فرض کنیم cosx=0\cos x=0. سپس sinx=±1\sin x=\pm 1 - این از هویت اصلی ناشی می شود. جایگزین کنیم سینکس\sin x و cosx\cos x به عبارت اصلی وارد شود، و اگر نتیجه مزخرف باشد (به عنوان مثال، عبارت 5=0 5=0)، به نقطه دوم بروید.

همه چیز را بر توان کسینوس تقسیم می کنیم: cosx، cos2x، cos3x... - بستگی به مقدار توان معادله دارد. برابری معمول را با مماس ها به دست می آوریم که پس از جایگزینی tgx=t می توان آن را با خیال راحت حل کرد.

tgx=tریشه های یافت شده پاسخی به عبارت اصلی خواهند بود.

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(پایه دهم)

هدف: مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II را معرفی کنید. الگوریتمی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II را فرموله و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها و تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید

فرم: به صورت گروهی کار کنید

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

پیشرفت درس

لحظه سازمانی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک کارشناس مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

تکالیف قبل از کلاس توسط کارشناس و مشاور مستقل بررسی و درجه بندی می شود و برگه نمره تکمیل می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها را به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می دهند.

تکالیف فردی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: برای حل جدول کلمات متقاطع کار داریم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش آموزان حدس می زنند و یک کارشناس مستقل نمرات دانش آموزانی را که پاسخ می دهند در برگه نمره وارد می کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من یک مثال از حل این نوع معادله را نشان می دهم.

معادله فرم الف sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

اجازه دهید راه حل معادله را با ضرایب در نظر بگیریم الفو Vبا 0 تفاوت دارند.

مثال: sinx + cosx = 0

آر با تقسیم هر دو طرف معادله بر cosx، به دست می آوریم

توجه! فقط در صورتی می توانید بر 0 تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، سینوس نیز برابر با 0 خواهد بود، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف به صفر می رسند. بنابراین، این عمل را می توان در هنگام حل این نوع معادله انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم دو طرف معادله بر cosx، cosx 0

معادله فرم الف sin mx +ب cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر کسینوس mx را حل کنید.

معادله فرم الف گناه 2 x+ب sinx cosx +ج cos2x = 0همگن نامیده می شود معادله مثلثاتیدرجه دوم

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر با 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a = 0 باشد، معادله به شکل 2sinx cosx – 3cos2x = 0 خواهد بود، آن را با خارج کردن ضریب مشترک cosx از پرانتز حل می کنیم. اگر ضریب c = 0، معادله به شکل sin2x +2sinx cosx = 0 باشد، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا معادله دارای عبارت asin2 x است یا خیر.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 شماره 361-v

گروه 3 و 4 تصمیم به شماره 363-v

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-v
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
هر دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tanx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

معادلات را حل کنید.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

پس از اتمام کار مستقلتغییر شغل و بررسی متقابل پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

سپس آن را اجاره می دهند کارشناس مستقل.

راه حل خودت انجام بده

جمع بندی درس.

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

تکالیف: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (d)، 363 (b)، دشواری اضافی شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع.

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

واحد اندازه گیری زاویه؟ (رادیان)

فاکتور عددی در یک محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های یک معادله ? (راه حل)

برگه امتیاز

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
مطالعه کردن

حل معادلات

مستقل
شغل

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف اختصاص داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز – 1 پاسخ – 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز

بس کن بیایید سعی کنیم این فرمول دست و پا گیر را درک کنیم.

اولین متغیر در توان با مقداری ضریب باید اول باشد. در مورد ما اینطور است

در مورد ما اینطور است. همانطور که متوجه شدیم، این بدان معنی است که درجه در متغیر اول همگرا می شود. و متغیر دوم تا درجه اول در جای خود قرار دارد. ضریب.

ما آن را داریم.

متغیر اول توان و متغیر دوم مربع با ضریب است. این آخرین جمله در معادله است.

همانطور که می بینید، معادله ما در قالب یک فرمول با تعریف مطابقت دارد.

بیایید به بخش دوم (کلامی) تعریف نگاه کنیم.

ما دو مجهول داریم و. اینجا همگرا می شود.

بیایید همه شرایط را در نظر بگیریم. در آنها باید مجموع درجات مجهولات یکسان باشد.

مجموع درجات برابر است.

مجموع توان ها برابر است با (at و at).

مجموع درجات برابر است.

همانطور که می بینید همه چیز مناسب است!!!

حالا بیایید تعریف کردن را تمرین کنیم معادلات همگن.

تعیین کنید کدام یک از معادلات همگن هستند:

معادلات همگن - معادلات با اعداد:

بیایید معادله را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر هر جمله را با فاکتورگیری هر جمله تقسیم کنیم، به دست می آید

و این معادله کاملاً تحت تعریف معادلات همگن قرار می گیرد.

چگونه معادلات همگن را حل کنیم؟

مثال 2.

بیایید معادله را بر تقسیم کنیم.

با توجه به شرایط ما، y نمی تواند برابر باشد. بنابراین ما می توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم

با ایجاد یک جایگزین، ما یک ساده دریافت می کنیم معادله درجه دوم:

از آنجایی که این یک معادله درجه دوم کاهش یافته است، از قضیه ویتا استفاده می کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس به جواب می رسیم

پاسخ:

مثال 3.

بیایید معادله را بر (شرط) تقسیم کنیم.

پاسخ:

مثال 4.

پیدا کنید اگر.

در اینجا شما باید تقسیم نکنید، بلکه ضرب کنید. بیایید کل معادله را در:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

پس از انجام تعویض معکوس، پاسخ را دریافت می کنیم:

پاسخ:

حل معادلات مثلثاتی همگن.

حل معادلات مثلثاتی همگن با روش های حل توضیح داده شده در بالا تفاوتی ندارد. فقط در اینجا، در میان چیزهای دیگر، باید کمی مثلثات بدانید. و قادر به حل معادلات مثلثاتی باشید (برای این کار می توانید بخش را مطالعه کنید).

بیایید با استفاده از مثال به چنین معادلاتی نگاه کنیم.

مثال 5.

معادله را حل کنید.

ما یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

حل چنین معادلات همگن دشوار نیست، اما قبل از تقسیم معادلات، این مورد را در نظر بگیرید که

در این حالت معادله به شکل زیر خواهد بود: , so. اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

از آنجایی که معادله داده شده است، پس طبق قضیه ویتا:

پاسخ:

مثال 6.

معادله را حل کنید.

مانند مثال، باید معادله را بر تقسیم کنید. بیایید این مورد را در نظر بگیریم که:

اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان با هم برابر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه. به همین دلیل است.

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

بیایید جایگزین معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم و:

پاسخ:

حل معادلات نمایی همگن.

معادلات همگن به همان روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت حل می شوند. اگر نحوه حل معادلات نمایی را فراموش کرده اید، به بخش مربوطه () نگاه کنید!

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 7.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

ما یک معادله همگن معمولی با دو متغیر و مجموع توان ها را می بینیم. بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

همانطور که می بینید، با انجام جایگزینی، معادله درجه دوم زیر را به دست می آوریم (نیازی به نگرانی در مورد تقسیم بر صفر نیست - همیشه به شدت بزرگتر از صفر است):

طبق قضیه ویتا:

پاسخ: .

مثال 8.

معادله را حل کنید

بیایید آن را اینگونه تصور کنیم:

بیایید معادله را به زیر تقسیم کنیم:

بیایید جایگزینی ایجاد کنیم و معادله درجه دوم را حل کنیم:

ریشه شرایط را برآورده نمی کند. بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم و پیدا کنیم:

پاسخ:

معادلات همگن. سطح میانی

ابتدا با استفاده از مثال یک مشکل، اجازه دهید یادآوری کنم معادلات همگن چیست و حل معادلات همگن چیست؟

حل مشکل:

پیدا کنید اگر.

در اینجا می توانید به یک چیز عجیب توجه کنید: اگر هر عبارت را بر تقسیم کنیم، دریافت می کنیم:

یعنی در حال حاضر هیچ جدا وجود ندارد و، - در حال حاضر متغیر در معادله است مقدار مورد نیاز. و این یک معادله درجه دوم معمولی است که به راحتی با استفاده از قضیه ویتا قابل حل است: حاصل ضرب ریشه ها برابر است و مجموع اعداد و.

پاسخ:

معادلات فرم

همگن نامیده می شود. یعنی این معادله ای است با دو مجهول که هر جمله آن مجموع قدرت مجهولات یکسانی دارد. برای مثال در مثال بالا این مقدار برابر است با. معادلات همگن با تقسیم بر یکی از مجهولات به این درجه حل می شوند:

و جایگزینی متعاقب متغیرها: . بنابراین ما یک معادله توان با یک مجهول بدست می آوریم:

اغلب ما با معادلات درجه دوم (یعنی درجه دوم) مواجه می شویم و می دانیم چگونه آنها را حل کنیم:

توجه داشته باشید که تنها در صورتی می توانیم کل معادله را بر یک متغیر تقسیم (و ضرب) کنیم که متقاعد شده باشیم که این متغیر نمی تواند برابر با صفر باشد! به عنوان مثال، اگر از ما بخواهند پیدا کنیم، بلافاصله متوجه می شویم که از آنجایی که امکان تقسیم وجود ندارد. در مواردی که این چندان واضح نیست، لازم است به طور جداگانه موردی که این متغیر برابر با صفر است بررسی شود. به عنوان مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

ما در اینجا یک معادله معمولی همگن را می بینیم: و مجهول هستند و مجموع توان آنها در هر جمله برابر است.

اما، قبل از تقسیم بر و بدست آوردن یک نسبی معادله درجه دوم، باید موردی را در نظر بگیریم که چه زمانی. در این صورت معادله به شکل: . اما سینوس و کسینوس نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اولیه: . بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را به موارد زیر تقسیم کنیم:

امیدوارم این راه حل کاملا واضح باشد؟ اگر نه، بخش را بخوانید. اگر مشخص نیست از کجا آمده است، باید حتی زودتر - به بخش - برگردید.

خودتان تصمیم بگیرید:

1. پیدا کنید اگر.
2. پیدا کنید اگر.
3. معادله را حل کنید.

در اینجا به طور خلاصه حل معادلات همگن را مستقیماً می نویسم:

راه حل ها:

پاسخ: .

اما در اینجا باید به جای تقسیم، ضرب کنیم:

پاسخ:

اگر هنوز معادلات مثلثاتی را نگرفته اید، می توانید از این مثال صرف نظر کنید.

از آنجایی که در اینجا باید بر آن تقسیم کنیم، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که صد برابر با صفر نیست:

و این غیر ممکن است.

پاسخ: .

معادلات همگن. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

حل تمام معادلات همگن به تقسیم بر یکی از مجهولات توان و تغییر بیشتر متغیرها تقلیل می یابد.

الگوریتم:

با این درس تصویری دانش آموزان می توانند مبحث معادلات مثلثاتی همگن را مطالعه کنند.

بیایید تعاریف را ارائه دهیم:

1) یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول شبیه یک sin x + b cos x = 0 است.

2) یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم شبیه یک sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 است.

معادله a sin x + b cos x = 0 را در نظر بگیرید. اگر a برابر با صفر باشد، معادله شبیه b cos x = 0 خواهد بود. اگر b برابر با صفر باشد، معادله شبیه یک sin x = 0 خواهد شد.

حال گزینه ای را در نظر بگیرید که a و b برابر با صفر نیستند. با تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، تبدیل را انجام می دهیم. یک tg x + b = 0 دریافت می کنیم، سپس tg x برابر با - b/a خواهد بود.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که معادله a sin mx + b cos mx = 0 یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل یک معادله، اجزای آن را بر cos mx تقسیم کنید.

بیایید به مثال 1 نگاه کنیم. حل 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. ابتدا قسمت های معادله را بر کسینوس (x/2) تقسیم کنید. با دانستن اینکه سینوس تقسیم بر کسینوس مماس است، 7 tan (x/2) - 5 = 0 به دست می آوریم. با تبدیل عبارت، متوجه می شویم که مقدار tan (x/2) برابر با 5/7 است. راه حل این معادله به شکل x = آرکتان a + πn است، در مورد ما x = 2 آرکتان (5/7) + 2πn.

معادله a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 را در نظر بگیرید:

1) با یک برابر صفر، معادله شبیه b sin x cos x + c cos 2 x = 0 خواهد شد. با تبدیل، عبارت cos x (b sin x + c cos x) = 0 را بدست می آوریم و به حل دو ادامه می دهیم. معادلات پس از تقسیم اجزای معادله بر کسینوس x، b tg x + c = 0 به دست می‌آید، یعنی tg x = - c/b. با دانستن اینکه x = آرکتان a + πn، راه حل در این حالت x = آرکتان (- с/b) + πn خواهد بود.

2) اگر a برابر با صفر نباشد، با تقسیم اجزای معادله بر مجذور کسینوس، معادله ای حاوی مماس به دست می آید که درجه دوم خواهد بود. این معادله را می توان با معرفی یک متغیر جدید حل کرد.

3) هنگامی که c برابر با صفر باشد، معادله به شکل a sin 2 x + b sin x cos x = 0 خواهد بود. این معادله را می توان با خارج کردن سینوس x از براکت حل کرد.

1. ببینید آیا معادله دارای یک گناه 2 x است.

2. اگر معادله حاوی عبارت a sin 2 x باشد، می توان با تقسیم هر دو طرف بر مجذور کسینوس و سپس معرفی یک متغیر جدید، معادله را حل کرد.

3. اگر معادله حاوی یک sin 2 x نباشد، با خارج کردن cosx از پرانتز می توان معادله را حل کرد.

بیایید مثال 2 را در نظر بگیریم. بیایید کسینوس را از پرانتز بیرون بیاوریم و دو معادله بدست آوریم. ریشه معادله اول x = π/2 + πn است. برای حل معادله دوم اجزای این معادله را بر کسینوس x تقسیم می کنیم و با تبدیل x = π/3 + πn بدست می آوریم. پاسخ: x = π/2 + πn و x = π/3 + πn.

بیایید مثال 3، معادله ای به شکل 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 را حل کنیم و ریشه های آن را پیدا کنیم که متعلق به بخش - π تا π است. چون این معادله ناهمگن است، لازم است آن را به شکل همگن برسانیم. با استفاده از فرمول sin 2 x + cos 2 x = 1، معادله sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 را به دست می آوریم. با تقسیم تمام قسمت های معادله بر cos 2 x، tg 2 2x + به دست می آید. 2tg 2x + 1 = 0 با استفاده از ورودی یک متغیر جدید z = tan 2x، معادله ای را حل می کنیم که ریشه آن z = 1 است. سپس tan 2x = 1، که به معنای x = π/8 + (πn)/2 است. . چون با توجه به شرایط مسئله، شما باید ریشه هایی را که متعلق به بخش از - π تا π هستند پیدا کنید، راه حل به شکل - π خواهد بود.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

رمزگشایی متن:

معادلات مثلثاتی همگن

امروز به چگونگی حل معادلات مثلثاتی همگن خواهیم پرداخت. این معادلات از نوع خاصی هستند.

بیایید با تعریف آشنا شویم.

معادله فرم و sin x+بcosx = 0 (و سینوس x به اضافه کسینوس x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله فرم و گناه 2 x+بگناه xcosx+scos 2 x= 0 (و سینوس مربع x به علاوه سینوس x کسینوس x به علاوه se کسینوس مربع x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

اگر a=0، سپس معادله شکل می گیرد بcosx = 0.

اگر ب = 0 ، سپس دریافت می کنیم و sin x=0.

این معادلات مثلثاتی ابتدایی هستند و حل آنها را در مباحث قبلی مورد بحث قرار دادیم

در نظر بگیریمحالتی که هر دو ضریب برابر با صفر نباشند. بیایید هر دو طرف معادله را تقسیم کنیم الفگناهx+ بcosx = 0 عضو به عضو cosx.

ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا کسینوس x با صفر متفاوت است. پس از همه، اگر cosx = 0 ، سپس معادله الفگناهx+ بcosx = 0 شکل خواهد گرفت الفگناهx = 0 , الف≠ 0، بنابراین گناهx = 0 . که غیر ممکن است، زیرا با توجه به هویت مثلثاتی اساسی گناه 2 x+cos 2 x=1 .

تقسیم دو طرف معادله الفگناهx+ بcosx = 0 عضو به عضو cosx، دریافت می کنیم: + =0

بیایید تحولات را انجام دهیم:

1. از آنجایی که = tg x، سپس =و tg x

2 کاهش می دهد cosx، سپس

بنابراین عبارت زیر را بدست می آوریم و tg x + b = 0.

بیایید تحول را انجام دهیم:

1. b را به سمت راست عبارت با علامت مخالف حرکت دهید

و tg x =- b

2. از شر ضریب خلاص شویم و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنیم

tan x= -.

نتیجه گیری: معادله فرم یک گناهمترx+بcosmx = 0 (و سینوس em x به اضافه کسینوس em x برابر با صفر است) معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود. برای حل آن، هر دو طرف را تقسیم کنید cosmx.

مثال 1. معادله 7 sin - 5 cos = 0 را حل کنید (هفت سینوس x بر دو منهای پنج کسینوس x بر دو برابر با صفر است)

راه حل. با تقسیم دو طرف معادله بر cos به دست می‌آییم

1. = 7 tan (از آنجایی که نسبت سینوس به کسینوس مماس است، پس هفت سینوس x بر دو تقسیم بر کسینوس x بر دو برابر است با 7 tan x بر دو)

2. -5 = -5 (با مخفف cos)

بنابراین ما معادله را بدست آوردیم

7tg - 5 = 0، بیایید عبارت را تبدیل کنیم، منهای پنج را به سمت راست حرکت دهیم، علامت را تغییر دهیم.

معادله را به شکل tg t = a کاهش داده ایم که t=, a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد الف و این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان a + πn، سپس حل معادله ما به شکل زیر خواهد بود:

Arctg + πn، x را پیدا کنید

x=2 آرکتان + 2πn.

پاسخ: x=2 آرکتان + 2πn.

اجازه دهید به معادله مثلثاتی همگن درجه دوم برویم

الفsin 2 x+b sin x cos x +باcos 2 x = 0.

بیایید چند مورد را در نظر بگیریم.

I. اگر a=0، سپس معادله شکل می گیرد بگناهxcosx+scos 2 x= 0.

هنگام حل eسپس از روش فاکتورگیری معادلات استفاده می کنیم. ما آن را بیرون می آوریم cosxفراتر از پرانتزها به دست می آوریم: cosx(بگناهx+scosx)= 0 . کجا cosx= 0 یا

b sin x +باcos x=0.و ما قبلاً می دانیم که چگونه این معادلات را حل کنیم.

بیایید هر دو طرف معادله را بر cosх تقسیم کنیم، به دست می آوریم

1 (از آنجا که نسبت سینوس به کسینوس مماس است).

بنابراین معادله را بدست می آوریم: ب tg x+c=0

معادله را به شکل tg t = a کاهش دادیم که t= x، a =. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد الفو این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان a + πn، سپس جواب معادله ما به صورت زیر خواهد بود:

x = آرکتان + πn، .

II. اگر a≠0، سپس هر دو طرف معادله را به صورت ترم به دو تقسیم می کنیم cos 2 x.

(با استدلال به روشی مشابه، مانند مورد معادله مثلثاتی همگن درجه اول، کسینوس x نمی تواند به صفر برود).

III. اگر c=0، سپس معادله شکل می گیرد الفگناه 2 x+ بگناهxcosx= 0. این معادله را می‌توان با روش فاکتورسازی حل کرد (ما خارج می‌کنیم گناهxفراتر از براکت).

این بدان معنی است که هنگام حل معادله الفگناه 2 x+ بگناهxcosx+scos 2 x= 0 می توانید الگوریتم را دنبال کنید:

مثال 2. معادله sinxcosx - cos 2 x= 0 را حل کنید (سینوس x ضربدر کسینوس x منهای ریشه سه برابر کسینوس مربع x برابر با صفر است).

راه حل. بیایید آن را فاکتورسازی کنیم (cosx را خارج از پرانتز قرار دهید). می گیریم

cos x(sin x - cos x)= 0، i.e. cos x=0 یا sin x - cos x= 0.

پاسخ: x =+ πn، x= + πn.

مثال 3. معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (سه سینوس مجذور دو X منهای دو برابر حاصل ضرب سینوس دو ایکس ضربدر کسینوس دو X به اضافه سه کسینوس مربع دو X) را حل کنید و ریشه های آن را پیدا کنید. فاصله (- π؛

راه حل. این معادله همگن نیست، پس بیایید چند تغییر ایجاد کنیم. عدد 2 موجود در سمت راست معادله را با حاصلضرب 2 1 جایگزین می کنیم

از آنجایی که با هویت مثلثاتی اصلی sin 2 x + cos 2 x =1، پس

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = باز کردن پرانتزها به دست می آید: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

این بدان معنی است که معادله 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 به شکل زیر خواهد بود:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم به دست آوردیم. بیایید روش تقسیم ترم به ترم بر cos 2 2x را اعمال کنیم:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

بیایید یک متغیر جدید z= tan2х معرفی کنیم.

ما z 2 - 2 z + 1 = 0 داریم. این یک معادله درجه دوم است. با توجه به فرمول ضرب اختصاری در سمت چپ - مربع اختلاف () به دست می آوریم (z - 1) 2 = 0، یعنی. z = 1. اجازه دهید به جایگزینی معکوس برگردیم:

معادله را به شکل tg t = a کاهش دادیم که t= 2x، a =1. و از آنجایی که این معادله برای هر مقداری راه حل دارد الفو این راه حل ها فرم دارند

x = آرکتان x a + πn، سپس جواب معادله ما به صورت زیر خواهد بود:

2х= arctan1 + πn،

x = + , (x برابر است با مجموع پی ضربدر هشت و پی در برابر دو).

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که مقادیر x را که در بازه موجود است پیدا کنیم

(- π؛ π)، یعنی. ارضای نابرابری دوگانه - π x π. چون

x= +، سپس - π + π. تمام قسمت های این نابرابری را بر π تقسیم کرده و در 8 ضرب می کنیم، به دست می آید

یکی را به سمت راست و چپ حرکت دهید و علامت را به منفی یک تغییر دهید

تقسیم بر چهار می گیریم

برای راحتی کار، کل قطعات را به صورت کسری جدا می کنیم

-

این نابرابری با عدد صحیح n برآورده می شود: -2، -1، 0، 1

آخرین جزئیات، نحوه حل وظایف C1 از آزمون دولتی واحد در ریاضیات - حل معادلات مثلثاتی همگننحوه حل آنها را در این درس آخر به شما خواهیم گفت.

این معادلات چیست؟ بیایید آنها را به صورت کلی بنویسیم.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

که در آن "a" و "b" برخی از ثابت ها هستند. این معادله معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادله مثلثاتی همگن درجه یک

برای حل چنین معادله ای باید آن را بر '\cos x' تقسیم کنید. سپس فرم به خود می گیرد

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

پاسخ چنین معادله ای به راحتی با استفاده از مماس قوس نوشته می شود.

توجه داشته باشید که `\cos x ≠0`. برای تأیید این موضوع، به جای کسینوس، صفر را در معادله جایگزین می کنیم و متوجه می شویم که سینوس نیز باید برابر با صفر باشد. با این حال، آنها نمی توانند در همان زمان برابر با صفر باشند، به این معنی که کسینوس صفر نیست.

برخی از سوالات امتحان واقعی امسال شامل یک معادله مثلثاتی همگن بود. لینک را دنبال کنید. ما یک نسخه کمی ساده شده از مشکل را در نظر خواهیم گرفت.

مثال اول حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول

$$\sin x + \cos x = 0.$$

تقسیم بر '\cos x'.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

تکرار می کنم، کار مشابهی در آزمون یکپارچه دولتی بود :) البته، شما هنوز هم باید ریشه ها را انتخاب کنید، اما این نیز نباید مشکل خاصی ایجاد کند.

حال به سراغ نوع بعدی از معادله می رویم.

معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

به طور کلی به نظر می رسد این است:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

که در آن "a، b، c" برخی از ثابت ها هستند.

چنین معادلاتی با تقسیم بر '\cos^2 x' (که باز هم صفر نیست) حل می شود. بیایید فوراً به یک مثال نگاه کنیم.

مثال دوم حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$\sin^2 x - 2\sin x \، \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

بیایید «t = \tg x» را جایگزین کنیم.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3،\t_2 = -1.$$

تعویض معکوس

$$\tg x = 3، \text(یا ) \tg x = -1،$$

$$x = \arctan(3)+\pi k، \text(یا ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

پاسخ دریافت شده است.

مثال سوم. حل معادله مثلثاتی همگن درجه دوم

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

همه چیز خوب خواهد بود، اما این معادله همگن نیست - «-2» در سمت راست با ما تداخل دارد. چه باید کرد؟ بیایید از هویت مثلثاتی اولیه استفاده کنیم و با استفاده از آن «-2» بنویسیم.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ) $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0، $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

تقسیم بر '\cos^2 x'.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

جایگزینی `t= \tg x`.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3)،\ t_2 = -\sqrt(3).$$

با انجام تعویض معکوس، دریافت می کنیم:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(یا ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

این آخرین نمونه در این آموزش است.

طبق معمول، اجازه دهید یادآوری کنم: تمرین برای ما همه چیز است. مهم نیست که یک فرد چقدر باهوش باشد، مهارت ها بدون آموزش رشد نمی کنند. در طول امتحان، این مملو از اضطراب، اشتباهات و از دست دادن زمان است (این لیست را خودتان ادامه دهید). حتما درس بخون!

وظایف آموزشی

حل معادلات:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. این یک وظیفه از آزمون واقعی یکپارچه دولتی 2013 است.
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. فرمول درس هفت مفید خواهد بود.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

همین. و طبق معمول، در نهایت: سوالات خود را در نظرات بپرسید، لایک کنید، ویدیوها را تماشا کنید، یاد بگیرید که چگونه آزمون دولتی واحد را حل کنید.