"عظمت انسان در توانایی او در تفکر است."
بلز پاسکال

اهداف درس:

1) آموزشی- دانش‌آموزان را با معادلات همگن آشنا کنید، روش‌هایی را برای حل آنها در نظر بگیرید و رشد مهارت‌های حل معادلات مثلثاتی را که قبلاً مطالعه شده‌اند، ارتقا دهید.

2) رشدیتوسعه فعالیت خلاقانه دانش آموزان، فعالیت شناختی آنها، تفکر منطقی، حافظه، توانایی کار در یک موقعیت مشکل، دستیابی به توانایی بیان صحیح، مداوم، منطقی افکار خود، وسعت بخشیدن به افق دانش آموزان و افزایش سطح فرهنگ ریاضی آنها

3) آموزشی- پرورش میل به خودسازی، کار سخت، توسعه توانایی انجام صحیح و دقیق یادداشت های ریاضی، پرورش فعالیت، کمک به تحریک علاقه به ریاضیات.

نوع درس:ترکیب شده.

تجهیزات:

1. کارت پانچ برای شش دانش آموز.
2. کارت های مستقل و کار فردیدانش آموزان.
3. مخفف "حل معادلات مثلثاتی"، "دایره واحد عددی".
4. جداول مثلثاتی برق دار
5. ارائه برای درس (پیوست 1).

در طول کلاس ها

1. مرحله سازمانی (2 دقیقه)

سلام متقابل؛ بررسی آمادگی دانش آموزان برای درس ( محل کار, ظاهر) سازمان توجه

معلم موضوع درس، اهداف را به دانش آموزان می گوید (اسلاید 2)و توضیح می دهد که در طول درس از جزوه هایی که روی میز است استفاده می شود.

2. تکرار مطالب تئوری (15 دقیقه)

وظایف کارت پانچ(6 نفر) . زمان کار با استفاده از کارت های پانچ - 10 دقیقه (پیوست 2)

با حل مسائل، دانش آموزان می آموزند که در کجا از محاسبات مثلثاتی استفاده می شود. پاسخ‌های زیر به دست می‌آیند: مثلث‌سازی (تکنیکی که به فرد اجازه می‌دهد تا فاصله ستاره‌های نزدیک را در نجوم اندازه‌گیری کند)، آکوستیک، اولتراسوند، توموگرافی، ژئودزی، رمزنگاری.

(اسلاید 5)

بررسی از جلو.

1. به چه معادلاتی مثلثاتی می گویند؟
2. چه نوع معادلات مثلثاتی را می شناسید؟
3. ساده ترین معادلات مثلثاتی به چه معادلاتی گفته می شود؟
4. به چه معادلاتی مثلثاتی درجه دوم می گویند؟
5. تعریف آرکسین a را فرموله کنید.
6. تعریف کسینوس قوس a را فرموله کنید.
7. تعریف قاعده الف را فرموله کنید.
8. تعریف کوتانژانت قوس عدد a را فرموله کنید.

بازی "حدس بزن کلمه رمزگذاری شده"

بلز پاسکال زمانی گفت که ریاضیات آنقدر علمی جدی است که نباید فرصتی را از دست داد تا کمی سرگرم کننده تر شود. به همین دلیل بازی کردن را پیشنهاد می کنم. پس از حل مثال ها، دنباله اعداد مورد استفاده برای نوشتن کلمه رمزگذاری شده را تعیین کنید. در لاتین این کلمه به معنای "سینوس" است. (اسلاید 3)

2) قوس tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (قوس ctg √3)

جواب : خم شدن

بازی "ریاضیدان انتزاعی"»

وظایف کار شفاهی روی صفحه نمایش داده می شود:

بررسی کنید که معادلات به درستی حل شده باشند.(پاسخ صحیح پس از پاسخ دانش آموز در اسلاید ظاهر می شود). (اسلاید 4)

بررسی تکالیف

معلم صحت و آگاهی از تکمیل تکالیف را توسط همه دانش آموزان مشخص می کند. شکاف های دانش را شناسایی می کند. دانش، مهارت و توانایی دانش آموزان در زمینه حل معادلات مثلثاتی ساده را بهبود می بخشد.

1 معادله دانش آموز در مورد جواب معادله که خطوط آن به ترتیب نظر در اسلاید ظاهر می شود نظر می دهد). (اسلاید 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= آرکتان 1/√3 +πn, n ∈ز.

2х= π/6 +πn, n ∈ز.

x= π/12 + π/2 n n ∈ز.

2 معادله. راه حل ساعتبرای دانش آموزان روی تخته نوشته شده است.

2 گناه 2 x + 3 cosx = 0.

3. به روز رسانی دانش جدید (3 دقیقه)

دانش آموزان به درخواست معلم راه های حل معادلات مثلثاتی را به یاد می آورند. آنها معادلاتی را انتخاب می کنند که از قبل می دانند چگونه حل کنند، روش حل معادله و نتیجه حاصل را نام می برند. . پاسخ ها در اسلاید ظاهر می شوند. (اسلاید 7) .

معرفی یک متغیر جدید:

شماره 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

بگذارید sinx = t، سپس:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

فاکتورسازی:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 یا 3 sinx - 1 = 0; ...

شماره 3. 2 sinx – 3 cosx = 0،

شماره 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

معلم:شما هنوز نمی دانید که چگونه دو نوع معادله آخر را حل کنید. آنها هر دو یک گونه هستند. آنها را نمی توان به معادله ای برای توابع sinx یا cosx تقلیل داد. نامیده می شوند معادلات مثلثاتی همگناما فقط اولی - معادله همگناز درجه اول، و دوم معادله همگن درجه دوم است. امروز در درس با چنین معادلاتی آشنا می شویم و نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

4. توضیح مطالب جدید (25 دقیقه)

معلم تعاریفی از معادلات مثلثاتی همگن به دانش آموزان می دهد و روش هایی را برای حل آنها معرفی می کند.

تعریف.معادله ای به شکل a sinx + b cosx = 0 که a ≠ 0، b ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی همگن درجه اول.(اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 3 است. ما آن را می نویسیم فرم کلیمعادله و تجزیه و تحلیل آن

a sinx + b cosx = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

- آیا چنین وضعیتی ممکن است رخ دهد؟

- نه ما یک تناقض با هویت مثلثاتی اولیه به دست آورده ایم.

این به معنای cosx ≠ 0 است. بیایید تقسیم ترم به ترم را بر cosx انجام دهیم:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a- ساده ترین معادله مثلثاتی

نتیجه:همگن معادلات مثلثاتیدرجه اول با تقسیم دو طرف معادله بر cosx (sinx) حل می شود.

مثلا: 2 sinx – 3 cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

tgx = 3/2 ;

x = آرکتان (3/2) +πn، n ∈Z.

تعریف.معادله ای به شکل a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 که a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 نامیده می شود. معادله مثلثاتی درجه دوم (اسلاید 8)

نمونه ای از چنین معادله ای معادله شماره 4 است. اجازه دهید شکل کلی معادله را بنویسیم و آن را تحلیل کنیم.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

اگر cosx = 0، آنگاه sinx = 0.

باز هم با هویت مثلثاتی اصلی تناقض داشتیم.

این به معنای cosx ≠ 0 است. اجازه دهید تقسیم ترم به ترم را بر cos 2 x انجام دهیم:

و tg 2 x + b tgx + c = 0 معادله ای است که به درجه دوم کاهش می یابد.

نتیجه گیری: اوهمعادلات مثلثاتی همگن درجه دوم با تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x (sin 2 x) حل می شوند.

مثلا: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (از دانش آموز دعوت کنید تا به تخته برود و معادله را به طور مستقل کامل کند).

جایگزینی: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 یا y 2 = 1/3

tgx = 1 یا tgx = 1/3

x = آرکتان (1/3) + πn، n ∈Z.

x = arctan1 + πn، n ∈Z.

x = π/4 + πn، n ∈Z.

5. مرحله بررسی درک دانش آموزان از مطالب جدید (1 دقیقه).

فرد فرد را انتخاب کنید:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(اسلاید 9)

6. ادغام مواد جدید (24 دقیقه).

دانش آموزان به همراه پاسخ دهندگان معادلات را روی تخته حل می کنند مواد جدید. کارها در اسلاید به شکل جدول نوشته می شوند. هنگام حل یک معادله، قسمت مربوطه از تصویر در اسلاید باز می شود. در نتیجه تکمیل 4 معادله، تصویری از یک ریاضیدان به دانش آموزان ارائه می شود که تأثیر قابل توجهی در توسعه مثلثات داشته است. (دانش آموزان پرتره فرانسوا ویتا، ریاضیدان بزرگی را که سهم بزرگی در مثلثات داشت، خاصیت ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته را کشف کرد و در رمزنگاری نقش داشت، تشخیص خواهند داد) . (اسلاید 10)

1) √3sinx + cosx = 0،

زیرا پس cosx ≠ 0

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = آرکتان (–1/√3) + πn، n ∈Z.

x = –π/6 + πn، n∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠ 0، سپس tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

جایگزینی: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 یا y 2 = 3

tgx = 7 یا tgx = 3

x = arctan7 + πn، n ∈Z

x = arctan3 + πn، n ∈Z

3) sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

زیرا cos 2 2x ≠ 0، سپس 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

جایگزینی: tg2x = y.

3y 2 – 6y + 5 = 0

D = 36 - 20 = 16

y 1 = 5 یا y 2 = 1

tg2x = 5 یا tg2x = 1

2х = arctan5 + πn، n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n، n∈Z

2х = arctan1 + πn، n ∈Z

x = π/8 + π/2 n، n∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

زیرا cos 2 x ≠0، سپس 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

جایگزینی: tg x = y.

5у 2 + 4у - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 یا y 2 = -1

tg x = 1/5 یا tg x = -1

x = arctan1/5 + πn، n∈Z

x = آرکتان (–1) + πn، n∈Z

x = –π/4 + πn، n∈Z

علاوه بر این (روی کارت):

معادله را حل کنید و با انتخاب یک گزینه از چهار گزینه پیشنهادی، نام ریاضیدانی که فرمول های کاهش را به دست آورده است را حدس بزنید:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

پاسخ های ممکن:

x = arctan2 + 2πn، n ∈Z x = –π/2 + πn، n ∈Z – P. Chebyshev

x = آرکتان 12.5 + 2πn، n ∈Z x = -3π/4 + πn، n ∈Z - اقلیدس

x = آرکتان 5 + πn، n ∈Z x = –π/3 + πn، n ∈Z – سوفیا کووالفسکایا

x = arctan2.5 + πn، n ∈Z x = –π/4 + πn، n ∈Z – لئونارد اویلر

پاسخ صحیح: لئونارد اویلر.

7. کار مستقل متمایز (8 دقیقه)

ریاضیدان و فیلسوف بزرگ بیش از 2500 سال پیش راهی برای توسعه توانایی های تفکر پیشنهاد کرد. او گفت: «تفکر با شگفتی شروع می شود. امروز بارها دیدیم که این سخنان درست است. با تکمیل کار مستقل روی 2 گزینه، می توانید نشان دهید که چگونه بر مطالب تسلط دارید و نام این ریاضیدان را دریابید. برای کار مستقلاز جزوه هایی که روی میز شما هستند استفاده کنید. شما می توانید یکی از سه معادله پیشنهادی را خودتان انتخاب کنید. اما به یاد داشته باشید که با حل معادله مربوط به رنگ زرد، فقط می توانید "3" را با حل معادله مربوط به رنگ سبز - "4" ، رنگ قرمز - "5" بدست آورید. (پیوست 3)

دانش آموزان هر سطح از دشواری را انتخاب کنند، پس از آن تصمیم درستنسخه اول معادله کلمه "ARIST" را تولید می کند، نسخه دوم - "HOTEL". کلمه روی اسلاید این است: "ARIST-HOTEL". (اسلاید 11)

کاربرگ هایی با کار مستقل برای تأیید ارسال می شوند. (پیوست 4)

8. ضبط تکالیف (1 دقیقه)

D/Z: §7.17. 2 معادله همگن درجه اول و 1 معادله همگن درجه دوم را بنویسید و حل کنید (برای نوشتن از قضیه ویتا استفاده کنید). (اسلاید 12)

9. جمع بندی درس، نمره گذاری (2 دقیقه)

معلم یک بار دیگر توجه را به آن دسته از معادلات و آن واقعیت های نظری که در درس یادآور شد، جلب می کند و در مورد نیاز به یادگیری آنها صحبت می کند.

دانش آموزان به سوالات پاسخ می دهند:

1. با چه نوع معادلات مثلثاتی آشنا هستیم؟
2. این معادلات چگونه حل می شوند؟

معلم بیشتر از همه یادداشت می کند کار موفقدر درس تک تک دانش آموزان، نمره می دهد.

معادلات غیر خطی با دو مجهول

تعریف 1. بگذارید A باشد مجموعه ای از جفت اعداد (ایکس; y) . می گویند مجموعه A داده شده استتابع عددی zاز دو متغیر

x و y، اگر قاعده ای مشخص شده باشد که به کمک آن هر جفت اعداد از مجموعه A با عدد معینی مرتبط شود. تعیین یک تابع عددی z از دو متغیر x و y اغلب استمشخص کن

بنابراین: جایی که (ایکس , y) f

جایی که (ایکس , y) = - هر تابعی غیر از یک تابع ,

تبر + توسط + ج

که در آن a، b، c اعداد داده می شود. تعریف 3.حل معادله (2) ایکس; yبا یک جفت شماره تماس بگیرید (

) ، که برای آن فرمول (2) یک برابری واقعی است.

مثال 1. معادله را حل کنید

از آنجایی که مجذور هر عددی غیر منفی است، از فرمول (4) نتیجه می شود که مجهولات x و y سیستم معادلات را برآورده می کنند.

راه حل آن یک جفت اعداد است (6؛ 3).

پاسخ: (6؛ 3)

بنابراین جواب معادله (6) می باشد تعداد نامتناهی جفت اعدادنوع

(1 + y ; y) ,

جایی که y هر عددی است.

خطی

تعریف 4. حل یک سیستم معادلات

با یک جفت شماره تماس بگیرید ( ایکس; y) ، هنگام جایگزینی آنها در هر یک از معادلات این سیستم، برابری صحیح به دست می آید.

سیستم های دو معادله که یکی از آنها خطی است، شکل دارند

g(ایکس , y)

مثال 4. حل سیستم معادلات

راه حل . اجازه دهید مجهول y را از معادله اول سیستم (7) از طریق مجهول x بیان کنیم و عبارت حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین کنیم:

حل معادله

ایکس 1 = - 1 , ایکس 2 = 9 .

از این رو،

y 1 = 8 - ایکس 1 = 9 ,
y 2 = 8 - ایکس 2 = - 1 .

سیستم های دو معادله که یکی از آنها همگن است

سیستم های دو معادله که یکی از آنها همگن است، شکل دارند

که در آن a، b، c اعداد و g(ایکس , y) – تابع دو متغیر x و y.

مثال 6. حل سیستم معادلات

راه حل . بیایید معادله همگن را حل کنیم

3ایکس 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3ایکس 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

در نظر گرفتن آن به عنوان یک معادله درجه دوم با توجه به مجهول x:

.

در صورت ایکس = - 5y، از رابطه دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

5y 2 = - 20 ,

که ریشه ندارد

در صورت

از معادله دوم سیستم (11) معادله را بدست می آوریم

,

که ریشه آن اعداد است y 1 = 3 , y 2 = - 3 . با یافتن هر یک از این مقادیر y مقدار متناظر x، دو راه حل برای سیستم به دست می آوریم: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

پاسخ: (- 2 ؛ 3) ، (2 ؛ - 3)

نمونه هایی از حل سیستم های معادلات از انواع دیگر

مثال 8. حل یک سیستم معادلات (MIPT)

راه حل . اجازه دهید مجهول های جدید u و v را معرفی کنیم که با فرمول های x و y بیان می شوند:

برای بازنویسی سیستم (12) بر حسب مجهولات جدید، ابتدا مجهولات x و y را بر حسب u و v بیان می کنیم. از سیستم (13) چنین بر می آید که

اجازه دهید سیستم خطی (14) را با حذف متغیر x از معادله دوم این سیستم حل کنیم.

• برای این منظور، تبدیل های زیر را روی سیستم (14) انجام می دهیم:
• معادله اول سیستم را بدون تغییر می گذاریم.

از معادله دوم، معادله اول را کم کرده و معادله دوم سیستم را با اختلاف حاصل جایگزین می کنیم.

در نتیجه سیستم (14) به یک سیستم معادل تبدیل می شود

که از آن می یابیم

با استفاده از فرمول های (13) و (15)، سیستم اصلی (12) را به شکل بازنویسی می کنیم.

معادله اول سیستم (16) خطی است، بنابراین می توانیم مجهول u را از طریق مجهول v بیان کنیم و این عبارت را جایگزین معادله دوم سیستم کنیم.

1. امروز به بررسی معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم. ابتدا اجازه دهید به اصطلاح نگاه کنیم: معادله مثلثاتی همگن چیست. دارای ویژگی های زیر است:
2. باید شامل چندین اصطلاح باشد.
3. همه توابع موجود در یک هویت مثلثاتی همگن باید لزوماً آرگومان یکسانی داشته باشند.

الگوریتم حل

بیایید شرایط را انتخاب کنیم

و اگر همه چیز با نکته اول روشن است، پس ارزش آن را دارد که در مورد دوم با جزئیات بیشتری صحبت کنیم. داشتن یک درجه از اصطلاحات به چه معناست؟ بیایید به مشکل اول نگاه کنیم:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

اولین جمله در این معادله است 3cosx 3\cos x. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا فقط یک تابع مثلثاتی وجود دارد - cosx\cos x - و نه دیگران توابع مثلثاتیدر اینجا وجود ندارد، بنابراین درجه این عبارت 1 است. با دومی یکسان است - 5سینکس 5\sin x - در اینجا فقط سینوس وجود دارد، یعنی درجه این عبارت نیز برابر با یک است. بنابراین، ما یک هویت متشکل از دو عنصر داریم که هر کدام شامل یک تابع مثلثاتی و فقط یک عنصر است. این یک معادله درجه یک است.

بریم سراغ عبارت دوم:

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

اولین عضو این بنا است 4گناه2 ایکس 4((\sin )^(2))x.

اکنون می توانیم راه حل زیر را بنویسیم:

گناه2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

به عبارت دیگر، جمله اول شامل دو تابع مثلثاتی است، یعنی درجه آن دو است. بیایید به عنصر دوم بپردازیم - sin2x\ sin 2x. اجازه دهید این فرمول را به یاد بیاوریم - فرمول زاویه دوتایی:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

و دوباره، در فرمول حاصل، دو تابع مثلثاتی داریم - سینوس و کسینوس. بنابراین مقدار توان این عبارت ساختی نیز برابر با دو است.

بریم سراغ عنصر سوم - 3. از درس ریاضی دبیرستانبه یاد می آوریم که هر عددی را می توان در 1 ضرب کرد، بنابراین آن را یادداشت می کنیم:

˜ 3=3⋅1

و واحد را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی پایه به شکل زیر نوشت:

1=گناه2 x⋅ cos2 ایکس

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

بنابراین، می توانیم 3 را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3=3(گناه2 x⋅ cos2 ایکس)=3گناه2 x+3 cos2 ایکس

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

بنابراین عبارت 3 ما به دو عنصر تقسیم می شود که هر کدام همگن هستند و درجه دوم دارند. سینوس در جمله اول دو بار و کسینوس در جمله دوم نیز دو بار رخ می دهد. بنابراین، 3 را می توان به عنوان یک عبارت با توان دو نشان داد.

عبارت سوم هم همینطور:

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

بیایید نگاهی بیندازیم. ترم اول است گناه3 ایکس((\sin )^(3))x یک تابع مثلثاتی درجه سوم است. عنصر دوم - گناه2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

گناه2 ((\sin )^(2)) یک پیوند با مقدار توان دو ضرب در است cosx\cos x اولین عبارت است. در مجموع، عبارت سوم نیز دارای مقدار توان سه است. در نهایت، در سمت راست پیوند دیگری وجود دارد - 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x یک عنصر درجه سوم است. بنابراین، ما یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم داریم.

ما سه هویت در درجات مختلف داریم که نوشته شده است. دوباره به عبارت دوم توجه کنید. در سوابق اصلی، یکی از اعضا بحث دارد 2 برابر 2 برابر ما مجبور هستیم با تبدیل آن با استفاده از فرمول سینوس زاویه دوتایی از شر این آرگومان خلاص شویم، زیرا همه توابع موجود در هویت ما لزوماً باید آرگومان یکسانی داشته باشند. و این یک نیاز برای معادلات مثلثاتی همگن است.

از فرمول هویت مثلثاتی اصلی استفاده می کنیم و جواب نهایی را یادداشت می کنیم

ما شرایط را درک کرده ایم، بیایید به سراغ راه حل برویم. صرف نظر از توان توان، حل برابری های این نوع همیشه در دو مرحله انجام می شود:

1) ثابت کنید که

cosx≠0

\cos x\ne 0. برای این کار کافی است فرمول هویت مثلثاتی اصلی را به خاطر بیاورید. (گناه2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \راست) و به این فرمول جایگزین کنید cosx=0\cos x=0. عبارت زیر را دریافت خواهیم کرد:

گناه2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end (تراز کردن)

جایگزینی مقادیر به دست آمده، یعنی به جای cosx\cos x صفر است و در عوض سینکس\sin x — 1 یا -1، در عبارت اصلی، یک برابری عددی نادرست دریافت خواهیم کرد. این توجیهی است که

cosx≠0

2) مرحله دوم به طور منطقی از مرحله اول پیروی می کند. از آنجا که

cosx≠0

\cos x\ne 0، هر دو طرف ساختارمان را بر تقسیم می کنیم cosnایکس((\cos )^(n))x، که در آن n n توان خود معادله مثلثاتی همگن است. این چه چیزی به ما می دهد:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

سینکسcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end (تراز کردن) \\() \\ \پایان(آرایه)\]

به لطف این، ساخت اولیه دست و پا گیر ما به معادله کاهش می یابد n n درجه نسبت به مماس که جواب آن را می توان به راحتی با تغییر متغیر نوشت. این کل الگوریتم است. بیایید ببینیم در عمل چگونه کار می کند.

ما مشکلات واقعی را حل می کنیم

وظیفه شماره 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

قبلاً متوجه شده ایم که این یک معادله مثلثاتی همگن با توانی برابر با یک است. بنابراین، اول از همه، بیایید آن را دریابیم cosx≠0\cos x\ne 0. فرض کنید برعکس، که

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

مقدار به دست آمده را با عبارت خود جایگزین می کنیم، دریافت می کنیم:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end (تراز کردن)

بر این اساس می توان گفت که cosx≠0\cos x\ne 0. معادله خود را بر تقسیم کنید cosx\cos x زیرا کل عبارت ما دارای مقدار توان یک است. ما گرفتیم:

3(cosxcosx) +5(سینکسcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end (تراز کردن)

این یک مقدار جدول نیست، بنابراین پاسخ شامل خواهد شد arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

از آنجا که arctg arctg arctg یک تابع فرد است، ما می توانیم "منهای" را از آرگومان خارج کنیم و آن را در مقابل arctg قرار دهیم. جواب نهایی را می گیریم:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

وظیفه شماره 2

4گناه2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

همانطور که به یاد دارید، قبل از شروع حل آن، باید تغییراتی را انجام دهید. ما تحولات را انجام می دهیم:

4گناه2 x+2sinxcosx-3 (گناه2 x+ cos2 ایکس)=0 4گناه2 x+2sinxcosx-3 گناه2 x-3 cos2 x=0گناه2 x+2sinxcosx-3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2)x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\پایان (تراز کردن)

ما ساختاری متشکل از سه عنصر دریافت کردیم. در ترم اول می بینیم گناه2 ((\sin )^(2))، یعنی مقدار توان آن دو است. در ترم دوم می بینیم سینکس\sin x و cosx\cos x - دوباره دو تابع وجود دارد، آنها ضرب می شوند، بنابراین درجه کل دوباره دو است. در لینک سوم می بینیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x - مشابه مقدار اول.

این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 راه حلی برای این ساختار نیست. برای انجام این کار، بیایید برعکس را فرض کنیم:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\پایان(آرایه)\]

ما این را ثابت کرده ایم cosx=0\cos x=0 نمی تواند یک راه حل باشد. بیایید به مرحله دوم برویم - کل عبارت خود را بر آن تقسیم کنیم cos2 ایکس((\cos )^(2))x. چرا مربع؟ زیرا توان این معادله همگن برابر با دو است:

گناه2 ایکسcos2 ایکس+2sinxcosxcos2 ایکس−3=0 تی g2 x+2tgx-3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2)x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end (تراز کردن)

آیا می توان این عبارت را با استفاده از ممیز حل کرد؟ البته که می توانی. اما من پیشنهاد می کنم قضیه را به خاطر بسپاریم، برعکس قضیه Vieta، و دریافتیم که این چند جمله ای را به شکل دو چند جمله ای ساده نشان می دهیم، یعنی:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end (تراز کردن)

بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند که آیا ارزش نوشتن ضرایب جداگانه برای هر گروه از راه‌حل‌های هویت‌ها را دارد یا آزار نمی‌دهد و ضرایب مشابه را در همه جا نوشت؟ به شخصه معتقدم استفاده از حروف مختلف بهتر و قابل اعتمادتر است تا اگر وارد یک دانشگاه فنی جدی با تست های تکمیلی ریاضی شوید، ممتحنین در پاسخ ایراد نگیرند.

وظیفه شماره 3

گناه3 x+ گناه2 xcosx=2 cos3 ایکس

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

ما قبلاً می دانیم که این یک معادله مثلثاتی همگن درجه سوم است، هیچ فرمول خاصی مورد نیاز نیست و تنها چیزی که از ما لازم است این است که عبارت را جابجا کنیم. 2cos3 ایکس 2((\cos )^(3))x در سمت چپ. بیایید بازنویسی کنیم:

گناه3 x+ گناه2 xcosx-2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

می بینیم که هر عنصر شامل سه تابع مثلثاتی است، بنابراین این معادله دارای مقدار توان سه است. حلش کنیم اول از همه باید این را ثابت کنیم cosx=0\cos x=0 یک ریشه نیست:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(آرایه)\]

بیایید این اعداد را در ساختار اصلی خود جایگزین کنیم:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end (تراز کردن)

از این رو، cosx=0\cos x=0 راه حلی نیست. ما این را ثابت کرده ایم cosx≠0\cos x\ne 0. حالا که این را ثابت کردیم، اجازه دهید معادله اصلی خود را بر تقسیم کنیم cos3 ایکس((\cos )^(3))x. چرا در مکعب؟ زیرا ما به تازگی ثابت کردیم که معادله اصلی ما دارای توان سوم است:

گناه3 ایکسcos3 ایکس+گناه2 xcosxcos3 ایکس−2=0 تی g3 x+t g2 x-2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\پایان (تراز کردن)

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم:

tgx=t

بیایید ساختار را بازنویسی کنیم:

تی3 +تی2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

قبل از ما معادله مکعبی. چگونه آن را حل کنیم؟ در ابتدا، زمانی که این آموزش ویدیویی را جمع آوری می کردم، قصد داشتم ابتدا در مورد فاکتورگیری چند جمله ای ها و تکنیک های دیگر صحبت کنم. ولی در در این موردهمه چیز بسیار ساده تر است به هویت داده شده ما نگاهی بیندازید، با عبارت با بالاترین درجه ارزش 1. علاوه بر این، همه ضرایب اعداد صحیح هستند. این بدان معناست که می‌توانیم از نتیجه‌ای از قضیه بزوت استفاده کنیم، که بیان می‌کند همه ریشه‌ها مقسوم‌کننده‌های عدد -2 هستند، یعنی عبارت آزاد.

این سوال مطرح می شود: -2 بر چه چیزی تقسیم می شود؟ از آنجایی که 2 یک عدد اول است، گزینه های زیادی وجود ندارد. اینها می توانند اعداد زیر باشند: 1; 2 -1؛ -2. ریشه های منفی بلافاصله ناپدید می شوند. چرا؟ زیرا هر دوی آنها در مقدار مطلق بزرگتر از 0 هستند، بنابراین تی3 ((t)^(3)) از لحاظ مدول بزرگتر از تی2 ((t)^(2)). و از آنجایی که مکعب یک تابع فرد است، بنابراین عدد در مکعب منفی خواهد بود و تی2 ((t)^(2)) - مثبت، و این کل ساخت، با t=−1 t=-1 و t=-2 t=-2، بیشتر از 0 نخواهد بود. -2 را از آن کم کنید و عددی به دست آورید که مطمئناً کمتر از 0 است. فقط 1 و 2 را جایگزین هر یک از این اعداد می کنیم.

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

برابری عددی صحیح را بدست آورده ایم. از این رو، t=1 t=1 ریشه است.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 ریشه نیست.

طبق نتیجه و همان قضیه بزوت، هر چند جمله ای که ریشه آن باشد ایکس0 ((x)_(0))، آن را به شکل زیر نشان دهید:

Q(x)=(x= ایکس0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

در مورد ما، در نقش ایکس x به عنوان یک متغیر عمل می کند تیتی، و در نقش ایکس0 ((x)_(0)) ریشه ای برابر با 1 است.

تی3 +تی2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

چگونه یک چند جمله ای را پیدا کنیم پ (t) P\ چپ (t\ راست)؟ بدیهی است که باید موارد زیر را انجام دهید:

P(t)= تی3 +تی2 −2 t-1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

بیایید جایگزین کنیم:

تی3 +تی2 +0⋅t−2t-1=تی2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

بنابراین، چند جمله ای اصلی ما بدون باقیمانده تقسیم می شود. بنابراین، می توانیم برابری اصلی خود را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(t-1)( تی2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

زمانی که حداقل یکی از عوامل صفر باشد، حاصلضرب صفر است. ما قبلاً ضریب اول را در نظر گرفته ایم. بیایید به مورد دوم نگاه کنیم:

تی2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

شاگردان باتجربه احتمالا قبلاً متوجه این موضوع شده اند این طرحهیچ ریشه ای ندارد، اما بیایید همچنان تفکیک کننده را محاسبه کنیم.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

تفکیک کننده کمتر از 0 است، بنابراین عبارت ریشه ندارد. در مجموع، ساخت و ساز عظیم به برابری معمول کاهش یافت:

\[\شروع(آرایه)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(آرایه)\]

در پایان، من می خواهم چند نظر در مورد آخرین کار اضافه کنم:

1. آیا شرط همیشه برآورده می شود؟ cosx≠0\cos x\ne 0، و آیا اصلاً ارزش انجام این بررسی را دارد؟ البته نه همیشه. در مواردی که cosx=0\cos x=0 یک راه حل برای برابری ما است، باید آن را از پرانتز خارج کنیم، و سپس یک معادله همگن کامل در پرانتز باقی می ماند.
2. تقسیم چند جمله ای به چند جمله ای چیست؟ در واقع، اکثر مدارس این موضوع را مطالعه نمی‌کنند، و وقتی دانش‌آموزان برای اولین بار چنین طرحی را می‌بینند، یک شوک خفیف را تجربه می‌کنند. اما، در واقع، ساده است و خوش آمدید، که حل معادلات را بسیار تسهیل می کند درجات بالاتر. البته یک آموزش تصویری جداگانه هم به آن اختصاص داده خواهد شد که در آینده نزدیک منتشر خواهم کرد.

امتیاز کلیدی

معادلات مثلثاتی همگن یک موضوع مورد علاقه در همه انواع هستند تست ها. آنها را می توان خیلی ساده حل کرد - فقط یک بار تمرین کنید. برای اینکه مشخص شود در مورد چه چیزی صحبت می کنیم، اجازه دهید یک تعریف جدید ارائه کنیم.

معادله مثلثاتی همگن معادله ای است که در آن هر جمله غیر صفر از تعداد یکسانی از عوامل مثلثاتی تشکیل شده باشد. اینها می توانند سینوس، کسینوس یا ترکیبی از آنها باشند - روش حل همیشه یکسان است.

درجه یک معادله مثلثاتی همگن تعداد عوامل مثلثاتی است که در عبارت های غیر صفر گنجانده شده است.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - هویت درجه 1.

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text(sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - درجه 2;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - درجه 3;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - و این معادله همگن نیست، زیرا یک واحد در سمت راست وجود دارد - یک جمله غیر صفر که در آن هیچ عامل مثلثاتی وجود ندارد.

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 نیز یک معادله ناهمگن است. عنصر sin2x\sin 2x درجه دوم است (زیرا می توان آن را نشان داد

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x) 2sinx 2\sin x اولین است و عبارت 3 به طور کلی صفر است، زیرا هیچ سینوس یا کسینوس در آن وجود ندارد.

طرح راه حل کلی

طرح راه حل همیشه یکسان است:

بیایید وانمود کنیم که cosx=0\cos x=0. سپس sinx=±1\sin x=\pm 1 - این از هویت اصلی ناشی می شود. جایگزین کنیم سینکس\sin x و cosx\cos x به عبارت اصلی وارد شود، و اگر نتیجه مزخرف باشد (به عنوان مثال، عبارت 5=0 5=0)، به نقطه دوم بروید.

همه چیز را بر توان کسینوس تقسیم می کنیم: cosx، cos2x، cos3x... - بستگی به مقدار توان معادله دارد. برابری معمول را با مماس ها به دست می آوریم که پس از جایگزینی tgx=t می توان آن را با خیال راحت حل کرد.

tgx=tریشه های یافت شده پاسخی به عبارت اصلی خواهند بود.

در این مقاله به روشی برای حل معادلات مثلثاتی همگن می پردازیم.

معادلات مثلثاتی همگن ساختاری مشابه معادلات همگن از هر نوع دیگری دارند. اجازه دهید روش حل معادلات همگن درجه دو را به شما یادآوری کنم:

اجازه دهید معادلات همگن فرم را در نظر بگیریم

ویژگی های متمایز معادلات همگن:

الف) همه تک‌جملات دارای درجه یکسانی هستند،

ب) جمله آزاد صفر است،

ج) معادله دارای توانهایی با دو پایه متفاوت است.

معادلات همگن با استفاده از الگوریتم مشابه حل می شوند.

برای حل این نوع معادله، هر دو طرف معادله را بر (می توان بر یا بر تقسیم کرد) تقسیم می کنیم.

توجه! هنگام تقسیم سمت راست و چپ یک معادله بر یک عبارت حاوی مجهول، می توانید ریشه ها را از دست بدهید. بنابراین باید بررسی کرد که آیا ریشه های عبارتی که دو طرف معادله را با آن تقسیم می کنیم، ریشه معادله اصلی است یا خیر.

اگر اینطور است، این ریشه را یادداشت می کنیم تا بعداً آن را فراموش نکنیم و سپس عبارت را بر این تقسیم می کنیم.

به طور کلی، اولین کاری که باید هنگام حل معادله ای انجام داد که در سمت راست آن صفر باشد، تلاش برای بسط دادن است. سمت چپمعادلات فاکتورگیری هر کدام به روشی در دسترس. و سپس هر عامل را با صفر برابر کنید. در این صورت قطعاً ریشه ها را از دست نمی دهیم.

بنابراین، سمت چپ معادله را با دقت به عبارت ترم به ترم تقسیم کنید. ما گرفتیم:

بیایید صورت و مخرج کسرهای دوم و سوم را کاهش دهیم:

بیایید جایگزین را معرفی کنیم:

ما گرفتیم معادله درجه دوم:

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم، مقادیر را پیدا کنیم و سپس به مجهول اصلی برگردیم.

هنگام حل معادلات مثلثاتی همگن، چند نکته مهم وجود دارد که باید به خاطر بسپارید:

1. عبارت ساختگی را می توان با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی به مربع سینوس و کسینوس تبدیل کرد:

2. سینوس و کسینوس آرگومان مضاعف تک جمله های درجه دوم هستند - سینوس آرگومان دوگانه را می توان به راحتی به حاصل ضرب سینوس و کسینوس و کسینوس آرگومان دوگانه را به مربع سینوس یا کسینوس تبدیل کرد:

بیایید به چندین مثال از حل معادلات مثلثاتی همگن نگاه کنیم.

1 . بیایید معادله را حل کنیم:

این نمونه کلاسیکمعادله مثلثاتی همگن درجه اول: درجه هر تک جمله برابر یک، جمله آزاد برابر با صفر است.

قبل از تقسیم دو طرف معادله بر، باید بررسی کنید که ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند. بررسی می کنیم: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

بیایید هر دو طرف معادله را بر تقسیم کنیم.

ما گرفتیم:

، جایی که

، جایی که

پاسخ: ، جایی که

2. بیایید معادله را حل کنیم:

این نمونه ای از یک معادله مثلثاتی همگن درجه دوم است. به یاد داریم که اگر بتوانیم سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم، بهتر است این کار را انجام دهیم. در این معادله می توانیم قرار دهیم. بیایید آن را انجام دهیم:

حل معادله اول: کجا

معادله دوم یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول است. برای حل آن، دو طرف معادله را بر تقسیم کنید. ما گرفتیم:

پاسخ: کجا،

3. بیایید معادله را حل کنیم:

برای اینکه این معادله همگن شود، آن را به یک حاصلضرب تبدیل می کنیم و عدد 3 را به صورت مجموع مجذور سینوس و کسینوس ارائه می کنیم:

بیایید همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم، پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه دهیم. ما گرفتیم:

بیایید سمت چپ را فاکتور بگیریم و هر عامل را برابر با صفر قرار دهیم:

پاسخ: کجا،

4 . بیایید معادله را حل کنیم:

ما می بینیم که چه چیزی می توانیم از پرانتز بیرون بیاوریم. بیایید آن را انجام دهیم:

بیایید هر عامل را با صفر برابر کنیم:

حل معادله اول:

معادله جمعیت دوم یک معادله کلاسیک همگن درجه دوم است. ریشه های معادله ریشه های معادله اصلی نیستند، بنابراین هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم می کنیم:

حل معادله اول:

حل معادله دوم

موضوع درس: "معادلات مثلثاتی همگن"

(کلاس 10 م)

هدف: مفهوم معادلات مثلثاتی همگن درجه I و II را معرفی کنید. الگوریتمی برای حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II را فرموله و کار کنید. آموزش حل معادلات مثلثاتی همگن درجات I و II به دانش آموزان. توسعه توانایی شناسایی الگوها و تعمیم. برانگیختن علاقه به موضوع، ایجاد حس همبستگی و رقابت سالم.

نوع درس: درس شکل گیری دانش جدید

فرم: کار گروهی.

تجهیزات: کامپیوتر، نصب چند رسانه ای

در طول کلاس ها

زمان سازماندهی

درود دانش آموزان، بسیج توجه.

در درس، یک سیستم رتبه بندی برای ارزیابی دانش (معلم سیستم ارزیابی دانش را توضیح می دهد، با پر کردن برگه ارزیابی توسط یک کارشناس مستقل که توسط معلم از بین دانش آموزان انتخاب می شود). درس با ارائه همراه است. .

به روز رسانی دانش پایه

تکالیف قبل از کلاس توسط کارشناس و مشاور مستقل بررسی و درجه بندی می شود و برگه نمره تکمیل می شود.

معلم تکالیف را خلاصه می کند.

معلم: ما به مطالعه مبحث "معادلات مثلثاتی" ادامه می دهیم. امروز در درس شما را با نوع دیگری از معادلات مثلثاتی و روش های حل آنها آشنا می کنیم و بنابراین آنچه را که یاد گرفته ایم تکرار می کنیم. هنگام حل انواع معادلات مثلثاتی، آنها را به حل ساده ترین معادلات مثلثاتی تقلیل می دهند.

تکالیف انفرادی انجام شده در گروه بررسی می شود. دفاع از ارائه "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

(کار گروه توسط یک کارشناس مستقل ارزیابی می شود)

انگیزه یادگیری.

معلم: برای حل جدول کلمات متقاطع کار داریم. پس از حل آن، نام نوع جدیدی از معادلات را خواهیم فهمید که امروز در کلاس حل آن را یاد خواهیم گرفت.

سوالات بر روی تابلو پیش بینی می شود. دانش آموزان حدس می زنند و یک کارشناس مستقل نمرات دانش آموزانی را که پاسخ می دهند در برگه نمره وارد می کند.

پس از حل جدول کلمات متقاطع، کودکان کلمه "همگن" را می خوانند.

جذب دانش جدید.

معلم: موضوع درس «معادلات مثلثاتی همگن» است.

بیایید موضوع درس را در یک دفتر یادداشت کنیم. معادلات مثلثاتی همگن درجه یک و دو هستند.

اجازه دهید تعریف یک معادله همگن درجه اول را بنویسیم. من یک مثال از حل این نوع معادله را نشان می دهم.

معادله فرم آ sinx + ب cosx = 0 معادله مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

اجازه دهید راه حل معادله را با ضرایب در نظر بگیریم آو Vبا 0 تفاوت دارند.

مثال: sinx + cosx = 0

آر با تقسیم هر دو طرف معادله بر cosx، به دست می آوریم

توجه! فقط در صورتی می توانید بر 0 تقسیم کنید که این عبارت در هیچ کجا به 0 تبدیل نشود. اگر کسینوس برابر با 0 باشد، سینوس نیز برابر با 0 خواهد بود، با توجه به اینکه ضرایب با 0 متفاوت است، اما می دانیم که سینوس و کسینوس در نقاط مختلف به صفر می رسند. بنابراین، این عمل را می توان در هنگام حل این نوع معادله انجام داد.

الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول: تقسیم دو طرف معادله بر cosx، cosx 0

معادله فرم آ sin mx +ب cos mx = 0معادله مثلثاتی همگن درجه اول نیز نامیده می شود و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر کسینوس mx را حل کنید.

معادله فرم آ گناه 2 x+ب sinx cosx +ج cos2x = 0معادله مثلثاتی همگن درجه دوم نامیده می شود.

مثال : گناه 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

ضریب a با 0 متفاوت است و بنابراین مانند رابطه قبلی cosx برابر با 0 نیست و بنابراین می توانید از روش تقسیم دو طرف معادله بر cos 2 x استفاده کنید.

ما tg 2 x + 2tgx - 3 = 0 را دریافت می کنیم

ما با معرفی یک متغیر جدید اجازه دهید tgx = a را حل می کنیم، سپس معادله را بدست می آوریم

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = -3

بازگشت به جایگزینی

پاسخ:

اگر ضریب a = 0 باشد، آنگاه معادله به شکل 2sinx cosx – 3cos2x = 0 است، آن را با خارج کردن ضریب مشترک cosx از پرانتز حل می کنیم. اگر ضریب c = 0، معادله به شکل sin2x +2sinx cosx = 0 باشد، آن را با خارج کردن عامل مشترک sinx از پرانتز حل می کنیم. الگوریتم حل معادله مثلثاتی همگن درجه اول:

ببینید آیا معادله دارای عبارت asin2 x است یا خیر.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود باشد (یعنی a 0)، معادله با تقسیم دو طرف معادله بر cos2x و سپس معرفی یک متغیر جدید حل می‌شود.

اگر عبارت asin2 x در معادله موجود نباشد (یعنی a = 0)، معادله با فاکتورگیری حل می شود: cosx از براکت ها خارج می شود. معادلات همگن a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 به همین ترتیب حل می‌شوند.

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی همگن در کتاب درسی صفحه 102 نوشته شده است.

دقیقه تربیت بدنی

شکل گیری مهارت برای حل معادلات مثلثاتی همگن

باز کردن کتاب های مشکل صفحه 53

تصمیم گروه 1 و 2 شماره 361-v

گروه 3 و 4 به شماره 363-v تصمیم می گیرند

راه حل را روی تخته نشان دهید، توضیح دهید، تکمیل کنید. یک کارشناس مستقل ارزیابی می کند.

حل مثال از کتاب مسئله شماره 361-v
sinx - 3cosx = 0
هر دو طرف معادله را بر cosx 0 تقسیم می کنیم، به دست می آوریم

شماره 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
دو طرف معادله را بر cos2x تقسیم می کنیم، tg2x + tanx - 2 = 0 به دست می آید.

با معرفی یک متغیر جدید حل کنید
اجازه دهید tgx = a، سپس معادله را بدست می آوریم
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
بازگشت به جایگزینی

کار مستقل.

معادلات را حل کنید.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

در پایان کار مستقل، آنها شغل خود را تغییر می دهند و متقابل بررسی می کنند. پاسخ های صحیح روی تخته نمایش داده می شود.

سپس آن را اجاره می دهند کارشناس مستقل.

راه حل سلف سرویس

جمع بندی درس.

چه نوع معادلات مثلثاتی را در کلاس یاد گرفتیم؟

الگوریتم حل معادلات مثلثاتی درجه یک و دو.

مشق شب: § 20.3 خوانده شده شماره 361 (g)، 363 (b)، دشواری اضافی شماره 380 (a).

جدول کلمات متقاطع.

اگر کلمات را درست وارد کنید، نام یکی از انواع معادلات مثلثاتی به دست می آید.

مقدار متغیری که معادله را درست می کند؟ (ریشه)

واحد اندازه گیری زاویه؟ (رادیان)

فاکتور عددی در یک محصول؟ (ضریب)

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه توابع مثلثاتی می پردازد؟ (مثلثات)

برای معرفی توابع مثلثاتی به چه مدل ریاضی نیاز است؟ (دایره)

کدام تابع مثلثاتی زوج است؟ (کسینوس)

برابری واقعی چیست؟ (هویت)

برابری با یک متغیر؟ (معادله)

معادلاتی که ریشه های یکسانی دارند؟ (معادل)

مجموعه ریشه های یک معادله ? (راه حل)

مقاله ارزشیابی

№
n\n

نام خانوادگی، نام معلم

مشق شب

ارائه

فعالیت شناختی
در حال مطالعه

حل معادلات

مستقل
کار

تکالیف - 12 امتیاز (3 معادله 4 x 3 = 12 برای تکالیف اختصاص داده شد)

ارائه - 1 امتیاز

فعالیت دانش آموز – 1 پاسخ – 1 امتیاز (حداکثر 4 امتیاز)

حل معادلات 1 امتیاز

کار مستقل - 4 امتیاز

امتیاز گروه:

"5" - 22 امتیاز یا بیشتر
"4" - 18 - 21 امتیاز
"3" - 12 - 17 امتیاز