معادله مماس بر نمودار یک تابع

پی. رومانوف، تی. رومانوا،
مگنیتوگورسک،
منطقه چلیابینسک

معادله مماس بر نمودار یک تابع

این مقاله با حمایت مجموعه هتل ایتاکا+ منتشر شده است. هنگام اقامت در شهر کشتی سازان Severodvinsk، با مشکل یافتن مسکن موقت مواجه نخواهید شد. ، برخط مجموعه هتل“ITHAKA+” http://itakaplus.ru می توانید به راحتی و به سرعت یک آپارتمان در شهر را برای هر مدت زمانی با پرداخت روزانه اجاره کنید.

بر مرحله مدرنتوسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن، شکل گیری شخصیت خلاقانه است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول اولیه فعالیت های پژوهشی شرکت داشته باشند. زیربنای دانش آموزان برای استفاده از قدرت ها، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه، دانش و مهارت های تمام عیار شکل می گیرد. در این راستا مشکل تشکیل نظام دانش و مهارت های پایه برای هر مبحث درس ریاضی مدرسه اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید هدف آموزشی نه وظایف فردی، بلکه یک سیستم به دقت فکر شده از آنها باشد. در بسیار به معنای وسیعیک سیستم به عنوان مجموعه ای از عناصر متقابل به هم پیوسته با یکپارچگی و ساختاری پایدار درک می شود.

بیایید تکنیکی را برای آموزش نحوه نوشتن معادله برای مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیریم. اساساً، همه مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از یک مجموعه (بسته، خانواده) خطوط برمی‌گردد که یک نیاز خاص را برآورده می‌کنند - آنها مماس بر نمودار یک تابع خاص هستند. در این حالت، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (پرتو موازی خطوط مستقیم).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع مشکل را شناسایی کردیم:

1) مسائل مربوط به مماس با نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مسائل مربوط به مماس داده شده توسط شیب آن.

آموزش حل مسائل مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ. تفاوت اساسی آن با موارد شناخته شده در این است که ابسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود و بنابراین معادله مماس شکل می گیرد.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(مقایسه با y = f(x 0) + f "(x 0) (x – x 0)) این روش روش شناختی، به نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی درک کنند که مختصات نقطه فعلی در کجا نوشته شده است. معادله مماس کلی و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم ایجاد معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. آبسیسا نقطه مماس را با حرف a مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد a، f(a)، f "(a) را جایگزین کنید معادله کلیمماس y = f(a) = f "(a)(x – a).

این الگوریتم را می توان بر اساس شناسایی مستقل عملیات توسط دانش آموزان و توالی اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از مسائل کلیدی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت های نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل توسعه دهید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع برای اقدامات عمل می کنند. . این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار ندارد (مسئله 2).

وظیفه 1. یک معادله برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه M(3; – 2).

راه حل. نقطه M(3; – 2) یک نقطه مماس است، زیرا

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4، f "(3) = 5.
y = – 2 + 5 (x – 3)، y = 5x – 17 – معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها بر نمودار تابع y = – x 2 – 4x + 2 را که از نقطه M(– 3; 6) می گذرد بنویسید.

راه حل. نقطه M(- 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(-3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4، f “(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4، a 2 = – 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a = – 2 باشد، معادله مماس به شکل y = 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس با یک خط موازی است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه معین از خط داده شده عبور می کند (مسئله 4).

مسئله 3. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 3x 2 + 3 موازی با خط y = 9x + 1 بنویسید.

راه حل.

1. الف – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x، f "(a) = 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) = 9 (شرط موازی). این بدان معنی است که ما باید معادله 3a 2 – 6a = 9 را حل کنیم. ریشه های آن a = – 1، a = 3 هستند (شکل 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - معادله مماس.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 – 3x + 1 را با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 بنویسید (شکل 4).

راه حل. از شرط f "(a) = قهوهای مایل به زرد 45 درجه، a را پیدا می کنیم: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – آبسیسا نقطه مماس.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مشکل کلیدی ختم می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 – 5x – 2 را بنویسید، اگر مماس ها در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند و یکی از آنها با آبسیسا 3 با سهمی در نقطه برخورد کند (شکل 5).

راه حل. از آنجایی که ابسیسا نقطه مماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس یکی از اضلاع زاویه راست.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5، f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7 (x – 3)، y = 7x – 20 – معادله مماس اول.

اجازه دهید a – زاویه میل مماس اول. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 مماس اول tg داریم a = 7. بیایید پیدا کنیم

یعنی شیب مماس دوم برابر است با .

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 می رسد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد

1. – آبسیسه نقطه مماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم

توجه داشته باشید. اگر دانش‌آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = – 1 را بدانند، ضریب زاویه‌ای مماس را راحت‌تر می‌توان یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودار توابع را بنویسید

راه حل. کار به یافتن آبسیسا نقاط مماس مماس های مشترک می رسد، یعنی حل مسئله کلیدی 1 به شکل کلی، ترسیم یک سیستم معادلات و سپس حل آن (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع y = x 2 + x + 1 باشد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها کلی هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = – 3x – 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای تشخیص مستقل نوع مسئله کلیدی در هنگام حل بیشتر آماده کند وظایف پیچیده، نیاز به مهارت های تحقیقاتی خاصی دارد (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه یک فرضیه و غیره). چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y = x و y = – 2x مماس بر نمودار تابع y = x 2 + bx + c هستند؟

راه حل.

فرض کنید t ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = – 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به صورت y = (2t + b)x + c – t 2 و معادله مماس y = – 2x به شکل y = (2p + b)x + c – p 2 خواهد بود. .

بیایید یک سیستم معادلات بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1. معادلات مماس های رسم شده بر نمودار تابع y = 2x 2 – 4x + 3 را در نقاط تقاطع نمودار با خط y = x + 3 بنویسید.

پاسخ: y = – 4x + 3، y = 6x – 9.5.

2. مماس ترسیم شده به نمودار تابع y = x 2 – ax در نقطه نمودار با آبسیسا x 0 = 1 برای چه مقادیری از نقطه M(2; 3) عبور می کند؟

پاسخ: a = 0.5.

3. خط مستقیم y = px – 5 برای چه مقادیری منحنی y = 3x 2 – 4x – 2 را لمس می کند؟

پاسخ: p 1 = – 10، p 2 = 2.

4. تمام نقاط مشترک نمودار تابع y = 3x – x 3 و مماس ترسیم شده به این نمودار را از طریق نقطه P(0; 16) بیابید.

پاسخ: الف (2؛ – 2)، ب(– 4؛ 52).

5. کوتاه ترین فاصله بین سهمی y = x 2 + 6x + 10 و خط مستقیم را بیابید.

پاسخ:

6. در منحنی y = x 2 – x + 1، نقطه ای را پیدا کنید که مماس نمودار با خط مستقیم y – 3x + 1 = 0 موازی است.

پاسخ: م(2؛ 3).

7. معادله مماس بر نمودار تابع y = x 2 + 2x – را بنویسید | 4x |، که آن را در دو نقطه لمس می کند. یک نقاشی بکشید.

پاسخ: y = 2x – 4.

8. ثابت کنید که خط y = 2x – 1 منحنی y = x 4 + 3x 2 + 2x را قطع نمی کند. فاصله بین نزدیکترین نقاط آنها را پیدا کنید.

پاسخ:

9. در سهمی y = x 2، دو نقطه با ابسیسا x 1 = 1، x 2 = 3 گرفته می شود. یک سکانس از این نقاط کشیده می شود. مماس بر آن در چه نقطه ای از سهمی موازی با مقطع خواهد بود؟ معادلات مقطع و مماس را بنویسید.

پاسخ: y = 4x – 3 – معادله سکانس; y = 4x – 4 – معادله مماس.

10. زاویه q را پیدا کنید بین مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 که در نقاط با ابسیساهای 0 و 1 رسم شده است.

پاسخ: q = 45 درجه.

11. مماس بر نمودار تابع در چه نقاطی با محور Ox زاویه 135 درجه تشکیل می دهد؟

پاسخ: الف(0؛ – 1)، ب(4؛ 3).

12. در نقطه A(1؛ 8) به منحنی یک مماس رسم شده است. طول پاره مماس بین محورهای مختصات را بیابید.

پاسخ:

13. معادله تمام مماس های مشترک بر نمودارهای توابع y = x 2 – x + 1 و y = 2x 2 – x + 0.5 بنویسید.

پاسخ: y = – 3x و y = x.

14. فاصله مماس ها با نمودار تابع موازی با محور x را بیابید.

پاسخ:

15. مشخص کنید که سهمی y = x 2 + 2x – 8 محور x را در چه زوایایی قطع می کند.

پاسخ: q 1 = آرکتان 6، q 2 = آرکتان (– 6).

16. نمودار تابع تمام نقاطی را بیابید که مماس هر یک از آنها بر این نمودار، نیم محورهای مثبت مختصات را قطع می کند و بخش های مساوی را از آنها جدا می کند.

جواب: الف (– 3؛ 11).

17. خط y = 2x + 7 و سهمی y = x 2 – 1 در نقاط M و N قطع می شوند. نقطه تقاطع خطوط مماس بر سهمی را در نقاط M و N پیدا کنید.

پاسخ: K(1; – 9).

18. خط y = 9x + b برای چه مقادیری بر نمودار تابع y = x 3 – 3x + 15 مماس است؟

پاسخ 1؛ 31.

19. خط راست y = kx – 10 برای کدام مقادیر k فقط یک نقطه مشترک با نمودار تابع y = 2x 2 + 3x – 2 دارد؟ برای مقادیر یافت شده k، مختصات نقطه را تعیین کنید.

پاسخ: k 1 = – 5، A(– 2; 0); k 2 = 11، B(2; 12).

20. مماس رسم شده به نمودار تابع y = bx 3 – 2x 2 – 4 برای چه مقادیری از b از نقطه M(1; 8) می گذرد؟

پاسخ: b = – 3.

21. سهمی با راس در محور Ox خطی را که از نقاط A(1; 2) و B(2; 4) در نقطه B می گذرد لمس می کند. معادله سهمی را بیابید.

پاسخ:

22. سهمی y = x 2 + kx + 1 در چه مقداری از ضریب k با محور Ox برخورد می کند؟

پاسخ: k = d 2.

23. زوایای بین خط مستقیم y = x + 2 و منحنی y = 2x 2 + 4x – 3 را بیابید.

29. فاصله مماس ها به نمودار تابع و مولدها را با جهت مثبت محور Ox در زاویه 45 درجه بیابید.

پاسخ:

30. مکان رئوس تمام سهمی های شکل y = x 2 + ax + b مماس بر خط y = 4x – 1 را بیابید.

پاسخ: خط مستقیم y = 4x + 3.

ادبیات

1. Zvavich L.I.، Shlyapochnik L.Ya.، Chinkina M.V. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: 3600 مشکل برای دانش آموزان مدرسه و کسانی که وارد دانشگاه می شوند. - م.، باستارد، 1999.
2. Mordkovich A. سمینار چهار برای معلمان جوان. موضوع: کاربردهای مشتق. – م.، «ریاضی»، شماره 21/94.
3. شکل گیری دانش و مهارت بر اساس نظریه جذب تدریجی اعمال ذهنی. / اد. P.Ya. گالپرینا، N.F. تالیزینا. - M.، دانشگاه دولتی مسکو، 1968.

در مرحله کنونی توسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن شکل گیری شخصیت خلاق متفکر است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول اولیه فعالیت های پژوهشی شرکت داشته باشند. زیربنای دانش آموزان برای استفاده از قدرت ها، توانایی ها و استعدادهای خلاقانه، دانش و مهارت های تمام عیار شکل می گیرد. در این راستا مشکل تشکیل یک نظام دانش و مهارت های پایه برای هر موضوع است دوره مدرسهریاضیات اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید هدف آموزشی نه وظایف فردی، بلکه یک سیستم به دقت فکر شده از آنها باشد. در گسترده‌ترین مفهوم، یک سیستم به عنوان مجموعه‌ای از عناصر متقابل به هم پیوسته که یکپارچگی و ساختاری پایدار دارند، درک می‌شود.

بیایید تکنیکی را برای آموزش نحوه نوشتن معادله برای مماس بر نمودار یک تابع در نظر بگیریم. اساساً، همه مشکلات یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از یک مجموعه (بسته، خانواده) خطوط برمی‌گردد که یک نیاز خاص را برآورده می‌کنند - آنها مماس بر نمودار یک تابع خاص هستند. در این حالت، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (پرتو موازی خطوط مستقیم).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع مشکل را شناسایی کردیم:

1) مسائل مربوط به مماس با نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) مسائل مربوط به مماس داده شده توسط شیب آن.

آموزش حل مسائل مماس با استفاده از الگوریتم پیشنهادی A.G انجام شد. موردکوویچ. تفاوت اساسی آن با موارد شناخته شده در این است که ابسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود و بنابراین معادله مماس شکل می گیرد.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(مقایسه با y = f(x 0) + f "(x 0) (x – x 0)) این روش روش شناختی، به نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی درک کنند که مختصات نقطه فعلی در کجا نوشته شده است. معادله مماس کلی و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم ایجاد معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. آبسیسا نقطه مماس را با حرف a مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد یافت شده a، f(a)، f "(a) را در معادله مماس کلی y = f(a) = f "(a)(x – a) جایگزین کنید.

این الگوریتم را می توان بر اساس شناسایی مستقل عملیات توسط دانش آموزان و توالی اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین نشان داده است که حل متوالی هر یک از مسائل کلیدی با استفاده از یک الگوریتم به شما امکان می دهد مهارت های نوشتن معادله مماس بر نمودار یک تابع را در مراحل توسعه دهید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط مرجع برای اقدامات عمل می کنند. . این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار ندارد (مسئله 2).

وظیفه 1. یک معادله برای مماس بر نمودار تابع بنویسید در نقطه M(3; – 2).

راه حل. نقطه M(3; – 2) یک نقطه مماس است، زیرا

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4، f "(3) = 5.
y = – 2 + 5 (x – 3)، y = 5x – 17 – معادله مماس.

مسئله 2. معادلات تمام مماس ها بر نمودار تابع y = – x 2 – 4x + 2 را که از نقطه M(– 3; 6) می گذرد بنویسید.

راه حل. نقطه M(- 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(-3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4، f “(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4، a 2 = – 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a = – 2 باشد، معادله مماس به شکل y = 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس با یک خط موازی است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه معین از خط داده شده عبور می کند (مسئله 4).

مسئله 3. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = x 3 – 3x 2 + 3 موازی با خط y = 9x + 1 بنویسید.

1. الف – آبسیسه نقطه مماس.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x، f "(a) = 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) = 9 (شرط موازی). این بدان معنی است که ما باید معادله 3a 2 – 6a = 9 را حل کنیم. ریشه های آن a = – 1، a = 3 هستند (شکل 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - معادله مماس.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – معادله مماس.

مسئله 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 – 3x + 1 را با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 بنویسید (شکل 4).

راه حل. از شرط f "(a) = قهوهای مایل به زرد 45 درجه، a را پیدا می کنیم: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – آبسیسا نقطه مماس.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مشکل کلیدی ختم می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 – 5x – 2 را بنویسید، اگر مماس ها در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند و یکی از آنها با آبسیسا 3 با سهمی در نقطه برخورد کند (شکل 5).

راه حل. از آنجایی که ابسیسا نقطه مماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 – آبسیسه نقطه مماس یکی از اضلاع زاویه قائمه.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5، f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7 (x – 3)، y = 7x – 20 – معادله مماس اول.

اجازه دهید a زاویه میل اولین مماس باشد. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 از اولین مماس، tg a = 7 داریم. اجازه دهید پیدا کنیم

یعنی شیب مماس دوم برابر است با .

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 می رسد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد

1. – آبسیسه نقطه مماس دوم.
2.
3.
4.
- معادله مماس دوم

توجه داشته باشید. اگر دانش‌آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = – 1 را بدانند، ضریب زاویه‌ای مماس را راحت‌تر می‌توان یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودار توابع را بنویسید

راه حل. کار به یافتن آبسیسا نقاط مماس مماس های مشترک می رسد، یعنی حل مسئله کلیدی 1 به شکل کلی، ترسیم یک سیستم معادلات و سپس حل آن (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع y = x 2 + x + 1 باشد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها کلی هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = – 3x – 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای تشخیص مستقل نوع مسئله کلیدی در هنگام حل مسائل پیچیده تری که نیاز به مهارت های تحقیقاتی خاصی دارند (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه یک فرضیه و غیره) تشخیص دهند. چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y = x و y = – 2x مماس بر نمودار تابع y = x 2 + bx + c هستند؟

فرض کنید t ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه مماس خط مستقیم y = – 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به صورت y = (2t + b)x + c – t 2 و معادله مماس y = – 2x به شکل y = (2p + b)x + c – p 2 خواهد بود. .

بیایید یک سیستم معادلات بسازیم و حل کنیم

پاسخ:

این مقاله توضیح مفصلی از تعاریف، معنای هندسی مشتق با نمادهای گرافیکی. معادله یک خط مماس با مثال‌هایی در نظر گرفته می‌شود، معادلات یک منحنی مماس به مرتبه 2 پیدا می‌شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1 تعریف 1

زاویه تمایل خط مستقیم y = k x + b را زاویه α می گویند که از جهت مثبت محور x به خط مستقیم y = k x + b در جهت مثبت اندازه گیری می شود.

در شکل، جهت x با یک فلش سبز و یک کمان سبز و زاویه تمایل با یک قوس قرمز نشان داده شده است. خط آبی به خط مستقیم اشاره دارد.

تعریف 2

شیب خط مستقیم y = k x + b را ضریب عددی k می نامند.

ضریب زاویه ای برابر است با مماس خط مستقیم، به عبارت دیگر k = t g α.

• زاویه میل یک خط مستقیم فقط در صورتی برابر 0 است که حدود x موازی و شیب آن برابر با صفر باشد، زیرا مماس صفر برابر با 0 است. به این معنی که شکل معادله y = b خواهد بود.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b تند باشد، شرایط 0 برقرار است.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается عدد مثبت، زیرا مقدار مماس شرط t g α > 0 را برآورده می کند و در نمودار افزایش می یابد.
• اگر α = π 2، آنگاه محل خط عمود بر x است. تساوی با x = c مشخص می شود و مقدار c یک عدد واقعی است.
• اگر زاویه میل خط مستقیم y = k x + b مبهم باشد، آنگاه با شرایط π 2 مطابقت دارد.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

سکانت خطی است که از 2 نقطه تابع f (x) می گذرد. به عبارت دیگر، سکنت یک خط مستقیم است که از هر دو نقطه در نمودار یک تابع معین می گذرد.

شکل نشان می دهد که A B یک سکونت است، و f (x) یک منحنی سیاه است، α یک قوس قرمز است، که زاویه تمایل سکانس را نشان می دهد.

هنگامی که ضریب زاویه ای یک خط مستقیم برابر با مماس زاویه میل باشد، واضح است که مماس یک مثلث قائم الزاویه A B C را می توان با نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور پیدا کرد.

تعریف 4

ما یک فرمول برای یافتن سکانس فرم دریافت می کنیم:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، که در آن ابسیساهای نقاط A و B مقادیر x A، x B، و f (x A)، f (x هستند. ب) توابع مقادیر در این نقاط هستند.

بدیهی است که ضریب زاویه ای سکانت با استفاده از برابری k = f (x B) - f (x A) x B - x A یا k = f (x A) - f (x B) x A - x B تعیین می شود. ، و معادله باید به صورت y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) یا
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

سکنت نمودار را از نظر بصری به 3 قسمت تقسیم می کند: سمت چپ نقطه A، از A به B، به سمت راست B. شکل زیر نشان می دهد که سه سکانس وجود دارد که منطبق هستند، یعنی با استفاده از یک تنظیم شده اند. معادله مشابه

با تعریف، مشخص است که یک خط مستقیم و برش آن در در این موردمطابقت دادن

یک سکانت می تواند نمودار یک تابع معین را چندین بار قطع کند. اگر معادله ای به شکل y = 0 برای یک سکانت وجود داشته باشد، تعداد نقاط تقاطع با سینوسی بی نهایت است.

تعریف 5

مماس بر نمودار تابع f (x) در نقطه x 0 ; f (x 0) خط مستقیمی است که از نقطه معین x 0 می گذرد. f (x 0)، با حضور قطعه ای که مقادیر x زیادی نزدیک به x 0 دارد.

مثال 1

بیایید نگاه دقیق تری به مثال زیر بیندازیم. سپس مشخص می شود که خطی که با تابع y = x + 1 تعریف می شود، مماس بر y = 2 x در نقطه با مختصات (1؛ 2) در نظر گرفته می شود. برای وضوح، لازم است نمودارهایی با مقادیر نزدیک به (1؛ 2) در نظر گرفته شود. تابع y = 2 x به رنگ سیاه نشان داده شده است، خط آبی خط مماس و نقطه قرمز نقطه تقاطع است.

بدیهی است که y = 2 x با خط y = x + 1 ادغام می شود.

برای تعیین مماس، ما باید رفتار مماس A B را در نظر بگیریم، زیرا نقطه B به طور بی نهایت به نقطه A نزدیک می شود.

مقطع A B که با خط آبی نشان داده می شود، به سمت موقعیت مماس خود میل می کند و زاویه میل سکنت α شروع به گرایش به زاویه میل خود مماس α x می کند.

تعریف 6

مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه A به عنوان موقعیت محدود کننده A B در نظر گرفته می شود زیرا B به A تمایل دارد، یعنی B → A.

حال بیایید به بررسی معنای هندسی مشتق یک تابع در یک نقطه بپردازیم.

بیایید ادامه دهیم تا مقطع A B را برای تابع f (x) در نظر بگیریم، که در آن A و B با مختصات x 0، f (x 0) و x 0 + ∆ x، f (x 0 + ∆ x)، و ∆ x است. به عنوان افزایش استدلال نشان داده شده است. اکنون تابع به شکل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) خواهد بود. برای وضوح، بیایید یک مثال از یک نقاشی ارائه دهیم.

بیایید نتیجه را در نظر بگیریم راست گوشه A B C. از تعریف مماس برای حل استفاده می کنیم، یعنی رابطه ∆ y ∆ x = t g α را بدست می آوریم. از تعریف مماس چنین بر می آید که lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . طبق قاعده مشتق در یک نقطه، مشتق f (x) در نقطه x 0 را حد نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان می گویند، جایی که ∆ x → 0 است. سپس آن را f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x نشان می‌دهیم.

نتیجه می شود که f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، که در آن k x به عنوان شیب مماس نشان داده می شود.

یعنی، متوجه می‌شویم که f' (x) می‌تواند در نقطه x 0 وجود داشته باشد، و مانند مماس بر یک نمودار معین از تابع در نقطه مماس برابر با x 0، f 0 (x 0)، که در آن مقدار شیب مماس در نقطه برابر با مشتق در نقطه x 0 است. سپس دریافت می کنیم که k x = f " (x 0).

معنای هندسی مشتق تابع در یک نقطه این است که مفهوم وجود مماس بر نمودار را در همان نقطه می دهد.

برای نوشتن معادله هر خط مستقیم روی صفحه باید ضریب زاویه ای با نقطه ای که از آن می گذرد داشته باشیم. نماد آن در تقاطع x 0 در نظر گرفته می شود.

معادله مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه x 0، f 0 (x 0) به شکل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) است.

منظور این است که ارزش نهاییمشتق f "(x 0) می توانید موقعیت مماس را تعیین کنید، یعنی به صورت عمودی تحت شرط lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ و lim x → x 0 - 0 f" (x) = ∞ یا اصلاً برای شرایط lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x) .

مکان مماس به مقدار ضریب زاویه ای آن بستگی دارد k x = f "(x 0). هنگامی که با محور o x موازی باشد، به دست می آوریم که k k = 0، زمانی که موازی با o y - k x = ∞، و شکل معادله مماس x = x 0 با k x > 0 افزایش می یابد، با k x کاهش می یابد< 0 .

مثال 2

معادله ای برای مماس بر نمودار تابع y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 در نقطه ای با مختصات (1؛ 3) تهیه کنید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که تابع برای همه اعداد واقعی تعریف شده است. متوجه می‌شویم که نقطه با مختصات مشخص شده توسط شرط (1؛ 3) یک نقطه مماس است، سپس x 0 = - 1، f (x 0) = - 3 است.

لازم است مشتق را در نقطه ای با مقدار - 1 پیدا کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

مقدار f' (x) در نقطه مماس، شیب مماس است که برابر با مماس شیب است.

سپس k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

نتیجه می شود که α x = a r c t g 3 3 = π 6

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

برای وضوح، مثالی را در یک تصویر گرافیکی می آوریم.

رنگ سیاه برای نمودار تابع اصلی استفاده می شود، رنگ ابی– تصویر مماس، نقطه قرمز – نقطه مماس. شکل سمت راست نمای بزرگ شده را نشان می دهد.

مثال 3

وجود مماس بر نمودار یک تابع معین را تعیین کنید
y = 3 · x - 1 5 + 1 در نقطه با مختصات (1 ; 1) . معادله بنویسید و زاویه میل را تعیین کنید.

راه حل

با شرط، داریم که دامنه تعریف یک تابع معین، مجموعه تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته شود.

بیایید به سراغ یافتن مشتق برویم

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

اگر x 0 = 1، آنگاه f' (x) تعریف نشده است، اما حدود به صورت lim x نوشته می شود → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ، که به معنی وجود مماس عمودی در نقطه (1؛ 1).

پاسخ:معادله به شکل x = 1 است که در آن زاویه تمایل برابر با π 2 خواهد بود.

برای وضوح، بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم.

مثال 4

نقاط روی نمودار تابع y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 را پیدا کنید، جایی که

1. هیچ مماس وجود ندارد.
2. مماس موازی x است.
3. مماس با خط y = 8 5 x + 4 موازی است.

راه حل

توجه به محدوده تعریف ضروری است. با شرط، داریم که تابع بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. ماژول را گسترش می دهیم و سیستم را با فواصل x ∈ - ∞ حل می کنیم. 2 و [ - 2 ; + ∞). ما آن را دریافت می کنیم

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176، x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

لازم است که عملکرد را متمایز کنیم. ما آن را داریم

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3، x ∈ [ - 2 ; + ∞)

وقتی x = − 2 باشد، مشتق وجود ندارد زیرا حدود یک طرفه در آن نقطه برابر نیستند:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ما مقدار تابع را در نقطه x = - 2 محاسبه می کنیم، جایی که به آن می رسیم

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، یعنی مماس در نقطه ( - 2؛ - 2) وجود نخواهد داشت.
2. وقتی شیب صفر باشد مماس موازی با x است. سپس k x = t g α x = f "(x 0). یعنی زمانی که مشتق تابع آن را صفر می کند، باید مقادیر چنین x را پیدا کرد. یعنی مقادیر f ' (x) نقاط مماس خواهند بود، جایی که مماس با x موازی است.

وقتی x ∈ - ∞ ; - 2، سپس - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، و برای x ∈ (- 2; + ∞) 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 می گیریم.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

مقادیر تابع مربوطه را محاسبه کنید

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

از این رو - 5; 8 5، - 4; 4 3، 1; 8 5، 3; 4 3 به عنوان نقاط مورد نیاز نمودار تابع در نظر گرفته می شوند.

در نظر بگیریم تصویر گرافیکیراه حل ها

خط سیاه نمودار تابع و نقاط قرمز نقاط مماس هستند.

1. هنگامی که خطوط موازی هستند، ضرایب زاویه ای برابر است. سپس باید نقاطی را در نمودار تابع جستجو کنید که شیب برابر با مقدار 8 5 باشد. برای انجام این کار، باید معادله ای به شکل y "(x) = 8 5 حل کنید. سپس، اگر x ∈ - ∞؛ - 2، به دست می آوریم که - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، و اگر x ∈ (- 2 ; + ∞)، آنگاه 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

معادله اول ریشه ندارد، زیرا متمایز کننده است کمتر از صفر. بیایید آن را بنویسیم

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

پس معادله دیگر دو ریشه واقعی دارد

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

بیایید به سراغ یافتن مقادیر تابع برویم. ما آن را دریافت می کنیم

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

امتیاز با مقادیر - 1؛ 4 15، 5; 8 3 نقاطی هستند که در آنها مماس ها با خط y = 8 5 x + 4 موازی هستند.

پاسخ:خط سیاه - نمودار تابع، خط قرمز - نمودار y = 8 5 x + 4، خط آبی - مماس در نقاط - 1. 4 15، 5; 8 3.

ممکن است تعداد نامتناهی مماس برای توابع داده شده وجود داشته باشد.

مثال 5

معادلات تمام مماس های موجود تابع y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 را بنویسید که عمود بر خط مستقیم y = - 2 x + 1 2 قرار دارند.

راه حل

برای تدوین معادله مماس، باید ضریب و مختصات نقطه مماس را بر اساس شرط عمود بودن خطوط پیدا کرد. تعریف به شرح زیر است: حاصل ضرب ضرایب زاویه ای که بر خطوط مستقیم عمود هستند برابر با - 1 است، یعنی به صورت k x · k ⊥ = - 1 نوشته می شود. از شرطی که داریم که ضریب زاویه ای عمود بر خط قرار دارد و برابر با k ⊥ = - 2 است، سپس k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 است.

اکنون باید مختصات نقاط لمسی را پیدا کنید. شما باید x و سپس مقدار آن را برای یک تابع مشخص پیدا کنید. توجه داشته باشید که از معنای هندسی مشتق در نقطه
x 0 به دست می آوریم که k x = y "(x 0). از این برابری مقادیر x را برای نقاط تماس پیدا می کنیم.

ما آن را دریافت می کنیم

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

این معادله مثلثاتیبرای محاسبه مختصات نقاط مماس استفاده خواهد شد.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk یا 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk یا x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z مجموعه ای از اعداد صحیح است.

x نقاط تماس پیدا شده است. اکنون باید به جستجوی مقادیر y بروید:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 یا y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 یا y 0 = - 4 5 + 1 3

از این نتیجه می گیریم که 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 نقاط مماس هستند.

پاسخ:معادلات لازم به صورت نوشته خواهد شد

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، k ∈ Z

برای نمایش بصری، یک تابع و یک مماس را روی یک خط مختصات در نظر بگیرید.

شکل نشان می دهد که تابع در بازه [-10; 10 ]، جایی که خط سیاه نمودار تابع است، خطوط آبی مماس هستند که عمود بر خط داده شده به شکل y = - 2 x + 1 2 قرار دارند. نقاط قرمز نقاط لمسی هستند.

معادلات متعارف منحنی های مرتبه 2 توابع تک مقداری نیستند. معادلات مماس برای آنها بر اساس طرح های شناخته شده جمع آوری شده است.

مماس بر دایره

برای تعریف دایره ای با مرکز در نقطه x c e n t e r ; y c e n t e r و شعاع R، فرمول x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 را اعمال کنید.

این برابری را می توان به صورت اتحاد دو تابع نوشت:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

تابع اول همانطور که در شکل نشان داده شده است در بالا و تابع دوم در پایین قرار دارد.

برای جمع آوری معادله یک دایره در نقطه x 0; y 0 که در نیم دایره بالا یا پایین قرار دارد، باید معادله نمودار یک تابع به شکل y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r یا y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + را پیدا کنید. y c e n t e r در نقطه مشخص شده.

وقتی در نقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; مماس های y c e n t e r - R را می توان با معادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R و در نقاط x c e n t e r + R به دست داد. y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r موازی با o y خواهد بود، سپس معادلاتی به شکل x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R به دست می آوریم.

مماس بر بیضی

وقتی مرکز بیضی در x c e n t e r باشد ; y c e n t e r با نیم محورهای a و b ، سپس می توان آن را با استفاده از معادله x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 مشخص کرد.

یک بیضی و یک دایره را می توان با ترکیب دو تابع، یعنی نیمه بیضی بالا و پایین نشان داد. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

اگر مماس ها در راس های بیضی قرار داشته باشند، آنگاه حدود x یا حدود y موازی هستند. در زیر، برای وضوح، شکل را در نظر بگیرید.

مثال 6

معادله مماس بر بیضی x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 در نقاطی با مقادیر x برابر با x = 2 بنویسید.

راه حل

لازم است نقاط مماس مطابق با مقدار x = 2 را پیدا کنید. معادله موجود بیضی را جایگزین می کنیم و آن را پیدا می کنیم

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = 5 ± 3 2 + 5

سپس 2 ؛ 5 3 2 + 5 و 2; - 5 3 2 + 5 نقاط مماسی هستند که به نیمه بیضی بالا و پایین تعلق دارند.

بیایید به سراغ یافتن و حل معادله بیضی نسبت به y برویم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

بدیهی است که نیمه بیضی بالایی با استفاده از تابعی به شکل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 و نیمه بیضی پایینی y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 مشخص می شود.

بیایید از یک الگوریتم استاندارد برای ایجاد معادله ای برای مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه استفاده کنیم. اجازه دهید بنویسیم که معادله مماس اول در نقطه 2. 5 3 2 + 5 شبیه خواهد بود

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

متوجه می شویم که معادله مماس دوم با مقداری در نقطه است
2 ; - 5 3 2 + 5 شکل می گیرد

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y" (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

از نظر گرافیکی مماس ها به صورت زیر تعیین می شوند:

مماس بر هذلولی

وقتی یک هذلول مرکز x c e n t e r باشد. y c e n t e r و رئوس x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r ، نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 صورت می گیرد، اگر با رئوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , سپس با استفاده از نابرابری x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 مشخص می شود .

هذلولی را می توان به صورت دو تابع ترکیبی از فرم نشان داد

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r یا y = b a · (x - x c e n t e r · (x - x c e n t e r · 2 + a 2 - a r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

در حالت اول داریم که مماس ها موازی y هستند و در حالت دوم موازی x هستند.

نتیجه این است که برای یافتن معادله مماس بر هذلولی، باید مشخص شود که نقطه مماس متعلق به کدام تابع است. برای تعیین این، لازم است معادلات را جایگزین کرده و هویت را بررسی کنید.

مثال 7

معادله ای برای مماس بر هذلولی x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 در نقطه 7 بنویسید. - 3 3 - 3 .

راه حل

لازم است رکورد راه حل برای یافتن هذلولی با استفاده از 2 تابع تبدیل شود. ما آن را دریافت می کنیم

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

لازم است مشخص شود که یک نقطه معین با مختصات 7 به کدام تابع تعلق دارد. - 3 3 - 3 .

بدیهی است که برای بررسی تابع اول y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 لازم است، سپس نقطه متعلق به نمودار نیست، از آنجایی که برابری برقرار نیست.

برای تابع دوم داریم که y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، یعنی نقطه متعلق به نمودار داده شده است. از اینجا باید شیب را پیدا کنید.

ما آن را دریافت می کنیم

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

پاسخ:معادله مماس را می توان به صورت نمایش داد

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

به وضوح به این صورت نشان داده شده است:

مماس بر سهمی

برای ایجاد یک معادله برای مماس به سهمی y = a x 2 + b x + c در نقطه x 0, y (x 0)، باید از یک الگوریتم استاندارد استفاده کنید، سپس معادله به شکل y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) چنین مماس در راس موازی با x است.

شما باید سهمی x = a y 2 + b y + c را به عنوان اتحاد دو تابع تعریف کنید. بنابراین، باید معادله y را حل کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

بیایید آن را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم:

برای اینکه بفهمید یک نقطه x 0، y (x 0) متعلق به یک تابع است یا خیر، طبق الگوریتم استاندارد به آرامی عمل کنید. چنین مماس موازی با o y نسبت به سهمی خواهد بود.

مثال 8

معادله مماس بر نمودار x - 2 y 2 - 5 y + 3 را وقتی که زاویه مماس 150 درجه داریم بنویسید.

راه حل

حل را با نمایش سهمی به عنوان دو تابع آغاز می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

مقدار شیب برابر با مقدار مشتق در نقطه x 0 این تابع و برابر با مماس زاویه میل است.

ما گرفتیم:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 درجه = - 1 3

از اینجا مقدار x را برای نقاط تماس تعیین می کنیم.

تابع اول به صورت نوشته خواهد شد

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

بدیهی است که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، زیرا ما یک مقدار منفی دریافت کردیم. نتیجه می گیریم که هیچ مماس با زاویه 150 درجه برای چنین تابعی وجود ندارد.

تابع دوم به صورت نوشته خواهد شد

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ما داریم که نقاط تماس 23 4 ; - 5 + 3 4 .

پاسخ:معادله مماس شکل می گیرد

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

بیایید آن را به صورت گرافیکی به این صورت به تصویر بکشیم:

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

مماس یک خط مستقیم است ، که نمودار تابع را در یک نقطه لمس می کند و تمام نقاط آن در کمترین فاصله از نمودار تابع قرار دارند. بنابراین مماس مماس بر نمودار تابع در یک زاویه مشخص می گذرد و چندین مماس در زوایای مختلف نمی توانند از نقطه مماس عبور کنند. معادلات مماس و معادلات عادی بر نمودار یک تابع با استفاده از مشتق ساخته می شوند.

معادله مماس از معادله خط به دست می آید .

اجازه دهید معادله مماس و سپس معادله نرمال به نمودار تابع را استخراج کنیم.

y = kx + ب .

در او ک- ضریب زاویه ای

از اینجا ورودی زیر را دریافت می کنیم:

y - y 0 = ک(ایکس - ایکس 0 ) .

ارزش مشتق f "(ایکس 0 ) کارکرد y = f(ایکس) در نقطه ایکس0 برابر با شیب ک= tg φ مماس بر نمودار تابعی که از یک نقطه ترسیم شده است م0 (ایکس 0 , y 0 ) ، جایی که y0 = f(ایکس 0 ) . این هست معنی هندسی مشتق .

بنابراین، ما می توانیم جایگزین کنیم کبر f "(ایکس 0 ) و موارد زیر را دریافت کنید معادله مماس بر نمودار یک تابع :

y - y 0 = f "(ایکس 0 )(ایکس - ایکس 0 ) .

در مسائل مربوط به تشکیل معادله مماس بر نمودار یک تابع (و به زودی به آنها خواهیم پرداخت)، لازم است معادله به دست آمده از فرمول بالا را به کاهش دهیم. معادله یک خط مستقیم به صورت کلی. برای این کار باید تمام حروف و اعداد را به سمت چپمعادله، و صفر را در سمت راست رها کنید.

حالا در مورد معادله نرمال. طبیعی - این یک خط مستقیم است که از نقطه مماس بر نمودار تابع عمود بر مماس عبور می کند. معادله نرمال :

(ایکس - ایکس 0 ) + f "(ایکس 0 )(y - y 0 ) = 0

برای گرم کردن، از شما خواسته می شود که مثال اول را خودتان حل کنید و سپس به راه حل نگاه کنید. دلایل زیادی برای امیدواری وجود دارد که این کار برای خوانندگان ما "دوش آب سرد" نباشد.

مثال 0.یک معادله مماس و یک معادله عادی برای نمودار یک تابع در یک نقطه ایجاد کنید م (1, 1) .

مثال 1.برای نمودار یک تابع یک معادله مماس و یک معادله عادی بنویسید , اگر آبسیسا مماس باشد .

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

اکنون ما همه چیزهایی را داریم که باید در ورودی ارائه شده در راهنمای نظری برای بدست آوردن معادله مماس جایگزین شود. ما گرفتیم

در این مثال، ما خوش شانس بودیم: شیب صفر شد، بنابراین ما به طور جداگانه معادله را به ظاهر عمومیمورد نیاز نبود اکنون می توانیم معادله عادی را ایجاد کنیم:

در شکل زیر: نمودار یک تابع به رنگ شرابی، مماس رنگ سبز، نارنجی معمولی.

مثال بعدی نیز پیچیده نیست: تابع، مانند مورد قبلی، نیز چند جمله ای است، اما شیب برابر با صفر نخواهد بود، بنابراین یک مرحله دیگر اضافه می شود - معادله را به یک فرم کلی می رساند.

مثال 2.

راه حل. ترتیب نقطه مماس را پیدا می کنیم:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

بیایید مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

تمام داده های به دست آمده را با "فرمول خالی" جایگزین می کنیم و معادله مماس را بدست می آوریم:

معادله را به شکل کلی می آوریم (همه حروف و اعداد غیر از صفر را در سمت چپ جمع می کنیم و صفر را در سمت راست می گذاریم):

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 3.اگر ابسیسا نقطه مماس باشد معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید.

راه حل. ترتیب نقطه مماس را پیدا می کنیم:

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

.

بیایید مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

.

معادله مماس را پیدا می کنیم:

قبل از اینکه معادله را به شکل کلی بیاورید، باید کمی آن را "شانه کنید": عدد به جمله را در 4 ضرب کنید. این کار را انجام می دهیم و معادله را به شکل کلی آن می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

مثال 4.اگر ابسیسا نقطه مماس باشد معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید.

راه حل. ترتیب نقطه مماس را پیدا می کنیم:

.

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

بیایید مقدار مشتق را در نقطه مماس، یعنی شیب مماس پیدا کنیم:

.

معادله مماس را بدست می آوریم:

معادله را به شکل کلی می آوریم:

معادله نرمال را می سازیم:

یک اشتباه رایج هنگام نوشتن معادلات مماس و نرمال این است که متوجه پیچیده بودن تابع ارائه شده در مثال نمی شوید و مشتق آن را به عنوان مشتق یک تابع ساده محاسبه می کنید. نمونه های زیر قبلاً از توابع پیچیده(درس مربوطه در یک پنجره جدید باز می شود).

مثال 5.اگر ابسیسا نقطه مماس باشد معادله مماس و معادله نرمال به نمودار تابع را بنویسید.

راه حل. ترتیب نقطه مماس را پیدا می کنیم:

توجه! این تابع- پیچیده، از آرگومان مماس (2 ایکس) خود یک تابع است. بنابراین، مشتق یک تابع را به عنوان مشتق تابع مختلط می یابیم.

مثال 1.یک تابع داده شده است f(ایکس) = 3ایکس 2 + 4ایکس– 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) در نقطه نمودار با آبسیسا ایکس 0 = 1.

راه حل.مشتق از یک تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید او را پیدا کنیم:

= (3ایکس 2 + 4ایکس– 5) = 6 ایکس + 4.

سپس f(ایکس 0) = f(1) = 2; (ایکس 0) = = 10. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (ایکس 0) (ایکس – ایکس 0) + f(ایکس 0),

y = 10(ایکس – 1) + 2,

y = 10ایکس – 8.

پاسخ. y = 10ایکس – 8.

مثال 2.یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

راه حل.مشتق از یک تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید او را پیدا کنیم:

= (ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5) = 3 ایکس 2 – 6ایکس + 2.

از آنجایی که مماس بر نمودار تابع f(ایکس) در نقطه آبسیس ایکس 0 موازی خط است y = 2ایکس- 11، سپس شیب آن برابر با 2 است، یعنی ( ایکس 0) = 2. بیایید این آبسیسا را ​​از شرطی پیدا کنیم که 3 ایکس– 6ایکس 0 + 2 = 2. این برابری فقط زمانی معتبر است که ایکس 0 = 0 و در ایکس 0 = 2. از آنجایی که در هر دو مورد f(ایکس 0) = 5، سپس مستقیم y = 2ایکس + بنمودار تابع را در نقطه (0; 5) یا در نقطه (2; 5) لمس می کند.

در حالت اول، برابری عددی 5 = 2×0 + درست است ب، جایی که ب= 5، و در مورد دوم برابری عددی 5 = 2×2 + درست است ب، جایی که ب = 1.

بنابراین دو مماس وجود دارد y = 2ایکس+ 5 و y = 2ایکس+ 1 به نمودار تابع f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

پاسخ. y = 2ایکس + 5, y = 2ایکس + 1.

مثال 3.یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 2 – 6ایکس+ 7. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) عبور از نقطه آ (2; –5).

راه حل.زیرا f(2) -5، سپس نقطه آبه نمودار تابع تعلق ندارد f(ایکس). اجازه دهید ایکس 0 - آبسیسه نقطه مماس.

مشتق از یک تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید او را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 6ایکس+ 1) = 2 ایکس – 6.

سپس f(ایکس 0) = ایکس– 6ایکس 0 + 7; (ایکس 0) = 2ایکس 0 – 6. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 0 – 6)(ایکس – ایکس 0) + ایکس– 6ایکس+ 7,

y = (2ایکس 0 – 6)ایکس– ایکس+ 7.

از آنجا که نقطه آمتعلق به مماس است، پس برابری عددی درست است

–5 = (2ایکس 0 – 6)×2– ایکس+ 7,

جایی که ایکس 0 = 0 یا ایکس 0 = 4. این بدان معنی است که از طریق نقطه آمی توانید دو مماس بر روی نمودار تابع رسم کنید f(ایکس).

اگر ایکس 0 = 0، سپس معادله مماس شکل دارد y = –6ایکس+ 7. اگر ایکس 0 = 4، سپس معادله مماس شکل دارد y = 2ایکس – 9.

پاسخ. y = –6ایکس + 7, y = 2ایکس – 9.

مثال 4.توابع داده شده f(ایکس) = ایکس 2 – 2ایکس+ 2 و g(ایکس) = –ایکس 2 – 3. معادله مماس مشترک بر نمودارهای این توابع را بنویسیم.

راه حل.اجازه دهید ایکس 1 - آبسیسه نقطه مماس خط مورد نظر با نمودار تابع f(ایکس)، آ ایکس 2 - آبسیسه نقطه مماس هم خط با نمودار تابع g(ایکس).

مشتق از یک تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید او را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 2ایکس+ 2) = 2 ایکس – 2.

سپس f(ایکس 1) = ایکس– 2ایکس 1 + 2; (ایکس 1) = 2ایکس 1 - 2. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 1 – 2)(ایکس – ایکس 1) + ایکس– 2ایکس 1 + 2,

y = (2ایکس 1 – 2)ایکس – ایکس+ 2. (1)

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم g(ایکس):

= (–ایکس 2 – 3)′ = –2 ایکس.