در یکی از مقالات قبلی قبلاً به قدرت یک عدد اشاره کردیم. امروز ما سعی خواهیم کرد در روند یافتن معنای آن حرکت کنیم. از نظر علمی، ما چگونگی افزایش قدرت را به درستی خواهیم فهمید. ما متوجه خواهیم شد که این فرآیند چگونه انجام می شود، و در عین حال به همه شارحان ممکن دست خواهیم زد: طبیعی، غیر منطقی، عقلانی، عدد صحیح.

بنابراین، بیایید نگاهی دقیق‌تر به راه‌حل‌های مثال‌ها بیندازیم و معنی آن را دریابیم:

1. تعریف مفهوم.
2. ارتقاء به هنر منفی
3. نشانگر عدد صحیح.
4. بالا بردن یک عدد به درجه غیر منطقی.

در اینجا تعریفی وجود دارد که به طور دقیق این معنی را منعکس می کند: "تعریف تعریف مقدار توان یک عدد است."

بر این اساس، بالا بردن عدد a در هنر. r و فرآیند یافتن مقدار درجه a با توان r مفاهیمی یکسان هستند. به عنوان مثال، اگر وظیفه محاسبه مقدار توان (0.6)6" باشد، می توان آن را به عبارت "عدد 0.6 را به توان 6 افزایش دهید" ساده کرد.

پس از این، می توانید مستقیماً به قوانین ساخت و ساز بروید.

بالا بردن به یک قدرت منفی

برای وضوح، باید به زنجیره عبارات زیر توجه کنید:

110=0.1=1* 10 منهای 1 قاشق غذاخوری،

1100=0.01=1*10 در منفی 2 درجه،

11000=0.0001=1*10 در منهای 3 خیابان،

110000=0.00001=1*10 تا منفی 4 درجه.

به لطف این مثال ها، می توانید به وضوح توانایی محاسبه فوری 10 به هر منهای توان را مشاهده کنید. برای این منظور کافی است به سادگی مولفه اعشاری را جابجا کنید:

• 10 تا -1 درجه - قبل از یک 1 صفر است.
• در -3 - سه صفر قبل از یک؛
• در -9 9 صفر و غیره وجود دارد.

همچنین از این نمودار به راحتی می توان فهمید که 10 منهای 5 قاشق غذاخوری چقدر خواهد بود. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

چگونه یک عدد را به توان طبیعی برسانیم

با یادآوری تعریف، در نظر می گیریم که عدد طبیعی a در هنر. n برابر حاصل ضرب n عامل است که هر کدام برابر با a است. بیایید نشان دهیم: (a*a*…a)n، که در آن n تعداد اعدادی است که ضرب می شوند. بر این اساس، برای افزایش a به n، باید حاصل ضرب شکل زیر را محاسبه کرد: a*a*…a تقسیم بر n ضرب.

از اینجا معلوم می شود که بالا بردن به خیابان طبیعی متکی بر توانایی انجام ضرب است(این مطلب در قسمت ضرب اعداد حقیقی آمده است). بیایید به مشکل نگاه کنیم:

-2 را تا خیابان چهارم بالا ببرید.

ما با یک شاخص طبیعی روبرو هستیم. بر این اساس، روند تصمیم گیری به شرح زیر خواهد بود: (-2) در هنر. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که اعداد صحیح را ضرب کنیم: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). 16 می گیریم.

پاسخ به مشکل:

(-2) در هنر. 4=16.

مثال:

مقدار: سه نقطه دو هفتم مربع را محاسبه کنید.

این مثالبرابر با حاصل ضرب زیر است: سه نقطه دو هفتم ضرب در سه نقطه دو هفتم. با یادآوری اینکه چگونه اعداد مختلط ضرب می شوند، ساختار را کامل می کنیم:

• 3 امتیاز 2 هفتم ضرب در خودشان.
• برابر با 23 هفتم ضرب در 23 هفتم.
• برابر با 529 چهل و نهم.
• کاهش می دهیم و 10 سی و نه چهل و نهم می گیریم.

پاسخ: 10 39/49

در مورد موضوع افزایش به یک توان غیرمنطقی، باید توجه داشت که محاسبات پس از تکمیل گرد کردن اولیه پایه درجه به هر رقمی که امکان بدست آوردن مقدار با دقت معین را فراهم می کند، شروع می شود. برای مثال، باید عدد P (pi) را مربع کنیم.

با گرد کردن P به صدم شروع می کنیم و به دست می آوریم:

P مجذور = (3.14) 2 = 9.8596. با این حال، اگر P را به ده هزارم کاهش دهیم، P = 3.14159 به دست می آید. سپس مربع کردن یک عدد کاملا متفاوت به دست می دهد: 9.8695877281.

در اینجا باید توجه داشت که در بسیاری از مسائل نیازی به بالا بردن اعداد غیر منطقی به توان نیست. به عنوان یک قاعده، پاسخ یا به صورت درجه واقعی وارد می شود، به عنوان مثال، ریشه 6 به توان 3، یا، اگر عبارت اجازه می دهد، تبدیل آن انجام می شود: ریشه 5 تا 7 درجه = 125 ریشه از 5.

چگونه یک عدد را به توان عدد صحیح برسانیم

این دستکاری جبری مناسب است موارد زیر را در نظر بگیرید:

• برای اعداد صحیح؛
• برای یک شاخص صفر؛
• برای یک توان عدد صحیح مثبت

از آنجایی که تقریباً همه اعداد صحیح مثبت با جرم اعداد طبیعی منطبق هستند، تنظیم روی یک توان صحیح مثبت همان فرآیند تنظیم در Art است. طبیعی این فرآیند را در پاراگراف قبل توضیح دادیم.

حالا بیایید در مورد محاسبه st. تهی قبلاً در بالا متوجه شدیم که توان صفر عدد a را می توان برای هر غیر صفر a (واقعی) تعیین کرد، در حالی که a در هنر. 0 برابر با 1 خواهد بود.

بر این اساس، بالا بردن هر عدد واقعی به نقطه صفر. یکی خواهد داد.

به عنوان مثال، 10 در st 0 = 1، (-3.65) 0 = 1، و 0 در st. 0 را نمی توان تعیین کرد.

برای تکمیل افزایش به یک توان عدد صحیح، باید در مورد گزینه های مقادیر صحیح منفی تصمیم گیری کرد. ما آن هنر را به یاد می آوریم. از a با توان عدد صحیح -z به عنوان کسری تعریف می شود. مخرج کسری st است. با یک عدد صحیح مثبت که قبلاً یاد گرفته ایم مقدار آن را پیدا کنیم. اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که نمونه ای از ساخت و ساز را در نظر بگیریم.

مثال:

مقدار عدد 2 مکعبی را با توان عدد صحیح منفی محاسبه کنید.

فرآیند حل:

با توجه به تعریف درجه با توان منفی، نشان می دهیم: دو منهای 3 درجه. برابر یک به دو به توان سوم است.

مخرج به سادگی محاسبه می شود: دو مکعبی.

3 = 2*2*2=8.

پاسخ: دو به منهای هنر 3. = یک هشتم

در این مطلب به بررسی توان یک عدد خواهیم پرداخت. علاوه بر تعاریف اولیه، به بیان اینکه چه قدرت هایی با شارح طبیعی، صحیح، منطقی و غیرمنطقی هستند، خواهیم پرداخت. مثل همیشه، تمام مفاهیم با مثال‌هایی نشان داده می‌شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ابتدا بیایید تعریف اولیه درجه را با توان طبیعی فرمول بندی کنیم. برای انجام این کار، باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. اجازه دهید از قبل توضیح دهیم که در حال حاضر یک عدد واقعی را به عنوان پایه (که با حرف a مشخص می شود) و یک عدد طبیعی را به عنوان نشانگر (که با حرف n مشخص می شود) در نظر می گیریم.

تعریف 1

توان یک عدد a با توان طبیعی n حاصل ضرب nامین تعداد عامل است که هر کدام برابر با عدد a است. مدرک به این صورت نوشته می شود: a n، و در قالب یک فرمول ترکیب آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

به عنوان مثال، اگر توان 1 و پایه a باشد، اولین توان a به صورت نوشته می شود یک 1. با توجه به اینکه a مقدار عامل و 1 تعداد فاکتورها است، می توان نتیجه گرفت که a 1 = a.

به طور کلی، می توان گفت که مدرک یک شکل مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل مساوی است. بنابراین، یک رکورد از فرم 8 8 8 8را می توان کوتاه کرد به 8 4 . به همین ترتیب، یک اثر به ما کمک می کند از ضبط خودداری کنیم تعداد زیادیاصطلاحات (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; ما قبلاً در مقاله ای که به ضرب اعداد طبیعی اختصاص داده شده است ، درباره این موضوع بحث کرده ایم.

چگونه ورودی مدرک را به درستی بخوانیم؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a به توان n" است. یا می توانید بگویید "قدرت n ام" یا "قدرت آنت". اگر مثلاً در مثال با ورودی مواجه شدیم 8 12 ، می توان "8 به توان 12"، "8 به توان 12" یا "دوازدهمین توان از 8" را خواند.

قدرت های دوم و سوم اعداد نام های ثابت خود را دارند: مربع و مکعب. اگر توان دوم را مثلاً عدد 7 (7 2) ببینیم، می توانیم بگوییم "7 مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب، درجه سوم به این صورت خوانده می شود: 5 3 - این "مکعب عدد 5" یا "5 مکعب" است. با این حال، شما همچنین می توانید از فرمول استاندارد "به قدرت دوم / سوم" استفاده کنید، این یک اشتباه نخواهد بود.

مثال 1

بیایید به مثالی از درجه با توان طبیعی نگاه کنیم: for 5 7 پنج پایه و هفت نشانگر خواهد بود.

لازم نیست پایه یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 مبنا کسر 4، 32 و توان 9 خواهد بود. به پرانتز توجه کنید: این نماد برای تمام توان هایی که پایه آنها با اعداد طبیعی متفاوت است ساخته شده است.

به عنوان مثال: 1 2 3، (- 3) 12، - 2 3 5 2، 2، 4 35 5، 7 3.

پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از اشتباهات در محاسبات کمک می کنند. فرض کنید دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 . اولی یعنی عدد منفیمنهای دو به توان با توان طبیعی سه افزایش یافته است. دومی عدد مربوط به مقدار مخالف درجه است 2 3 .

گاهی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از قدرت یک عدد پیدا کنید - a^n(که در آن a پایه و n توان است). یعنی 4^9 همان است 4 9 . اگر n عددی چند رقمی باشد در پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال، 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156) . اما ما از نماد استفاده خواهیم کرد a nبه عنوان رایج تر.

به راحتی می توان حدس زد که چگونه می توان مقدار یک توان را با یک توان طبیعی از تعریف آن محاسبه کرد: فقط باید یک n ام را ضرب کنید. در مقاله دیگری در این مورد بیشتر نوشتیم.

مفهوم درجه معکوس یک مفهوم ریاضی دیگر است - ریشه یک عدد. اگر مقدار توان و توان را بدانیم، می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. درجه دارای برخی از ویژگی های خاص است که برای حل مسائل مفید است که در مطلبی جداگانه به آنها پرداختیم.

نماها می توانند نه تنها اعداد طبیعی، بلکه به طور کلی هر عدد صحیحی از جمله منفی و صفر را نیز شامل شوند، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند.

تعریف 2

توان یک عدد با نما عدد صحیح مثبت را می توان به صورت فرمول نشان داد: .

در این مورد، n هر عدد صحیح مثبت است.

بیایید مفهوم درجه صفر را درک کنیم. برای انجام این کار، از رویکردی استفاده می‌کنیم که ویژگی ضریب توان‌های با پایه‌های مساوی را در نظر می‌گیرد. به این صورت فرموله شده است:

تعریف 3

برابری a m: a n = a m − nدر شرایط زیر درست خواهد بود: m و n اعداد طبیعی هستند، m< n , a ≠ 0 .

آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند، نتیجه زیر را می گیریم: a n: a n = a n − n = a 0

اما در عین حال a n: a n = 1 یک ضریب است اعداد مساوی a nو الف معلوم می شود که توان صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است.

با این حال، چنین اثباتی برای صفر تا توان صفر صدق نمی کند. برای انجام این کار، ما به ویژگی دیگری از قدرت ها نیاز داریم - خاصیت محصولات توان ها با پایه های مساوی. به نظر می رسد این است: a m · a n = a m + n .

اگر n برابر با 0 باشد، پس a m · a 0 = a m(این برابری نیز این را به ما ثابت می کند a 0 = 1). اما اگر و نیز برابر با صفر باشد، تساوی ما شکل می گیرد 0 متر · 0 0 = 0 متر، برای هر مقدار طبیعی n درست خواهد بود، و مهم نیست که مقدار درجه دقیقاً با چه چیزی برابر است. 0 0 یعنی با هر عددی می تواند برابر باشد و این تاثیری در صحت تساوی ندارد. بنابراین، یک نماد از فرم 0 0 معنای خاص خود را ندارد و ما آن را به آن نسبت نمی دهیم.

در صورت تمایل، بررسی آن آسان است a 0 = 1با ویژگی درجه همگرا می شود (a m) n = a m nمشروط بر اینکه پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین، توان هر عدد غیر صفر با توان صفر یک است.

مثال 2

بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 و مقدار 0 0 تعریف نشده است.

بعد از درجه صفر، فقط باید بفهمیم که درجه منفی چیست. برای انجام این کار، به همان خاصیت حاصل ضرب توان ها با پایه های مساوی نیاز داریم که قبلاً در بالا استفاده کردیم: a m · a n = a m + n.

اجازه دهید شرط را معرفی کنیم: m = - n، پس a نباید برابر با صفر باشد. از این نتیجه می شود که a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. معلوم می شود که یک n و a-nما اعداد متقابل داریم.

در نتیجه، a به توان کل منفی چیزی بیش از کسری 1 a n نیست.

این فرمول تأیید می کند که برای درجه ای با توان منفی صحیح، تمام ویژگی های یک درجه با توان طبیعی معتبر است (به شرطی که پایه برابر با صفر نباشد).

مثال 3

توان a با توان منفی n را می توان به صورت کسری 1 a n نشان داد. بنابراین، a - n = 1 a n موضوع به a ≠ 0و n هر عدد طبیعی است.

اجازه دهید ایده خود را با مثال های خاص توضیح دهیم:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

در قسمت آخر پاراگراف، سعی می کنیم تمام آنچه را که به وضوح گفته شد در یک فرمول به تصویر بکشیم:

تعریف 4

توان عددی با توان طبیعی z برابر است با: a z = a z، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1، z = 0 و a ≠ 0، (برای z = 0 و a = 0 نتیجه 0 0 است، مقادیر عبارت 0 0 تعریف نشده است) 1 a z، اگر و z یک عدد صحیح منفی است و a ≠ 0 (اگر z یک عدد صحیح منفی باشد و a = 0 شما 0 z دریافت می کنید، egoz مقدار نامشخص است)

قدرت های دارای توان منطقی چیست؟

مواردی را بررسی کردیم که توان دارای یک عدد صحیح باشد. با این حال، شما می توانید یک عدد را به توان افزایش دهید حتی زمانی که نمایش دارای یک عدد کسری باشد. به این درجه c می گویند شاخص منطقی. در این بخش ثابت خواهیم کرد که دارای همان ویژگی های قدرت های دیگر است.

اعداد گویا چیست؟ تنوع آنها هم شامل کل و هم می شود اعداد کسری، در حالی که اعداد کسری را می توان به عنوان کسرهای معمولی (هم مثبت و هم منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف توان یک عدد a را با یک توان کسری m / n فرموله کنیم، که در آن n یک عدد طبیعی و m یک عدد صحیح است.

درجه ای با توان کسری a m n داریم. برای اینکه خاصیت قدرت به قدرت باقی بماند، برابری a m n n = a m n · n = a m باید درست باشد.

با توجه به تعریف ریشه n و اینکه a m n n = a m ، می توانیم شرط a m n = a m n را بپذیریم اگر m n برای مقادیر داده شده m ، n و a معنی داشته باشد.

خواص فوق یک درجه با توان عدد صحیح تحت شرط a m n = a m n صادق خواهد بود.

نتیجه اصلی از استدلال ما این است: توان یک عدد معین a با توان کسری m / n ریشه n عدد a به توان m است. این در صورتی درست است که برای مقادیر داده شده m، n و a، عبارت a m n معنادار باقی بماند.

1. می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: بیایید a را در نظر بگیریم که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود و برای مقادیر منفی - کاملاً کمتر (زیرا برای m ≤ 0 دریافت می کنیم 0 متر، اما چنین مدرکی تعریف نشده است). در این مورد، تعریف یک درجه با توان کسری به صورت زیر خواهد بود:

توان با توان کسری m/n برای برخی عدد مثبت a nامین ریشه a است که به توان m افزایش یافته است. این را می توان به صورت یک فرمول بیان کرد:

برای توان با پایه صفر، این شرط نیز مناسب است، اما تنها در صورتی که توان آن یک عدد مثبت باشد.

توانی با پایه صفر و توان مثبت کسری m/n را می توان به صورت بیان کرد

0 m n = 0 m n = 0 به شرط اینکه m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی باشد.

برای نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

به یک نکته توجه کنیم. از آنجایی که شرط a بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم، در نهایت برخی موارد را کنار گذاشتیم.

گاهی اوقات عبارت a m n هنوز برای برخی از مقادیر منفی a و برخی m منطقی است. بنابراین، ورودی های صحیح عبارتند از (- 5) 2 3، (- 1، 2) 5 7، - 1 2 - 8 4، که در آن پایه منفی است.

2-رویکرد دوم این است که ریشه a m n را به صورت مجزا با توان های زوج و فرد در نظر بگیریم. سپس باید یک شرط دیگر را معرفی کنیم: درجه a که در توان آن یک کسر معمولی تقلیل پذیر وجود دارد، درجه a در نظر گرفته می شود که در توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا به این شرایط نیاز داریم و چرا اینقدر مهم است. بنابراین، اگر نماد a m · k n · k را داشته باشیم، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم.

اگر n عددی فرد باشد و مقدار m مثبت و a هر عدد غیرمنفی باشد، m n منطقی است. شرط منفی نبودن a ضروری است زیرا از یک عدد منفی نمی توان ریشه یک درجه زوج را استخراج کرد. اگر مقدار m مثبت باشد، a می تواند هم منفی و هم صفر باشد، زیرا ریشه فرد را می توان از هر عدد واقعی گرفت.

بیایید تمام تعاریف بالا را در یک ورودی ترکیب کنیم:

در اینجا m/n به معنای کسر غیر قابل تقلیل است، m هر عدد صحیح و n هر عدد طبیعی است.

تعریف 5

برای هر کسر قابل تقلیل معمولی m · k n · k درجه را می توان با m n جایگزین کرد.

توان یک عدد a با توان کسری غیرقابل تقلیل m / n - را می توان به صورت m n در موارد زیر بیان کرد: - برای هر a واقعی، عدد صحیح ارزش های مثبت m و مقادیر طبیعی فرد n. مثال: 2 5 3 = 2 5 3، (- 5، 1) 2 7 = (- 5، 1) - 2 7، 0 5 19 = 0 5 19.

برای هر غیر صفر واقعی a، مقادیر صحیح منفی m و مقادیر فرد از n، به عنوان مثال، 2 - 5 3 = 2 - 5 3، (- 5، 1) - 2 7 = (- 5، 1) - 2 7

برای هر غیر منفی a، عدد صحیح مثبت m و زوج n، به عنوان مثال، 2 1 4 = 2 1 4، (5، 1) 3 2 = (5، 1) 3، 0 7 18 = 0 7 18.

برای هر a مثبت، عدد صحیح منفی m و حتی n، به عنوان مثال، 2 - 1 4 = 2 - 1 4، (5، 1) - 3 2 = (5، 1) - 3، .

در مورد سایر مقادیر، درجه با توان کسری تعیین نمی شود. نمونه هایی از این درجه ها: - 2 11 6، - 2 1 2 3 2، 0 - 2 5.

حالا بیایید اهمیت شرط مورد بحث در بالا را توضیح دهیم: چرا یک کسری را با یک توان تقلیل پذیر با یک کسری با یک توان تقلیل ناپذیر جایگزین کنیم. اگر این کار را انجام نمی دادیم، موقعیت های زیر را داشتیم، مثلاً 6/10 = 3/5. سپس باید درست باشد (- 1) 6 10 = - 1 3 5 ، اما - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 و (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

تعریف درجه با توان کسری که ابتدا ارائه کردیم، در عمل راحت تر از دومی است، بنابراین به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.

تعریف 6

بنابراین، توان یک عدد مثبت a با توان کسری m/n به صورت 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود. در صورت منفی بودن الفنماد a m n معنی ندارد. توان صفر برای توان های کسری مثبت m/nبه صورت 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود، برای توان های کسری منفی، درجه صفر را تعریف نمی کنیم.

در نتیجه گیری، توجه می کنیم که هر شاخص کسری را می توان به شکل نوشت عدد مختلط، و در فرم اعشاری: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

در هنگام محاسبه بهتر است کسری معمولی را جایگزین توان کرده و سپس از تعریف توان با توان کسری استفاده کنید. برای مثال های بالا دریافت می کنیم:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

قدرت های با شارح غیرمنطقی و واقعی چیست؟

اعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد گویا و غیر منطقی است. بنابراین، برای اینکه بفهمیم درجه با توان واقعی چیست، باید درجاتی را با توان های منطقی و غیرمنطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید قدم به قدم به شاخص های غیرمنطقی بپردازیم.

مثال 5

فرض کنید یک عدد غیرمنطقی a و دنباله ای از تقریب های اعشاری آن a 0، a 1، a 2، را داریم. . . . به عنوان مثال، بیایید مقدار a = 1.67175331 را در نظر بگیریم. . . ، سپس

a 0 = 1، 6، a 1 = 1، 67، a 2 = 1، 671، . . . 0 = 1.67، a 1 = 1.6717، a 2 = 1.671753، . . .

می‌توانیم دنباله‌ای از تقریب‌ها را با دنباله‌ای از درجه a a 0، a a 1، a a 2، مرتبط کنیم. . . . اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به قوای عقلانی گفتیم به خاطر بیاوریم، می توانیم خود مقادیر این قدرت ها را محاسبه کنیم.

به عنوان مثال در نظر بگیریم a = 3، سپس a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . و غیره

توالی توان ها را می توان به یک عدد کاهش داد که مقدار توان با پایه a و توان غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: درجه ای با توان غیرمنطقی به شکل 3 1, 67175331. . را می توان به عدد 6، 27 کاهش داد.

تعریف 7

توان یک عدد مثبت a با توان غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0، a a 1، a a 2، است. . . , که در آن 0 , a 1 , a 2 , . . . تقریب های اعشاری متوالی عدد غیر منطقی a هستند. درجه ای با پایه صفر نیز می تواند برای شارهای غیر منطقی مثبت تعریف شود، با 0 a = 0 بنابراین، 0 6 = 0، 0 21 3 3 = 0. اما این را نمی توان برای موارد منفی انجام داد، زیرا، به عنوان مثال، مقدار 0 - 5، 0 - 2 π تعریف نشده است. برای مثال، یک واحد افزایش یافته به هر توان غیرمنطقی یک واحد باقی می‌ماند و 1 2، 1 5 در 2 و 1 - 5 برابر با 1 خواهد بود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

یکی از ویژگی های اصلی در جبر و در تمام ریاضیات، درجه است. البته در قرن بیست و یکم تمام محاسبات را می توان با ماشین حساب آنلاین انجام داد، اما برای رشد مغز بهتر است خودتان یاد بگیرید که چگونه این کار را انجام دهید.

در این مقاله به مهم ترین مسائل مربوط به این تعریف می پردازیم. یعنی ما خواهیم فهمید که به طور کلی چیست و وظایف اصلی آن چیست، چه ویژگی هایی در ریاضیات وجود دارد.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که محاسبه به نظر می رسد و فرمول های اساسی چیست. بیایید به انواع اصلی کمیت ها و تفاوت آنها با سایر عملکردها نگاه کنیم.

اجازه دهید نحوه حل مسائل مختلف را با استفاده از این کمیت درک کنیم. ما با مثال هایی نشان خواهیم داد که چگونه به توان صفر، غیر منطقی، منفی و غیره برسیم.

ماشین حساب توان آنلاین

توان یک عدد چیست؟

منظور از عبارت "یک عدد را به توان" برسانید چیست؟

توان n یک عدد حاصل ضرب فاکتورهای قدر a n مرتبه متوالی است.

از نظر ریاضی به این صورت است:

a n = a * a * a * …a n .

به عنوان مثال:

• 2 3 = 2 در درجه سوم. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 به پله. دو = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 تا پله. چهار = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 در 5 مرحله. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000؛
• 10 4 = 10 در 4 مرحله. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

در زیر جدول مربع ها و مکعب ها از 1 تا 10 آمده است.

جدول درجات از 1 تا 10

در زیر نتایج افزایش اعداد طبیعی به توان های مثبت - "از 1 تا 100" آورده شده است.

خواص درجات

ویژگی چنین تابع ریاضی چیست؟ بیایید به خواص اساسی نگاه کنیم.

دانشمندان موارد زیر را ایجاد کرده اند علائم مشخصه همه درجات:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a ب) m =(a) (b*m) .

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. از طرف دیگر، 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

به طور مشابه: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. در غیر این صورت 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. اگر متفاوت باشد چه؟ 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

همانطور که می بینید، قوانین کار می کنند.

اما چه در مورد با جمع و تفریق? ساده است. ابتدا توان و سپس جمع و تفریق انجام می شود.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. لطفاً توجه داشته باشید: اگر ابتدا آن را کم کنید، این قانون برقرار نخواهد بود: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

اما در این مورد، ابتدا باید جمع را محاسبه کنید، زیرا اقداماتی در پرانتز وجود دارد: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

نحوه تولید محاسبات در بیشتر موارد دشوار ? ترتیب هم همینه:

• اگر براکت وجود دارد، باید با آنها شروع کنید.
• سپس قدرت.
• سپس عملیات ضرب و تقسیم را انجام دهید.
• پس از جمع، تفریق.

خواص خاصی وجود دارد که مشخصه همه درجات نیست:

1. ریشه n ام یک عدد a به درجه m به صورت: a m / n نوشته می شود.
2. هنگام افزایش کسری به توان: هم صورت و هم مخرج آن مشمول این روش هستند.
3. هنگام ساخت یک اثر اعداد مختلفبه یک توان، عبارت با حاصلضرب این اعداد به توان داده شده مطابقت دارد. یعنی: (a * b) n = a n * b n .
4. وقتی یک عدد را به توان منفی می‌دهید، باید 1 را بر یک عدد در همان قرن تقسیم کنید، اما با علامت "+".
5. اگر مخرج کسری به توان منفی باشد، این عبارت برابر حاصلضرب صورت و مخرج به توان مثبت خواهد بود.
6. هر عددی به توان 0 = 1 و به توان. 1 = به خودت

این قوانین در برخی موارد حائز اهمیت هستند که در ادامه آنها را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

درجه با توان منفی

با درجه منهای چه باید کرد، یعنی وقتی شاخص منفی است؟

بر اساس خواص 4 و 5(نگاه کنید به نکته بالا)، معلوم می شود:

A (- n) = 1 / A n، 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

و بالعکس:

1 / A (- n) = A n، 1 / ​​2 (-3) = 2 3 = 8.

اگر کسری باشد چه؟

(A / B) (- n) = (B / A) n، (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

درجه با شاخص طبیعی

به عنوان درجه ای با توان های برابر با اعداد صحیح درک می شود.

چیزهایی که باید به خاطر بسپارید:

A 0 = 1، 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... و غیره.

A 1 = A، 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... و غیره

علاوه بر این، اگر (-a) 2 n +2، n=0، 1، 2... آنگاه نتیجه با علامت "+" خواهد بود. اگر یک عدد منفی به توان فرد افزایش یابد، برعکس.

خواص عمومی، و تمام ویژگی های خاص که در بالا توضیح داده شد، نیز مشخصه آنها است.

درجه کسری

این نوع را می توان به عنوان یک طرح نوشت: A m / n. به صورت: ریشه n ام عدد A به توان m را بخوانید.

شما می توانید هر کاری را که می خواهید با یک نشانگر کسری انجام دهید: آن را کاهش دهید، آن را به قطعات تقسیم کنید، آن را به قدرت دیگری ببرید و غیره.

درجه با توان غیرمنطقی

فرض کنید α یک عدد غیر منطقی و A ˃ 0 باشد.

برای درک ماهیت یک مدرک با چنین شاخصی، بیایید به موارد مختلف ممکن نگاه کنیم:

• A = 1. نتیجه برابر با 1 خواهد بود. از آنجایی که یک اصل موضوعی وجود دارد - 1 در همه توان ها برابر با یک است.

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 - اعداد گویا.

• 0˂А˂1.

در این مورد، برعکس است: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 در شرایط مشابه در پاراگراف دوم.

به عنوان مثال، توان عدد π است.منطقی است.

r 1 - در این مورد برابر با 3 است.

r 2 - برابر با 4 خواهد بود.

سپس، برای A = 1، 1 π = 1.

A = 2، سپس 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4، 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2، سپس (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

چنین درجه هایی توسط همه مشخص می شود عملیات ریاضیو خواص خاصی که در بالا توضیح داده شد.

نتیجه گیری

بیایید خلاصه کنیم - این مقادیر برای چه چیزی مورد نیاز است، مزایای چنین توابعی چیست؟ البته، اول از همه، آنها زندگی ریاضیدانان و برنامه نویسان را هنگام حل مثال ها ساده می کنند، زیرا به آنها اجازه می دهند محاسبات را به حداقل برسانند، الگوریتم ها را کوتاه کنند، داده ها را سیستماتیک کنند و موارد دیگر.

کجای دیگر این دانش می تواند مفید باشد؟ هر زمان تخصص کار: پزشکی، فارماکولوژی، دندانپزشکی، ساخت و ساز، فناوری، مهندسی، طراحی و غیره.

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

شماره جاست n-ام قدرت یک عدد الفزمانی که:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

یک متر·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

به عنوان مثال. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان دهم یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه ای با ضریب منفی.توان یک عدد معین با یک توان غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با ارزش مطلقشاخص غیر مثبت:

فرمول یک متر:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

به عنوان مثال. الف4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول یک متر:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که برابر با صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

به عنوان مثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی الفبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام از متر-مین توان این عدد الف.

در ادامه گفتگو در مورد توان یک عدد، منطقی است که بفهمیم چگونه مقدار توان را پیدا کنیم. این فرآیند نامیده می شود توانمندی. در این مقاله نحوه انجام توان را مطالعه خواهیم کرد، در حالی که ما به تمام توان های ممکن - طبیعی، صحیح، منطقی و غیر منطقی اشاره خواهیم کرد. و طبق سنت، ما به طور مفصل راه حل هایی را برای مثال هایی از افزایش اعداد به قدرت های مختلف در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

"قدرت" به چه معناست؟

بیایید با توضیح آنچه که توان نامیده می شود شروع کنیم. در اینجا تعریف مربوطه آمده است.

تعریف.

توانمندی- این یافتن مقدار توان یک عدد است.

بنابراین، یافتن مقدار توان یک عدد a با توان r و افزایش عدد a به توان r یکسان است. به عنوان مثال، اگر کار "محاسبه مقدار توان (0.5) 5" باشد، می توان آن را به صورت زیر فرموله کرد: "عدد 0.5 را به توان 5 برسانید."

اکنون می توانید مستقیماً به قوانینی بروید که بر اساس آنها قدرت انجام می شود.

بالا بردن عدد به توان طبیعی

در عمل، برابری بر اساس معمولاً به شکل . یعنی وقتی عدد a را به توان کسری m/n می‌رسانیم، ابتدا ریشه n عدد a گرفته می‌شود و پس از آن نتیجه به توان عدد صحیح m می‌رسد.

بیایید به راه حل هایی برای مثال های افزایش به توان کسری نگاه کنیم.

مثال.

مقدار مدرک را محاسبه کنید.

راه حل.

ما دو راه حل را نشان خواهیم داد.

راه اول با تعریف درجه با توان کسری. مقدار درجه را در زیر علامت ریشه محاسبه می کنیم و سپس استخراج می کنیم ریشه مکعبی: .

راه دوم با تعریف درجه ای با توان کسری و بر اساس ویژگی های ریشه، برابری های زیر صادق است: . حالا ریشه را استخراج می کنیم ، در نهایت، آن را به یک عدد صحیح افزایش می دهیم .

بدیهی است که نتایج بدست آمده از افزایش به توان کسری منطبق است.

پاسخ:

توجه داشته باشید که یک توان کسری را می توان به صورت کسری اعشاری یا یک عدد مختلط نوشت، در این موارد باید با کسری معمولی مربوطه جایگزین شود و سپس به توان افزایش یابد.

مثال.

محاسبه (44.89) 2.5.

راه حل.

اجازه دهید توان را به شکل بنویسیم کسر مشترک(در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید): . اکنون افزایش را به توان کسری انجام می دهیم:

پاسخ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

همچنین باید گفت که افزایش اعداد به قوای عقلانی کاملاً است فرآیند کار فشرده(مخصوصاً زمانی که صورت و مخرج توان کسری دارای اعداد به اندازه کافی بزرگ باشد) که معمولاً با استفاده از فناوری رایانه انجام می شود.

برای جمع‌بندی این نکته، اجازه دهید به افزایش عدد صفر به توان کسری بپردازیم. ما به توان کسری صفر شکل این معنی را دادیم: وقتی داریم ، و در صفر تا توان m/n تعریف نشده است. بنابراین، صفر به توان مثبت کسری صفر است، برای مثال، . و صفر در توان منفی کسری معنی ندارد، مثلاً عبارات 0 -4.3 معنی ندارد.

بالا بردن به یک قدرت غیر منطقی

گاهی اوقات لازم است که مقدار توان یک عدد با توان غیر منطقی را دریابیم. در این مورد، برای اهداف عملی معمولاً به دست آوردن مقدار درجه دقیق به یک علامت خاص کافی است. بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که در عمل این مقدار با استفاده از رایانه های الکترونیکی محاسبه می شود، زیرا افزایش آن به یک قدرت غیر منطقی به صورت دستی به تعداد زیادی محاسبات دست و پا گیر نیاز دارد. اما ما همچنان به طور کلی ماهیت اقدامات را شرح خواهیم داد.

برای به دست آوردن مقدار تقریبی توان یک عدد a با توان غیر منطقی، مقداری تقریب اعشاری از توان گرفته شده و مقدار توان محاسبه می شود. این مقدار مقدار تقریبی توان عدد a با توان غیر منطقی است. هرچه تقریب اعشاری یک عدد در ابتدا دقیق تر باشد، در پایان مقدار درجه دقیق تر به دست می آید.

به عنوان مثال، مقدار تقریبی توان 2 1.174367 را محاسبه می کنیم... . بیایید تقریب اعشاری زیر را در نظر بگیریم شاخص غیر منطقی: . اکنون 2 را به توان گویا 1.17 می بریم (ماهیت این فرآیند را در پاراگراف قبل توضیح دادیم)، 2 1.17 ≈2.250116 را دریافت می کنیم. بنابراین، 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . برای مثال، اگر تقریب اعشاری دقیق تری از توان غیر منطقی در نظر بگیریم، مقدار دقیق تری از توان اصلی به دست می آوریم: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

مراجع

• Vilenkin N.Ya.، ژخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی عمومی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی عمومی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی عمومی
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی عمومی
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).