ماژول یکی از مواردی است که به نظر می رسد همه در مورد آن شنیده اند ، اما در واقع هیچ کس به طور عادی نمی فهمد. بنابراین ، امروز یک درس بزرگ در مورد حل معادلات با ماژول وجود دارد.

بگذارید بلافاصله به شما بگویم: درس دشوار نخواهد بود. به طور کلی ، ماژول ها به طور کلی یک موضوع نسبتاً ساده هستند. "بله ، البته دشوار نیست! مغز من از او می ترکد! " - بسیاری از دانش آموزان می گویند ، اما تمام این شکستگی های مغزی به این دلیل رخ می دهد که اکثر مردم دانش در ذهن خود ندارند ، اما نوعی تلخه از آنها است. و هدف این آموزش تبدیل crap به دانش است. :)

کمی تئوری

پس بزن بریم. بیایید با مهمترین موارد شروع کنیم: ماژول چیست؟ بگذارید یادآوری کنم که مدول یک عدد فقط همان عدد است ، اما بدون علامت منفی گرفته می شود. به عنوان مثال ، $ \\ left | -5 \\ راست | \u003d 5 $. یا $ \\ چپ | -129.5 \\ راست | \u003d 129.5 $.

آیا به همین سادگی است؟ بله ساده است و سپس مقدار مطلق عدد مثبت چقدر است؟ در اینجا حتی ساده تر است: مدول یک عدد مثبت برابر با خود این عدد است: $ \\ left | 5 \\ راست | \u003d 5 $؛ $ \\ چپ | 129.5 \\ راست | \u003d 129.5 $ و غیره

این یک چیز کنجکاو است: اعداد مختلف می تواند ماژول مشابه داشته باشد. به عنوان مثال: $ \\ left | -5 \\ راست | \u003d \\ چپ | 5 \\ راست | \u003d 5 $؛ $ \\ چپ | -129.5 \\ راست | \u003d \\ چپ | 129.5 \\ راست | \u003d 129.5 $. به راحتی می توان فهمید که این اعداد چیستند ، که ماژول ها برای آنها یکسان است: این اعداد مخالف هستند. بنابراین ، برای خود متذکر می شویم که مقادیر مطلق اعداد مخالف برابر هستند:

\\ [\\ چپ | -a \\ راست | \u003d \\ چپ | a \\ right | \\]

یکی دیگر واقعیت مهم: مدول هرگز منفی نیست... هر عددی را که بگیریم - مثبت یا منفی باشد - مدول آن همیشه مثبت است (یا در موارد شدید ، صفر). به همین دلیل است که مدول را اغلب مقدار مطلق یک عدد می نامند.

همچنین ، اگر تعریف مدول را برای مثبت و عدد منفی، سپس تعریف جهانی ماژول را برای همه اعداد دریافت می کنیم. یعنی: اگر عدد مثبت باشد (یا صفر) ، یا اگر عدد منفی باشد ، مدول یک عدد برابر با خود این عدد است. می توانید این را به صورت فرمول بنویسید:

یک ماژول صفر نیز وجود دارد ، اما همیشه صفر است. علاوه بر این ، صفر تنها عددی است که نقطه مقابل ندارد.

بنابراین ، اگر عملکرد $ y \u003d \\ left | را در نظر بگیریم x \\ right | $ و سعی کنید نمودار آن را بکشید ، این "daw" دریافت می کنید:

نمودار ماژول و مثال حل یک معادله

این تصویر بلافاصله نشان می دهد که $ \\ left | -m \\ right | \u003d \\ چپ | m \\ right | $ ، و نمودار مدول هرگز زیر محور abscissa نمی افتد. اما این همه ماجرا نیست: خط قرمز خط مستقیم $ y \u003d a $ را نشان می دهد ، که برای مثبت $ a $ به طور همزمان دو ریشه به ما می دهد: $ ((x) _ (1)) $ و $ ((x) _ ( 2)) $ ، اما بعداً درمورد آن صحبت خواهیم کرد. :)

علاوه بر یک تعریف کاملاً جبری ، یک تعریف هندسی نیز وجود دارد. بگذارید بگوییم در خط عدد دو نقطه وجود دارد: $ ((x) _ (1)) $ و $ ((x) _ (2)) $. در این حالت ، عبارت $ \\ left | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ فقط فاصله بین نقاط مشخص شده است. یا اگر دوست دارید ، طول قطعه اتصال دهنده این نقاط است:

این تعریف همچنین بیانگر این است که مدول همیشه غیر منفی است. اما تعاریف و تئوری کافی - بیایید به معادلات واقعی برویم. :)

فرمول اساسی

خوب ، خوب ، ما تعریف را فهمیدیم. اما آسانتر نشد. چگونه معادلات حاوی این ماژول را حل کنیم؟

آرام ، فقط آرام. بیایید با ساده ترین چیزها شروع کنیم. چیزی شبیه به این را در نظر بگیرید:

\\ [\\ چپ | x \\ راست | \u003d 3 \\]

بنابراین ، مدول $ x $ 3 است. $ x $ چه می تواند باشد؟ خوب ، قضاوت بر اساس تعریف ، $ x \u003d 3 $ خوب است. واقعاً:

\\ [\\ چپ | 3 \\ راست | \u003d 3 \\]

آیا تعداد دیگری وجود دارد؟ Cap ، همانطور که بود ، اشاره می کند که وجود دارد. به عنوان مثال ، $ x \u003d -3 $ - برای او نیز $ \\ باقی مانده است | -3 \\ راست | \u003d 3 $ ، یعنی برابری مورد نیاز برقرار است.

بنابراین شاید اگر جستجو کنیم ، فکر کنیم ، تعداد بیشتری پیدا خواهیم کرد؟ اما جدا شوید: دیگر هیچ شماره ای وجود ندارد. معادله $ \\ سمت چپ | x \\ right | \u003d 3 $ فقط دو ریشه دارد: $ x \u003d 3 $ و $ x \u003d -3 $.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اجازه دهید تابع $ f \\ left (x \\ right) $ به جای متغیر $ x $ در زیر علامت مدول آویزان شود و در سمت راست ، به جای سه گانه ، قرار دهید عدد دلخواه $ a $. ما این معادله را دریافت می کنیم:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d a \\]

خوب ، چگونه این را حل کنیم؟ بگذارید یادآوری کنم: $ f \\ left (x \\ right) $ یک عملکرد دلخواه است ، $ a $ هر عددی است. آنهایی که به طور کلی هر! برای مثال:

\\ [\\ چپ | 2x + 1 \\ right | \u003d 5 \\]

\\ [\\ چپ | 10x-5 \\ right | \u003d -65 \\]

بیایید به معادله دوم توجه کنیم. بلافاصله می توانید در مورد او بگویید: او ریشه ندارد. چرا؟ همه چیز درست است: زیرا مستلزم آن است که مدول برابر با یک عدد منفی باشد ، که هرگز اتفاق نمی افتد ، زیرا ما قبلاً می دانیم که مدول همیشه یک عدد مثبت است یا در موارد شدید ، صفر است.

اما با اولین معادله ، همه چیز جالب تر است. دو گزینه وجود دارد: یا در زیر علامت ماژول یک عبارت مثبت وجود دارد و سپس $ \\ left | 2x + 1 \\ right | \u003d 2x + 1 $ ، یا این عبارت هنوز منفی است ، و سپس $ \\ left | 2x + 1 \\ right | \u003d - \\ چپ (2x + 1 \\ right) \u003d - 2x-1 $. در حالت اول ، معادله ما به شرح زیر بازنویسی می شود:

\\ [\\ چپ | 2x + 1 \\ right | \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

و ناگهان معلوم می شود که عبارت زیر مدول $ 2x + 1 $ واقعاً مثبت است - برابر با عدد 5 است. یعنی ما می توانیم این معادله را با خیال راحت حل کنیم - ریشه حاصل شده بخشی از پاسخ خواهد بود:

کسانی که به خصوص بی اعتماد هستند می توانند ریشه یافت شده را در معادله اصلی جایگزین کنند و مطمئن شوند که در واقع یک عدد مثبت در زیر مدول وجود دارد.

حال بیایید به مورد یک عبارت زیرمدل منفی نگاه کنیم:

\\ [\\ چپ \\ (\\ شروع (تراز کردن) و \\ چپ | 2x + 1 \\ راست | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\ Rightarrow -2x-1 \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

اوه! بازهم ، همه چیز روشن است: ما فرض کردیم $ 2x + 1 \\ lt 0 $ ، و در نتیجه آن $ 2x + 1 \u003d -5 $ بدست آوردیم - در واقع ، این یک عبارت است کمتر از صفر... ما معادله حاصل را حل می کنیم ، در حالی که از قبل مطمئن هستیم که ریشه یافت شده برای ما مناسب است:

بنابراین دوباره دو پاسخ دریافت کردیم: $ x \u003d 2 $ و $ x \u003d 3 $. بله ، مقدار محاسبات کمی بیشتر از معادله بسیار ساده $ \\ left | بود x \\ right | \u003d 3 $ ، اما هیچ چیز تغییر اساسی نکرده است. بنابراین شاید برخی وجود داشته باشد الگوریتم جهانی?

بله ، چنین الگوریتمی وجود دارد. و حالا ما آن را جدا خواهیم کرد.

خلاص شدن از علامت مدول

اجازه دهید معادله $ \\ left | به ما داده شود f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d a $ ، با $ a \\ ge 0 $ (در غیر این صورت ، همانطور که قبلاً می دانیم ، هیچ ریشه ای وجود ندارد). سپس می توانید با توجه به قانون زیر از علامت مدول خلاص شوید:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d a \\ Rightarrow f \\ چپ (x \\ راست) \u003d \\ pm a \\]

بنابراین ، معادله ما با یک مدول به دو قسمت می شود ، اما بدون یک مدول. این همه فناوری است! بیایید سعی کنیم چند معادله را حل کنیم. بیایید با این شروع کنیم

\\ [\\ چپ | 5x + 4 \\ right | \u003d 10 \\ Rightarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

بیایید جداگانه در نظر بگیریم که یک ده با یک مثبت در سمت راست وجود دارد ، و به طور جداگانه - وقتی با یک منهای. ما داریم:

\\ [\\ start (align) & 5x + 4 \u003d 10 \\ Rightarrow 5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1،2؛ \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ Rightarrow 5x \u003d -14 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

همین! ما دو ریشه داریم: $ x \u003d $ 1.2 و $ x \u003d -2.8 $. کل راه حل به معنای واقعی کلمه دو خط بود.

خوب ، بدون سوال ، بیایید کمی جدی تر به یک چیز نگاه کنیم:

\\ [\\ چپ | 7-5 برابر \\ راست | \u003d 13 \\]

دوباره ماژول را با مثبت و منفی گسترش دهید:

\\ [\\ start (align) & 7-5x \u003d 13 \\ Rightarrow -5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1،2؛ \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ Rightarrow -5x \u003d -20 \\ Rightarrow x \u003d 4. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

باز هم چند خط - و جواب آماده است! همانطور که گفتم ، ماژول ها هیچ مشکلی ندارند. شما فقط باید چند قانون را به خاطر بسپارید. بنابراین ، ما پیش می رویم و با کارهای بسیار دشوارتر شروع می کنیم.

مورد سمت راست متغیر

اکنون این معادله را در نظر بگیرید:

\\ [\\ چپ | 3x-2 \\ راست | \u003d 2x \\]

این معادله با همه معادلات قبلی تفاوت اساسی دارد. نسبت به. تا؟ و این واقعیت که در سمت راست علامت برابر عبارت $ 2x $ است - و ما نمی توانیم از قبل بدانیم که مثبت است یا منفی.

در این مورد چه باید کرد؟ اول ، ما باید یک بار برای همیشه درک کنیم که اگر سمت راست معادله منفی شود ، معادله هیچ ریشه ای نخواهد داشت - ما قبلاً می دانیم که مدول نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

و ثانیا ، اگر قسمت سمت راست هنوز مثبت است (یا برابر با صفر) ، می توانید به همان روش قبلی عمل کنید: فقط ماژول را جداگانه با علامت مثبت و جداگانه - با علامت منفی باز کنید.

بنابراین ، ما یک قانون برای توابع دلخواه $ f \\ left (x \\ right) $ و $ g \\ left (x \\ right) $ تنظیم می کنیم:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d g \\ چپ (x \\ راست) \\ Rightarrow \\ چپ \\ (\\ شروع (تراز) و f \\ چپ (x \\ راست) \u003d \\ بعد از ظهر g \\ چپ (x \\ راست) ) ، \\\\ & g \\ چپ (x \\ راست) \\ ge 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\]

با توجه به معادله ما ، به دست می آوریم:

\\ [\\ چپ | 3x-2 \\ right | \u003d 2x \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ start (align) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x، \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

خوب ، ما به نوعی می توانیم از پس نیاز $ 2x \\ ge 0 $ برآییم. در پایان ، شما می توانید ریشه هایی را که از معادله اول بدست آورده اید احمقانه جایگزین کنید و بررسی کنید که این نابرابری برقرار است یا نه

بنابراین ، بیایید خود معادله را حل کنیم:

\\ [\\ start (align) & 3x-2 \u003d 2 \\ Rightarrow 3x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (4) (3)؛ \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ Rightarrow 3x \u003d 0 \\ Rightarrow x \u003d 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

خوب ، کدام یک از این دو ریشه نیاز $ 2x \\ ge 0 $ را برآورده می کند؟ هر دو! بنابراین ، جواب دو عدد خواهد بود: $ x \u003d (4) / (3) \\؛ $ و $ x \u003d 0 $. این کل راه حل است. :)

آیا من گمان می کنم برخی از دانشجویان قبلاً خسته شده اند؟ خوب ، بیایید به یک معادله پیچیده تر نگاه کنیم:

\\ [\\ چپ | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ راست | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

اگرچه بد به نظر می رسد ، اما در واقع همان معادله فرم "مدول برابر با تابع" است:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d g \\ چپ (x \\ راست) \\]

و به همان روش حل می شود:

\\ [\\ چپ | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ راست | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ Rightarrow \\ چپ \\ (\\ شروع (تراز)) و ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ سمت چپ (x - ((x) ^ (3)) \\ راست) ، \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

بعداً با نابرابری مقابله خواهیم کرد - به نوعی بسیار شرورانه است (در واقع ساده است ، اما ما آن را حل نمی کنیم). در حال حاضر بهتر است با معادلات حاصل شده کنار بیایید. بیایید اولین مورد را در نظر بگیریم - این زمانی است که یک ماژول با علامت مثبت گسترش می یابد:

\\ [((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

خوب ، در اینجا هیچ فکری نیست که شما باید همه چیز را در سمت چپ جمع کنید ، موارد مشابه را بیاورید و ببینید چه اتفاقی می افتد. آنچه اتفاق می افتد در اینجا است:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) ؛ \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0 ؛ \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

فاکتور مشترک $ ((x) ^ (2)) $ را خارج از براکت می گیریم و یک معادله بسیار ساده بدست می آوریم:

\\ [((x) ^ (2)) \\ چپ (2x-3 \\ راست) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ چپ [\\ start (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0 ؛ \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

در اینجا ما از یک ویژگی مهم محصول استفاده کردیم ، به همین دلیل چند جمله ای اصلی را به فاکتور تجزیه کردیم: وقتی حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد ، محصول برابر با صفر است.

حال بیایید به همان روش با معادله دوم که در صورت گسترش ماژول با علامت منفی بدست می آید ، برخورد کنیم:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) و ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ چپ (x - ((x) ^ (3)) \\ راست)؛ \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)) ؛ \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0 ؛ \\\\ & x \\ چپ (-3x + 2 \\ راست) \u003d 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

باز هم ، همان چیز: صفر بودن محصول درصورتی است که حداقل یکی از فاکتورها صفر باشد. ما داریم:

\\ [\\ چپ [\\ start (align) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

خوب ، ما سه ریشه داریم: $ x \u003d 0 $ ، $ x \u003d 1.5 $ و $ x \u003d (2) / (3) \\؛ $. بنابراین کدام یک از این مجموعه به جواب نهایی می رسد؟ برای انجام این کار ، به یاد داشته باشید که یک محدودیت اضافی برای نابرابری داریم:

چگونه می توان این الزام را در نظر گرفت؟ بله ، ما فقط ریشه های یافت شده را جایگزین کرده و بررسی می کنیم که آیا نابرابری این $ x $ وجود دارد یا خیر. ما داریم:

\\ [\\ start (align) & x \u003d 0 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0؛ \\\\ & x \u003d 1.5 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1.5 - ((1.5) ^ (3)) \\ lt 0؛ \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0 ؛ \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

بنابراین ، ریشه $ x \u003d 1.5 $ برای ما مناسب نیست. و فقط دو ریشه در پاسخ خواهد رفت:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0 ؛ \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

همانطور که می بینید ، حتی در این مورد نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - معادلات با ماژول ها همیشه با یک الگوریتم حل می شوند. شما فقط باید در چند جمله ای و نابرابری تبحر داشته باشید. بنابراین ، ما به سراغ کارهای پیچیده تری می رویم - در حال حاضر نه یک ، بلکه دو ماژول وجود دارد.

معادلات با دو ماژول

تا کنون ، ما فقط بیشترین مطالعه را انجام داده ایم معادلات ساده - یک ماژول وجود دارد و چیز دیگری. ما این "چیز دیگری" را به دور از ماژول به قسمت دیگری از نابرابری ارسال کردیم ، به طوری که در پایان همه چیز به یک معادله فرم $ \\ left | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d g \\ چپ (x \\ راست) $ یا حتی ساده تر $ \\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d یک $.

ولی مهد کودک پایان یافت - وقت آن است که چیز جدی تری را در نظر بگیریم. بیایید با معادلات این نوع شروع کنیم:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d \\ چپ | g \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \\]

این یک معادله مدول برابر مدول است. اساساً نکته مهم عدم وجود اصطلاحات و عوامل دیگر است: فقط یک ماژول در سمت چپ ، یک ماژول دیگر در سمت راست - و نه چیز دیگر.

اکنون کسی فکر خواهد کرد که حل چنین معادلاتی دشوارتر از آنچه تاکنون مطالعه کرده ایم است. اما نه: حل این معادلات حتی راحت تر است. فرمول زیر است:

\\ [\\ چپ | f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d \\ چپ | g \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \\ Rightarrow f \\ چپ (x \\ راست) \u003d \\ بعد از ظهر g \\ چپ (x \\ راست) \\]

همه! ما فقط عبارات زیر مدول را با پیشوند دادن یکی از آنها با علامت مثبت یا منفی یکی می کنیم. و سپس دو معادله حاصل را حل می کنیم - و ریشه ها آماده هستند! بدون محدودیت اضافی ، بدون نابرابری و غیره همه چیز بسیار ساده است.

بیایید سعی کنیم این مشکل را حل کنیم:

\\ [\\ چپ | 2 برابر + 3 \\ راست | \u003d \\ چپ | 2x-7 \\ راست | \\]

واتسون ابتدایی! ماژول ها را گسترش دهید:

\\ [\\ چپ | 2 برابر + 3 \\ راست | \u003d \\ چپ | 2x-7 \\ right | \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d \\ pm \\ چپ (2x-7 \\ right) \\]

بیایید هر مورد را جداگانه در نظر بگیریم:

\\ [\\ start (align) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ Rightarrow 3 \u003d -7 \\ Rightarrow \\ emptyset؛ \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ چپ (2x-7 \\ راست) \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد. زیرا چه زمانی 3 دلار \u003d -7 دلار است؟ مقادیر $ x $ چیست؟ "$ x $ چیست؟ سنگسار شدی؟ شما اصلاً $ x $ وجود ندارد. " و حق با شما خواهد بود ما برابری بدست آورده ایم که به متغیر $ $ بستگی ندارد و خود برابری درست نیست. به همین دلیل هیچ ریشه ای وجود ندارد. :)

با معادله دوم ، همه چیز کمی جالب تر است ، اما همچنین بسیار بسیار ساده است:

همانطور که می بینید ، همه چیز فقط در چند خط حل شد - ما از معادله خطی انتظار دیگری نداشتیم. :)

در نتیجه ، پاسخ نهایی این است: $ x \u003d 1 $.

چطوره سخت؟ البته که نه. بیایید چیز دیگری را امتحان کنیم:

\\ [\\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ راست | \\]

باز هم معادله ای مثل $ \\ left | داریم f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d \\ چپ | g \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | $. بنابراین ، ما بلافاصله آن را بازنویسی می کنیم ، علامت ماژول را گسترش می دهیم:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ چپ (x-1 \\ right) \\]

شاید کسی اکنون بپرسد ، "هی ، این مزخرفات چیست؟ چرا "بعلاوه یا منفی" در عبارت راست است و در سمت چپ نیست؟ " آرام باش ، الان همه چیز را توضیح می دهم. در واقع ، به روشی دوستانه ، باید معادله خود را به صورت زیر بازنویسی می کردیم:

سپس باید براکت ها را باز کنید ، تمام اصطلاحات را به یک طرف علامت برابر منتقل کنید (زیرا معادله ، بدیهی است در هر دو حالت مربع خواهد بود) و سپس ریشه ها را پیدا کنید. اما باید موافقت کنید: وقتی "بعلاوه منفی" در مقابل سه اصطلاح است (به خصوص وقتی که یکی از این اصطلاحات یک عبارت مربع باشد) ، به نوعی پیچیده تر از وضعیتی است که "بعلاوه منفی" فقط در مقابل دو قرار دارد مقررات.

اما به هر حال ، هیچ چیز مانع نمی شود که معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

\\ [\\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ راست | \\ Rightarrow \\ چپ | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ راست | \u003d \\ چپ | x-1 \\ راست | \\]

چی شد؟ هیچ چیز خاصی وجود ندارد: فقط طرف چپ و راست را عوض کنید. ریزه کاری که در آخر زندگی ما را کمی راحت تر خواهد کرد. :)

به طور کلی ، ما این معادله را با در نظر گرفتن گزینه های مثبت و منفی حل می کنیم:

\\ [\\ start (تراز کردن) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0؛ \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ چپ (x-1 \\ راست) \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

معادله اول ریشه $ x \u003d 3 $ و $ x \u003d 1 $ دارد. دوم به طور کلی یک مربع دقیق است:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ \\ چپ (x-1 \\ راست)) ^ (2)) \\]

بنابراین ، آن یک ریشه دارد: $ x \u003d 1 $. اما ما قبلاً این ریشه را قبلاً دریافت کرده ایم. بنابراین ، فقط دو عدد به جواب نهایی می رسند:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3 ؛ \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

ماموریت انجام شد! می توانید آن را از قفسه بردارید و یک پای بخورید. 2 نفر وجود دارد ، میانگین شما. :)

یادداشت مهم... وجود ریشه های یکسان در گزینه های مختلف گسترش ماژول به این معنی است که چند جمله های اصلی به عواملی تجزیه می شوند و در بین این عوامل قطعاً یک عامل مشترک وجود دارد. واقعاً:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) و \\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ راست | \\\\ & \\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | \\ چپ (x-1 \\ راست) \\ چپ (x-2 \\ راست) \\ راست |. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

یکی از خصوصیات ماژول: $ \\ left | a \\ cdot b \\ right | \u003d \\ left | a \\ right | \\ cdot \\ left | b \\ right | $ (یعنی مدول محصول برابر با ماژول است) ، بنابراین می توان معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کرد:

\\ [\\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | x-1 \\ راست | \\ cdot \\ چپ | x-2 \\ راست | \\]

همانطور که می بینید ، ما واقعاً یک عامل مشترک داریم. حال ، اگر همه ماژول ها را در یک طرف جمع کنید ، می توانید این فاکتور را از براکت خارج کنید:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) و \\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d \\ چپ | x-1 \\ راست | \\ cdot \\ چپ | x-2 \\ راست | \\\\ & \\ چپ | x-1 \\ راست | - \\ چپ | x-1 \\ راست | \\ cdot \\ چپ | x-2 \\ راست | \u003d 0؛ \\\\ & \\ چپ | x-1 \\ right | \\ cdot \\ left (1- \\ left | x-2 \\ right | \\ right) \u003d 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

خوب ، اکنون ما به یاد می آوریم که محصول حداقل زمانی است که حداقل یکی از عوامل صفر باشد:

\\ [\\ چپ [\\ شروع (تراز کردن) & \\ چپ | x-1 \\ راست | \u003d 0 ، \\\\ & \\ چپ | x-2 \\ راست | \u003d 1. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\]

بنابراین ، معادله اصلی با دو ماژول به دو معادله ساده تقلیل یافت ، که در ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم. چنین معادلاتی را می توان به معنای واقعی کلمه در چند خط حل کرد. :)

این اظهار نظر ممکن است در عمل بیش از حد پیچیده و غیر قابل اجرا به نظر برسد. با این حال ، در واقعیت ممکن است خیلی بیشتر روبرو شوید کارهای چالش برانگیزاز کسانی که امروز آنها را بررسی می کنیم در آنها ، ماژول ها می توانند با چند جمله ای ، ریشه حساب ، لگاریتم و غیره ترکیب شوند. و در چنین شرایطی ، توانایی پایین آوردن درجه کلی معادله با قرار دادن چیزی خارج از براکت می تواند بسیار بسیار مفید باشد. :)

اکنون می خواهم یک معادله دیگر را تجزیه و تحلیل کنم ، که در نگاه اول ممکن است دیوانه باشد. بسیاری از دانشجویان به آن پایبند هستند - حتی کسانی که فکر می کنند ماژول ها را به خوبی درک کرده اند.

با این وجود ، حل این معادله حتی از آنچه قبلاً در نظر گرفتیم آسان تر است. و اگر دلیل آن را بفهمید ، یک ترفند دیگر برای حل سریع معادلات با ماژول خواهید گرفت.

بنابراین معادله:

\\ [\\ چپ | x - ((x) ^ (3)) \\ راست | + \\ چپ | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ راست | \u003d 0 \\]

نه ، این یک اشتباه تایپی نیست: یک امتیاز مثبت بین ماژول ها وجود دارد. و ما باید دریابیم که مجموع دو ماژول در $ x $ معادل صفر است. :)

مشکل چیست؟ و مسئله این است که هر ماژول یک عدد مثبت است ، یا در موارد شدید صفر است. اگر دو عدد مثبت جمع کنید چه اتفاقی می افتد؟ بدیهی است که دوباره یک عدد مثبت است:

\\ [\\ شروع (تراز کردن) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0؛ \\\\ & 0.004 + 0.0001 \u003d 0.0041 \\ gt 0؛ \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\]

آخرین خط ممکن است به شما ایده بدهد: تنها موردی که مجموع ماژول ها برابر با صفر باشد این است که هر ماژول برابر با صفر باشد:

\\ [\\ چپ | x - ((x) ^ (3)) \\ راست | + \\ چپ | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ راست | \u003d 0 \\ Rightarrow \\ چپ \\ (\\ شروع (تراز) و \\ چپ | x - ((x) ^ (3)) \\ راست | \u003d 0 ، \\\\ & \\ چپ | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ راست | \u003d 0. \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\]

و چه زمانی مدول صفر است؟ فقط در یک حالت - وقتی عبارت زیر مدول صفر است:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ Rightarrow \\ چپ (x + 2 \\ راست) \\ چپ (x-1 \\ راست) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ چپ [\\ شروع (تراز کردن) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ پایان (تراز کردن) \\ راست. \\]

بنابراین ، ما سه نقطه داریم که در آن ماژول اول صفر می شود: 0 ، 1 و -1 ؛ و همچنین دو نقطه که ماژول دوم در آن صفر می شود: and2 و 1. با این حال ، ما به هر دو ماژول به طور همزمان به صفر نیاز داریم ، بنابراین ، در میان اعداد پیدا شده ، باید مواردی را انتخاب کنیم که در هر دو مجموعه گنجانده شده باشند. بدیهی است که فقط یک عدد از این دست وجود دارد: $ x \u003d 1 $ - این جواب نهایی خواهد بود.

روش تقسیم

خوب ، ما قبلاً یک سری کارها را شرح داده ایم و نکات زیادی را یاد گرفته ایم. به نظر شما این همه است؟ اما نه! اکنون ما به ترفند نهایی - و در عین حال مهمترین آن - نگاه خواهیم کرد. ما در مورد تقسیم معادلات با یک مدول صحبت می کنیم. چه خواهد شد همه چیز در مورد؟ بیایید کمی به عقب برگردیم و برخی معادلات ساده را بررسی کنیم. به عنوان مثال ، این:

\\ [\\ چپ | 3x-5 \\ راست | \u003d 5-3x \\]

در اصل ، ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین معادله ای را حل کنیم ، زیرا این یک ساختار استاندارد مانند $ \\ left | است f \\ چپ (x \\ راست) \\ راست | \u003d g \\ چپ (x \\ راست) $. اما بیایید سعی کنیم این معادله را از زاویه کمی متفاوت بررسی کنیم. دقیق تر ، عبارت زیر علامت ماژول را در نظر بگیرید. بگذارید یادآوری کنم که مدول هر عدد می تواند برابر با عدد خود باشد ، یا می تواند در مقابل این عدد باشد:

\\ [\\ چپ | a \\ right | \u003d \\ left \\ (\\ start (align) & a، \\ quad a \\ ge 0، \\\\ & -a، \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\)

در واقع ، این ابهام کل مسئله است: از آنجا که تعداد زیر مدول تغییر می کند (بستگی به متغیر دارد) ، مثبت یا منفی بودن آن برای ما مشخص نیست.

اما اگر در ابتدا به مثبت بودن این تعداد احتیاج داشته باشید چه می کنید؟ به عنوان مثال ، بیایید به $ 3x-5 \\ gt 0 $ نیاز داشته باشیم - در این حالت تضمین می کنیم که یک عدد مثبت را تحت علامت مدول بدست آوریم ، و می توانیم به طور کامل از خود این ماژول خلاص شویم:

بنابراین ، معادله ما به یک خطی تبدیل می شود که حل آن آسان است:

با این حال ، همه این بازتاب ها فقط در شرایط 3 * 5 $ / gt 0 $ معنا پیدا می کنند - ما خودمان این نیاز را به منظور آشکار کردن ماژول معرفی کردیم. بنابراین ، بیایید $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ پیدا شده را در این شرایط جایگزین کنیم و بررسی کنیم:

به نظر می رسد که برای مقدار مشخص شده x $ $ نیاز ما برآورده نشده است ، از آن زمان این عبارت معادل صفر است ، اما ما باید دقیقاً بیشتر از صفر باشد. غمگینی. :(

اما اشکالی ندارد! پس از همه ، یک گزینه دیگر وجود دارد $ 3x-5 \\ lt 0 $. علاوه بر این: مورد 3x-5 \u003d 0 $ نیز وجود دارد - این نیز باید مورد توجه قرار گیرد ، در غیر این صورت راه حل ناقص خواهد بود. بنابراین ، پرونده را 3x-5 \\ lt 0 $ در نظر بگیرید:

بدیهی است که ماژول با علامت منفی باز می شود. اما پس از آن یک وضعیت عجیب و غریب بوجود می آید: هر دو چپ و راست در معادله اصلی همان عبارت را نشان می دهند:

من تعجب می کنم که در کدام عبارت $ 5 $ 5-3x $ برابر با عبارت $ 5-3x $ خواهد بود؟ حتی کاپیتان هم شواهد این معادلات را خفه می کند ، اما ما می دانیم که این معادله یک هویت است ، یعنی برای هر مقدار از متغیر درست است!

این بدان معنی است که هر $ x $ مناسب ما خواهد بود. با این حال ، ما یک محدودیت داریم:

به عبارت دیگر ، پاسخ یک عدد منفرد نخواهد بود ، بلکه یک بازه کامل خواهد بود:

سرانجام ، باید به یک مورد دیگر نیز توجه کرد: 3x-5 \u003d 0 $ $. در اینجا همه چیز ساده است: زیر ماژول صفر خواهد بود و ماژول صفر نیز صفر است (این به طور مستقیم از تعریف ناشی می شود):

اما سپس معادله اصلی $ \\ left | 3x-5 \\ right | \u003d 5-3x $ به شرح زیر بازنویسی می شود:

ما قبلاً این ریشه را در بالا به دست آوردیم که پرونده $ 3x-5 \\ gt 0 $ را در نظر گرفتیم. علاوه بر این ، این ریشه یک راه حل برای معادله $ 3x-5 \u003d 0 $ است - این محدودیتی است که ما خود ما برای صفر کردن ماژول معرفی کردیم. :)

بنابراین ، علاوه بر فاصله ، از عددی که در انتهای این فاصله قرار دارد نیز راضی هستیم:

پاسخ نهایی نهایی: $ x \\ in \\ left (- \\ infty؛ \\ frac (5) (3) \\ right] $. دیدن چنین تلخه هایی در جواب یک معادله نسبتاً ساده (در واقع خطی) خیلی معمول نیست با مدول خوب ، به آن عادت کنید: پیچیدگی ماژول در این واقعیت نهفته است که پاسخ در چنین معادلاتی می تواند کاملاً غیرقابل پیش بینی باشد.

مهمتر از این چیز دیگری است: ما فقط یک الگوریتم جهانی را برای حل یک معادله با مدولاسیون تجزیه و تحلیل کرده ایم! و این الگوریتم شامل مراحل زیر است:

1. هر ماژول را در معادله صفر قرار دهید. بیایید چندین معادله بدست آوریم.
2. همه این معادلات را حل کنید و ریشه ها را روی خط اعداد مشخص کنید. در نتیجه ، خط به فواصل مختلفی تقسیم می شود که در هر کدام از آنها ماژولها به طور صریح گسترش یافته اند.
3. برای هر فاصله معادله اصلی را حل کنید و پاسخ ها را ترکیب کنید.

همین! فقط یک سوال باقی مانده است: با ریشه هایی که در مرحله 1 بدست آمده اند چه باید کرد؟ فرض کنیم دو ریشه داریم: $ x \u003d 1 $ و $ x \u003d 5 $. آنها خط شماره را به 3 قطعه تقسیم می کنند:

خوب ، فواصل چیست؟ روشن است که سه مورد وجود دارد:

1. چپ ترین: $ x \\ lt 1 $ - واحد در این بازه گنجانده نشده است.
2. مرکزی: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - در اینجا یکی در بازه زمانی گنجانده شده است ، اما پنج مورد شامل نمی شود.
3. درست ترین: $ x \\ ge 5 $ - پنج مورد فقط در اینجا گنجانده شده است!

فکر می کنم شما الگوی آن را فهمیدید. هر بازه شامل انتهای سمت چپ است و انتهای سمت راست را شامل نمی شود.

در نگاه اول ، چنین ضبط شده ای ممکن است ناخوشایند ، غیر منطقی و به طور کلی نوعی خیالی به نظر برسد. اما باور کنید: بعد از کمی آموزش ، متوجه می شوید که این مطمئن ترین روش است و در عین حال در باز کردن بدون شک ماژول ها تداخل ندارد. بهتر است از چنین طرحی استفاده کنید تا اینکه هر بار فکر کنید: انتهای چپ / راست را به بازه فعلی بدهید یا آن را به قسمت بعدی "پرتاب" کنید.

در این مقاله ، ما به طور مفصل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد مقدار مطلق یک عدد... خواهیم داد تعاریف مختلف ماژول شماره ، علامت گذاری را معرفی می کنیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در این مورد ، در نظر بگیرید مثالهای مختلف پیدا کردن مدول یک عدد بر اساس تعریف. پس از آن ، ما خصوصیات اصلی ماژول را لیست کرده و توجیه می کنیم. در پایان مقاله ، بیایید در مورد چگونگی تعیین و یافتن ماژول یک عدد مختلط صحبت کنیم.

پیمایش صفحه.

ماژول شماره - تعریف ، علامت گذاری و مثالها

ابتدا معرفی می کنیم مدول تعداد... مدول عدد a نوشته خواهد شد ، به این معنی که ، در سمت چپ و راست عدد خطوط عمودی را قرار می دهیم که علامت مدول را تشکیل می دهند. در اینجا چند مثال آورده شده است. به عنوان مثال ، ماژول −7 را می توان به صورت زیر نوشت: ماژول 4.125 به صورت و ماژول به صورت نوشته شده است.

تعریف زیر از یک ماژول به اعداد صحیح ، و به اعداد منطقی و غیر منطقی ، به عنوان اجزای تشکیل دهنده مجموعه اعداد واقعی اشاره دارد و بنابراین. ما در مورد ماژول شماره پیچیده در صحبت خواهیم کرد.

تعریف.

مدول عدد a یا عدد a است ، اگر a یک عدد مثبت است یا عدد a ، عدد مقابل a اگر a منفی است ، یا 0 اگر a \u003d 0 باشد.

تعریف صوتی ماژول یک عدد اغلب به شکل زیر نوشته می شود ، این علامت گذاری به این معنی است که اگر a\u003e 0 ، a \u003d 0 و a باشد<0 .

ضبط را می توان به شکل فشرده تری ارائه کرد ... این علامت گذاری به این معنی است که اگر (a بزرگتر یا مساوی 0 است) ، و اگر a باشد<0 .

یک رکورد نیز وجود دارد ... در اینجا ، موردی که a \u003d 0 باید جداگانه روشن شود. در این حالت ، اما 0 − \u003d 0 داریم ، زیرا صفر عددی در نظر گرفته می شود که مخالف خودش باشد.

بگذارید بدهیم نمونه هایی از یافتن مدول یک عدد با استفاده از تعریف صدا به عنوان مثال ، بیایید ماژول های اعداد 15 و. بیایید با پیدا کردن شروع کنیم از آنجایی که عدد 15 مثبت است ، بنابراین مدول آن با این عدد برابر است ، یعنی. و مقدار مطلق عدد چقدر است؟ از آنجا که یک عدد منفی است ، مدول آن برابر است با عدد مخالف ، یعنی عدد ... بدین ترتیب، .

در نتیجه گیری این پاراگراف ، ما یک نتیجه گیری ارائه می دهیم که در هنگام یافتن مدول یک عدد ، کاربرد آن بسیار راحت است. از تعریف مدول یک عدد نتیجه می شود که مدول یک عدد برابر با عدد زیر علامت مدول است بدون توجه به علامت آن، و از مثالهایی که در بالا در نظر گرفته شد ، این کاملاً مشهود است. جمله بالا توضیح می دهد که چرا ماژول یک عدد نیز فراخوانی می شود مقدار مطلق عدد... بنابراین مدول یک عدد و مقدار مطلق یک عدد یکی است.

مدول عدد به عنوان فاصله

از لحاظ هندسی ، ماژول یک عدد را می توان چنین تفسیر کرد مسافت... بگذارید بدهیم تعیین مدول یک عدد از راه دور.

تعریف.

مدول عدد a آیا فاصله از مبدا در خط مختصات تا نقطه مربوط به عدد a است.

این تعریف با تعریف مدول عددی که در پاراگراف اول آورده شده مطابقت دارد. بگذارید این نکته را توضیح دهیم. فاصله از مبدا تا نقطه ای که عدد مثبت با آن مطابقت دارد برابر با این عدد است. صفر با مبدا مطابقت دارد ، بنابراین فاصله از مبدا تا نقطه با مختصات 0 برابر با صفر است (نیازی نیست که یک بخش واحد را به تعویق بیندازید و نه یک قطعه واحد که کسری از یک بخش واحد را تشکیل دهد تا با مختصات 0 از نقطه O به نقطه بروید). فاصله از مبدا تا نقطه با مختصات منفی برابر است با عدد مقابل مختصات این نقطه ، زیرا برابر است با فاصله از مبدا تا نقطه ای که مختصات آن عدد مخالف باشد.

به عنوان مثال ، مقدار مطلق 9 9 است ، زیرا فاصله از مبدا تا نقطه با مختصات 9 نه است. بیایید یک مثال دیگر بزنیم. نقطه با مختصات .23.25 در فاصله 3.25 از نقطه O قرار دارد ، بنابراین .

تعریف صوتی مدول یک عدد یک مورد خاص برای تعیین مدول اختلاف دو عدد است.

تعریف.

مدول تفاوت دو عدد a و b برابر است با فاصله بین نقاط خط مختصات با مختصات a و b.

یعنی اگر در خط مختصات A (a) و B (b) امتیازاتی داده شود ، آنگاه فاصله از نقطه A تا نقطه B برابر مدول اختلاف بین اعداد a و b است. اگر نقطه O (مبدا) را به عنوان نقطه B در نظر بگیریم ، پس تعریف مدول عددی را می گیریم که در ابتدای این پاراگراف آورده شده است.

تعیین مدول یک عدد از طریق ریشه مربع حسابی

گاهی اوقات رخ می دهد تعریف مدول از نظر ریشه مربع حسابی.

به عنوان مثال ، بیایید مقادیر مطلق اعداد −30 و بر اساس این تعریف محاسبه کنیم. ما داریم. به طور مشابه ، ماژول دو سوم را محاسبه می کنیم: .

تعریف مدول یک عدد از طریق ریشه مربع حسابی نیز با تعریفی که در پاراگراف اول این مقاله ارائه شده مطابقت دارد. بگذارید آن را نشان دهیم. بگذارید a یک عدد مثبت باشد ، در حالی که عدد a منفی است. سپس و ، اگر a \u003d 0 باشد ، پس .

خصوصیات ماژول

ماژول دارای تعدادی از نتایج مشخصه است - خواص ماژول... اکنون اصلی ترین و پر استفاده ترین آنها را ارائه خواهیم داد. هنگام توجیه این خصوصیات ، به تعریف مدول یک عدد از راه دور اعتماد خواهیم کرد.

بیایید با بارزترین ویژگی یک ماژول شروع کنیم - مدول یک عدد نمی تواند منفی باشد... این فرم به صورت تحت اللفظی فرم هر شماره a را دارد. اثبات این ویژگی بسیار آسان است: مدول یک عدد فاصله است و فاصله را نمی توان به عنوان یک عدد منفی بیان کرد.

بیایید به ویژگی بعدی ماژول برویم. مقدار مطلق یک عدد صفر است در صورتی که این عدد صفر باشد... مدول صفر طبق تعریف صفر است. صفر مربوط به مبدا است ، هیچ نقطه دیگری در خط مختصات با صفر مطابقت ندارد ، زیرا هر عدد واقعی با یک نقطه از خط مختصات مرتبط است. به همین دلیل ، هر عدد غیر از صفر با یک نقطه غیر از مبدا مطابقت دارد. و فاصله از مبدا تا هر نقطه غیر از نقطه O صفر نیست ، زیرا فاصله بین دو نقطه صفر است اگر و فقط در صورت همزمانی این نقاط. استدلال فوق ثابت می کند که فقط مدول صفر برابر با صفر است.

حرکت کن اعداد مقابل ماژول های برابر دارند ، یعنی برای هر عدد a. در واقع ، دو نقطه از خط مختصات که مختصات آن اعداد مخالف هستند ، از مبدا در یک فاصله قرار دارند ، به این معنی که ماژول های اعداد مخالف برابر هستند.

ویژگی بعدی ماژول به شرح زیر است: مدول حاصلضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب مدول این اعداد، یعنی ، طبق تعریف ، مدول حاصل از اعداد a و b یا a است اگر ، یا - (a b) اگر باشد. از قوانین ضرب اعداد واقعی بدست می آید که حاصلضرب مقادیر مطلق اعداد a و b برابر است با a b یا - (a b) اگر ، این خاصیت مورد بررسی را ثابت می کند.

مدول ضریب تقسیم a با b برابر است با ضریب تقسیم مدول عدد a به مدول عدد b، یعنی ، اجازه دهید این ویژگی ماژول را توجیه کنیم. از آنجا که ضریب برابر با محصول است ، بنابراین. به موجب خاصیت قبلی ، ما داریم ... فقط استفاده از برابری باقی مانده است که با تعریف مدول یک عدد معتبر است.

ویژگی زیر یک ماژول به عنوان نابرابری نوشته شده است: ، a ، b و c اعداد واقعی دلخواه هستند. نابرابری ثبت شده چیزی بیش نیست نابرابری مثلث... برای روشن کردن این نکته ، نقاط A (a) ، B (b) ، C (c) را در خط مختصات بردارید ، و مثلث منحط ABC را در نظر بگیرید ، که رئوس آن روی یک خط مستقیم قرار دارد. طبق تعریف ، مدول اختلاف برابر با طول قطعه AB است ، طول قطعه AC است و طول قطعه CB است. از آنجا که طول هر ضلع مثلث از مجموع طول دو ضلع دیگر فراتر نمی رود ، نابرابری بنابراین نابرابری نیز درست است.

نابرابری تازه اثبات شده در شکل بسیار رایج است ... نابرابری نوشته شده معمولاً به عنوان ویژگی جداگانه ماژول با فرمول در نظر گرفته می شود: مقدار مطلق حاصل از جمع دو عدد از مجموع مقادیر مطلق این اعداد فراتر نمی رود" اما این نابرابری مستقیماً از نابرابری ناشی می شود اگر insteadb را به جای b قرار دهیم و c \u003d 0 بگیریم.

ماژول شماره پیچیده

بیا بدهیم تعیین مدول یک عدد مختلط... باشد که به ما داده شود عدد مختلط، به صورت جبری نوشته شده است ، جایی که x و y تعدادی از اعداد واقعی هستند ، که به ترتیب قسمتهای واقعی و خیالی عدد پیچیده داده شده z را نشان می دهند و واحد خیالی است.

یکی از چالش برانگیزترین مباحث برای دانشجویان ، حل معادلاتی است که دارای یک متغیر در علامت مدول باشد. بیایید ابتدا آن را کشف کنیم ، این به چه چیزی مرتبط است؟ به عنوان مثال ، چرا معادلات درجه دوم بیشتر بچه ها مانند مهره کلیک می کنند ، اما با یک مفهوم بسیار پیچیده به عنوان یک ماژول ، این همه مشکلات دارد؟

به نظر من ، تمام این دشواری ها با فقدان قوانین مشخص برای حل معادلات با یک مدول همراه است. بنابراین ، تصمیم گیری معادله ی درجه دو، دانش آموز به یقین می داند که ابتدا باید فرمول تفکیک کننده و سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم را اعمال کند. اما اگر در معادله ماژولی وجود داشته باشد چه می کنید؟ ما سعی خواهیم کرد به طور واضح برنامه اقدام لازم را برای مواردی که معادله تحت علامت مدول ناشناخته دارد ، توصیف کنیم. در اینجا چند مثال برای هر مورد آورده شده است.

اما ابتدا بیاد بیاوریم تعریف ماژول... بنابراین ، مدول عدد آ این عدد خود را اگر می نامند آ غیر منفی و -آاگر عدد باشد آ کمتر از صفر می توانید آن را اینگونه بنویسید:

| a | \u003d a اگر a ≥ 0 و | a | \u003d -a اگر a< 0

صحبت در مورد حس هندسی ماژول ، باید به یاد داشته باشید که هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه خاص در محور اعداد است - k آن هماهنگ كردن. بنابراین ، مدول یا مقدار مطلق یک عدد فاصله از این نقطه تا مبدا محور عددی است. فاصله همیشه به عنوان یک عدد مثبت مشخص می شود. بنابراین ، مقدار مطلق هر عدد منفی یک عدد مثبت است. ضمناً ، حتی در این مرحله ، بسیاری از دانشجویان گیج می شوند. هر شماره می تواند در ماژول باشد ، اما نتیجه استفاده از ماژول همیشه یک عدد مثبت است.

حالا بیایید مستقیماً به حل معادلات بپردازیم.

1. معادله ای از فرم | x | را در نظر بگیرید \u003d c ، جایی که c یک عدد واقعی است. این معادله را می توان با استفاده از تعریف مدول حل کرد.

همه اعداد واقعی را به سه گروه تقسیم می کنیم: بزرگتر از صفر ، عدد کمتر از صفر و گروه سوم عدد 0 است. بیایید حل را به صورت نمودار بنویسیم:

(if c اگر c\u003e 0 باشد

اگر | x | \u003d c ، سپس x \u003d (0 ، اگر c \u003d 0 باشد

(بدون ریشه اگر با< 0

1) | x | \u003d 5 ، زیرا 5\u003e 0 ، سپس x \u003d ± 5 ؛

2) | x | \u003d -5 ، زیرا -پنج< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0 ، سپس x \u003d 0

2. معادله فرم | f (x) | \u003d b ، جایی که b\u003e 0. برای حل این معادله ، خلاص شدن از مدول لازم است. ما این کار را اینگونه انجام می دهیم: f (x) \u003d b یا f (x) \u003d -b. حال لازم است که هر یک از معادلات بدست آمده را جداگانه حل کنیم. اگر در معادله اصلی ب باشد< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4 ، زیرا 4\u003e 0 ، پس

x + 2 \u003d 4 یا x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11 ، زیرا 11\u003e 0 ، پس

x 2 - 5 \u003d 11 یا x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 ریشه ندارد

3) | x 2 - 5x | \u003d -8 ، زیرا -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. معادله فرم | f (x) | \u003d g (x) در معنای ماژول ، اگر سمت راست آن بزرگتر یا برابر با صفر باشد ، چنین معادله ای راه حل هایی خواهد داشت ، یعنی g (x) ≥ 0. سپس موارد زیر را خواهیم داشت:

f (x) \u003d g (x)یا f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. این معادله اگر 5x - 10 ≥ 0 ریشه داشته باشد ، از اینجا شروع می شود که حل چنین معادلاتی آغاز می شود.

1. O.D.Z. 5 برابر - 10 ≥ 0

2. راه حل:

2x - 1 \u003d 5x - 10 یا 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ما ODZ را متحد می کنیم. و راه حل این است:

ریشه x \u003d 11/7 مطابق با O.D.Z مناسب نیست ، کمتر از 2 است و x \u003d 3 این شرط را برآورده می کند.

پاسخ: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. بگذارید این نابرابری را با استفاده از روش فواصل حل کنیم:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. راه حل:

x - 1 \u003d 1 - x 2 یا x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 یا x \u003d 1 x \u003d 0 یا x \u003d 1

3. ما محلول و ODZ را ترکیب می کنیم:

فقط ریشه های x \u003d 1 و x \u003d 0 مناسب هستند.

پاسخ: x \u003d 0 ، x \u003d 1.

4. معادله فرم | f (x) | \u003d | گرم (x) |. این معادله معادل دو معادله زیر f (x) \u003d g (x) یا f (x) \u003d -g (x) است.

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2 برابر - 5 |. این معادله معادل دو مورد زیر است:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 یا x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 یا x \u003d 4 x \u003d 2 یا x \u003d 1

پاسخ: x \u003d 1 ، x \u003d 2 ، x \u003d 3 ، x \u003d 4.

5. معادلات حل شده با روش جایگزینی (جایگزینی متغیر). توضیح این روش ساده ترین راه حل است مثال خاص... بنابراین ، اجازه دهید یک معادله درجه دوم با یک مدول آورده شود:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. توسط ویژگی ماژول x 2 \u003d | x | 2 ، بنابراین می توان معادله را به صورت زیر بازنویسی کرد:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. بگذارید | x | را جایگزین کنیم \u003d t ≥ 0 ، سپس ما خواهیم داشت:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. با حل این معادله ، t \u003d 1 یا t \u003d 5 بدست می آوریم. بیایید به جایگزین برگردیم:

| x | \u003d 1 یا | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

پاسخ: x \u003d -5 ، x \u003d -1 ، x \u003d 1 ، x \u003d 5.

بیایید به یک مثال دیگر نگاه کنیم:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. توسط ویژگی ماژول x 2 \u003d | x | 2 ، بنابراین

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. بیایید جایگزین | x |. را انجام دهیم \u003d t ≥ 0 ، پس:

t 2 + t - 2 \u003d 0. با حل این معادله ، t \u003d -2 یا t \u003d 1 بدست می آوریم. بیایید به جایگزین برگردیم:

| x | \u003d -2 یا | x | \u003d 1

بدون ریشه x \u003d 1

پاسخ: x \u003d -1 ، x \u003d 1.

6. نوع دیگری از معادلات - معادلات با یک ماژول "پیچیده". این معادلات شامل معادلاتی است که "ماژول در یک ماژول" دارند. معادلات این نوع را می توان با استفاده از خصوصیات ماژول حل کرد.

1) | 3 - | x || \u003d 4. به همان روشی که در معادلات نوع دوم انجام می شود پیش خواهیم رفت. زیرا 4\u003e 0 ، سپس دو معادله بدست می آوریم:

3 - | x | \u003d 4 یا 3 - | x | \u003d -4

حال ما در هر معادله مدول x را بیان می کنیم ، سپس | x | \u003d -1 یا | x | \u003d 7

هر یک از معادلات بدست آمده را حل می کنیم. در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد ، زیرا -یک< 0, а во втором x = ±7.

جواب x \u003d -7 ، x \u003d 7 است.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. ما این معادله را به همان روش حل می کنیم:

3 + | x + 1 | \u003d 5 یا 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 یا x + 1 \u003d -2. بدون ریشه

پاسخ: x \u003d -3 ، x \u003d 1.

همچنین یک روش جهانی برای حل معادلات با یک ماژول وجود دارد. این روش فاصله گذاری است. اما بعداً آن را بررسی خواهیم کرد.

وب سایت ، با کپی کامل یا جزئی از مطالب ، پیوند به منبع مورد نیاز است.

مقدار مطلق یک عدد آ فاصله از مبدا تا نقطه است و(آ).

برای درک این تعریف ، متغیر را جایگزین کنید آ هر شماره ، به عنوان مثال 3 و سعی کنید آن را دوباره بخوانید:

مقدار مطلق یک عدد 3 فاصله از مبدا تا نقطه است و(3 ).

روشن می شود که ماژول چیزی بیش از یک فاصله طبیعی نیست. بیایید سعی کنیم فاصله از مبدا تا نقطه A را ببینیم ( 3 )

فاصله از مبدا تا نقطه A ( 3 ) برابر است با 3 (سه واحد یا سه مرحله).

مدول یک عدد با دو خط عمودی نشان داده می شود ، به عنوان مثال:

مدول عدد 3 به شرح زیر مشخص می شود: | 3 |

مدول عدد 4 به شرح زیر مشخص می شود: | 4 |

مدول عدد 5 به شرح زیر مشخص می شود: | 5 |

ما به دنبال ماژول شماره 3 بودیم و متوجه شدیم که برابر 3 است. بنابراین می نویسیم:

این مانند: "مدول عدد سه سه است"

حال سعی کنیم مدول عدد -3 را پیدا کنیم. دوباره به تعریف برگردید و عدد -3 را در آن جایگزین کنید. فقط به جای یک نکته آ از یک نکته جدید استفاده کنید ب... نقطه آ ما قبلاً در اولین مثال استفاده کردیم.

اعداد مدول - 3 فاصله از مبدا تا نقطه است ب(—3 ).

فاصله از یک نقطه به نقطه دیگر نمی تواند منفی باشد. بنابراین ، مدول هر عدد منفی ، فاصله بودن نیز نخواهد بود. مدول عدد -3 عدد 3 خواهد بود. فاصله از مبدا تا نقطه B (-3) نیز سه واحد است:

این مانند: "مدول عدد منهای سه سه است"

مقدار مطلق عدد 0 0 است ، زیرا نقطه با مختصات 0 با مبدا همزمان است ، یعنی فاصله از مبدا تا نقطه O (0) برابر با صفر است:

"مدول صفر صفر است"

ما نتیجه گیری می کنیم:

• مدول یک عدد نمی تواند منفی باشد.
• برای یک عدد مثبت و صفر ، مدول برابر با عدد خود و برای یک عدد منفی ، عدد مخالف است.
• اعداد مقابل دارای ماژول های برابر هستند.

اعداد مخالف

اعدادی را که فقط در علائم متفاوت هستند ، نامیده می شود مقابل... به عنوان مثال ، اعداد −2 و 2 مخالف هستند. آنها فقط در علائم متفاوت هستند. عدد −2 علامت منهای دارد و 2 علامت جمع دارد ، اما ما آن را نمی بینیم ، زیرا بعلاوه ، همانطور که قبلاً گفتیم ، به طور سنتی نوشته نمی شود.

مثالهای بیشتر از اعداد مخالف:

اعداد مقابل دارای ماژول های برابر هستند. به عنوان مثال ، بیایید ماژول های −2 و 2 را پیدا کنیم

شکل نشان می دهد که فاصله از مبدا تا نقاط A (−2) و ب (2) برابر است با دو مرحله.

آیا درس را دوست داشتید؟
به ما بپیوندید گروه جدید Vkontakte را دریافت کنید و اعلان های مربوط به دروس جدید را دریافت کنید

و مطابق با قوانین زیر محاسبه می شود:

برای اختصار ، استفاده کنید | a |... بنابراین ، | 10 | \u003d 10 - 1/3 \u003d | 1/3 | | -100 | \u003d 100 و غیره

هر سایزی ایکس مربوط به مقدار نسبتاً دقیق | ایکس| و این یعنی هویت در= |ایکس| مجموعه ها در به عنوان برخی از تابع استدلال ایکس.

برنامهاین تابع در زیر ارائه شده است

برای ایکس > 0 |ایکس| = ایکس، و برای ایکس< 0 |ایکس|= -ایکس؛ در این رابطه ، خط y \u003d | ایکس| در ایکس\u003e 0 همراه با یک خط مستقیم y \u003d x(نیمساز زاویه مختصات اول) ، و برای ایکس< 0 - с прямой y \u003d -x(نیمساز زاویه مختصات دوم).

انتخاب شد معادلات شامل ناشناخته های زیر علامت است مدول.

نمونه های دلخواه چنین معادلاتی - | ایکس— 1| = 2, |6 — 2ایکس| =3ایکس1+ و غیره

حل معادلاتحاوی مجهول در علامت مدول بر این اساس است که اگر مقدار مطلق عدد مجهول x برابر باشد عدد مثبت a ، پس این عدد x خودش برابر با a یا -a است.

برای مثال: اگر | ایکس| \u003d 10 ، سپس یا ایکس\u003d 10 ، یا ایکس = -10.

در نظر گرفتن حل معادلات فردی.

بیایید حل معادله را تجزیه و تحلیل کنیم | ایکس- 1| = 2.

بیایید ماژول را گسترش دهیم سپس تفاوت ایکس- 1 می تواند برابر باشد با + 2 یا - 2. اگر x - 1 \u003d 2 ، بنابراین ایکس \u003d 3 اگر ایکس - 1 \u003d - 2 ، پس ایکس \u003d - 1. ما یک تعویض انجام می دهیم و دریافت می کنیم که هر دو مقدار معادله را برآورده می کنند.

پاسخ.این معادله دو ریشه دارد: ایکس 1 = 3, ایکس 2 = - 1.

بیایید تجزیه و تحلیل کنیم راه حل معادله | 6 — 2ایکس| = 3ایکس+ 1.

بعد از گسترش ماژولما بدست می آوریم: یا 6 - 2 ایکس= 3ایکس1 + یا 6 - 2 ایکس= - (3ایکس+ 1).

در حالت اول ایکس \u003d 1 ، و در دوم ایکس= - 7.

چک کردن. چه زمانی ایکس= 1 |6 — 2ایکس| = |4| = 4, 3ایکس + 1 \u003d 4 ؛ از دادگاه پیروی می کند ، ایکس = 1 - ریشهداده شده معادلات.

چه زمانی ایکس = - 7 |6 — 2ایکس| = |20| = 20, 3ایکس+ 1 \u003d - 20 ؛ از 20 ≠ -20 ، پس ایکس \u003d - 7 ریشه این معادله نیست.

پاسخ. دارندمعادلات تک ریشه: ایکس = 1.

معادلات این نوع می تواند باشد حل و گرافیکی.

پس بیایید تصمیم بگیریم به عنوان مثال، معادله گرافیکی | ایکس- 1| = 2.

در ابتدا ، ما ساخت و ساز را انجام می دهیم گرافیک عملکردی در = |ایکس- 1 |. ابتدا یک نمودار از تابع رسم می کنیم در=ایکس- 1:

اون قسمتش هنرهای گرافیکیکه در بالای محور قرار دارد ایکس تغییر نخواهیم کرد برای او ایکس - 1\u003e 0 و بنابراین | ایکس-1|=ایکس-1.

بخشی از نمودار که در زیر محور قرار دارد ایکس، تصور کن متقارن در مورد این محور از آنجا که برای این قسمت ایکس - 1 < 0 и соответственно |ایکس - 1|= - (ایکس - یکی) نتیجه خط (خط محکم) و اراده نمودار عملکرد y \u003d | ایکس—1|.

این خط با عبور می کند سر راست در \u003d 2 در دو نقطه: M 1 با abscissa -1 و M 2 با abscissa 3. و بر این اساس ، معادله | ایکس- 1 | \u003d 2 دو ریشه وجود خواهد داشت: ایکس 1 = - 1, ایکس 2 = 3.