در یکی از مقاله های قبلی ، ما درجه تعداد را قبلا ذکر کردیم. امروز سعی خواهیم کرد جهت یافتن معنای آن جهت یابی کنیم. از نظر علمی ، ما خواهیم فهمید که چگونه به درستی به یک قدرت برسیم. ما خواهیم فهمید که چگونه این فرایند انجام می شود ، در عین حال ما به تمام شاخص های ممکن درجه: طبیعی ، غیر منطقی ، منطقی ، کل خواهیم پرداخت.

بنابراین بیایید نگاهی دقیق به راه حل های مثال بیندازیم و معنی آن را دریابیم:

1. تعریف مفهوم.
2. اوج گرفتن به هنر منفی.
3. شاخص کامل.
4. بالا بردن یک عدد در درجه غیر منطقی.

در اینجا تعریفی آورده شده است که به طور دقیق معنی را منعکس می کند: "بیان تعریفی از معنی قدرت یک عدد است."

بر این اساس ، افزایش عدد a به Art. r و فرآیند یافتن مقدار نمایانگر a با توان r مفاهیم یکسانی هستند. به عنوان مثال ، اگر وظیفه محاسبه مقدار توان (0.6) 6 باشد ، می توان آن را به عبارت "عدد 0.6 را به توان 6 افزایش دهید" ساده کرد.

پس از آن ، می توانید مستقیماً به قوانین ساخت و ساز ادامه دهید.

نمایش منفی

برای شفافیت ، باید به زنجیره عبارات زیر توجه کنید:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 در منهای 1 سنت ،

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 در منهای 2 مرحله. ،

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 منهای 3 خیابان ،

110000 \u003d 0.00001 \u003d 1 * 10 در منهای 4 درجه.

با تشکر از این مثال ها ، شما می توانید توانایی محاسبه فوری 10 به ازای هر منفی قدرت را به وضوح مشاهده کنید. برای این منظور ، تغییر م decimalلفه اعشاری کاملاً ناخواسته است:

• 10 تا -1 درجه - قبل از واحد 1 صفر ؛
• در -3 - سه صفر قبل از یک ؛
• در -9 9 صفر و غیره است.

با توجه به این طرح ، درک آن آسان است که 10 تا منهای 5 قاشق غذاخوری چقدر خواهد بود. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

چگونه یک عدد طبیعی جمع کنیم

با یادآوری تعریف ، عدد طبیعی a را در هنر در نظر می گیریم. n برابر با ضریب n فاکتور است که هر یک برابر با a است. بیایید توضیح دهیم: (a * a * ... a) n ، جایی که n تعداد اعدادی است که ضرب می شوند. بر این اساس ، برای بالا بردن a به n ، لازم است که محصول شکل زیر را محاسبه کنید: a * a * ... و تقسیم بر n بار.

از این امر آشکار می شود که نعوظ در هنر طبیعی. به توانایی تکثیر متکی است (این ماده در بخش ضرب اعداد واقعی آورده شده است). بیایید به مشکل نگاه کنیم:

راست -2 در خیابان 4.

ما با یک شاخص طبیعی سر و کار داریم. بر این اساس ، روند تصمیم گیری به شرح زیر خواهد بود: (-2) در هنر. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). اکنون فقط انجام ضرب اعداد کامل باقی مانده است: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). ما 16 می گیریم

پاسخ به مسئله:

(-2) در هنر. 4 \u003d 16

مثال:

مقدار را محاسبه کنید: سه نقطه دو هفتم مربع.

این مثال برابر است با محصول زیر: سه کل دو هفتم ضرب در سه کل دو هفتم. با یادآوری نحوه ضرب اعداد مخلوط ، ساخت را کامل می کنیم:

• 3 نقطه 2 هفتم در خود ضرب می شوند.
• برابر با 23 هفتم بار 23 هفتم؛
• برابر با 529 چهل و نهم؛
• ما 10 سی و نه چهل و نه می گیریم.

پاسخ: 10 39/49

با توجه به مسئله افزایش به یک شاخص غیرمنطقی ، باید توجه داشت که محاسبات پس از اتمام گردآوری مقدماتی مبنای درجه برای هر رده ای که امکان بدست آوردن مقدار را با دقت معین فراهم می کند ، شروع می شوند. برای مثال ، باید عدد P (pi) را مربع کنیم.

ما با جمع کردن P به صدم شروع می کنیم:

مربع P \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. با این حال ، اگر P را به ده هزارم کاهش دهیم ، P \u003d 3.14159 بدست می آید. سپس مربع سازی یک عدد کاملاً متفاوت می گیرد: 9.8695877281.

در اینجا لازم به ذکر است که در بسیاری از مشکلات نیازی به افزایش اعداد غیر منطقی به یک قدرت نیست. به عنوان یک قاعده ، پاسخ یا به صورت درجه ، به عنوان مثال ریشه 6 به قدرت 3 نوشته می شود ، یا اگر بیان اجازه می دهد ، تحول آن انجام می شود: ریشه 5 به قدرت 7 \u003d 125 ریشه 5.

چگونه می توان یک عدد را به یک قدرت کامل رساند

این دستکاری جبری مناسب است موارد زیر را در نظر بگیرید:

• برای اعداد صحیح
• برای یک شاخص صفر ؛
• برای یک شاخص کاملاً مثبت.

از آنجا که عملاً تمام عددهای صحیح مثبت با جرم اعداد طبیعی همزمان هستند ، تنظیم در یک عدد صحیح مثبت همان فرآیند تنظیم در Art است. طبیعی ما این روند را در پاراگراف قبلی شرح دادیم.

حال بیایید در مورد محاسبه هنر صحبت کنیم. خالی. ما قبلاً در بالا متوجه شدیم که درجه صفر عدد a را می توان برای هر غیر صفر a (واقعی) تعیین کرد ، در حالی که a در Art است. 0 برابر 1 خواهد بود.

بر این اساس ، بالا بردن هر عدد واقعی به صفر هنر. یکی خواهد داد

به عنوان مثال ، 10 در st 0 \u003d 1 ، (-3.65) 0 \u003d 1 و 0 در st. 0 را نمی توان تعیین کرد.

برای تکمیل افزایش نیرو به یک قدرت کامل ، تصمیم گیری در مورد گزینه های مقادیر منفی صحیح باقی مانده است. ما آن هنر را به یاد می آوریم. از a با نمایشگر صحیح -z به عنوان کسر تعریف خواهد شد. مخرج کسر st است. با یک عدد صحیح مثبت ، که ارزش آن را قبلاً آموخته ایم که پیدا کنیم. حال تنها بررسی نمونه ای از ساخت و ساز باقی مانده است.

مثال:

مقدار عدد 2 را در یک مکعب با عدد صحیح محاسبه کنید شاخص منفی.

روند حل:

با توجه به تعریف درجه با شاخص منفی ، ما نشان می دهیم: دو در منهای 3 قاشق غذاخوری. در درجه سوم برابر با یک تا دو است.

مخرج به سادگی محاسبه می شود: دو مکعبی ؛

3 = 2*2*2=8.

پاسخ: دو در منهای 3 قاشق غذاخوری. \u003d یک هشتم.

در چارچوب این ماده ، ما تحلیل خواهیم کرد که درجه یک عدد چیست. علاوه بر تعاریف اساسی ، ما درجه هایی را با نمایشگرهای طبیعی ، کامل ، منطقی و غیر منطقی بیان خواهیم کرد. مثل همیشه ، تمام مفاهیم با نمونه هایی از وظایف نشان داده می شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا ، ما تعریف اولیه ای از درجه با بیان طبیعی را تدوین می کنیم. برای این کار باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. بگذارید پیشاپیش روشن کنیم که در حال حاضر یک عدد واقعی را به عنوان پایه در نظر می گیریم (آن را با حرف a نشان می دهیم) و به عنوان شاخص - یک عدد طبیعی است (آن را با حرف n نشان می دهیم).

تعریف 1

توان عدد a با نمایشگر طبیعی n حاصل ضرب n -th تعداد عوامل است که هر یک برابر با عدد a است. مدرک تحصیلی به این صورت نوشته شده است: a n، و به صورت فرمول ، ترکیب آن را می توان به شرح زیر نشان داد:

به عنوان مثال ، اگر نماد 1 باشد و پایه یک باشد ، پس اولین قدرت a به صورت نوشته می شود a 1... با توجه به اینکه a مقدار ضرب و 1 تعداد عوامل است ، می توان نتیجه گرفت a 1 \u003d a.

به طور کلی ، می توان گفت که درجه یک فرم مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل برابر است. بنابراین ، ورودی فرم 8 8 8 8 را می توان به 8 4 ... تقریباً به همین ترتیب ، یک قطعه به ما کمک می کند تا از نوشتن جلوگیری کنیم تعداد زیادی اصطلاحات (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4) ؛ ما قبلاً این را در مقاله ضرب تجزیه و تحلیل کرده ایم اعداد طبیعی.

چگونه می توان رکورد درجه را به درستی خواند؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a to the power of n" است. یا می توانید بگویید "n -th درجه یک" یا "a n -th درجه". اگر مثلاً مثال شامل مدخل است 8 12 ، می توانیم "8 تا قدرت 12" ، "8 تا 12 قدرت" یا "12th power by 8th" را بخوانیم.

قدرت های دوم و سوم این عدد دارای نام های کاملاً ثابت خود هستند: مربع و مکعب. اگر درجه دوم ، مثلاً عدد 7 (7 2) را ببینیم ، می توانیم بگوییم "7 مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب ، درجه سوم اینگونه خوانده می شود: 5 3 آیا "مکعب شماره 5" یا "5 در مکعب" است. با این حال ، استفاده از فرمول استاندارد "در درجه دوم / سوم" نیز امکان پذیر است ، این اشتباه نخواهد بود.

مثال 1

بیایید به یک نمونه از درجه با یک نشانگر طبیعی نگاه کنیم: برای 5 7 پنج پایه و هفت شاخص خواهد بود.

پایه لازم نیست که یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 پایه کسر 4 ، 32 و بیانگر نه است. به پرانتز توجه کنید: چنین ورودی برای همه درجات ساخته می شود ، پایه های آن با اعداد طبیعی متفاوت است.

به عنوان مثال: 1 2 3 ، (- 3) 12 ، - 2 3 5 2 ، 2 ، 4 35 5 ، 7 3.

پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از خطاهای محاسبه کمک می کنند. فرض کنیم دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 ... اولی یعنی عدد منفی منهای دو افزایش یافته به یک بیان طبیعی سه؛ دوم عددی است که با مقدار قدرت مخالف مطابقت دارد 2 3 .

بعضی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از درجه تعداد را پیدا کنید - a ^ n (که در آن a پایه است و n نماد است). یعنی 4 ^ 9 همان است 4 9 ... اگر n یک عدد چند رقمی باشد ، داخل پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال ، 15 ^ (21) ، (- 3 ، 1) ^ (156). اما ما از علامت گذاری استفاده خواهیم کرد a nبه عنوان رایج تر.

حدس زدن چگونگی محاسبه مقدار درجه با یک نمایشگر طبیعی از تعریف آن آسان است: شما فقط باید تعداد n -th را چندین برابر کنید. ما در مقاله دیگری در این باره بیشتر نوشتیم.

مفهوم درجه مخالف مفهوم ریاضی دیگری است - ریشه یک عدد. اگر مقدار درجه و توان را بدانیم ، می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. این مدرک دارای برخی خصوصیات خاص است که برای حل مشکلاتی مفید است که ما در یک مقاله جداگانه بحث کردیم.

در نمایشگرها ، نه تنها اعداد طبیعی می توانند بایستند ، بلکه به طور کلی هر مقدار صحیح ، از جمله منفی و صفر ، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند.

تعریف 2

قدرت یک عدد با یک عدد صحیح مثبت را می توان به عنوان یک فرمول نمایش داد: .

علاوه بر این ، n هر عدد صحیح مثبتی است.

بیایید با مفهوم درجه صفر بپردازیم. برای انجام این کار ، از روشی استفاده می کنیم که خاصیت بهره را برای درجات با مبنای برابر در نظر می گیرد. به صورت زیر فرموله شده است:

تعریف 3

برابری a m: a n \u003d a m - n در شرایط درست خواهد بود: m و n اعداد طبیعی هستند ، m< n , a ≠ 0 .

آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند ، نتیجه زیر بدست می آید: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

اما در همان زمان a n: a n \u003d 1 ضریب است اعداد مساوی a n و یک به نظر می رسد درجه صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است.

با این حال ، چنین اثباتی در مورد صفر تا درجه صفر اعمال نمی شود. برای این منظور به ویژگی دیگری از درجه نیاز داریم - خاصیت محصولات درجه با پایه های برابر. به نظر می رسد به این شکل است: a m a n \u003d a m + n .

اگر n برابر با 0 داشته باشیم ، پس a m a 0 \u003d a m (این برابری همچنین به ما ثابت می کند که a 0 \u003d 1) اما اگر a نیز صفر باشد ، برابری ما شکل می گیرد 0 متر 0 0 \u003d 0 متر، این برای هر مقدار طبیعی n صادق خواهد بود ، و مهم نیست که دقیقاً چه درجه ای دارد 0 0 ، یعنی می تواند با هر عددی برابر باشد و این بر وفاداری برابری تاثیری نخواهد داشت. بنابراین ، یک علامت گذاری از فرم 0 0 معنای خاصی ندارد و ما آن را به او نسبت نمی دهیم.

در صورت تمایل ، بررسی آن آسان است a 0 \u003d 1 با خاصیت درجه همگرا می شود (a m) n \u003d a m n به شرطی که پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین درجه هر عدد غیر صفر با توان صفر برابر با یک است.

مثال 2

بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین ، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 ، - 4 5 9 0 \u003d 1 ، و مقدار 0 0 تعریف نشده

بعد از درجه صفر ، برای ما باقی می ماند که بفهمیم درجه منفی چیست. برای این کار ، ما به همان ویژگی حاصلضرب درجه با پایه های برابر نیاز داریم که قبلاً در بالا از آن استفاده کردیم: a m · a n \u003d a m + n.

بیایید شرط را معرفی کنیم: m \u003d - n ، پس a نباید برابر با صفر باشد. نتیجه می شود که a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... به نظر می رسد که a n و a - n ما اعداد متقابلاً معکوس داریم.

در نتیجه ، توان منفی a به عدد صحیح چیزی جز کسر 1 a n نیست.

این فرمول تأیید می کند که برای یک درجه با نماد منفی عدد صحیح ، تمام خصوصیات یکسان با درجه با یک نمایشگر طبیعی معتبر هستند (به شرطی که پایه صفر نباشد).

مثال 3

توان a با عدد صحیح منفی n را می توان به صورت کسر 1 a n نشان داد. بنابراین ، a - n \u003d 1 a n تحت شرایط 0 پوند و n هر عدد طبیعی است.

بیایید اندیشه خود را با مثالهای مشخص نشان دهیم:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

در قسمت آخر پاراگراف ، سعی خواهیم کرد همه آنچه را که به وضوح گفته شده در یک فرمول به تصویر بکشیم:

تعریف 4

قدرت عدد a با نمایشگر z طبیعی: az \u003d az ، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1 ، z \u003d 0 و a ≠ 0 ، (برای و z \u003d 0 و a \u003d 0 ، 0 0 بدست می آوریم ، مقادیر نمایش 0 0 نیست تعاریف) 1 az ، if و z یک عدد صحیح است و ≠ 0 (اگر z یک عدد صحیح است و a \u003d 0 0 z را باز می کند ، ego z n n n n n d e d e n t)

درجه های گویا عقلی چیست

مواردی را که نمایانگر یک عدد صحیح است بررسی کرده ایم. با این حال ، هنگامی که عدد کسری در بیانگر آن وجود دارد ، می توانید یک عدد را به یک قدرت برسانید. به این درجه c می گویند شاخص منطقی... در این زیر بخش ثابت خواهیم کرد که دارای خصوصیات مشابه سایر درجات است.

اعداد گویا چیست؟ مجموعه آنها شامل کل و اعداد کسری، در حالی که اعداد کسری را می توان به صورت کسرهای معمولی (مثبت و منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف درجه یک عدد a را با نماد کسری m / n ، که n تعداد طبیعی و m عدد صحیح است ، فرموله کنیم.

ما مقداری درجه با نمای کسری a m n داریم. برای اینکه ویژگی درجه به درجه برآورده شود ، برابری a m n n \u003d a m n n \u003d a m باید درست باشد.

با توجه به تعریف ریشه n و اینکه a m n n \u003d a m ، اگر m m برای مقادیر داده شده m ، n و a منطقی باشد ، می توانیم شرط a m n \u003d a m n را بپذیریم.

خصوصیات فوق یک درجه با نمایشگر صحیح صحیح خواهد بود به شرط اینکه m n \u003d a m n باشد.

نتیجه گیری اصلی از استدلال ما به شرح زیر است: قدرت برخی از شماره های a با بیان کسری m / n ، نهمین ریشه عدد a به قدرت m است. این درست است اگر برای مقادیر داده شده m ، n و a ، عبارت a m n معنی دار بماند.

1. ما می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: a را بگیرید ، که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود ، و برای مقادیر منفی کاملاً کمتر (از آنجا که برای m ≤ 0 بدست می آوریم 0 متر، اما این درجه تعریف نشده است). در این حالت ، تعریف درجه با نمای کسری به این صورت خواهد بود:

توان با نماد کسری m / n برای برخی از اعداد مثبت a ، نهمین ریشه افزایش یافته به توان m است. در قالب فرمول ، این را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای یک درجه با پایه صفر ، این موقعیت نیز مناسب است ، اما تنها در صورتی که نماینده آن یک عدد مثبت باشد.

یک درجه با صفر پایه و یک نمایشگر m / n مثبت کسری را می توان به صورت بیان کرد

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 به شرط عدد صحیح مثبت m و n طبیعی.

با نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

بیایید یک نکته را یادداشت کنیم. از آنجا که شرط بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم ، برخی موارد را رها کردیم.

عبارت a m n بعضی اوقات برای برخی از مقادیر منفی a و بعضی از m معنی دارد. بنابراین ، ورودی ها (- 5) 2 3 ، (- 1 ، 2) 5 7 ، - 1 2 - 8 4 صحیح هستند ، که در آنها پایه منفی است.

2. روش دوم در نظر گرفتن جداگانه ریشه a m n با نمایشگرهای زوج و فرد است. سپس باید یک شرط دیگر نیز معرفی کنیم: نمایانگر a ، که در نمایی از آن کسر معمولی قابل لغو وجود دارد ، به عنوان یک قدرت در نظر گرفته می شود که در بازده آن کسر غیرقابل کاهش مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا به این شرایط احتیاج داریم و چرا اهمیت آن بسیار زیاد است. بنابراین ، اگر یک رکورد m k n k داشته باشیم ، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم.

اگر n فرد باشد و m مثبت باشد ، a هر عدد غیر منفی است ، سپس m n منطقی است. شرط یک غیر منفی ضروری است ، زیرا ریشه زوج عدد منفی استخراج نمی شود. اگر مقدار m مثبت باشد ، از این رو a می تواند منفی یا صفر باشد یک ریشه عجیب و غریب را می توان از هر شماره واقعی استخراج کرد.

بیایید تمام داده های تعریف بالا را در یک رکورد ترکیب کنیم:

در اینجا m / n مخفف کسری غیرقابل کاهش است ، m هر عدد صحیحی است و n هر عدد طبیعی است.

تعریف 5

برای هر کسر قابل کنسل شدن معمولی m · k n · k ، درجه را می توان با m n جایگزین کرد.

توان یک عدد با نمایشگر کسری غیر قابل کاهش m / n - در موارد زیر می تواند به صورت m n بیان شود: - برای هر a واقعی ، اعداد صحیح ارزشهای مثبت متر و ارزشهای طبیعی عجیب و غریب n. مثال: 2 5 3 \u003d 2 5 3 ، (- 5 ، 1) 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7 ، 0 5 19 \u003d 0 5 19.

برای هر a غیر صفر واقعی ، عدد صحیح منفی m و n فرد ، به عنوان مثال ، 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3 ، (- 5 ، 1) - 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7

برای هر عدد غیر منفی a ، عدد صحیح مثبت m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 1 4 \u003d 2 1 4 ، (5 ، 1) 3 2 \u003d (5 ، 1) 3 ، 0 7 18 \u003d 0 7 18.

برای هر مثبت a ، عدد صحیح منفی m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 ، (5 ، 1) - 3 2 \u003d (5 ، 1) - 3 ،.

برای سایر مقادیر ، نمای کسری تعریف نشده است. نمونه هایی از این درجه: - 2 11 6 ، - 2 1 2 3 2 ، 0 - 2 5.

حال بیایید اهمیت شرط ذکر شده در بالا را توضیح دهیم: چرا کسر را با یک نمایشگر قابل لغو با کسری با کسری غیرقابل کاهش جایگزین کنیم. اگر این کار را انجام نمی دادیم ، چنین شرایطی پیش می آید ، مثلاً 6/10 \u003d 3/5. پس باید درست باشد (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5 اما - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 و (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

تعریف درجه با نمایی کسری ، که ما اولین آن را ارائه دادیم ، استفاده در عمل راحت تر از دوم است ، بنابراین ما به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.

تعریف 6

بنابراین ، درجه یک عدد مثبت a با یک نمایشگر کسری m / n به عنوان 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود. در صورت منفی آ نماد a m n معنی ندارد. توان صفر برای نماهای کسری مثبت m / n 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود ، برای نماهای کسری منفی درجه صفر را تعیین نمی کنیم.

در نتیجه گیری ، ما توجه داریم که هر شاخص کسری را می توان همانند فرم نوشت شماره های درهم، و به شکل کسر اعشاری: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

هنگام محاسبه بهتر است که کسر را با کسر معمولی جایگزین کنید و سپس از تعریف یک بار با کسر استفاده کنید. برای مثال های بالا ، به دست می آوریم:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

درجه هایی با بیان غیر منطقی و معتبر چیست

اعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل هر دو عدد منطقی و غیر منطقی است. بنابراین ، برای اینکه بفهمیم درجه با شاخص واقعی چیست ، باید درجه هایی را با شاخص های منطقی و غیر منطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید گام به گام با شاخص های غیر منطقی کنار بیاییم.

مثال 5

فرض کنید ما یک عدد غیر منطقی a و یک دنباله از تقریب های اعشاری آن a 0 ، a 1 ، a 2 ، داریم. ... ... ... برای مثال ، مقدار a \u003d 1.67175331 را در نظر بگیریم. ... ... سپس

a 0 \u003d 1.6 ، a 1 \u003d 1.67 ، a 2 \u003d 1.671 ،. ... ... ، 0 \u003d 1.67 ، 1 \u003d 1.6717 ، 2 \u003d 1.671753 ، ... ...

می توان یک دنباله از تقریب ها را با یک دنباله درجه a a 0 ، a a 1 ، a a 2 ، مرتبط کرد. ... ... ... اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به یک قدرت عقلانی گفته بودیم به خاطر بسپارید ، پس خود ما می توانیم مقادیر این نیروها را محاسبه کنیم.

به عنوان مثال a \u003d 3، سپس a 0 \u003d 31.67 ، a 1 \u003d 31.6717 ، a 2 \u003d 31.671753 ،. ... ... و غیره.

توالی درجه را می توان به یک عدد تقلیل داد ، که این مقدار درجه با پایه a و یک نمایشگر غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: مدرکی با بیان غیرمنطقی مانند 3 1 ، 67175331. ... را می توان به تعداد 6 ، 27 کاهش داد.

تعریف 7

درجه عدد مثبت a با نمایشگر غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0 ، a a 1 ، a a 2 ، است. ... ... ، جایی که 0 ، 1 ، 2 ، ... ... تقریبهای اعشاری پی در پی از عدد غیر منطقی a هستند. درجه با پایه صفر را می توان برای شاخص های غیر منطقی مثبت نیز تعیین کرد ، در حالی که 0 a \u003d 0 بنابراین ، 0 6 \u003d 0 ، 0 21 3 3 \u003d 0. و برای موارد منفی ، این امکان پذیر نیست ، زیرا ، به عنوان مثال ، مقدار 0 - 5 ، 0 - 2 π تعریف نشده است. به عنوان مثال ، واحدی که به هر توان غیر منطقی رسیده باشد ، یک واحد باقی می ماند و 1 2 ، 1 5 در 2 و 1 - 5 برابر 1 خواهد بود.

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

یکی از مشخصه های اصلی در جبر و در همه ریاضیات ، درجه است. البته ، در قرن بیست و یکم ، همه محاسبات را می توان بر روی یک ماشین حساب آنلاین انجام داد ، اما بهتر است یاد بگیرید چگونه این کار را خودتان برای رشد مغز انجام دهید.

در این مقاله ، مهمترین سوالات در مورد این تعریف را مورد بررسی قرار خواهیم داد. یعنی ، خواهیم فهمید که به طور کلی چیست و چه توابع اصلی دارد ، چه خصوصیاتی در ریاضیات دارد.

بیایید به نمونه هایی از نحوه محاسبه نگاه کنیم ، فرمول های اصلی چیست. بیایید انواع اصلی مقادیر و تفاوت آنها را با سایر توابع بررسی کنیم.

بیایید درک کنیم که چگونه مشکلات مختلف را با استفاده از این مقدار حل کنیم. بیایید با مثالهایی نشان دهیم که چگونه توان صفر ، غیر منطقی ، منفی و غیره را به صفر برسانیم.

ماشین حساب نمایش آنلاین

درجه یک عدد چقدر است

منظور از عبارت "افزایش یک عدد به یک قدرت" چیست؟

توان n عدد a حاصل فاکتورهای یک مقدار n بار پشت سر هم است.

از نظر ریاضی ، اینطور به نظر می رسد:

a n \u003d a * a * a *… a n.

برای مثال:

• 2 3 \u003d 2 در مرحله سوم. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8 ؛
• 4 2 \u003d 4 در مرحله. دو \u003d 4 * 4 \u003d 16 ؛
• 5 4 \u003d 5 در مرحله. چهار \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625 ؛
• 10 5 \u003d 10 در 5 مرحله. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000 ؛
• 10 4 \u003d 10 در 4 مرحله. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10000.

در زیر جدول مربع ها و مکعب ها از 1 تا 10 آورده شده است.

جدول درجه بندی از 1 تا 10

در زیر نتایج افزایش اعداد طبیعی به توانهای مثبت - "از 1 به 100" داده خواهد شد.

خواص قدرت

ویژگی چنین تابعی ریاضی چیست؟ بیایید خصوصیات اساسی را در نظر بگیریم.

دانشمندان موارد زیر را ایجاد کرده اند علائم مشخصه همه درجات:

• a n * a m \u003d (a) (n + m) ؛
• a n: a m \u003d (a) (n-m) ؛
• (a b) m \u003d (a) (b * m).

بیایید با مثالها بررسی کنیم:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. از طرف دیگر 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

به طور مشابه: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. در غیر این صورت 2 3 - 2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. و اگر متفاوت باشد؟ 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

همانطور که می بینید ، قوانین کار می کنند.

اما در مورد چه با جمع و تفریق؟ ساده است. ابتدا ، نماسازی انجام می شود و فقط پس از آن جمع و تفریق انجام می شود.

بیایید چند نمونه را ببینیم:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16 لطفا توجه داشته باشید: اگر ابتدا کم کنید قانون کار نمی کند: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

اما در این حالت ، ابتدا باید جمع را محاسبه کنید ، زیرا در براکت ها اعمال وجود دارد: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

نحوه تولید محاسبات بیشتر موارد سخت ؟ روش کار به همین صورت است:

• اگر براکت وجود دارد - باید با آنها شروع کنید.
• سپس بیان
• سپس اعمال ضرب ، تقسیم را انجام دهید.
• پس از جمع ، تفریق.

خواص خاصی وجود دارد که برای همه درجات مشخص نیست:

1. ریشه n-th عدد a به توان m به صورت زیر نوشته خواهد شد: a m / n.
2. هنگام بالا بردن کسر به توان: هم عدد و هم مخرج آن تابع این روش هستند.
3. هنگام برپایی اثر اعداد مختلف به یک مقدار ، این عبارت حاصلضرب این اعداد را با توان مشخص شده مطابقت می دهد. یعنی: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. هنگام بالا بردن یک عدد به یک مرحله منفی ، باید 1 را بر روی یک عدد در همان st-no تقسیم کنید ، اما با علامت "+".
5. اگر مخرج کسر در یک قدرت منفی باشد ، در این صورت این عبارت برابر است با حاصلضرب عدد و مخرج در توان مثبت.
6. هر عدد در درجه 0 \u003d 1 و در مرحله. 1 \u003d به خودتان.

این قوانین در موارد منفرد مهم هستند ، در زیر با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار می گیرند.

درجه با نماد منفی

وقتی درجه منفی است ، یعنی هنگامی که نماد منفی است ، چه باید کرد؟

بر اساس خصوصیات 4 و 5 (به نکته بالا مراجعه کنید) ، معلوم میشود:

A (- n) \u003d 1 / A n ، 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

و بالعکس:

1 / A (- n) \u003d A n ، 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

و اگر کسری است؟

(A / B) (- n) \u003d (B / A) n ، (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

درجه با یک نشانگر طبیعی

این به عنوان یک درجه با شاخص های برابر با اعداد کامل قابل درک است.

چیز هایی برای به یاد آوردن:

A 0 \u003d 1 ، 1 0 \u003d 1 ؛ 2 0 \u003d 1 ؛ 3.15 0 \u003d 1 ؛ (-4) 0 \u003d 1 ... و غیره

A 1 \u003d A ، 1 1 \u003d 1 ؛ 2 1 \u003d 2؛ 3 1 \u003d 3 ... و غیره

بعلاوه ، اگر (-a) 2 n +2 ، n \u003d 0 ، 1 ، 2 ... در نتیجه نتیجه با علامت "+" خواهد بود. اگر یک عدد منفی به یک قدرت عجیب و غریب افزایش یابد ، بالعکس.

خصوصیات عمومی و کلیه ویژگیهای خاصی که در بالا توضیح داده شد نیز از مشخصات آنهاست.

درجه کسری

این نمای را می توان با طرح نوشت: A m / n. به این صورت خوانده می شود: n-th ریشه شماره A تا توان m.

با نمای کسری می توانید هر کاری را که می خواهید انجام دهید: کوتاه کردن ، تجزیه ، افزایش تا درجه دیگری و غیره

درجه غیر منطقی

α α یک عدد غیر منطقی و A ˃ 0 باشد.

برای درک ماهیت درجه با چنین شاخصی ، موارد مختلف مختلف را در نظر بگیرید:

• A \u003d 1. نتیجه برابر با 1. از آنجا که یک بدیهی وجود دارد - 1 در تمام درجه ها برابر با یک است.

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2، r 1 ˂ r 2 - اعداد منطقی ؛

• 0˂А˂1.

در این حالت ، برعکس: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 با همان شرایط پاراگراف دوم.

به عنوان مثال ، نمایانگر π است. منطقی است.

r 1 - در این حالت برابر است با 3 ؛

r 2 - برابر با 4 خواهد بود.

سپس ، برای A \u003d 1 ، 1 π \u003d 1.

A \u003d 2 ، سپس 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 ، 8 2 π ˂ 16.

A \u003d 1/2 ، سپس (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 ، 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

برای چنین مدارکی ، همه عملیات ریاضی و خصوصیات خاص توضیح داده شده در بالا.

نتیجه

بیایید خلاصه کنیم - این مقادیر برای چیست ، مزیت این توابع چیست؟ البته ، اول از همه ، آنها زندگی ریاضیدانان و برنامه نویسان را هنگام حل مثال ها ساده می کنند ، زیرا به شما امکان می دهد محاسبات را به حداقل برسانید ، الگوریتم ها را کوتاه کنید ، داده ها را سازماندهی کنید و موارد دیگر.

این دانش کجا می تواند مفید باشد؟ در هر تخصص کار: پزشکی ، داروسازی ، دندانپزشکی ، ساخت و ساز ، فناوری ، مهندسی ، طراحی و غیره

فرمول های قدرت در روند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده ، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد ج هست یک nقدرت عدد آ چه زمانی:

عملیات با درجه.

1. ضرب درجه با همان پایه ، شاخص های آنها جمع می شوند:

صبحA n \u003d a m + n.

2. در تقسیم درجه با همان پایه ، شاخص های آنها کم می شود:

3. درجه حاصل از 2 عامل یا بیشتر برابر است با محصول درجه این عوامل:

(abc ...) n \u003d a n b n c n ...

4. قدرت کسر برابر است با نسبت قدرت سود و تقسیم کننده:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. بالا بردن درجه به درجه ، نمایندگان ضرب می شوند:

(a m) n \u003d a m n.

هر یک از فرمول های بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس درست است.

برای مثال. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

عملیات با ریشه.

1. ریشه حاصل از چندین عامل برابر با محصول ریشه این عوامل است:

2. ریشه رابطه برابر با نسبت سود سهام و تقسیم کننده ریشه است:

3. هنگام بالا بردن یک ریشه به یک قدرت ، کافی است تعداد ریشه را به این قدرت برسانید:

4. اگر درجه ریشه را افزایش دهید n یک بار و همزمان ساختن nقدرت شماره ریشه ، مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه را کاهش دهید n ریشه را یک بار و همزمان استخراج کنید nقدرت شماره ریشه ، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند:

درجه با نماد منفی.توان یک عدد با یک نمایشگر غیر مثبت (کل) به عنوان یک واحد تقسیم بر قدرت همان تعداد با یک نمایشگر برابر تعریف می شود قدر مطلق شاخص غیر مثبت:

فرمول صبح: a n \u003d a m - n می تواند نه تنها برای استفاده شود متر> n ، بلکه در متر< n.

برای مثال. آ 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

به طوری که فرمول صبح: a n \u003d a m - n منصفانه شد وقتی m \u003d n، وجود درجه صفر لازم است.

درجه صفرتوان هر عدد غیر صفر با نماد صفر برابر است با یک.

برای مثال. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

نمای کسری.برای درست کردن یک عدد واقعی و به حدی m / n، شما باید ریشه را استخراج کنید n-د درجه از مترقدرت دوم این عدد و.

در ادامه مکالمه در مورد درجه یک عدد ، منطقی است که چگونه می توان مقدار درجه را پیدا کرد. این فرآیند نامگذاری شد نمایی... در این مقاله ، ما فقط نحوه انجام بیان را بررسی خواهیم کرد ، در حالی که تمام بیان های ممکن - طبیعی ، کامل ، منطقی و غیر منطقی - را لمس می کنیم. و طبق سنت ، ما به تفصیل راه حلهای مثالهای افزایش اعداد به قدرتهای مختلف را بررسی خواهیم کرد.

پیمایش صفحه

بیان چه معنایی دارد؟

ابتدا باید با توضیح آنچه اصطلاح نامیده می شود ، شروع شود. در اینجا تعریف مناسب است.

تعریف.

نمایی - این یافتن مقدار قدرت یک عدد است.

بنابراین یافتن مقدار توان یک عدد با توان r و بالا بردن عدد a به توان r همان چیز است. به عنوان مثال ، اگر مسئله "محاسبه مقدار درجه (0.5) 5" باشد ، می توان آن را به صورت زیر فرمول بندی کرد: "عدد 0.5 را به توان 5 افزایش دهید".

اکنون می توانید مستقیماً به قوانینی که نمایه سازی در آنها انجام می شود بروید.

بالا بردن یک عدد به یک قدرت طبیعی

در عمل ، برابری بر اساس معمولاً در فرم اعمال می شود. یعنی ، هنگام بالا بردن عدد a به توان کسری m / n ، ابتدا ریشه n امین عدد a استخراج می شود و پس از آن نتیجه به توان عدد صحیح m می رسد.

بیایید راه حل هایی از نمونه های افزایش به یک قدرت کسری را در نظر بگیریم.

مثال.

مقدار توان را محاسبه کنید.

تصمیم گیری

بیایید دو راه حل را نشان دهیم.

راه اول طبق تعریف ، یک کسر. ما مقدار درجه را در زیر علامت ریشه محاسبه می کنیم ، پس از آن استخراج می کنیم ریشه مکعبی: .

راه دوم با تعریف درجه با نمای کسری و بر اساس خصوصیات ریشه ها ، برابری ها درست هستند ... اکنون ریشه را استخراج می کنیم سرانجام ، به یک قدرت کامل برسید .

بدیهی است که نتایج بدست آمده از افزایش به توان کسری همزمان است.

پاسخ:

توجه داشته باشید که یک نمای کسری را می توان به صورت کسر اعشاری یا عدد مختلط نوشت ، در این موارد باید با کسر معمولی مربوطه جایگزین شود ، و پس از آن نماد انجام می شود.

مثال.

(44.89) 2.5 را محاسبه کنید.

تصمیم گیری

اجازه دهید نماینده را در فرم بنویسیم کسر مشترک (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید): ... اکنون ما افزایش را به یک قدرت کسری انجام می دهیم:

پاسخ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

همچنین باید گفت که بالا بردن اعداد به قدرتهای عقلانی کافی است فرایند پر زحمت (به ویژه هنگامی که تعداد کافی و کافی در مخرج و مخرج کسر وجود دارد) ، که معمولاً با استفاده از فناوری رایانه انجام می شود.

در پایان این نکته ، بیایید در مورد افزایش عدد صفر به یک قدرت کسری بپردازیم. ما معنای زیر را به درجه کسری صفر فرم داده ایم: برای ، ما داریم ، و در صفر به قدرت m / n تعریف نشده است. بنابراین ، صفر در یک قدرت مثبت کسری صفر است ، به عنوان مثال ، ... و صفر در یک قدرت منفی کسری منطقی نیست ، به عنوان مثال ، عبارات و 0 -4.3 معنی ندارند.

بالا رفتن به درجه غیر منطقی

بعضی اوقات لازم است که معنای قدرت یک عدد با یک نمایشگر غیر منطقی را بیابید. در این حالت ، برای اهداف عملی ، معمولاً بدست آوردن مقدار درجه دقیق برای یک علامت خاص کافی است. بلافاصله متذکر می شویم که در عمل این مقدار با استفاده از رایانه های الکترونیکی محاسبه می شود ، زیرا دستیابی به توان غیرمنطقی به محاسبات دست و پا گیر زیادی نیاز دارد. اما هنوز ، ما به طور کلی ماهیت اقدامات را شرح خواهیم داد.

برای بدست آوردن مقدار تقریبی توان عدد a با یک نمایشگر غیر منطقی ، مقداری تقریب اعشاری از مقدار گرفته شده و مقدار توان محاسبه می شود. این مقدار یک مقدار تقریبی قدرت عدد a با یک نمایشگر غیر منطقی است. هرچه در ابتدا تقریب اعشاری دقیق تر گرفته شود ، در پایان مقدار درجه دقیق تر به دست می آید.

به عنوان مثال ، بیایید مقدار تقریبی قدرت 2 1.174367 را محاسبه کنیم .... بیایید تقریب اعشاری زیر را در نظر بگیریم شاخص غیر منطقی: اکنون 2 را به توان عقلانی 1.17 می رسانیم (ماهیت اصلی این فرآیند را در پاراگراف قبل شرح دادیم) ، 2 1.17 ≈2.250116 بدست می آوریم. بدین ترتیب، 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... برای مثال ، اگر یک تقریب اعشاری دقیق تری از یک نمایشگر غیر منطقی بگیریم ، مقدار دقیق تری از نمای اصلی بدست می آوریم: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

فهرست مراجع.

• Vilenkin N.Ya. ، Zhokhov V.I. ، Chesnokov A.S. ، Shvartsburd S.I. کتاب درسی MathematicsZh برای کلاس 5. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی کلاس 7. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی کلاس 8. موسسات آموزشی
• Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی کلاس 9. موسسات آموزشی
• Kolmogorov A.N. ، Abramov A.M. ، Dudnitsyn Yu.P. جبر و ابتدای تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10 - 11 م institutionsسسات آموزشی.
• Gusev V.A. ، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای متقاضیان تحصیل در مدارس فنی).