تابع نمایی. اهداف درس: مدرکی با شاخص غیر منطقی در نظر بگیرید. تعریف تابع نمایی را معرفی کنید و اصلی ترین آنها را فرمول بندی کنید. درجه اعداد: تعاریف، نمادها، مثال ها

بخش های سایت

انتخاب سردبیر:

تبلیغات

خانه - اقلیم

تابع نمایی. اهداف درس: مدرک تحصیلی با شاخص غیرمنطقی را در نظر بگیرید. تعریف تابع نمایی را معرفی کنید و اصلی ترین آنها را فرمول بندی کنید. درجه اعداد: تعاریف، نمادها، مثال ها

در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از... در اینجا ما تعاریفی از درجه یک عدد ارائه می کنیم، در حالی که نگاهی دقیق تر به تمام توان های ممکن، که با یک توان طبیعی شروع می شود و با یک توان غیر منطقی ختم می شود، خواهیم داشت. در مطالب ، نمونه های زیادی از درجه ها را خواهید یافت که همه ظرافت های ایجاد شده را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

درجه با توان طبیعی، مربع عدد، مکعب عدد

بیا شروع کنیم با. با نگاه به آینده ، می گوییم که تعریف درجه عدد a با ضریب طبیعی n برای a داده شده است ، که ما آن را فراخوانی می کنیم مدرک پایه، و n که آنها را فرا خواهیم خواند توان... همچنین توجه داشته باشید که درجه با توان طبیعی از طریق محصول تعیین می شود ، بنابراین برای درک مطالب زیر ، باید ایده ای از ضرب اعداد داشته باشید.

تعریف.

توان عدد a با توان طبیعی nعبارت فرمول n است که مقدار آن برابر حاصلضرب n عوامل است که هر یک برابر a است ، یعنی.
به طور خاص ، قدرت یک عدد a با توان 1 خود عدد a است ، یعنی a 1 = a.

بلافاصله لازم به ذکر است قوانین برای خواندن مدرک. روش جهانی برای خواندن رکورد a n به شرح زیر است: "a به توان n". در برخی موارد ، گزینه های زیر نیز قابل قبول است: "a به توان n-th" و "n-th power of the a". برای مثال ، قدرت 8 12 را که "هشت به توان دوازده" یا "هشت تا درجه دوازدهم" یا "دوازدهم قدرت هشت" است ، در نظر بگیرید.

درجه دوم یک عدد ، و همچنین درجه سوم یک عدد ، نامهای خاص خود را دارند. دومین توان یک عدد نامیده می شود بر اساس مربع عددبه عنوان مثال ، 7 2 "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" را می خواند. سومین توان یک عدد نامیده می شود اعداد مکعببه عنوان مثال، 5 3 را می توان به عنوان "مکعب پنج" خواند یا گفت: "مکعب شماره 5".

زمان رهبری است نمونه هایی از درجه با شاخص های طبیعی... بیایید با قدرت 5 7 شروع کنیم ، در اینجا 5 پایه قدرت است و 7 نماد است. بیایید مثال دیگری بزنیم: 4.32 پایه است، و عدد طبیعی 9 - توان (4.32) 9.

لطفا توجه داشته باشید که در مثال آخر، پایه 4.32 درجه در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از سردرگمی، تمام پایه های درجه را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال ، درجات زیر را با شاخص های طبیعی ارائه می دهیم ، پایه های آنها اعداد طبیعی نیستند، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب ، برای وضوح کامل در این لحظه ، تفاوت بین ورودی های فرم (−2) 3 و −2 3 را نشان می دهیم. عبارت (−2) 3 توان −2 با ضریب طبیعی 3 است و عبارت −2 3 (می توان آن را به صورت - (2 3) نوشت) مربوط به عدد ، مقدار توان 2 3 است به

توجه داشته باشید که علامتی برای درجه یک عدد a با توان n به شکل a ^ n وجود دارد. علاوه بر این ، اگر n یک عدد طبیعی چند ارزشی باشد ، سپس نماد در پرانتز گرفته می شود. به عنوان مثال ، 4 ^ 9 نماد دیگری از قدرت 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از درجه نوشتن با استفاده از نماد " ^" آمده است: 14 ^ (21) ، (−2،1) ^ (155). در موارد زیر ، ما عمدتا از نمره درجه شکل a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از وظایف ، معکوس افزایش قدرت با توان طبیعی ، مشکل یافتن پایه درجه از مقدار شناخته شده درجه و توان شناخته شده است. این وظیفه منجر به می شود.

مشخص است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری تشکیل شده است و هر کدام یک عدد کسریرا می توان مثبت یا منفی معرفی کرد کسر مشترک... در پاراگراف قبل درجه را با یک عدد صحیح تعریف کردیم، بنابراین برای تکمیل تعریف درجه با شاخص منطقی، لازم است که به توان یک عدد a با توان کسری m / n که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است، معنا دهیم. بیایید آن را انجام دهیم.

درجه ای را با ضریب کسری فرم در نظر بگیرید. برای اینکه خاصیت مدرک به درجه معتبر باشد، باید تساوی رعایت شود ... اگر برابری به دست آمده و نحوه تعیین آن را در نظر بگیریم، منطقی است که بپذیریم، مشروط بر اینکه برای m، n و a داده شده، عبارت معنا داشته باشد.

به راحتی می توان آن را برای همه خواص درجه با ضریب صحیح بررسی کرد (این کار در قسمت خواص درجه با ضریب معقول انجام می شود).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد موارد زیر را انجام دهیم. خروجی: اگر برای m ، n و a بیان معنا داشته باشد ، قدرت عدد a با توان کسری m / n ، ریشه نهم a به توان m است.

این عبارت ما را به تعیین درجه با توان کسری بسیار نزدیک می کند. فقط باید توضیح داد که عبارت m، n و a برای کدام یک معنا دارد. بسته به محدودیت های m ، n و a دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه این است که a را با فرض a≥0 برای m مثبت و a> 0 برای m منفی محدود کنیم (زیرا برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس به تعریف زیر از کسر کسری می رسیم.

تعریف.

توان یک عدد مثبت a با توان کسری m / n، جایی که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است ، n ریشه a به توان m نامیده می شود ، یعنی ،

قدرت کسری صفر نیز با این شرط تعیین می شود که شاخص باید مثبت باشد.

تعریف.

توان صفر با ضریب کسری مثبت m / n، که در آن m یک عدد صحیح مثبت و n یک عدد طبیعی است، به صورت تعریف می شود .
وقتی درجه تعیین نمی شود، یعنی درجه یک عدد صفر با توان منفی کسری معنی ندارد.

لازم به ذکر است که با چنین تعریفی از درجه با ضریب کسری ، یک نکته وجود دارد: برای برخی از a منفی و برخی m و n ، این عبارت منطقی است و ما با معرفی شرط a≥0 این موارد را کنار گذاشتیم. به عنوان مثال ، نوشتن منطقی است یا، و تعریف ارائه شده در بالا ما را مجبور می کند که بگوییم که درجات با یک توان کسری شکل منطقی نیست ، زیرا پایه نباید منفی باشد.

روش دیگر برای تعیین توان با توان کسری m / n این است که به طور جداگانه نماهای فرد و زوج ریشه را در نظر بگیریم. این رویکرد مستلزم یک شرط اضافی است: درجه عدد a که نشانگر آن است، توان عدد a در نظر گرفته می شود که نشانگر آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه است (اهمیت این شرط در زیر توضیح داده خواهد شد). به این معنا که اگر m / n کسری غیرقابل تقلیل باشد ، پس برای هر عدد طبیعی k درجه قبلاً با درجه جایگزین می شود.

برای n و m مثبت ، این عبارت برای هر a منفی منفی معنی می کند (ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد) ، برای m منفی ، عدد a هنوز باید صفر باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر وجود خواهد داشت ) و برای n فرد و m مثبت عدد a می تواند هر باشد (ریشه یک درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد) .

استدلال فوق ما را به چنین تعریفی از درجه با ضریب کسری می رساند.

تعریف.

بگذارید m / n کسری غیر قابل تقلیل ، m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی باشد. برای هر کسری که قابل لغو است ، نماد با جایگزین می شود. توان یک عدد با ضریب کسر ناپذیر m / n برای است

اجازه دهید توضیح دهیم که چرا یک درجه با یک توان کسری تقلیل‌پذیر قبلاً با یک درجه با یک توان تقلیل‌ناپذیر جایگزین می‌شود. اگر ما به سادگی درجه را به عنوان تعریف کرده و در مورد غیر قابل تقلیل کسر m/n قید و شرطی نکرده باشیم ، با موقعیت هایی مشابه موارد زیر روبرو می شویم: از 6/10 = 3/5 ، پس برابری باید برقرار باشد ، ولی ، آ .

بعد از اینکه درجه عدد مشخص شد، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم ویژگی های درجه... در این مقاله ، ما خصوصیات اساسی درجه یک را ارائه می دهیم ، در حالی که همه نمرات احتمالی را لمس می کنیم. در اینجا ما برهان تمام خصوصیات درجه ارائه می دهیم و همچنین نشان می دهیم که چگونه این ویژگی ها در حل مثال ها اعمال می شوند.

پیمایش صفحه.

ویژگی های نماهای طبیعی

با تعریف درجه با ضریب طبیعی ، درجه a n حاصل ضریب n عوامل است که هر یک از آنها برابر a است. بر اساس این تعریف و همچنین با استفاده از خواص ضرب واقعی، می توانید موارد زیر را دریافت و توجیه کنید خواص درجه توان طبیعی:

ویژگی اصلی درجه a m · a n = a m + n، تعمیم آن.
ویژگی درجات خصوصی با پایه های یکسان a m: a n = a m − n;
خاصیت درجه محصول (a b) n = a n b n، پسوند آن.
مالکیت خصوصی در درجه طبیعی(a: b) n = a n: b n;
افزایش توان به توان (a m) n = a mn، تعمیم آن ((a n 1) n 2)…) n k = a n 1 n 2… n k;
مقایسه درجه با صفر:
- اگر a> 0، برای هر n طبیعی یک n> 0.
- اگر a = 0، سپس a n = 0.
- اگر یک<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 اگر الف<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
اگر a و b اعداد مثبت و a باشند
اگر m و n اعداد طبیعی هستند به طوری که m> n، برای 0 0 نابرابری a m> a n درست است.

فوراً توجه داشته باشید که تمام برابری های نوشته شده هستند همسانبا توجه به شرایط مشخص شده و قسمت راست و چپ آنها قابل تعویض است. به عنوان مثال ، ویژگی اصلی کسر a m a n = a m + n for ساده سازی عباراتاغلب به عنوان m + n = a m a n استفاده می شود.

حالا بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بررسی کنیم.

بیایید با ویژگی یک محصول دو درجه با پایه های یکسان شروع کنیم ، که نامیده می شود ویژگی اصلی درجه: برای هر عدد حقیقی a و هر عدد طبیعی m و n برابری a m · a n = a m + n درست است.

اجازه دهید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف یک درجه با توان طبیعی، حاصل ضرب درجات با پایه های یکسان به شکل m · a n را می توان به عنوان یک محصول نوشت. با توجه به ویژگی های ضرب، عبارت حاصل را می توان به صورت نوشتاری نوشت ، و این حاصل ضرب عدد a با توان طبیعی m + n ، یعنی m + n است. این اثبات را کامل می کند.

بیایید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تایید می کند. درجاتی را با همان پایه 2 و درجات طبیعی 2 و 3 بگیرید، با توجه به خاصیت پایه درجه، می توانیم برابری 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 را بنویسیم. اجازه دهید اعتبار آن را بررسی کنیم، که برای آن مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 را محاسبه می کنیم. تشدید ، ما داریم 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32و 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 ، از آنجایی که مقادیر مساوی بدست می آید ، برابری 2 2 · 2 3 = 2 5 درست است و ویژگی اصلی درجه را تأیید می کند.

خاصیت اصلی درجه بر اساس خواص ضرب را می توان به حاصلضرب سه درجه یا بیشتر با پایه های یکسان و توان طبیعی تعمیم داد. بنابراین برای هر عدد k اعداد طبیعی n 1 ، n 2 ، ... ، n k برابری a n 1 a n 2… a n k = a n 1 + n 2 +… + n k.

مثلا، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

شما می توانید به ویژگی بعدی درجه با یک توان طبیعی بروید - دارا بودن مدارک خصوصی با پایه های یکسان: برای هر عدد حقیقی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرایط m> n را برآورده می کنند ، برابری a m صادق است: a n = a m - n.

قبل از اثبات این خاصیت، اجازه دهید معنای شرایط اضافی در فرمولاسیون را مورد بحث قرار دهیم. شرط a ≠ 0 برای اجتناب از تقسیم بر صفر ضروری است ، زیرا 0 n = 0 ، و هنگامی که با تقسیم آشنا شدیم ، توافق کردیم که نمی توان بر صفر تقسیم کرد. شرط m> n معرفی می شود تا از توان طبیعی فراتر نرویم. در واقع، برای m> n توان a m - n یک عدد طبیعی است، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m - n اتفاق می افتد)، یا یک عدد منفی (که وقتی m اتفاق می افتد.
اثبات خاصیت اصلی کسر به ما اجازه می دهد تا مساوی را بنویسیم a m - n a n = a (m - n) + n = a m... از برابری به دست آمده a m − n · a n = a m و از آن نتیجه می شود که a m − n ضریبی از توان های a m و a n است. این ویژگی درجه های خصوصی را با همان پایه ها ثابت می کند.

بیایید یک مثال بزنیم. دو درجه با پایه های π و توان طبیعی 5 و 2 یکسان بگیرید، ویژگی درجه در نظر گرفته شده با برابری π 5 مطابقت دارد: π 2 = π 5-3 = π 3.

حال در نظر بگیرید دارایی درجه محصول: درجه طبیعی n حاصل ضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصل ضرب توانهای a n و b n یعنی (a b) n = a n b n.

در واقع، با تعریف یک درجه با توان طبیعی، ما داریم ... آخرین محصول ، بر اساس خواص ضرب ، می تواند به صورت بازنویسی شود ، که برابر با a n · b n است.

بیایید مثالی بزنیم: .

این ویژگی برای درجه حاصلضرب سه یا چند عامل اعمال می شود. یعنی خاصیت درجه طبیعی n حاصل ضریب k به صورت نوشته می شود (a 1 a 2… a k) n = a 1 n a 2 n… a k n.

برای وضوح، این ویژگی را با یک مثال نشان خواهیم داد. برای حاصلضرب سه عامل به توان 7 ، داریم.

ملک بعدی است اموال خصوصی در نوع: ضریب اعداد حقیقی a و b، b ≠ 0 در توان طبیعی n برابر با ضریب توان های a n و b n است، یعنی (a: b) n = a n: b n.

اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n، و از برابری (a: b) n · b n = a n نتیجه می شود که (a: b) n ضریب تقسیم a n به b n است.

بیایید این ویژگی را با استفاده از اعداد خاص به عنوان مثال بنویسیم: .

حالا صدا می زنیم ویژگی توانمندی: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n، درجه a m به توان n برابر با توان عدد a با توان m · n است، یعنی (a m) n = a m · n.

به عنوان مثال، (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.

اثبات خاصیت درجه به مدرک زنجیره برابری زیر است: .

اموال در نظر گرفته شده را می توان به درجه به درجه به درجه و غیره گسترش داد. به عنوان مثال، برای هر اعداد طبیعی p، q، r و s برابری است ... برای وضوح، در اینجا یک مثال با اعداد خاص آورده شده است: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

باقی مانده است که در مورد خواص مقایسه درجه با یک توان طبیعی صحبت کنیم.

بیایید با اثبات خاصیت مقایسه صفر و درجه با توان طبیعی شروع کنیم.

ابتدا اجازه دهید ثابت کنیم که a> 0 برای هر a> 0.

حاصل ضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب به دست می آید. این واقعیت و ویژگی های ضرب این امکان را فراهم می کند که ادعا کنیم حاصل ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز یک عدد مثبت خواهد بود. و درجه یک عدد a با توان طبیعی n طبق تعریف حاصلضرب n عامل است که هر یک برابر a است. این استدلال‌ها به ما اجازه می‌دهند که ادعا کنیم برای هر پایه مثبت a، درجه a n یک عدد مثبت است. به موجب ویژگی اثبات شده 3 5> 0، (0.00201) 2> 0 و .

کاملاً واضح است که برای هر n طبیعی برای a = 0 درجه a n صفر است. در واقع، 0 n = 0 · 0 ·… · 0 = 0. به عنوان مثال، 0 3 = 0 و 0 762 = 0.

حرکت به سمت مبانی منفی درجه.

بیایید با حالتی شروع کنیم که توان یک عدد زوج است، آن را 2 · m نشان می دهیم، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس ... برای هر یک از محصولات شکل a · a برابر با حاصلضرب مقادیر مطلق اعداد a و a است ، بدین معنی که یک عدد مثبت است. بنابراین، محصول و درجه a 2 متر. در اینجا چند مثال آورده شده است: (-6) 4> 0، (-2،2) 12> 0 و.

در نهایت، زمانی که قاعده توان a منفی است و توان یک عدد فرد 2 m − 1 باشد، آنگاه ... همه محصولات a · a اعداد مثبت هستند، حاصل ضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی باقیمانده a یک عدد منفی به دست می آید. با توجه به این خاصیت (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

ما به ویژگی مقایسه درجات با شاخصهای طبیعی یکسان می پردازیم که دارای فرمول زیر است: از دو درجه با شاخصهای طبیعی یکسان ، n کمتر از درجه ای است که پایه آن کمتر است ، و بیشتر از آن است که پایه آن بیشتر است . بیایید ثابت کنیم.

نابرابری a n خواص نابرابری هانابرابری ثابت شده شکل a n .

باقی می ماند تا آخرین ویژگی از درجات ذکر شده درجات را با توان طبیعی ثابت کنیم. فرمول بندی کنیم. از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های مثبت یکسان ، کمتر از یک ، درجه بیشتر است ، که شاخص آن کمتر است. و از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های یکسان بزرگتر از یک درجه بزرگتر است که نشانگر آن بزرگتر است. ما به اثبات این ویژگی می پردازیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای m> n و 0 0 بر اساس شرط اولیه m> n، از این رو نتیجه می شود که برای 0
برای اثبات قسمت دوم اموال باقی مانده است. اجازه دهید ثابت کنیم که m> a n برای m> n و a> 1 صادق است. تفاوت a m - a n، پس از قرار دادن n در خارج از پرانتز، شکل a n · (a m - n -1) را به خود می گیرد. این حاصلضرب مثبت است، زیرا برای a> 1 درجه an یک عدد مثبت است، و اختلاف am - n-1 یک عدد مثبت است، زیرا m - n> 0 به دلیل شرایط اولیه، و برای a> 1، درجه am − n بزرگتر از یک است ... بنابراین، a m - a n> 0 و a m> a n، در صورت لزوم. این ویژگی با نابرابری 3 7> 3 2 نشان داده شده است.

خواص درجه ها با نمرات صحیح
از آنجایی که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند، تمام خصوصیات درجات با نماهای اعداد صحیح مثبت دقیقاً با ویژگی های درجات با نماهای طبیعی که در قسمت قبل فهرست و اثبات شد، مطابقت دارند.

درجه ای را که دارای ضریب صحیح منفی است ، و همچنین درجه ای را که دارای صفر است ، تعیین کردیم تا همه خواص درجات با توان طبیعی ، که با برابری بیان می شوند ، صادق باقی بمانند. بنابراین، همه این ویژگی ها هم برای نماهای صفر و هم برای نماهای منفی معتبر است، در حالی که، البته، پایه های نماها غیر صفر هستند.

بنابراین ، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b ، و همچنین تمام اعداد صحیح m و n ، موارد زیر درست است ویژگی های توان ها با توان های عدد صحیح:

a m a n = a m + n;

a m: a n = a m − n;

(a ب) n = a n b n;

(a: b) n = a n: b n;

(a m) n = a m n;

اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، a و b اعداد مثبت هستند و a b −n;

اگر m و n اعداد صحیح باشند و m> n، در 0 1 نابرابری a m> a n صادق است.

برای a = 0، درجات a m و a تنها زمانی معنا دارند که هر دو m و n اعداد صحیح مثبت باشند، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین، ویژگی هایی که تازه نوشته شده اند برای مواردی که a = 0 و اعداد m و n اعداد صحیح مثبت هستند نیز معتبر هستند.

اثبات هر یک از این خصوصیات کار دشواری نیست، برای این کار کافی است از تعاریف درجه با توان طبیعی و عدد صحیح و همچنین خواص اعمال با اعداد حقیقی استفاده کنیم. به عنوان مثال ، اجازه دهید ثابت کنیم که خاصیت درجه تا درجه برای اعداد صحیح مثبت و اعداد صحیح غیر مثبت صادق است. برای انجام این کار، لازم است نشان داده شود که اگر p صفر یا یک عدد طبیعی است و q صفر یا یک عدد طبیعی است، پس برابری‌های (ap) q = ap q، (a - p) q = a (-p) q، (ap ) −q = ap (−q) و (a −p) −q = a (−p) (−q)... بیایید آن را انجام دهیم.

برای p و q مثبت، برابری (a p) q = a p q در بخش قبل ثابت شد. اگر p = 0، آنگاه داریم (a 0) q = 1 q = 1 و a 0 q = a 0 = 1، از این رو (a 0) q = a 0 q. به طور مشابه، اگر q = 0، آنگاه (a p) 0 = 1 و a p · 0 = a 0 = 1، از آنجایی (a p) 0 = a p · 0. اگر هر دو p = 0 و q = 0، آنگاه (a 0) 0 = 1 0 = 1 و a 0 0 = a 0 = 1، از این رو (a 0) 0 = a 0 0.

اکنون ثابت کنیم که (a - p) q = a (- p) q. بنابراین ، با تعریف درجه با ضریب منفی صحیح ، ... با توجه به ویژگی ضریب به درجه ، ما داریم ... از آنجایی که 1 p = 1 · 1 ·… · 1 = 1 و سپس. آخرین عبارت، طبق تعریف، توانی به شکل a - (p q) است که با توجه به قوانین ضرب، می توان آن را به صورت a (-p) q نوشت.

به همین ترتیب .

و .

با همان اصل، می توان تمام خصوصیات دیگر یک درجه را با یک توان عدد صحیح، که به شکل تساوی نوشته شده است، اثبات کرد.

در مورد ماقبل آخر از ویژگی های نوشته شده، ارزش آن را دارد که بر اثبات نابرابری a - n> b - n که برای هر عدد صحیح منفی −n و هر مثبت a و b که شرط a برای آن وجود دارد، صحبت کنیم. ... از آنجا که به شرط الف 0. حاصل ضرب a n · b n نیز به عنوان حاصل ضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریبی از اعداد مثبت b n - a n و a n · b n مثبت است. از این رو، از آنجایی که a - n> b - n، در صورت لزوم.

آخرین خاصیت درجات با توان های اعداد صحیح به همان صورت ثابت می شود که خاصیت مشابه درجات با توان های طبیعی.

ویژگی های درجات با توان های گویا

درجه ای را با یک توان کسری با بسط دادن خواص یک درجه با یک توان کامل به آن تعیین کردیم. به عبارت دیگر ، نماهای کسری دارای خواص یکسانی هستند. برای مثال:

اثبات خصوصیات درجات با توان کسری بر اساس تعریف درجه با توان کسری، روی و بر روی خواص درجه با توان عدد صحیح است. در اینجا شواهد وجود دارد.

با تعریف یک درجه با توان کسری و سپس ... ویژگی های ریشه حسابی به ما اجازه می دهد تا تساوی های زیر را بنویسیم. علاوه بر این، با استفاده از خاصیت درجه با توان عدد صحیح، به دست می آوریم، از این رو، با تعریف یک درجه با توان کسری، داریم ، و نمره درجه به دست آمده را می توان به صورت زیر تغییر داد:. این اثبات را کامل می کند.

خاصیت دوم درجات با توان کسری دقیقاً به همین ترتیب ثابت می شود:

سایر برابری ها با اصول مشابه اثبات می شوند:

به اثبات ویژگی زیر می رویم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت، a ب ص. عدد گویا p را m / n می نویسیم که m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد ، شرایط m<0 и m>0 به ترتیب. برای m> 0 و a
به طور مشابه، برای m<0 имеем a m >b m، از کجا، یعنی، و a p> b p.

باقی مانده است که آخرین ویژگی های ذکر شده را اثبات کنیم. اجازه دهید ثابت کنیم که برای اعداد گویا p و q، p> q برای 0 0 - نابرابری a p> a q. ما همیشه می توانیم اعداد منطقی p و q را به یک مخرج مشترک بیاوریم ، اجازه دهید کسرهای معمولی و جایی که m 1 و m 2 عدد صحیح هستند و n طبیعی است بدست آوریم. در این حالت، شرط p> q با شرط m 1> m 2 مطابقت دارد که از آن نتیجه می شود. سپس با خاصیت مقایسه درجات با مبانی یکسان و توان های طبیعی در 0 1 - نابرابری a m 1> a m 2. این نابرابری ها از نظر ویژگی های ریشه ها را می توان بر این اساس بازنویسی کرد و ... و تعریف درجه با توان گویا به شما امکان می دهد به ترتیب به سمت نابرابری ها بروید. بنابراین ، ما نتیجه نهایی را می گیریم: برای p> q و 0 0 - نابرابری a p> a q.

ویژگی های درجات با توان غیرمنطقی

از چگونگی تعریف درجه با نماد غیر منطقی ، می توان نتیجه گرفت که دارای تمام ویژگی های درجه با ضریب منطقی است. بنابراین برای هر a> 0 ، b> 0 و اعداد غیر منطقی p و q موارد زیر صادق است: خواص درجه ها با نماهای غیر منطقی:

a p a q = a p + q;

a p: a q = a p − q;

(a b) p = a p b p؛

(a: b) p = a p: b p؛

(a p) q = a p q;

برای هر عدد مثبت a و b، a 0 نابرابری a p b p;

برای اعداد غیر منطقی p و q، p> q در 0 0 - نابرابری a p> a q.

از این رو، می‌توان نتیجه گرفت که درجه‌هایی با هر توان واقعی p و q برای a> 0 دارای ویژگی‌های یکسانی هستند.

کتابشناسی - فهرست کتب.

ویلنکین N.Ya. ، Zhokhov V.I. ، Chesnokov A.S. ، Shvartsburd S.I. کتاب درسی MathematicsZh برای کلاس پنجم. موسسات آموزشی

Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی کلاس هفتم موسسات آموزشی

Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی کلاس هشتم موسسات آموزشی

Makarychev Yu.N. ، Mindyuk N.G. ، Neshkov K.I. ، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی

کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. و دیگران جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی 10 - 11 موسسات آموزشی.

گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای متقاضیان ورود به دانشکده فنی).

قسمت دوم. فصل 6
تعداد دنباله

مفهوم درجه با نمایی غیر منطقی

بگذارید یک عدد مثبت و یک عدد غیرمنطقی باشد.
به عبارت a *چه معنایی باید داد؟
برای توصیف بیشتر ارائه ، آن را بصورت خصوصی انجام می دهیم
مثال. یعنی یک - 2 و a = 1. 624121121112 قرار می دهیم. ... ... ...
در اینجا a یک کسر اعشاری نامتناهی بر اساس چنین است
قانون: شروع از رقم چهارم اعشار، برای تصویر a
فقط از ارقام 1 و 2 استفاده می شود و تعداد ارقام 1 است،
در یک ردیف قبل از عدد 2 ثبت می شود، تمام زمان افزایش می یابد
یکی کسر a غیر تناوبی است، زیرا در غیر این صورت تعداد ارقام 1 است،
ثبت شده در یک ردیف در تصویر او محدود خواهد بود.
بنابراین، a یک عدد غیر منطقی است.
بنابراین ، چه معنایی باید برای این عبارت قائل شد
21، v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... آر
برای پاسخ به این س weال ، ما دنباله هایی از مقادیر را می نویسیم
و با کمبود و مازاد با دقت (0.1) *. ما گرفتیم
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
بیایید دنباله های مربوط به قدرتهای عدد 2 را بسازیم:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ...، (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21.6Ш؛ ... (4)
دنباله (3) به عنوان دنباله افزایش می یابد
(1) (قضیه 2 § 6).
دنباله (4) در حال کاهش است زیرا دنباله در حال کاهش است
(2).
هر یک از اعضای دنباله (3) کمتر از هر یک از اعضای دنباله است
(4) و بنابراین دنباله (3) محدود می شود
از بالا، و دنباله (4) از پایین محدود شده است.
بر اساس قضیه توالی محدود یکنواخت
هر کدام از دنباله های (3) و (4) حدی دارند. اگر

384 مفهوم درجه با توان غیر منطقی . .

اکنون، معلوم می شود که تفاوت دنباله های (4) و (3) همگرا می شود
به صفر برسد، پس از این نتیجه می شود که هر دوی این دنباله ها،
حد مشترک داشته باشد
تفاوت بین جمله های اول دنباله های (3) و (4)
21-7 - 21 ' * = 2 | ، در (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
تفاوت اصطلاحات دوم
21'63 - 21.62 = 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
تفاوت ترم های نهم
0,0000. ..0 1
2>. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
بر اساس قضیه 3 § 6
لیم 10 اینچ / 2 = 1.
بنابراین ، دنباله های (3) و (4) حد مشترکی دارند. این
حد تنها عدد واقعی است که بزرگتر از
از همه اعضای دنباله (3) و کمتر از همه اعضای دنباله
(4)، و توصیه می شود آن را مقدار دقیق 2 * در نظر بگیرید.
از آنچه گفته شد چنین برمی‌آید که به طور کلی قبول است
تعریف زیر:
تعریف. اگر a> 1، آنگاه درجه a با یک غیرمنطقی
توان a چنین عدد واقعی است،
که از تمام توان های این عدد که نماهای آن هستند بیشتر است
تقریب های منطقی a با کمبود و کمتر از همه درجات
از این عدد که نماهای آن تقریب های گویا و با
اضافی.
اگر یک<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
عدد واقعی نامیده می شود که بزرگتر از همه درجات باشد
از این عدد، که توان آن تقریب های گویا a هستند
با بیش از حد ، و کمتر از همه قدرتهای این عدد ، که نمایندگان آن هستند
- تقریب های منطقی و با ضرر.
اگر a-1 باشد، درجه آن با توان غیر منطقی a
1 است.
با استفاده از مفهوم حد می توان این تعریف را تدوین کرد
بنابراین:
توان یک عدد مثبت با توان غیر منطقی
a محدوده ای است که دنباله به آن تمایل دارد
قدرت های گویا این عدد، مشروط بر اینکه دنباله
نماهای این درجات به a تمایل دارند، یعنی.
aa = lim aH
ب - *
13 D، K. Fatshcheev، I. S. Sominsky

در چارچوب این مطالب، درجه یک عدد را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. علاوه بر تعاریف اساسی، درجاتی با شارح طبیعی، کل، عقلی و غیرمنطقی را فرمول بندی خواهیم کرد. مثل همیشه، تمام مفاهیم با مثال هایی از وظایف نشان داده می شود.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ابتدا، ما یک تعریف پایه از درجه با توان طبیعی را فرمول بندی می کنیم. برای انجام این کار، باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. بگذارید پیشاپیش روشن کنیم که فعلاً یک عدد واقعی را به عنوان پایه می گیریم (آن را با حرف a مشخص کنید) و به عنوان یک نشانگر - یک عدد طبیعی (آن را با حرف n نشان دهید).
تعریف 1
توان یک عدد a با توان طبیعی n حاصل ضرب n-امین تعداد عامل است که هر کدام برابر با عدد a است. مدرک به این صورت نوشته شده است: یک nو در قالب یک فرمول، ترکیب آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

به عنوان مثال ، اگر نماد 1 و پایه آن a باشد ، اولین توان a به صورت نوشته می شود یک 1... با توجه به اینکه a مقدار ضرب و 1 تعداد عوامل است ، می توان نتیجه گرفت که a 1 = a.

به طور کلی، می توان گفت که مدرک یک شکل مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل برابر است. بنابراین، یک ورودی از فرم 8 8 8 8را می توان به 8 4 ... تقریباً به همین ترتیب، محصول به ما کمک می کند تا از نوشتن تعداد زیادی اصطلاح اجتناب کنیم (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4). ما قبلاً این را در مقاله ای که به ضرب اعداد طبیعی اختصاص داده شده است ، تجزیه و تحلیل کرده ایم.

چگونه می توان سوابق تحصیلی را به درستی خواند؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a به توان n" است. یا می توانید بگویید "n - امین درجه از a" یا "a n - امین درجه". اگر ، مثلاً ، مثال شامل مدخل باشد 8 12 ، می توان "8 به توان 12"، "8 به توان 12" یا "قدرت 12 در 8" را خواند.

قدرت های دوم و سوم عدد نام های ثابت خود را دارند: مربع و مکعب. اگر درجه دوم را مشاهده کنیم ، به عنوان مثال ، عدد 7 (7 2) ، می توانیم بگوییم "7 در مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب، درجه سوم به این صورت خوانده می شود: 5 3 "مکعب عدد 5" یا "5 در یک مکعب" است. با این حال، استفاده از فرمول استاندارد "در درجه دوم / سوم" نیز ممکن است، اشتباه نخواهد بود.
مثال 1
بیایید یک مثال از یک مدرک را با یک شاخص طبیعی تجزیه و تحلیل کنیم: برای 5 7 پنج پایه و هفت نشانگر خواهد بود.

لازم نیست پایه یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 پایه کسری 4، 32 و توان آن 9 است. به پرانتز توجه کنید: چنین ورودی برای تمام درجاتی که پایه های آنها با اعداد طبیعی متفاوت است انجام می شود.

به عنوان مثال: 1 2 3، (- 3) 12، - 2 3 5 2، 2، 4 35 5، 7 3.

پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از خطاهای محاسبه کمک می کنند. فرض کنید دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 ... اولین آنها به معنای عدد منفی منهای دو است که به توانی با توان طبیعی سه افزایش یافته است. دومی عدد مربوط به مقدار مخالف درجه است 2 3 .

گاهی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از درجه اعداد پیدا کنید - a ^ n(که در آن a پایه و n توان است). یعنی 4 ^ 9 همان است 4 9 ... اگر n عددی چند رقمی باشد در داخل پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال ، 15 ^ (21) ، (-- 3 ، 1) ^ (156). اما ما از نماد استفاده خواهیم کرد یک nبه عنوان رایج تر

به راحتی می توان حدس زد که چگونه می توان مقدار درجه را با یک نماینده طبیعی از تعریف آن محاسبه کرد: شما فقط باید تعداد n -دهم را ضرب کنید. در مقاله دیگری در این مورد بیشتر نوشتیم.

مفهوم درجه مخالف مفهوم ریاضی دیگری است - ریشه یک عدد. اگر مقدار درجه و توان را بدانیم می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. درجه دارای برخی از ویژگی های خاص است که برای حل مسائل مفید است که ما در مطالب جداگانه در مورد آنها صحبت کرده ایم.

در نماها، نه تنها اعداد طبیعی می توانند بایستند، بلکه به طور کلی هر عدد صحیحی از جمله منفی و صفر می توانند بایستند، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند.
تعریف 2
توان یک عدد با نما عدد صحیح مثبت را می توان به صورت فرمول نمایش داد: .

علاوه بر این، n هر عدد صحیح مثبت است.

بیایید به مفهوم درجه صفر بپردازیم. برای انجام این کار، از رویکردی استفاده می‌کنیم که خاصیت ضریب را برای درجه‌هایی با پایه‌های مساوی در نظر می‌گیرد. به صورت زیر فرموله شده است:
تعریف 3
برابری a m: a n = a m - nدر شرایط زیر صادق خواهد بود: m و n اعداد طبیعی، m هستند< n , a ≠ 0 .

آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند ، نتیجه زیر را بدست می آوریم: a n: a n = a n - n = a 0

اما در عین حال a n: a n = 1 ضریب اعداد مساوی است یک nو الف معلوم می شود که درجه صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است.

با این حال، چنین اثباتی برای صفر تا درجه صفر صدق نمی کند. برای این ما به ویژگی دیگری از درجات نیاز داریم - خاصیت محصولات درجه با پایه های مساوی. به نظر می رسد این است: a m a n = a m + n .

اگر n برابر 0 داشته باشیم، پس a m a 0 = a m(این برابری نیز به ما ثابت می کند که a 0 = 1). اما اگر a نیز برابر با صفر باشد، تساوی ما شکل می گیرد 0 متر 0 0 = 0 متر، برای هر مقدار طبیعی n درست خواهد بود و فرقی نمی کند که دقیقاً مقدار درجه چقدر باشد 0 0 یعنی با هر عددی می تواند برابر باشد و این تاثیری در وفاداری تساوی نخواهد داشت. بنابراین ، نماد فرم 0 0 معنای خاصی ندارد و ما آن را به او نسبت نمی دهیم.

در صورت تمایل، بررسی آن آسان است a 0 = 1با ویژگی درجه همگرا می شود (a m) n = a m nمشروط بر اینکه پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین، درجه هر عدد غیر صفر با توان صفر برابر با یک است.
مثال 2
بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 ، - 4 5 9 0 = 1 ، و مقدار 0 0 تعریف نشده

بعد از درجه صفر، باید بفهمیم درجه منفی چیست. برای انجام این کار، به همان خاصیت حاصل ضرب درجات با پایه‌های مساوی نیاز داریم که قبلاً از آن استفاده کردیم: a m · a n = a m + n.

بیایید شرط را معرفی کنیم: m = - n، سپس a نباید برابر با صفر باشد. نتیجه می شود که a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... معلوم می شود که یک n و a - nما اعداد معکوس متقابل داریم.

در نتیجه، توان منفی a به عدد صحیح چیزی نیست جز کسری 1 a n.

این فرمول تأیید می کند که برای یک درجه با توان منفی صحیح، همه همان ویژگی ها به عنوان یک درجه با توان طبیعی معتبر هستند (به شرطی که پایه صفر نباشد).
مثال 3
توان a با عدد صحیح منفی n را می توان به صورت کسری 1 a n نشان داد. بنابراین ، a - n = 1 a n تحت شرایط a ≠ 0و n هر عدد طبیعی است.

بیایید فکر خود را با مثال های خاص توضیح دهیم:
مثال 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

در قسمت آخر پاراگراف، سعی می کنیم تمام آنچه را که به وضوح گفته شد در یک فرمول به تصویر بکشیم:
تعریف 4
توان عدد a با توان طبیعی z برابر است با: az = az، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1، z = 0 و a ≠ 0، (برای و z = 0 و a = 0، 0 0 می گیریم، مقادیر عبارت 0 0 نیست (اگر z یک عدد صحیح باشد و a = 0 0 z را به دست آورد ، ego z n در n e n n d e d e n t)

درجات توان گویا چیست؟

ما مواردی را که توان دارای یک عدد صحیح است تجزیه و تحلیل کرده ایم. با این حال، زمانی که یک عدد کسری در توان آن وجود دارد، می توانید یک عدد را به توان برسانید. به این درجه توان گویا می گویند. در این قسمت ثابت خواهیم کرد که دارای همان خواص درجات دیگر است.

اعداد گویا چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد صحیح و کسری است، در حالی که اعداد کسری را می توان به عنوان کسرهای معمولی (هم مثبت و هم منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف درجه یک عدد a را با توان کسری m / n فرموله کنیم، که در آن n یک عدد طبیعی و m یک عدد صحیح است.

درجه ای با توان کسری a m n داریم. برای اینکه خاصیت درجه تا درجه محقق شود ، برابری a m n n = a m n · n = a m باید صادق باشد.

با توجه به تعریف ریشه نهم و اینکه a m n n = a m ، ما می توانیم شرط a m n = a m n را بپذیریم اگر m n برای مقادیر داده شده m ، n و a منطقی باشد.

ویژگی های فوق یک درجه با توان عدد صحیح درست خواهد بود به شرط اینکه m n = a m n باشد.

نتیجه اصلی از استدلال ما به شرح زیر است: توان تعدادی از عدد a با توان کسری m / n ریشه n عدد a به توان m است. این در صورتی درست است که برای مقادیر داده شده m، n و a، عبارت a m n معنادار باقی بماند.

1. ما می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: a را بگیرید که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 و برای مقادیر منفی- بسیار کمتر است (زیرا برای m ≤ 0 ما گرفتن 0 متر، اما این درجه تعریف نشده است). در این مورد، تعریف یک درجه با توان کسری به صورت زیر خواهد بود:

توان با توان کسری m / n برای برخی از عدد مثبت a، ریشه n ام از a است که به توان m افزایش یافته است. در فرمول ، این را می توان به شرح زیر نشان داد:

برای یک درجه با پایه صفر، این موقعیت نیز مناسب است، اما تنها در صورتی که توان آن یک عدد مثبت باشد.

یک درجه با پایه صفر و یک توان مثبت کسری m / n را می توان به صورت بیان کرد

0 m n = 0 m n = 0 تحت شرط عدد صحیح مثبت m و n طبیعی.

با نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

به یک نکته توجه کنیم. از آنجایی که شرط a بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم، پس برخی موارد را حذف کردیم.

عبارت a m n گاهی اوقات برای برخی از مقادیر منفی a و برخی m منطقی است. بنابراین، ورودی های صحیح عبارتند از (- 5) 2 3، (- 1، 2) 5 7، - 1 2 - 8 4، که در آن پایه منفی است.

2. رویکرد دوم این است که ریشه a m n را با نماهای زوج و فرد جداگانه در نظر بگیریم. سپس باید یک شرط دیگر را معرفی کنیم: توان a که در توان آن یک کسر معمولی قابل لغو وجود دارد، توان a در نظر گرفته می شود که در توان آن کسر تقلیل ناپذیر مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا ما به این شرایط نیاز داریم و چرا اینقدر مهم است. بنابراین، اگر یک رکورد a m k n k داشته باشیم، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم.

اگر n فرد و m مثبت باشد ، a هر عدد منفی است ، در این صورت m n معنا پیدا می کند. شرط a غیر منفی ضروری است ، زیرا ریشه زوج یک عدد منفی استخراج نمی شود. اگر مقدار m مثبت باشد، a می تواند منفی یا صفر باشد، زیرا یک ریشه فرد را می توان از هر عدد واقعی استخراج کرد.

بیایید تمام داده های تعریف بالا را در یک رکورد ترکیب کنیم:

در اینجا m / n به معنای کسر غیر قابل تقلیل است، m هر عدد صحیح و n هر عدد طبیعی است.
تعریف 5
برای هر کسر معمولی قابل لغو m · k n · k، توان می تواند با m n جایگزین شود.

توان یک عدد a با توان کسری غیرقابل تقلیل m / n - را می توان به صورت m n در موارد زیر بیان کرد: - برای هر a واقعی، مقادیر صحیح مثبت m و مقادیر طبیعی فرد n. مثال: 2 5 3 = 2 5 3، (- 5، 1) 2 7 = (- 5، 1) - 2 7، 0 5 19 = 0 5 19.

برای هر غیر صفر واقعی a، عدد صحیح منفی m، و فرد n، برای مثال، 2 - 5 3 = 2 - 5 3، (- 5، 1) - 2 7 = (- 5، 1) - 2 7

برای هر غیر منفی a، عدد صحیح مثبت m و زوج n، به عنوان مثال، 2 1 4 = 2 1 4، (5، 1) 3 2 = (5، 1) 3، 0 7 18 = 0 7 18.

برای هر a مثبت ، m منفی و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 - 1 4 = 2 - 1 4 ، (5 ، 1) - 3 2 = (5 ، 1) - 3 ،.

برای سایر مقادیر ، ضریب کسری تعریف نشده است. نمونه هایی از این درجه ها: - 2 11 6، - 2 1 2 3 2، 0 - 2 5.

حال اجازه دهید اهمیت شرط ذکر شده در بالا را توضیح دهیم: چرا کسر را با یک توان لغو کننده با کسری با یک غیر قابل تقلیل جایگزین کنید. اگر این کار را انجام نمی‌دادیم، چنین موقعیت‌هایی به دست می‌آمدیم، مثلاً 6/10 = 3/5. سپس باید درست باشد (- 1) 6 10 = - 1 3 5، اما - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1، و (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

تعریف درجه با توان کسری، که اولی را ارائه کردیم، در عمل راحت تر از دومی است، بنابراین به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.
تعریف 6
بنابراین، درجه یک عدد مثبت a با توان کسری m / n به صورت 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود. در صورت منفی آنماد a m n بی معنی است. توان صفر برای نمرات کسری مثبت متر بر ثانیهبه عنوان 0 m n = 0 m n = 0 تعریف می شود، برای توان های کسری منفی، درجه صفر را تعیین نمی کنیم.

در نتیجه گیری، توجه می کنیم که می توانید هر نشانگر کسری را هم به عنوان یک عدد مختلط و هم به صورت کسری اعشاری بنویسید: 5 1، 7، 3 2 5 - 2 3 7.

در هنگام محاسبه بهتر است کسری معمولی را جایگزین نما کنید و سپس از تعریف توان با توان کسری استفاده کنید. برای مثالهای بالا ، به دست می آوریم:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

درجات با توان غیر منطقی و معتبر چیست؟

اعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد گویا و غیر منطقی است. بنابراین برای اینکه بفهمیم مدرک با شاخص واقعی چیست، باید درجاتی را با شاخص های عقلانی و غیرمنطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید قدم به قدم به شاخص های غیرمنطقی بپردازیم.
مثال 5
فرض کنید ما یک عدد غیر منطقی a و یک دنباله تقریبی اعشاری آن a 0 ، a 1 ، 2 ، داریم. ... ... ... برای مثال، بیایید مقدار a = 1.67175331 را در نظر بگیریم. ... ... ، سپس

a 0 = 1.6، a 1 = 1. 67، a 2 = 1. 671،. ... ... 0 = 1.67، a 1 = 1.6717، a 2 = 1.671753،. ... ...

ما می توانیم دنباله ای از تقریب ها را با دنباله ای از درجه a a 0، a a 1، a 2 ،. ... ... ... اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به توان گویا گفتیم به خاطر دارید، می توانیم خودمان مقادیر این قدرت ها را محاسبه کنیم.

برای مثال در نظر بگیرید a = 3، سپس a 0 = 31.67، a a 1 = 31.6717، a a 2 = 31.671753،. ... ... و غیره.

دنباله درجه ها را می توان به یک عدد کاهش داد که مقدار درجه با پایه a و توان غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: درجه ای با توان غیرمنطقی به شکل 3 1, 67175331. ... را می توان به عدد 6، 27 کاهش داد.
تعریف 7
درجه یک عدد مثبت a با توان غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0، a a 1، a a 2 است. ... ... ، که در آن 0، a 1، a 2،. ... ... تقریب های اعشاری متوالی عدد غیر منطقی a هستند. درجه با پایه صفر را نیز می توان برای شاخص های غیرمنطقی مثبت تعیین کرد، در حالی که 0 a = 0 بنابراین، 0 6 = 0، 0 21 3 3 = 0. و برای موارد منفی ، این را نمی توان انجام داد ، زیرا ، برای مثال ، مقدار 0 - 5 ، 0 - 2 π تعریف نشده است. یک واحد افزایش یافته به هر توان غیرمنطقی مثلاً 1 باقی می ماند و 1 2، 1 5 در 2 و 1 - 5 برابر با 1 خواهد بود.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

درجه با یک شاخص منطقی، خواص آن.
بیان a n برای همه a و n تعریف می شود، به جز مورد a = 0 برای n≤0. بیایید ویژگی های چنین درجه هایی را به یاد بیاوریم.

برای هر اعداد a، b و هر عدد صحیح m و n برابری های زیر درست است:
A m * a n = a m + n; a m: a n = a m-n (a ≠ 0); (a m) n = mn; (ab) n = a n * b n ؛ (b ≠ 0)؛ a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0).

ما همچنین به ویژگی های زیر توجه می کنیم:

اگر m> n، a m> a n برای a> 1 و a m<а n при 0<а<1.

در این بخش، مفهوم توان یک عدد را تعمیم می دهیم و به عبارات نوع 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 و غیره در این مورد طبیعی است که تعریفی ارائه شود به گونه ای که درجات دارای نماهای منطقی دارای خواص یکسانی (یا حداقل قسمتی از آنها) با درجه با یک نمره کامل باشند. سپس، به طور خاص، توان nام عددباید برابر با a باشدمتر ... در واقع، اگر ملک
(a p) q = a pq

سپس اجرا می شود

آخرین برابری به معنی (با تعریف ریشه نهم) این عدد استباید ریشه نهم عدد a باشدمتر

تعریف.

درجه یک عدد a> 0 با توان گویا r =، که در آن m یک عدد صحیح و n یک عدد طبیعی است (n> 1)، عدد است.

بنابراین، طبق تعریف
(1)

توان عدد 0 فقط برای نماهای مثبت تعریف می شود. طبق تعریف 0 r = 0 برای هر r> 0.
مدرک با شاخص غیر منطقی.
عدد گنگمی تواند به صورت نشان داده شودحد دنباله اعداد منطقی: .
بگذار باشد. سپس درجاتی با توان گویا وجود دارد. می توان نشان داد که دنباله این درجات همگرا هستند. حد این دنباله نامیده می شود درجه با توجیه و توان غیرمنطقی: .
یک عدد مثبت a ثابت می کنیم و به هر عدد اختصاص می دهیم... بنابراین ، ما تابع عددی f (x) = a را بدست می آوریمایکس بر روی مجموعه Q از اعداد گویا تعریف شده و دارای ویژگی های فهرست شده قبلی است. برای a = 1، تابع f (x) = aایکس از 1 ثابت استایکس = 1 برای هر x منطقی.

چند نقطه از نمودار تابع y=2 را رسم می کنیمایکس پیش محاسبه مقدار 2ایکس در بخش [–2 ؛ 3] با گام 1/4 (شکل 1، الف)، و سپس با گام 1/8 (شکل 1، ب) ادامه ذهنی همان ساخت و سازها با گام 1/16، 1/32 و غیره، می بینیم که نقاط به دست آمده را می توان با یک منحنی صاف به هم متصل کرد، که طبیعی است که نمودار یک تابع را در نظر بگیریم، که قبلاً در کل خط اعداد تعریف شده و افزایش می یابد و مقادیر را می گیریم.در نقاط عقلانی(شکل 1، ج). به اندازه کافی ساخته شده است عدد بزرگنقاط گراف تابع، ما می توانیم مطمئن شویم که این تابع نیز دارای ویژگی های مشابه است (تفاوت در این تابع است R کاهش می یابد.

این مشاهدات نشان می دهد که می توان اعداد 2 را به این شکل تعریف کرد.α و برای هر α غیر منطقی به طوری که توابع تعریف شده با فرمول y = 2 x و پیوسته خواهد بود و تابع y = 2ایکس افزایش می یابد ، و عملکرددر طول خط عدد كاهش می یابد.

اجازه دهید به طور کلی توضیح دهیم که چگونه عدد a α برای α غیرمنطقی برای a> 1. می خواهیم به تابع y = a برسیمایکس افزایش می یافت سپس برای هر r عقلی 1 و r2 به گونه ای که r 1<αباید نابرابری های الف را برآورده کند r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x ، می بینیم که مقادیر متناظر a r 1 و a r 2 کمی متفاوت خواهد بود. می توان ثابت کرد که ، و علاوه بر این ، فقط یک عدد y وجود دارد که از همه a بزرگتر است r 1 برای همه r منطقی 1 و کمتر از همه r 2 برای همه r منطقی 2 ... این عدد y طبق تعریف a است α .

برای مثال با استفاده از ماشین حساب مقدار 2 را محاسبه کنید x در نقاط x n و x` n ، جایی که x n و x` n است - تقریب اعشاری یک عددمتوجه خواهیم شد که هر چه x نزدیکتر باشد n و x` n k ، اختلاف کمتر 2 است x n و 2 x` n.

از آن به بعد

و بنابراین

به همین ترتیب، با در نظر گرفتن تقریب های اعشاری زیربا کمبود و مازاد به نسبت ها می رسیم
;

;

;

;

.

معنی محاسبه شده در ماشین حساب به شرح زیر است:
.

عدد الف α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 برای هر α و 0α = 0 برای α> 0.
تابع نمایی.

در آ > 0, آ = 1، تابع تعریف شده است y = a ایکسغیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود تابع نماییبا پایهآ.

y= a ایکسدر آ> 1:

نمودار تابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ> 1 در شکل نشان داده شده است.

خواص اساسی تابع نمایی y= a ایکسدر 0< آ < 1:
دامنه تابع خط اعداد کامل است.

محدوده عملکرد - دهانه (0; + ) .

تابع کاملاً یکنواخت در خط اعداد کامل افزایش می یابد، یعنی اگر ایکس 1 < x 2، سپس تبر 1 > یک x 2 .

در ایکس= 0 ، مقدار تابع 1 است.

اگر ایکس> 0، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
به خواص عمومیتابع نمایی مانند 0< a < 1, так и при a> 1 شامل:
آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.

آ - ایکس= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکسبرای هرکس ایکس.

nآ ایکس= آ

خواندن:

سازمان کارآفرینی در پزشکی: ایده ها ، تجهیزات ، لیست خدمات ارائه شده ، هزینه ما یک مغازه پارچه فروشی باز می کنیم نشانه ها و سنت های عامیانه برای تعمید خداوند فال فردی براساس تاریخ تولد به صورت رایگان با رمزگشایی فال شرقی برای فردا تقویم کاشت برای سفره آوریل

خواندن: