بخشهای سایت
انتخاب سردبیر:
- تعیین نخ مشترک پارچه
- توصیه هایی برای خرید توپ بولینگ خود
- سالاد لایه ای گوجه فرنگی و خیار
- کرم مخصوص پوست مختلط
- خامه خامه و خامه ترش
- چند نکته ساده در مورد نحوه به حداقل رساندن بازی
- پروژه "روش خانگی برای پوست کندن شاه توت"
- چگونه می توان سیاره مریخ را با تلسکوپ آماتوری رصد کرد
- فارغ التحصیل چه امتیازاتی کسب می کند و چگونه می توان آنها را شمرد
- مقدار کالری پنیر ، ترکیب ، bju ، خواص مفید و موارد منع مصرف
تبلیغات
| عملکرد نمایی. اهداف درس: مدرکی را با شاخص غیر منطقی در نظر بگیرید. تعریف تابع نمایی را معرفی کنید. اصلی ترین ها را فرموله کنید. درجه تعداد: تعاریف ، علامت گذاری ، مثال ها |
|
در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از... در اینجا ما تعاریف درجه یک عدد را ارائه خواهیم داد ، در حالی که نگاهی دقیق تر به همه نمایانهای ممکن می اندازیم ، شروع با یک بیان طبیعی و پایان دادن به یک غیر منطقی. در این ماده ، نمونه های زیادی از درجات را پیدا خواهید کرد که تمام ظرافت های به وجود آمده را پوشش می دهد. پیمایش صفحه. درجه با نماد طبیعی ، مربع عدد ، مکعب عددبیا شروع کنیم با. با نگاه به جلو ، می گوییم تعریف درجه یک عدد a با نمایشگر طبیعی n برای a آورده شده است ، که ما آن را فراخوانی خواهیم کرد درجه پایه، و n ، که ما آنها را صدا خواهیم کرد نماینده... همچنین توجه داشته باشید که درجه با یک نمایشگر طبیعی از طریق محصول تعیین می شود ، بنابراین برای درک مطالب زیر ، باید ایده ضرب اعداد را داشته باشید. تعریف.
توان عدد a با نمایشگر طبیعی n عبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر با حاصلضرب n فاکتور است که هر یک برابر با a است ، یعنی. بلافاصله باید در مورد قوانین خواندن درجه ها گفت. روش جهانی برای خواندن ضبط a n به شرح زیر است: "a to the power of n". در برخی موارد ، گزینه های زیر نیز قابل قبول هستند: "a to the n-th power" و "n-th power of a a". به عنوان مثال ، بیایید قدرت 8 12 را بدست آوریم که "هشت به قدرت دوازده" یا "هشت به قدرت دوازدهم" یا "دوازدهم قدرت هشت" است. درجه دوم یک عدد و همچنین درجه سوم یک شماره ، نام های خاص خود را دارند. قدرت دوم یک عدد نامیده می شود عدد مربعبه عنوان مثال ، 7 2 "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" را می خواند. قدرت سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعببه عنوان مثال ، 5 3 را می توان به عنوان "مکعب پنج" یا "مکعب شماره 5" خواند. وقت رهبری است نمونه هایی از درجه با شاخص های طبیعی... بیایید با قدرت 5 7 شروع کنیم ، در اینجا 5 پایه قدرت و 7 توان است. بیایید یک مثال دیگر بزنیم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 - نماینده (4.32) 9. توجه داشته باشید که در آخرین مثال ، پایه درجه 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از سردرگمی ، همه پایه های درجه را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند ، در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال ، ما درجه های زیر را با شاخص های طبیعی ارائه می دهیم توجه داشته باشید که یک علامت گذاری برای درجه یک عدد a با نماد n شکل a ^ n وجود دارد. علاوه بر این ، اگر n یک عدد طبیعی چند ارزشی باشد ، نماد در براکت گرفته می شود. به عنوان مثال ، 4 ^ 9 نشانه دیگری برای قدرت 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از درجه نوشتن با استفاده از نماد "^" آورده شده است: 14 ^ (21) ، (−2،1) ^ (155). در آنچه در زیر می آید ، ما عمدتا از نت برای درجه شکل a n استفاده خواهیم کرد. یکی از وظایف ، معکوس برای افزایش قدرت با یک نمایشگر طبیعی ، مشکل یافتن پایه درجه از یک مقدار شناخته شده درجه و یک نمای شناخته شده است. این کار منجر به. شناخته شده است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری و هر یک تشکیل شده است عدد کسری می تواند مثبت یا منفی ارائه شود کسر مشترک... بنابراین ، درجه را با یک عدد صحیح در پاراگراف قبلی تعریف کردیم ، بنابراین ، تعریف درجه با کامل می شود شاخص منطقی، لازم است معنایی به توان یک عدد a با بیان کسری m / n داده شود ، جایی که m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است. اجازه دهید آن را انجام دهد درجه ای را با بیان کسری فرم در نظر بگیرید. برای اینکه ویژگی درجه به درجه معتبر باشد ، برابر است به راحتی می توان تأیید کرد که برای همه خصوصیات یک درجه با نماد صحیح (این امر در بخش خصوصیات یک درجه با یک نمایشگر منطقی انجام می شود). استدلال فوق به ما اجازه می دهد موارد زیر را انجام دهیم. خروجی: اگر برای m ، n و a عبارتی منطقی باشد ، آنگاه قدرت عدد a با نماد کسری m / n را nth ریشه a به توان m می نامیم. این عبارت ما را با تعیین کسر به تعیین درجه نزدیک می کند. فقط برای توصیف این که m ، n و a عبارت منطقی است باقی مانده است. بسته به محدودیت های m ، n و a ، دو رویکرد اصلی وجود دارد. ساده ترین راه محدود کردن a با فرض a≥0 برای m مثبت و a\u003e 0 برای m منفی است (از آنجا که برای m for0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از نمای کسری بدست می آوریم. تعریف. قدرت یک عدد مثبت a با نماد کسری m / n، جایی که m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است ، nth ریشه a به قدرت m گفته می شود ، یعنی. توان کسری صفر نیز با تنها شرط مثبت بودن شاخص تعیین می شود. تعریف.
توان صفر با نماد کسری مثبت m / n، جایی که m یک عدد صحیح مثبت است و n یک عدد طبیعی است ، به این صورت تعریف می شود لازم به ذکر است که با چنین تعریفی از درجه با نمایی کسری ، یک تفاوت وجود دارد: برای برخی از منفی a و برخی دیگر از m و n ، این عبارت منطقی است و ما با معرفی شرط a≥0 این موارد را کنار می گذاریم. مثلاً نوشتن منطقی است روش دیگر برای تعیین نمایی که دارای نمای کسری m / n است ، در نظر گرفتن جداگانه نمایشگرهای زوج و فرد ریشه است. این رویکرد به یک شرط اضافی نیاز دارد: درجه عدد a ، نشانگر آن ، قدرت عدد a در نظر گرفته می شود ، شاخص آن کسر قابل تقلیل مربوطه است (اهمیت این شرایط در زیر توضیح داده خواهد شد). یعنی اگر m / n کسری غیرقابل کاهش باشد ، برای هر عدد طبیعی k درجه قبلاً با درجه جایگزین می شود. برای حتی n و m مثبت ، این عبارت برای هر a غیر منفی منطقی است (ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد) ، برای m منفی ، عدد a نیز باید غیر صفر باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر وجود دارد ) و برای n و مثبت m عدد a می تواند هر باشد (ریشه درجه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) و برای m منفی عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که هیچ تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد). استدلال فوق ما را به چنین تعریفی از بیان کسری رهنمون می شود. تعریف. اجازه دهید m / n کسری غیرقابل کاهش باشد ، m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است. برای هر کسر قابل لغو ، نماینده با جایگزین می شود. توان یک عدد با نمایشگر کسری غیر قابل کاهش m / n برای است  بگذارید توضیح دهیم که چرا یک درجه با نمایی کسری قابل کاهش قبلاً با یک درجه با نمایشگر غیرقابل کاهش جایگزین می شود. اگر درجه را به سادگی تعریف کنیم و در مورد غیرقابل کاهش بودن کسر m / n رزرو نکنیم ، با چنین شرایطی روبرو خواهیم شد: از 6/10 \u003d 3/5 ، بنابراین برابری باید برقرار باشد پس از مشخص شدن درجه تعداد ، منطقی است که در مورد آن صحبت کنیم درجه خواص... در این مقاله ، ضمن لمس کردن تمام نماهای ممکن ، خصوصیات اساسی درجه یک عدد را خواهیم داد. در اینجا ما اثبات تمام خصوصیات درجه را ارائه می دهیم ، و همچنین نشان می دهیم که چگونه این خصوصیات در حل مثالها اعمال می شود. پیمایش صفحه. خواص نماهای طبیعیبا تعریف درجه با نمایشگر طبیعی ، درجه a n حاصل n فاکتور است که هر یک برابر با a است. بر اساس این تعریف ، و همچنین با استفاده از خصوصیات ضرب واقعی، می توان موارد زیر را بدست آورد و توجیه کرد خواص درجه طبیعی:
بلافاصله توجه داشته باشید که تمام برابری های نوشته شده برابر است همسان با توجه به شرایط مشخص شده ، قطعات راست و چپ آنها قابل تعویض است. به عنوان مثال ، ویژگی اصلی کسر a m a n \u003d a m + n برای ساده سازی عبارات اغلب به عنوان m + n \u003d a m · a n استفاده می شود. حال بیایید جزئیات هر یک از آنها را بررسی کنیم. بیایید با ویژگی یک محصول دو درجه با پایه های یکسان شروع کنیم ، که اصطلاحاً نامیده می شود خاصیت اصلی درجه: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n ، برابری a m · a n \u003d a m + n درست است. بگذارید ویژگی اصلی مدرک را ثابت کنیم. با تعریف یک درجه با نماد طبیعی ، می توان حاصلضرب درجه ها با همان پایه های شکل m a a n را به عنوان یک محصول نوشت. با توجه به خصوصیات ضرب ، می توان عبارت حاصل را به صورت زیر نوشت بیایید مثالی بزنیم که ویژگی اصلی مدرک را تأیید می کند. با همان پایه های 2 و درجه های طبیعی 2 و 3 درجه بگیرید ، با توجه به ویژگی اصلی درجه ، می توانیم برابری 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5 را بنویسیم. بیایید اعتبار آن را بررسی کنیم ، که برای آن مقادیر عبارات 2 2 · 2 3 و 2 5 را محاسبه می کنیم. بیان ، ما داریم 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 و 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 2 \u003d 32 ، از آنجا که مقادیر مساوی بدست می آید ، برابری 2 2 2 3 \u003d 2 5 درست است و ویژگی اصلی درجه را تأیید می کند. ویژگی اصلی درجه بر اساس خصوصیات ضرب را می توان به حاصل ضرب سه درجه یا بیشتر با همان بازها و نماهای طبیعی تعمیم داد. بنابراین برای هر تعداد k اعداد طبیعی n 1 ، n 2 ، ... ، n k ، برابر است a n 1 a n 2… a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k. برای مثال، (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 \u003d (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 . می توانید به ویژگی بعدی درجه ها با یک نمایشگر طبیعی بروید - دارایی مدارک خصوصی با همان پایه: برای هر عدد واقعی غیر صفر a و اعداد طبیعی دلخواه m و n که شرایط m\u003e n را برآورده می کنند ، برابر بودن a m درست است: a n \u003d a m - n. قبل از ارائه اثبات این ویژگی ، اجازه دهید در مورد معنی شرایط اضافی در فرمول بحث کنیم. شرط a ≠ 0 برای جلوگیری از تقسیم بر صفر لازم است ، زیرا 0 n \u003d 0 است و وقتی با تقسیم آشنا شدیم ، توافق کردیم که نمی توان بر صفر تقسیم کرد. شرط m\u003e n معرفی شده است تا از نمایهای طبیعی فراتر نرویم. در واقع ، برای m\u003e n ، نماد a m - n یک عدد طبیعی است ، در غیر این صورت یا صفر خواهد بود (که برای m - n اتفاق می افتد) ، یا یک عدد منفی (که وقتی m اتفاق می افتد شواهد و مدارک. ویژگی اصلی کسر به ما اجازه می دهد برابری را بنویسیم a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m... از برابری بدست آمده a m - n · a n \u003d a m و از آن نتیجه می شود که a m - n یک ضریب توان a m و a n است. این ویژگی مدارک خصوصی را با همان پایه ثابت کرد. بیایید مثالی بزنیم. دو درجه با همان پایه π و نماهای طبیعی 5 و 2 بگیرید ، ویژگی در نظر گرفته شده درجه با برابری π 5 مطابقت دارد: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3. اکنون در نظر بگیرید خاصیت درجه محصول: درجه طبیعی n حاصلضرب هر دو عدد واقعی a و b برابر است با حاصلضرب توانهای n و b n ، یعنی (a b) n \u003d a n b n. در واقع ، با تعریف مدرک با نمای طبیعی ، ما داریم بیایید مثالی بزنیم: این ویژگی در درجه محصول سه یا چند عامل صدق می کند. به این معنی که خاصیت درجه طبیعی n حاصلضرب عوامل k به صورت نوشته می شود (a 1 a 2… a k) n \u003d a 1 n a 2 n… a k n. برای شفافیت ، این ویژگی را با مثالی نشان خواهیم داد. برای محصول سه عامل به قدرت 7 ، ما باید. خاصیت بعدی است مالکیت خصوصی در نوع: ضریب اعداد واقعی a و b ، b ≠ 0 در توان طبیعی n برابر است با ضریب توانهای a n و b n ، یعنی (a: b) n \u003d a n: b n. اثبات را می توان با استفاده از ویژگی قبلی انجام داد. بنابراین (a: b) n b n \u003d ((a: b) b) n \u003d a n، و از برابری (a: b) n · b n \u003d a n نتیجه می شود که (a: b) n ضریب تقسیم a n بر b n است. بیایید این ویژگی را با استفاده از مثال اعداد خاص بنویسیم: حالا بیایید صدا کنیم ویژگی نمایش: برای هر عدد واقعی a و هر عدد طبیعی m و n ، درجه m به توان n برابر است با قدرت عدد a با نماد m n ، یعنی (a m) n \u003d a m n. به عنوان مثال ، (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6. اثبات ویژگی درجه به درجه زنجیره ای برابر زیر است: اموال در نظر گرفته شده را می توان درجه به درجه به درجه و غیره تمدید کرد. به عنوان مثال ، برای هر عدد طبیعی p ، q ، r و s ، برابری در مورد خصوصیات مقایسه درجه با نمایشگرهای طبیعی باقی مانده است. بیایید با اثبات ویژگی مقایسه صفر و درجه با توان طبیعی شروع کنیم. ابتدا اجازه دهید ثابت کنیم که a n\u003e 0 برای هر a\u003e 0. حاصلضرب دو عدد مثبت یک عدد مثبت است که از تعریف ضرب حاصل می شود. این واقعیت و خصوصیات ضرب به ما اجازه می دهد ادعا کنیم که نتیجه ضرب هر تعداد اعداد مثبت نیز عدد مثبت خواهد بود. و درجه عدد a با نمایشگر n طبیعی ، بر اساس تعریف ، حاصلضرب n است که هر یک برابر با a است. این استدلال به ما اجازه می دهد ادعا کنیم که برای هر پایه مثبت a ، درجه a n یک عدد مثبت است. به موجب خاصیت اثبات شده 3 5\u003e 0 ، (0.00201) 2\u003e 0 و کاملاً واضح است که برای هر n طبیعی برای a \u003d 0 درجه n n صفر است. در واقع ، 0 n \u003d 0 · 0 ·… · 0 \u003d 0. به عنوان مثال ، 0 3 \u003d 0 و 0 762 \u003d 0. رفتن به مبانی منفی درجه. بیایید با این حالت شروع کنیم که نماد یک عدد زوج است ، آن را به عنوان 2 · m نشان می دهیم ، جایی که m یک عدد طبیعی است. سپس سرانجام ، هنگامی که پایه بیان a منفی است و نمایشگر عدد فرد 2 متر - 1 است ، پس ما به ویژگی مقایسه درجه با همان شاخص های طبیعی می پردازیم ، که فرمول زیر را دارد: از دو درجه با شاخص های طبیعی یکسان ، n کمتر از آن است که پایه آن کمتر است ، و بزرگتر یک پایه آن بزرگتر است . بیایید آن را ثابت کنیم. نابرابری a n خصوصیات نابرابری ها نابرابری ثابت شده شکل a n . برای اثبات آخرین ویژگی ذکر شده از درجه با نماهای طبیعی باقی مانده است. بیایید آن را فرموله کنیم. از دو درجه با شاخص های طبیعی و همان مبانی مثبت کمتر از یک ، درجه بالاتر است که شاخص آن کمتر است. و از دو درجه با شاخص های طبیعی و پایه های یکسان ، بزرگتر از یک ، بزرگتر درجه ای است که شاخص آن بیشتر است. ما به اثبات این ویژگی می رسیم. بگذارید ثابت کنیم که برای m\u003e n و 0 برای اثبات قسمت دوم اموال باقی مانده است. بگذارید ثابت کنیم که m\u003e a n برای m\u003e n و a\u003e 1 صدق می کند. تفاوت a m - a n پس از قرار دادن n در خارج پرانتز به شکل a n · (a m - n-1) در می آید. این محصول مثبت است ، زیرا برای a\u003e 1 درجه a یک عدد مثبت است ، و اختلاف am-n-1 یک عدد مثبت است ، زیرا m - n\u003e 0 به دلیل شرایط اولیه ، و برای a\u003e 1 ، درجه am - n بیشتر از یک است ... در نتیجه ، a m - a n\u003e 0 و a m\u003e a n ، در صورت لزوم. این ویژگی با نابرابری 3 7\u003e 3 2 نشان داده شده است. خصوصیات درجه با نمادهای صحیحاز آنجا که اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند ، تمام خصوصیات درجات با نماهای صحیح مثبت دقیقاً با خصوصیات درجات با نمایشگرهای طبیعی ذکر شده و در بخش قبلی مطابقت دارند درجه ای با یک عدد صحیح صحیح منفی ، و همچنین یک درجه با صفر صفر ، ما تعیین کردیم تا تمام خصوصیات درجات با نمایشگرهای طبیعی ، بیان شده با برابرها ، درست باقی بماند. بنابراین ، همه این خصوصیات هم برای نماهای صفر و هم برای نمادهای منفی معتبر هستند ، در حالی که البته پایه های نماها غیر صفر هستند. بنابراین ، برای هر عدد واقعی و غیر صفر a و b ، و همچنین هر عدد صحیح m و n ، موارد زیر درست است خصوصیات قدرتها با نمایشگرهای عدد صحیح:
برای a \u003d 0 ، درجات a m و a n تنها زمانی معنی دارند که m و n هم عدد صحیح مثبت باشند ، یعنی اعداد طبیعی. بنابراین ، خصوصیاتی که فقط یادداشت شده است برای مواردی که a \u003d 0 است و اعداد m و n صحیح مثبت نیز معتبر هستند. اثبات هر یک از این خصوصیات کار دشواری نیست ؛ برای این کار کافی است از تعاریف درجه با نمایشگرهای طبیعی و صحیح و همچنین خصوصیات کنش ها با اعداد واقعی استفاده کنید. به عنوان مثال ، اجازه دهید ثابت کنیم که ویژگی درجه به درجه هم برای اعداد صحیح مثبت و هم اعداد صحیح غیر مثبت را دارا می باشد. برای انجام این کار ، لازم است که اگر p صفر است یا یک عدد طبیعی است و q صفر است یا یک عدد طبیعی است ، لازم است که برابرها (ap) q \u003d ap q ، (a - p) q \u003d a (−p) q ، (ap) −q \u003d ap (−q) و (a −p) −q \u003d a (−p) (−q)... اجازه دهید آن را انجام دهد برای p و q مثبت ، برابری (a p) q \u003d a p q در بخش قبلی ثابت شد. اگر p \u003d 0 ، آنگاه ما (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 و 0 q \u003d a 0 \u003d 1 داریم ، از آنجا (a 0) q \u003d a 0 q. به طور مشابه ، اگر q \u003d 0 ، سپس (a p) 0 \u003d 1 و p · 0 \u003d a 0 \u003d 1 ، از آنجا (a p) 0 \u003d a p · 0. اگر هر دو p \u003d 0 و q \u003d 0 باشد ، (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 و 0 0 \u003d a 0 \u003d 1 ، از آنجا (a 0) 0 \u003d a 0 0. حال بگذارید ثابت کنیم که (a - p) q \u003d a (- p) q. بنابراین با تعریف درجه با بیان منفی عدد صحیح به همین ترتیب و با همین اصل ، می توان تمام خصوصیات دیگر یک درجه را با یک صحیح صحیح ، که به صورت برابری نوشته شده است ، ثابت کرد. در آخرین مورد از خصوصیات نوشته شده ، لازم است که به اثبات نابرابری a - n\u003e b - n بپردازیم ، که برای هر عدد صحیح منفی andn و هر a و b مثبت برای شرط a صادق است. ... از آنجا که با شرایط الف 0 محصول a n · b n نیز به عنوان حاصلضرب اعداد مثبت a n و b n مثبت است. سپس کسر حاصل به عنوان ضریب اعداد مثبت b n - a n و a n · b n مثبت است. از این رو ، a - n\u003e b - n ، در صورت لزوم. آخرین ویژگی درجه با نماهای صحیح به همان روشی که ویژگی مشابه درجه با نمایشگرهای طبیعی ثابت می شود. خصوصیات درجات با نماهای منطقیما یک درجه را با یک نمای کسری با گسترش خواص یک درجه با یک کل مشخص کردیم. به عبارت دیگر ، نماهای کسری دارای خصوصیات یکسانی با نمایشگرهای عدد صحیح هستند. برای مثال:  اثبات خصوصیات درجات با نماهای کسری بر اساس تعریف یک درجه با کسر بر ، و بر روی خصوصیات یک درجه با یک صحیح صحیح است. در اینجا اثبات است. با تعریف یک درجه با بیان کسری و سپس ویژگی دوم درجه ها با نماهای کسری دقیقاً به همین ترتیب ثابت می شود: برابری های باقی مانده با اصول مشابه اثبات می شود: ما به اثبات ویژگی زیر می رسیم. بگذارید ثابت کنیم که برای هر a و b مثبت ، a ب ص عدد منطقی p را به صورت m / n می نویسیم ، جایی که m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است. شرایط ص<0 и p>0 در این مورد ، شرایط متر است<0 и m>0 به ترتیب برای m\u003e 0 و a به همین ترتیب ، برای م<0 имеем a m >b m ، از آنجا ، یعنی ، و یک p\u003e b p. برای اثبات آخرین ویژگی ذکر شده باقی مانده است. بگذارید ثابت کنیم که برای اعداد منطقی p و q ، p\u003e q برای 0 است خصوصیات درجه با نماهای غیر منطقیاز نحوه تعریف درجه با نمایشگر غیر منطقی ، می توان نتیجه گرفت که دارای کلیه خصوصیات یک درجه با نمایشگر منطقی است. بنابراین برای هر a\u003e 0 ، b\u003e 0 و اعداد غیر منطقی p و q ، موارد زیر را ذکر کنید خصوصیات درجه با نمایشگرهای غیر منطقی:
از این رو ، می توان نتیجه گرفت که درجات با هر نمایشگر واقعی p و q برای a\u003e 0 دارای خصوصیات یکسانی هستند. فهرست مراجع.
قسمت دوم. فصل 6 مفهوم درجه با بیان غیر منطقیبگذارید یک عدد مثبت باشد و یک غیر منطقی باشد. 384 مفهوم درجه با یک شاخص غیر منطقی . . اکنون معلوم می شود که اختلاف توالی ها (4) و (3) همگرا می شوند در چارچوب این ماده ، ما تحلیل خواهیم کرد که درجه یک عدد چیست. علاوه بر تعاریف اساسی ، ما درجه هایی را با نمایشگرهای طبیعی ، کامل ، منطقی و غیر منطقی بیان خواهیم کرد. مثل همیشه ، تمام مفاهیم با نمونه هایی از وظایف نشان داده می شوند. Yandex.RTB R-A-339285-1 در ابتدا ، ما تعریف اولیه ای از درجه با بیان طبیعی را تدوین می کنیم. برای این کار باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. بگذارید پیشاپیش روشن کنیم که در حال حاضر یک عدد واقعی را به عنوان پایه در نظر می گیریم (آن را با حرف a نشان می دهیم) و به عنوان شاخص - یک عدد طبیعی است (آن را با حرف n نشان می دهیم). تعریف 1 توان عدد a با نمایشگر طبیعی n حاصل ضرب n -th تعداد عوامل است که هر یک برابر با عدد a است. مدرک تحصیلی به این صورت نوشته شده است: a n، و به صورت فرمول ، ترکیب آن را می توان به شرح زیر نشان داد: به عنوان مثال ، اگر نماد 1 باشد و پایه یک باشد ، پس اولین قدرت a به صورت نوشته می شود a 1... با توجه به اینکه a مقدار ضرب و 1 تعداد عوامل است ، می توان نتیجه گرفت a 1 \u003d a. به طور کلی ، می توان گفت که درجه یک فرم مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل برابر است. بنابراین ، ورودی فرم 8 8 8 8 را می توان به 8 4 ... تقریباً به همین ترتیب ، این محصول به ما کمک می کند تا از نوشتن تعداد زیادی اصطلاحات جلوگیری کنیم (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 · 4). ما قبلاً این را در مقاله اختصاص داده شده به ضرب اعداد طبیعی بررسی کرده ایم. چگونه می توان رکورد درجه را به درستی خواند؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a to the power of n" است. یا می توانید بگویید "n -th درجه یک" یا "a n -th درجه". اگر مثلاً مثال شامل مدخل است 8 12 ، می توانیم "8 تا درجه 12" ، "8 به قدرت 12" یا "درجه 12 تا 8" را بخوانیم. قدرت های دوم و سوم این عدد دارای نام های کاملاً ثابت خود هستند: مربع و مکعب. اگر درجه دوم ، مثلاً عدد 7 (7 2) را ببینیم ، می توانیم بگوییم "7 مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب ، درجه سوم اینگونه خوانده می شود: 5 3 آیا "مکعب شماره 5" یا "5 در مکعب" است. با این حال ، استفاده از فرمول استاندارد "در درجه دوم / سوم" نیز امکان پذیر است ، این اشتباه نخواهد بود. مثال 1 بیایید به یک نمونه از درجه با یک نشانگر طبیعی نگاه کنیم: برای 5 7 پنج پایه و هفت شاخص خواهد بود. پایه لازم نیست که یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 پایه کسر 4 ، 32 و بیانگر نه است. به پرانتز توجه کنید: چنین ورودی برای همه درجات ساخته می شود ، پایه های آن با اعداد طبیعی متفاوت است. به عنوان مثال: 1 2 3 ، (- 3) 12 ، - 2 3 5 2 ، 2 ، 4 35 5 ، 7 3. پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از خطاهای محاسبه کمک می کنند. بیایید بگوییم که ما دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 ... اولین آنها به معنای عدد منفی منهای دو است ، که به قدرتی با نمایشگر طبیعی سه رسیده است. دوم عددی است که با مقدار قدرت مخالف مطابقت دارد 2 3 . بعضی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از درجه تعداد را پیدا کنید - a ^ n (که در آن a پایه است و n به عنوان نماینده است). یعنی 4 ^ 9 همان است 4 9 ... اگر n یک عدد چند رقمی باشد ، داخل پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال ، 15 ^ (21) ، (- 3 ، 1) ^ (156). اما ما از علامت گذاری استفاده خواهیم کرد a nبه عنوان رایج تر. حدس زدن چگونگی محاسبه مقدار درجه با یک نمایشگر طبیعی از تعریف آن آسان است: شما فقط باید تعداد n -th را چندین برابر کنید. ما در مقاله دیگری در این باره بیشتر نوشتیم. مفهوم درجه در مقابل مفهوم ریاضی دیگری است - ریشه یک عدد. اگر مقدار درجه و توان را بدانیم ، می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. این مدرک دارای برخی خصوصیات خاص است که برای حل مشکلاتی مفید است که ما در یک مقاله جداگانه بحث کردیم. در نمایشگرها ، نه تنها اعداد طبیعی می توانند بایستند ، بلکه به طور کلی هر مقدار صحیح ، از جمله منفی و صفر ، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند. تعریف 2 قدرت یک عدد با یک عدد صحیح مثبت را می توان به عنوان یک فرمول نمایش داد: علاوه بر این ، n هر عدد صحیح مثبتی است. بیایید با مفهوم درجه صفر بپردازیم. برای انجام این کار ، از روشی استفاده می کنیم که خاصیت بهره را برای درجات با مبنای برابر در نظر می گیرد. به صورت زیر فرموله شده است: تعریف 3 برابری a m: a n \u003d a m - n در شرایط درست خواهد بود: m و n اعداد طبیعی هستند ، m< n , a ≠ 0 . آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند ، نتیجه زیر بدست می آید: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0 اما در همان زمان a n: a n \u003d 1 ضریب اعداد مساوی است a n و یک به نظر می رسد درجه صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است. با این حال ، چنین اثباتی در مورد صفر تا درجه صفر اعمال نمی شود. برای این منظور به ویژگی دیگری از درجه - ویژگی محصولات درجه با پایه های برابر نیاز داریم. به نظر می رسد به این شکل است: a m a n \u003d a m + n . اگر n برابر با 0 داشته باشیم ، پس a m a 0 \u003d a m (این برابری همچنین به ما ثابت می کند که a 0 \u003d 1) اما اگر a نیز صفر باشد ، برابری ما شکل می گیرد 0 متر 0 0 \u003d 0 متر، این برای هر مقدار طبیعی n صادق خواهد بود ، و مهم نیست که دقیقاً چه درجه ای دارد 0 0 ، یعنی می تواند با هر عددی برابر باشد و این بر وفاداری برابری تاثیری نخواهد داشت. بنابراین ، یک علامت گذاری از فرم 0 0 معنای خاصی ندارد و ما آن را به او نسبت نمی دهیم. در صورت تمایل ، بررسی آن آسان است a 0 \u003d 1 با خاصیت درجه همگرا می شود (a m) n \u003d a m n به شرطی که پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین ، درجه هر عدد غیر صفر با نمایشگر صفر برابر با یک است. مثال 2 بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین ، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 ، - 4 5 9 0 \u003d 1 ، و مقدار 0 0 تعریف نشده بعد از درجه صفر برای ما باقی می ماند که بفهمیم درجه منفی چیست. برای این کار ، ما به همان خاصیت حاصلضرب درجه با پایه های برابر نیاز داریم که قبلاً در بالا از آن استفاده کردیم: a m · a n \u003d a m + n. بیایید شرط را معرفی کنیم: m \u003d - n ، پس a نباید برابر با صفر باشد. نتیجه می شود که a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... به نظر می رسد که a n و a - n ما اعداد متقابلاً معکوس داریم. در نتیجه ، a به یک کل قدرت منفی چیزی جز کسر 1 در n نیست. این فرمول تأیید می کند که برای یک درجه با نماد منفی صحیح ، تمام خصوصیات یکسان با درجه با یک نمایشگر طبیعی معتبر هستند (به شرطی که پایه صفر نباشد). مثال 3 توان a با عدد صحیح منفی n را می توان به صورت کسر 1 a n نشان داد. بنابراین ، a - n \u003d 1 a n تحت شرایط 0 پوند و n هر عدد طبیعی است. بیایید اندیشه خود را با مثالهای مشخص نشان دهیم: مثال 4 3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1 در قسمت آخر پاراگراف ، سعی خواهیم کرد همه آنچه را که به وضوح گفته شده در یک فرمول به تصویر بکشیم: تعریف 4 قدرت عدد a با نمایشگر z طبیعی: az \u003d az ، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1 ، z \u003d 0 و a ≠ 0 ، (برای و z \u003d 0 و a \u003d 0 ، 0 0 بدست می آوریم ، مقادیر عبارت 0 0 تعاریف نیستند) 1 az ، اگر و z یک عدد صحیح و یک ≠ 0 است (اگر z یک عدد صحیح است و a \u003d 0 0 z را به دست می آورد ، ego z در n در n و n d e d e n t) درجه های گویا عقلی چیستمواردی را که نمایانگر یک عدد صحیح است بررسی کرده ایم. با این حال ، حتی اگر عدد کسری در بیانگر آن وجود داشته باشد ، می توانید یک عدد را به یک قدرت برسانید. به این درجه نماد عقلانی می گویند. در این زیر بخش ثابت خواهیم کرد که دارای خصوصیات مشابه سایر درجات است. اعداد گویا چیست؟ مجموعه آنها شامل اعداد صحیح و کسری است ، در حالی که اعداد کسری را می توان به صورت کسرهای معمولی (مثبت و منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف درجه یک عدد a با نماد کسری m / n را صورت ببخشیم ، جایی که n یک عدد طبیعی است و m یک عدد صحیح است. ما مقداری درجه با نمای کسری a m n داریم. برای اینکه ویژگی درجه به درجه برآورده شود ، برابری a m n n \u003d a m n n \u003d a m باید درست باشد. با توجه به تعریف ریشه n و اینکه a m n n \u003d a m ، اگر m m برای مقادیر داده شده m ، n و a منطقی باشد ، می توانیم شرط a m n \u003d a m n را بپذیریم. خصوصیات فوق یک درجه با نمایشگر صحیح صحیح خواهد بود به شرط اینکه m n \u003d a m n باشد. نتیجه گیری اصلی از استدلال ما به شرح زیر است: قدرت برخی از شماره های a با بیان کسری m / n ، نهمین ریشه عدد a به قدرت m است. این درست است اگر برای مقادیر داده شده m ، n و a ، عبارت a m n معنی دار باقی بماند. 1. ما می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: a را بگیرید ، که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود ، و برای مقادیر منفی کاملاً کمتر (از آنجا که برای m ≤ 0 بدست می آوریم 0 متر، اما این درجه تعریف نشده است). در این حالت ، تعریف درجه با نمای کسری به این صورت خواهد بود: توان با نماد کسری m / n برای برخی از اعداد مثبت a ، نهمین ریشه افزایش یافته به توان m است. در قالب فرمول ، این را می توان به صورت زیر نشان داد: برای یک درجه با پایه صفر ، این موقعیت نیز مناسب است ، اما فقط در صورتی که نماینده آن یک عدد مثبت باشد. یک درجه با پایه صفر و یک نمای مثبت کسری m / n را می توان به صورت بیان کرد 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 به شرط عدد صحیح مثبت m و n طبیعی. با نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет. بیایید یک نکته را یادداشت کنیم. از آنجا که شرط بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم ، برخی موارد را رها کردیم. عبارت a m n گاهی اوقات برای برخی از مقادیر منفی a و بعضی از m معنی دارد. بنابراین ، ورودی ها (- 5) 2 3 ، (- 1 ، 2) 5 7 ، - 1 2 - 8 4 صحیح هستند ، که در آنها پایه منفی است. 2. روش دوم در نظر گرفتن جداگانه ریشه a m n با نمایشگرهای زوج و فرد است. سپس باید یک شرط دیگر نیز معرفی کنیم: نمایانگر a ، که در نمایی از آن کسر معمولی قابل لغو وجود دارد ، به عنوان یک قدرت در نظر گرفته می شود که در بازده آن کسر غیرقابل کاهش مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا به این شرایط احتیاج داریم و چرا اهمیت آن بسیار زیاد است. بنابراین ، اگر یک رکورد m k n k داشته باشیم ، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم. اگر n فرد باشد و m مثبت باشد ، a هر عدد غیر منفی است ، سپس m n منطقی است. شرط یک غیر منفی ضروری است ، زیرا ریشه زوج عدد منفی استخراج نمی شود. اگر مقدار m مثبت باشد ، از این رو a می تواند منفی یا صفر باشد یک ریشه عجیب و غریب را می توان از هر شماره واقعی استخراج کرد. بیایید تمام داده های تعریف بالا را در یک رکورد ترکیب کنیم: در اینجا m / n مخفف کسری غیرقابل کاهش است ، m هر عدد صحیحی است و n هر عدد طبیعی است. تعریف 5 برای هر کسر قابل کنسل شدن معمولی m · k n · k ، درجه را می توان با m n جایگزین کرد. توان عدد a با توان کسری m / n غیرقابل کاهش - را می توان به صورت m n در موارد زیر بیان کرد: - برای هر a واقعی ، مقادیر صحیح مثبت m و مقادیر طبیعی عجیب n. مثال: 2 5 3 \u003d 2 5 3 ، (- 5 ، 1) 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7 ، 0 5 19 \u003d 0 5 19. برای هر a غیر صفر واقعی ، عدد صحیح منفی m و n فرد ، به عنوان مثال ، 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3 ، (- 5 ، 1) - 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7 برای هر عدد غیر منفی a ، عدد صحیح مثبت m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 1 4 \u003d 2 1 4 ، (5 ، 1) 3 2 \u003d (5 ، 1) 3 ، 0 7 18 \u003d 0 7 18. برای هر مثبت a ، عدد صحیح منفی m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 ، (5 ، 1) - 3 2 \u003d (5 ، 1) - 3 ،. برای سایر مقادیر ، نمای کسری تعریف نشده است. نمونه هایی از این درجه: - 2 11 6 ، - 2 1 2 3 2 ، 0 - 2 5. حال بیایید اهمیت شرط ذکر شده در بالا را توضیح دهیم: چرا کسر را با یک نمایشگر قابل لغو با کسری با کسری غیرقابل کاهش جایگزین کنیم. اگر این کار را انجام نمی دادیم ، چنین شرایطی پیش می آید ، مثلاً 6/10 \u003d 3/5. پس باید درست باشد (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5 اما - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 و (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1. تعریف مدرک با نمایی کسری ، که ما اولین آن را ارائه دادیم ، استفاده در عمل راحت تر از دوم است ، بنابراین ما به استفاده از آن ادامه خواهیم داد. تعریف 6 بنابراین ، درجه یک عدد مثبت a با یک نمایشگر کسری m / n به عنوان 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود. در صورت منفی آ نماد a m n معنی ندارد. توان صفر برای نماهای کسری مثبت m / n 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود ، برای نماهای کسری منفی درجه صفر را تعیین نمی کنیم. در نتیجه گیری ، یادداشت می کنیم که می توانید هر شاخص کسری را هم به صورت عدد مخلوط و هم به صورت کسر اعشاری بنویسید: 5 1، 7، 3 2 5 - 2 3 7. در هنگام محاسبه بهتر است که کسر را با کسر معمولی جایگزین کنید و سپس از تعریف یک بار با کسر استفاده کنید. برای مثال های بالا ، به دست می آوریم: 5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7 درجه هایی با بیان غیر منطقی و معتبر چیستاعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل هر دو عدد منطقی و غیر منطقی است. بنابراین ، برای اینکه بفهمیم درجه با شاخص واقعی چیست ، باید درجه هایی را با شاخص های منطقی و غیر منطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید گام به گام با شاخص های غیر منطقی کنار بیاییم. مثال 5 فرض کنید ما یک عدد غیر منطقی a و یک توالی از تقریب های اعشاری آن a 0 ، a 1 ، a 2 ، داریم. ... ... ... برای مثال ، مقدار a \u003d 1.67175331 را در نظر بگیریم. ... ... سپس a 0 \u003d 1.6 ، a 1 \u003d 1.67 ، a 2 \u003d 1.671 ،. ... ... ، 0 \u003d 1.67 ، 1 \u003d 1.6717 ، 2 \u003d 1.671753 ، ... ... می توان یک دنباله از تقریب ها را با یک دنباله درجه a a 0 ، a a 1 ، a a 2 ، مرتبط کرد. ... ... ... اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به یک قدرت عقلانی گفته بودیم به خاطر بسپارید ، پس خود ما می توانیم مقادیر این نیروها را محاسبه کنیم. به عنوان مثال a \u003d 3، سپس a 0 \u003d 31.67 ، a 1 \u003d 31.6717 ، a 2 \u003d 31.671753 ،. ... ... و غیره. توالی درجه را می توان به یک عدد تقلیل داد ، که این مقدار درجه با پایه a و یک نمایشگر غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: مدرکی با بیان غیر منطقی مانند 3 1 ، 67175331. ... می تواند به تعداد 6 ، 27 تقلیل یابد. تعریف 7 درجه عدد مثبت a با نمایشگر غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0 ، a a 1 ، a a 2 ، است. ... ... ، جایی که 0 ، 1 ، 2 ، ... ... تقریبهای اعشاری پی در پی از عدد غیر منطقی a هستند. درجه با پایه صفر را می توان برای شاخص های غیر منطقی مثبت نیز تعیین کرد ، در حالی که 0 a \u003d 0 بنابراین ، 0 6 \u003d 0 ، 0 21 3 3 \u003d 0. و برای موارد منفی ، این امکان پذیر نیست ، زیرا ، به عنوان مثال ، مقدار 0 - 5 ، 0 - 2 π تعریف نشده است. به عنوان مثال ، واحدی که به هر توان غیر منطقی رسیده باشد ، یک واحد می ماند و 1 2 ، 1 5 در 2 و 1 - 5 برابر 1 خواهد بود. اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید درجه با یک شاخص منطقی ، خواص آن. بیان a n برای همه a و n تعریف شده است ، به جز مورد a \u003d 0 برای n≤0. اجازه دهید خواص چنین درجاتی را بیاد آوریم. A m * a n \u003d a m + n ؛ a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0) ؛ (a m) n \u003d a mn ؛ (ab) n \u003d a n * b n ؛ (b ≠ 0) ؛ a 1 \u003d a ؛ a 0 \u003d 1 (a ≠ 0). (a p) q \u003d a pq
(1)
مدرکی با نشانگر غیر منطقی. عدد گنگمی تواند به عنوان نمایش داده شودحد دنباله اعداد گویا:
.
بگذار سپس درجه هایی با بیان منطقی وجود دارد. می توان ثابت کرد که توالی این درجات همگراست. حد این توالی نامیده می شود درجه با توجیه و بیان غیر منطقی: . بگذارید یک عدد مثبت a را ثابت کنیم و به هر شماره اختصاص دهیم... بنابراین ، تابع عددی f (x) \u003d a را بدست می آوریم ایکس بر روی مجموعه Q اعداد منطقی و دارای خصوصیات ذکر شده قبلی تعریف شده است. برای a \u003d 1 ، تابع f (x) \u003d a ایکس از 1 ثابت است ایکس \u003d 1 برای هر x منطقی.
;
.
چه زمانی آ > 0, آ = 1 ، عملکرد تعریف شده است y \u003d a ایکس غیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود عملکرد نماییبا بنیادآ.
y\u003d الف
ایکس در آ> 1:
نمودارهای عملکردی نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ \u003e 1 در شکل نشان داده شده است. خصوصیات اساسی تابع نمایی y\u003d الف ایکس در 0< آ < 1:
|
، مبنای آنها اعداد طبیعی نیستند ، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب ، برای وضوح کامل ، در این لحظه ، تفاوت بین ورودی فرم (of2) 3 و −2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (−2) 3 قدرت −2 با بیان طبیعی 3 است و عبارت −2 3 (می توان آنرا نوشت - - (2 3)) با عدد مطابقت دارد ، مقدار توان 2 3 .
... اگر برابری بدست آمده و نحوه تعیین آن را در نظر بگیریم ، منطقی است که بپذیریم ، به شرطی که برای m ، n و a داده شده ، معنی منطقی باشد.
.
یا ، و تعریف فوق ما را مجبور می کند که بگوییم درجه ها با بیان کسری فرم 
منطقی نیست ، زیرا پایه نباید منفی باشد.
ولی 
، و
، و این محصول قدرت عدد a با نمایشگر طبیعی m + n است ، یعنی یک m + n. این اثبات را کامل می کند.
... بر اساس خواص ضرب ، آخرین محصول را می توان به صورت دوباره نوشت 
، که برابر با n · b n است.
.
.
.
... برای وضوح ، مثالی با اعداد خاص در اینجا آورده شده است: 
.
... برای هر یک از محصولات شکل a · a برابر است با حاصلضرب مقادیر مطلق اعداد a و a ، بنابراین ، یک عدد مثبت است. بنابراین ، محصول 
و درجه 2 متر در اینجا چند مثال آورده شده است: (−6) 4\u003e 0 ، (−2،2) 12\u003e 0 و.
... تمام محصولات a · a اعداد مثبت هستند ، حاصلضرب این اعداد مثبت نیز مثبت است و ضرب آن در عدد منفی a باقیمانده منجر به عدد منفی می شود. با توجه به این ویژگی (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
... با ویژگی ضریب در درجه ، ما داریم 
... از آنجا که 1 p \u003d 1 · 1 ·… · 1 \u003d 1 و سپس. آخرین تعریف ، طبق تعریف ، یک قدرت از شکل a - (p q) است ، که به دلیل قوانین ضرب ، می تواند به صورت (−p) q نوشته شود.
.
.
... خصوصیات ریشه حساب به ما اجازه می دهد تا برابرهای زیر را بنویسیم. بعلاوه ، با استفاده از ویژگی درجه با بیان عدد صحیح ، بدین ترتیب با تعریف درجه با نمای کسری بدست می آوریم 
، و نماینده مدرک به دست آمده می تواند به صورت زیر تغییر یابد:. این اثبات را کامل می کند.
و 
... و تعریف درجه با بیان منطقی به شما اجازه می دهد تا به ترتیب به نابرابری ها بروید. از این رو ، ما نتیجه نهایی را می گیریم: برای p\u003e q و 0 
.
و بنابراین
| خواندن: |
|---|
جدید
- نام داریا: اصل و معنی
- تعطیلات ایوان کوپالا: سنت ها ، آداب و رسوم ، مراسم ، توطئه ها ، آیین ها
- مدل موی فال ماه برای ژانویه
- پیوندهای عاشقانه با عکس - قوانین ، روش ها
- لفاظی سیاه چیست؟
- فال عاشقانه برای نشانه دلو برای ماه سپتامبر فال دقیق برای سپتامبر سال دلو
- گرفتگی در 11 اوت در چه زمانی است
- تشریفات و تشریفات تعالی صلیب مقدس (27 سپتامبر)
- Robespierre یک درونگرای منطقی-شهودی است (LII)
- دعا برای خوش شانسی در کار و شانس
