سطح اول

درجه و خصوصیات آن. راهنمای جامع (2019)

چرا مدارک لازم است؟ از کجا برای شما مفید خواهند بود؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی ، اینکه آنها برای چه کاری استفاده می شوند ، چگونه از دانش خود استفاده کنید زندگی روزمره این مقاله را بخوانید

و مطمئناً دانش مدرک شما را به یک فرد موفق نزدیک می کند عبور OGE یا آزمون دولتی واحد و برای ورود به دانشگاه رویاهای خود.

بگذارید برویم ... (بیا بریم!)

یادداشت مهم! اگر به جای فرمول ها gibberish می بینید ، حافظه نهان را پاک کنید. برای این کار CTRL + F5 (در ویندوز) یا Cmd + R (در Mac) را فشار دهید.

سطح اول

بیان همان است عملیات ریاضیمانند جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم.

اکنون من همه چیز را به زبان انسان بسیار توضیح خواهم داد مثالهای ساده... توجه کنید مثالها اساسی هستند ، اما موارد مهم را توضیح می دهند.

بیایید با جمع شروع کنیم.

چیزی برای توضیح وجود ندارد. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کدام دو بطری کولا دارند. چه مقدار کولا وجود دارد؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

همان مثال کولا را می توان متفاوت نوشت:. ریاضی دانان افراد حیله گر و تنبلی هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند ، و سپس راهی برای "سریع" شمردن آنها ارائه می دهند. در مورد ما ، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و روشی به نام ضرب را به دست آوردند. موافقم ، آسان تر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین ، برای شمارش سریع تر ، آسان تر و بدون خطا ، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب... البته می توانید همه کارها را کندتر ، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری ، زیبا تر:

چه چیز دیگری ترفندهای روی حیله و تزویر ریاضیدانان تنبل حساب ها را اختراع کردند؟ به درستی - افزایش یک عدد به یک قدرت.

بالا بردن یک عدد به یک قدرت

اگر شما باید یک عدد را در خود پنج برابر ضرب کنید ، پس ریاضیدانان می گویند شما باید این عدد را به قدرت پنجم برسانید. برای مثال، . ریاضیدانان به یاد دارند که درجه دو تا پنجم است. و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریعتر ، آسان تر و بدون اشتباه.

تمام آنچه شما باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد برجسته شده است به خاطر بسپارید... باور کنید این کار زندگی شما را بسیار راحت تر می کند.

ضمناً چرا درجه دو نامیده می شود مربع اعداد ، و سوم - مکعب؟ چه مفهومی داره؟ بسیار زیاد سؤال خوبی بود... حالا شما هر دو مربع و مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی شماره 1

بیایید با یک مربع یا قدرت دوم یک عدد شروع کنیم.

استخر یک متر مربع را تصور کنید. استخر در خانه روستایی شماست. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما ... استخری بدون ته! شما باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. به چند کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع ، باید سطح کف استخر را بشناسید.

با زدن انگشت می توانید به راحتی حساب کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر یک متر به متر کاشی دارید ، به قطعات احتیاج دارید. آسان است ... اما کجا چنین کاشی هایی را دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر است و سپس توسط "تعداد انگشتان" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین ، در یک طرف پایین استخر ، کاشی (قطعات) و در طرف دیگر نیز کاشی قرار خواهیم داد. با ضرب ، کاشی می گیرید ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین سطح کف استخر ، همین تعداد را در خود ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ هنگامی که همان تعداد ضرب شد ، می توانیم از تکنیک "نمایی" استفاده کنیم. (البته ، هنگامی که فقط دو عدد دارید ، هنوز می توانید آنها را ضرب کنید یا آنها را به قدرتی برسانید. اما اگر تعداد زیادی داشته باشید ، افزایش قدرت بسیار آسان تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای امتحان ، این بسیار مهم است).
بنابراین سی در درجه دوم () خواهد بود. یا می توانید بگویید سی مربع می شود. به عبارت دیگر ، قدرت دوم یک عدد همیشه می تواند به عنوان یک مربع نشان داده شود. برعکس ، اگر یک مربع می بینید ، همیشه قدرت دوم یک عدد است. مربع تصویری از قدرت دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شما قرار داده شده است ، تعداد مربع های صفحه شطرنج را با استفاده از مربع عدد بشمارید ... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای شمارش تعداد آنها ، باید هشت را در هشت ضرب کنید ، یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج یک مربع دارای یک ضلع است ، می توانید هشت را مربع کنید. سلول می گیرید () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا قدرت سوم عدد. همان استخر. اما اکنون شما باید دریابید که چه مقدار آب باید در این استخر بریزید. شما باید حجم را محاسبه کنید. (به هر حال ، حجم و مایعات در آنها اندازه گیری می شود متر مکعب... غیر منتظره ، درست است؟) حوضچه ای بکشید: قسمت پایین آن یک متر و یک متر عمق دارد و سعی کنید محاسبه کنید که چند متر مکعب مکعب به استخر شما می رود.

انگشت خود را نشان دهید و حساب کنید! یک ، دو ، سه ، چهار ... بیست و دو ، بیست و سه ... چقدر شد؟ گم نشده؟ آیا شمارش با انگشت دشوار است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند ، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر ، شما باید طول ، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما ، حجم استخر برابر مکعب خواهد بود ... راحت تر ، درست است؟

حال تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را نیز ساده کنند. آنها همه چیز را به یک عمل کاهش دادند. آنها متوجه شدند که طول ، عرض و ارتفاع برابر است و همان تعداد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از درجه استفاده کنید. بنابراین ، آنچه شما یک بار با انگشت خود شمردید ، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه در یک مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است:.

فقط می ماند جدول درجه ها را بخاطر بسپارید... البته مگر اینکه به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید ، می توانید با انگشت خود به شمارش ادامه دهید.

خوب ، برای اینکه شما را سرانجام متقاعد کند که مدارک تحصیلی را افراد بیکار و حیله گری اختراع کرده اند تا مشکلات زندگی خود را حل کنند ، نه اینکه برای شما مشکلی ایجاد کنند ، در اینجا چند مثال دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید در ابتدای هر سال از هر میلیون میلیون دیگر درآمد کسب می کنید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. در طی سالها چقدر پول خواهید داشت؟ اگر اکنون نشسته اید و "با انگشت خود می شمارید" ، پس شما فردی بسیار سخت کوش و احمق هستید. اما به احتمال زیاد ظرف چند ثانیه پاسخ خواهید داد ، زیرا باهوش هستید! بنابراین ، در سال اول - دو بار دو ... در سال دوم - آنچه اتفاق افتاد ، دو مورد دیگر بود ، در سال سوم ... توقف! متوجه شدید که عدد یک بار در خودش ضرب می شود. بنابراین دو تا قدرت پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که شما یک مسابقه دارید و این میلیون ها توسط کسی که سریعتر محاسبه می کند دریافت می شود ... آیا ارزش یادآوری درجات اعداد است ، نظر شما چیست؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید در ابتدای هر سال ، از هر میلیون دو درآمد دیگر کسب می کنید. عالی است ، نه؟ هر میلیون سه برابر می شود. در طی سالها چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در و سپس نتیجه در دیگری ... این در حال حاضر کسل کننده است ، زیرا شما قبلاً همه چیز را درک کرده اید: سه برابر به خودی خود ضرب می شود. بنابراین قدرت چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که قدرت سه تا چهارم یا.

اکنون می دانید که با بالا بردن یک عدد به یک قدرت ، زندگی خود را تا حد زیادی تسهیل می کنید. بیایید نگاهی به آنچه می توانید با مدارک انجام دهید و آنچه باید درباره آنها بدانید ، بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم ... تا گیج نشوید

بنابراین ، ابتدا بیایید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، چه چیزی است؟ این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست ، اما قابل فهم است و به راحتی به خاطر سپرده می شود ...

خوب ، در همان زمان که چنین پایه مدرکی؟ حتی ساده تر ، عددی است که در پایین ، در پایه قرار دارد.

این یک نقاشی برای اطمینان است.

خوب ، در نمای کلی، برای جمع بندی و بهتر به خاطر سپردن ... یک درجه با پایه "" و یک نماینده "" به عنوان "درجه" خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

قدرت عدد با نمایشگر طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا بیانگر چنین است عدد طبیعی... بله ، اما چیست عدد طبیعی؟ ابتدایی! اعداد طبیعی همان مواردی هستند که هنگام شمارش اشیا in در شمارش به کار می روند: یک ، دو ، سه ... وقتی اشیا را می شماریم ، نمی گوییم: "منهای پنج" ، "منهای شش" ، "منهای هفت". ما همچنین نمی گوییم "یک سوم" یا "نقطه صفر پنج دهم". اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما چه اعدادی وجود دارد؟

اعدادی مانند "منهای پنج" ، "منهای شش" ، "منهای هفت" اشاره دارند تمام اعداد. به طور کلی ، اعداد کامل شامل تمام اعداد طبیعی ، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منهای گرفته شده) و یک عدد می شوند. فهم صفر آسان است - این زمانی است که چیزی وجود ندارد. و اعداد منفی ("منهای") به چه معنا هستند؟ اما آنها اساساً برای نشان دادن بدهی اختراع شده اند: اگر روبل گوشی خود دارید ، به این معنی است که به اپراتور روبل بدهکارید.

هر کسری اعداد گویا است. فکر می کنید چطور به وجود آمده اند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش ، نیاکان ما کشف کردند که برای اندازه گیری طول ، وزن ، مساحت و غیره تعداد طبیعی ندارند. و آنها آمدند اعداد گویا... جالب است ، درسته؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ خلاصه ، بی پایان اعشاری... به عنوان مثال ، اگر محیط دایره را بر قطر آن تقسیم کنید ، یک عدد غیر منطقی بدست می آورید.

خلاصه:

بیایید مفهوم یک درجه را تعریف کنیم ، نماد آن یک عدد طبیعی است (یعنی یک عدد صحیح و مثبت است).

1. هر عدد در قدرت اول برابر با خودش است:
2. مربع کردن یک عدد به معنای ضرب آن در خودش است:
3. مکعب کردن یک عدد به معنای ضرب آن در سه برابر است:

تعریف. افزایش یک عدد به یک قدرت طبیعی به معنای ضرب عدد در خود بار است:
.

خواص قدرت

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست و ?

با تعریف:

در کل چند عامل وجود دارد؟

بسیار ساده است: ضربها را به ضربها اضافه کردیم و کل ضربها است.

اما ، طبق تعریف ، درجه یک عدد با یک بیان است ، یعنی همانطور که لازم است.

مثال: عبارت را ساده کنید.

تصمیم:

مثال: بیان را ساده کنید.

تصمیم: توجه به این نکته مهم است که در قانون ما لزوما باید همان پایگاه ها را داشته باشد!
بنابراین ، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم ، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول درجه!

در هیچ موردی نمی توانید آن را بنویسید.

2. یعنی قدرت دوم یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی ، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

به نظر می رسد که این عبارت یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی طبق تعریف ، این قدرت هفتم عدد است:

در اصل ، این را می توان "براکت کردن نشانگر" نامید. اما در کل هرگز نباید این کار را انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب مختصر را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

درجه با پایه منفی

تا این مرحله ، ما فقط بحث کردیم که نماینده باید باشد.

اما چه بنیادی باید باشد؟

در درجه با شاخص طبیعی اساس می تواند باشد هر عددی... در واقع ، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم ، اعم از مثبت ، منفی یا حتی یکسان باشند.

بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای اعداد مثبت و منفی هستند؟

مثلاً عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ و؟ ؟ با اول ، همه چیز روشن است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم ، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما نکته منفی کمی جالب تر است. پس از همه ، ما یک قانون ساده را از کلاس 6 به یاد می آوریم: "منهای منهای یک امتیاز می دهد." یعنی ، یا. اما اگر در ضرب کنیم ، نتیجه می دهد.

خودتان تصمیم بگیرید که عبارات زیر کدام علامت را نشان می دهد:

توانستی مدیریت کنی؟

پاسخ ها در اینجا آمده است: امیدوارم در چهار مثال اول همه چیز روشن باشد؟ ما فقط به پایه و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در مثال 5) ، همه چیز آنطور که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب ، به جز وقتی که پایه صفر است. بنیاد برابر نیست ، درسته؟ بدیهی است که نه ، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی آسان نیست!

6 مثال برای آموزش

تجزیه راه حل 6 مثال

غیر از درجه هشت ، اینجا چه می بینیم؟ ما برنامه کلاس 7 را به یاد می آوریم. خوب ، یادته؟ این فرمول ضرب مختصر است ، یعنی تفاوت مربع ها! ما گرفتیم:

ما با دقت به مخرج نگاه می کنیم. به نظر می رسد بسیار شبیه به یکی از ضرایب در شمارنده باشد ، اما چه مشکلی وجود دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر قرار بود برعکس شوند ، می توان قانون را اعمال کرد.

اما چگونه می توان این کار را انجام داد؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: یک درجه از مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اصطلاحات به طور جادویی معکوس می شوند. این "پدیده" برای هر عبارت تا حدی قابل استفاده است: ما می توانیم علائم را در براکت ها آزادانه تغییر دهیم.

اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم همزمان تغییر می کنند!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

کل ما اعداد طبیعی را در مقابل آنها (یعنی با علامت "" گرفته شده) و شماره می نامیم.

عدد صحیح مثبت، اما هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد ، پس همه چیز دقیقاً مانند قسمت قبلی به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک شاخص برابر شروع کنیم.

هر عدد در درجه صفر برابر با یک است:

مثل همیشه ، بیایید این سوال را از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

مدرک پایه را در نظر بگیرید. به عنوان مثال ، در نظر بگیرید و ضرب در:

بنابراین ، ما عدد را در ضرب کردیم ، و همان چیزی را که بود گرفتیم -. و چه عددی را باید ضرب کنید تا چیزی تغییر نکند؟ درست است ، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با تعداد دلخواه انجام دهیم:

بیایید قانون را تکرار کنیم:

هر عدد در درجه صفر برابر با یک است.

اما در بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز وجود دارد - این یک عدد است (به عنوان پایه).

از یک طرف ، باید با هر درجه برابر باشد - مهم نیست که هر مقدار را در خود ضرب کنید ، باز هم صفر می گیرید ، این واضح است. اما از طرف دیگر ، مانند هر عدد در درجه صفر ، باید برابر باشد. بنابراین کدام یک از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که در این ماجرا دخیل نشوند و از صفر به صفر رسیدن خودداری کردند. یعنی اکنون ما نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم ، بلکه آن را به توان صفر نیز می رسانیم.

بیشتر برویم علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی ، اعداد منفی نیز به اعداد صحیح تعلق دارند. برای درک اینکه درجه منفی چیست ، بیایید همان دفعه قبل را انجام دهیم: تعدادی عدد طبیعی را در همان ضرب کنیم درجه منفی:

از اینجا به راحتی بیان می کنید که به دنبال چه چیزی هستید:

اکنون قانون بدست آمده را به میزان دلخواه گسترش می دهیم:

بنابراین ، بیایید یک قانون را تنظیم کنیم:

یک عدد در توان منفی با همان عدد در توان مثبت معکوس است. اما در همان زمان پایه نمی تواند تهی باشد: (زیرا نمی توانید تقسیم کنید).

بیایید خلاصه کنیم:

I. بیان در مورد مشخص نشده است. اگر پس از آن.

دوم هر عدد تا درجه صفر برابر است با یک:.

III عددی که برابر با صفر نیست در قدرت منفی معکوس با همان عدد در یک قدرت مثبت است:.

وظایف برای یک راه حل مستقل:

خوب ، به طور معمول ، نمونه هایی برای یک راه حل مستقل:

تجزیه و تحلیل وظایف برای راه حل مستقل:

می دانم ، می دانم ، اعداد وحشتناک هستند ، اما در امتحان باید برای همه چیز آماده باشی! اگر نتوانستید آنها را حل کنید این مثالها را حل کنید یا راه حل آنها را تجزیه و تحلیل کنید و خواهید آموخت که چگونه در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

بیایید دایره اعداد "مناسب" را به عنوان یک نماینده گسترش دهیم.

اکنون در نظر بگیرید اعداد گویا. به چه اعدادی منطقی گفته می شود؟

پاسخ: علاوه بر این ، تمام آنچه که می تواند به عنوان کسر نشان داده شود ، در کجا و عدد صحیح است.

برای درک اینکه چیست درجه کسری، کسر را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به قدرت برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان رسید؟

این فرمول تعریف ریشه th است.

بگذارید یادآوری کنم: ریشه قدرت هفتم یک عدد () عددی است که وقتی به یک قدرت برسد ، برابر است.

یعنی ریشه قدرت th معکوس عملیات نمایش است:.

معلوم شد که واضح است که این مورد خاص قابل گسترش است:.

اکنون عدد را اضافه می کنیم: این چیست؟ با استفاده از قانون درجه به درجه پاسخ به راحتی بدست می آید:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ پس از همه ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

این قانون را به خاطر بسپارید: هر عددی که به یک زوج برسد یک عدد مثبت است. یعنی شما نمی توانید ریشه های یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کنید!

این بدان معناست که چنین اعدادی را نمی توان با مخرج یکنواخت به یک قدرت کسری رساند ، یعنی عبارت معنی ندارد.

بیان چیست؟

اما مشکل اینجاست.

این عدد را می توان به عنوان کسرهای دیگر ، قابل لغو ، به عنوان مثال ، یا نمایش داد.

و معلوم می شود که وجود دارد ، اما وجود ندارد ، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از همان تعداد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار ، سپس می توانید بنویسید. اما اگر نشانگر را به روش دیگری یادداشت کنیم ، و دوباره دردسر ایجاد کنیم: (یعنی نتیجه کاملا متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین تناقضاتی ، در نظر بگیرید فقط رادیکس مثبت با نمایی کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - یک عدد صحیح ؛

مثال ها:

نمایان های منطقی برای تبدیل عبارات ریشه دار بسیار مفید هستند ، به عنوان مثال:

5 مثال برای آموزش

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

و اکنون سخت ترین قسمت. اکنون ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد درجه با یک شاخص غیر منطقی .

تمام قوانین و خصوصیات درجه در اینجا دقیقاً مانند یک درجه با بیان منطقی است ، به استثنای

در واقع ، طبق تعریف ، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسر نمایش داده شوند ، و در آن اعداد کامل هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد واقعی هستند به جز اعداد منطقی).

هنگام تحصیل درجات با یک شاخص طبیعی ، کامل و منطقی ، هر بار نوعی "تصویر" ، "قیاس" یا توصیف را با اصطلاحات آشنا تر می سازیم.

به عنوان مثال ، یک نمایشگر طبیعی عددی است که چندین برابر در خودش ضرب می شود.

...عدد صفر - این است ، همانطور که بود ، یک عدد یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است ، این بدان معناست که خود عدد حتی ظاهر نشده است - بنابراین ، نتیجه فقط نوعی "عدد خالی" است "، یعنی تعداد ؛

...درجه صحیح منفی - مثل این است که یک خاص " روند معکوس"، یعنی تعداد به خودی خود ضرب نشده ، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال ، در علم ، درجه ای با نشانگر پیچیده اغلب استفاده می شود ، یعنی شاخص حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه ما به چنین دشواری هایی فکر نمی کنیم ؛ شما فرصتی برای درک این مفاهیم جدید در موسسه خواهید داشت.

به کجا اطمینان داریم که خواهید رفت! (اگر یاد گرفتید چگونه چنین مثالهایی را حل کنید :))

برای مثال:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قانون معمول قبلاً برای افزایش نیرو به یک قدرت شروع کنیم:

حالا به نشانگر نگاه کنید. آیا او چیزی را به شما یادآوری می کند؟ ما فرمول ضرب را کاهش می دهیم ، تفاوت مربع ها:

در این مورد،

معلوم شد که:

پاسخ: .

2. کسرها را در نمایان به همان شکل می آوریم: یا اعشاری ، یا هر دو عادی. بیایید برای مثال دریافت کنیم:

پاسخ: 16

3. هیچ چیز خاصی وجود ندارد ، ما از ویژگی های معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین درجه

مدرک بیان فرم است: ، جایی که:

• — پایه مدرک
• - نماینده

درجه با نمای طبیعی (n \u003d 1 ، 2 ، 3 ، ...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n به معنای ضرب عدد در خود بار است:

درجه صحیح (0 ، 1 ± ، 2 ± ، ...)

اگر توان است کاملا مثبت عدد:

نعوظ تا درجه صفر:

این عبارت نامشخص است ، زیرا ، از یک طرف ، در هر درجه - این ، و از سوی دیگر - هر تعداد در درجه th - این است.

اگر توان است کاملاً منفی است عدد:

(زیرا نمی توانید تقسیم کنید).

یک بار دیگر در مورد صفر: عبارت در صورت تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

درجه منطقی

• - عدد طبیعی؛
• - یک عدد صحیح ؛

مثال ها:

خواص قدرت

برای سهولت در حل مشکلات ، سعی کنیم بفهمیم: این خصوصیات از کجا آمده است؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

با تعریف:

بنابراین ، در سمت راست این عبارت ، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف ، این قدرت یک عدد با یک بیان است ، یعنی:

Q.E.D.

مثال : عبارت را ساده کنید.

تصمیم گیری : .

مثال : عبارت را ساده کنید.

تصمیم گیری : توجه به این نکته مهم است که در قانون ما لزوماباید پایه های یکسانی داشته باشد. بنابراین ، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم ، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

یک نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول درجه!

به هیچ وجه نباید آن را بنویسم.

درست مانند ویژگی قبلی ، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید این قطعه را اینگونه تنظیم مجدد کنیم:

به نظر می رسد که این عبارت یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی طبق تعریف ، این قدرت هفتم عدد است:

در اصل ، این را می توان "براکت کردن نشانگر" نامید. اما در کل هرگز نباید این کار را انجام دهید :!

بیایید فرمول های ضرب مختصر را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

مدرکی با پایه منفی.

تا این مرحله ، ما فقط در مورد چگونگی آن بحث کرده ایم نشانگر درجه. اما چه بنیادی باید باشد؟ در درجه با طبیعی نشانگر اساس می تواند باشد هر عددی .

در واقع ، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم ، اعم از مثبت ، منفی یا حتی یکسان باشند. بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای اعداد مثبت و منفی هستند؟

مثلاً عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ و؟ ؟

با اول ، همه چیز روشن است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم ، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما نکته منفی کمی جالب تر است. پس از همه ، ما یک قانون ساده را از کلاس 6 به یاد می آوریم: "منهای منهای یک امتیاز می دهد." یعنی ، یا. اما اگر در () ضرب کنیم ، می گیریم -.

و همینطور تا بی نهایت: با هر ضرب بعدی ، علامت تغییر می کند. می توان چنین فرمول بندی کرد قوانین ساده:

1. زوج درجه ، - تعداد مثبت.
2. عدد منفی، ساخته شده در فرد درجه ، - تعداد منفی.
3. عدد مثبت در هر درجه عدد مثبت است.
4. صفر تا هر قدرت صفر است.

خودتان تصمیم بگیرید که عبارات زیر کدام علامت را نشان می دهد:

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول ، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما فقط به پایه و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) ، همه چیز آنطور که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب ، به جز وقتی که پایه صفر است. بنیاد برابر نیست ، درسته؟ بدیهی است که نه ، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی ساده نیست. در اینجا شما باید دریابید که کدام یک کمتر است: یا؟ اگر این را بخاطر بسپارید ، مبنای آن روشن می شود کمتر از صفر... یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز به طور معمول است - ما تعریف درجه ها را یادداشت می کنیم و آنها را به یکدیگر تقسیم می کنیم ، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و می گیریم:

قبل از بررسی آخرین قانون ، بیایید چند مثال را حل کنیم.

مقادیر عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

غیر از درجه هشت ، اینجا چه می بینیم؟ ما برنامه کلاس 7 را به یاد می آوریم. خوب ، یادته؟ این فرمول ضرب مختصر است ، یعنی تفاوت مربع ها!

ما گرفتیم:

ما با دقت به مخرج نگاه می کنیم. به نظر می رسد بسیار شبیه به یکی از ضرایب در شمارنده باشد ، اما چه مشکلی وجود دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها عوض شوند ، می توان از قانون 3 استفاده کرد اما چگونه این کار را انجام دهیم؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: یک درجه از مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اگر آن را در ضرب کنید ، چیزی تغییر نمی کند ، درست است؟ اما اکنون به شرح زیر است:

اصطلاحات به طور جادویی معکوس می شوند. این "پدیده" برای هر عبارت تا حدی قابل استفاده است: ما می توانیم علائم را در براکت ها آزادانه تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم به طور همزمان تغییر می کنند!با تغییر تنها یک نقطه ضعف که ما نمی خواهیم جایگزین آن نمی شود!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

بنابراین اکنون آخرین قانون:

چگونه می خواهیم آن را ثابت کنیم؟ البته ، طبق معمول: بیایید مفهوم درجه را گسترش دهیم و ساده کنیم:

حالا بیایید براکت ها را باز کنیم. چند نامه خواهد بود؟ بار با ضرب - چه شکلی است؟ این چیزی نیست جز تعریف یک عملیات ضرب: فقط ضرب وجود داشت. یعنی ، طبق تعریف ، درجه یک عدد با یک بیان است:

مثال:

درجه غیر منطقی

علاوه بر اطلاعات مربوط به درجه ها برای سطح متوسط \u200b\u200b، در اینجا درجه با بیان غیر منطقی است. همه قوانین و خصوصیات درجه در اینجا دقیقاً همانند یک درجه با بیان منطقی است ، به استثنای - به هر حال ، با توجه به تعریف ، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به عنوان کسر نشان داده شوند ، در کجا و اعداد کامل هستند (که است ، اعداد غیر منطقی همه اعداد واقعی هستند به جز منطقی).

هنگام تحصیل درجات با یک شاخص طبیعی ، کامل و منطقی ، هر بار نوعی "تصویر" ، "قیاس" یا توصیف را با اصطلاحات آشنا تر می سازیم. به عنوان مثال ، یک نمایشگر طبیعی عددی است که چندین برابر در خودش ضرب می شود. یک عدد تا درجه صفر است ، به عنوان مثال ، یک عدد یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است ، به این معنی که عدد خود حتی حتی ظاهر نشده است - بنابراین ، نتیجه فقط یک است نوع "شماره خالی" ، یعنی تعداد ؛ درجه ای با بیان منفی عدد صحیح مانند این است که "روند معکوس" خاصی اتفاق افتاده است ، یعنی تعداد به خودی خود ضرب نمی شود بلکه تقسیم می شود.

تصور درجه با نمای غیر منطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). بلکه این یک موضوع کاملاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کرده اند.

به هر حال ، در علم ، درجه ای با نشانگر پیچیده اغلب استفاده می شود ، یعنی شاخص حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم ، شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

بنابراین وقتی یک نماینده غیر منطقی می بینیم چه می کنیم؟ ما با تمام توان در تلاش هستیم تا از شر آن خلاص شویم! :)

برای مثال:

خودتان تصمیم بگیرید:

پاسخ ها:

1. تفاوت فرمول مربعات را به خاطر بسپارید. پاسخ:.
2. کسرها را به همان شکل می آوریم: یا هر دو رقم اعشار ، یا هر دو علامت عادی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:
3. هیچ چیز خاصی نیست ، ما خواص معمول درجه ها را اعمال می کنیم:

خلاصه فرم و بخش اصلی

درجه عبارتی از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

مدرک صحیح

درجه ، که نمایانگر آن یک عدد طبیعی است (یعنی کامل و مثبت).

درجه منطقی

درجه ، نماد آن اعداد منفی و کسری است.

درجه غیر منطقی

درجه ، که نمایانگر آن کسر یا ریشه اعشاری بی نهایت است.

خواص قدرت

ویژگی های درجه.

• شماره منفی به زوج درجه ، - تعداد مثبت.
• شماره منفی به فرد درجه ، - تعداد منفی.
• عدد مثبت در هر درجه عدد مثبت است.
• صفر برابر است با هر درجه.
• هر عدد تا درجه صفر برابر است با.

حالا کلمه شما ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ اگر دوست داشتید یا خیر در نظرات بنویسید.

از تجربه خود در زمینه خواص مدرک بگویید.

شاید سوالی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید

و با امتحانات موفق باشید!

رونق اطلاعات در زیست شناسی - کلنی های میکروبی در ظرف پتری خرگوش ها در استرالیا واکنش های زنجیره ای - در شیمی در فیزیک - پوسیدگی رادیواکتیو ، تغییر فشار جو با تغییر در ارتفاع ، خنک شدن بدن. در فیزیک - پوسیدگی رادیواکتیو ، تغییر فشار جو با تغییر در ارتفاع ، خنک شدن بدن. ترشح آدرنالین در خون و تخریب آن آنها همچنین ادعا می كنند كه هر 10 سال مقدار اطلاعات دو برابر می شود و همچنین ادعا می كنند كه هر 10 سال اطلاعات دو برابر می شود.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3.5

عبارت 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d ، 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1 ، ... 1 ؛ 1.7 1.73؛ 1.732 ، 1.73205 ؛ 1 ، ؛… دنباله در حال افزایش است 2 1؛ 2 1.7 ؛ 2 1.73؛ 2 1.732؛ 2 1.73205؛ 2 1 ، ؛… دنباله محدود افزایش می یابد ، و بنابراین به یک حد همگرا می شود - مقدار 2 3

می توان π 0 را تعریف کرد

10 10 18 ویژگی های تابع y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 title \u003d "(! LANG: ویژگی های تابع y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21

مقدار اطلاعات هر 10 سال دو برابر در محور Ox - مطابق قانون پیشرفت حساب: 1،2،3،4. در محور Oy - طبق قانون پیشرفت هندسی: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... نمودار تابع نمایی ، آن را exponent می نامند (از لاتین exponere - به رخ کشیدن)

درجه با یک شاخص منطقی ، خواص آن.

بیان a n برای همه a و n تعریف شده است ، به جز مورد a \u003d 0 برای n≤0. اجازه دهید خواص چنین درجاتی را بیاد آوریم.

برای هر عدد a ، b و هر عدد صحیح m و n ، برابری های زیر درست است:

A m * a n \u003d a m + n ؛ a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0) ؛ (a m) n \u003d a mn ؛ (ab) n \u003d a n * b n ؛ (b ≠ 0) ؛ a 1 \u003d a ؛ a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

ما همچنین به ویژگی زیر توجه می کنیم:

اگر m\u003e n ، پس a m\u003e a n برای a\u003e 1 و m<а n при 0<а<1.

در این زیر بخش ، مفهوم قدرت یک عدد را تعمیم می دهیم و به عبارات نوع 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 و غیره در این حالت طبیعی است که تعریفی ارائه دهیم تا درجاتی با نماهای منطقی دارای همان خصوصیات (یا حداقل بخشی از آنها) با درجات با یک صفت کامل باشند. سپس ، به طور خاص ، قدرت نهم عدد باید برابر با a باشد متر ... در واقع ، اگر اموال

(a p) q \u003d a pq

اعدام می شود ، پس

آخرین برابری یعنی (با تعریف ریشه n) عدد باید نهمین ریشه عدد a باشد متر

تعریف.

درجه عدد a\u003e 0 با بیان منطقی r \u003d ، که در آن m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است (n\u003e 1) ، عدد است

بنابراین با تعریف

(1)

توان عدد 0 فقط برای نمادهای مثبت تعریف می شود. با تعریف 0 r \u003d 0 برای هر r\u003e 0.

مدرکی با بیان غیر منطقی.

عدد گنگمی تواند به عنوان نمایش داده شودحد دنباله اعداد گویا: .

بگذار سپس درجه هایی با بیان منطقی وجود دارد. می توان نشان داد که توالی این درجه ها همگرا است. حد این توالی نامیده می شود درجه با توجیه و بیان غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه از نمودار تابع y \u003d 2 رسم کنیم ایکس پیش محاسبه مقدار 2 ایکس در بخش [–2؛ 3] با یک مرحله 1/4 (شکل 1 ، a) ، و سپس با یک مرحله 1/8 (شکل 1 ، b). ادامه ساختاری ذهنی همان مرحله با 16/1 ، 32/1 و غیره ، می بینیم که نقاط حاصل می توانند توسط یک منحنی صاف متصل شوند ، طبیعی است که نمودار برخی از تابع ها را تعریف کرده و از قبل در کل خط عدد تعریف شده و افزایش دهید و مقادیر را در نظر بگیرید در نقاط منطقی (شکل 1 ، ج) به اندازه کافی ساخته شده عدد بزرگ نقاط نمودار تابع، می توانیم اطمینان حاصل کنیم که این تابع نیز دارای خواص مشابهی است (تفاوت در این تابع است) با R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که می توانید اعداد 2 را از این طریق تعریف کنید α و برای هر α غیر منطقی به گونه ای که توابع تعریف شده با فرمول y \u003d 2 x و پیوسته خواهد بود ، و تابع y \u003d 2 است ایکس افزایش می یابد ، و عملکرد در طول خط عدد كاهش می یابد.

بگذارید به طور کلی نحوه عدد a را توصیف کنیم α برای α غیر منطقی برای a\u003e 1. ما می خواهیم به این نتیجه برسیم که عملکرد y \u003d a ایکس در حال افزایش بود سپس برای هر r منطقی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<α باید نابرابری ها را برآورده کند الف r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x ، می بینیم که مقادیر مربوط به a r 1 و a 2 تفاوت کمی خواهد کرد می توان ثابت کرد که تعداد y وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک عدد وجود دارد که از همه a بیشتر است r 1 برای همه منطقی r 1 و حداقل از همه a 2 برای همه منطقی r 2 ... این عدد y با تعریف a است α .

به عنوان مثال ، استفاده از ماشین حساب برای محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n ، جایی که x n و x` n - تقریب های اعشاری یک عدد خواهیم فهمید که هرچه x نزدیکتر باشد n و x` n k ، هرچه اختلاف 2 کمتر باشد x n و 2 x` n.

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب ، با در نظر گرفتن تقریبهای اعشاری زیر با کمبود و بیش از حد ، به نسبت می رسیم

;

;

;

;

.

مقدار محاسبه شده بر روی ماشین حساب به شرح زیر است:

.

عدد a α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 برای هر α و 0 α \u003d 0 برای α\u003e 0.

عملکرد نمایی.

چه زمانی آ > 0, آ = 1 ، عملکرد تعریف شده است y \u003d a ایکس غیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود عملکرد نماییبا بنیادآ.

y\u003d الف ایکس در آ> 1:

رسم تابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ \u003e 1 در شکل نشان داده شده است.

خصوصیات اساسی تابع نمایی y\u003d الف ایکس در 0< آ < 1:

• دامنه عملکرد کل خط عدد است.
• دامنه عملکرد - دهانه (0; + ) .
• این تابع کاملاً به صورت یکنواخت روی کل خط عدد در حال افزایش است ، یعنی اگر ایکس 1 < x 2 ، پس تبر 1 \u003e a x 2 .
• چه زمانی ایکس \u003d 0 ، مقدار تابع 1 است.
• اگر یک ایکس\u003e 0 ، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
به خواص عمومی تابع نمایی برای 0< a < 1, так и при a\u003e 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2 ، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - ایکس= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکس برای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ

درجه با یک شاخص منطقی ، خواص آن.

بیان a n برای همه a و n تعریف شده است ، به جز مورد a \u003d 0 برای n≤0. اجازه دهید خواص چنین درجاتی را بیاد آوریم.

برای هر عدد a ، b و هر عدد صحیح m و n ، برابری های زیر درست است:

A m * a n \u003d a m + n ؛ a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0) ؛ (a m) n \u003d a mn ؛ (ab) n \u003d a n * b n ؛ (b ≠ 0) ؛ a 1 \u003d a ؛ a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

ما همچنین به ویژگی زیر توجه می کنیم:

اگر m\u003e n ، پس a m\u003e a n برای a\u003e 1 و m<а n при 0<а<1.

در این زیر بخش ، مفهوم قدرت یک عدد را تعمیم می دهیم و به عبارات نوع 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 و غیره در این حالت طبیعی است که تعریفی ارائه دهیم تا درجاتی با نماهای منطقی دارای همان خصوصیات (یا حداقل بخشی از آنها) با درجات با یک صفت کامل باشند. سپس ، به طور خاص ، قدرت نهم عدد باید برابر با a باشد متر ... در واقع ، اگر اموال

(a p) q \u003d a pq

اعدام می شود ، پس

آخرین برابری یعنی (با تعریف ریشه n) عدد باید نهمین ریشه عدد a باشد متر

تعریف.

درجه عدد a\u003e 0 با بیان منطقی r \u003d ، که در آن m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است (n\u003e 1) ، عدد است

بنابراین با تعریف

(1)

توان عدد 0 فقط برای نمادهای مثبت تعریف می شود. با تعریف 0 r \u003d 0 برای هر r\u003e 0.

مدرکی با بیان غیر منطقی.

عدد گنگمی تواند به عنوان نمایش داده شودحد دنباله اعداد گویا: .

بگذار سپس درجه هایی با بیان منطقی وجود دارد. می توان نشان داد که توالی این درجه ها همگرا است. حد این توالی نامیده می شود درجه با توجیه و بیان غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه از نمودار تابع y \u003d 2 رسم کنیم ایکس پیش محاسبه مقدار 2 ایکس در بخش [–2؛ 3] با یک مرحله 1/4 (شکل 1 ، a) ، و سپس با یک مرحله 1/8 (شکل 1 ، b). ادامه ساختاری ذهنی همان مرحله با 16/1 ، 32/1 و غیره ، می بینیم که نقاط حاصل می توانند توسط یک منحنی صاف متصل شوند ، طبیعی است که نمودار برخی از تابع ها را تعریف کرده و از قبل در کل خط عدد تعریف شده و افزایش دهید و مقادیر را در نظر بگیرید در نقاط منطقی (شکل 1 ، ج) ساخت تعداد زیادی از نمودار نمودار از تابع، می توانیم اطمینان حاصل کنیم که این تابع نیز دارای خواص مشابهی است (تفاوت در این تابع است) با R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که می توانید اعداد 2 را از این طریق تعریف کنید α و برای هر α غیر منطقی به گونه ای که توابع تعریف شده با فرمول y \u003d 2 x و پیوسته خواهد بود ، و تابع y \u003d 2 است ایکس افزایش می یابد ، و عملکرد در طول خط عدد كاهش می یابد.

بگذارید به طور کلی نحوه عدد a را توصیف کنیم α برای α غیر منطقی برای a\u003e 1. ما می خواهیم به این نتیجه برسیم که عملکرد y \u003d a ایکس در حال افزایش بود سپس برای هر r منطقی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<α باید نابرابری ها را برآورده کند الف r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x ، می بینیم که مقادیر مربوط به a r 1 و a 2 تفاوت کمی خواهد کرد می توان ثابت کرد که تعداد y وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک عدد وجود دارد که از همه a بیشتر است r 1 برای همه منطقی r 1 و حداقل از همه a 2 برای همه منطقی r 2 ... این عدد y با تعریف a است α .

به عنوان مثال ، استفاده از ماشین حساب برای محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n ، جایی که x n و x` n - تقریب های اعشاری یک عدد خواهیم فهمید که هرچه x نزدیکتر باشد n و x` n k ، هرچه اختلاف 2 کمتر باشد x n و 2 x` n.

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب ، با در نظر گرفتن تقریبهای اعشاری زیر با کمبود و بیش از حد ، به نسبت می رسیم

;

;

;

;

.

مقدار محاسبه شده بر روی ماشین حساب به شرح زیر است:

.

عدد a α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 برای هر α و 0 α \u003d 0 برای α\u003e 0.

عملکرد نمایی.

چه زمانی آ > 0, آ = 1 ، عملکرد تعریف شده است y \u003d a ایکس غیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود عملکرد نماییبا بنیادآ.

y\u003d الف ایکس در آ> 1:

رسم تابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ \u003e 1 در شکل نشان داده شده است.

خصوصیات اساسی تابع نمایی y\u003d الف ایکس در 0< آ < 1:

• دامنه عملکرد کل خط عدد است.
• دامنه عملکرد - دهانه (0; + ) .
• این تابع کاملاً به صورت یکنواخت روی کل خط عدد در حال افزایش است ، یعنی اگر ایکس 1 < x 2 ، پس تبر 1 \u003e a x 2 .
• چه زمانی ایکس \u003d 0 ، مقدار تابع 1 است.
• اگر یک ایکس\u003e 0 ، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
خصوصیات عمومی تابع نمایی برای 0< a < 1, так и при a\u003e 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2 ، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - ایکس= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکس برای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ