در این مقاله خواهیم فهمید که چیست درجه از... در اینجا ما تعاریف درجه یک عدد را ارائه خواهیم داد ، در حالی که نگاهی دقیق تر به همه نماهای ممکن می اندازیم ، شروع با یک نمایشگر طبیعی و پایان دادن به یک غیر منطقی. در این ماده ، نمونه های زیادی از درجات را پیدا خواهید کرد که تمام ظرافت های به وجود آمده را پوشش می دهد.

پیمایش صفحه.

درجه با نماد طبیعی ، مربع عدد ، مکعب عدد

بیا شروع کنیم با. با نگاه به جلو ، می گوییم که تعریف درجه عدد a با نمایشگر طبیعی n برای a آورده شده است ، که ما آن را فراخوانی خواهیم کرد درجه پایه، و n ، که ما آنها را صدا خواهیم کرد نماینده... همچنین توجه داشته باشید که درجه با یک نمایشگر طبیعی از طریق محصول تعیین می شود ، بنابراین برای درک مطالب زیر ، باید ایده ضرب اعداد را داشته باشید.

تعریف.

توان عدد a با نمایشگر طبیعی n عبارتی از شکل a n است که مقدار آن برابر با حاصلضرب n فاکتور است که هر یک برابر با a است ، یعنی.
به طور خاص ، قدرت عدد a با نماد 1 خود عدد a است ، یعنی a 1 \u003d a.

بلافاصله باید در مورد قوانین خواندن درجه ها گفت. روش جهانی برای خواندن ضبط a n به شرح زیر است: "a to the power of n". در برخی موارد ، گزینه های زیر نیز قابل قبول هستند: "a to the n-th power" و "n-th power of a a". به عنوان مثال ، بیایید قدرت 8 12 را بدست آوریم که "هشت به قدرت دوازده" یا "هشت به قدرت دوازدهم" یا "دوازدهم قدرت هشت" است.

درجه دوم یک عدد و درجه سوم یک عدد نام خاص خود را دارند. درجه دوم یک عدد نامیده می شود عدد مربعبه عنوان مثال ، 7 2 "هفت مربع" یا "مربع عدد هفت" را می خواند. قدرت سوم یک عدد نامیده می شود اعداد مکعببه عنوان مثال ، 5 3 را می توان به عنوان "مکعب پنج" خواند یا می گوید "مکعب شماره 5".

وقت رهبری است نمونه هایی از درجه با شاخص های طبیعی... بیایید با قدرت 5 7 شروع کنیم ، در اینجا 5 پایه قدرت و 7 توان است. بیایید مثالی دیگر بیاوریم: 4.32 پایه است و عدد طبیعی 9 نمایانگر (4.32) 9 است.

توجه داشته باشید که در آخرین مثال ، پایه درجه 4.32 در پرانتز نوشته شده است: برای جلوگیری از سردرگمی ، همه پایه های درجه را که با اعداد طبیعی متفاوت هستند ، در پرانتز قرار می دهیم. به عنوان مثال ، ما درجه های زیر را با شاخص های طبیعی ارائه می دهیم ، مبنای آنها اعداد طبیعی نیستند ، بنابراین در پرانتز نوشته می شوند. خوب ، برای وضوح کامل ، در این لحظه ، تفاوت بین ورودی فرم (of2) 3 و −2 3 را نشان خواهیم داد. عبارت (−2) 3 قدرت −2 با بیان طبیعی 3 است و عبارت −2 3 (می توان آنرا نوشت - - (2 3)) با عدد مطابقت دارد ، مقدار توان 2 3 .

توجه داشته باشید که یک علامت گذاری برای درجه یک عدد a با نماد n شکل a ^ n وجود دارد. علاوه بر این ، اگر n یک عدد طبیعی چند ارزشی باشد ، نماد در براکت گرفته می شود. به عنوان مثال ، 4 ^ 9 یک علامت دیگر برای قدرت 4 9 است. و در اینجا چند نمونه دیگر از نوشتن درجه با استفاده از نماد "^" آورده شده است: 14 ^ (21) ، (−2،1) ^ (155). در آنچه در زیر می آید ، ما عمدتا از علامت گذاری برای درجه فرم a n استفاده خواهیم کرد.

یکی از وظایف ، معکوس بالا بردن قدرت با توان طبیعی ، مشکل یافتن پایه یک درجه از یک مقدار شناخته شده درجه و یک نمای شناخته شده است. این کار منجر به.

شناخته شده است که مجموعه اعداد گویا از اعداد صحیح و کسری و هر کدام تشکیل شده است عدد کسری می تواند مثبت یا منفی ارائه شود کسر مشترک... ما درجه را با یک عدد صحیح در پاراگراف قبلی تعریف کردیم ، بنابراین ، برای تکمیل تعریف درجه با شاخص منطقی، لازم است معنایی به توان یک عدد a با بیان کسری m / n داده شود ، جایی که m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است. اجازه دهید آن را انجام دهد

درجه ای را با بیان کسری فرم در نظر بگیرید. برای اینکه ویژگی درجه به درجه معتبر باشد ، برابر است ... اگر برابری بدست آمده و نحوه تعیین آن را در نظر بگیریم ، منطقی است که بپذیریم ، به شرطی که برای m ، n و a داده شده ، معنی منطقی باشد.

به راحتی می توان تأیید کرد که برای همه خصوصیات یک درجه با نماد صحیح (این امر در بخش خصوصیات یک درجه با یک نمایشگر منطقی انجام می شود).

استدلال فوق به ما اجازه می دهد موارد زیر را انجام دهیم. خروجی: اگر برای m ، n و a عبارتی منطقی باشد ، آنگاه قدرت عدد a با نمایشگر کسری m / n را نهمین ریشه a به توان m می نامیم.

این عبارت ما را با تعیین کسر به تعیین درجه نزدیک می کند. فقط برای توصیف این که m ، n و a عبارت منطقی است باقی مانده است. بسته به محدودیت های m ، n و a ، دو رویکرد اصلی وجود دارد.

ساده ترین راه محدود کردن a با فرض a≥0 برای m مثبت و a\u003e 0 برای m منفی است (از آنجا که برای m≤0 درجه 0 m تعریف نشده است). سپس تعریف زیر را از نمای کسری بدست می آوریم.

تعریف.

قدرت یک عدد مثبت a با نماد کسری m / n، جایی که m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است ، به n ریشه عدد a به قدرت m گفته می شود ، یعنی.

توان کسری صفر نیز با تنها شرط مثبت بودن شاخص تعیین می شود.

تعریف.

توان صفر با نماد کسری مثبت m / n، جایی که m یک عدد صحیح مثبت است و n یک عدد طبیعی است ، به این صورت تعریف می شود .
وقتی درجه مشخص نشود ، یعنی درجه عدد با کسر صفر باشد شاخص منفی منطقی نیست

لازم به ذکر است که با چنین تعریفی از درجه با نمایی کسری ، یک تفاوت وجود دارد: برای برخی از منفی a و برخی دیگر از m و n ، این عبارت منطقی است و ما با معرفی شرط a≥0 این موارد را کنار می گذاریم. مثلاً نوشتن منطقی است یا ، و تعریف فوق ما را مجبور می کند که بگوییم درجه ها با بیان کسری فرم منطقی نیست ، زیرا پایه نباید منفی باشد.

رویکرد دیگر برای تعیین نمایی که دارای نمای کسری m / n است ، در نظر گرفتن مجزای فرد و زوج ریشه است. این رویکرد به یک شرط اضافی نیاز دارد: درجه عدد a ، نشانگر آن ، قدرت عدد a در نظر گرفته می شود ، شاخص آن کسر قابل تقلیل مربوطه است (اهمیت این شرایط در زیر توضیح داده خواهد شد). یعنی اگر m / n کسری غیرقابل کاهش باشد ، برای هر عدد طبیعی k درجه قبلاً با درجه جایگزین می شود.

برای حتی n و m مثبت ، این عبارت برای هر a غیر منفی منطقی است (ریشه زوج یک عدد منفی معنی ندارد) ، برای m منفی ، عدد a باید همچنان غیر صفر باشد (در غیر این صورت تقسیم بر صفر وجود دارد ) و برای n فرد و m مثبت ، عدد a می تواند هر باشد (یک ریشه فرد برای هر عدد واقعی تعریف می شود) ، و برای m منفی ، عدد a باید غیر صفر باشد (به طوری که هیچ تقسیم بر صفر وجود نداشته باشد).

استدلال فوق ما را به چنین تعریفی از درجه با بیان کسری می رساند.

تعریف.

اجازه دهید m / n کسری غیرقابل کاهش باشد ، m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است. برای هر کسر قابل لغو ، نماینده با جایگزین می شود. توان یک عدد با نمایشگر کسری غیر قابل کاهش m / n برای است



بگذارید توضیح دهیم که چرا درجه ای با نمایی کسری قابل کاهش قبلاً با درجه ای با نمایشگر غیرقابل کاهش جایگزین می شود. اگر درجه را به سادگی تعریف کنیم و در مورد غیرقابل کاهش بودن کسر m / n رزرو نکنیم ، با چنین شرایطی روبرو خواهیم شد: از 6/10 \u003d 3/5 ، بنابراین برابری باید برقرار باشد ولی ، و

قسمت دوم. فصل 6
تعداد دنباله

مفهوم درجه با بیان غیر منطقی

بگذارید یک عدد مثبت باشد و یک غیر منطقی باشد.
چه معنایی باید به عبارت a * داده شود؟
برای اینکه بصورت بصری تر ارائه شود ، ما آن را به صورت خصوصی انجام خواهیم داد
مثال. یعنی ، a - 2 و a \u003d 1 قرار می دهیم. 624121121112. ... ... ...
اینجا ، اما - بی پایان اعشاریبر اساس چنین
قانون: از رقم اعشار چهارم شروع می شود ، برای تصویر a
فقط از ارقام 1 و 2 استفاده می شود و تعداد ارقام 1 است ،
قبل از شماره 2 پشت سر هم ضبط شده است ، همه زمان افزایش می یابد
یکی کسر a غیر دوره ای است ، زیرا در غیر این صورت تعداد ارقام 1 است ،
ثبت شده در یک ردیف در تصویر او محدود خواهد بود.
بنابراین ، a یک عدد غیر منطقی است.
بنابراین ، چه معنایی باید به این عبارت داده شود
21 ، v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
برای پاسخ به این سوال ، توالی مقادیر را می سازیم
و با کمبود و اضافی با دقت (0.1) *. ما گرفتیم
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
بیایید توالی های مربوط به توان شماره 2 را تشکیل دهیم:
2 میلیون 2 میلیون * 21 * 624 ؛ 21'62 * 1؛ ... ، (3)
21D 21 "63؛ 2 * "62Ву 21.6 Ш؛ ... (چهار)
دنباله (3) با افزایش توالی افزایش می یابد
(1) (قضیه 2 § 6).
دنباله (4) در حال کاهش است زیرا دنباله در حال کاهش است
(2).
هر یک از اعضای دنباله (3) از هر یک از اعضای دنباله کمتر است
(4) ، و بنابراین توالی (3) محدود می شود
از بالا ، و دنباله (4) از پایین محدود می شود.
بر اساس قضیه توالی محدود یکنواخت
هر یک از توالی ها (3) و (4) محدودیت دارند. اگر یک

384 مفهوم درجه با بیان غیر منطقی . .

اکنون معلوم می شود که اختلاف توالی ها (4) و (3) همگرا می شوند
به صفر ، سپس از این نتیجه خواهد شد که هر دوی این توالی ها ،
یک حد مشترک دارند.
تفاوت اصطلاحات اول توالی (3) و (4)
21-7 - 21 '* \u003d 2 | ، در (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
تفاوت اصطلاحات دوم
21'63 - 21.62 \u003d 21.62 (2 درجه '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
تفاوت اصطلاحات نهم
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
بر اساس قضیه 3 § 6
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
بنابراین ، توالی (3) و (4) حد مشترکی دارند. این
حد تنها عدد واقعی است که بزرگتر از است
از تمام اعضای دنباله (3) و کمتر از همه اعضای دنباله است
(4) ، و توصیه می شود که آن را مقدار دقیق 2 * در نظر بگیرید.
از آنچه گفته شد به طور کلی پذیرش توصیه می شود
تعریف زیر:
تعریف. اگر a\u003e 1 باشد ، درجه a با غیر منطقی است
نماینده a چنین عددی واقعی است ،
که بیشتر از تمام توانهای این عدد است ، نمایندگان آن هستند
تقریب منطقی a با کمبود و کمتر از همه درجات
از این تعداد ، که نمایانگرهای آنها تقریب منطقی و با است
اضافی.
اگر یک<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
یک عدد واقعی نامیده می شود که از همه قدرت ها بیشتر است
از این تعداد ، که نمایانگرهای آنها تقریب منطقی است
با بیش از حد ، و کمتر از تمام توان این تعداد ، شاخص های آن
- تقریب منطقی و با یک ضرر.
اگر a- 1 باشد ، درجه آن با بیان غیر منطقی a
1 است
با استفاده از مفهوم حد می توان این تعریف را فرموله کرد
بنابراین:
قدرت یک عدد مثبت با یک نمایشگر غیر منطقی
و حدی است که دنباله به آن تمایل دارد
قدرت عقلانی این عدد ، به شرطی که توالی
نمایانگر این درجه ها به یک ، یعنی
aa \u003d lim aH
ب - *
13 D ، K. Fatscheev ، I. S. Sominsky

درجه با یک شاخص منطقی ، خواص آن.

بیان a n برای همه a و n تعریف شده است ، به جز مورد a \u003d 0 برای n≤0. اجازه دهید خواص چنین درجاتی را بیاد آوریم.

برای هر عدد a ، b و هر عدد صحیح m و n ، برابری های زیر درست است:

A m * a n \u003d a m + n ؛ a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0) ؛ (a m) n \u003d a mn ؛ (ab) n \u003d a n * b n ؛ (b ≠ 0) ؛ a 1 \u003d a ؛ a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

ما همچنین به ویژگی زیر توجه می کنیم:

اگر m\u003e n ، پس a m\u003e a n برای a\u003e 1 و m<а n при 0<а<1.

در این زیر بخش ، مفهوم توان یک عدد را تعمیم می دهیم و به عباراتی مانند 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 در این حالت طبیعی است که تعریفی ارائه دهیم تا درجات با نماهای عقلانی دارای خصوصیات (یا حداقل بخشی از آنها) همان درجه با یک صفت کامل باشند. سپس ، به طور خاص ، قدرت نهم عدد باید برابر با a باشد متر ... در واقع ، اگر اموال

(a p) q \u003d a pq

اعدام می شود ، پس

آخرین برابری یعنی (با تعریف ریشه n) عدد باید نهمین ریشه عدد a باشد متر

تعریف.

درجه عدد a\u003e 0 با بیان منطقی r \u003d ، که در آن m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است (n\u003e 1) ، عدد است

بنابراین ، با تعریف

(1)

قدرت عدد 0 فقط برای شاخص های مثبت تعریف می شود. با تعریف 0 r \u003d 0 برای هر r\u003e 0.

مدرکی با نشانگر غیر منطقی.

عدد گنگمی تواند به عنوان نمایش داده شودحد دنباله اعداد گویا: .

بگذار سپس درجه هایی با بیان منطقی وجود دارد. می توان ثابت کرد که توالی این درجات همگراست. حد این توالی نامیده می شود درجه با توجیه و بیان غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه از نمودار تابع y \u003d 2 رسم کنیم ایکس پیش محاسبه مقدار 2 با ماشین حساب ایکس در بخش [–2؛ 3] با یک مرحله 1/4 (شکل 1 ، a) ، و سپس با یک مرحله 1/8 (شکل 1 ، b). ادامه ساختاری ذهنی همان مرحله با مرحله 1/16 ، 1/32 و غیره ، می بینیم که نقاط حاصل می توانند با یک منحنی صاف متصل شوند ، طبیعی است که نمودار برخی از تابع ها را تعریف کرده و از قبل در کل خط عدد تعریف شده و افزایش دهیم و مقادیر را بگیریم در نقاط منطقی (شکل 1 ، ج) به اندازه کافی ساخته شده عدد بزرگ نقاط نمودار تابع، می توان اطمینان حاصل کرد که این تابع نیز دارای خواص مشابهی است (تفاوت در این تابع است) با R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که تعریف اعداد 2 امکان پذیر است α و برای هر α غیر منطقی به گونه ای که توابع تعریف شده با فرمول y \u003d 2 x و پیوسته خواهد بود ، و تابع y \u003d 2 است ایکس افزایش می یابد ، و عملکرد در طول خط عدد كاهش می یابد.

بگذارید به صورت کلی نحوه عدد a را شرح دهیم α برای α غیر منطقی برای a\u003e 1. ما می خواهیم به این نتیجه برسیم که عملکرد y \u003d a ایکس در حال افزایش بود سپس برای هر r منطقی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<α باید نابرابری ها را برآورده کند الف r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x ، می بینیم که مقادیر مربوط به a r 1 و a r 2 تفاوت کمی خواهد داشت می توان ثابت کرد که تعداد y وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک عدد وجود دارد که از همه a بیشتر است r 1 برای همه منطقی r 1 و حداقل از همه a r 2 برای همه منطقی r 2 ... این عدد y با تعریف a است α .

به عنوان مثال ، محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n ، جایی که x n و x` n - تقریب های اعشاری یک عدد خواهیم فهمید که هرچه x نزدیکتر باشد n و x` n k ، هرچه اختلاف 2 کمتر باشد x n و 2 x` n.

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب ، با در نظر گرفتن تقریبهای اعشاری زیر با کمبود و بیش از حد ، ما به نسبت می رسیم

;

;

;

;

.

مقدار محاسبه شده بر روی ماشین حساب به شرح زیر است:

.

عدد a α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 برای هر α و 0 α \u003d 0 برای α\u003e 0.

عملکرد نمایی.

چه زمانی آ > 0, آ = 1 ، عملکرد تعریف شده است y \u003d a ایکس غیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود عملکرد نماییبا بنیادآ.

y\u003d الف ایکس در آ> 1:

رسم تابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ \u003e 1 در شکل نشان داده شده است.

خواص اساسی عملکرد نمایی y\u003d الف ایکس در 0< آ < 1:

• دامنه عملکرد کل خط عدد است.
• دامنه عملکرد - دهانه (0; + ) .
• این تابع کاملاً به صورت یکنواخت روی کل خط عدد در حال افزایش است ، یعنی اگر ایکس 1 < x 2 ، پس تبر 1 \u003e a x 2 .
• چه زمانی ایکس \u003d 0 ، مقدار تابع 1 است.
• اگر یک ایکس\u003e 0 ، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
به خواص عمومی تابع نمایی برای 0< a < 1, так и при a\u003e 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2 ، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - ایکس= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکس برای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ

درجه با یک شاخص منطقی ، خواص آن.

بیان a n برای همه a و n تعریف شده است ، به جز مورد a \u003d 0 برای n≤0. اجازه دهید خواص چنین درجاتی را بیاد آوریم.

برای هر عدد a ، b و هر عدد صحیح m و n ، برابری های زیر درست است:

A m * a n \u003d a m + n ؛ a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0) ؛ (a m) n \u003d a mn ؛ (ab) n \u003d a n * b n ؛ (b ≠ 0) ؛ a 1 \u003d a ؛ a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

ما همچنین به ویژگی زیر توجه می کنیم:

اگر m\u003e n ، پس a m\u003e a n برای a\u003e 1 و m<а n при 0<а<1.

در این زیر بخش ، مفهوم توان یک عدد را تعمیم می دهیم و به عباراتی مانند 2 معنی می دهیم 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 در این حالت طبیعی است که تعریفی ارائه دهیم تا درجات با نماهای عقلانی دارای خصوصیات (یا حداقل بخشی از آنها) همان درجه با یک صفت کامل باشند. سپس ، به طور خاص ، قدرت نهم عدد باید برابر با a باشد متر ... در واقع ، اگر اموال

(a p) q \u003d a pq

اعدام می شود ، پس

آخرین برابری یعنی (با تعریف ریشه n) عدد باید نهمین ریشه عدد a باشد متر

تعریف.

درجه عدد a\u003e 0 با بیان منطقی r \u003d ، که در آن m یک عدد صحیح است و n یک عدد طبیعی است (n\u003e 1) ، عدد است

بنابراین ، با تعریف

(1)

قدرت عدد 0 فقط برای شاخص های مثبت تعریف می شود. با تعریف 0 r \u003d 0 برای هر r\u003e 0.

مدرکی با نشانگر غیر منطقی.

عدد گنگمی تواند به عنوان نمایش داده شودحد دنباله اعداد گویا: .

بگذار سپس درجه هایی با بیان منطقی وجود دارد. می توان ثابت کرد که توالی این درجات همگراست. حد این توالی نامیده می شود درجه با توجیه و بیان غیر منطقی: .

بیایید چندین نقطه از نمودار تابع y \u003d 2 رسم کنیم ایکس پیش محاسبه مقدار 2 با ماشین حساب ایکس در بخش [–2؛ 3] با یک مرحله 1/4 (شکل 1 ، a) ، و سپس با یک مرحله 1/8 (شکل 1 ، b). ادامه ساختاری ذهنی همان مرحله با مرحله 1/16 ، 1/32 و غیره ، می بینیم که نقاط حاصل می توانند با یک منحنی صاف متصل شوند ، طبیعی است که نمودار برخی از تابع ها را تعریف کرده و از قبل در کل خط عدد تعریف شده و افزایش دهیم و مقادیر را بگیریم در نقاط منطقی (شکل 1 ، ج) ساخت تعداد زیادی از نمودار نمودار از تابع، می توان اطمینان حاصل کرد که این تابع نیز دارای خواص مشابهی است (تفاوت در این تابع است) با R کاهش می یابد).

این مشاهدات نشان می دهد که تعریف اعداد 2 امکان پذیر است α و برای هر α غیر منطقی به گونه ای که توابع تعریف شده با فرمول y \u003d 2 x و پیوسته خواهد بود ، و تابع y \u003d 2 است ایکس افزایش می یابد ، و عملکرد در طول خط عدد كاهش می یابد.

بگذارید به صورت کلی نحوه عدد a را شرح دهیم α برای α غیر منطقی برای a\u003e 1. ما می خواهیم به این نتیجه برسیم که عملکرد y \u003d a ایکس در حال افزایش بود سپس برای هر r منطقی 1 و r 2 به گونه ای که r 1<α باید نابرابری ها را برآورده کند الف r 1<а α <а r 1 .

انتخاب مقادیر r 1 و r 2 با نزدیک شدن به x ، می بینیم که مقادیر مربوط به a r 1 و a r 2 تفاوت کمی خواهد داشت می توان ثابت کرد که تعداد y وجود دارد ، و علاوه بر این ، فقط یک عدد وجود دارد که از همه a بیشتر است r 1 برای همه منطقی r 1 و حداقل از همه a r 2 برای همه منطقی r 2 ... این عدد y با تعریف a است α .

به عنوان مثال ، محاسبه مقدار 2 x در نقاط x n و x` n ، جایی که x n و x` n - تقریب های اعشاری یک عدد خواهیم فهمید که هرچه x نزدیکتر باشد n و x` n k ، هرچه اختلاف 2 کمتر باشد x n و 2 x` n.

از آن به بعد

و بنابراین،

به همین ترتیب ، با در نظر گرفتن تقریبهای اعشاری زیر با کمبود و بیش از حد ، ما به نسبت می رسیم

;

;

;

;

.

مقدار محاسبه شده بر روی ماشین حساب به شرح زیر است:

.

عدد a α برای 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 برای هر α و 0 α \u003d 0 برای α\u003e 0.

عملکرد نمایی.

چه زمانی آ > 0, آ = 1 ، عملکرد تعریف شده است y \u003d a ایکس غیر از ثابت این ویژگی نامیده می شود عملکرد نماییبا بنیادآ.

y\u003d الف ایکس در آ> 1:

رسم تابع نمایی با پایه 0< آ < 1 и آ \u003e 1 در شکل نشان داده شده است.

خصوصیات اساسی تابع نمایی y\u003d الف ایکس در 0< آ < 1:

• دامنه عملکرد کل خط عدد است.
• دامنه عملکرد - دهانه (0; + ) .
• این تابع کاملاً به صورت یکنواخت روی کل خط عدد در حال افزایش است ، یعنی اگر ایکس 1 < x 2 ، پس تبر 1 \u003e a x 2 .
• چه زمانی ایکس \u003d 0 ، مقدار تابع 1 است.
• اگر یک ایکس\u003e 0 ، سپس 0< آ < 1 و اگر ایکس < 0, то تبر > 1.
خصوصیات عمومی تابع نمایی به صورت 0< a < 1, так и при a\u003e 1 شامل:
• آ ایکس 1 آ ایکس 2 = آ ایکس 1 + ایکس 2 ، برای همه ایکس 1 و ایکس 2.
• آ - ایکس= ( آ ایکس) − 1 = 1 آایکس برای هرکس ایکس.
• nآ ایکس= آ

رونق اطلاعاتی در زیست شناسی - کلنی های میکروبی در ظرف پتری خرگوش ها در استرالیا واکنش های زنجیره ای - در شیمی در فیزیک - پوسیدگی رادیواکتیو ، تغییر فشار جو با تغییر در ارتفاع ، خنک شدن بدن. در فیزیک - پوسیدگی رادیواکتیو ، تغییر فشار جو با تغییر در ارتفاع ، خنک شدن بدن. ترشح آدرنالین در خون و تخریب آن همچنین گفته می شود که هر 10 سال مقدار اطلاعات دو برابر می شود و همچنین ادعا می شود که میزان اطلاعات هر 10 سال دو برابر می شود.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3.5

عبارت 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d ، 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1 ، ... 1 ؛ 1.7 1.73؛ 1.732 ، 1.73205 ؛ 1 ، ؛… دنباله در حال افزایش است 2 1؛ 2 1.7 ؛ 2 1.73؛ 2 1.732؛ 2 1.73205؛ 2 1 ، ؛… دنباله محدود افزایش می یابد ، و بنابراین به یک حد همگرا می شود - مقدار 2 3

می توان π 0 را تعریف کرد

10 10 18 ویژگی های تابع y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 title \u003d "(! LANG: ویژگی های تابع y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21

میزان اطلاعات هر 10 سال دو برابر در محور Ox - مطابق قانون پیشرفت حساب: 1،2،3،4. در محور Oy - طبق قانون پیشرفت هندسی: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... نمودار تابع نمایی ، آن را exponent (از لاتین exponere - به رخ کشیدن) می گویند