فرمول زیر تعریف خواهد بود درجه با شاخص طبیعی (a پایه بیانگر و عامل تکرار کننده است و n نماینده است ، که نشان می دهد چند بار عامل تکرار می شود):

این عبارت به این معنی است که درجه عدد a با نمایشگر n طبیعی حاصل n فاکتور است در حالی که هر یک از فاکتورها برابر a است.

17 ^ 5 \u003d 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \u003d 1 \\ ، 419 \\ ، 857

17 - پایه درجه ،

5 - نماینده ،

1419857 مقدار درجه است.

صفر نمره 1 است ، به شرطی که \\ neq 0:

a ^ 0 \u003d 1.

به عنوان مثال: 2 ^ 0 \u003d 1

وقتی نیاز به نوشتن عدد زیاد دارید ، معمولاً از توان 10 استفاده می شود.

به عنوان مثال ، یکی از قدیمی ترین دایناسورهای کره زمین در حدود 280 میلیون سال پیش زندگی می کرده است. سن وی به شرح زیر نوشته شده است: 2.8 \\ cdot 10 ^ 8.

هر عدد بزرگتر از 10 را می توان به عنوان \\ cdot 10 ^ n نوشت ، به شرطی که 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют شماره استاندارد.

نمونه هایی از این تعداد: 6978 \u003d 6.978 \\ cdot 10 ^ 3 ، 569000 \u003d 5.69 \\ cdot 10 ^ 5.

شما می توانید هر دو "a in the n-th power" و "n-th power of the number a" و "a in power n" را بگویید.

4 ^ 5 - "چهار به قدرت 5" یا "4 تا درجه پنج" یا می توانید بگویید "قدرت پنجم عدد 4"

که در این مثال 4 - پایه مدرک ، 5 - نماینده.

حالا مثالی با کسر و اعداد منفی می آوریم. برای جلوگیری از سردرگمی ، معمولاً نوشتن مبانی غیر از اعداد طبیعی در براکت ها است:

(7,38)^2 , \\ چپ (\\ frac 12 \\ راست) ^ 7، (-1) ^ 4 و غیره

همچنین به این تفاوت توجه کنید:

(-5) ^ 6 - به معنای قدرت عدد منفی −5 با نمایشگر طبیعی 6 است.

5 ^ 6 - با عدد مقابل 5 ^ 6 مطابقت دارد.

خواص نماهای طبیعی

اموال اصلی درجه

a ^ n \\ cdot a ^ k \u003d a ^ (n + k)

اساس همان است ، اما نمایندگان اضافه می شوند.

به عنوان مثال: 2 ^ 3 \\ cdot 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3 + 2) \u003d 2 ^ 5

املاک مدارک خصوصی با همان پایه

a ^ n: a ^ k \u003d a ^ (n-k) اگر n\u003e k باشد.

نمادها کم می شوند و پایه ثابت می ماند.

این محدودیت n\u003e k به منظور خارج نشدن از نماهای طبیعی معرفی شده است. در واقع ، برای n\u003e k ، نمایانگر a ^ (n-k) یک عدد طبیعی خواهد بود ، در غیر این صورت یا یک عدد منفی خواهد بود (k< n ), либо нулем (k-n ).

به عنوان مثال: 2 ^ 3: 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3-2) \u003d 2 ^ 1

ویژگی بیان

(a ^ n) ^ k \u003d a ^ (nk)

اساس همان است ، فقط نمایندگان ضرب می شوند.

برای مثال: (2 ^ 3) ^ 6 \u003d 2 ^ (3 \\ cdot 6) \u003d 2 ^ (18)

خاصیت بالا بردن قدرت محصول

هر عامل به توان n افزایش می یابد.

a ^ n \\ cdot b ^ n \u003d (ab) ^ n

برای مثال: 2 ^ 3 \\ cdot 3 ^ 3 \u003d (2 \\ cdot 3) ^ 3 \u003d 6 ^ 3

ویژگی بیان

\\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d \\ چپ (\\ frac (a) (b) \\ right) ^ n ، b \\ neq 0

هر دو عدد و مخرج کسر به یک قدرت تبدیل می شوند. \\ left (\\ frac (2) (5) \\ right) ^ 3 \u003d \\ frac (2 ^ 3) (5 ^ 3) \u003d \\ frac (8) (125)

در چارچوب این ماده ، ما تحلیل خواهیم کرد که درجه یک عدد چیست. علاوه بر تعاریف اساسی ، ما درجه هایی را با نمایشگرهای طبیعی ، کامل ، منطقی و غیر منطقی بیان خواهیم کرد. مثل همیشه ، تمام مفاهیم با نمونه هایی از وظایف نشان داده می شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

در ابتدا ، ما تعریف اولیه ای از درجه با بیان طبیعی را تدوین می کنیم. برای این کار باید قوانین اساسی ضرب را به خاطر بسپاریم. بگذارید پیشاپیش روشن کنیم که در حال حاضر یک عدد واقعی را به عنوان پایه در نظر می گیریم (آن را با حرف a نشان می دهیم) و به عنوان شاخص - یک عدد طبیعی است (آن را با حرف n نشان می دهیم).

تعریف 1

توان عدد a با نمایشگر طبیعی n حاصل ضرب n -th تعداد عوامل است که هر یک برابر با عدد a است. مدرک تحصیلی به این صورت نوشته شده است: a n، و به صورت فرمول ، ترکیب آن را می توان به شرح زیر نشان داد:

به عنوان مثال ، اگر نماد 1 باشد و پایه یک است ، پس اولین قدرت a به صورت نوشته می شود a 1... با توجه به اینکه a مقدار ضرب و 1 تعداد عوامل است ، می توان نتیجه گرفت a 1 \u003d a.

به طور کلی ، می توان گفت که درجه یک فرم مناسب برای نوشتن تعداد زیادی از عوامل برابر است. بنابراین ، ورودی فرم 8 8 8 8 را می توان به 8 4 ... تقریباً به همین ترتیب ، یک قطعه به ما کمک می کند تا از نوشتن پرهیز کنیم تعداد زیادی اصطلاحات (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4) ؛ ما قبلاً این را در مقاله اختصاص داده شده به ضرب اعداد طبیعی مورد تجزیه و تحلیل قرار داده ایم.

چگونه می توان رکورد درجه را به درستی خواند؟ گزینه عمومی پذیرفته شده "a to the power of n" است. یا می توانید بگویید "n -th درجه یک" یا "a n -th درجه". اگر مثلاً مثال شامل مدخل است 8 12 ، می توانیم "8 تا قدرت 12" ، "8 تا 12 قدرت" یا "12th power by 8th" را بخوانیم.

قدرت های دوم و سوم این عدد دارای نام های کاملاً ثابت خود هستند: مربع و مکعب. اگر درجه دوم ، مثلاً عدد 7 (7 2) را ببینیم ، می توانیم بگوییم "7 مربع" یا "مربع عدد 7". به همین ترتیب ، درجه سوم اینگونه خوانده می شود: 5 3 آیا "مکعب شماره 5" یا "5 در مکعب" است. با این حال ، استفاده از فرمول استاندارد "در درجه دوم / سوم" نیز امکان پذیر است ، این اشتباه نخواهد بود.

مثال 1

بیایید به یک نمونه از درجه با یک نشانگر طبیعی نگاه کنیم: برای 5 7 پنج پایه و هفت شاخص خواهد بود.

پایه لازم نیست که یک عدد صحیح باشد: برای درجه (4 , 32) 9 پایه کسر 4 ، 32 و بیانگر نه است. به پرانتز توجه کنید: چنین ورودی برای همه درجات ساخته می شود ، پایه های آن با اعداد طبیعی متفاوت است.

به عنوان مثال: 1 2 3 ، (- 3) 12 ، - 2 3 5 2 ، 2 ، 4 35 5 ، 7 3.

پرانتز برای چیست؟ آنها به جلوگیری از خطاهای محاسبه کمک می کنند. فرض کنیم دو ورودی داریم: (− 2) 3 و − 2 3 ... اولین آنها به معنای عدد منفی منهای دو است که به قدرتی با نمایشگر طبیعی سه رسیده است. دوم عددی است که با مقدار قدرت مخالف مطابقت دارد 2 3 .

بعضی اوقات در کتاب ها می توانید املای کمی متفاوت از درجه تعداد را پیدا کنید - a ^ n (که در آن a پایه است و n به عنوان نماینده است). یعنی 4 ^ 9 همان است 4 9 ... اگر n یک عدد چند رقمی باشد ، داخل پرانتز قرار می گیرد. به عنوان مثال ، 15 ^ (21) ، (- 3 ، 1) ^ (156). اما ما از علامت گذاری استفاده خواهیم کرد a nبه عنوان رایج تر.

حدس زدن چگونگی محاسبه مقدار درجه با یک نمایشگر طبیعی از تعریف آن آسان است: شما فقط باید تعداد n -th را چندین برابر کنید. ما در مقاله دیگری در این باره بیشتر نوشتیم.

مفهوم درجه مخالف مفهوم ریاضی دیگری است - ریشه یک عدد. اگر مقدار درجه و توان را بدانیم ، می توانیم پایه آن را محاسبه کنیم. این مدرک دارای برخی خصوصیات خاص است که برای حل مشکلاتی مفید است که ما در یک مقاله جداگانه بحث کردیم.

در نمایشگرها ، نه تنها اعداد طبیعی می توانند بایستند ، بلکه به طور کلی هر مقدار صحیح ، از جمله منفی و صفر ، زیرا آنها نیز به مجموعه اعداد صحیح تعلق دارند.

تعریف 2

قدرت یک عدد با یک عدد صحیح مثبت را می توان به عنوان یک فرمول نمایش داد: .

علاوه بر این ، n هر عدد صحیح مثبتی است.

بیایید با مفهوم درجه صفر بپردازیم. برای انجام این کار ، از روشی استفاده می کنیم که خاصیت بهره را برای درجات با مبنای برابر در نظر می گیرد. به صورت زیر فرموله شده است:

تعریف 3

برابری a m: a n \u003d a m - n در شرایط درست خواهد بود: m و n اعداد طبیعی هستند ، m< n , a ≠ 0 .

آخرین شرط مهم است زیرا از تقسیم بر صفر جلوگیری می کند. اگر مقادیر m و n برابر باشند ، نتیجه زیر بدست می آید: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

اما در همان زمان a n: a n \u003d 1 ضریب است اعداد مساوی a n و یک به نظر می رسد درجه صفر هر عدد غیر صفر برابر با یک است.

با این حال ، چنین اثباتی در مورد صفر تا درجه صفر اعمال نمی شود. برای این منظور به ویژگی دیگری از درجه - ویژگی محصولات درجه با پایه های برابر نیاز داریم. به نظر می رسد به این شکل است: a m a n \u003d a m + n .

اگر n برابر با 0 داشته باشیم ، پس a m a 0 \u003d a m (این برابری همچنین به ما ثابت می کند که a 0 \u003d 1) اما اگر a نیز صفر باشد ، برابری ما شکل می گیرد 0 متر 0 0 \u003d 0 متر، این برای هر مقدار طبیعی n صادق خواهد بود ، و مهم نیست که دقیقاً چه درجه ای دارد 0 0 ، یعنی می تواند با هر عددی برابر باشد و این بر وفاداری برابری تاثیری نخواهد داشت. بنابراین ، یک علامت گذاری از فرم 0 0 معنای خاصی ندارد و ما آن را به او نسبت نمی دهیم.

در صورت تمایل ، بررسی آن آسان است a 0 \u003d 1 با خاصیت درجه همگرا می شود (a m) n \u003d a m n به شرطی که پایه مدرک صفر نباشد. بنابراین ، درجه هر عدد غیر صفر با نمایشگر صفر برابر با یک است.

مثال 2

بیایید به یک مثال با اعداد خاص نگاه کنیم: بنابراین ، 5 0 - واحد، (33 , 3) 0 = 1 ، - 4 5 9 0 \u003d 1 ، و مقدار 0 0 تعریف نشده

بعد از درجه صفر ، برای ما باقی می ماند که بفهمیم درجه منفی چیست. برای این کار ، ما به همان ویژگی حاصلضرب درجه با پایه های برابر نیاز داریم که قبلاً در بالا از آن استفاده کردیم: a m · a n \u003d a m + n.

بیایید شرط را معرفی کنیم: m \u003d - n ، پس a نباید برابر با صفر باشد. نتیجه می شود که a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... به نظر می رسد که a n و a - n ما اعداد متقابلاً معکوس داریم.

در نتیجه ، یک عدد صحیح است درجه منفی چیزی نیست جز کسر 1 a n.

این فرمول تأیید می کند که برای یک درجه با نماد منفی صحیح ، تمام خصوصیات یکسان با درجه با یک نمایشگر طبیعی معتبر هستند (به شرطی که پایه صفر نباشد).

مثال 3

توان a با عدد صحیح منفی n را می توان به صورت کسر 1 a n نشان داد. بنابراین ، a - n \u003d 1 a n تحت شرایط 0 پوند و n - هر عدد طبیعی.

بیایید اندیشه خود را با مثالهای مشخص نشان دهیم:

مثال 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

در قسمت آخر پاراگراف ، سعی خواهیم کرد همه آنچه را که به وضوح گفته شده در یک فرمول به تصویر بکشیم:

تعریف 4

قدرت عدد a با نمایشگر z طبیعی: az \u003d az ، e با l و z - عدد صحیح مثبت 1 ، z \u003d 0 و a ≠ 0 ، (برای و z \u003d 0 و a \u003d 0 ، 0 0 بدست می آوریم ، مقادیر نمایش 0 0 نیست تعاریف) 1 az ، if و z یک عدد صحیح است و ≠ 0 (اگر z یک عدد صحیح است و a \u003d 0 0 z را باز می کند ، ego z n n n n n d e d e n t)

درجه های گویا عقلی چیست

مواردی را که نمایانگر یک عدد صحیح است بررسی کرده ایم. با این حال ، هنگامی که عدد کسری در بیانگر آن وجود دارد ، می توانید یک عدد را به یک قدرت برسانید. به این درجه c می گویند شاخص منطقی... در این زیر بخش ثابت خواهیم کرد که دارای خصوصیات مشابه سایر درجات است.

اعداد گویا چیست؟ مجموعه آنها شامل کل و اعداد کسری، در حالی که اعداد کسری را می توان به صورت کسرهای معمولی (مثبت و منفی) نشان داد. اجازه دهید تعریف درجه یک عدد a با نماد کسری m / n را صورت ببخشیم ، جایی که n یک عدد طبیعی است و m یک عدد صحیح است.

ما مقداری درجه با نمای کسری a m n داریم. برای اینکه ویژگی درجه به درجه برآورده شود ، برابری a m n n \u003d a m n n \u003d a m باید درست باشد.

با توجه به تعریف ریشه نهم و اینکه a m n n \u003d a m ، اگر m n برای مقادیر داده شده m ، n و a منطقی باشد ، می توانیم شرط a m n \u003d a m n را بپذیریم.

خصوصیات فوق یک درجه با نمایشگر صحیح صحیح خواهد بود به شرط اینکه m n \u003d a m n باشد.

نتیجه گیری اصلی از استدلال ما به شرح زیر است: قدرت برخی از شماره های a با بیان کسری m / n ، نهمین ریشه عدد a به قدرت m است. این درست است اگر برای مقادیر داده شده m ، n و a ، عبارت a m n معنی دار باقی بماند.

1. ما می توانیم مقدار پایه درجه را محدود کنیم: a را بگیرید ، که برای مقادیر مثبت m بزرگتر یا مساوی 0 خواهد بود ، و برای مقادیر منفی کاملاً کمتر (از آنجا که برای m ≤ 0 بدست می آوریم 0 متر، اما این درجه تعریف نشده است). در این حالت ، تعریف مدرک با نمایی کسری به این صورت خواهد بود:

توان با نماد کسری m / n برای برخی از اعداد مثبت a ، نهمین ریشه افزایش یافته به توان m است. در قالب فرمول ، این را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای یک درجه با پایه صفر ، این موقعیت نیز مناسب است ، اما تنها در صورتی که نماینده آن یک عدد مثبت باشد.

یک درجه با پایه صفر و یک نمای مثبت کسری m / n را می توان به صورت بیان کرد

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 به شرط عدد صحیح مثبت m و n طبیعی.

با نسبت منفی m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

بیایید یک نکته را یادداشت کنیم. از آنجا که شرط بزرگتر یا مساوی صفر را معرفی کردیم ، برخی موارد را رها کردیم.

عبارت a m n گاهی اوقات برای برخی از مقادیر منفی a و بعضی از m معنی دارد. بنابراین ، ورودی ها (- 5) 2 3 ، (- 1 ، 2) 5 7 ، - 1 2 - 8 4 صحیح هستند ، که پایه منفی است.

2. روش دوم در نظر گرفتن جداگانه ریشه a m n با نمایشگرهای زوج و فرد است. سپس باید یک شرط دیگر نیز معرفی کنیم: نمایانگر a ، که در نمایی از آن کسر معمولی قابل لغو وجود دارد ، قدرت a در نظر گرفته می شود که در بازده آن کسر غیرقابل کاهش مربوطه وجود دارد. بعداً توضیح خواهیم داد که چرا به این شرایط احتیاج داریم و چرا اهمیت آن بسیار زیاد است. بنابراین ، اگر یک رکورد m k n k داشته باشیم ، می توانیم آن را به m n کاهش دهیم و محاسبات را ساده کنیم.

اگر n فرد باشد و m مثبت باشد ، a هر عدد غیر منفی است ، سپس m n منطقی است. شرط یک منفی غیر ضروری است ، زیرا ریشه یک عدد منفی استخراج نمی شود. اگر مقدار m مثبت باشد ، از این رو a می تواند منفی یا صفر باشد یک ریشه عجیب و غریب را می توان از هر شماره واقعی استخراج کرد.

بیایید تمام داده های تعریف بالا را در یک رکورد ترکیب کنیم:

در اینجا m / n مخفف کسری غیرقابل کاهش است ، m هر عدد صحیحی است و n هر عدد طبیعی است.

تعریف 5

برای هر کسر قابل کنسل شدن معمولی m · k n · k ، درجه را می توان با m n جایگزین کرد.

توان یک عدد با نمایشگر کسری غیر قابل کاهش m / n - در موارد زیر می تواند به صورت m n بیان شود: - برای هر a واقعی ، اعداد صحیح ارزشهای مثبت متر و ارزشهای طبیعی عجیب و غریب n. مثال: 2 5 3 \u003d 2 5 3 ، (- 5 ، 1) 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7 ، 0 5 19 \u003d 0 5 19.

برای هر a غیر صفر واقعی ، عدد صحیح منفی m و n فرد ، به عنوان مثال ، 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3 ، (- 5 ، 1) - 2 7 \u003d (- 5 ، 1) - 2 7

برای هر عدد غیر منفی a ، عدد صحیح مثبت m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 1 4 \u003d 2 1 4 ، (5 ، 1) 3 2 \u003d (5 ، 1) 3 ، 0 7 18 \u003d 0 7 18.

برای هر مثبت a ، عدد صحیح منفی m و حتی n ، به عنوان مثال ، 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4 ، (5 ، 1) - 3 2 \u003d (5 ، 1) - 3 ،.

برای سایر مقادیر ، نمای کسری تعریف نشده است. نمونه هایی از این درجه: - 2 11 6 ، - 2 1 2 3 2 ، 0 - 2 5.

حال بیایید اهمیت شرط ذکر شده در بالا را توضیح دهیم: چرا کسر را با یک نمایشگر قابل لغو با کسری با کسری غیرقابل کاهش جایگزین کنیم. اگر این کار را انجام نمی دادیم ، چنین شرایطی پیش می آید ، مثلاً 6/10 \u003d 3/5. پس باید درست باشد (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5 اما - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 و (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

تعریف درجه با نمایی کسری ، که ما اولین آن را ارائه دادیم ، استفاده در عمل راحت تر از دوم است ، بنابراین ما به استفاده از آن ادامه خواهیم داد.

تعریف 6

بنابراین ، درجه یک عدد مثبت a با یک نمایشگر کسری m / n به عنوان 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود. در صورت منفی آ نماد a m n معنی ندارد. توان صفر برای نماهای کسری مثبت m / n 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 تعریف می شود ، برای نماهای کسری منفی درجه صفر را تعیین نمی کنیم.

در نتیجه گیری ، ما توجه داریم که هر شاخص کسری را می توان همانند فرم نوشت شماره های درهم، و به عنوان کسر اعشاری: 5 1 ، 7 ، 3 2 5 - 2 3 7.

هنگام محاسبه ، بهتر است که نماد را جایگزین کنید کسر مشترک و سپس از تعریف یک کسر استفاده کنید. برای مثال های بالا ، به دست می آوریم:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

درجه هایی با بیان غیر منطقی و معتبر چیست

اعداد واقعی چیست؟ مجموعه آنها شامل هر دو عدد منطقی و غیر منطقی است. بنابراین ، برای اینکه بفهمیم درجه با شاخص واقعی چیست ، باید درجه هایی را با شاخص های منطقی و غیر منطقی تعریف کنیم. ما قبلاً موارد عقلی را در بالا ذکر کردیم. بیایید گام به گام با شاخص های غیر منطقی کنار بیاییم.

مثال 5

فرض کنید ما یک عدد غیر منطقی a و یک دنباله از تقریب های اعشاری آن a 0 ، a 1 ، a 2 ، داریم. ... ... ... برای مثال ، مقدار a \u003d 1.67175331 را در نظر بگیریم. ... ... سپس

a 0 \u003d 1.6 ، a 1 \u003d 1.67 ، a 2 \u003d 1.671 ،. ... ... ، 0 \u003d 1.67 ، 1 \u003d 1.6717 ، 2 \u003d 1.671753 ،. ... ...

ما می توانیم توالی تقریب ها را با توالی درجه های a a 0 ، a a 1 ، a 2 ، مرتبط کنیم. ... ... ... اگر آنچه را که قبلاً در مورد افزایش اعداد به یک قدرت عقلانی گفته بودیم به خاطر بسپارید ، پس خود ما می توانیم مقادیر این نیروها را محاسبه کنیم.

به عنوان مثال a \u003d 3، سپس a 0 \u003d 31.67 ، a 1 \u003d 31.6717 ، a 2 \u003d 31.671753 ،. ... ... و غیره.

توالی درجه را می توان به یک عدد تقلیل داد ، که این مقدار درجه با پایه a و یک نمایشگر غیر منطقی a خواهد بود. در نتیجه: مدرکی با بیان غیرمنطقی مانند 3 1 ، 67175331. ... می تواند به تعداد 6 ، 27 تقلیل یابد.

تعریف 7

درجه عدد مثبت a با نمایشگر غیر منطقی a به صورت a نوشته می شود. مقدار آن حد دنباله a a 0 ، a a 1 ، a a 2 ، است. ... ... ، جایی که 0 ، 1 ، 2 ، ... ... تقریبهای اعشاری پی در پی از عدد غیر منطقی a هستند. درجه با پایه صفر را می توان برای شاخص های غیر منطقی مثبت نیز تعیین کرد ، در حالی که 0 a \u003d 0 بنابراین ، 0 6 \u003d 0 ، 0 21 3 3 \u003d 0. و برای موارد منفی ، این امکان پذیر نیست ، زیرا ، به عنوان مثال ، مقدار 0 - 5 ، 0 - 2 π تعریف نشده است. واحدی که به هر کس ارتقا یافته است درجه غیر منطقی، به عنوان مثال یک باقی می ماند ، و 1 2 ، 1 5 در 2 ، و 1 - 5 برابر 1 خواهد بود.

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

آموزش تصویری 2: درجه طبیعی و خواص آن

سخنرانی:

درجه با یک نشانگر طبیعی

زیر درجه تعدادی عدد "و" با برخی از شاخص "n" محصول یک عدد را درک کنید "و" به خودی خود "n" زمان.

وقتی ما در مورد مدرک با نمای طبیعی صحبت می کنیم ، این بدان معنی است که تعداد "n" باید کامل باشد و منفی نباشد.

و - پایه درجه ، که نشان می دهد کدام عدد باید در خود ضرب شود ،

n - نما - می گوید چند بار پایه باید در خودش ضرب شود.

برای مثال:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

در این حالت ، پایه درجه به معنای عدد "8" ، بیانگر عدد "4" و مقدار درجه به معنی عدد "4096" است.

بزرگترین و رایج ترین اشتباه در هنگام محاسبه توان ضرب یک نماینده در یک پایه است - این درست نیست!

چه زمانی می آید در مورد درجه با یک نمایشگر طبیعی ، این بدان معنی است که فقط نماینده است (n) باید یک عدد طبیعی باشد.

به عنوان مبنا ، می توانید هر عددی را با یک خط عددی بگیرید.

برای مثال،

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

عمل ریاضی که بر روی پایه و توان انجام می شود را بیان می نامند.

جمع / تفریق عمل ریاضی مرحله اول است ، ضرب / تقسیم عمل مرحله دوم است ، افزایش نیرو یک عمل ریاضی مرحله سوم است ، یعنی یکی از بالاترین.

این سلسله مراتب اقدامات ریاضی ترتیب را در محاسبه تعیین می کند. اگر این عمل در وظایف بین دو مورد قبلی رخ دهد ، ابتدا این کار انجام می شود.

برای مثال:

15 + 6 *2 2 = 39

در این مثال ، ابتدا باید 2 را به یک قدرت افزایش دهید ، یعنی

سپس نتیجه را در 6 ضرب کنید ، یعنی

مدرکی با توان طبیعی نه تنها برای محاسبات خاص ، بلکه برای راحتی نوشتن اعداد زیاد نیز استفاده می شود. در این حالت ، هنوز از این مفهوم استفاده می شود "شماره استاندارد"... این علامت دلالت بر ضرب بعضی از عدد از 1 به 9 در یک پایه قدرت برابر با 10 با برخی از نماها دارد.

برای مثال، برای ثبت شعاع زمین به شکل استاندارد ، از علامت گذاری زیر استفاده کنید:

6400000 متر \u003d 6.4 * 10 6 متر ،

و به عنوان مثال جرم زمین به صورت زیر نوشته شده است:

خصوصیات درجه

برای سهولت در حل مثالها با درجه ، باید ویژگیهای اصلی آنها را بدانید:

1. اگر لازم است دو درجه را که پایه های یکسانی دارند ضرب کنید ، پایه باید بدون تغییر بماند و شاخص ها باید اضافه شوند.

a n * a m \u003d a n + m

برای مثال:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. اگر لازم باشد که دو درجه را که پایه های یکسانی دارند تقسیم کنید ، در این صورت پایه باید بدون تغییر باقی بماند و شاخص ها کم شوند. لطفا توجه داشته باشید که برای عملیات با قدرت با یک نمایشگر طبیعی ، مبلغ سود سهام باید بیشتر از مبلغ مقسوم علیه باشد. در غیر این صورت ، ضریب این عمل عددی با نماد منفی خواهد بود.

a n / a m \u003d a n-m

برای مثال،

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. اگر لازم باشد که یک درجه را به درجه دیگر برسانید ، پایه نتیجه همان تعداد باقی می ماند و نمایندگان ضرب می شوند.

(a n) m \u003d a n * m

برای مثال،

4. اگر تا حدی لازم است کار را مطرح کنید اعداد دلخواه، سپس می توانید از نوعی قانون توزیع استفاده کنید ، که در آن ما محصول زمینه های مختلف را در یک درجه دریافت می کنیم.

(a * b) m \u003d a m * b m

برای مثال،

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. از یک ویژگی مشابه می توان برای تقسیم قدرت استفاده کرد ، به عبارت دیگر ، برای افزایش یک دو برابر معمولی به یک قدرت.

(a / b) m \u003d a m / b متر

6. هر عددی که به بیان برابر با یک برابر شود ، برابر با عدد اصلی است.

a 1 \u003d a

برای مثال،

7. هنگام بالا بردن هر عدد به توان با صفر ، نتیجه این محاسبه همیشه یک خواهد بود.

a 0 \u003d 1

برای مثال,

سطح اول

درجه و خصوصیات آن. راهنمای جامع (2019)

چرا مدارک لازم است؟ از کجا برای شما مفید خواهند بود؟ چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای یادگیری همه چیز در مورد مدارک تحصیلی ، اینکه آنها برای چه کاری استفاده می شوند ، چگونه از دانش خود استفاده کنید زندگی روزمره این مقاله را بخوانید

و مطمئناً دانش مدرک شما را به یک فرد موفق نزدیک می کند عبور OGE یا آزمون دولتی واحد و برای ورود به دانشگاه رویاهای خود.

بگذارید برویم ... (بیا بریم!)

یادداشت مهم! اگر به جای فرمول ها gibberish می بینید ، حافظه نهان را پاک کنید. برای این کار CTRL + F5 (در ویندوز) یا Cmd + R (در Mac) را فشار دهید.

سطح اول

بیان همان است عملیات ریاضیمانند جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم.

اکنون من همه چیز را به زبان انسان بسیار توضیح خواهم داد مثالهای ساده... توجه کنید مثالها اساسی هستند ، اما موارد مهم را توضیح می دهند.

بیایید با جمع شروع کنیم.

چیزی برای توضیح وجود ندارد. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کدام دو بطری کولا دارند. چه مقدار کولا وجود دارد؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

همان مثال کولا را می توان متفاوت نوشت:. ریاضی دانان افراد حیله گر و تنبلی هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند ، و سپس راهی برای "سریع" شمردن آنها ارائه می دهند. در مورد ما ، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و روشی به نام ضرب را به دست آوردند. موافقم ، آسان تر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین ، برای شمارش سریع تر ، آسان تر و بدون خطا ، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب... البته می توانید همه کارها را کندتر ، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و دیگری ، زیبا تر:

چه چیز دیگری ترفندهای روی حیله و تزویر ریاضیدانان تنبل حساب ها را اختراع کردند؟ به درستی - افزایش یک عدد به یک قدرت.

بالا بردن یک عدد به یک قدرت

اگر شما باید یک عدد را در خود پنج برابر ضرب کنید ، پس ریاضیدانان می گویند شما باید این عدد را به قدرت پنجم برسانید. برای مثال، . ریاضیدانان به یاد دارند که درجه دو تا پنجم است. و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریعتر ، آسان تر و بدون اشتباه.

تمام آنچه شما باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد برجسته شده است به خاطر بسپارید... باور کنید این کار زندگی شما را بسیار راحت تر می کند.

ضمناً چرا درجه دو نامیده می شود مربع اعداد ، و سوم - مکعب؟ چه مفهومی داره؟ بسیار زیاد سؤال خوبی بود... حالا شما هر دو مربع و مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی شماره 1

بیایید با یک مربع یا قدرت دوم یک عدد شروع کنیم.

یک استخر متر مربع متر را تصور کنید. استخر در خانه روستایی شماست. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما ... استخری بدون ته! پوشاندن کف استخر با کاشی ضروری است. به چند کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع باید سطح کف استخر را بشناسید.

با زدن انگشت می توانید به راحتی حساب کنید که کف استخر از متر مکعب متر تشکیل شده است. اگر یک متر به متر کاشی دارید ، به قطعات احتیاج دارید. آسان است ... اما کجا چنین کاشی هایی را دیده اید؟ کاشی ترجیحاً سانتی متر بر سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمردن انگشت خود" عذاب خواهید دید. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین ، در یک طرف پایین استخر ، کاشی (قطعات) و در طرف دیگر نیز کاشی قرار خواهیم داد. با ضرب ، کاشی می گیرید ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین سطح کف استخر ، همین تعداد را در خود ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ هنگامی که همان تعداد ضرب شد ، می توانیم از تکنیک "نمایی" استفاده کنیم. (البته ، وقتی فقط دو عدد دارید ، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا آنها را به قدرتی برسانید. اما اگر تعداد زیادی داشته باشید ، بالا بردن به یک قدرت بسیار راحت تر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. این برای USE بسیار مهم است).
بنابراین سی در درجه دوم () خواهد بود. یا می توانید بگویید سی مربع می شود. به عبارت دیگر ، قدرت دوم یک عدد همیشه می تواند به عنوان یک مربع نشان داده شود. برعکس ، اگر یک مربع می بینید ، همیشه قدرت دوم یک عدد است. مربع نمایش قدرت دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک وظیفه برای شما وجود دارد ، تعداد مربع های صفحه شطرنج را با استفاده از مربع عدد بشمارید ... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای شمارش تعداد آنها ، باید هشت را در هشت ضرب کنید ، یا ... اگر متوجه شدید که صفحه شطرنج یک مربع دارای یک ضلع است ، می توانید هشت را مربع کنید. سلول دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا قدرت سوم عدد. همان استخر. اما اکنون باید بدانید که چه مقدار آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (به هر حال ، حجم و مایعات در آنها اندازه گیری می شود متر مکعب... غیر منتظره ، درست است؟) حوضچه ای بکشید: قسمت پایین آن یک متر و یک متر عمق دارد و سعی کنید محاسبه کنید که چند متر مکعب مکعب به استخر شما می رود.

انگشت خود را مستقیم بگیرید و بشمارید! یک ، دو ، سه ، چهار ... بیست و دو ، بیست و سه ... چقدر شد؟ گم نشده؟ آیا شمارش با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند ، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر ، شما باید طول ، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما ، حجم استخر برابر مکعب خواهد بود ... راحت تر ، درست است؟

حال تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را نیز ساده کنند. آنها همه چیز را به یک عمل کاهش دادند. آنها متوجه شدند که طول ، عرض و ارتفاع برابر است و همان تعداد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از درجه استفاده کنید. بنابراین ، آنچه شما یک بار با انگشت خود شمردید ، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه در یک مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است:.

فقط باقی مانده جدول درجه ها را بخاطر بسپارید... البته مگر اینکه به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید ، می توانید با انگشت خود به شمارش ادامه دهید.

خوب ، برای اینکه شما در آخر متقاعد شوید که مدارک تحصیلی توسط افراد بیهوده و حیله گر اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند ، و نه اینکه برای شما مشکلی ایجاد کند ، در اینجا چند مثال دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید در ابتدای هر سال از هر میلیون میلیون دیگر درآمد کسب می کنید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. در طی سالها چقدر پول خواهید داشت؟ اگر اکنون نشسته اید و "با انگشت خود می شمارید" ، پس شما فردی بسیار سخت کوش و احمق هستید. اما به احتمال زیاد ظرف چند ثانیه پاسخ خواهید داد ، زیرا باهوش هستید! بنابراین ، در سال اول - دو بار دو ... در سال دوم - آنچه اتفاق افتاد ، دو مورد دیگر بود ، در سال سوم ... توقف! متوجه شدید که عدد یک بار در خودش ضرب می شود. بنابراین دو تا قدرت پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که شما یک مسابقه دارید و این میلیون ها توسط کسی که سریعتر محاسبه می کند دریافت می شود ... آیا ارزش یادآوری درجات اعداد است ، نظر شما چیست؟

مثال زندگی شماره 5

شما یک میلیون دارید در ابتدای هر سال ، از هر میلیون دو درآمد دیگر کسب می کنید. عالی است ، نه؟ هر میلیون سه برابر می شود. در طی سالها چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در و سپس نتیجه در دیگری ... این در حال حاضر کسل کننده است ، زیرا شما قبلاً همه چیز را درک کرده اید: سه برابر به خودی خود ضرب می شود. بنابراین قدرت چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که قدرت سه تا چهارم یا.

اکنون می دانید که با بالا بردن یک عدد به یک قدرت ، زندگی خود را تا حد زیادی تسهیل می کنید. بیایید نگاهی به آنچه می توانید با مدارک انجام دهید و آنچه باید درباره آنها بدانید ، بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم ... تا گیج نشوید

بنابراین ، ابتدا بیایید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، چه چیزی است؟ بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست ، اما قابل فهم است و به راحتی به خاطر سپرده می شود ...

خوب ، در همان زمان که چنین پایه درجه؟ حتی ساده تر عددی است که در پایین ، در پایه قرار دارد.

این یک نقاشی برای اطمینان است.

خوب ، در نمای کلی، به منظور جمع بندی و بهتر به یاد آوردن ... یک درجه با پایه "" و یک نماینده "" به عنوان "در درجه" خوانده می شود و به شرح زیر نوشته می شود:

درجه تعداد با نمایشگر طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا بیانگر یک عدد طبیعی است. بله ، اما چیست عدد طبیعی؟ ابتدایی! اعداد طبیعی کسانی هستند که هنگام شمارش اشیا objects در شمارش به کار می روند: یک ، دو ، سه ... وقتی اشیا را می شماریم ، نمی گوییم: "منهای پنج" ، "منهای شش" ، "منهای هفت". ما همچنین نمی گوییم "یک سوم" یا "نقطه صفر پنج دهم". اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما چه تعداد هستند؟

اعدادی مانند منهای پنج ، منهای شش ، منهای هفت به آنها اشاره می شود تمام اعداد. به طور کلی ، اعداد کامل شامل تمام اعداد طبیعی ، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منهای گرفته شده) و یک عدد می شوند. فهم صفر آسان است - این زمانی است که چیزی وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معنا هستند؟ اما آنها اساساً برای نشان دادن بدهی اختراع شده اند: اگر روبل گوشی خود دارید ، به این معنی است که به اپراتور روبل بدهکارید.

هر کسری اعداد گویا است. فکر می کنید چطور به وجود آمده اند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش ، نیاکان ما کشف کردند که برای اندازه گیری طول ، وزن ، مساحت و غیره تعداد طبیعی ندارند. و آنها آمدند اعداد گویا... جالب است ، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ خلاصه ، بی پایان اعشاری... به عنوان مثال ، اگر محیط دایره را بر قطر آن تقسیم کنید ، یک عدد غیر منطقی بدست می آورید.

خلاصه:

بگذارید مفهوم درجه را تعریف کنیم ، نماد آن یک عدد طبیعی است (یعنی یک عدد صحیح و مثبت است).

1. هر عدد در قدرت اول برابر با خودش است:
2. ضرب کردن یک عدد به معنای ضرب آن در خودش است:
3. مکعب کردن یک عدد به معنای ضرب آن در سه برابر است:

تعریف. افزایش یک عدد به یک قدرت طبیعی به معنای ضرب عدد در خود بار است:
.

خواص قدرت

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست و ?

با تعریف:

در کل چند عامل وجود دارد؟

بسیار ساده است: ضربها را به ضربها اضافه کردیم و کل ضربها است.

اما بنا به تعریف ، درجه یک عدد با بیان است ، یعنی همانطور که برای اثبات لازم است.

مثال: عبارت را ساده کنید.

تصمیم:

مثال: بیان را ساده کنید.

تصمیم: توجه به این نکته مهم است که در قانون ما لزوما باید همان پایگاه ها را داشته باشد!
بنابراین ، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم ، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول درجه!

در هیچ موردی نمی توانید آن را بنویسید.

2. یعنی قدرت دوم یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی ، ما به تعریف درجه می پردازیم:

به نظر می رسد که این عبارت یک بار در خود ضرب می شود ، یعنی طبق تعریف ، این قدرت هفتم عدد است:

در اصل ، این را می توان "براکت کردن شاخص" نامید. اما در کل هرگز نباید این کار را انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب مختصر را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

درجه با پایه منفی

تا این مرحله ، ما فقط بحث کردیم که نماینده باید باشد.

اما چه بنیادی باید باشد؟

در درجه با شاخص طبیعی اساس می تواند باشد هر عددی... در واقع ، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم ، اعم از مثبت ، منفی یا حتی یکسان باشند.

بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای اعداد مثبت و منفی هستند؟

مثلاً عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ و؟ ؟ با اول ، همه چیز روشن است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم ، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما منفی کمی جالب تر است. پس از همه ، ما یک قانون ساده را از کلاس 6 به یاد می آوریم: "منهای منهای به علاوه می دهد". یعنی ، یا. اما اگر در ضرب کنیم ، نتیجه می دهد.

خودتان تصمیم بگیرید که عبارات زیر کدام علامت را نشان می دهد:

توانستی مدیریت کنی؟

پاسخ ها در اینجا آمده است: امیدوارم در چهار مثال اول همه چیز روشن باشد؟ ما فقط به پایه و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در مثال 5) ، همه چیز آنطور که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب ، مگر اینکه پایه صفر باشد. بنیاد برابر نیست ، درسته؟ بدیهی است که نه ، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی آسان نیست!

6 مثال برای آموزش

تجزیه راه حل 6 مثال

غیر از درجه هشت ، اینجا چه چیزی می بینیم؟ ما برنامه کلاس هفتم را به یاد می آوریم. خوب ، یادته؟ این فرمول ضرب مختصر است ، یعنی تفاوت مربع ها! ما گرفتیم:

بیایید مخرج را از نزدیک بررسی کنیم. به نظر می رسد بسیار شبیه به یکی از ضرایب در شمارنده باشد ، اما چه مشکلی وجود دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر قرار بود برعکس شوند ، می توان قانون را اعمال کرد.

اما چگونه می توان این کار را انجام داد؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: یک درجه از مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اصطلاحات با جادو معکوس می شوند. این "پدیده" برای هر عبارت تا حدی قابل استفاده است: ما می توانیم علائم را در براکت ها آزادانه تغییر دهیم.

اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم همزمان تغییر می کنند!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

کل ما اعداد طبیعی را در مقابل آنها (یعنی با علامت "" گرفته شده) و عدد را فراخوانی می کنیم.

عدد صحیح مثبت، اما هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد ، پس همه چیز دقیقاً مانند قسمت قبلی به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاهی بیندازیم. بیایید با یک شاخص برابر شروع کنیم.

هر عدد در درجه صفر برابر با یک است:

مثل همیشه ، بگذارید این سوال را از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

مدرکی را با پایه در نظر بگیرید. به عنوان مثال ، در نظر بگیرید و ضرب در:

بنابراین ، ما عدد را در ضرب کردیم ، و همان را گرفتیم -. چه عددی را باید ضرب کنید تا چیزی تغییر نکند؟ درست است ، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با تعداد دلخواه انجام دهیم:

بیایید قانون را تکرار کنیم:

هر عدد در درجه صفر برابر با یک است.

اما در بسیاری از قوانین استثنائاتی وجود دارد. و اینجا نیز وجود دارد - این یک عدد است (به عنوان پایه).

از یک طرف ، باید با هر درجه برابر باشد - مهم نیست که هر مقدار را در خود ضرب کنید ، باز هم صفر خواهید گرفت ، این واضح است. اما از طرف دیگر ، مانند هر عدد در درجه صفر ، باید برابر باشد. بنابراین کدام یک از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که در این ماجرا دخیل نشوند و از صفر به صفر رسیدن خودداری کردند. یعنی اکنون ما نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم ، بلکه می توانیم آن را به یک قدرت صفر برسانیم.

بیشتر برویم علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی ، اعداد منفی نیز به اعداد صحیح تعلق دارند. برای فهمیدن اینکه یک قدرت منفی چیست ، بیایید همان کاری را انجام دهیم که آخرین بار انجام شده است: چند عدد طبیعی را در همان قدرت منفی ضرب کنید:

از اینجا به راحتی بیان می کنید که به دنبال چه چیزی هستید:

اکنون قانون حاصل را به میزان دلخواه گسترش خواهیم داد:

بنابراین ، بیایید یک قانون را تنظیم کنیم:

یک عدد در توان منفی با همان عدد در توان مثبت معکوس است. اما در همان زمان پایه نمی تواند تهی باشد: (زیرا نمی توانید تقسیم کنید).

بیایید خلاصه کنیم:

I. بیان در مورد مشخص نشده است. اگر پس از آن.

دوم هر عدد تا درجه صفر برابر است با یک:.

III عددی که برابر با صفر نیست ، در قدرت منفی معکوس با همان عدد در یک قدرت مثبت است:.

وظایف برای یک راه حل مستقل:

خوب ، و ، به طور معمول ، نمونه هایی برای یک راه حل مستقل:

تجزیه و تحلیل وظایف برای راه حل مستقل:

می دانم ، می دانم ، اعداد وحشتناک هستند ، اما در امتحان باید برای همه چیز آماده باشی! اگر نتوانستید آنها را حل کنید این مثالها را حل کنید یا راه حل آنها را تجزیه و تحلیل کنید و خواهید آموخت که چگونه در آزمون به راحتی با آنها کنار بیایید!

بیایید دایره اعداد "مناسب" را به عنوان یک نماینده گسترش دهیم.

اکنون در نظر بگیرید اعداد گویا. به چه اعدادی منطقی گفته می شود؟

پاسخ: علاوه بر این ، تمام آنچه که می تواند به عنوان کسر نشان داده شود ، در کجا و عدد صحیح است.

برای درک اینکه چیست درجه کسری، کسر را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به قدرت برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان رسید؟

این فرمول تعریف ریشه th است.

بگذارید یادآوری کنم: ریشه قدرت هفتم یک عدد () عددی است که وقتی به یک قدرت برسد ، برابر است.

یعنی ریشه قدرت -th عملکرد معکوس نمایش است:.

معلوم شد که واضح است که این مورد خاص قابل گسترش است:.

اکنون عدد را اضافه می کنیم: این چیست؟ با استفاده از قانون درجه به درجه پاسخ به راحتی بدست می آید:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ پس از همه ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

این قانون را به خاطر بسپارید: هر عددی که به یک زوج برسد یک عدد مثبت است. یعنی شما نمی توانید ریشه های یک درجه زوج را از اعداد منفی استخراج کنید!

و این بدان معناست که چنین اعدادی را نمی توان با مخرج یکنواخت به یک قدرت کسری رساند ، یعنی این عبارت معنی ندارد.

بیان چیست؟

اما اینجاست که مشکل بوجود می آید.

این عدد را می توان به عنوان کسرهای دیگر ، قابل لغو ، به عنوان مثال ، یا نمایش داد.

و معلوم می شود که وجود دارد ، اما وجود ندارد ، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از همان تعداد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار ، سپس می توانید بنویسید. اما اگر نشانگر را به روش دیگری یادداشت کنیم ، و دوباره دردسر ایجاد کنیم: (یعنی نتیجه کاملا متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین تناقضاتی ، ما در نظر می گیریم فقط شعاع مثبت با نمایشگر کسری.

بنابراین اگر:

• - عدد طبیعی؛
• - یک عدد صحیح ؛

مثال ها:

نمایان های منطقی برای تبدیل عبارات ریشه دار بسیار مفید هستند ، به عنوان مثال:

5 مثال برای آموزش

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

و اکنون سخت ترین قسمت. اکنون ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد درجه غیر منطقی.

تمام قوانین و خصوصیات درجه در اینجا دقیقاً همانند درجه ای با بیان منطقی است ، به استثنای

در واقع ، طبق تعریف ، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسر نمایش داده شوند ، و در آن اعداد کامل هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد واقعی هستند به جز اعداد منطقی).

هنگام تحصیل درجات با یک شاخص طبیعی ، کامل و منطقی ، هر بار نوعی "تصویر" ، "قیاس" یا توصیف را با اصطلاحات آشنا تر می سازیم.

به عنوان مثال ، یک نمایشگر طبیعی عددی است که چندین برابر در خودش ضرب می شود.

...عدد صفر - این است ، همانطور که بود ، یک عدد یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است ، این بدان معناست که خود عدد حتی ظاهر نشده است - بنابراین ، نتیجه فقط نوعی "عدد خالی" است "، یعنی تعداد؛

...عدد منفی صحیح - مثل این است که یک خاص " روند معکوس"، یعنی تعداد به خودی خود ضرب نشده ، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال ، در علم ، درجه ای با نشانگر پیچیده اغلب استفاده می شود ، یعنی شاخص حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم ، شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

ما به کجا مطمئن هستیم که می روید! (اگر یاد گرفتید چگونه چنین مثالهایی را حل کنید :))

برای مثال:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قانون معمول قبلاً برای افزایش نیرو به یک قدرت شروع کنیم:

حالا به نشانگر نگاه کنید. آیا او چیزی را به شما یادآوری می کند؟ ما فرمول ضرب مختصر ، تفاوت مربع ها را به یاد می آوریم:

در این مورد،

معلوم شد که:

پاسخ: .

2. کسرها را در نمایان به همان شکل می آوریم: یا اعشاری ، یا هر دو عادی. بیایید برای مثال دریافت کنیم:

پاسخ: 16

3. هیچ چیز خاصی وجود ندارد ، ما از ویژگی های معمول درجه استفاده می کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین درجه

مدرک بیان فرم است: ، جایی که:

• — پایه مدرک
• - نماینده

درجه با نماد طبیعی (n \u003d 1 ، 2 ، 3 ، ...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n به معنای ضرب عدد در خود بار است:

درجه صحیح (0 ، 1 ± ، 2 ± ، ...)

اگر توان است کاملا مثبت عدد:

نعوظ به صفر:

این عبارت نامشخص است ، زیرا ، از یک طرف ، به هر درجه - این ، و از سوی دیگر - هر تعداد تا درجه th - این است.

اگر توان است کاملاً منفی است عدد:

(زیرا نمی توانید تقسیم کنید).

یک بار دیگر در مورد صفر: عبارت در صورت تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

درجه منطقی

• - عدد طبیعی؛
• - یک عدد صحیح ؛

مثال ها:

خواص قدرت

برای سهولت در حل مشکلات ، سعی کنیم بفهمیم: این خصوصیات از کجا آمده است؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

با تعریف:

بنابراین ، در سمت راست این عبارت ، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف ، این قدرت یک عدد با یک بیان است ، یعنی:

Q.E.D.

مثال : عبارت را ساده کنید.

تصمیم گیری : .

مثال : عبارت را ساده کنید.

تصمیم گیری : توجه به این نکته مهم است که در قانون ما لزوماباید پایه های یکسانی داشته باشد. بنابراین ، ما درجه ها را با پایه ترکیب می کنیم ، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

یک نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول درجه!

به هیچ وجه نباید آن را بنویسم.

درست مانند ویژگی قبلی ، ما به تعریف درجه می پردازیم:

بیایید این قطعه را اینگونه تنظیم مجدد کنیم:

به نظر می رسد که این عبارت یک بار در خود ضرب می شود ، یعنی طبق تعریف ، این قدرت هفتم عدد است:

در اصل ، این را می توان "براکت کردن شاخص" نامید. اما در کل هرگز نباید این کار را انجام دهید :!

بیایید فرمول های ضرب مختصر را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

مدرکی با پایه منفی.

تا این مرحله ، ما فقط در مورد چگونگی آن بحث کرده ایم نشانگر درجه. اما چه بنیادی باید باشد؟ در درجه با طبیعی نشانگر اساس می تواند باشد هر عددی .

در واقع ، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم ، اعم از مثبت ، منفی یا حتی یکسان باشند. بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای اعداد مثبت و منفی هستند؟

مثلاً عدد مثبت خواهد بود یا منفی؟ و؟ ؟

با اول ، همه چیز روشن است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم ، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما منفی کمی جالب تر است. پس از همه ، ما یک قانون ساده را از کلاس 6 به یاد می آوریم: "منهای منهای به علاوه می دهد". یعنی ، یا. اما اگر در () ضرب کنیم ، می گیریم -.

و همینطور تا بی نهایت: با هر ضرب بعدی ، علامت تغییر می کند. فرمول سازی چنین امکان پذیر است قوانین ساده:

1. زوج درجه ، - تعداد مثبت.
2. شماره منفی به فرد درجه ، - تعداد منفی.
3. عدد مثبت در هر درجه عدد مثبت است.
4. صفر تا هر قدرت برابر با صفر است.

خودتان تصمیم بگیرید که عبارات زیر کدام علامت را نشان می دهد:

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها وجود دارد:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول ، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما فقط به پایه و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) ، همه چیز آنطور که به نظر می رسد ترسناک نیست: مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب ، مگر اینکه پایه صفر باشد. بنیاد برابر نیست ، درسته؟ بدیهی است که نه ، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر خیلی ساده نیست. در اینجا شما باید دریابید که کدام یک کمتر است: یا؟ اگر این را بخاطر بسپارید ، اساس آن مشخص می شود کمتر از صفر... یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز به طور معمول است - ما تعریف درجه ها را یادداشت می کنیم و آنها را به یکدیگر تقسیم می کنیم ، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و می گیریم:

قبل از بررسی آخرین قانون ، بیایید چند مثال را حل کنیم.

مقادیر عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

غیر از درجه هشت ، اینجا چه چیزی می بینیم؟ ما برنامه کلاس هفتم را به یاد می آوریم. خوب ، یادته؟ این فرمول ضرب مختصر است ، یعنی تفاوت مربع ها!

ما گرفتیم:

بیایید مخرج را از نزدیک بررسی کنیم. به نظر می رسد بسیار شبیه به یکی از ضرایب در شمارنده باشد ، اما چه مشکلی وجود دارد؟ ترتیب اصطلاحات اشتباه است. اگر آنها برعکس شوند ، می توان از قانون 3 استفاده کرد اما چگونه این کار انجام می شود؟ به نظر می رسد بسیار آسان است: یک درجه از مخرج در اینجا به ما کمک می کند.

اگر آن را در ضرب کنید ، چیزی تغییر نمی کند ، درست است؟ اما اکنون به شرح زیر است:

اصطلاحات با جادو معکوس می شوند. این "پدیده" برای هر عبارت تا حدی قابل استفاده است: ما می توانیم علائم را در براکت ها آزادانه تغییر دهیم. اما مهم است که به یاد داشته باشید: همه علائم همزمان تغییر می کنند!با تغییر تنها یک نقطه ضعف که ما نمی خواهیم جایگزین آن نمی شود!

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

بنابراین اکنون آخرین قانون:

چگونه می خواهیم آن را ثابت کنیم؟ البته ، طبق معمول: بیایید مفهوم درجه را گسترش دهیم و ساده کنیم:

حالا بیایید براکت ها را باز کنیم. چند نامه خواهد بود؟ بار با ضرب - چه شکلی است؟ این چیزی نیست جز تعریف یک عملیات ضرب: فقط ضرب وجود داشت. یعنی ، طبق تعریف ، درجه یک عدد با یک بیان است:

مثال:

درجه غیر منطقی

علاوه بر اطلاعات مربوط به درجه ها برای سطح متوسط \u200b\u200b، در اینجا درجه با بیان غیر منطقی است. همه قوانین و خصوصیات درجه در اینجا دقیقاً همانند یک درجه با بیان منطقی است ، به استثنای - به هر حال ، با توجه به تعریف ، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به عنوان کسر نشان داده شوند ، در کجا و اعداد کامل هستند (که است ، اعداد غیر منطقی همه اعداد واقعی هستند به جز منطقی).

هنگام تحصیل درجات با یک شاخص طبیعی ، کامل و منطقی ، هر بار نوعی "تصویر" ، "قیاس" یا توصیف را با اصطلاحات آشنا تر می سازیم. به عنوان مثال ، یک نمایشگر طبیعی عددی است که چندین برابر در خودش ضرب می شود. یک عدد تا درجه صفر است ، به عنوان مثال ، یک عدد یک بار در خودش ضرب می شود ، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده است ، به این معنی که عدد خود حتی حتی ظاهر نشده است - بنابراین ، نتیجه فقط یک است نوع "شماره خالی" ، یعنی تعداد ؛ درجه ای با بیان منفی عدد صحیح مانند این است که "روند معکوس" خاصی اتفاق افتاده است ، یعنی تعداد به خودی خود ضرب نمی شود بلکه تقسیم می شود.

تصور درجه با نمای غیر منطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). بلکه این یک موضوع کاملاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کرده اند.

به هر حال ، در علم ، درجه ای با نشانگر پیچیده اغلب استفاده می شود ، یعنی شاخص حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم ، شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

بنابراین اگر ببینیم چه می کنیم شاخص غیر منطقی درجه؟ ما با تمام توان در تلاش هستیم تا از شر آن خلاص شویم! :)

برای مثال:

خودتان تصمیم بگیرید:

پاسخ ها:

1. تفاوت فرمول مربعات را به خاطر بسپارید. پاسخ:.
2. کسرها را به همان شکل می آوریم: یا هر دو رقم اعشار ، یا هر دو علامت عادی. به عنوان مثال دریافت می کنیم:
3. هیچ چیز خاصی نیست ، ما خواص معمول درجه ها را اعمال می کنیم:

خلاصه فرم و بخش اصلی

درجه عبارتی از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

مدرک صحیح

درجه ، که نمایانگر آن یک عدد طبیعی است (یعنی کامل و مثبت).

درجه منطقی

درجه ، نماد آن اعداد منفی و کسری است.

درجه غیر منطقی

درجه ، که نمایانگر آن کسر یا ریشه اعشاری بی نهایت است.

خواص قدرت

ویژگی های درجه.

• شماره منفی به زوج درجه ، - تعداد مثبت.
• شماره منفی به فرد درجه ، - تعداد منفی.
• عدد مثبت در هر درجه عدد مثبت است.
• صفر برابر است با هر درجه.
• هر عدد تا درجه صفر برابر است با.

حالا کلمه شما ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ اگر دوست داشتید یا خیر در نظرات بنویسید.

از تجربه خود در زمینه خواص مدرک بگویید.

شاید سوالی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید

و با امتحانات موفق باشید!