سلام گربه ها! دفعه گذشته ، ما به طور دقیق ریشه ها را بررسی کردیم (اگر به خاطر نمی آورید ، خواندن را توصیه می کنم). نکته اصلی در این درس این است که فقط یک تعریف جهانی از ریشه وجود دارد که شما باید بدانید. بقیه مزخرفات و اتلاف وقت است.

امروز جلوتر می رویم. ما یاد خواهیم گرفت که ریشه ها را ضرب کنیم ، برخی از مشکلات مرتبط با ضرب را مطالعه کنیم (اگر این مشکلات حل نشوند ، در آزمون می توانند کشنده باشند) و به درستی تمرین می کنیم. بنابراین پاپ کورن ذخیره کنید ، خودتان را راحت کنید و ما شروع خواهیم کرد. :)

هنوز طعم آن را نچشیده اید ، درسته؟

این درس کاملاً طولانی بود ، بنابراین آن را به دو قسمت تقسیم کردم:

1. ابتدا قوانین ضرب را مرور خواهیم کرد. سرپوش مانند نکات: این زمانی است که دو ریشه وجود داشته باشد ، در بین آنها علامت "ضرب" وجود دارد - و ما می خواهیم در مورد آن کاری انجام دهیم.
2. سپس وضعیت مخالف را تحلیل خواهیم کرد: یک ریشه بزرگ وجود دارد و ما تحت تأثیر قرار گرفتیم و آن را به عنوان محصولی از دو ریشه ساده تر ارائه کردیم. با چه ترس و وحشتی لازم است - یک سوال جداگانه. ما فقط الگوریتم را تحلیل خواهیم کرد.

برای کسانی که بی تاب هستند مستقیم به قسمت دوم بروند - خوش آمدید. بیایید به ترتیب با بقیه شروع کنیم.

قانون اساسی ضرب

بیایید با ساده ترین شروع کنیم - ریشه های مربع کلاسیک. مواردی که $ \\ sqrt (a) $ و $ \\ sqrt (b) $ تعیین شده اند. برای آنها ، همه چیز به طور کلی واضح است:

قانون ضرب. برای ضرب یک ریشه مربع در دیگری ، فقط باید عبارات رادیکال آنها را ضرب کنید و نتیجه را زیر رادیکال مشترک بنویسید:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

هیچ محدودیتی اضافی برای اعداد سمت راست یا چپ اعمال نمی شود: اگر عوامل اصلی وجود داشته باشد ، محصول نیز وجود دارد.

مثال ها. بیایید به چهار مثال با اعداد در یک زمان نگاه کنیم:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10؛ \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8؛ \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18؛ \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27) )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

همانطور که می بینید ، نکته اصلی این قانون ساده سازی عبارات غیر منطقی است. و اگر در مثال اول ما خود ریشه های 25 و 4 را بدون هیچ قانون جدیدی استخراج می کردیم ، قلع بیشتر شروع می شود: $ \\ sqrt (32) $ و $ \\ sqrt (2) $ خودشان حساب نمی شوند ، اما به نظر می رسد محصول آنها یک مربع دقیق است ، بنابراین ریشه آن برابر با عدد منطقی است.

همچنین می خواهم آخرین سطر را یادداشت کنم. در آنجا هر دو عبارت رادیکال کسر هستند. با تشکر از محصول ، بسیاری از عوامل لغو می شوند ، و کل بیان به تعداد کافی تبدیل می شود.

البته همیشه همه چیز آنقدر زیبا نخواهد بود. گاهی اوقات در زیر ریشه ها یک آشفتگی کامل ایجاد می شود - مشخص نیست که با آن چه باید کرد و پس از ضرب چگونه می توان آن را تغییر داد. کمی بعد ، وقتی شروع به مطالعه معادلات و نابرابری های غیر منطقی می کنید ، به طور کلی انواع متغیرها و توابع وجود دارد. و اغلب ، کامپایلرهای وظیفه فقط انتظار دارند که برخی از اصطلاحات یا فاکتورهای لغو را پیدا کنید ، پس از آن کار کار بسیار ساده می شود.

بعلاوه ، دقیقاً ضرب دو ریشه ضروری نیست. می توانید سه تا را یک باره ضرب کنید ، چهار تا - اما حداقل ده تا! این قانون تغییری نخواهد کرد. نگاهی بیاندازید:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6؛ \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0.001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0.001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

و دوباره تذکر کوچک با مثال دوم همانطور که می بینید ، در عامل سوم در زیر ریشه کسری اعشاری وجود دارد - در فرآیند محاسبات ما آن را با یک مورد معمول جایگزین می کنیم ، پس از آن همه چیز به راحتی لغو می شود. بنابراین: من اکیداً توصیه می کنم در هر عبارت غیر منطقی (مثلاً حاوی حداقل یک علامت رادیکال) از کسرهای اعشاری خلاص شوید. این در آینده باعث صرفه جویی در وقت و ناامیدی شما می شود.

اما این یک انحراف غنایی بود. حالا بیشتر در نظر بگیرید حالت کلی - هنگامی که نماینده ریشه شامل می شود عدد دلخواه $ n $ ، نه فقط دو "کلاسیک".

یک مورد نشانگر دلخواه

بنابراین ، ما ریشه های مربع را کشف کردیم. و با مکعب چه باید کرد؟ یا به طور کلی با ریشه های درجه دلخواه $ n $؟ بله ، همه چیز مثل هم است. قانون به همان صورت باقی می ماند:

برای ضرب دو ریشه درجه n $ $ ، کافی است که عبارات رادیکال آنها را ضرب کنید ، و سپس نتیجه را در زیر یک رادیکال بنویسید.

به طور کلی ، هیچ چیز پیچیده ای نیست. با این تفاوت که مقدار محاسبه می تواند بیشتر باشد. بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال ها. محاسبه محصولات:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d 5 \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0.16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3)))) (((25) ^ (3) )))) \u003d \\ sqrt (((\\ چپ (\\ frac (4) (25) \\ راست)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

و دوباره ، توجه به عبارت دوم. ضرب می کنیم ریشه های مکعبی، خلاص شدن از شر کسر اعشاری و در نتیجه ما در مخرج حاصل از اعداد 625 و 25 می شویم. بسیار زیبا است عدد بزرگ - شخصاً ، من بلافاصله محاسبه نمی کنم که برابر آن باشد.

بنابراین ، ما به سادگی مکعب دقیق را در عدد و مخرج انتخاب کردیم ، و سپس یکی از خصوصیات اصلی (یا اگر ترجیح می دهید تعریف) ریشه $ n $ -th را استفاده کنیم:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1)))) \u003d a؛ \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ سمت چپ | a \\ right |. \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

چنین "ماشینکاری" می تواند تا حد زیادی در وقت شما برای امتحان صرفه جویی کند کار آزمایشیبنابراین به یاد داشته باشید:

عجله نکنید که اعداد را در یک عبارت رادیکال ضرب کنید. بررسی اول: اگر درجه دقیق برخی از عبارات در آنجا "رمز شده" باشد ، چه می کنید؟

با تمام صراحت این اظهار نظر ، باید اعتراف کنم که اکثر دانشجویان تحصیل نکرده مدارج دقیق را از فاصله نزدیک نمی بینند. در عوض ، آنها همه چیز را به درستی ضرب می کنند ، و سپس تعجب می کنند: چرا آنها چنین اعداد وحشیانه ای را بدست آورده اند؟ :)

با این حال ، همه اینها در مقایسه با آنچه اکنون مطالعه خواهیم کرد ، کودکانه است.

ضرب ریشه ها با شاخص های مختلف

خوب ، اکنون ما می دانیم که چگونه ریشه ها را با همان شاخص ها ضرب کنیم. اگر شاخص ها متفاوت باشد چه؟ بیایید بگوییم چگونه می توان $ \\ sqrt (2) $ معمول را در برخی از مزخرفات مانند $ \\ sqrt (23) $ ضرب کرد؟ آیا اصلاً می توانید این کار را انجام دهید؟

بله، البته که شما می توانید. همه چیز طبق این فرمول انجام می شود:

قانون ضرب ریشه. برای ضرب $ \\ sqrt [n] (a) $ در $ \\ sqrt [p] (b) $ ، فقط باید تغییر شکل زیر را انجام دهید:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

با این حال ، این فرمول فقط در صورتی کار می کند عبارات رادیکال غیر منفی هستند... این نکته بسیار مهمی است که کمی بعد به آن باز خواهیم گشت.

در حال حاضر ، بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81) \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648) ؛ \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568) ؛ \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

همانطور که می بینید ، هیچ چیز پیچیده ای نیست. حال بیایید بفهمیم که الزام عدم منفی از کجا آمده است ، و اگر آن را نقض کنیم چه اتفاقی می افتد. :)

چرا باید عبارات رادیکال غیر منفی باشند؟

البته می توان مثل شد معلمان مدرسه و هوشمندانه به نقل از آموزش:

نیاز به منفی نگری با تعاریف مختلفی از ریشه های درجه زوج و فرد همراه است (به ترتیب حوزه های تعریف آنها نیز متفاوت است).

خوب ، واضح تر شده است؟ شخصاً ، وقتی این مزخرفات را در کلاس 8 می خواندم ، به چیزی شبیه به این پی بردم: "شرط عدم منفی بودن با * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~٪ همراه است" - به طور خلاصه ، من آن زمان گریه نمی کردم :)

بنابراین اکنون همه چیز را به روشی عادی توضیح خواهم داد.

ابتدا بیایید بفهمیم فرمول ضرب در بالا از کجا آمده است. برای انجام این کار ، اجازه دهید یک ویژگی مهم ریشه را به شما یادآوری کنم:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

به عبارت دیگر ، ما می توانیم با خیال راحت بیان رادیکال را به هر یک از موارد بالا ببریم درجه طبیعی $ k $ - در این حالت ، نماینده ریشه باید در همان قدرت ضرب شود. بنابراین ، ما می توانیم به راحتی هر ریشه را به یک شاخص مشترک کاهش دهیم ، و سپس ضرب کنیم. از این رو فرمول ضرب گرفته شده است:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

اما یک مشکل وجود دارد که کاربرد همه این فرمول ها را به شدت محدود می کند. این عدد را در نظر بگیرید:

با توجه به فرمول ارائه شده ، ما می توانیم هر درجه را اضافه کنیم. بیایید سعی کنیم $ k \u003d 2 $ اضافه کنیم:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ چپ (-5 \\ راست)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \\]

منهای را دقیقاً به این دلیل حذف کردیم که مربع منفی ها را می سوزاند (مانند هر قدرت یکنواخت دیگر). و اکنون ما تحول معکوس را انجام خواهیم داد: این دو را در نما و درجه "کاهش" خواهیم داد. از این گذشته ، هر برابری را می توان از چپ به راست و راست به چپ خواند:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k)))] \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (آ)؛ \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ پایان (تراز کردن) \\]

اما بعداً نوعی تلخه به نظر می رسد:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

این نمی تواند باشد ، زیرا $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ و $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. این بدان معنی است که برای حتی درجه و اعداد منفی ، فرمول ما دیگر کار نمی کند. سپس ما دو گزینه داریم:

1. خود را به دیوار بزنید تا بگویید ریاضیات یک علم احمقانه است ، جایی که "برخی از قوانین وجود دارد ، اما این نادرست است".
2. محدودیت های اضافی را ایجاد کنید که طبق آن فرمول 100٪ کار می کند.

در گزینه اول ، ما مجبور خواهیم بود به طور مداوم موارد "غیر کار" را بگیریم - دشوار ، طولانی و به طور کلی فو است. بنابراین ، ریاضیدانان گزینه دوم را ترجیح می دهند. :)

اما نگران نباشید! در عمل ، این محدودیت به هیچ وجه تأثیری در محاسبات ندارد ، زیرا همه مشکلات توصیف شده فقط مربوط به یک درجه عجیب و غریب است و از آنها می توانید منفی بگیرید.

بنابراین ، ما یک قانون دیگر تنظیم خواهیم کرد که به طور کلی در مورد تمام اقدامات با ریشه اعمال می شود:

قبل از ضرب ریشه ها ، از غیر منفی بودن عبارات رادیکال اطمینان حاصل کنید.

مثال. در عدد $ \\ sqrt (-5) $ ، می توانید منهای را از زیر علامت ریشه خارج کنید - پس همه چیز خوب خواهد شد:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt ((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ end (تراز کردن) \\]

آیا تفاوت را احساس می کنید؟ اگر منهای زیر ریشه را ترک کنید ، پس از بیان مربع ، آن ناپدید می شود و تلخه شروع می شود. و اگر ابتدا منهای را بیرون بیاورید ، می توانید مربع را حتی قبل از آبی شدن برپا کنید / حذف کنید - تعداد منفی خواهد ماند. :)

بنابراین ، درست ترین و بیشترین راه قابل اعتماد ضرب ریشه ها به شرح زیر است:

1. همه منهای را از زیر رادیکال ها بردارید. ریشه های تکثر عجیب و غریب فقط معایبی دارند - می توان آنها را در مقابل ریشه قرار داد و در صورت لزوم آنها را کوتاه کرد (به عنوان مثال ، اگر دو مورد از این معایب وجود داشته باشد).
2. ضرب را طبق قوانینی که در درس امروز در بالا گفته شد ، انجام دهید. اگر شاخص های ریشه یکسان باشد ، ما به سادگی عبارات رادیکال را ضرب می کنیم. و اگر متفاوت باشد ، از فرمول بد استفاده می کنیم \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n) )) \\].
3. 3. ما از نتیجه و نمرات خوب لذت می بریم. :)

خوب؟ بیایید تمرین کنیم؟

مثال 1. عبارت را ساده کنید:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ left (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3) )) \\ راست) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ \\ end (تراز کردن) \\]

این ساده ترین گزینه است: شاخص های ریشه ها یکسان و عجیب هستند ، مشکل فقط در منهای عامل دوم است. ما این منفی منفی را بیرون می کشیم ، پس از آن همه چیز به راحتی در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عبارت را ساده کنید:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((\\ چپ (((2) ^ (5)) \\ راست)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ چپ (((2) ^ (2)) \\ راست)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ end ( تراز کردن) \\]

در اینجا ، بسیاری از این واقعیت اشتباه گرفته می شوند که خروجی یک عدد غیر منطقی است. بله ، این اتفاق می افتد: ما نمی توانیم به طور کامل از ریشه خلاص شویم ، اما حداقل عبارت را به طور قابل توجهی ساده کردیم.

مثال 3. عبارت را ساده کنید:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left (((( الف) ^ (4)) \\ راست)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ end (align) \\]

من می خواهم توجه شما را به این کار جلب کنم. همزمان دو نکته وجود دارد:

1. ریشه تعداد یا درجه خاصی نیست ، بلکه متغیر $ a $ است. در نگاه اول ، این کمی غیر معمول است ، اما در واقع ، هنگام حل مسائل ریاضی ، شما اغلب باید با متغیرها سر و کار داشته باشید.
2. در پایان ، ما توانستیم نماینده ریشه و درجه بیان رادیکال را "قطع" کنیم. این اغلب اتفاق می افتد. و این بدان معنی است که اگر از فرمول اصلی استفاده نکردید ، امکان محاسبه به طور قابل توجهی وجود داشت.

به عنوان مثال ، می توانید این کار را انجام دهید:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ left (((a) ^) 4)) \\ راست)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)))) \\ در واقع ، همه تحولات فقط با رادیکال دوم انجام شده است. و اگر تمام مراحل میانی را با جزئیات شرح ندهید ، در پایان مقدار محاسبات به طور قابل توجهی کاهش می یابد.

در حقیقت ، ما قبلاً هنگام حل مثال $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $ با یک کار مشابه بالا مواجه شده بودیم. اکنون می توان آن را خیلی ساده تر توصیف کرد:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ چپ (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ راست)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((\\ چپ (75 \\ راست)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ end (تراز کردن) \\]

{!LANG-c29791f18dd16ade86ce173c6f1e942b!}

خوب ، ما ضرب ریشه ها را کشف کردیم. اکنون عمل معکوس را در نظر بگیرید: وقتی محصول زیر ریشه است چه باید کرد؟

گرفتن ریشه ربع یک عدد تنها عملیاتی نیست که می توان با این پدیده ریاضی انجام داد. درست مانند اعداد معمولی ، ریشه های مربع جمع و کم می شوند.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قوانین جمع و تفریق برای ریشه های مربع

اعمالی مانند جمع و تفریق ریشه مربع فقط در صورت یکسان بودن عبارت ممکن است.

مثال 1

می توانید عبارات را اضافه یا تفریق کنید 2 3 و 6 3اما نه 5 6 و 9 4 اگر می توان عبارت را ساده کرد و با همان عدد رادیکال آن را به ریشه رساند ، سپس آن را ساده کرده و سپس اضافه یا کم کنید.

فعالیتهای ریشه دار: مبانی

6 50 - 2 8 + 5 12

الگوریتم عمل:

1. بیان رادیکال را ساده کنید... برای انجام این کار ، شما باید بیان رادیکال را به 2 عامل تجزیه کنید ، یکی از آنها یک عدد مربع است (عددی که یک ریشه مربع کامل از آن استخراج می شود ، به عنوان مثال 25 یا 9).
2. سپس باید ریشه عدد مربع را استخراج کنید و مقدار حاصل را قبل از علامت ریشه بنویسید. لطفا توجه داشته باشید که عامل دوم در زیر علامت ریشه وارد می شود.
3. پس از فرآیند ساده سازی ، لازم است ریشه ها را با همان عبارات رادیکال تأکید کنید - فقط آنها را می توان اضافه و کم کرد.
4. برای ریشه هایی با همان عبارات رادیکال ، لازم است عواملی را که قبل از علامت ریشه هستند اضافه یا کم کنید. بیان رادیکال بدون تغییر باقی مانده است. نمی توانید اعداد رادیکال را جمع یا کم کنید!

نکته 1

اگر مثالی با تعداد زیادی عبارات رادیکال یکسان دارید ، پس برای تسهیل روند محاسبه ، این عبارات را با خطوط منفرد ، دو و سه خطی زیر خط بزنید.

مثال 3

بیایید سعی کنیم این مثال را حل کنیم:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2 ابتدا باید 50 را به 2 عامل 25 و 2 تجزیه کنید ، سپس ریشه 25 را که 5 است استخراج کنید و 5 را از زیر ریشه خارج کنید. بعد از آن ، باید 5 را در 6 ضرب کنید (عامل ریشه) و 30 2 بدست آورید.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 2 2) 2 \u003d 4 2. ابتدا باید 8 را به 2 عامل 4 و 2 تبدیل کنید. سپس ریشه را از 4 که 2 است ، استخراج کنید و 2 را از زیر ریشه خارج کنید. بعد از آن ، باید 2 را در 2 ضرب کنید (عامل ریشه) و 4 2 بدست آورید.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. ابتدا باید فاکتور 12 را به 2 عامل 4 و 3 تبدیل کنید. سپس ریشه را از 4 که 2 است استخراج کنید و آن را از زیر ریشه خارج کنید. بعد از آن ، باید 2 را در 5 ضرب کنید (عامل موجود در ریشه) و 10 3 بدست آورید.

نتیجه ساده سازی: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

در نتیجه ، ما دیدیم که در بسیاری از عبارات رادیکال یکسان وجود دارد این مثال... حال بیایید با مثالهای دیگر تمرین کنیم.

مثال 4

• ما (45) را ساده می کنیم. عامل 45: (45) \u003d (9 × 5) ؛
• ما 3 را از زیر ریشه خارج می کنیم (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5 ؛
• فاکتورها را در ریشه ها اضافه کنید: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

مثال 5

6 40 - 3 10 + 5:

• 6 6 را ساده کنید عامل 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ؛
• ما 2 را از زیر ریشه خارج می کنیم (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10 ؛
• فاکتورهای جلوی ریشه را ضرب می کنیم: 12 10؛
• ما این عبارت را به صورت ساده می نویسیم: 12 10 - 3 10 + 5؛
• از آنجا که دو عضو اول اعداد رادیکال یکسانی دارند ، می توانیم آنها را کم کنیم: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

مثال 6

همانطور که می بینیم ، ساده سازی اعداد رادیکال امکان پذیر نیست ، بنابراین ما به دنبال اعضای با همان اعداد رادیکال مشابه هستیم ، عملیات ریاضی را انجام می دهیم (جمع ، تفریق و غیره) و نتیجه را می نویسیم:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

مشاوره:

• قبل از افزودن یا کم کردن ، حتما عبارات رادیکال را ساده کنید (در صورت امکان).
• افزودن و کم کردن ریشه ها با عبارات مختلف رادیکال کاملاً ممنوع است.
• عدد صحیح یا ریشه نباید اضافه یا کم شود: 3 + (2 x) 1/2.
• هنگام انجام اعمال با کسر ، باید عددی پیدا کنید که قابل تقسیم بر هر مخرج باشد ، سپس کسرها را به مخرج مشترک، سپس اعداد را اضافه کرده و مخرج را بدون تغییر بگذارید.

اگر در متن خطایی مشاهده کردید ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل ، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توصیف می کند. لطفا سیاست حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و اگر سوالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی گفته می شود که می توانند برای شناسایی شخص خاصی یا تماس با وی استفاده شوند.

هر زمان که با ما تماس گرفتید ممکن است از شما خواسته شود که اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از چنین اطلاعاتی آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی در سایت درخواستی می گذارید ، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام ، شماره تلفن ، آدرس شما را جمع آوری کنیم پست الکترونیک و غیره.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی جمع آوری شده به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و گزارش دهیم پیشنهادات بی نظیر، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده.
• گاهی اوقات ، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان ها و پیام های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین می توانیم از اطلاعات شخصی برای اهداف داخلی مانند حسابرسی ، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف برای بهبود خدمات ارائه شده و توصیه های مربوط به خدمات خود برای شما استفاده کنیم.
• اگر در یک قرعه کشی جایزه ، مسابقه یا رویداد تبلیغاتی مشابه شرکت کنید ، ممکن است از اطلاعاتی که برای مدیریت چنین برنامه هایی ارائه می دهید استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را برای اشخاص ثالث افشا نمی کنیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون ، حکم دادگاه ، در آزمایش، و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های سازمان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای امنیت ، اجرای قانون یا سایر دلایل مهم اجتماعی ضروری یا مناسب است ، ممکن است ما اطلاعات مربوط به شما را فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد ، ادغام یا فروش ، ممکن است اطلاعات شخصی جمع آوری شده را به شخص ثالث مناسب - جانشین قانونی منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری ، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن ، سرقت و سوuse استفاده و همچنین در برابر دسترسی ، افشای ، تغییر و تخریب غیر مجاز انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

به منظور اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما ، ما قوانین محرمانه بودن و امنیت کارمندان خود را آورده و اجرای اقدامات محرمانه بودن را کاملاً رصد می کنیم.

ساده ترین راه برای کسر ریشه از یک عدد استفاده از ماشین حساب است. اما ، اگر ماشین حساب ندارید ، باید الگوریتم محاسبه ریشه مربع را بدانید. واقعیت این است که زیر ریشه یک عدد مربع قرار دارد. به عنوان مثال ، 4 مربع 16 است. یعنی ریشه مربع 16 برابر با چهار خواهد بود. همچنین ، 5 مربع 25 است. بنابراین ، ریشه 25 خواهد بود 5. و غیره.

اگر عدد کم باشد ، می توان به راحتی از طریق دهان کم کرد ، به عنوان مثال ریشه 25 5 خواهد بود و ریشه 144 12 است. شما همچنین می توانید بر روی ماشین حساب محاسبه کنید ، یک آیکون ریشه خاص وجود دارد ، شما باید در یک شماره رانندگی کنید و روی نماد کلیک کنید.

جدول ریشه مربع نیز به شما کمک خواهد کرد:

روش های بیشتری وجود دارد که پیچیده تر ، اما بسیار موثر است:

ریشه هر عددی را می توان با استفاده از ماشین حساب کم کرد ، خصوصاً اینکه امروزه در هر گوشی وجود دارد.

می توانید تقریباً تخمین بزنید که چگونه با ضرب یک عدد در خود این عدد بدست می آید.



محاسبه ریشه مربع یک عدد کار دشواری نیست ، به خصوص اگر جدول خاصی داشته باشید. یک جدول شناخته شده از درس های جبر. به این عملیات ، گرفتن ریشه مربع عدد "aquot" ، به عبارت دیگر ، حل معادله گفته می شود. تقریباً همه ماشین حساب ها در تلفن های هوشمند عملکردی برای تعیین ریشه مربع دارند.



نتیجه استخراج ریشه مربع یک عدد شناخته شده ، عدد دیگری خواهد بود که وقتی به توان دوم (مربع) برسد ، همان عددی را می دهد که می دانیم. یکی از توضیحات محاسبات را در نظر بگیرید که به نظر کوتاه و روشن است:







در اینجا یک فیلم مرتبط وجود دارد:

روش های مختلفی برای محاسبه ریشه مربع یک عدد وجود دارد.

محبوب ترین راه استفاده از جدول ریشه مخصوص است (به زیر مراجعه کنید).

همچنین بر روی هر ماشین حساب تابعی وجود دارد که می توانید با آن ریشه پیدا کنید.

یا از فرمول خاصی استفاده کنید.



روشهای مختلفی برای استخراج ریشه مربع یک عدد وجود دارد. با استفاده از ماشین حساب یکی از آنها سریعترین است.

اما اگر ماشین حساب وجود ندارد ، می توانید آن را به صورت دستی انجام دهید.

نتیجه دقیق خواهد بود.

اصل تقریباً همان تقسیم طولانی است:



















بیایید سعی کنیم بدون ماشین حساب ، ریشه مربع یک عدد را پیدا کنیم ، به عنوان مثال ، 190969.







بنابراین ، همه چیز بسیار ساده است. در محاسبات ، اصلی ترین چیز این است که به موارد خاص پایبند باشید قوانین ساده و منطقی فکر کنید

این نیاز به یک جدول مربع دارد



به عنوان مثال ، ریشه 100 \u003d 10 ، از 20 \u003d 400 از 43 \u003d 1849

اکنون تقریباً همه ماشین حساب ها ، از جمله در تلفن های هوشمند ، می توانند ریشه مربع یک عدد را محاسبه کنند. اما اگر ماشین حساب ندارید ، می توانید ریشه شماره را به چند روش ساده پیدا کنید:

تجزیه به عوامل اصلی



فاکتور عددی بنیادی است که است اعداد مربع... بسته به شماره ریشه ، یک پاسخ تقریبی یا دقیق خواهید گرفت. اعداد مربعی اعدادی هستند که می توان کل ریشه مربع را از آنها استخراج کرد. تعداد فاکتورهایی که وقتی ضرب می شوند ، عدد اصلی را می دهند. به عنوان مثال ، فاکتورهای 8 2 و 4 هستند ، زیرا 2 * 4 \u003d 8 ، 25 ، 36 ، 49 اعداد مربع هستند ، از آنجا که 25 \u003d 5 ، 36 \u003d 6 ، 49 \u003d 7. عوامل مربع عواملی هستند که عدد مربع هستند ... ابتدا سعی کنید شماره ریشه را مربع کنید.

به عنوان مثال ، ریشه مربع 400 را محاسبه کنید (به صورت دستی). ابتدا سعی کنید 400 را مربع کنید. 400 ضرب 100 است ، یعنی تقسیم بر 25 عدد مربع است. با تقسیم 400 بر 25 عدد 16 بدست می آید که این نیز عدد مربعی است. بنابراین ، 400 را می توان به فاکتورهای مربع 25 و 16 ، یعنی 25 \u003d 16 \u003d 400 تبدیل کرد.

آن را به صورت زیر بنویسید: 400 \u003d (16 25 25).



ریشه مربع حاصل از برخی اصطلاحات برابر است با حاصلضرب ریشه های مربع هر اصطلاح ، یعنی (a x b) \u003d a x b. با استفاده از این قانون ، ریشه مربع هر عامل مربع را بگیرید و نتایج را ضرب کنید تا پاسخ خود را پیدا کنید.

در مثال ما ، ریشه 25 و 16 را استخراج کنید.



اگر شماره ریشه به دو قسمت تقسیم نشود عامل مربع (که بیشتر اوقات اتفاق می افتد) ، شما قادر به یافتن پاسخ دقیق به عنوان یک عدد صحیح نخواهید بود. اما می توانید با قرار دادن عدد ریشه در یک عامل مربع و یک عامل معمولی مسئله را ساده کنید (عددی که نمی توان کل ریشه مربع را از آن استخراج کرد). سپس ریشه مربع فاکتور مربع را می گیرید و فاکتور معمولی را ریشه می دهید.

به عنوان مثال ، ریشه مربع 147 را محاسبه کنید. عدد 147 را نمی توان در دو عامل مربع تفکیک کرد ، اما می توان آن را به دو فاکتور زیر تبدیل کرد: 49 و 3. مسئله را به صورت زیر حل کنید:



اکنون می توانید مقدار ریشه را با مقایسه آن با مقادیر ریشه های مربع نزدیک ترین (در دو طرف خط عدد) به شماره ریشه ، تخمین بزنید (مقدار تقریبی پیدا کنید). مقدار ریشه را به عنوان کسری اعشاری بدست خواهید آورد که باید در عدد پشت علامت ریشه ضرب شود.

بیایید به مثال خود برگردیم. شماره ریشه 3 است. نزدیکترین شماره مربع به آن اعداد 1 (1 \u003d 1) و 4 (4 \u003d 2) خواهد بود. بنابراین 3 بین 1 تا 2 است. از آنجا که احتمالاً 3 به 2 نزدیکتر از 1 است ، تخمین ما 3 \u003d 1.7 است. این مقدار را در عدد علامت ریشه ضرب می کنیم: 7 1.7 \u003d 11.9. اگر محاسبات را روی یک ماشین حساب انجام دهید ، 12.13 بدست می آورید که تقریباً به جواب ما نزدیک است.

این روش با تعداد زیاد نیز کار می کند. به عنوان مثال ، 35 را در نظر بگیرید. شماره ریشه 35. نزدیکترین اعداد مربع به آن 25 (25 \u003d 5) و 36 (36 \u003d 6) است. بنابراین 35 بین 5 تا 6 است. از آنجا که 35 خیلی بیشتر از 6 است تا 5 (زیرا 35 فقط 1 کمتر از 36 است) ، بنابراین می توان گفت که 35 کمی کمتر از 6 است. بررسی ماشین حساب جواب ما را می دهد 5.92 - حق با ما بود



روش دیگر این است که عدد بنیادی را به فاکتورهای اصلی تبدیل کنید. فاکتورهای اصلی اعدادی که فقط بر 1 و بر خود تقسیم می شوند. فاکتورهای اصلی را پشت سر هم بنویسید و جفت هایی از همان عوامل را پیدا کنید. چنین عواملی را می توان فراتر از علامت ریشه خارج کرد.

به عنوان مثال ، ریشه مربع 45 را محاسبه کنید. ما عدد رادیکال را به فاکتورهای اصلی تجزیه می کنیم: 45 \u003d 9 5 5 و 9 \u003d 3 3. 3. بنابراین ، 45 \u003d (3 3 3 5 5). 3 را می توان خارج از علامت ریشه گرفت: 45 \u003d 35. اکنون می توانید 5 را ارزیابی کنید.

مثال دیگری را در نظر بگیرید: 88.

\u003d (2 4 4 11 11)

\u003d (2 2 2 2 2 11 11). سه ضرب 2 گرفتید. چند مورد از آنها را برداشته و خارج از علامت ریشه قرار دهید.

2 (11 2 2) \u003d 22 11. 11. اکنون می توانید 2 و 11 را ارزیابی کنید و یک پاسخ خشن پیدا کنید.

این فیلم آموزشی نیز ممکن است مفید باشد:

برای استخراج ریشه یک عدد ، باید از ماشین حساب استفاده کنید یا اگر مورد مناسبی وجود ندارد ، به شما توصیه می کنم به این سایت بروید و با استفاده از ماشین حساب آنلاینکه در چند ثانیه مقدار صحیح را نشان می دهد.

جمع و تفریق ریشه ها برای متقاضیان دوره ریاضیات (جبر) در دبیرستان یکی از رایج ترین "بلوکهای لک" است. با این حال ، بسیار مهم است که یاد بگیرید چگونه آنها را به درستی جمع و تفریق کنید ، زیرا مثالهایی برای جمع یا اختلاف ریشه ها در برنامه آزمون پایه دولتی واحد در رشته "ریاضیات" گنجانده شده است.

برای تسلط بر حل این مثالها ، دو چیز لازم است - درک قوانین ، و همچنین توسعه عمل. با حل یک یا دوازده نمونه معمولی ، دانش آموز این مهارت را به اتوماسیون می رساند ، و سپس در آزمون چیزی برای ترسیدن نخواهد داشت. توصیه می شود تسلط بر عملیات حساب با جمع اضافه شود ، زیرا افزودن آنها کمی راحتتر از کسر آنها است.

ساده ترین راه برای توضیح این مسئله با مثال ریشه مربع است. در ریاضیات ، اصطلاح کاملاً مستقیمی "مربع" وجود دارد. "به مربع" به معنای ضرب یک عدد خاص یک بار در خودش است... به عنوان مثال ، اگر مربع 2 کنید ، 4 بدست می آورید. اگر مربع 7 کنید ، 49 می گیرید. مربع 9 برابر 81 است. بنابراین ریشه مربع 4 2 ، 49 49 7 و 81 81 است.

به عنوان یک قاعده ، یادگیری این مبحث در ریاضیات با ریشه های مربع شروع می شود. برای تعیین بلافاصله آن ، یک دانش آموز دبیرستانی باید جدول ضرب را از روی قلب بداند. کسانی که از این جدول اطمینان ندارند باید از نکات استفاده کنند. معمولاً فرآیند استخراج مربع ریشه از یک عدد به صورت جدول روی جلد بسیاری از دفترهای ریاضی مدارس آورده می شود.

ریشه ها از انواع زیر هستند:

• مربع؛
• مکعبی (یا اصطلاحاً درجه سوم) ؛
• درجه چهارم؛
• درجه پنج

قوانین الحاق

به منظور حل موفقیت آمیز نمونه معمولی، باید در نظر داشت که همه اعداد ریشه نیستند می توانند با یکدیگر انباشته شوند... برای اینکه بتوان آنها را جمع کرد باید آنها را به الگویی مشترک رساند. اگر این امکان وجود نداشته باشد ، مشکل هیچ راه حلی ندارد. چنین مشکلاتی اغلب در کتابهای درسی ریاضیات به عنوان نوعی دام دانش آموزان دیده می شود.

وقتی عبارات رادیکال با یکدیگر تفاوت دارند ، افزودن در کارها مجاز نیست. این را می توان با یک مثال گویا نشان داد:

• دانش آموز با این کار روبرو می شود: ریشه مربع 4 و 9 را اضافه کنید.
• یک دانش آموز بی تجربه که قوانین را نمی داند معمولاً می نویسد: "ریشه 4 + ریشه 9 \u003d ریشه 13".
• اثبات غلط بودن این راه حل بسیار ساده است. برای این کار باید ریشه مربع 13 را پیدا کرده و بررسی کنید که آیا مثال به درستی حل شده است.
• با استفاده از یک میکرو محاسبه می توانید تقریباً 3.6 را تعیین کنید. اکنون بررسی راه حل باقی مانده است.
• ریشه 4 \u003d 2 و 9 \u003d 3 ؛
• مجموع اعداد "دو" و "سه" پنج است. بنابراین ، می توان این الگوریتم راه حل را نادرست دانست.

اگر ریشه ها از یک درجه باشند اما متفاوت باشند عبارات عددی، در خارج از براکت قرار می گیرد ، و مجموع دو اصطلاح رادیکال... بنابراین ، در حال حاضر از این مقدار استخراج شده است.

الگوریتم جمع

به منظور تصمیم گیری صحیح ساده ترین کار، لازم است:

1. مشخص کنید که دقیقاً چه چیزی به جمع نیاز دارد.
2. برای فهمیدن اینکه آیا می توان مقادیر را به یکدیگر هدایت کرد ، با رعایت قوانینی که در ریاضیات وجود دارد.
3. اگر قابلیت جمع شدن ندارند ، باید آنها را تبدیل کنید تا تا شوند.
4. پس از انجام تمام تحولات لازم ، لازم است جمع را اضافه کنید و پاسخ تمام شده را یادداشت کنید. بسته به پیچیدگی مثال ، افزودن را می توان ذهنی یا با استفاده از ماشین حساب خرد انجام داد.

ریشه های مشابه چیست

برای حل صحیح یک مثال جمع ، ابتدا باید به این فکر کنید که چگونه می توانید آن را ساده کنید. برای انجام این کار ، شما باید دانش اساسی در مورد شباهت چیست.

توانایی شناسایی نمونه های مشابه به حل سریع نمونه های اضافی مشابه کمک می کند و آنها را به شکل ساده درآورده است. برای ساده کردن یک مثال جمع معمولی ، باید:

1. موارد مشابه را پیدا کنید و آنها را در یک گروه (یا چند گروه) انتخاب کنید.
2. مثال موجود را دوباره بنویسید به گونه ای که ریشه هایی که دارای یک شاخص هستند ، یکی پس از دیگری به وضوح پیش بروند (این "گروه بندی" نامیده می شود).
3. بعد ، باید این عبارت را دوباره بنویسید ، این بار به گونه ای که موارد مشابه (که نشانگر یکسانی دارند و تعداد رادیکال یکسانی دارند) نیز از یکدیگر پیروی کنند.

پس از آن ، حل یک مثال ساده معمولاً آسان است.

برای حل صحیح هر مثال جمع ، لازم است که قوانین اساسی جمع را به وضوح درک کنید و همچنین بدانید که ریشه چیست و چیست.

بعضی اوقات چنین وظایفی در نگاه اول بسیار دشوار به نظر می رسند ، اما معمولاً با گروه بندی کارهای مشابه به راحتی حل می شوند. مهمترین چیز تمرین است ، و سپس دانش آموز شروع به "کلیک کردن روی مشکلات مانند آجیل" می کند. افزودن ریشه یکی از مهمترین زمینه های ریاضیات است ، بنابراین معلمان باید وقت کافی را برای مطالعه آن صرف کنند.

ویدئو

این ویدئو به شما کمک می کند معادلات با ریشه مربع را درک کنید.