سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح " معادله درجه دوم"کلمه کلیدی" مربع "است. این بدان معناست که معادله باید دارای یک متغیر (همان x) مربع باشد و نباید در درجه سوم (یا بیشتر) x وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم تقلیل می یابد.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که ما یک معادله درجه دوم داریم ، و نه یک معادله دیگر.

مثال 1

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر اصطلاح را در معادله ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به منتقل کنیم سمت چپو اصطلاحات را به ترتیب کاهش درجه x مرتب کنید

اکنون می توانیم با اطمینان بگوییم که این معادله درجه دوم است!

مثال 2

بیایید ضلع های چپ و راست را در ضرب کنیم:

این معادله گرچه در اصل در آن بود اما مربع نیست!

مثال 3

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

با ترس؟ درجه های چهارم و دوم ... با این حال ، اگر یک تعویض انجام دهیم ، می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4

به نظر می رسد آنجاست ، اما بیایید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

می بینید که کوچک شده است - و اکنون یک معادله خطی ساده است!

حال سعی کنید خود مشخص کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست
4. مربع نیست
5. مربع نیست
6. مربع؛
7. مربع نیست
8. مربع.

ریاضیدانان به طور مشروط تمام معادلات درجه دوم را به شکل زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم کامل- معادلاتی که ضرایب و همچنین اصطلاح c آزاد برابر با صفر نیست (مانند مثال). علاوه بر این ، در میان معادلات درجه دوم کامل ، وجود دارد داده شده- این معادلاتی است که ضریب در آنها (معادله مثال 1 نه تنها کامل است ، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که ضریب و یا مدت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند ، زیرا فاقد برخی عناصر هستند. اما در معادله باید همیشه یک مربع x وجود داشته باشد !!! در غیر این صورت ، دیگر یک مربع نخواهد بود ، بلکه معادله دیگری است.

چرا به چنین تقسیم بندی رسیدید؟ به نظر می رسد که یک مربع X وجود دارد و اشکالی ندارد. این تقسیم بندی به دلیل روشهای محلول است. بیایید هر یک از آنها را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

اول ، بیایید بر حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار راحت ترند!

معادلات درجه دوم ناقص از انواع زیر هستند:

1. ، در این معادله ضریب است.
2. ، در این معادله اصطلاح آزاد است.
3. ، در این معادله ضریب و رهگیری برابر هستند.

1. و از آنجا که ما می دانیم چگونه استخراج کنیم ریشه دوم، سپس بیایید از این معادله بیان کنیم

این عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. عدد مربع نمی تواند منفی باشد ، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو مثبت ، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود ، بنابراین: اگر ، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

و اگر ، پس ما دو ریشه می گیریم. این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. نکته اصلی این است که شما باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که کمتر نمی شود.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون باقی مانده است که ریشه از دو طرف چپ و راست استخراج شود. آیا به یاد دارید که چگونه ریشه را استخراج کنید؟

پاسخ:

هرگز ریشه های منفی را فراموش نکنید !!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

آخ! مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد ، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند ، ریاضیدانان نماد ویژه ای ارائه داده اند - (مجموعه خالی). و جواب را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین ، این معادله درجه دو دارای دو ریشه است. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد ، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید فاکتور مشترک را از داخل پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند ، درست است؟) بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا بدون مثال کار خواهیم کرد.

حل معادلات درجه دوم کامل

ما به شما یادآوری می کنیم که معادله درجه دوم کامل معادله معادلات فرم در کجا است

حل معادلات درجه دوم كاملاً دشوارتر از معادلات ارائه شده است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از متمایز حل کرد! حتی ناقص.

بقیه روش ها به شما کمک می کنند تا این کار را سریعتر انجام دهید ، اما اگر در معادلات درجه دوم مشکلی ندارید ، ابتدا راه حل را با استفاده از متمایز یاد بگیرید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از متمایز کننده.

حل معادلات درجه دوم از این طریق بسیار ساده است ، نکته اصلی یادآوری توالی اعمال و چند فرمول است.

اگر ، پس معادله ریشه دارد. توجه ویژهیک قدم بردار. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما نشان می دهد.

• اگر ، فرمول در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین ، این معادله ریشه کل خواهد داشت.
• اگر ، در این صورت نمی توانیم ریشه را از متمایز کننده در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که این معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1پرش

گام 2.

ما متمایز را پیدا می کنیم:

بنابراین این معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

بنابراین معادله در فرم استاندارد ارائه شده است مرحله 1پرش

گام 2.

ما متمایز را پیدا می کنیم:

بنابراین این معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

بنابراین معادله در فرم استاندارد ارائه شده است مرحله 1پرش

گام 2.

ما متمایز را پیدا می کنیم:

بنابراین ، ما قادر به استخراج ریشه از افراد تبعیض آمیز نخواهیم بود. هیچ ریشه ای در این معادله وجود ندارد.

اکنون ما می دانیم که چگونه چنین پاسخهایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید ، یک نوع معادله وجود دارد که کاهش داده می شود (وقتی ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

جمع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

از آنجا که این معادله برای حل با استفاده از قضیه ویتا مناسب است ...

مجموع ریشه های معادله برابر است ، یعنی ما اولین معادله را دریافت می کنیم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و مقدار برابر است؛
• و مقدار برابر است؛
• و مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله کاهش می یابد ، به این معنی:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر ، معادله درجه دوم معادله ای از فرم است ، که در آن ناشناخته است ، برخی از اعداد هستند ، و.

به این شماره بزرگترین یا شانس اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، ولی - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر ، معادله بلافاصله خطی می شود ، زیرا ناپدید شدن

علاوه بر این ، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی ، معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه اصطلاحات در جای خود باشند ، یعنی معادله کامل است.

راه حل های انواع معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

برای شروع ، ما روش های حل معادلات درجه دوم ناقص را تجزیه و تحلیل می کنیم - آنها ساده تر هستند.

انواع معادلات زیر را می توان تشخیص داد:

I. ، در این معادله ضریب و رهگیری برابر هستند.

دوم ، در این معادله ضریب است.

III ، در این معادله اصطلاح آزاد است.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد ، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو مثبت را ضرب کنید ، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از این رو:

اگر ، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر ، ما دو ریشه داریم

این فرمول ها نیازی به حفظ ندارند. نکته اصلی که باید به یاد داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

ریشه های منفی را هرگز فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد ، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای ثبت مختصر اینکه مشکل هیچ راه حلی ندارد ، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین ، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

عامل مشترک را از داخل پرانتز بیرون بکشید:

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد ، محصول برابر با صفر است. این بدان معناست که این معادله وقتی حل می شود:

بنابراین ، این معادله درجه دو دارای دو ریشه است: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

سمت چپ معادله را فاکتور بگیرید و ریشه ها را پیدا کنید:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم کامل:

1. تبعیض آمیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است ، مهمترین چیز این است که توالی اقدامات و چند فرمول را بخاطر بسپارید. به یاد داشته باشید ، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از متمایز حل کرد! حتی ناقص.

آیا به ریشه تمایز دهنده در فرمول ریشه توجه کرده اید؟ اما متمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ توجه ویژه به مرحله 2 ضروری است. متمایز کننده تعداد ریشه های معادله را به ما نشان می دهد.

• اگر ، پس معادله یک ریشه دارد:
• اگر ، پس معادله دارای همان ریشه است ، اما در واقع ، یک ریشه:

  به چنین ریشه هایی ریشه های دوتایی گفته می شود.

• اگر ، پس ریشه تبعیض استخراج نمی شود. این نشان می دهد که این معادله ریشه ندارد.

چرا ممکن است مقدار متفاوتریشه؟ بیایید به معنای هندسی معادله درجه دوم بپردازیم. نمودار تابع یک مثل است:

در حالت خاص ، که یک معادله درجه دوم است ، و این بدان معنی است که ریشه های معادله درجه دوم نقاط تلاقی با محور ابسیسا (محور) هستند. سهمی ممکن است به هیچ وجه محور را قطع نکند یا آنرا در یک نقطه قطع کند (وقتی راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه.

علاوه بر این ، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر ، پس شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند ، و اگر - سپس به سمت پایین.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

بنابراین هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است: شما فقط باید یک جفت عدد انتخاب کنید که حاصل آن برابر با مدت آزاد معادله باشد و مجموع ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

لازم به یادآوری است که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم را کاهش داد ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

از آنجا که این معادله برای حل با استفاده از قضیه ویتا مناسب است ... ضرایب دیگر :؛ ...

مجموع ریشه های معادله:

و محصول برابر است با:

بیایید این جفت اعداد را که حاصلضرب آنها برابر است ، برداریم و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است:

• و مقدار برابر است؛
• و مقدار برابر است؛
• و مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین ، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ ...

مثال شماره 2:

راه حل:

اجازه دهید چنین جفت اعدادی را که در محصول می دهند انتخاب کنیم و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است:

و: جمع آورده شده است.

و: جمع آورده شده است. برای به دست آوردن ، فقط کافی است علائم ریشه های ادعا شده را تغییر دهید: و ، بعد از همه ، کار.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

مدت آزاد معادله منفی است و از این رو محصول ریشه ها است - عدد منفی... این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی باشد و دیگری مثبت باشد. بنابراین ، مجموع ریشه ها است تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید چنین جفت هایی از اعداد را که در محصول می دهند انتخاب کنیم و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - متناسب نیست

و: - مناسب نیست

و: - مناسب نیست

و: - متناسب است. فقط باید به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجا که مجموع آنها باید برابر باشد ، ریشه باید از نظر مطلق منفی باشد:. ما بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله کاهش می یابد ، به این معنی:

اصطلاح آزاد منفی است ، به این معنی که محصول ریشه منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه از معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید این جفت اعداد را که حاصلضرب آنها برابر است ، انتخاب کنیم و سپس مشخص کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها هستند و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله کاهش می یابد ، به این معنی:

مجموع ریشه ها منفی است ، به این معنی که حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجا که محصول آنها مثبت است ، بنابراین هر دو ریشه با علامت منفی هستند.

بیایید چنین جفت هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل آن برابر است با:

بدیهی است که اعداد و ریشه ها هستند.

پاسخ:

موافقم ، بسیار راحت است که ریشه های دهانی پیدا کنید ، به جای شمردن این تبعیض سخیف. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه مورد نیاز است. برای استفاده سودآوری از آن ، باید اقدامات را به خودکشی برسانید. و برای این کار ، در مورد پنج مثال دیگر تصمیم بگیرید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از متمایز کننده استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل برای کارهای مستقل:

وظیفه 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

با قضیه ویتا:

طبق معمول ، ما انتخاب را با یک قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست ، از آنجا که مقدار

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ ...

وظیفه 2

و دوباره ، قضیه مورد علاقه ما Vieta: مجموع باید کار کند ، اما محصول برابر است.

اما از آنجا که نباید وجود داشته باشد ، اما ، ما علائم ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در کل).

پاسخ: ؛ ...

وظیفه 3

هوم ... کجاست؟

لازم است کلیه شرایط را به یک قسمت انتقال دهید:

مجموع ریشه ها برابر است با ، محصول.

پس بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات فوق قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید معادله را بیاورید. اگر نمی توانید آن را مطرح کنید ، این کار را رها کنید و آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق تبعیض آمیز) حل کنید. بگذارید یادآوری کنم که آوردن معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو با:

عالی سپس مجموع ریشه ها برابر است و محصول.

در اینجا برداشتن آن آسان است: بالاخره - یک عدد اصلی (متاسفم برای توتوولوژی).

پاسخ: ؛ ...

وظیفه 4

اصطلاح آزاد منفی است. چه چیز خاصی در این مورد وجود دارد؟ و این واقعیت که ریشه ها از علائم مختلفی برخوردار خواهند بود. و اکنون ، هنگام انتخاب ، ما نه مجموع ریشه ها ، بلکه تفاوت واحدهای آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است ، اما محصول است.

بنابراین ، ریشه ها برابر هستند و ، اما یکی از آنها با منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است ، یعنی. این بدان معنی است که ریشه کوچکتر منهای خواهد داشت: و از آن زمان.

پاسخ: ؛ ...

وظیفه 5

اولین کاری که باید انجام شود چیست؟ درست است ، معادله را بیان کنید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و تفاوت آنها باید در این موارد باشد:

ریشه ها برابر هستند و اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد ، به این معنی که با منهای یک ریشه بزرگتر وجود خواهد داشت.

پاسخ: ؛ ...

به طور خلاصه:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا ، می توانید ریشه ها را با انتخاب دهان و دندان پیدا کنید.
3. اگر این معادله داده نشود یا یک جفت مناسب از ضرب های آزاد وجود نداشته باشد ، ریشه کامل وجود ندارد و شما باید به روش دیگری حل کنید (به عنوان مثال از طریق تشخیص دهنده).

3. روش انتخاب یک مربع کامل

اگر تمام اصطلاحات حاوی مجهول از فرمول های ضرب مختصر - مربع حاصل از جمع یا اختلاف - به صورت اصطلاحات نمایش داده شوند ، پس از تغییر متغیرها ، می توان معادله را به عنوان یک معادله درجه دوم ناقص از نوع نشان داد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید:.

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید:.

راه حل:

پاسخ:

که در نمای کلیتحول به این شکل خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شبیه چیزی نیست؟ این یک تبعیض است! درست است ، فرمول تبعیض آمیز را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه درباره اصلی

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است ، جایی که ناشناخته است ، ضرایب معادله درجه دوم است ، اصطلاح آزاد است.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که ضرایب آن برابر با صفر نباشد.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب ، یعنی:.

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا مدت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد ، معادله به صورت زیر است:
• اگر عبارت آزاد باشد ، معادله فرم زیر را دارد:
• اگر و ، معادله فرم زیر را دارد:.

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1 معادله درجه دوم ناقص فرم ، جایی که ،:

1) اجازه دهید ما ناشناخته را بیان کنیم: ،

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر ، پس معادله راه حل ندارد ،
• اگر ، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2 معادله درجه دوم ناقص فرم ، جایی که ،:

1) عامل مشترک را از داخل براکت بیرون بیاورید: ،

2) اگر حداقل یكی از عوامل برابر با صفر باشد ، محصول برابر با صفر است. بنابراین ، این معادله دو ریشه دارد:

1.3 معادله درجه دوم ناقص فرم ، جایی که:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:.

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم در کجا

2.1 راه حل تبعیض آمیز

1) بگذارید معادله را به شکل استاندارد بیاوریم: ،

2) ما متمایز را با فرمول محاسبه می کنیم: ، که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر ، پس معادله ریشه دارد ، که با فرمول یافت می شود:
• اگر ، پس معادله دارای یک ریشه است ، که با فرمول پیدا می شود:
• اگر ، پس معادله هیچ ریشه ای ندارد.

2.2. راه حل با استفاده از قضیه ویتا

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادلات فرم ، جایی که) برابر است و حاصل ریشه ها برابر است ، یعنی ، ولی.

2.3 محلول مربع کامل

فرمول 2.5 Vieta برای چند جمله ای ها (معادلات) درجات بالاتر

فرمول های مشتق شده توسط ویت برای معادلات درجه دوم نیز برای چند جمله ای های درجات بالاتر معتبر هستند.

اجازه دهید چند جمله ای باشد

P (x) = 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n

دارای n ریشه متفاوت x 1 ، x 2… ، x n است.

در این حالت ، یک فاکتور بندی از فرم دارد:

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n = a 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

ما هر دو طرف این برابری را 0 0 0 تقسیم می کنیم و براکت ها را در قسمت اول گسترش می دهیم. ما برابری می کنیم:

xn + () xn -1 +… + () = xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

اما دو چند جمله ای به طور یکسان برابر هستند اگر و فقط اگر ضرایب در همان درجه برابر باشند. از این رو نتیجه می شود که برابری

x 1 + x 2 +… + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n =

x 1 x 2 ... x n = (-1) n

مثلاً برای چند جمله ای های درجه سوم

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

ما هویت داریم

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

در مورد معادلات درجه دوم ، این فرمول را فرمول های ویتا می نامند. ضلع های سمت چپ این فرمول ها چند جمله ای متقارن از ریشه های x 1 ، x 2 ... ، x n این معادله هستند و ضلع های سمت راست از طریق ضریب چند جمله ای بیان می شوند.

2.6 معادلات قابل کاهش به مربع (دو درجه ای)

معادلات درجه چهار به معادلات درجه دوم تقلیل می یابد:

تبر 4 + bx 2 + c = 0 ،

دو درجه ای ، و ، و ≠ 0 نامیده می شود.

کافی است در این معادله x 2 = y قرار دهید ، بنابراین ،

ay² + توسط + c = 0

ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنید

y 1،2 =

برای یافتن ریشه های x 1 ، x 2 ، x 3 ، x 4 به یک باره ، y را با x جایگزین کنید و بدست آورید

x² = =

x 1،2،3،4 = .

اگر معادله درجه چهار x 1 داشته باشد ، ریشه x 2 = -x 1 نیز دارد ،

اگر x 3 داشته باشد ، x 4 = - x 3. مجموع ریشه های چنین معادله ای صفر است.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

معادله را در فرمول ریشه های معادلات دو درجه ای جایگزین کنید:

x 1،2،3،4 = ,

با دانستن اینکه x 1 = -x 2 و x 3 = -x 4 ، پس:

x 3.4 =

پاسخ: 1.2 x = 2 ± x 1.2 =

2.7 بررسی معادلات دو درجه ای

معادله دو درجه ای را در نظر بگیرید

تبر 4 + bx 2 + c = 0 ،

که a ، b ، c اعداد واقعی هستند و a> 0. با معرفی ناشناخته کمکی y = x² ، ما ریشه های این معادله را بررسی می کنیم و نتایج را در جدول وارد می کنیم (به پیوست شماره 1 مراجعه کنید)

فرمول 2.8 کاردانو

اگر از نمادگرایی مدرن استفاده کنیم ، نتیجه گیری فرمول کاردانو می تواند به این شکل باشد:

x =

این فرمول ریشه های معادله عمومی درجه سوم را تعیین می کند:

تبر 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

این فرمول بسیار دست و پا گیر و پیچیده است (حاوی چندین رادیکال پیچیده است). این همیشه اعمال نمی شود ، زیرا پر کردن بسیار دشوار است.

F ¢ (xо) = 0 ،> 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

جالب ترین مکان ها را از بین 2-3 متن ذکر کنید یا آنها را انتخاب کنید. بنابراین ، ما مفاد کلی ایجاد و اجرای دوره های انتخابی را در نظر گرفتیم ، که در هنگام توسعه یک دوره انتخابی در جبر برای معدل درجه 9 "معادلات درجه دوم و نابرابری ها با یک پارامتر" مورد توجه قرار می گیرد. فصل دوم روش انجام دوره انتخابی "معادلات درجه دوم و نابرابری ها با یک پارامتر" 1.1. عمومی...

راه حل های روش محاسبه عددی. برای تعیین ریشه های یک معادله ، هیچ شناختی از نظریه های گروه های هابیل ، گالوا ، دروغ و غیره مورد نیاز نیست و اصطلاحات ریاضی خاصی نیز لازم نیست: حلقه ها ، زمینه ها ، ایده آل ها ، ایزوفرم ها و غیره برای حل معادله جبری درجه n ، شما فقط به توانایی حل معادلات درجه دوم و استخراج ریشه از یک عدد مختلط نیاز دارید. ریشه ها را می توان از ...

با واحدهای اندازه گیری مقادیر فیزیکی در سیستم MathCAD؟ 11. متن ، گرافیک و بلوک های ریاضی را به تفصیل شرح دهید. سخنرانی شماره 2 مسائل جبر خطی و حل معادلات دیفرانسیل در محیط MathCAD در مسائل جبر خطی ، انجام عملیات مختلف با ماتریس تقریباً همیشه ضروری است. پانل عملگر ماتریس در پانل ریاضی قرار دارد. ...

فرمول بندی و اثبات قضیه ویتا برای معادلات درجه دوم. قضیه گفتگوی ویتا. قضیه ویتا برای معادلات مکعب و معادلات نظمی دلخواه.

معادلات درجه دوم

قضیه ویتا

ریشه های معادله درجه دوم را کاهش دهید و آنها را نشان دهید
(1) .
سپس مجموع ریشه ها برابر با ضریب at است که با علامت مخالف گرفته شده است. محصول ریشه برابر است با مدت آزاد:
;
.

یادداشتی در مورد ریشه های متعدد

اگر متمایز کننده معادله (1) برابر با صفر باشد ، این معادله یک ریشه دارد. اما برای جلوگیری از فرمول بندی دست و پا گیر ، به طور کلی پذیرفته شده است که در این حالت ، معادله (1) دارای دو ریشه چندگانه یا مساوی است:
.

اثبات یک

بیایید ریشه های معادله (1) را پیدا کنیم. برای این کار فرمول ریشه های معادله درجه دوم را اعمال کنید:
;
;
.

ما جمع ریشه ها را پیدا می کنیم:
.

برای پیدا کردن یک کار ، فرمول زیر را اعمال کنید:
.
سپس

.

قضیه اثبات شده است.

اثبات دو

اگر اعداد و ریشه های معادله درجه دوم (1) هستند ، پس
.
براکت ها را باز می کنیم.

.
بنابراین ، معادله (1) به شکل زیر در می آید:
.
در مقایسه با (1) می یابیم:
;
.

قضیه اثبات شده است.

قضیه گفتگوی ویتا

بگذارید اعداد دلخواه وجود داشته باشد. سپس و ریشه های معادله درجه دوم هستند
,
جایی که
(2) ;
(3) .

اثبات قضیه گفتگوی ویتا

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید
(1) .
ما باید ثابت کنیم که اگر و ، بنابراین شما ریشه معادله هستند (1).

جایگزین (2) و (3) در (1):
.
ما اصطلاحات را در سمت چپ معادله گروه بندی می کنیم:
;
;
(4) .

جانشین در (4):
;
.

جانشین در (4):
;
.
این معادله برآورده شده است. یعنی عدد ریشه معادله (1) است.

قضیه اثبات شده است.

قضیه ویتا برای یک معادله درجه دوم کامل

اکنون معادله درجه دوم کامل را در نظر بگیرید
(5) ,
که در آن ، و تعدادی وجود دارد علاوه بر این.

بگذارید معادله (5) را بر تقسیم کنیم:
.
یعنی معادله کاهش یافته را بدست آوردیم
,
جایی که ؛ ...

سپس قضیه ویتا برای معادله درجه دوم کامل شکل زیر را دارد.

ریشه های معادله درجه دوم کامل را بگذارید و آنها را نشان دهید
.
سپس مقدار و محصول ریشه ها توسط فرمول ها تعیین می شود:
;
.

قضیه ویتا برای معادله مکعب

به روشی مشابه می توانیم بین ریشه های یک معادله مکعب ارتباط برقرار کنیم. معادله مکعب را در نظر بگیرید
(6) ,
که در آن ،،، تعدادی از اعداد است. علاوه بر این.
بیایید این معادله را به موارد زیر تقسیم کنیم:
(7) ,
جایی که ، ، .
بگذارید ، ریشه های معادله (7) (و معادله (6)) باشد. سپس

.

در مقایسه با معادله (7):
;
;
.

قضیه ویتا برای معادله درجه n

به همین ترتیب ، می توانید ارتباطاتی بین ریشه ها ، "..." برای معادله درجه n پیدا کنید
.

قضیه ویتا برای یک معادله درجه n به شکل زیر است:
;
;
;

.

برای بدست آوردن این فرمول ها ، معادله را به شکل زیر می نویسیم:
.
سپس ضرایب را در ،،، ... برابر می کنیم و اصطلاح آزاد را مقایسه می کنیم.

منابع:
که در. برونشتاین ، کالیفرنیا Semendyaev ، کتاب راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان م ofسسات فنی ، "Lan" ، 2009.
سانتی متر. نیکولسکی ، م.ک. Potapov و همکاران ، جبر: کتاب درسی برای م institutionsسسات آموزشی کلاس 8 ، مسکو ، آموزش و پرورش ، 2006.

در ریاضیات ، تکنیک های خاصی وجود دارد که بسیاری از معادلات درجه دوم با آنها بسیار سریع و بدون هیچ گونه تمایزی حل می شوند. علاوه بر این ، با آموزش مناسب ، بسیاری شروع به حل معادلات درجه دوم به صورت شفاهی ، به معنای واقعی کلمه "در نگاه اول" می کنند.

متأسفانه ، در دوره مدرن ریاضیات مدرسه ، چنین فناوری هایی تقریباً مورد مطالعه قرار نمی گیرند. اما شما باید بدانید! و امروز یکی از این تکنیک ها - قضیه ویتا - را در نظر خواهیم گرفت. ابتدا تعریف جدیدی را معرفی می کنیم.

معادله درجه دوم از فرم x 2 + bx + c = 0 کاهش یافته نامیده می شود. لطفا توجه داشته باشید: ضریب x 2 1 است. هیچ محدودیتی در ضرایب وجود ندارد.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 معادله درجه دوم کاهش یافته است.
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - همچنین داده شده است.
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - اما این نشان داده نمی شود ، زیرا ضریب x 2 برابر 2 است.

البته ، هر معادله درجه دوم از شکل ax 2 + bx + c = 0 را می توان کاهش داد - کافی است که تمام ضرایب را بر عدد a تقسیم کنیم. ما همیشه می توانیم این کار را انجام دهیم ، زیرا از تعریف معادله درجه دوم حاصل می شود که 0.

درست است که این تحولات همیشه برای ریشه یابی مفید نخواهند بود. کمی بعد ، مطمئن خواهیم شد که این کار فقط درصورتی انجام می شود که تمام ضرایب معادله مربع نهایی عدد صحیح باشد. در حال حاضر ساده ترین نمونه ها را در نظر بگیرید:

یک وظیفه. معادله درجه دوم را به معادله کاهش یافته تبدیل کنید:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ؛
2. x4x 2 + 32x + 16 = 0 ؛
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ؛
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

هر معادله را بر ضریب متغیر x 2 تقسیم کنید. ما گرفتیم:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - همه چیز را بر 3 تقسیم می کنیم ؛
2. x4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - تقسیم بر −4 ؛
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - تقسیم بر 1.5 ، تمام ضرایب عدد صحیح شدند.
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 = 0 - تقسیم بر 2. در این حالت ضرایب کسری بوجود آمدند.

همانطور که می بینید ، معادلات درجه دوم داده شده می توانند ضرایب عدد صحیح داشته باشند حتی اگر معادله اصلی شامل کسر باشد.

اکنون ما قضیه اصلی را فرموله خواهیم کرد ، در واقع مفهوم معادله درجه دوم کاهش یافته برای آن ارائه شد:

قضیه ویتا. یک معادله درجه دوم کاهش یافته را در فرم x 2 + bx + c = 0 در نظر بگیرید. فرض کنید این معادله ریشه واقعی x 1 و x 2 داشته باشد. در این حالت ، گفته های زیر صحیح است:

1. x 1 + x 2 = −b. به عبارت دیگر ، مجموع ریشه های معادله درجه دوم معادل ضریب متغیر x است که با علامت مخالف گرفته شده است.
2. x 1 x 2 = c حاصل حاصل از ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب آزاد است.

مثال ها. برای سادگی ، فقط معادلات درجه دوم کاهش یافته را در نظر می گیریم که نیازی به تبدیل اضافی ندارند:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9 ؛ x 1 x 2 = 20 ؛ ریشه: x 1 = 4؛ x 2 = 5 ؛
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2 ؛ x 1 x 2 = −15 ؛ ریشه: x 1 = 3؛ x 2 = −5 ؛
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5 ؛ x 1 x 2 = 4 ؛ ریشه ها: x 1 = −1 ؛ x 2 = −4.

قضیه ویتا اطلاعات بیشتری در مورد ریشه های یک معادله درجه دوم به ما می دهد. در نگاه اول ، این کار دشوار به نظر می رسد ، اما حتی با حداقل آموزش ، شما یاد خواهید گرفت که ریشه ها را "ببینید" و به معنای واقعی کلمه آنها را در عرض چند ثانیه حدس بزنید.

یک وظیفه. معادله درجه دوم را حل کنید:

1. x 2 - 9x + 14 = 0 ؛
2. x 2 - 12x + 27 = 0 ؛
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 ؛
4. x7x 2 + 77x - 210 = 0.

بیایید سعی کنیم ضرایب را با توجه به قضیه ویتا بنویسیم و ریشه ها را "حدس" بزنیم:

1. x 2 - 9x + 14 = 0 معادله درجه دوم کاهش یافته است.
   با توجه به قضیه ویتا ، ما باید: x 1 + x 2 = - (- - 9) = 9؛ x 1 · x 2 = 14. به راحتی می توان فهمید که ریشه ها اعداد 2 و 7 هستند.
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - همچنین داده شده است.
   با قضیه ویتا: x 1 + x 2 = - (- 12) = 12 ؛ x 1 x 2 = 27. از این رو ریشه ها: 3 و 9 ؛
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - این معادله کاهش نمی یابد. اما اکنون این مسئله را با تقسیم هر دو طرف معادله بر ضریب a = 3 اصلاح خواهیم کرد. به دست می آوریم: x 2 + 11x + 10 = 0.
   حل شده با قضیه ویتا: x 1 + x 2 = −11؛ x 1 x 2 = 10 ⇒ ریشه: −10 و −1 ؛
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - دوباره ضریب x 2 برابر 1 نیست ، یعنی معادله داده نشده است همه چیز را بر عدد a = −7 تقسیم کنید. ما بدست می آوریم: x 2 - 11x + 30 = 0.
   با قضیه ویتا: x 1 + x 2 = - (- 11) = 11 ؛ x 1 x 2 = 30 ؛ از این معادلات به راحتی می توان ریشه ها را حدس زد: 5 و 6.

از استدلال فوق ، می توان دریافت که قضیه ویتا چگونه حل معادلات درجه دوم را ساده می کند. بدون محاسبات پیچیده ، بدون ریشه و کسر حساب. و ما حتی به تفکیک کننده نیاز نداشتیم (به درس "حل معادلات درجه دوم" مراجعه کنید).

البته ، در تمام تأملات خود ، ما از دو فرض مهم پیش رفتیم ، که به طور کلی ، همیشه در مشکلات واقعی برآورده نمی شوند:

1. معادله درجه دوم کاهش می یابد ، یعنی ضریب در x 2 برابر 1 است.
2. این معادله دو ریشه مشخص دارد. از نقطه نظر جبر ، در این مورد متمایز D> 0 - در واقع ، ما در ابتدا تصور می کنیم که این نابرابری درست است.

با این حال ، در مسائل معمولی ریاضی ، این شرایط تحقق یافته است. اگر محاسبات منجر به یک معادله درجه دوم "بد" شود (ضریب در x 2 با 1 متفاوت است) ، حل آن آسان است - به مثالهای ابتدای درس نگاهی بیندازید. من به طور کلی در مورد ریشه ها سکوت می کنم: این چه مشکلی است که پاسخی ندارد؟ البته ریشه وجود خواهد داشت.

بدین ترتیب، طرح کلیحل معادلات درجه دوم توسط قضیه ویتا به شرح زیر است:

1. اگر قبلاً در بیان مسئله انجام نشده است ، معادله درجه دوم را به معادل کاهش دهید.
2. اگر ضرایب موجود در معادله درجه دوم کسری باشد ، ما از طریق متمایز حل می کنیم. حتی می توانید به معادله اصلی برگردید تا با اعداد "راحت تر" کار کنید.
3. در مورد ضرایب عدد صحیح ، ما معادله را با قضیه Vieta حل می کنیم.
4. اگر در عرض چند ثانیه حدس ریشه ها امکان پذیر نبود ، ما قضیه ویتا را چکش می زنیم و از طریق تبعیض آمیز حل می کنیم.

یک وظیفه. معادله را حل کنید: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

بنابراین ، قبل از ما معادله ای است که کاهش نمی یابد ، زیرا ضریب a = 5. همه چیز را بر 5 تقسیم می کنیم ، بدست می آوریم: x 2 - 7x + 10 = 0.

تمام ضرایب معادله درجه دوم عدد صحیح هستند - بیایید سعی کنیم آن را با قضیه ویتا حل کنیم. ما داریم: x 1 + x 2 = - (- - 7) = 7 ؛ x 1 · x 2 = 10. در این حالت ، ریشه ها به راحتی حدس می زنند - اینها 2 و 5 است. لازم نیست که از طریق تبعیض حساب کنید.

یک وظیفه. معادله را حل کنید: x5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

نگاه کنید: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - این معادله کاهش نمی یابد ، ما هر دو طرف را با ضریب a = −5 تقسیم می کنیم. ما بدست می آوریم: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - معادله ای با ضرایب کسری.

بهتر است به معادله اصلی برگردید و از طریق متمایز شمارش کنید: − 5x 2 + 8x - 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ؛ x 2 = 0.4.

یک وظیفه. معادله را حل کنید: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

ابتدا بیایید همه چیز را با ضریب a = 2 تقسیم کنیم. معادله x 2 + 5x - 300 = 0 بدست می آوریم.

این معادله کاهش یافته ، طبق قضیه ویتا ، ما داریم: x 1 + x 2 = -5؛ x 1 x 2 = 300 −. در این مورد حدس ریشه های معادله درجه دوم دشوار است - من شخصاً هنگام حل این مشکل "جدی گیر کردم".

ما باید از طریق متمایز به دنبال ریشه ها بگردیم: D = 5 2 - 4 · 1 · (300 −) = 1225 = 35 2. اگر ریشه تبعیض را به خاطر نمی آورید ، فقط یادآوری می کنم که 1225: 25 = 49. بنابراین ، 1225 = 25 · 49 = 5 2 · 7 2 = 35 2.

اکنون که ریشه متمایز شناخته شده است ، حل معادله دشوار نخواهد بود. ما بدست می آوریم: x 1 = 15 ؛ x 2 = 20 −.

قضیه ویتا (دقیق تر ، قضیه معکوس قضیه ویتا) به شما امکان می دهد زمان حل معادلات درجه دوم را کاهش دهید. فقط باید بتوانید از آن استفاده کنید. چگونه می توان معادلات درجه دوم را با استفاده از قضیه ویتا حل کرد؟ اگر کمی فکر کنید این کار دشواری نیست.

حال ما فقط در مورد حل معادله درجه دوم کاهش یافته طبق قضیه ویتا صحبت خواهیم کرد معادله درجه دوم کاهش یافته معادله ای است که در آن a ، یعنی ضریب مقابل x in برابر با یک است. همچنین می توان معادلات درجه دوم غیر کاهش یافته را با استفاده از قضیه ویتا حل کرد ، اما در حال حاضر حداقل یکی از ریشه ها یک عدد صحیح نیست. حدس زدن آنها دشوارتر است.

قضیه معکوس قضیه ویتا می گوید: اگر اعداد x1 و x2 به گونه ای باشد

سپس x1 و x2 ریشه معادله درجه دوم هستند

هنگام حل یک معادله درجه دوم طبق قضیه ویتا ، فقط 4 گزینه امکان پذیر است. اگر خط استدلال را به یاد بیاورید ، می توانید خیلی سریع ریشه یابی کنید.

I. اگر q یک عدد مثبت است ،

این بدان معناست که ریشه های x1 و x2 اعداد یک علامت یکسان هستند (زیرا فقط هنگام ضرب اعداد با علامت مشابه عدد مثبت است).

I.a. اگر -p یک عدد مثبت است ، (به ترتیب ص<0), то оба корня x1 и x2 — اعداد مثبت(از آنجا که آنها اعداد یک علامت را اضافه کردند و یک عدد مثبت گرفتند).

I.b. اگر -p منفی است ، (به ترتیب ، p> 0) ، سپس هر دو ریشه اعداد منفی هستند (با اضافه کردن اعداد از یک علامت ، یک عدد منفی بدست می آید).

دوم اگر q منفی باشد ،

این بدان معنی است که ریشه های x1 و x2 علائم مختلفی دارند (هنگام ضرب اعداد ، فقط در صورت متفاوت بودن علائم عوامل ، عدد منفی بدست می آید). در این حالت ، x1 + x2 دیگر یک جمع نیست ، بلکه یک تفاوت است (بعد از همه ، هنگام جمع کردن اعداد با علائم مختلفما کوچکتر را از بزرگتر کم می کنیم). بنابراین ، x1 + x2 نشان می دهد که تفاوت یک ریشه با x1 و x2 ، یعنی اینکه یک ریشه چقدر از دیگری بیشتر است (مدول).

II.a. اگر -p یک عدد مثبت است ، (یعنی ص<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. اگر -p منفی باشد ، (p> 0) ، پس بزرگترین (مدول) ریشه یک عدد منفی است.

حل معادلات درجه دوم توسط قضیه ویتا را با استفاده از مثال در نظر بگیرید.

معادله درجه دوم کاهش یافته را با قضیه ویتا حل کنید:

در اینجا q = 12> 0 ، بنابراین ریشه های x1 و x2 اعداد یک علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p = 7> 0 است ، بنابراین هر دو ریشه اعداد مثبت هستند. عدد صحیح را انتخاب می کنیم که حاصل آن 12 است. اینها 1 و 12 ، 2 و 6 ، 3 و 4 است. حاصل جمع 7 برای یک جفت 3 و 4 است. بنابراین ، 3 و 4 ریشه های معادله هستند.

که در این مثال q = 16> 0 ، به این معنی که ریشه های x1 و x2 اعداد یک علامت یکسان هستند. مجموع آنها -p = -10 است<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

در اینجا q = -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ، سپس عدد بزرگتر مثبت است. بنابراین ریشه ها 5 و -3 است.

q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.