طبق بررسی نمونه، سپرده گذاران بر اساس اندازه سپرده خود در Sberbank شهر گروه بندی شدند:

تعريف كردن:

1) دامنه تغییرات؛

2) اندازه متوسط ​​سپرده؛

3) انحراف خطی متوسط.

4) واریانس؛

5) انحراف معیار؛

6) ضریب تغییرات مشارکت.

راه حل:

این سری توزیع شامل فواصل باز است. در چنین سری‌هایی، مقدار فاصله گروه اول به طور متعارف برابر با مقدار بازه گروه بعدی و مقدار فاصله گروه آخر برابر با مقدار فاصله زمانی در نظر گرفته می‌شود. قبلی.

مقدار فاصله گروه دوم برابر با 200 است بنابراین مقدار گروه اول نیز برابر با 200 است. به ارزش 200

1) بیایید دامنه تغییرات را به عنوان تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین مقدار مشخصه تعریف کنیم:

دامنه تغییرات در اندازه سپرده 1000 روبل است.

2) اندازه متوسط ​​سهم با فرمول میانگین موزون حسابی تعیین می شود.

بیایید ابتدا مقدار گسسته ویژگی را در هر بازه تعریف کنیم. برای انجام این کار، با استفاده از فرمول عدد اول حسابی، نقاط میانی فواصل را پیدا می کنیم.

مقدار متوسط ​​اولین بازه برابر با:

دوم - 500 و غیره

بیایید نتایج محاسبات را در جدول وارد کنیم:

میانگین اندازه سپرده در Sberbank شهر برابر با 780 روبل خواهد بود:

3) میانگین انحراف خطی میانگین حسابی انحرافات مطلق مقادیر فردی ویژگی از میانگین کل است:

روش محاسبه میانگین انحراف خطی در سری توزیع بازه ای به شرح زیر است:

1. میانگین حسابی وزنی را همانطور که در مورد 2 نشان داده شده است محاسبه کنید.

2. انحراف مطلق متغیر از میانگین تعیین می شود:

3. انحرافات حاصل در فرکانس ضرب می شوند:

4. مجموع انحرافات وزنی را بدون در نظر گرفتن علامت بیابید:

5. مجموع انحرافات وزنی بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود:

استفاده از جدول داده های محاسبه شده راحت است:

میانگین انحراف خطی اندازه سپرده مشتریان Sberbank 203.2 روبل است.

4) پراکندگی میانگین حسابی مجذور انحراف هر مقدار مشخصه از میانگین حسابی است.

محاسبه واریانس در سری توزیع بازه ای طبق فرمول انجام می شود:

روش محاسبه واریانس در این مورد به شرح زیر است:

1. همانطور که در بند 2 نشان داده شده است، میانگین حسابی وزنی را تعیین کنید.

2. انحراف متغیر از میانگین را بیابید:

3. مربع انحراف هر گزینه از میانگین:

4. مجذور انحرافات را در وزن ها (فرکانس ها) ضرب کنید:

5. خلاصه آثار دریافت شده:

6. جمع حاصل بر مجموع وزن ها (فرکانس ها) تقسیم می شود:

بیایید محاسبات جدول را پر کنیم:

برنامه اکسل هم توسط حرفه ای ها و هم آماتورها بسیار مورد استقبال قرار می گیرد، زیرا کاربر با هر سطح مهارتی می تواند با آن کار کند. به عنوان مثال، هر کسی با حداقل مهارت های ارتباطی با اکسل می تواند یک نمودار ساده ترسیم کند، یک علامت مناسب و غیره ایجاد کند.

در عین حال، این برنامه حتی به شما امکان می دهد انواع محاسبات را انجام دهید، به عنوان مثال، محاسبات، اما این نیاز به سطح آموزش کمی متفاوت دارد. با این حال، اگر به تازگی آشنایی نزدیک با این برنامه را شروع کرده‌اید و به هر چیزی که به شما کمک می‌کند کاربر پیشرفته‌تری شوید علاقه‌مند هستید، این مقاله برای شماست. امروز به شما خواهم گفت که چه چیزی متوسط ​​است انحراف معیارفرمول در اکسل، چرا اصلاً مورد نیاز است و در واقع چه زمانی استفاده می شود. برو

آنچه هست

بیایید با تئوری شروع کنیم. معمولاً انحراف معیار نامیده می شود ریشه دوم، از میانگین حسابی تمام مجذورهای اختلاف بین مقادیر موجود و همچنین میانگین حسابی آنها به دست می آید. به هر حال، این مقدار معمولاً حرف یونانی "سیگما" نامیده می شود. انحراف استاندارد با استفاده از فرمول STDEV محاسبه می شود، به ترتیب، برنامه این کار را برای خود کاربر انجام می دهد.

ماهیت این مفهوم شناسایی درجه تغییرپذیری ابزار است، یعنی به روش خود شاخصی از آمار توصیفی است. تغییرات در نوسانات ابزار را در هر دوره زمانی تشخیص می دهد. با استفاده از فرمول های STDEV، می توانید انحراف استاندارد نمونه را تخمین بزنید، در حالی که منطقی و مقادیر متنینادیده گرفته شده است.

فرمول

به محاسبه انحراف معیار در کمک می کند فرمول اکسل، که به صورت خودکار در اکسل ارائه می شود. برای پیدا کردن آن، باید بخش فرمول را در اکسل پیدا کنید، و از قبل در آنجا یکی را انتخاب کنید که نام STDEV را دارد، بنابراین بسیار ساده است.

پس از آن، پنجره ای در مقابل شما ظاهر می شود که در آن باید داده هایی را برای محاسبه وارد کنید. به طور خاص، دو عدد باید در فیلدهای خاص وارد شود، پس از آن برنامه به طور خودکار انحراف استاندارد را برای نمونه محاسبه می کند.

بدون شک، فرمول‌ها و محاسبات ریاضی موضوعی نسبتاً پیچیده است و همه کاربران نمی‌توانند با آن کنار بیایند. با این وجود، اگر کمی عمیق‌تر کاوش کنید و موضوع را کمی دقیق‌تر درک کنید، معلوم می‌شود که همه چیز آنقدر غم‌انگیز نیست. امیدوارم با استفاده از مثال محاسبه انحراف معیار در این مورد قانع شده باشید.

ویدئویی برای کمک

X i -مقادیر تصادفی (جاری)؛

ایکس– مقدار میانگین متغیرهای تصادفی در یک نمونه، با فرمول محاسبه می شود:

بنابراین، واریانس مجذور میانگین انحرافات است ... یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود سپس تفاوت بین هر خط مبنا و میانگین، مجذور ، اضافه می شود و سپس بر تعداد مقادیر در جمعیت داده شده تقسیم می شود.

تفاوت بین مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. به طوری مربع می شود که همه انحرافات منحصراً تبدیل شوند اعداد مثبتو از نابودی متقابل انحرافات مثبت و منفی در صورت جمع بندی اجتناب شود. سپس با مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم.

سرنخ واژه جادویی"واریانس" فقط این سه کلمه است: میانگین - مربع - انحراف.

میانگین انحراف مربع (RMS)

با گرفتن جذر واریانس، به اصطلاح " انحراف ریشه - میانگین - مربع ".اسامی وجود دارد "انحراف استاندارد" یا "سیگما" (از نام حرف یونانی σ .). فرمول انحراف معیار:

بنابراین، واریانس مجذور سیگما یا مجذور انحراف معیار است.

انحراف استاندارد، بدیهی است که اندازه پراکندگی داده ها را نیز مشخص می کند، اما اکنون (برخلاف واریانس) می توان آن را با داده های اصلی مقایسه کرد، زیرا آنها واحدهای اندازه گیری یکسانی دارند (این از فرمول محاسبه مشهود است). دامنه تغییرات تفاوت بین مقادیر شدید است. انحراف استاندارد به عنوان معیار عدم قطعیت نیز در بسیاری از محاسبات آماری دخیل است. با کمک آن، درجه دقت ایجاد می شود. ارزیابی های مختلفو پیش بینی ها اگر تغییرات بسیار زیاد باشد، انحراف استاندارد نیز بزرگ می شود، بنابراین، پیش بینی نادرست خواهد بود، که به عنوان مثال، در فواصل اطمینان بسیار گسترده بیان می شود.

بنابراین، در روش های پردازش داده های آماری در ارزیابی اشیاء ملکی، بسته به دقت مورد نیاز کار، از قانون دو یا سه سیگما استفاده می شود.

برای مقایسه قانون دو سیگما و قانون سه سیگما از فرمول لاپلاس استفاده می کنیم:

F - F،

که در آن Ф (x) تابع لاپلاس است.

حداقل ارزش

β = حداکثر مقدار

s = مقدار سیگما (انحراف استاندارد)

a = متوسط

در این مورد استفاده کنید نمای خصوصیفرمول لاپلاس زمانی که مرزهای α و β ارزش دارند متغیر تصادفی X با مقداری d از مرکز توزیع a = M (X) فاصله دارند: a = a-d، b = a + d. یا (1) فرمول (1) احتمال انحراف معین d یک متغیر تصادفی X را با قانون توزیع نرمال از انتظار ریاضی آن M (X) = a تعیین می کند. اگر در فرمول (1) به ترتیب d = 2s و d = 3s را بگیریم، آنگاه به دست می‌آییم: (2)، (3).

قانون دو سیگما

تقریباً به طور قابل اعتماد (با سطح اطمینان 0.954) می توان استدلال کرد که تمام مقادیر یک متغیر تصادفی X با قانون توزیع نرمال از انتظار ریاضی آن M (X) = a به مقداری که بیشتر از 2 ثانیه نباشد (دو استاندارد) انحراف دارند. انحرافات). احتمال اطمینان (Pd) احتمال رویدادهایی است که به طور معمول قابل اعتماد در نظر گرفته می شوند (احتمال آنها نزدیک به 1 است).

اجازه دهید قانون دو سیگما را به صورت هندسی نشان دهیم. در شکل شکل 6 یک منحنی گاوسی با مرکز توزیع a را نشان می دهد. مساحتی که با کل منحنی و محور Ox محدود شده است 1 (100%) و مساحت ذوزنقه منحنی بین ابسیساهای a – 2s و a + 2s طبق قانون دو سیگما 0.954 (95.4%) است. از کل مساحت). مساحت مناطق سایه دار 1-0.954 = 0.046 ("5٪ از کل مساحت) است. این نواحی را ناحیه بحرانی مقادیر متغیر تصادفی می نامند. مقادیر یک متغیر تصادفی که در منطقه بحرانی قرار می گیرد بعید است و در عمل به طور معمول غیرممکن در نظر گرفته می شود.

احتمال مشروط ارزش های غیر ممکنسطح معنی داری متغیر تصادفی نامیده می شود. سطح معنی داری با فرمول زیر به سطح اطمینان مربوط می شود:

که در آن q سطح معنی داری است که به صورت درصد بیان می شود.

قانون سه سیگما

هنگام حل مسائلی که نیاز به قابلیت اطمینان بیشتر دارند، زمانی که احتمال اطمینان (Pd) برابر با 0.997 (به طور دقیق تر - 0.9973) در نظر گرفته شود، به جای قانون دو سیگما، طبق فرمول (3)، از قانون استفاده می شود. سه سیگما

مطابق با قانون سه سیگمابا سطح اطمینان 0.9973، منطقه بحرانی محدوده مقادیر ویژگی خارج از بازه (a-3s, a + 3s) خواهد بود. سطح معنی داری 0.27 درصد است.

به عبارت دیگر، این احتمال وجود دارد که قدر مطلقانحراف از سه برابر انحراف استاندارد تجاوز می کند، بسیار کوچک است، یعنی برابر با 0.0027 = 1-0.9973. این بدان معنی است که تنها در 0.27٪ موارد، این اتفاق می افتد. چنین وقایعی با اقتباس از اصل عدم امکان وقوع حوادث بعید، عملاً غیرممکن تلقی می شود. آن ها نمونه بسیار دقیق است

این ماهیت قانون سه سیگما است:

اگر یک متغیر تصادفی به طور معمول توزیع شود، قدر مطلق انحراف آن از انتظارات ریاضی از سه برابر انحراف استاندارد (RMSD) تجاوز نمی کند.

در عمل، قانون سه سیگما به صورت زیر اعمال می شود: اگر توزیع متغیر تصادفی مورد مطالعه ناشناخته باشد، اما شرط مشخص شده در قانون فوق برآورده شود، یعنی دلیلی وجود دارد که فرض کنیم کمیت مورد مطالعه به طور معمول توزیع شده است. در غیر این صورت، به طور معمول توزیع نمی شود.

سطح اهمیت بسته به درجه مجاز خطر و وظیفه در دست گرفته می شود. برای ارزیابی املاک و مستغلات، معمولاً نمونه ای کمتر دقیق با پیروی از قانون دو سیگما اتخاذ می شود.

پراکندگی. انحراف معیار

پراکندگیمیانگین حسابی مجذور انحرافات هر مقدار مشخصه از میانگین کلی است. واریانس می تواند بدون وزن (ساده) یا وزن بسته به داده های منبع باشد.

واریانس با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

برای داده های گروه بندی نشده

برای داده های گروه بندی شده

روش محاسبه واریانس وزنی:

1. میانگین وزنی حسابی را تعیین کنید

2. انحراف های متغیر از میانگین تعیین می شود

3. انحراف هر گزینه از میانگین را مربع کنید

4. مجذور انحرافات را در اوزان (فرکانس) ضرب کنید.

5. آثار دریافتی را خلاصه کنید

6. جمع حاصل بر مجموع اوزان تقسیم می شود

فرمول واریانس را می توان به فرمول زیر تبدیل کرد:

- ساده

روش محاسبه واریانس ساده است:

1-میانگین حسابی را تعیین کنید

2. میانگین حسابی را مجذور کنید

3. هر ردیف را مربع کنید

4. گزینه مجموع مربع ها را پیدا کنید

5. مجموع مربع های متغیر را بر تعداد آنها تقسیم کنید، i.e. میانگین مربع را تعیین کنید

6. تفاوت بین میانگین مربع مشخصه و مربع میانگین را تعیین کنید

همچنین فرمول تعیین واریانس وزنی را می توان به فرمول زیر تبدیل کرد:

آن ها واریانس برابر است با تفاوت بین میانگین مجذور مقادیر صفت و مجذور میانگین حسابی. هنگام استفاده از فرمول تبدیل شده، یک روش اضافی برای محاسبه انحراف مقادیر فردی یک مشخصه از x حذف می شود و یک خطا در محاسبه مربوط به گرد کردن انحراف ها حذف می شود.

پراکندگی دارای تعدادی ویژگی است که برخی از آنها محاسبه را آسان تر می کند:

1) واریانس یک ثابت صفر است.

2) اگر همه انواع مقادیر ویژگی به همان تعداد کاهش یابد، واریانس کاهش نخواهد یافت.

3) اگر همه انواع مقادیر مشخصه به همان تعداد بار (بار) کاهش یابد، واریانس بارها کاهش می یابد.

میانگین انحراف مربع S- جذر واریانس است:

برای داده های گروه بندی نشده:

;

برای سری تغییرات:

دامنه تغییرات، میانگین خطی و انحراف معیار کمیت نامگذاری شده است. آنها همان واحدها را دارند ارزش های فردیامضا کردن.

پراکندگی و انحراف معیار پرکاربردترین معیارهای تغییرات هستند. این با این واقعیت توضیح داده می شود که آنها در اکثر قضایای نظریه احتمال گنجانده شده اند که به عنوان پایه و اساس آمار ریاضی عمل می کند. علاوه بر این، واریانس را می توان به عناصر تشکیل دهنده آن برای ارزیابی تاثیر تجزیه کرد عوامل مختلفتعیین تنوع صفت

محاسبه شاخص های تغییرات برای بانک ها، گروه بندی شده بر اساس سود، در جدول نشان داده شده است.

میانگین انحراف خطی و استاندارد نشان می دهد که به طور متوسط ​​مقدار صفت بر حسب واحد و جمعیت مورد مطالعه چقدر نوسان دارد. بنابراین، در در این مورد مقدار متوسطنوسانات در میزان سود عبارتند از: با میانگین انحراف خطی 0.882 میلیون روبل. با انحراف استاندارد - 1.075 میلیون روبل. انحراف معیار همیشه بیشتر از انحراف استاندارد خطی است. اگر توزیع صفت نزدیک به نرمال باشد، بین S و d رابطه وجود دارد: S = 1.25d یا d = 0.8S. انحراف معیار نشان می دهد که چگونه بخش عمده ای از واحدهای جمعیت نسبت به میانگین حسابی قرار دارند. صرف نظر از شکل توزیع، 75 مقدار ویژگی در بازه x 2S و حداقل 89 از همه مقادیر در بازه x 3S قرار می گیرند (قضیه P.L. Chebyshev).

جذر واریانس را انحراف معیار از میانگین می گویند که به صورت زیر محاسبه می شود:

ابتدایی تبدیل جبریفرمول انحراف استاندارد آن را به شکل زیر هدایت می کند:

این فرمول اغلب در عمل محاسبات راحت تر است.

میانگین مربعات انحراف، مانند میانگین انحراف خطی، نشان می دهد که مقادیر خاص ویژگی به طور متوسط ​​چقدر از میانگین خود انحراف دارند. انحراف معیار همیشه بیشتر از انحراف استاندارد خطی است. چنین نسبتی بین آنها وجود دارد:

با دانستن این نسبت، می توان مجهول را با شاخص های شناخته شده، به عنوان مثال، تعیین کرد، اما (من a را محاسبه کنید و بالعکس انحراف استاندارد اندازه مطلق تغییرپذیری ویژگی را اندازه گیری می کند و در همان واحدهای اندازه گیری مقادیر ویژگی (روبل، تن، سال و غیره) بیان می شود. این معیار مطلق تنوع است.

برای علائم جایگزین، مانند حضور یا عدم حضور آموزش عالیفرمول های بیمه، واریانس و انحراف معیار به شرح زیر است:

اجازه دهید محاسبه انحراف معیار را با توجه به داده های یک سری گسسته نشان دهیم که توزیع دانشجویان یکی از دانشکده های دانشگاه را بر اساس سن مشخص می کند (جدول 6.2).

جدول 6.2.

نتایج محاسبات کمکی در ستون های 2-5 جدول آورده شده است. 6.2.

میانگین سنی یک دانش آموز، سال، با فرمول میانگین موزون حسابی (ستون 2) تعیین می شود:

مربع های انحراف سن فردی دانش آموز از میانگین در ستون های 3-4 و حاصل ضرب مربع های انحرافات با فرکانس های مربوطه در ستون 5 آمده است.

واریانس سن دانش آموزان، سال، با فرمول (6.2) بدست می آید:

سپس o = l / 3.43 1.85 * قصیده، یعنی. هر مقدار خاص از سن دانش آموز 1.85 سال از میانگین انحراف دارد.

ضریب تغییرات

از نظر مقدار مطلق آن، انحراف معیار نه تنها به درجه تنوع صفت بستگی دارد، بلکه به سطوح مطلق واریانت ها و میانگین نیز بستگی دارد. بنابراین، میانگین را مقایسه کنید انحرافات مربعیسری تغییرات با سطوح متوسط ​​مختلف به طور مستقیم امکان پذیر نیست. برای اینکه بتوانید چنین مقایسه ای انجام دهید، باید پیدا کنید وزن مخصوصمیانگین انحراف (خطی یا مربع) در میانگین حسابی که به صورت درصد بیان می شود، یعنی. محاسبه شاخص های نسبی تغییرات

ضریب تغییرات خطی با فرمول محاسبه می شود

ضریب تغییرات با فرمول زیر تعیین می شود:

در ضرایب تغییرات، نه تنها ناسازگاری مربوط به واحدهای اندازه گیری مختلف ویژگی مورد مطالعه حذف می شود، بلکه ناسازگاری ناشی از تفاوت در مقدار میانگین های حسابی نیز حذف می شود. علاوه بر این، شاخص های تنوع، همگنی جمعیت را مشخص می کند. اگر ضریب تغییرات از 33% تجاوز نکند، جمعیت همگن در نظر گرفته می شود.

طبق جدول. 6.2 و نتایج محاسبه به دست آمده در بالا، ما ضریب تغییرات،٪ را با توجه به فرمول (6.3) تعیین می کنیم:

اگر ضریب تغییرات بیش از 33٪ باشد، این نشان دهنده ناهمگونی جمعیت مورد مطالعه است. مقدار به دست آمده در مورد ما نشان می دهد که مجموع دانش آموزان از نظر سنی همگن است. بنابراین، یک تابع مهم از شاخص‌های تعمیم‌یافته تغییرات، ارزیابی پایایی میانگین است. کمتر c1، a2 و V، هر چه مجموعه پدیده های به دست آمده یکدست تر باشد و میانگین به دست آمده قابل اعتمادتر باشد. با توجه به "قانون سه سیگما" در نظر گرفته شده توسط آمار ریاضی، در سری های معمولی توزیع شده یا نزدیک به آنها، انحراف از میانگین حسابی، که بیش از 3 ± نیست، در 997 مورد از 1000 رخ می دهد. بنابراین، دانستن NS و a، می توانید یک ایده اولیه کلی از سری تغییرات بدست آورید. اگر مثلاً میانگین حق الزحمهکارمند در شرکت 25000 روبل بود و a برابر با 100 روبل است، سپس با احتمالی نزدیک به قابلیت اطمینان می توان استدلال کرد که دستمزد کارکنان شرکت در محدوده (25000 ± 3 x 100) در نوسان است. از 24700 تا 25300 روبل.