یک میانگین حسابی ساده عبارت است از میانگین، که در تعیین حجم کل یک ویژگی معین در آن است سنگدانه هاداده ها به طور مساوی بین تمام واحدهای موجود در این مجموعه توزیع می شود. بنابراین، متوسط ​​تولید سالانه تولید به ازای هر کارگر، مقداری از حجم تولید است که اگر کل حجم تولید به طور مساوی بین همه کارکنان سازمان توزیع شود، بر روی هر یک از کارکنان کاهش می یابد. میانگین حسابی مقدار ساده با فرمول محاسبه می شود:

میانگین حسابی ساده- برابر است با نسبت مجموع مقادیر فردی یک ویژگی به تعداد ویژگی‌ها در مجموع

مثال 1. یک تیم 6 کارگر ماهانه 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 هزار روبل دریافت می کند.

دستمزد متوسط ​​را پیدا کنید راه حل: (3 + 3.2 + 3.3 + 3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 هزار روبل.

میانگین موزون حسابی

اگر حجم مجموعه داده ها بزرگ باشد و نشان دهنده یک سری توزیع باشد، میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود. به این ترتیب میانگین موزون قیمت هر واحد تولید تعیین می شود: هزینه کل تولید (مجموع محصولات مقدار آن و قیمت یک واحد تولید) بر مقدار کل تولید تقسیم می شود.

ما این را به شکل فرمول زیر نشان می دهیم:

میانگین حسابی وزنی- برابر است با نسبت (مجموع حاصل از مقدار صفت به فراوانی تکرار این صفت) به (مجموع بسامدهای همه صفات) زمانی استفاده می شود که متغیرهای جامعه مورد مطالعه اتفاق می افتد. تعداد دفعات نابرابر

مثال 2. میانگین دستمزد کارگران مغازه در ماه را بیابید

میانگین دستمزد را می توان با تقسیم به دست آورد مبلغ کلدستمزد برای تعداد کلکارگران:

پاسخ: 3.35 هزار روبل.

میانگین حسابی برای یک سری فاصله

هنگام محاسبه میانگین حسابی برای یک سری تغییرات بازه ای، میانگین برای هر بازه ابتدا به صورت نصف مجموع مرزهای بالا و پایین و سپس میانگین کل سری تعیین می شود. در مورد بازه های باز، مقدار بازه پایین یا بالایی با مقدار فواصل مجاور آنها تعیین می شود.

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند.

مثال 3. میانگین سنی دانش آموزان در بخش عصر را تعیین کنید.

میانگین های محاسبه شده از سری های بازه ای تقریبی هستند. درجه تقریب آنها به میزان یکنواخت شدن توزیع واقعی واحدهای جمعیتی در بازه بستگی دارد.

هنگام محاسبه میانگین ها، نه تنها از مقادیر مطلق، بلکه نسبی (فرکانس) نیز می توان به عنوان وزن استفاده کرد.

هر فرد در دنیای مدرن، برنامه ریزی برای گرفتن وام یا ذخیره سبزیجات برای زمستان، به طور دوره ای با مفهومی به عنوان "متوسط" روبرو می شود. بیایید دریابیم: چیست، چه انواع و طبقاتی از آن وجود دارد و چرا در آمار و سایر رشته ها استفاده می شود.

مقدار متوسط ​​- چیست؟

نام مشابه (SV) یک مشخصه تعمیم یافته مجموعه ای از پدیده های همگن است که توسط هر یک از ویژگی های متغیر کمی تعیین می شود.

با این حال، افرادی به دور از چنین تعاریف مبهم این مفهوم را به عنوان یک مقدار متوسط ​​از چیزی درک می کنند. مثلاً قبل از گرفتن وام، کارمند بانک حتماً سؤال می کند مشتری بالقوهداده هایی را در مورد میانگین درآمد سال، یعنی کل پولی که یک فرد به دست می آورد، ارائه دهید. با جمع کردن درآمد کل سال و تقسیم بر تعداد ماه ها محاسبه می شود. بنابراین، بانک قادر خواهد بود تعیین کند که آیا مشتری خود می تواند بدهی خود را به موقع بازپرداخت کند یا خیر.

چرا از آن استفاده می شود؟

به عنوان یک قاعده، مقادیر متوسط ​​به طور گسترده ای به منظور توصیف نهایی برخی از پدیده های اجتماعی که ماهیت توده ای دارند، استفاده می شود. آنها همچنین می توانند برای محاسبات کوچکتر استفاده شوند، مانند مورد وام، در مثال بالا.

با این حال، اغلب میانگین ها هنوز برای اهداف جهانی استفاده می شوند. نمونه یکی از آنها محاسبه میزان برق مصرفی شهروندان در طول یک ماه تقویمی است. بر اساس داده‌های به‌دست‌آمده، متعاقباً حداکثر هنجارها برای دسته‌هایی از جمعیتی که از مزایای دولت برخوردار هستند تعیین می‌شود.

همچنین با کمک مقادیر متوسط، یک دوره گارانتی برای خدمات معین لوازم خانگی، اتومبیل ها، ساختمان ها و ... بر اساس داده های جمع آوری شده از این طریق، زمانی استانداردهای مدرن کار و استراحت ایجاد شد.

در واقع، هر پدیده ای از زندگی مدرن، که ماهیتی توده ای دارد، به هر نحوی لزوماً با مفهوم مورد بررسی مرتبط است.

برنامه های کاربردی

این پدیده تقریباً در تمام علوم دقیق، به ویژه علوم تجربی، کاربرد وسیعی دارد.

یافتن میانگین در پزشکی، مهندسی، آشپزی، اقتصاد، سیاست و ... از اهمیت بالایی برخوردار است.

بر اساس داده های به دست آمده از چنین تعمیم ها، آنها آماده سازی های پزشکی، برنامه های درسی را ایجاد می کنند، حداقل ها را ایجاد می کنند دستمزد زندگیو حقوق، برنامه ریزی مطالعاتی، تولید مبلمان، پوشاک و کفش، محصولات بهداشتی و موارد دیگر.

در ریاضیات به این اصطلاح «مقدار متوسط» می گویند و برای اجرای تصمیمات استفاده می شود نمونه های مختلفو وظایف ساده ترین آنها جمع و تفریق با کسرهای معمولی است. پس از همه، همانطور که مشخص است، به منظور حل نمونه های مشابههر دو کسر را به مخرج مشترک.

همچنین در ملکه علوم دقیق از اصطلاح «میانگین» استفاده می شود که از نظر معنایی نزدیک است. متغیر تصادفی". برای بسیاری، بیشتر به عنوان "انتظار" آشنا است، که اغلب در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود. شایان ذکر است که یک پدیده مشابه در هنگام انجام محاسبات آماری نیز اعمال می شود.

میانگین ارزش در آمار

با این حال، اغلب مفهوم مورد مطالعه در آمار استفاده می شود. همانطور که می دانید این علم خود متخصص در محاسبه و تجزیه و تحلیل است ویژگی های کمیرویدادهای اجتماعی جمعی بنابراین، مقدار متوسط ​​در آمار به عنوان یک روش تخصصی برای دستیابی به اهداف اصلی آن - جمع آوری و تجزیه و تحلیل اطلاعات استفاده می شود.

ماهیت این روش آماری جایگزینی مقادیر منحصر به فرد صفت مورد نظر با یک مقدار متوسط ​​متعادل معین است.

نمونه اش شوخی معروف غذایی است. بنابراین، در یک کارخانه معین سه شنبه ها برای ناهار، روسای او معمولاً کاسه گوشت می خورند و کارگران عادی کلم خورشتی می خورند. بر اساس این داده‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که کارکنان کارخانه به‌طور متوسط ​​سه‌شنبه‌ها با رول کلم غذا می‌خورند.

با اينكه مثال داده شدهکمی اغراق آمیز است، اما اشکال اصلی روش جستجوی مقدار متوسط ​​را نشان می دهد - تسطیح ویژگی های فردی اشیا یا شخصیت ها.

از میانگین ها نه تنها برای تجزیه و تحلیل اطلاعات جمع آوری شده، بلکه برای برنامه ریزی و پیش بینی اقدامات بعدی استفاده می شود.

همچنین برای ارزیابی نتایج به دست آمده (مثلا اجرای طرح کشت و برداشت گندم در فصل بهار و تابستان) استفاده می شود.

نحوه محاسبه

اگرچه بسته به نوع CV، فرمول های مختلفی برای محاسبه آن وجود دارد، اما در تئوری عمومی آمار، قاعدتاً تنها از یک روش برای محاسبه میانگین مقدار یک ویژگی استفاده می شود. برای این کار ابتدا باید مقادیر همه پدیده ها را با هم جمع کنید و سپس مجموع حاصل را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

هنگام انجام چنین محاسباتی، شایان ذکر است که مقدار متوسط ​​همیشه همان بعد (یا واحدها) را به عنوان یک واحد جداگانه از جمعیت دارد.

شرایط محاسبه صحیح

فرمول مورد بحث در بالا بسیار ساده و جهانی است، بنابراین اشتباه در آن تقریبا غیرممکن است. با این حال، همیشه ارزش در نظر گرفتن دو جنبه را دارد، در غیر این صورت داده های به دست آمده منعکس کننده وضعیت واقعی نیستند.

کلاس های CB

پس از یافتن پاسخ سؤالات اصلی: "مقدار متوسط ​​- چیست؟"، "کجا استفاده می شود؟" و "چگونه می توانم آن را محاسبه کنم؟"، ارزش این را دارد که بدانید چه کلاس ها و انواع CB وجود دارد.

اول از همه، این پدیده به 2 کلاس تقسیم می شود. اینها میانگین های ساختاری و توانی هستند.

انواع SW برق

هر یک از کلاس های فوق به نوبه خود به انواعی تقسیم می شوند. کلاس قدرت دارای چهار مورد از آنها است.

• میانگین حسابی رایج ترین نوع SV است. این یک عبارت متوسط ​​است که در تعیین حجم کل ویژگی در نظر گرفته شده در مجموعه داده به طور مساوی بین تمام واحدهای این مجموعه توزیع می شود.

  این نوع به زیرگونه تقسیم می شود: SV حسابی ساده و وزن دار.

• مقدار هارمونیک متوسط ​​شاخصی است که متقابل میانگین حسابی ساده است که از مقادیر متقابل مشخصه مورد نظر محاسبه می شود.

  در مواردی استفاده می شود که مقادیر فردی ویژگی و محصول مشخص باشد، اما داده های فرکانس مشخص نیست.

• از میانگین هندسی بیشتر در تحلیل نرخ رشد پدیده های اقتصادی استفاده می شود. این به شما امکان می دهد کار را به شکل بدون تغییر ذخیره کنید ارزش های فردیمقدار داده شده، نه مقدار.

  همچنین اتفاقاً ساده و متعادل است.

• ریشه میانگین ارزش مربع در محاسبه شاخص های فردی شاخص ها، مانند ضریب تغییرات، که ریتم خروجی و غیره را مشخص می کند، استفاده می شود.

  همچنین با کمک آن میانگین قطر لوله ها، چرخ ها، میانگین اضلاع مربع و ارقام مشابه محاسبه می شود.

  مانند سایر انواع SW متوسط، ریشه میانگین مربع ساده و وزنی است.

انواع کمیت های ساختاری

علاوه بر SW های متوسط، انواع ساختاری اغلب در آمار استفاده می شود. آنها برای محاسبه ویژگی های نسبی مقادیر یک ویژگی متغیر و ساختار داخلیخطوط توزیع

دو نوع از این قبیل وجود دارد.

میانگین(در ریاضیات و آمار) مجموعه اعداد - مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد آنها. یکی از رایج ترین معیارهای گرایش مرکزی است.

فیثاغورثی ها (همراه با میانگین هندسی و میانگین هارمونیک) پیشنهاد کردند.

موارد خاص از میانگین حسابی، میانگین (جمعیت عمومی) و میانگین نمونه (نمونه ها) است.

معرفی

مجموعه داده ها را مشخص کنید ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n، سپس میانگین نمونه معمولاً با یک نوار افقی روی متغیر (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) مشخص می شود که تلفظ می شود " ایکسبا خط تیره").

حرف یونانی μ برای نشان دادن میانگین حسابی کل جمعیت استفاده می شود. برای یک متغیر تصادفی که یک مقدار متوسط ​​برای آن تعریف شده است، μ است میانگین احتمالیا انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی. اگر مجموعه ایکسیک مجموعه است اعداد تصادفیبا احتمال میانگین μ، سپس برای هر نمونه ایکس مناز این مجموعه μ = E( ایکس من) مورد انتظار این نمونه است.

در عمل، تفاوت بین μ و x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) این است که μ یک متغیر معمولی است زیرا شما می توانید نمونه را به جای کل جامعه ببینید. بنابراین، اگر نمونه به صورت تصادفی نمایش داده شود (از نظر تئوری احتمال)، آنگاه x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (اما نه μ) را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع احتمال در نمونه در نظر گرفت ( توزیع احتمال میانگین).

هر دوی این مقادیر به یک شکل محاسبه می شوند:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

اگر یک ایکسیک متغیر تصادفی است، سپس انتظارات ریاضی ایکسرا می توان به عنوان میانگین حسابی مقادیر در اندازه گیری های مکرر کمیت در نظر گرفت ایکس. این جلوه ای از قانون اعداد بزرگ است. بنابراین از میانگین نمونه برای برآورد انتظارات ریاضی ناشناخته استفاده می شود.

در جبر ابتدایی ثابت می شود که میانگین n+ 1 عدد بالاتر از حد متوسط nاعداد اگر و فقط اگر عدد جدید بزرگتر از میانگین قدیم باشد، اگر و فقط اگر عدد جدید کمتر از میانگین باشد کمتر، و اگر و فقط اگر عدد جدید با میانگین برابر باشد تغییر نمی‌کند. بیشتر n، تفاوت بین میانگین جدید و قدیمی کمتر است.

توجه داشته باشید که چندین "میانگین" دیگر نیز وجود دارد، از جمله میانگین توان-قانون، میانگین کلموگروف، میانگین هارمونیک، میانگین حسابی-هندسی، و میانگین های وزنی مختلف (به عنوان مثال، میانگین وزنی حسابی، میانگین وزنی هندسی، میانگین وزنی هارمونیک) .

مثال ها

• برای سه عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 3 تقسیم کنید:

• برای چهار عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 4 تقسیم کنید:

یا راحت تر 5+5=10، 10:2. چون 2 عدد جمع کردیم یعنی هر چقدر عدد جمع کنیم بر آن مقدار تقسیم می کنیم.

متغیر تصادفی پیوسته

برای مقدار توزیع پیوسته f (x) (\displaystyle f(x)) میانگین حسابی در بازه [a; b ] (\displaystyle ) از طریق یک انتگرال معین تعریف می شود:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

برخی از مشکلات استفاده از میانگین

عدم استحکام

اگرچه میانگین حسابی اغلب به عنوان میانگین یا روند مرکزی استفاده می شود، این مفهوم در مورد آمارهای قوی کاربرد ندارد، به این معنی که میانگین حسابی تابع نفوذ قوی"انحرافات بزرگ". قابل توجه است که برای توزیع هایی با چولگی زیاد، میانگین حسابی ممکن است با مفهوم "میانگین" مطابقت نداشته باشد و مقادیر میانگین از آمارهای قوی (به عنوان مثال، میانه) ممکن است روند مرکزی را بهتر توصیف کند.

مثال کلاسیک محاسبه میانگین درآمد است. میانگین حسابی را می توان به اشتباه به عنوان یک میانه تفسیر کرد، که می تواند به این نتیجه برسد که تعداد افراد با درآمد بیشتر از آنچه واقعاً وجود دارد، بیشتر است. درآمد «متوسط» به گونه ای تعبیر می شود که درآمد اکثر افراد نزدیک به این عدد است. این درآمد «متوسط» (به معنای میانگین حسابی) از درآمد بیشتر افراد بیشتر است، زیرا درآمد بالا با انحراف زیاد از میانگین، میانگین حسابی را به شدت منحرف می‌کند (در مقابل، درآمد متوسط ​​«مقاومت می‌کند» چنین کجی). با این حال، این درآمد «متوسط» چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد متوسط ​​نمی گوید (و چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد معین نمی گوید). با این حال، اگر مفاهیم «متوسط» و «اکثریت» را ساده تلقی کنیم، می توان به اشتباه نتیجه گرفت که بیشتر مردم درآمدی بالاتر از آنچه که هستند، دارند. به عنوان مثال، گزارشی در مورد «متوسط» درآمد خالص در مدینه، واشنگتن، که به عنوان میانگین حسابی کل درآمد خالص سالانه ساکنان محاسبه می‌شود، به طرز شگفت‌انگیزی نشان می‌دهد. عدد بزرگبه خاطر بیل گیتس نمونه (1، 2، 2، 2، 3، 9) را در نظر بگیرید. میانگین حسابی 3.17 است، اما پنج مقدار از شش مقدار زیر این میانگین است.

بهره مرکب

اگر اعداد تکثیر کردن، اما نه تا کردن، باید از میانگین هندسی استفاده کنید نه از میانگین حسابی. اغلب، این حادثه هنگام محاسبه بازده سرمایه گذاری در امور مالی اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، اگر سهام در سال اول 10٪ کاهش یافت و در سال دوم 30٪ افزایش یافت، محاسبه "متوسط" افزایش در این دو سال به عنوان میانگین حسابی (-10٪ + 30٪) اشتباه است / 2 = 10٪؛ میانگین صحیح در این مورد توسط نرخ رشد سالانه مرکب به دست می‌آید، که از آن رشد سالانه تنها حدود 8.16653826392% ≈ 8.2% است.

دلیل این امر این است که درصدها هر بار نقطه شروع جدیدی دارند: 30٪ 30٪ است. از عددی کمتر از قیمت ابتدای سال اول:اگر سهام از 30 دلار شروع شود و 10 درصد کاهش یابد، در آغاز سال دوم 27 دلار ارزش دارد. اگر سهام 30 درصد افزایش یابد، در پایان سال دوم 35.1 دلار ارزش دارد. میانگین حسابی این رشد 10٪ است، اما از آنجایی که سهام در 2 سال فقط 5.1 دلار رشد کرده است، میانگین افزایش 8.2٪ نتیجه نهایی 35.1 دلار را نشان می دهد:

[30 دلار (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دلار (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دلار]. اگر از میانگین حسابی 10% به همین ترتیب استفاده کنیم، مقدار واقعی را بدست نمی آوریم: [30 دلار (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دلار].

سود مرکب در پایان سال 2: 90٪ * 130٪ = 117٪، یعنی افزایش کل 17٪، و میانگین سود مرکب سالانه 117٪ ≈ 108.2٪ (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \تقریباً 108.2% ، یعنی افزایش متوسط ​​سالانه 8.2٪.

جهت ها

هنگام محاسبه میانگین حسابی یک متغیر که به صورت چرخه ای تغییر می کند (مثلاً فاز یا زاویه)، باید دقت ویژه ای داشت. برای مثال، میانگین 1° و 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 درجه خواهد بود. این عدد به دو دلیل نادرست است.

• ابتدا، اندازه‌های زاویه‌ای فقط برای محدوده 0 تا 360 درجه (یا از 0 تا 2π وقتی بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شوند) تعریف می‌شوند. بنابراین، همان جفت اعداد را می توان به صورت (1° و -1°) یا به صورت (1° و 719°) نوشت. میانگین هر جفت متفاوت خواهد بود: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• دوم، در این مورد، مقدار 0 درجه (معادل 360 درجه) از نظر هندسی بهترین میانگین خواهد بود، زیرا اعداد کمتر از 0 درجه نسبت به هر مقدار دیگر انحراف دارند (مقدار 0 درجه کمترین واریانس را دارد). مقایسه کنید:
  • عدد 1 درجه از 0 درجه فقط 1 درجه منحرف می شود.
  • عدد 1 درجه از میانگین محاسبه شده 180 درجه در 179 درجه منحرف می شود.

مقدار متوسط ​​برای یک متغیر چرخه‌ای که طبق فرمول بالا محاسبه می‌شود، به طور مصنوعی نسبت به میانگین واقعی به وسط محدوده عددی منتقل می‌شود. به همین دلیل، میانگین به روش دیگری محاسبه می شود، یعنی عددی با کمترین واریانس به عنوان مقدار میانگین انتخاب می شود ( نقطه مرکزی). همچنین به جای تفریق، از فاصله مدول (یعنی فاصله محیطی) استفاده می شود. به عنوان مثال، فاصله مدولار بین 1 درجه و 359 درجه 2 درجه است، نه 358 درجه (در یک دایره بین 359 درجه و 360 درجه ==0 درجه - یک درجه، بین 0 درجه و 1 درجه - همچنین در مجموع 1 درجه - 2 درجه).

4.3. مقادیر متوسط ماهیت و معنای میانگین ها

مقدار متوسطدر آمار، یک شاخص تعمیم نامیده می شود که سطح معمولی یک پدیده را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می کند، که منعکس کننده بزرگی یک ویژگی متفاوت در واحد یک جمعیت از نظر کیفی همگن است. در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان میانگین محاسبه می شود.

به عنوان مثال، یک شاخص تعمیم دهنده درآمد کارگران در یک شرکت سهامی (JSC) میانگین درآمد یک کارگر است که توسط نسبت صندوق تعیین می شود. دستمزدو پرداخت هایی با ماهیت اجتماعی برای دوره مورد بررسی (سال، سه ماهه، ماه) به تعداد کارگران شرکت سهامی.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. میانگینآنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است منعکس می کند، در عین حال تفاوت بین واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی وجود دارد شانس. فرصتو نیاز.هنگام محاسبه میانگین ها، به دلیل عملکرد قانون اعداد بزرگ، تصادفی بودن یکدیگر را خنثی می کند، متعادل می شود، بنابراین می توانید از ویژگی های ناچیز پدیده، از مقادیر کمی ویژگی در هر مورد خاص انتزاع بگیرید. در توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر فردی، نوسانات، ارزش علمی میانگین ها نهفته است. خلاصه کردنویژگی های کل

در مواردی که نیاز به تعمیم وجود دارد، محاسبه چنین ویژگی هایی منجر به جایگزینی بسیاری از مقادیر مختلف فردی ویژگی می شود. متوسطشاخصی که کلیت پدیده ها را مشخص می کند، که امکان شناسایی الگوهای ذاتی در پدیده های اجتماعی توده ای را فراهم می کند که در پدیده های منفرد نامحسوس هستند.

میانگین نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است، این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان را مشخص می کند.

میانگین مشخصه خلاصه ای از منظم بودن فرآیند تحت شرایطی است که در آن پیش می رود.

4.4. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های اولیه تعیین می شود. در هر مورد، یکی از مقادیر متوسط ​​اعمال می شود: حساب، گارمونیک، هندسی، درجه دوم، مکعبیو غیره. میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند قدرتمتوسط.

علاوه بر میانگین های قدرت-قانون، در عمل آماری از میانگین های ساختاری استفاده می شود که مد و میانه در نظر گرفته می شوند.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد ابزار قدرت صحبت کنیم.

میانگین حسابی

رایج ترین نوع میانگین است میانگین حسابیدر مواردی استفاده می شود که حجم یک ویژگی متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای جداگانه آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (مجموع) حجم یک ویژگی متفاوت مشخص می شوند، این دامنه میانگین حسابی را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد، به عنوان مثال: صندوق دستمزد کل مجموع دستمزد همه است. کارگران، برداشت ناخالص مجموع محصولات تولید شده از کل منطقه کاشت است.

برای محاسبه میانگین حسابی، باید مجموع تمام مقادیر ویژگی ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

میانگین حسابی در فرم اعمال می شود میانگین ساده و میانگین وزنی.میانگین ساده به عنوان شکل اولیه و تعیین کننده عمل می کند.

میانگین حسابی سادهبرابر است با مجموع ساده مقادیر فردی ویژگی میانگین تقسیم شده بر تعداد کل این مقادیر (در مواردی استفاده می شود که مقادیر فردی ویژگی گروه بندی نشده باشد):

جایی که
- مقادیر فردی متغیر (گزینه ها)؛ متر - تعداد واحدهای جمعیتی

محدودیت های جمع بندی بیشتر در فرمول ها نشان داده نخواهد شد. به عنوان مثال، در صورتی که مشخص شود هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، باید میانگین خروجی یک کارگر (قفل ساز) را پیدا کرد. با توجه به تعدادی از مقادیر فردی این صفت، قطعات:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

میانگین حسابی ساده با فرمول (4.1)، 1 عدد محاسبه می شود:

میانگین گزینه هایی که چندین بار تکرار می شوند، یا گفته می شود وزن های متفاوتی دارند، نامیده می شود وزن داراوزان تعداد واحدها در گروه های مختلف جمعیتی است (گروه گزینه های مشابهی را ترکیب می کند).

میانگین موزون حسابی- مقادیر متوسط ​​گروه بندی شده، - با فرمول محاسبه می شود:

, (4.2)

جایی که
- وزن ها (تکرار تکرار ویژگی های مشابه)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها بر اساس فرکانس آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

ما روش محاسبه میانگین وزنی حسابی را با استفاده از مثالی که در بالا توضیح داده شد، نشان خواهیم داد. برای این کار داده های اولیه را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم. 4.1.

جدول 4.1

توزیع کارگران برای توسعه قطعات

با توجه به فرمول (4.2)، میانگین وزنی حسابی برابر است، قطعات:

در برخی موارد، وزن ها ممکن است ارائه نشود ارزش های مطلق، اما نسبی (در درصد یا کسری از یک واحد). سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که
- خاص، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع همه

اگر فرکانس ها در کسری (ضرایب) شمارش شوند، پس
= 1، و فرمول میانگین موزون حسابی این است:

محاسبه میانگین موزون حسابی از میانگین های گروه طبق فرمول انجام می شود:

,

جایی که f-تعداد واحدها در هر گروه

نتایج محاسبه میانگین حسابی میانگین گروه در جدول ارائه شده است. 4.2.

جدول 4.2

توزیع کارگران بر اساس میانگین طول خدمت

در این مثال، گزینه ها داده های فردی در مورد طول خدمت تک تک کارگران نیستند، بلکه میانگین هایی برای هر کارگاه هستند. ترازو fتعداد کارگران در مغازه ها هستند. بنابراین، میانگین تجربه کاری کارگران در سراسر شرکت، سال‌ها خواهد بود:

.

محاسبه میانگین حسابی در سری توزیع

اگر مقادیر مشخصه میانگین به صورت فواصل ("از - به") داده شود، به عنوان مثال. سری های توزیع بازه ای، سپس هنگام محاسبه مقدار میانگین حسابی، نقاط میانی این بازه ها به عنوان مقادیر ویژگی ها در گروه ها در نظر گرفته می شود که در نتیجه یک سری گسسته تشکیل می شود. مثال زیر را در نظر بگیرید (جدول 4.3).

بیایید با جایگزین کردن مقادیر بازه با مقادیر میانگین آنها از یک سری بازه ای به یک سری گسسته حرکت کنیم / (میانگین ساده

جدول 4.3

توزیع کارگران AO بر اساس سطح دستمزد ماهانه

مقادیر بازه های باز (اول و آخرین) به طور مشروط با فواصل مجاور آنها (دوم و ماقبل آخر) برابر است.

با چنین محاسبه ای از میانگین، مقداری عدم دقت مجاز است، زیرا فرضی در مورد توزیع یکنواخت واحدهای ویژگی در گروه وجود دارد. با این حال، خطا کوچکتر، بازه باریکتر و تعداد واحدهای بازه بیشتر خواهد بود.

پس از یافتن نقاط میانی فواصل، محاسبات به همان روشی که در یک سری گسسته انجام می شود انجام می شود - گزینه ها در فرکانس ها (وزن ها) ضرب می شوند و مجموع محصولات بر مجموع فرکانس ها (وزن ها) تقسیم می شود. ، هزار روبل:

.

بنابراین، متوسط ​​سطح دستمزد کارگران در JSC 729 روبل است. هر ماه.

محاسبه میانگین حسابی اغلب با صرف زمان و کار زیاد همراه است. با این حال، در برخی موارد، روش محاسبه میانگین را می توان با استفاده از ویژگی های آن ساده و تسهیل کرد. اجازه دهید (بدون اثبات) برخی از خصوصیات اساسی میانگین حسابی را ارائه کنیم.

ملک 1. اگر همه مقادیر مشخصه فردی (به عنوان مثال. همه گزینه ها) کاهش یا افزایش در منبار، سپس مقدار متوسط یک ویژگی جدید بر این اساس کاهش یا افزایش خواهد یافت منیک بار.

ملک 2. اگر همه انواع ویژگی میانگین کاهش یابدبه عدد A و سپس میانگین حسابی بدوزید یا افزایش دهیدبه میزان قابل توجهی به همان عدد A کاهش یا افزایش می یابد.

ملک 3. اگر وزن تمام گزینه های میانگین کاهش یابد یا افزایش به به بارها، میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

به عنوان اوزان متوسط ​​به جای شاخص های مطلق، می توانید استفاده کنید وزن مخصوصدر کل کل (سهام یا درصد). این محاسبه میانگین را ساده می کند.

برای ساده‌سازی محاسبات میانگین، مسیر کاهش مقادیر گزینه‌ها و فرکانس‌ها را دنبال می‌کنند. بزرگترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که ولیمقدار یکی از گزینه های مرکزی با بالاترین فرکانس به عنوان / - مقدار فاصله (برای ردیف هایی با فواصل یکسان) انتخاب می شود. مقدار L را مبدا می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین را "روش شمارش از صفر شرطی" یا "روش لحظات".

بیایید همه گزینه ها را فرض کنیم ایکسابتدا با همان عدد A کاهش می یابد و سپس کاهش می یابد منیک بار. ما یک سری توزیع متغیر جدید از انواع جدید دریافت می کنیم .

سپس گزینه های جدیدبیان خواهد شد:

,

و میانگین حسابی جدید آنها , -لحظه اول سفارش- فرمول:

.

برابر است با میانگین گزینه های اصلی که ابتدا کاهش می یابد ولی،و سپس در منیک بار.

برای به دست آوردن میانگین واقعی، به یک لحظه از مرتبه اول نیاز دارید متر 1 ، ضربدر منو اضافه کنید ولی:

.

این روشمحاسبه میانگین حسابی از سری تغییرات نامیده می شود "روش لحظات".این روش در ردیف هایی با فواصل مساوی اعمال می شود.

محاسبه میانگین حسابی با روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 4.4.

جدول 4.4

توزیع بنگاه های کوچک در منطقه بر اساس ارزش دارایی های تولید ثابت (OPF) در سال 2000

پیدا کردن لحظه اولین مرتبه

.

سپس با فرض A = 19 و دانستن آن من= 2، محاسبه کنید ایکس،هزار روبل.:

انواع مقادیر متوسط ​​و روشهای محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری می توان انواع وظایف پژوهشی را تعیین کرد که برای حل آنها باید میانگین مناسب را انتخاب کرد. در این مورد، لازم است که توسط قانون زیر هدایت شوید: مقادیری که صورت و مخرج میانگین را نشان می دهند باید از نظر منطقی با یکدیگر مرتبط باشند.

• میانگین های توان;
• میانگین های ساختاری.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:

مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود؛

میانگین، جایی که خط بالا نشان می دهد که میانگین گیری مقادیر فردی انجام می شود.

فراوانی (تکرارپذیری مقادیر صفت فردی).

ابزارهای مختلفی از فرمول میانگین توان عمومی به دست می‌آیند:

(5.1)

برای k = 1 - میانگین حسابی. k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = -2 - ریشه میانگین مربع.

میانگین ها یا ساده هستند یا وزن دار. میانگین های موزونبه مقادیری گفته می شود که در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است دارای اعداد مختلفی باشند و بنابراین هر گونه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر، «وزن‌ها» تعداد واحدهای جمعیتی در گروه‌های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا میانگین وزنی.

میانگین حسابی- رایج ترین نوع رسانه. زمانی استفاده می‌شود که محاسبه بر روی داده‌های آماری گروه‌بندی نشده انجام می‌شود، جایی که می‌خواهید جمع میانگین را به دست آورید. میانگین حسابی چنین مقدار میانگین یک ویژگی است که پس از دریافت آن، حجم کل ویژگی در جامعه بدون تغییر باقی می‌ماند.

فرمول میانگین حسابی ( ساده) دارای فرم است

که در آن n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال، متوسط ​​حقوق کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حسابی محاسبه می شود:

شاخص های تعیین کننده در اینجا دستمزد هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین، مقدار کل دستمزد ثابت باقی ماند، اما به طور مساوی بین همه کارگران توزیع شد. به عنوان مثال، محاسبه میانگین حقوق کارکنان یک شرکت کوچک که 8 نفر در آن مشغول به کار هستند ضروری است:

هنگام محاسبه میانگین ها، مقادیر فردی مشخصه هایی که به طور میانگین می شوند را می توان تکرار کرد، بنابراین میانگین با استفاده از داده های گروه بندی شده محاسبه می شود. در این مورد ما داریم صحبت می کنیمدر مورد استفاده میانگین وزنی حسابی، که به نظر می رسد

(5.3)

بنابراین، باید میانگین قیمت سهام یک شرکت سهامی را در بورس محاسبه کنیم. مشخص شده است که معاملات طی 5 روز (5 نوبت معاملاتی) انجام شده است، تعداد سهام فروخته شده به نرخ فروش به شرح زیر توزیع شده است:

1 - 800 ac. - 1010 روبل

2 - 650 ac. - 990 روبل.

3 - 700 ak. - 1015 روبل.

4 - 550 ac. - 900 روبل.

5 - 850 ak. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهم، نسبت کل مبلغ معاملات (OSS) به تعداد سهام فروخته شده (KPA) است.

مقادیر متوسط ​​به طور گسترده در آمار استفاده می شود. مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفی فعالیت تجاری را مشخص می کند: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

متوسط این یکی از رایج ترین تعمیم ها است. درک صحیح از ماهیت میانگین اهمیت ویژه آن را در یک اقتصاد بازار تعیین می کند، زمانی که میانگین، از طریق یک اقتصاد واحد و تصادفی، تشخیص کلی و ضروری، شناسایی روند الگوهای توسعه اقتصادی را ممکن می سازد.

مقدار متوسط - اینها شاخص های تعمیم دهنده ای هستند که در آنها بیان کنش را پیدا می کنند شرایط عمومی، قانونمندی های پدیده مورد مطالعه.

میانگین های آماری بر اساس داده های انبوه مشاهده انبوه به طور صحیح سازماندهی شده آماری (مستمر و انتخابی) محاسبه می شود. با این حال، میانگین آماری اگر از داده های انبوه برای یک جمعیت کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، عینی و معمولی خواهد بود. به عنوان مثال، اگر متوسط ​​دستمزد را در تعاونی ها و شرکت های دولتی محاسبه کنیم و نتیجه را به کل جمعیت تعمیم دهیم، آنگاه میانگین ساختگی است، زیرا برای جمعیتی ناهمگن محاسبه می شود و چنین میانگینی معنای خود را از دست می دهد.

با کمک میانگین، همانطور که بود، تفاوت‌ها در بزرگی ویژگی که به دلایلی در واحدهای مشاهده‌ای منفرد ایجاد می‌شوند، هموار می‌شوند.

به عنوان مثال، میانگین خروجی یک فروشنده به عوامل زیادی بستگی دارد: صلاحیت، طول خدمت، سن، نوع خدمات، سلامت و غیره.

میانگین خروجی منعکس کننده ویژگی عمومی کل جمعیت است.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر صفت مورد مطالعه است، بنابراین در همان بعد این صفت اندازه گیری می شود.

هر مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را با توجه به یک ویژگی مشخص می کند. برای به دست آوردن تصویری کامل و جامع از جمعیت مورد مطالعه از نظر تعدادی از ویژگی های اساسی، به طور کلی لازم است سیستمی از مقادیر متوسط ​​وجود داشته باشد که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند.

میانگین های مختلفی وجود دارد:

میانگین حسابی؛

میانگین هندسی؛

هارمونیک متوسط؛

ریشه میانگین مربع؛

میانگین زمانی

برخی از انواع میانگین ها را که بیشتر در آمار استفاده می شود در نظر بگیرید.

میانگین حسابی

میانگین حسابی ساده (بدون وزن) برابر است با مجموع مقادیر فردی مشخصه تقسیم بر تعداد این مقادیر.

مقادیر مجزای صفت، متغیر نامیده می شوند و با x () نشان داده می شوند. تعداد واحدهای جمعیت با n نشان داده می شود، مقدار متوسط ​​ویژگی - با . بنابراین، میانگین حسابی ساده عبارت است از:

با توجه به داده های سری توزیع گسسته، می توان مشاهده کرد که مقادیر یکسان ویژگی (گزینه ها) چندین بار تکرار می شود. بنابراین، نوع x در مجموع 2 بار رخ می دهد، و نوع x - 16 بار و غیره.

تعداد مقادیر مشخصه یکسان در سری توزیع، فرکانس یا وزن نامیده می شود و با نماد n نشان داده می شود.

میانگین دستمزد هر کارگر را محاسبه کنید به روبل:

صورتحساب دستمزد برای هر گروه از کارگران برابر است با حاصلضرب اختیارات و فراوانی و مجموع این محصولات کل صورتحساب دستمزد همه کارگران را نشان می دهد.

مطابق با این، محاسبات را می توان به شکل کلی ارائه کرد:

فرمول حاصل را میانگین حسابی وزنی می نامند.

مطالب آماری در نتیجه پردازش را می توان نه تنها در قالب سری های توزیع گسسته، بلکه به صورت سری تغییرات بازه ای با فواصل بسته یا باز ارائه کرد.

محاسبه میانگین برای داده های گروه بندی شده بر اساس فرمول میانگین حسابی وزنی انجام می شود:

در عمل آمارهای اقتصادی، گاهی اوقات لازم است میانگین را با میانگین های گروهی یا با میانگین های تک تک افراد جامعه (میانگین جزئی) محاسبه کرد. در چنین مواردی، میانگین های گروهی یا جزئی به عنوان گزینه (x) در نظر گرفته می شود که بر اساس آن، میانگین کل به عنوان میانگین موزون حسابی معمول محاسبه می شود.

ویژگی های اساسی میانگین حسابی .

میانگین حسابی چند ویژگی دارد:

1. از کاهش یا افزایش فراوانی هر مقدار از ویژگی x به میزان n برابر، مقدار میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

اگر همه فرکانس ها در یک عدد تقسیم یا ضرب شوند، مقدار میانگین تغییر نخواهد کرد.

2. ضریب کل مقادیر فردی ویژگی را می توان از علامت میانگین خارج کرد:

3. میانگین مجموع (تفاوت) دو یا چند کمیت برابر است با مجموع (تفاوت) میانگین آنها:

4. اگر x \u003d c، جایی که c یک مقدار ثابت است، پس
.

5. مجموع انحرافات مقادیر ویژگی X از میانگین حسابی x برابر با صفر است:

هارمونیک متوسط

همراه با میانگین حسابی، آمار از میانگین هارمونیک، متقابل میانگین حسابی مقادیر متقابل صفت استفاده می کند. مانند میانگین حسابی، می تواند ساده و وزن دار باشد.

همراه با میانگین ها، ویژگی های سری تغییرات حالت و میانه است.

روش - این مقدار صفت (نوعی)، بیشترین تکرار در جمعیت مورد مطالعه است. برای سری های توزیع گسسته، حالت مقدار متغیری با بالاترین فرکانس خواهد بود.

برای سری های توزیع بازه ای با فواصل مساوی، حالت با فرمول تعیین می شود:

جایی که
- مقدار اولیه فاصله حاوی حالت؛

- مقدار فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله معین.

- فرکانس فاصله قبل از مدال.

- فرکانس فاصله پس از مدال.

میانه گونه ای است که در وسط ردیف تغییرات قرار دارد. اگر سری توزیع گسسته و دارای تعداد فرد فرد باشد، آنگاه میانه متغیری خواهد بود که در وسط سری مرتب شده قرار دارد (یک سری مرتب، آرایش واحدهای جمعیت به ترتیب صعودی یا نزولی است).

در محاسبه مقدار متوسط ​​از دست رفته است.

میانگین معنیمجموعه اعداد برابر است با مجموع اعداد S تقسیم بر تعداد این اعداد. یعنی معلوم می شود که میانگین معنیبرابر است: 19/4 = 4.75.

توجه داشته باشید

اگر می خواهید میانگین هندسی را فقط برای دو عدد پیدا کنید، به ماشین حساب مهندسی نیاز ندارید: ریشه درجه دوم را استخراج کنید ( ریشه دوم) از هر عددی را می توان با استفاده از رایج ترین ماشین حساب انجام داد.

مشاوره مفید

برخلاف میانگین حسابی، میانگین هندسی به شدت تحت تأثیر انحرافات و نوسانات بزرگ بین مقادیر فردی در مجموعه شاخص های مورد مطالعه قرار نمی گیرد.

منابع:

• ماشین حساب آنلاین که میانگین هندسی را محاسبه می کند
• میانگین فرمول هندسی

میانگینارزش یکی از ویژگی های مجموعه اعداد است. عددی را نشان می دهد که نمی تواند خارج از محدوده تعریف شده توسط بزرگترین و کوچکترین مقادیر در این مجموعه اعداد باشد. میانگینمقدار حسابی - متداول ترین انواع میانگین ها.

دستورالعمل

تمام اعداد مجموعه را جمع کنید و آنها را بر تعداد عبارت ها تقسیم کنید تا میانگین حسابی به دست آید. بسته به شرایط خاص محاسبه، گاهی اوقات ساده تر است که هر یک از اعداد را بر تعداد مقادیر موجود در مجموعه تقسیم کنید و نتیجه را جمع کنید.

برای مثال، در صورتی که محاسبه میانگین حسابی در ذهن شما امکان پذیر نیست، از موارد موجود در سیستم عامل ویندوز استفاده کنید. می توانید آن را با استفاده از گفتگوی راه اندازی برنامه باز کنید. برای انجام این کار، کلیدهای داغ WIN + R را فشار دهید یا روی دکمه "شروع" کلیک کنید و دستور "Run" را از منوی اصلی انتخاب کنید. سپس calc را در قسمت ورودی تایپ کنید و Enter را فشار دهید یا دکمه OK را بزنید. همین کار را می توان از طریق منوی اصلی انجام داد - آن را باز کنید، به بخش "همه برنامه ها" و در بخش "استاندارد" بروید و خط "ماشین حساب" را انتخاب کنید.

تمام اعداد مجموعه را با فشردن کلید Plus بعد از هر یک از آنها (به جز شماره آخر) یا با کلیک بر روی دکمه مربوطه در واسط ماشین حساب، پشت سر هم وارد کنید. همچنین می توانید اعداد را هم از صفحه کلید و هم با کلیک روی دکمه های رابط مربوطه وارد کنید.

پس از وارد کردن آخرین مقدار مجموعه، کلید اسلش را فشار دهید یا در رابط ماشین حساب روی آن کلیک کنید و تعداد اعداد را در ترتیب چاپ کنید. سپس علامت مساوی را فشار دهید تا ماشین حساب میانگین حسابی را محاسبه و نمایش دهد.

برای همین منظور می توانید از ویرایشگر صفحه گسترده مایکروسافت اکسل استفاده کنید. در این حالت، ویرایشگر را راه اندازی کنید و تمام مقادیر دنباله اعداد را در سلول های مجاور وارد کنید. اگر پس از وارد کردن هر عدد، Enter یا کلید فلش پایین یا راست را فشار دهید، خود ویرایشگر فوکوس ورودی را به سلول مجاور منتقل می کند.

اگر نمی‌خواهید فقط میانگین حسابی را ببینید، روی سلول کنار آخرین عددی که وارد کرده‌اید کلیک کنید. سیگمای یونانی (Σ) دستورات ویرایش را در تب Home گسترش دهید. خط را انتخاب کنید " میانگین” و ویرایشگر فرمول مورد نظر را برای محاسبه میانگین درج می کند مقدار حسابیبه سلول برجسته شده کلید Enter را فشار دهید و مقدار محاسبه می شود.

میانگین حسابی یکی از معیارهای گرایش مرکزی است که به طور گسترده در ریاضیات و محاسبات آماری استفاده می شود. یافتن میانگین حسابی برای چندین مقدار بسیار ساده است، اما هر کار تفاوت های ظریف خاص خود را دارد که برای انجام محاسبات صحیح به سادگی باید دانست.

میانگین حسابی چیست

نحوه پیدا کردن میانگین حسابی

ویژگی های کار با اعداد منفی

1. یافتن میانگین حسابی رایج با روش استاندارد.
2. یافتن میانگین حسابی اعداد منفی.
3. محاسبه میانگین حسابی اعداد مثبت.

پاسخ های هر یک از اقدامات با کاما از هم جدا شده اند.

کسرهای طبیعی و اعشاری

هنگام کار با کسرهای طبیعیآنها باید به یک مخرج مشترک کاهش یابد که در تعداد اعداد آرایه ضرب می شود. شمارنده پاسخ مجموع اعداد داده شده عناصر کسری اصلی خواهد بود.

• ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل

لطفا توجه داشته باشید که در مورد کلیمیانگین اعداد هندسیبا ضرب این اعداد و استخراج ریشه درجه مطابق با تعداد اعداد از آنها به دست می آید. برای مثال، اگر باید میانگین هندسی پنج عدد را پیدا کنید، باید ریشه درجه را از حاصلضرب استخراج کنید.

برای پیدا کردن میانگین هندسی دو عدد از قانون اساسی استفاده کنید. حاصل ضرب آنها را پیدا کنید و سپس جذر را از آن استخراج کنید، زیرا اعداد دو هستند که با درجه ریشه مطابقت دارد. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 16 و 4، حاصل ضرب آنها را 16 4=64 بیابید. از عدد به دست آمده، جذر √64=8 را استخراج کنید. این خواهد بود مقدار مورد نظر. لطفاً توجه داشته باشید که میانگین حسابی این دو عدد بزرگتر و مساوی 10 است. اگر ریشه کاملاً گرفته نشد، نتیجه را به ترتیب دلخواه گرد کنید.

برای یافتن میانگین هندسی بیش از دو عدد، از قانون اساسی نیز استفاده کنید. برای این کار، حاصل ضرب تمام اعدادی را که می خواهید میانگین هندسی آنها را بیابید، پیدا کنید. از حاصل ضرب، ریشه درجه را برابر تعداد اعداد استخراج کنید. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 2، 4 و 64، حاصل ضرب آنها را پیدا کنید. 2 4 64 = 512. از آنجایی که باید نتیجه میانگین هندسی سه عدد را پیدا کنید، ریشه درجه سوم را از حاصلضرب استخراج کنید. انجام این کار به صورت شفاهی دشوار است، بنابراین از یک ماشین حساب مهندسی استفاده کنید. برای انجام این کار، یک دکمه "x ^ y" دارد. شماره 512 را بگیرید، دکمه "x^y" را فشار دهید، سپس عدد 3 را بگیرید و دکمه "1/x" را فشار دهید، برای یافتن مقدار 1/3، دکمه "=" را فشار دهید. نتیجه افزایش 512 را به توان 1/3 می گیریم که با ریشه درجه سوم مطابقت دارد. 512^1/3=8 را دریافت کنید. این میانگین هندسی اعداد 2.4 و 64 است.

با استفاده از یک ماشین حساب مهندسی، می توانید میانگین هندسی را به روش دیگری پیدا کنید. دکمه log را روی صفحه کلید خود پیدا کنید. پس از آن، لگاریتم هر یک از اعداد را بگیرید، مجموع آنها را پیدا کنید و آن را بر تعداد اعداد تقسیم کنید. از عدد حاصل، آنتی لگاریتم را بگیرید. این میانگین هندسی اعداد خواهد بود. به عنوان مثال، برای یافتن میانگین هندسی همان اعداد 2، 4 و 64، مجموعه ای از عملیات را روی ماشین حساب انجام دهید. عدد 2 را تایپ کنید، سپس دکمه log را فشار دهید، دکمه "+" را فشار دهید، عدد 4 را تایپ کنید و دوباره log و "+" را فشار دهید، 64 را تایپ کنید، log و "=" را فشار دهید. نتیجه عددی برابر با مجموع لگاریتم های اعشاری اعداد 2، 4 و 64 خواهد بود. عدد حاصل را بر 3 تقسیم کنید، زیرا این تعداد اعدادی است که میانگین هندسی با آن ها جستجو می شود. از نتیجه، با جابجایی کلید ثبت، آنتی لگاریتم را بگیرید و از همان کلید log استفاده کنید. نتیجه عدد 8 است، این میانگین هندسی مورد نظر است.