هر مقدار جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین برای حل مسائل عملی، دانستن چندین ویژگی عددی کافی است که به لطف آنها می توان ویژگی های اصلی یک متغیر تصادفی را به صورت مختصر ارائه کرد.

این مقادیر در درجه اول هستند ارزش مورد انتظارو پراکندگی .

ارزش مورد انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. تعیین شده به عنوان .

توسط بیشتر به روشی سادهانتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی X(w)، به عنوان یافت می شوند انتگراللبگبا توجه به اندازه گیری احتمال آر اصلی فضای احتمال

همچنین می توانید انتظار ریاضی یک مقدار را به عنوان پیدا کنید انتگرال Lebesgueاز جانب ایکسبا توزیع احتمال R Xمقادیر ایکس:

مجموعه تمام مقادیر ممکن کجاست ایکس.

انتظارات ریاضی توابع از یک متغیر تصادفی ایکساز طریق توزیع است R X. مثلا، اگر ایکس- متغیر تصادفی با مقادیر در و f(x)- بدون ابهام بورلتابع ایکس ، سپس:

اگر F(x)- تابع توزیع ایکس، پس انتظار ریاضی قابل نمایش است انتگرالLebesgue - Stieltjes (یا Riemann - Stieltjes):

در حالی که یکپارچگی ایکسبه لحاظ ( * ) مربوط به محدود بودن انتگرال است

در موارد خاص، اگر ایکسدارای توزیع گسسته با مقادیر احتمالی است x k, k=1، 2، . ، و احتمالات، سپس

اگر ایکسدارای توزیع کاملاً پیوسته با چگالی احتمال است p(x)، سپس

در این حالت، وجود یک انتظار ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال مربوطه است.

ویژگی های انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی.

• انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این مقدار است:

سی- مقدار ثابت؛

• M=C.M[X]

• انتظارات ریاضی از مجموع مقادیر تصادفی گرفته شده برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

• انتظارات ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل = حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M=M[X]+M[Y]

اگر ایکسو Yمستقل.

اگر سری همگرا شوند:

الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی.

ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: همه مقادیر آنها را می توان مجددا شماره گذاری کرد اعداد طبیعی; هر مقدار را با یک احتمال غیر صفر برابر کنید.

1. جفت ها را به ترتیب ضرب کنید: x iبر روی پی.

2. محصول هر جفت را اضافه کنید x i p i.

مثلا، برای n = 4 :

تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهگام به گام در نقاطی که احتمالات آنها علامت مثبت دارد به طور ناگهانی افزایش می یابد.

مثال:انتظارات ریاضی را با فرمول پیدا کنید.

پراکندگیمتغیر تصادفی پیوسته X که مقادیر ممکن آن به کل محور Ox تعلق دارد با برابری تعیین می شود:

واگذاری خدمات. ماشین حساب آنلاینطراحی شده برای حل مسائلی که در آنها یا چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x) (به مثال مراجعه کنید). معمولاً در چنین کارهایی نیاز به یافتن است انتظارات ریاضی، میانگین انحراف معیار، توابع f(x) و F(x) را رسم کنید..

دستورالعمل. نوع داده ورودی را انتخاب کنید: چگالی توزیع f(x) یا تابع توزیع F(x).

چگالی توزیع f(x) داده شده است:

تابع توزیع F(x) داده می شود:

یک متغیر تصادفی پیوسته با چگالی احتمال تعریف می شود
(قانون توزیع رایلی - مورد استفاده در مهندسی رادیو). M(x)، D(x) را پیدا کنید.

متغیر تصادفی X نامیده می شود مداوم ، اگر تابع توزیع آن F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته برای محاسبه احتمالات یک متغیر تصادفی در یک بازه معین استفاده می شود:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
علاوه بر این، برای یک متغیر تصادفی پیوسته، مهم نیست که مرزهای آن در این بازه گنجانده شود یا خیر:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
چگالی توزیع متغیر تصادفی پیوسته تابع نامیده می شود
f(x)=F'(x)، مشتق تابع توزیع.

ویژگی های چگالی توزیع