5.1 مفهوم اندازه متوسط

مقدار متوسط ​​-این یک شاخص تعمیم دهنده است که سطح معمولی پدیده را مشخص می کند. این مقدار یک ویژگی را در واحد جمعیت بیان می کند.

میانگین همیشه تغییرات کمی صفت را تعمیم می دهد ، به عنوان مثال. در مقادیر میانگین ، تفاوت های فردی واحدهای جمعیت ، به دلیل شرایط تصادفی ، از بین می رود. برخلاف متوسط قدر مطلقتوصیف سطح یک ویژگی واحد فردی از جمعیت اجازه نمی دهد مقادیر یک ویژگی را در واحدهای متعلق به جمعیت های مختلف مقایسه کنیم. بنابراین ، اگر لازم است سطح دستمزد کارگران در دو شرکت مقایسه شود ، بنابراین نمی توان بر این اساس دو کارگر شرکت های مختلف را مقایسه کرد. حقوق کارگرانی که برای مقایسه انتخاب شده اند ممکن است برای این شرکت ها معمولی نباشد. اگر اندازه صندوق های دستمزد را در شرکت های مورد بررسی مقایسه کنیم ، تعداد کارکنان در نظر گرفته نمی شود و بنابراین ، تعیین جایی که سطح دستمزد بیشتر است غیرممکن است. در نهایت ، تنها شاخص های متوسط ​​را می توان مقایسه کرد ، به عنوان مثال. چقدر یک کارگر در هر شرکت دریافت می کند بنابراین ، محاسبه میانگین به عنوان یک ویژگی کلی برای جمعیت ضروری می شود.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. میانگین آنچه مشترک است را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه معمولی (معمولی) است نفی می کند ، در عین حال تفاوت واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ، ترکیبی از شانس و ضرورت وجود دارد. هنگام محاسبه میانگین ها ، به دلیل عمل قانون اعداد بزرگ ، شانس لغو و متعادل می شود ، بنابراین می توان از ویژگیهای ناچیز پدیده ، از مقادیر کمی ویژگی در هر مورد خاص ، برداشت کرد. توانایی انتزاع از تصادفی بودن ارزشهای فردی ، نوسانات و ارزش علمی میانگینها به عنوان ویژگیهای کلی کننده کل دانه ها.

برای اینکه میانگین به طور واقعی نمونه ای باشد ، باید بر اساس اصول خاصی محاسبه شود.

بیایید روی برخی متمرکز شویم اصول کلیاستفاده از میانگین ها
1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.
2. میانگین باید برای جمعیتی متشکل از افراد کافی محاسبه شود تعداد زیادیواحدها
3. میانگین باید برای جمعیت محاسبه شود که واحدهای آن در حالت طبیعی و طبیعی هستند.
4- میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

5.2 انواع میانگین ها و نحوه محاسبه آنها

اکنون اجازه دهید انواع میانگین ها ، ویژگی های محاسبه و دامنه آنها را در نظر بگیریم. میانگین ها به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند: میانگین توان ، میانگین ساختاری.

به معنی قدرتشامل مشهورترین و پر استفاده ترین انواع مانند میانگین هندسی ، میانگین حسابی و میانگین ریشه است.

مانند میانگین های ساختاریمد و میانه در نظر گرفته شده است.

بیایید روی میانگین قدرت صحبت کنیم. میانگین توان ، بسته به ارائه داده های اولیه ، می تواند ساده و وزنی باشد. میانگین سادهاز داده های گروه بندی نشده محاسبه می شود و شکل کلی زیر را دارد:

جایی که X i - گزینه ها (مقدار) ویژگی میانگین ؛

n تعداد گزینه ها است.

میانگین وزنیاز داده های گروه بندی شده محاسبه می شود و یک فرم کلی دارد

,

جایی که X i نوع (مقدار) ویژگی میانگین یا مقدار میانی فاصله ای است که در آن اندازه گیری می شود.
متر - نشانگر درجه متوسط ​​؛
f i - فرکانس نشان می دهد که چند بار ارزش i-eاز ویژگی میانگین

بیایید به عنوان مثال محاسبه میانگین سن دانش آموزان در یک گروه 20 نفره را ارائه دهیم:

میانگین سن با استفاده از فرمول متوسط ​​ساده محاسبه می شود:

بیایید داده های اصلی را گروه بندی کنیم. ما گرفتیم ردیف بعدیتوزیع:

در نتیجه گروه بندی ، یک شاخص جدید دریافت می کنیم - فرکانسی که تعداد دانش آموزان را در سن X سال نشان می دهد. در نتیجه ، متوسط ​​سن دانش آموزان در یک گروه با استفاده از فرمول میانگین وزنی محاسبه می شود:

فرمول های عمومی برای محاسبه میانگین توان دارای یک توان (m) هستند. بسته به مقدار مورد نیاز ، انواع میانگین قدرت زیر مشخص می شود:
هارمونیک متوسط ​​، اگر m = -1 ؛
میانگین هندسی اگر m -> 0 ؛
میانگین حساب اگر m = 1 ؛
ریشه میانگین مربع ، اگر m = 2 ؛
متوسط ​​مکعب اگر m = 3

فرمول های قانون قدرت در جدول آورده شده است. 4.4

اگر همه انواع میانگین ها را برای داده های اولیه یکسان محاسبه کنیم ، مقادیر آنها نابرابر خواهد شد. در اینجا قاعده بزرگنمایی میانگین ها اعمال می شود: با افزایش m توان ، مقدار متوسط ​​مربوطه نیز افزایش می یابد:

در عمل آماری ، بیشتر از سایر میانگین های وزنی ، از میانگین های حسابی و میانگین های وزنی هارمونیک استفاده می شود.

جدول 5.1

انواع میانگین توان

نوع قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	فرمول محاسبه
		ساده	وزن دار
هارمونیک	-1
هندسی	0
حسابی	1
درجه دوم	2
مکعبی	3

هارمونیک متوسط ​​بیشتر دارد ساختار پیچیدهاز میانگین حسابی میانگین هارمونیک برای محاسبات زمانی مورد استفاده قرار می گیرد که وزن واحدهای کل نیستند - حامل صفت ، بلکه حاصلضرب این واحدها با مقادیر ویژگی (یعنی m = Xf) است. در مواردی که به عنوان مثال ، میانگین هزینه کار ، زمان ، مواد در واحد تولید ، در هر قسمت برای دو (سه ، چهار و غیره) کارگران ، کارگران مشغول به کار ، باید به متوسط ​​خرابی هارمونیک متوسل شود. از همان نوع محصولات، همان قسمت ، محصول.

شرط اصلی فرمول محاسبه میانگین این است که تمام مراحل محاسبه دارای یک توجیه اساسی واقعی باشند. میانگین حاصله باید جایگزین شود ارزشهای فردیعلائم برای هر جسم بدون ایجاد اختلال در ارتباط بین شاخص های فردی و تجمیعی. به عبارت دیگر ، مقدار متوسط ​​باید به گونه ای محاسبه شود که هنگام جایگزینی هر مقدار شاخص میانگین با مقدار متوسط ​​آن ، برخی از شاخص های خلاصه نهایی بدون تغییر باقی بمانند ، مربوط بهیا به طریقی دیگر با میانگین. این خط پایانی نامیده می شود تعریف کردن ،از آنجا که ماهیت رابطه آن با مقادیر فردی فرمول خاصی را برای محاسبه میانگین تعیین می کند. اجازه دهید این قانون را با استفاده از مثال میانگین هندسی نشان دهیم.

فرمول میانگین هندسی

اغلب در هنگام محاسبه مقدار متوسط ​​برای مقادیر نسبی فردی دینامیک استفاده می شود.

میانگین هندسی اگر دنباله ای از مقادیر نسبی زنجیره دینامیک ارائه شود ، به عنوان مثال ، افزایش حجم تولید را در مقایسه با سطح سال قبل نشان می دهد: i 1 ، i 2 ، i 3 ، ...، که در. بدیهی است که حجم تولید در سال گذشتهبا سطح اولیه آن (q 0) و رشد بعدی طی سالها تعیین می شود:

q n = q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.

با در نظر گرفتن q n به عنوان شاخص تعیین کننده و جایگزینی مقادیر فردی شاخص های دینامیک با میانگین ها ، به رابطه می رسیم

از اینجا

5.3 میانگین های ساختاری

نوع خاصی از میانگین ها - میانگین های ساختاری - برای مطالعه استفاده می شود ساختار داخلیمجموعه ای از توزیع مقادیر ویژگی ، و همچنین برای ارزیابی مقدار متوسط ​​(نوع قدرت) ، اگر طبق داده های آماری موجود ، محاسبه آن امکان پذیر نباشد (به عنوان مثال ، اگر در مثال مورد نظر داده ای در مورد هر دو حجم تولید و میزان هزینه گروه های شرکت) ...

شاخص ها بیشتر به عنوان میانگین ساختاری استفاده می شوند روش -بیشترین مقدار مکرر مشخصه - و میانه -مقدار یک ویژگی ، که ترتیب مرتب شده از مقادیر آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. در نتیجه ، در نیمی از واحدهای جمعیت ، ارزش صفت از سطح متوسط ​​تجاوز نمی کند و در دیگری ، کمتر از آن نیست.

اگر ویژگی مورد مطالعه دارای مقادیر گسسته باشد ، در محاسبه حالت و میانه هیچ مشکل خاصی وجود ندارد. اگر داده های مربوط به مقادیر ویژگی X در قالب فواصل مرتب شده تغییر آن ارائه شود (سری فاصله) ، محاسبه حالت و میانه تا حدودی پیچیده تر می شود. از آنجا که مقدار متوسط ​​کل جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند ، معلوم می شود که در برخی از فواصل ویژگی X وجود دارد. با استفاده از درون یابی در این فاصله متوسط ​​، مقدار میانه پیدا می شود:

,

جایی که X Me حد پایینی فاصله متوسط ​​است ؛
h من - ارزش آن ؛
(مجموع متر) / 2 - نیمی از کلمشاهدات یا نیمی از حجم شاخصی که به عنوان وزنی در فرمولهای محاسبه میانگین (به صورت مطلق یا نسبی) استفاده می شود.
S Me -1 - مجموع مشاهدات (یا حجم ویژگی وزن) قبل از شروع فاصله متوسط ​​انباشته شده است.
m Me - تعداد مشاهدات یا حجم صفت وزن در فاصله متوسط ​​(همچنین به صورت مطلق یا نسبی).

در مثال ما ، حتی سه مقدار متوسط ​​را می توان بدست آورد - بر اساس ویژگی های تعداد شرکت ها ، حجم تولید و مبلغ کلهزینه های تولید:

بنابراین ، نیمی از شرکت ها دارای هزینه واحد بیش از 125.19 هزار روبل هستند ، نیمی از حجم کل تولید با سطح هزینه هر محصول بیش از 124.79 هزار روبل تولید می شود. و 50 of از هزینه کل زمانی ایجاد می شود که هزینه یک محصول بالاتر از 125.07 هزار روبل باشد. توجه داشته باشید که گرایش خاصی به افزایش قیمت تمام شده وجود دارد ، زیرا Me 2 = 124.79 هزار روبل است و سطح متوسط ​​آن 123.15 هزار روبل است.

هنگام محاسبه مقدار معینی یک ویژگی با توجه به داده های یک سری بازه ، لازم است به این واقعیت توجه کنید که فواصل یکسان هستند ، زیرا شاخص تکرارپذیری مقادیر ویژگی X به این بستگی دارد برای یک سری بازه ای با فواصل برابر ، مقدار حالت به عنوان تعیین می شود

جایی که X Mo مقدار کمتر فاصله مدال است ؛
m Mo - تعداد مشاهدات یا حجم ویژگی وزن در بازه زمانی (به صورت مطلق یا نسبی) ؛
m Mo -1 - یکسان برای فاصله قبل از مدال ؛
m Mo + 1 - یکسان برای فاصله بعد از مدال ؛
h - مقدار فاصله تغییرات صفت در گروه ها.

برای مثال ما ، سه مقدار معین را می توان بر اساس ویژگی های تعداد شرکت ها ، حجم تولید و میزان هزینه ها محاسبه کرد. در هر سه مورد ، فاصله مدال یکسان است ، زیرا برای همان فاصله تعداد شرکت ها ، حجم تولید و کل هزینه های تولید بیشترین است:

بنابراین ، اغلب شرکت هایی با سطح هزینه تولید 126.75 هزار روبل وجود دارند ، اغلب محصولات با سطح هزینه 126.69 هزار روبل تولید می شوند و اغلب هزینه های تولید با سطح قیمت تمام شده 123.73 هزار روبل توضیح داده می شود.

5.4 شاخص های تنوع

شرایط خاصی که هر یک از اجسام مورد مطالعه در آن قرار دارد و همچنین ویژگی های آنها توسعه خود(اجتماعی ، اقتصادی ، و غیره) توسط سطوح عددی مربوطه از شاخص های آماری بیان می شود. بدین ترتیب، تغییر،آن ها عدم تطابق سطوح همان شاخص در اشیاء مختلف، عینی است و به درک اصل پدیده مورد مطالعه کمک می کند.

روش های مختلفی برای اندازه گیری تنوع در آمار استفاده می شود.

ساده ترین آن محاسبه شاخص است دامنه تنوعН به عنوان تفاوت بین حداکثر (X max) و حداقل (X min) مقادیر مشاهده شده ویژگی:

H = X حداکثر - X دقیقه

با این حال ، دامنه تنوع فقط مقادیر شدید صفت را نشان می دهد. در اینجا تکرارپذیری مقادیر متوسط ​​در نظر گرفته نشده است.

ویژگی های دقیق تر ، شاخص های تغییرپذیری نسبت به سطح متوسط ​​صفت هستند. ساده ترین شاخص این نوع است میانگین انحراف خطی L به عنوان متوسط مقدار حسابیانحراف مطلق یک صفت از سطح متوسط ​​آن:

با تکرارپذیری مقادیر فردی X ، از فرمول استفاده کنید میانگین حسابیوزن دار:

(به یاد بیاورید که جمع جبریانحراف از میانگین صفر است.)

شاخص میانگین انحراف خطی پیدا شده است کاربرد گستردهدر تمرین به عنوان مثال ، با کمک آن ، ترکیب کارگران ، ریتم تولید ، یکنواختی منابع مواد مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد و سیستم های مشوق های مادی توسعه می یابد. اما ، متأسفانه ، این شاخص محاسبات نوع احتمالی را پیچیده می کند و به کارگیری روش های آمار ریاضی را دشوار می کند. بنابراین ، در آمار تحقیق علمیبرای اندازه گیری تنوع ، بیشتر از شاخص استفاده می شود واریانس

واریانس ویژگی (s 2) بر اساس میانگین توان درجه دوم تعیین می شود:

.

نماد s برابر با ، نامیده می شود انحراف معیار.

در نظریه عمومی آمار ، شاخص واریانس برآوردی از شاخص نظریه احتمال به همین نام و (به عنوان مجموع مربع انحرافات) تخمین واریانس در آمار ریاضی است که امکان استفاده از آن را فراهم می کند. مفاد این رشته های نظری برای تجزیه و تحلیل فرایندهای اقتصادی اجتماعی است.

اگر تنوع از تعداد کمی از مشاهدات برآمده از یک جمعیت عمومی نامحدود تخمین زده شود ، مقدار متوسط ​​صفت با کمی خطا تعیین می شود. به نظر می رسد که مقدار محاسبه شده واریانس به سمت کاهش سوگیری است. برای بدست آوردن برآورد بی طرفانه ، واریانس نمونه بدست آمده از فرمول های قبلی باید در مقدار n / (n - 1) ضرب شود. در نتیجه ، با تعداد کمی از مشاهدات (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

معمولاً ، در n> (15-20) ، اختلاف بین برآوردهای مغرضانه و بی طرفانه ناچیز می شود. به همین دلیل ، تعصب معمولاً در فرمول افزودن واریانس در نظر گرفته نمی شود.

اگر چندین نمونه از جمعیت عمومی تهیه کنیم و هر بار مقدار متوسط ​​ویژگی را تعیین کنیم ، در این صورت مشکل از تغییرپذیری میانگین بوجود می آید. تخمین واریانس مقدار میانگیناین امکان وجود دارد و تنها بر اساس یک نمونه مشاهده با فرمول

,

جایی که n اندازه نمونه است ؛ s 2 - واریانس ویژگی ، محاسبه شده از داده های نمونه.

کمیت نام دارد متوسط ​​خطای نمونه گیریو مشخصه انحراف میانگین نمونه ویژگی صفت X از میانگین واقعی آن است. شاخص خطای متوسط ​​برای ارزیابی قابلیت اطمینان نتایج مشاهده نمونه استفاده می شود.

شاخص های پراکندگی نسبیبرای توصیف میزان تغییرپذیری صفت مورد مطالعه ، شاخص های تنوع در مقادیر نسبی محاسبه می شوند. آنها به شما امکان می دهند ماهیت پراکندگی را در توزیع های مختلف (واحدهای مختلف مشاهده یک ویژگی در دو جمعیت ، با معانی مختلفمیانگین ها ، هنگام مقایسه برخلاف جمعیت). محاسبه شاخص های اندازه گیری پراکندگی نسبی به عنوان نسبت شاخص مطلق پراکندگی به میانگین حساب ، ضرب در 100 carried انجام می شود.

1. ضریب نوسانتغییرپذیری نسبی مقادیر شدید ویژگی در حدود میانگین را نشان می دهد

.

2. خاموشی نسبی خطی مشخص کننده سهم مقدار متوسط ​​علامت انحرافات مطلق از مقدار متوسط ​​است

.

3. ضریب تنوع:

متداول ترین معیار تغییرپذیری است که برای ارزیابی ویژگی میانگین ها استفاده می شود.

در آمار ، جمعیت هایی با ضریب تغییرات بیشتر از 30 تا 35 درصد ناهمگن در نظر گرفته می شوند.

این روش ارزیابی تنوع نیز یک اشکال قابل توجه دارد. در واقع ، به عنوان مثال ، مجموعه اولیه کارگران با متوسط ​​سابقه کار 15 سال ، با انحراف استاندارد s = 10 سال ، "پیری" 15 سال دیگر. در حال حاضر = 30 سال ، و انحراف استاندارد هنوز 10 است. جمعیت قبلاً ناهمگن (100 × 15/15 = 66.7)) ، بنابراین در طول زمان کاملاً همگن است (100 10 10/30 = 33.3٪).

بویارسکی A.Ya. تحقیقات نظری در آمار: شنبه. علم مجموعه مقالات - م .: آمار ، 1974. S. 19-57.

مهمترین ویژگی میانگین این است که منعکس کننده کلی است که در همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه ذاتی است. مقادیر ویژگی واحدهای فردی جمعیت تحت تأثیر عوامل زیادی متفاوت است ، که در بین آنها می توان عوامل اصلی و تصادفی را نام برد. ماهیت میانگین در این واقعیت نهفته است که به طور متقابل انحراف مقادیر ویژگی را که ناشی از عوامل عوامل تصادفی است جبران می کند و تغییرات ناشی از عمل را جمع می کند (با در نظر گرفتن) عوامل اصلی این به میانگین اجازه می دهد تا سطح معمولی صفت را منعکس کند و از خصوصیات فردی ذاتی واحدهای جداگانه انتزاعی باشد.

برای اینکه میانگین به طور واقعی نمونه ای باشد ، باید بر اساس اصول خاصی محاسبه شود.

اصول اساسی استفاده از میانگین ها.

1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.

2. میانگین باید برای جمعیتی متشکل از تعداد کافی واحد بزرگ محاسبه شود.

3. میانگین باید برای جمعیت در شرایط ثابت محاسبه شود (هنگامی که عوامل تأثیرگذار تغییر نکرده یا تغییر قابل ملاحظه ای ندارند).

4- میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

محاسبه اکثر آمارهای خاص بر اساس استفاده از موارد زیر است:

· مجموع متوسط ​​؛

· قدرت متوسط ​​(هارمونیک ، هندسی ، حساب ، درجه دوم ، مکعب) ؛

· زمان بندی متوسط ​​(بخش را ببینید).

همه میانگین ها ، بجز میانگین کل ، در دو نسخه محاسبه می شوند - به صورت وزنی یا بدون وزن.

میانگین کل از فرمول استفاده می شود:

جایی که w i= x i* f i;

x i- گزینه i-thمیانگین ویژگی ؛

f i, - وزن من- گزینه اول

قانون قدرت متوسط V نمای کلیفرمول محاسبه:

جایی که مدرک ک- نوع توان متوسط

میانگین مقادیر محاسبه شده بر اساس ابزار قانون قدرت برای داده های اولیه یکسان یکسان نیستند. با افزایش ضریب k مقدار متوسط ​​مربوطه نیز افزایش می یابد:

میانگین تقویمی. برای یک سری زمانی لحظه ای با فواصل مساوی بین تاریخها ، با فرمول محاسبه می شود:

,

جایی که x 1و NSnمقدار شاخص در تاریخ شروع و پایان.

فرمولهای محاسبه میانگین توان

مثال. مطابق جدول. 2.1 محاسبه میانگین دستمزد برای سه شرکت به طور کلی الزامی است.

جدول 2.1

حقوق شرکتهای JSC

خاص فرمول محاسبهبستگی به جدول داده دارد. 7 عدد اصلی هستند. بر این اساس ، گزینه های زیر ممکن است: داده ها در ستون 1 (تعداد PPP) و 2 (حقوق ماهانه) ؛ یا - 1 (تعداد PPP) و 3 (حقوق متوسط) ؛ یا 2 (حقوق ماهانه) و 3 (حقوق متوسط).

در صورتی که فقط داده های ستون 1 و 2 در دسترس باشد... نتایج این نمودارها حاوی مقادیر لازم برای محاسبه میانگین مورد نظر است. از فرمول میانگین کل استفاده می شود:

اگر فقط اطلاعات ستون 1 و 3 در دسترس باشد، سپس مخرج نسبت اصلی شناخته شده است ، اما شمارنده آن مشخص نیست. با این حال ، حقوق و دستمزد را می توان با ضرب میانگین دستمزد در تعداد PPP به دست آورد. بنابراین ، می توان میانگین کلی را با استفاده از فرمول محاسبه کرد میانگین حسابی وزنی:

باید در نظر داشت که وزن ( f i) در برخی موارد می تواند حاصل دو یا حتی سه معنی باشد.

علاوه بر این ، در عمل آماری ، میانگین حساب بدون وزن:

جایی که n حجم جمعیت است.

این میانگین زمانی استفاده می شود که وزنه ها ( f i) وجود ندارد (هر یک از انواع ویژگی فقط یک بار رخ می دهد) یا برابر یکدیگر است.

اگر فقط داده های ستون 2 و 3 در دسترس باشد.یعنی ، عدد نسبت اصلی مشخص است ، اما مخرج آن مشخص نیست. با تقسیم حقوق و دستمزد بر میانگین حقوق ، می توان تعداد PPP برای هر شرکت را بدست آورد. سپس محاسبه متوسط ​​حقوق برای سه شرکت به طور کلی طبق فرمول انجام می شود وزن متوسط ​​هارمونیک:

اگر وزنها مساوی باشد ( f i) شاخص متوسط ​​را می توان با استفاده از آن محاسبه کرد هارمونیک متوسط ​​بدون وزن:

در مثال ما ، ما استفاده کردیم شکل های گوناگونمیانگین ، اما همان پاسخ را دریافت کردم این به این دلیل است که برای داده های خاص هر بار نسبت متوسط ​​اولیه هر بار محقق شده است.

میانگین ها را می توان از سری تغییرات گسسته و فاصله ای محاسبه کرد. در این مورد ، محاسبه با توجه به میانگین وزنی حسابی انجام می شود. برای یک سری گسسته ، این فرمول به همان شیوه ای که در مثال بالا استفاده شده است استفاده می شود. در سری فاصله ، برای محاسبه ، نقاط وسط فواصل تعیین می شود.

مثال. مطابق جدول. 2.2 ما ارزش متوسط ​​درآمد سرانه پول را برای یک ماه در یک منطقه مشروط تعیین می کنیم.

جدول 2.2

داده های اولیه (سری تنوع)

برای یافتن مقدار متوسط ​​در Excel (مهم نیست عددی ، متن ، درصد یا مقدار دیگر) توابع زیادی وجود دارد. و هر یک از آنها ویژگی ها و مزایای خاص خود را دارد. در واقع ، در این کار می توان شرایط خاصی را تعیین کرد.

به عنوان مثال ، مقادیر متوسط ​​یک سری اعداد در Excel با استفاده از توابع آماری محاسبه می شود. همچنین می توانید فرمول خود را به صورت دستی وارد کنید. بیایید گزینه های مختلف را در نظر بگیریم.

چگونه میانگین حسابی اعداد را پیدا کنیم؟

برای یافتن میانگین حسابی ، همه اعداد موجود در مجموعه را جمع کرده و مجموع را بر عدد تقسیم کنید. به عنوان مثال ، نمرات دانش آموز در علوم کامپیوتر: 3 ، 4 ، 3 ، 5 ، 5. چه چیزی فراتر از یک چهارم است: 4. ما میانگین حساب را با فرمول: = (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / پیدا کردیم 5

چگونه می توان آن را سریع با توابع Excel انجام داد؟ به عنوان مثال ، سریال را در نظر بگیرید اعداد تصادفیدر خط:

یا: سلول را فعال کنید و به سادگی فرمول را به صورت دستی وارد کنید: = AVERAGE (A1: A8).

حال بیایید ببینیم عملکرد AVERAGE چه کار دیگری می تواند انجام دهد.

میانگین حسابی دو عدد اول و سه عدد آخر را بیابید. فرمول: = متوسط ​​(A1: B1 ؛ F1: H1). نتیجه:

متوسط ​​به شرط

شرط یافتن میانگین حسابی می تواند معیار عددی یا متنی باشد. ما از تابع: = AVERAGEIF () استفاده خواهیم کرد.

میانگین حسابی اعداد بزرگتر یا مساوی 10 را بیابید.

عملکرد: = AVERAGEIF (A1: A8 ، "> = 10")

استدلال سوم - "محدوده میانگین" - حذف شده است. اول ، اختیاری است. ثانیاً ، محدوده تجزیه و تحلیل شده توسط برنامه فقط شامل می شود مقادیر عددی... سلولهای مشخص شده در آرگومان اول با شرط مشخص شده در آرگومان دوم جستجو می شوند.

توجه! معیار جستجو را می توان در سلول مشخص کرد. و در فرمول پیوندی به آن ایجاد کنید.

بیایید مقدار متوسط ​​اعداد را با توجه به معیار متن پیدا کنیم. به عنوان مثال ، متوسط ​​فروش محصول "جداول".

عملکرد به این شکل است: = AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12؛ A7؛ $ B $ 2: $ B $ 12). محدوده - ستونی با نام محصول. معیار جستجو پیوندی به یک سلول با کلمه "جداول" است (می توانید به جای پیوند A7 خود کلمه "جداول" را وارد کنید). محدوده میانگین - آن سلولهایی که داده ها برای محاسبه میانگین از آنها گرفته می شود.

در نتیجه محاسبه تابع ، مقدار زیر را بدست می آوریم:

توجه! برای معیار متن (شرط) ، محدوده میانگین باید مشخص شود.

چگونه می توان میانگین وزنی قیمت را در Excel محاسبه کرد؟

چگونه از میانگین وزنی قیمت مطلع شدیم؟

فرمول: = SUMPRODUCT (C2: C12 ؛ B2: B12) / SUM (C2: C12).

با استفاده از فرمول SUMPRODUCT ، کل درآمد پس از فروش کل مقدار کالا را می یابیم. و تابع SUM مقدار کالاها را جمع بندی می کند. با تقسیم کل درآمد حاصل از فروش محصول بر تعداد کل واحدهای محصول ، میانگین وزن موزون را پیدا کردیم. این شاخص "وزن" هر قیمت را در نظر می گیرد. سهم آن در کل توده ارزشها.

انحراف استاندارد: فرمول در اکسل

بین انحراف استاندارد برای جمعیت عمومی و نمونه تفاوت قائل شوید. در حالت اول ، ریشه است واریانس کلی... در دوم ، از واریانس نمونه.

برای محاسبه این آمار ، فرمول واریانس کامپایل می شود. ریشه از آن استخراج می شود. اما اکسل یک تابع آماده برای یافتن انحراف استاندارد دارد.

انحراف معیار با مقیاس داده های اصلی گره خورده است. این برای نمایش تصویری تنوع دامنه مورد تجزیه و تحلیل کافی نیست. ضریب تغییرات برای بدست آوردن سطح نسبی واریانس داده ها محاسبه می شود:

انحراف استاندارد / میانگین حساب

فرمول در اکسل به این شکل است:

STDEVP (محدوده ارزش) / AVERAGE (محدوده ارزش).

ضریب تغییرات به صورت درصد محاسبه می شود. بنابراین ، فرمت درصد را در سلول تنظیم می کنیم.

ویژگیهای واحدهای مجموعه های آماری از نظر معنایی متفاوت است ، به عنوان مثال ، دستمزد کارگران یک حرفه هر شرکت برای یک دوره زمانی یکسان نیست ، قیمت ها در بازار برای محصولات مشابه متفاوت است ، عملکرد محصولات کشاورزی در مزارع منطقه ، و غیره. بنابراین ، به منظور تعیین مقدار ویژگی ، مشخصه کل مجموعه واحدهای مورد مطالعه ، مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.
مقدار متوسط – این یک ویژگی تعمیم دهنده مجموعه ارزشهای فردی یک ویژگی کمی است.

مجموعه ای که با معیار کمی مورد مطالعه قرار گرفته است شامل مقادیر فردی است. آنها تحت تأثیر قرار می گیرند مانند دلایل متداولو شرایط فردی به طور میانگین ، انحرافات مشخصه ارزشهای فردی خاموش می شوند. میانگین ، تابعی از مجموعه ای از مقادیر فردی است ، کل مجموعه را به عنوان یک مقدار نشان می دهد و منعکس کننده مشترکی است که در همه واحدهای آن ذاتی است.

میانگین محاسبه شده برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن نامیده می شود ثانویه معمولی... به عنوان مثال ، می توانید میانگین حقوق ماهانه یک کارمند یک گروه حرفه ای خاص (معدنچی ، پزشک ، کتابدار) را محاسبه کنید. البته سطوح دستمزد ماهانه معدنچیان ، به دلیل تفاوت در صلاحیت ، طول مدت خدمت ، مدت زمان کار در ماه و بسیاری عوامل دیگر ، با یکدیگر و از سطح متوسط ​​دستمزد متفاوت است. با این حال ، سطح متوسط ​​عوامل اصلی م theثر بر سطح دستمزد را نشان می دهد و تفاوتهایی که به دلیل ویژگی های فردی کارمند بوجود می آید متقابلاً جبران می شود. متوسط ​​دستمزد نشان دهنده سطح دستمزد معمولی برای یک نوع کارگر معین است. برای بدست آوردن میانگین معمولی باید تجزیه و تحلیل چگونگی همگن بودن جمعیت معین انجام شود. اگر کلیت شامل آنها باشد قطعات جداگانه، باید به گروههای معمولی (دمای متوسط ​​در بیمارستان) تقسیم شود.

به وسایلی که به عنوان ویژگی برای جمعیت های ناهمگن استفاده می شود ، گفته می شود میانگین های سیستم... به عنوان مثال ، متوسط ​​تولید ناخالص داخلی (تولید ناخالص داخلی) سرانه ، متوسط ​​مصرف گروه های مختلفکالاهای به ازای هر نفر و سایر مقادیر مشابه ، نشان دهنده ویژگیهای کلی دولت به عنوان یک سیستم اقتصادی واحد.

میانگین باید برای جمعیت های دارای تعداد کافی واحد اندازه گیری شود. رعایت این شرط برای اجرایی شدن قانون اعداد بزرگ ضروری است ، در نتیجه انحرافات تصادفی ارزشهای فردی از روند کلی به طور متقابل لغو می شود.

انواع میانگین ها و نحوه محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های اولیه تعیین می شود. با این حال ، هر مقدار متوسط ​​باید به گونه ای محاسبه شود که وقتی هر نوع ویژگی میانگین را جایگزین می کند ، آخرین ، کلی کننده یا به اصطلاح معمول ، شاخص تعیین کننده، که مربوط به شاخص میانگین است. به عنوان مثال ، هنگام جایگزینی سرعتهای واقعی در بخشهای مختلف مسیر با سرعت متوسط ​​آنها ، کل مسافت طی شده نباید تغییر کند. وسیله نقلیههمزمان؛ هنگام جایگزینی دستمزد واقعی کارکنان یک شرکت با متوسط دستمزدحقوق و دستمزد نباید تغییر کند در نتیجه ، در هر مورد خاص ، بسته به ماهیت داده های موجود ، تنها یک میانگین واقعی از شاخص وجود دارد که برای خواص و ماهیت پدیده اجتماعی-اقتصادی مورد مطالعه مناسب است.
متداول ترین آنها عبارتند از میانگین حسابی ، میانگین هارمونیک ، میانگین هندسی ، میانگین ریشه مربع و میانگین مکعب.
میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس است قانون قدرتمیانگین و با فرمول کلی ترکیب می شوند:
,
مقدار متوسط ​​ویژگی مورد بررسی کجاست ؛
متر - نشانگر درجه متوسط ​​؛
- مقدار فعلی (نوع) ویژگی میانگین ؛
n تعداد ویژگی ها است.
بسته به مقدار توان m ، انواع زیر از توان متوسط ​​متمایز می شوند:
در m = -1 - هارمونیک متوسط ​​؛
در m = 0 - میانگین هندسی ؛
برای m = 1 - میانگین حسابی ؛
برای m = 2-ریشه-میانگین مربع ؛
با m = 3 - متوسط ​​مکعب.
هنگام استفاده از داده های اولیه یکسان ، m بزرگتر در فرمول بالا ، the ارزش بیشتراندازه متوسط:
.
این ویژگی میانگین توان برای افزایش با افزایش ضریب تابع تعیین کننده نامیده می شود قاعده عمده سازی وسایل.
هر یک از میانگین های مشخص شده می تواند دو شکل داشته باشد: سادهو وزن دار.
شکل متوسط ​​سادهزمانی استفاده می شود که میانگین از داده های اولیه (بدون گروه بندی) محاسبه شود. فرم وزن دار- هنگام محاسبه میانگین داده های ثانویه (گروهی).

میانگین حسابی

میانگین حسابی زمانی استفاده می شود که حجم جمعیت مجموع تمام مقادیر فردی ویژگی متغیر باشد. لازم به ذکر است که اگر نوع میانگین نشان داده نشود ، میانگین حساب فرض می شود. فرمول منطقی آن این است:

میانگین حسابی سادهمحاسبه شد توسط داده های بدون گروه طبق فرمول:
یا ،
مقادیر فردی صفت کجاست ؛
j عدد ترتیبی واحد مشاهده است که با مقدار مشخص می شود.
N تعداد واحدهای مشاهده (اندازه جمعیت) است.
مثال.در سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" نتایج مشاهده تجربه کاری یک تیم 10 نفره مورد توجه قرار گرفت. بیایید میانگین تجربه کاری کارگران تیپ را محاسبه کنیم. 5 ، 3 ، 5 ، 4 ، 3 ، 4 ، 5 ، 4 ، 2 ، 4.

با توجه به فرمول میانگین اولیه حسابی ، موارد زیر نیز محاسبه می شوند میانگین های زمانیاگر فواصل زمانی که مقادیر مشخصه برای آنها ارائه شده برابر است.
مثال.حجم محصولات فروخته شده در سه ماهه اول 47 den بوده است. واحد ، برای 54 دوم ، برای سوم 65 و برای چهارم 58 روز. واحدها میانگین گردش مالی سه ماهه (47 + 54 + 65 + 58) / 4 = 56 دن است. واحدها
اگر شاخص های لحظه ای در سری زمانی آورده شده اند ، هنگام محاسبه میانگین ، آنها را با نصف مقادیر مقادیر در ابتدا و انتهای دوره جایگزین می کنند.
اگر بیش از دو لحظه وجود داشته باشد و فواصل بین آنها مساوی باشد ، میانگین با استفاده از فرمول میانگین زمان بندی محاسبه می شود

,
جایی که n تعداد دفعات است
در صورتی که داده ها با مقادیر مشخصه گروه بندی شوند (یعنی یک سری توزیع گوناگون گسسته ساخته شده است) با میانگین وزنی حسابیبا استفاده از فرکانسها یا فرکانسهای مشاهده مقادیر خاص ویژگی محاسبه می شود ، که تعداد آنها (k) قابل توجه است تعداد کمترمشاهدات (N)
,
,
جایی که k تعداد گروههای سری تنوع است ،
i - تعداد گروه سری تنوع.
از آنجا که ، a ، ما فرمول های مورد استفاده برای محاسبات عملی را بدست می آوریم:
و
مثال.بیایید میانگین ارشد تیم های کاری را برای ردیف گروه بندی شده محاسبه کنیم.
الف) با استفاده از فرکانس:

ب) با استفاده از فرکانس:

در مواردی که داده ها بر اساس فواصل گروه بندی می شوند ، یعنی به صورت سری بازه توزیع ارائه می شوند ، هنگام محاسبه میانگین حسابی ، وسط فاصله به عنوان مقدار ویژگی در نظر گرفته می شود ، بر اساس فرض توزیع یکنواختواحدهای جمعیتی در فاصله زمانی معین محاسبه با توجه به فرمول انجام می شود:
و
وسط فاصله کجاست ،،
مرزهای پایینی و فوقانی فواصل کجا و کجا هستند (به شرطی که مرز فوقانی این فاصله با مرز پایینی فاصله بعدی منطبق باشد).

مثال.بگذارید میانگین حسابی سری تغییرات دوره ای را که بر اساس نتایج مطالعه دستمزد سالانه 30 کارگر ساخته شده است ، محاسبه کنیم (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید).
جدول 1 - سری تغییرات تناوبی توزیع.

hrn یا hrn
میانگین های محاسبه شده بر اساس داده های اولیه و سری تغییرات فاصله ممکن است به دلیل توزیع ناهموار مقادیر ویژگی در فواصل همزمان نباشند. در این مورد ، برای محاسبه دقیق تر از میانگین وزنی حسابی ، نباید از نقاط میانی فواصل استفاده کرد ، بلکه از وسایل حسابی ساده برای هر گروه محاسبه شده است ( میانگین گروهی) میانگین محاسبه شده از میانگین گروه با استفاده از فرمول محاسبه وزنی نامیده می شود میانگین عمومی.
میانگین حسابی دارای تعدادی ویژگی است.
1. مجموع انحرافات متغیر از میانگین برابر با صفر است:
.
2. اگر همه مقادیر متغیر با مقدار A افزایش یا کاهش یابد ، مقدار متوسط ​​نیز با همان مقدار A افزایش یا کاهش می یابد:

3. اگر هر گزینه B بار افزایش یا کاهش یابد ، مقدار متوسط ​​نیز به همان تعداد دفعات افزایش یا کاهش می یابد:
یا
4. مجموع تولیدات نوع بر اساس فرکانسها برابر است با حاصلضرب مقدار متوسط ​​در مجموع فرکانسها:

5. اگر همه فرکانسها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند ، میانگین حسابی تغییر نمی کند:

6) اگر در همه فواصل فرکانس ها برابر یکدیگر باشند ، میانگین حساب وزنی برابر با میانگین حساب ساده است:
,
جایی که k تعداد گروه های سری تنوع است.

استفاده از خواص میانگین محاسبه را آسان تر می کند.
فرض کنید همه گزینه ها (x) ابتدا با یک عدد A کاهش می یابد ، و سپس B بار کاهش می یابد. بزرگترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که مقدار وسط فاصله با بیشترین فرکانس به عنوان A انتخاب شود و مقدار فاصله (برای سطرهای با فواصل مساوی) به عنوان B انتخاب شود. مقدار A را مبدا می نامند ، بنابراین این روش محاسبه میانگین نامیده می شود مسیرب اهم شمارش از صفر شرطییا راه لحظه ها.
پس از چنین تحولی ، ما یک سری توزیع تنوع جدید به دست می آوریم ، که انواع آن برابر است. میانگین حسابی آنها نامیده می شود لحظه سفارش اول ،با فرمول بیان می شود و با توجه به خواص دوم و سوم میانگین حساب برابر با میانگین گزینه های اصلی است که ابتدا توسط A و سپس توسط B کاهش می یابد ، یعنی
برای دریافت میانگین واقعی(میانگین سری اولیه) ، شما باید لحظه سفارش اول را در B ضرب کرده و A را اضافه کنید:

محاسبه میانگین حسابی با روش لحظه ها با داده های جدول نشان داده شده است. 2
جدول 2 - توزیع کارگران مغازه شرکت با سابقه خدمت

لحظه سفارش اول را پیدا کنید ... سپس ، با دانستن اینکه A = 17.5 و B = 5 ، میانگین طول مدت خدمت کارگران مغازه را محاسبه می کنیم:
سال ها

هارمونیک متوسط
همانطور که در بالا نشان داده شد ، میانگین حسابی برای محاسبه مقدار متوسط ​​یک ویژگی در مواردی که انواع آن x و فرکانس آنها f شناخته شده است ، استفاده می شود.
اگر اطلاعات آماری شامل فرکانس f برای انواع مختلف x جمعیت نباشد ، اما به عنوان محصول آنها ارائه شود ، فرمول اعمال می شود وزن متوسط ​​هارمونیک... برای محاسبه میانگین ، اجازه دهید محل را مشخص کنیم. با جایگزینی این عبارات در فرمول میانگین وزنی حسابی ، ما فرمول میانگین وزنی هارمونیک را بدست می آوریم:
,
حجم (وزن) مقادیر ویژگی شاخص در فاصله با شماره i (i = 1،2 ، ... ، k) کجاست.

بنابراین ، از هارمونیک متوسط ​​در مواردی استفاده می شود که نه خود گزینه ها ، بلکه مقادیر متقابل آنها مشمول جمع بندی می شوند: .
در مواردی که وزن هر گزینه برابر یک است ، یعنی مقادیر فردی ویژگی معکوس یکبار رخ می دهد ، اعمال می شود هارمونیک ساده ساده:
,
انواع فردی علامت مخالف که یک بار در یک زمان رخ می دهد ، کجا هستند ؛
N تعداد گزینه ها است.
اگر میانگین هارمونیک برای دو قسمت از جمعیت وجود داشته باشد و میانگین هارمونیک وجود داشته باشد ، میانگین کل کل جمعیت با فرمول زیر محاسبه می شود:

و تماس گرفت میانگین هارمونیکی وزنی از میانگین گروهی.

مثال.در جریان معاملات در بورس ارز ، سه معامله در اولین ساعت کار انجام شد. داده های مربوط به میزان فروش hryvnia و نرخ ارز hryvnia در رابطه با دلار آمریکا در جدول آمده است. 3 (ستون 2 و 3). میانگین نرخ ارز hryvnia در برابر دلار آمریکا را در اولین ساعت معامله تعیین کنید.
جدول 3 - داده های مربوط به روند معاملات در بورس ارز

میانگین نرخ دلار براساس نسبت میزان فروش hryvnia در تمام معاملات به میزان دلارهای حاصل از معاملات مشابه تعیین می شود. مبلغ کل فروش hryvnia از ستون 2 جدول مشخص است و تعداد دلارهای خریداری شده در هر معامله با تقسیم مبلغ فروش hryvnia بر نرخ آن (ستون 4) تعیین می شود. در مجموع ، طی سه معامله ، 22 میلیون دلار خریداری شد. این بدان معنی است که میانگین نرخ ارز hryvnia برای یک دلار بود
.
مقدار حاصله واقعی است ، زیرا جایگزینی آن با نرخ ارز واقعی hryvnia در معاملات ، مقدار کل فروش hryvnia را تغییر نخواهد داد ، که به عنوان عمل می کند شاخص تعیین کننده: میلیون UAH
اگر از میانگین حسابی برای محاسبه استفاده شده است ، به عنوان مثال hryvnia ، سپس با نرخ ارز برای خرید 22 میلیون دلار. لازم است 110.66 میلیون hryvnyas هزینه شود ، که با واقعیت مطابقت ندارد.

میانگین هندسی
میانگین هندسی برای تجزیه و تحلیل پویایی پدیده ها استفاده می شود و به شما امکان می دهد نرخ متوسط ​​رشد را تعیین کنید. هنگام محاسبه میانگین هندسی ، مقادیر فردی ویژگی نشان دهنده شاخص های نسبی دینامیک است که در قالب مقادیر زنجیره ای ساخته شده اند ، به عنوان نسبت هر سطح به سطح قبلی.
میانگین ساده هندسی با فرمول محاسبه می شود:
,
نشانه کار کجاست ،
N تعداد مقادیر میانگین است.
مثال.تعداد جرایم ثبت شده برای 4 سال 1.57 برابر افزایش یافته است ، از جمله برای 1 - 1.08 بار ، برای دوم - 1.1 بار ، برای سوم - 1.18 بار و برای چهارم - 1.12 بار. سپس متوسط ​​رشد سالانه تعداد جنایات عبارت است از: تعداد جرایم ثبت شده سالانه به طور متوسط ​​12 درصد افزایش یافته است.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96