در بیشتر موارد، داده ها حول یک معین متمرکز می شوند نقطه مرکزی... بنابراین، برای توصیف هر مجموعه داده، نشان دادن مقدار متوسط ​​کافی است. اجازه دهید سه مشخصه عددی را که برای تخمین مقدار میانگین توزیع استفاده می‌شوند، به ترتیب در نظر بگیریم: میانگین حسابی، میانه و حالت.

میانگین

میانگین حسابی (اغلب به سادگی میانگین نامیده می شود) رایج ترین تخمین میانگین یک توزیع است. این نتیجه تقسیم مجموع تمام مقادیر عددی مشاهده شده بر تعداد آنها است. برای نمونه اعداد X 1، X 2، ...، Xn، میانگین نمونه (با نماد مشخص می شود ) برابر است = (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, یا

میانگین نمونه کجاست n- اندازهی نمونه، ایکسمن – عنصر i-امنمونه برداری

یادداشت را در قالب یا نمونه هایی در قالب دانلود کنید

محاسبه میانگین حسابی میانگین بازده سالانه پنج ساله 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با بسیار سطح بالاخطر (شکل 1).

برنج. 1. میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا

میانگین نمونه به صورت زیر محاسبه می شود:

آی تی درآمد خوب، به ویژه در مقایسه با 3-4٪ از درآمد دریافتی توسط سپرده گذاران بانک ها یا اتحادیه های اعتباری در مدت زمان مشابه. اگر مقادیر بازده را مرتب کنید، به راحتی می توانید ببینید که هشت صندوق بازدهی بالاتری دارند و هفت صندوق کمتر از میانگین. میانگین حسابی به عنوان یک نقطه تعادل عمل می کند به طوری که وجوه کم درآمد با وجوه با درآمد بالا تعادل برقرار می کند. تمام عناصر نمونه در محاسبه میانگین دخیل هستند. هیچ یک از برآوردهای دیگر از میانگین توزیع این ویژگی را ندارند.

چه زمانی باید میانگین حسابی را محاسبه کرد.از آنجایی که میانگین حسابی به تمام عناصر نمونه بستگی دارد، وجود مقادیر شدید به طور قابل توجهی بر نتیجه تأثیر می گذارد. در چنین شرایطی، میانگین حسابی می تواند معنای داده های عددی را مخدوش کند. بنابراین، هنگام توصیف یک مجموعه داده حاوی مقادیر شدید، لازم است که میانه یا میانگین حسابی و میانه نشان داده شود. به عنوان مثال، اگر بازده صندوق رشد نوظهور RS را از نمونه حذف کنید، میانگین بازده نمونه 14 صندوق تقریباً 1٪ به 5.19٪ کاهش می یابد.

میانه

میانه، میانه یک آرایه مرتب از اعداد است. اگر آرایه حاوی اعداد تکراری نباشد، نیمی از عناصر آن کمتر و نیمی بیشتر از میانه خواهند بود. اگر نمونه حاوی مقادیر افراطی است، بهتر است از میانه به جای میانگین حسابی برای تخمین میانگین استفاده شود. برای محاسبه میانه یک نمونه، ابتدا باید آن را سفارش دهید.

این فرمول مبهم است. نتیجه آن به زوج یا فرد بودن عدد بستگی دارد. n:

• اگر نمونه دارای تعداد فرد آیتم باشد، میانه آن است (n + 1) / 2عنصر ام
• اگر نمونه شامل تعداد زوج زوج باشد، میانه بین دو عنصر میانگین نمونه قرار دارد و برابر است با میانگین حسابی محاسبه شده روی این دو عنصر.

برای محاسبه میانه نمونه ای از 15 بازده صندوق سرمایه گذاری مشترک بسیار پرخطر، ابتدا باید داده های اصلی را سفارش دهید (شکل 2). سپس میانه مخالف عدد عنصر میانی نمونه خواهد بود. در مثال شماره 8 ما. اکسل دارد عملکرد ویژه= MEDIAN ()، که با آرایه های نامرتب نیز کار می کند.

برنج. 2. میانه 15 صندوق

بنابراین میانه 6.5 است. به این معنی که سود نیمی از صندوق ها با سطح ریسک بسیار بالا از 6.5 تجاوز نمی کند، در حالی که سود نیمی دیگر از آن فراتر نمی رود. توجه داشته باشید که میانه 6.5 خیلی بالاتر از میانگین 6.08 نیست.

اگر بازده صندوق رشد نوظهور RS را از نمونه حذف کنیم، آنگاه میانه 14 صندوق باقیمانده به 6.2 درصد کاهش می یابد، یعنی به اندازه میانگین حسابی قابل توجه نیست (شکل 3).

برنج. 3. میانه 14 صندوق

روش

این اصطلاح برای اولین بار توسط پیرسون در سال 1894 ابداع شد. مد عددی است که اغلب در نمونه ظاهر می شود (شیک ترین). مد به خوبی توصیف می کند، برای مثال، واکنش معمول رانندگان به یک علامت راهنمایی رانندگی برای توقف رانندگی. نمونه کلاسیکاستفاده از مد - انتخاب اندازه دسته کفش تولید شده یا رنگ کاغذ دیواری. اگر توزیعی چندین حالت داشته باشد، به آن چند وجهی یا چندوجهی گفته می شود (دو یا چند "قله" دارد). چندوجهی توزیع می دهد اطلاعات مهمدر مورد ماهیت متغیر مورد بررسی به عنوان مثال، در نظرسنجی‌ها، اگر متغیری نشان‌دهنده ترجیح یا نگرش نسبت به چیزی باشد، چندوجهی می‌تواند به این معنا باشد که چندین عقیده قطعاً متفاوت وجود دارد. چندوجهی همچنین به عنوان شاخصی عمل می کند که نمونه همگن نیست و مشاهدات احتمالاً توسط دو یا چند توزیع "همپوشانی" ایجاد می شوند. بر خلاف میانگین حسابی، نقاط پرت بر مد تأثیری ندارند. برای متغیرهای تصادفی به طور مداوم توزیع شده، به عنوان مثال، برای شاخص های میانگین بازده سالانه صندوق های سرمایه گذاری، مد گاهی اوقات اصلا وجود ندارد (یا منطقی نیست). از آنجایی که این شاخص ها می توانند مقادیر زیادی را به خود اختصاص دهند، مقادیر تکراری بسیار نادر هستند.

یک چهارم

ربع ها معیارهایی هستند که اغلب برای ارزیابی توزیع داده ها هنگام توصیف ویژگی های نمونه های عددی بزرگ استفاده می شوند. در حالی که میانه یک آرایه مرتب شده را به نصف تقسیم می کند (50٪ عناصر آرایه کمتر از میانه و 50٪ بیشتر هستند)، چارک ها مجموعه داده مرتب شده را به چهار قسمت تقسیم می کنند. مقادیر Q 1، میانه و Q3 به ترتیب صدک های 25، 50 و 75 هستند. چارک اول، Q 1، عددی است که نمونه را به دو قسمت تقسیم می کند: 25% موارد کمتر و 75% بیشتر از چارک اول هستند.

چارک سوم، Q 3، عددی است که نمونه را به دو قسمت تقسیم می کند: 75 درصد عناصر کمتر و 25 درصد بیشتر از چارک سوم هستند.

برای محاسبه چارک ها در نسخه های اکسل قبل از سال 2007، تابع = QUARTILE (آرایه؛ قسمت) استفاده شد. با شروع نسخه Excel2010، دو تابع اعمال می شود:

• = QUARTILE.INC (آرایه، قسمت)
• = QUARTILE.EXC (آرایه، قسمت)

این دو عملکرد کمی را ارائه می دهند معانی مختلف(شکل 4). به عنوان مثال، هنگام محاسبه چارک‌های نمونه حاوی داده‌های مربوط به میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه‌گذاری مشترک بسیار پرخطر، Q 1 = 1.8 یا -0.7 به ترتیب برای QUARTILE.INCL و QUARTILE.EXCL. به هر حال، تابع QUARTILE که قبلاً استفاده شده بود مطابقت دارد عملکرد مدرنآپارتمان شامل برای محاسبه چارک ها در اکسل با استفاده از فرمول های بالا، آرایه داده ها نیازی به ترتیب ندارند.

برنج. 4. محاسبه چارک ها در اکسل

باز هم تاکید کنیم. اکسل می تواند چارک ها را برای یک بعدی محاسبه کند سری گسستهحاوی مقادیر متغیر تصادفی... محاسبه چارک ها برای تخصیص مبتنی بر فرکانس در بخش زیر آورده شده است.

میانگین هندسی

برخلاف میانگین حسابی، میانگین هندسی به شما امکان می دهد درجه تغییر یک متغیر را در طول زمان تخمین بزنید. میانگین هندسی ریشه است nدرجه -ام از کار nمقادیر (در اکسل از تابع = SRGEOM استفاده می شود):

جی= (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n

یک پارامتر مشابه - میانگین هندسی نرخ بازده - با فرمول تعیین می شود:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1،

جایی که R i- نرخ بازده برای مندوره زمانی

به عنوان مثال، فرض کنید سرمایه گذاری اولیه 100000 دلار است.در پایان سال اول به سطح 50000 دلار کاهش می یابد و در پایان سال دوم به 100000 دلار اولیه بازمی گردد. نرخ بازدهی در این مورد سرمایه گذاری در یک دوره دو ساله برابر با 0 است، زیرا وجوه اولیه و نهایی با یکدیگر برابر هستند. با این حال، میانگین حسابی نرخ بازده سالانه = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 یا 25٪ است، زیرا نرخ بازده در سال اول R1 = (50000 - 100000) / 100000 = -0.5، و در دوم R 2 = (100,000 - 50,000) / 50,000 = 1. در عین حال، میانگین هندسی نرخ سود برای دو سال است: G = [(1–0.5) * (1 + 1 )] 1 /2 - 1 = ½ - 1 = 1 - 1 = 0. بنابراین، میانگین هندسی با دقت بیشتری تغییر (به طور دقیق تر، عدم وجود تغییرات) در حجم سرمایه گذاری ها در یک دوره دو ساله را نسبت به میانگین حسابی منعکس می کند.

حقایق جالب.اول اینکه میانگین هندسی همیشه کمتر از میانگین حسابی همان اعداد خواهد بود. مگر زمانی که تمام اعداد گرفته شده با هم برابر باشند. دوم، در نظر گرفتن خواص راست گوشه، می توانید بفهمید که چرا میانگین هندسی نامیده می شود. ارتفاع یک مثلث قائم الزاویه، پایین آمده به هیپوتنوز، میانگین متناسب بین برآمدگی پاها به هیپوتنوز است، و هر پا، میانگین تناسب بین هیپوتنوز و برآمدگی آن به هیپوتنوز است (شکل 5). این یک روش هندسی برای ساخت میانگین هندسی دو (طول) پاره ارائه می دهد: باید یک دایره بر روی مجموع این دو قطعه به اندازه قطر بسازید، سپس ارتفاع از نقطه اتصال آنها به تقاطع بازیابی شود. دایره مقدار مورد نظر را می دهد:

برنج. 5. ماهیت هندسی میانگین هندسی (برگرفته از ویکی پدیا)

دومین ویژگی مهم داده های عددی آنهاست تغییرتعیین درجه واریانس داده ها دو نمونه مختلف می توانند هم در مقادیر میانگین و هم در تغییرات متفاوت باشند. با این حال، همانطور که در شکل نشان داده شده است. در 6 و 7، دو نمونه ممکن است تغییرات یکسانی داشته باشند اما میانگین‌های متفاوت، یا میانگین‌های یکسان و تغییرات کاملاً متفاوت داشته باشند. داده های مربوط به چند ضلعی B در شکل. 7، بسیار کمتر از داده‌هایی که روی آن چند ضلعی A تغییر می‌کند.

برنج. 6. دو توزیع متقارن زنگی شکل با گسترش یکسان و مقادیر میانگین متفاوت

برنج. 7. دو توزیع متقارن زنگی شکل با مقادیر میانگین یکسان و پراکندگی متفاوت

پنج تخمین از تغییرات داده ها وجود دارد:

• محدوده،
• محدوده بین چارکی،
• پراکندگی،
• انحراف معیار،
• ضریب تغییرات

تاب خوردن

محدوده تفاوت بین بزرگترین و کوچکترین عناصر نمونه است:

سوایپ = Xحداکثر - Xحداقل

محدوده نمونه حاوی داده‌های میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه‌گذاری مشترک بسیار پرخطر را می‌توان با استفاده از یک آرایه مرتب شده محاسبه کرد (شکل 4 را ببینید): Span = 18.5 - (6.1–) = 24.6. به این معنی که تفاوت بین بالاترین و کمترین میانگین بازده سالانه وجوه با سطح ریسک بسیار بالا 24.6 درصد است.

Span پراکندگی کلی داده ها را اندازه گیری می کند. در حالی که اندازه نمونه تخمین بسیار ساده ای از پراکندگی کلی داده ها است، ضعف آن این است که دقیقاً نحوه توزیع داده ها بین عناصر حداقل و حداکثر را در نظر نمی گیرد. این اثر به وضوح در شکل 1 دیده می شود. 8، که نمونه هایی را با یک دهانه نشان می دهد. مقیاس B نشان می دهد که اگر نمونه حاوی حداقل یک مقدار شدید باشد، طول نمونه تخمین بسیار نادرستی از پراکندگی داده ها است.

برنج. 8. مقایسه سه نمونه با محدوده مشابه. مثلث نماد حمایت از تعادل است و موقعیت آن با میانگین نمونه مطابقت دارد

محدوده بین چارکی

محدوده بین چارکی یا میانگین، تفاوت بین ربع سوم و اول نمونه است:

محدوده بین چارکی = Q 3 - Q 1

این مقدار این امکان را فراهم می کند که گسترش 50٪ عناصر را تخمین بزنیم و تأثیر عناصر شدید را در نظر نگیریم. محدوده بین چارکی برای نمونه ای از میانگین بازده سالانه 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا را می توان با استفاده از داده های شکل 1 محاسبه کرد. 4 (به عنوان مثال، برای تابع QUARTILE.EXC): محدوده بین چارکی = 9.8 - (–0.7) = 10.5. فاصله محدود شده توسط اعداد 9.8 و -0.7 اغلب به عنوان نیمه میانی نامیده می شود.

لازم به ذکر است که مقادیر Q 1 و Q 3 و در نتیجه محدوده بین چارکی به وجود نقاط پرت بستگی ندارد ، زیرا در محاسبه آنها هیچ مقداری که کمتر از Q 1 یا بیشتر باشد در نظر نمی گیرد. نسبت به س 3 جمع ویژگی های کمیمانند میانه، چارک اول و سوم و محدوده بین چارکی که تحت تأثیر عوامل پرت قرار نمی گیرند، معیارهای قوی نامیده می شوند.

اگرچه محدوده و محدوده بین ربعی به ترتیب تخمینی از واریانس کلی و میانگین نمونه ارائه می دهند، اما هیچ یک از این تخمین ها نحوه توزیع داده ها را در نظر نمی گیرند. پراکندگی و انحراف معیاراز این عیب خالی هستند. این معیارها تخمینی از میزان نوسان داده ها حول میانگین ارائه می دهند. واریانس نمونهتقریبی از میانگین حسابی است که از مجذورات اختلاف بین هر عنصر نمونه و میانگین نمونه محاسبه می شود. برای نمونه X 1، X 2، ... X n، واریانس نمونه (که با نماد S 2 مشخص می شود با فرمول زیر به دست می آید:

V مورد کلیواریانس نمونه مجموع مجذورات تفاوت بین عناصر نمونه و میانگین نمونه تقسیم بر مقدار برابر با حجم نمونه منهای یک است:

جایی که - میانگین حسابی، n- اندازهی نمونه، X i - منعنصر نمونه ایکس... در اکسل قبل از سال 2007 برای محاسبه واریانس نمونهتابع = VAR () استفاده شد، از سال 2010 تابع = VAR () استفاده می شود.

عملی ترین و به طور گسترده پذیرفته شده تخمین از گسترش داده ها است انحراف نمونه استاندارد... این نشانگر با علامت S نشان داده شده و برابر است با ریشه دوماز واریانس نمونه:

در اکسل قبل از سال 2007، تابع = STDEV () برای محاسبه انحراف نمونه استاندارد استفاده می شد؛ از سال 2010، تابع = STDEV.V () استفاده می شود. برای محاسبه این توابع، مجموعه داده ممکن است نامرتب باشد.

نه واریانس نمونه و نه انحراف استاندارد نمونه نمی تواند منفی باشد. تنها حالتی که در آن اندیکاتورهای S 2 و S می توانند صفر باشند این است که همه عناصر نمونه با یکدیگر برابر باشند. در این کاملا مورد باور نکردنیمحدوده و محدوده بین چارکی نیز صفر است.

داده های عددی ذاتاً فرار هستند. هر متغیری می تواند مجموعه را بگیرد معانی مختلف... به عنوان مثال، صندوق های سرمایه گذاری مختلف دارای نرخ بازده و ضرر متفاوتی هستند. با توجه به متغیر بودن داده های عددی، مطالعه نه تنها تخمین های میانگین که ماهیت تجمعی دارند، بلکه تخمین های واریانس نیز که پراکندگی داده ها را مشخص می کند، بسیار مهم است.

واریانس و انحراف معیار به شما این امکان را می دهد که پراکندگی داده ها را حول میانگین تخمین بزنید، به عبارت دیگر، تعیین کنید که چه تعداد عنصر در نمونه کمتر از میانگین و چه تعداد بیشتر است. پراکندگی دارای برخی از خواص ریاضی ارزشمند است. با این حال، مقدار آن مربع واحد اندازه گیری است - درصد مربع، دلار مربع، اینچ مربع و غیره. بنابراین، برآورد طبیعی واریانس، انحراف استاندارد است که در واحدهای اندازه گیری رایج - درصد درآمد، دلار یا اینچ بیان می شود.

انحراف استاندارد به شما امکان می دهد تا میزان نوسانات عناصر نمونه را حول میانگین تخمین بزنید. تقریباً در همه موقعیت ها، بیشتر مقادیر مشاهده شده در بازه به علاوه یا منهای یک انحراف استاندارد از میانگین قرار دارند. بنابراین، با دانستن میانگین حسابی عناصر نمونه و انحراف استاندارد نمونه، می توان بازه ای را تعیین کرد که حجم عمده داده ها به آن تعلق دارد.

انحراف استاندارد بازده 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک با ریسک بسیار بالا 6.6 است (شکل 9). این بدان معنی است که سودآوری بخش عمده ای از وجوه با میانگین ارزش بیش از 6.6٪ متفاوت است (یعنی در محدوده ای از - اس= 6.2 - 6.6 = -0.4 به + اس= 12.8). در واقع در این بازه میانگین بازده سالانه پنج ساله 53.3 درصد (8 از 15) وجوه نهفته است.

برنج. 9. انحراف نمونه استاندارد

توجه داشته باشید که با اضافه شدن مجذور تفاوت‌ها، نمونه دورتر از میانگین وزن بیشتری نسبت به نمونه نزدیک‌تر به دست می‌آورد. این ویژگی دلیل اصلی این است که میانگین اغلب برای تخمین میانگین یک توزیع استفاده می شود. مقدار حسابی.

ضریب تغییرات

برخلاف برآوردهای قبلی اسپرد، ضریب تغییرات یک برآورد نسبی است. همیشه به صورت درصد اندازه گیری می شود، نه بر اساس داده های خام. ضریب تغییرات که با CV نشان داده می شود، پراکندگی داده ها را نسبت به میانگین اندازه گیری می کند. ضریب تغییرات برابر است با انحراف استاندارد تقسیم بر میانگین حسابی و ضرب در 100٪:

جایی که اس- انحراف نمونه استاندارد، - میانگین نمونه

ضریب تغییرات به شما امکان مقایسه دو نمونه را می دهد که عناصر آنها در واحدهای اندازه گیری مختلف بیان می شوند. به عنوان مثال، یک مدیر تحویل نامه قصد دارد ناوگان کامیون را تجدید کند. هنگام بارگیری بسته ها، دو نوع محدودیت وجود دارد: وزن (به پوند) و حجم (بر حسب فوت مکعب) هر بسته. برای نمونه 200 کیسه ای، فرض کنید که میانگین وزن 26.0 پوند، انحراف استاندارد وزن 3.9 پوند، میانگین حجم کیسه 8.8 فوت مکعب و انحراف استاندارد حجم 2.2 فوت مکعب است. چگونه واریانس وزن و حجم کیسه ها را مقایسه می کنید؟

از آنجایی که واحدهای اندازه گیری وزن و حجم با یکدیگر متفاوت هستند، مدیر باید گسترش نسبی این مقادیر را مقایسه کند. ضریب تغییرات وزن CV W = 3.9 / 26.0 * 100٪ = 15٪ و ضریب تغییرات حجم CV V = 2.2 / 8.8 * 100٪ = 25٪ است. بنابراین، گسترش نسبی در حجم بسته ها بسیار بیشتر از گسترش نسبی در وزن آنها است.

فرم توزیع

سومین ویژگی مهم نمونه، شکل توزیع آن است. این توزیع می تواند متقارن یا نامتقارن باشد. برای توصیف شکل توزیع، باید میانگین و میانه آن محاسبه شود. اگر این دو شاخص بر هم منطبق باشند، متغیر به صورت متقارن توزیع شده در نظر گرفته می شود. اگر مقدار میانگین یک متغیر بیشتر از میانه باشد، توزیع آن دارای چولگی مثبت است (شکل 10). اگر میانه بزرگتر از میانگین باشد، توزیع متغیر دارای انحراف منفی است. چولگی مثبت زمانی رخ می دهد که میانگین به مقادیر غیرعادی بالا افزایش یابد. چولگی منفی زمانی رخ می دهد که میانگین به مقادیر غیرمعمول کوچک کاهش یابد. یک متغیر به صورت متقارن توزیع می شود که در هر دو جهت مقادیر افراطی نداشته باشد، به طوری که مقادیر زیاد و پایین متغیر یکدیگر را متعادل کنند.

برنج. 10. سه نوع توزیع

داده های نشان داده شده در مقیاس A دارای چولگی منفی هستند. این شکل یک دم بلند و یک انحراف به سمت چپ را نشان می دهد که ناشی از مقادیر غیرمعمول پایین است. این مقادیر بسیار کوچک میانگین را به چپ منتقل می کند و از میانه کمتر می شود. داده های نشان داده شده در مقیاس B به طور متقارن توزیع شده اند. نیمه چپ و راست توزیع تصاویر آینه ای آنهاست. مقادیر بالا و پایین یکدیگر را متعادل می کنند و میانگین و میانه برابر هستند. داده های مقیاس B دارای چولگی مثبت هستند. این شکل یک دم بلند و یک انحراف به سمت راست را نشان می دهد که ناشی از مقادیر غیرعادی زیاد است. این مقادیر بسیار بالا میانگین را به سمت راست منتقل می کند و از میانه بزرگتر می شود.

در اکسل، آمار توصیفی را می توان با استفاده از افزونه به دست آورد بسته تحلیلی... از طریق منو بروید داده ها → تحلیل داده ها، در پنجره باز شده خط را انتخاب کنید آمار توصیفیو کلیک کنید خوب... در پنجره آمار توصیفیحتما نشان دهید فاصله ورودی(شکل 11). اگر می‌خواهید آمار توصیفی را در همان برگه داده‌های اصلی ببینید، دکمه رادیویی را انتخاب کنید فاصله خروجیو سلولی را مشخص کنید که گوشه سمت چپ بالای آمار خروجی باید در آن قرار گیرد (در مثال ما، $ C $ 1). اگر می خواهید داده های خروجی را به برگ تازهیا در کتاب جدید، فقط باید دکمه رادیویی مناسب را انتخاب کنید. کادر کناری را علامت بزنید آمار خلاصه... در صورت تمایل، شما همچنین می توانید انتخاب کنید سطح دشواری،kth کوچکترین وkth بزرگترین.

در صورت سپرده گذاری داده هادر محدوده ی تحلیل و بررسیشما آیکونی نمایش داده نمی کنید تحلیل داده ها، ابتدا باید افزونه را نصب کنید بسته تحلیلی(به عنوان مثال نگاه کنید به).

برنج. 11. آمار توصیفی میانگین بازده سالانه پنج ساله وجوه با سطوح ریسک بسیار بالا، محاسبه شده با استفاده از افزونه تحلیل داده هابرنامه های اکسل

اکسل آمارهای مختلفی را که در بالا مورد بحث قرار گرفت محاسبه می کند: میانگین، میانه، حالت، انحراف استاندارد، واریانس، محدوده ( فاصله)، حداقل، حداکثر و حجم نمونه ( بررسی). علاوه بر این، اکسل برخی از آمارها را محاسبه می کند که برای ما جدید هستند: خطای استاندارد، کشیدگی و چولگی. خطای استانداردبرابر با انحراف معیار تقسیم بر جذر حجم نمونه. عدم تقارنانحراف از تقارن توزیع را مشخص می کند و تابعی است که به مکعب تفاوت بین عناصر نمونه و میانگین بستگی دارد. کورتوز اندازه گیری غلظت نسبی داده ها در اطراف میانگین در مقابل دم توزیع است و به تفاوت بین نمونه و میانگین افزایش یافته به توان چهارم بستگی دارد.

محاسبه آمار توصیفی برای یک جمعیت

میانگین، گسترش، و شکل توزیع مورد بحث در بالا، مشخصه های تعیین شده از نمونه است. با این حال، اگر مجموعه داده شامل ابعاد عددی برای کل جمعیت باشد، می توانید پارامترهای آن را محاسبه کنید. این پارامترها شامل انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار جمعیت عمومی است.

ارزش مورد انتظاربرابر است با مجموع همه مقادیر جمعیت عمومی تقسیم بر اندازه جمعیت عمومی:

جایی که µ - ارزش مورد انتظار ایکسمن- من-مین مشاهده یک متغیر ایکس, ن- حجم جمعیت عمومی اکسل از همان تابعی برای محاسبه انتظارات ریاضی برای میانگین حسابی استفاده می کند: = AVERAGE ().

واریانس جمعیتبرابر با مجموع مجذورات تفاوت بین عناصر جمعیت عمومی و حصیر. انتظارات تقسیم بر اندازه جمعیت عمومی:

جایی که σ 2- واریانس جمعیت عمومی در اکسل قبل از سال 2007، تابع = VARP () برای محاسبه واریانس یک جمعیت استفاده می شود، زیرا 2010 = VAR.G ().

انحراف معیار جمعیتبرابر است با جذر واریانس جمعیت:

در اکسل قبل از سال 2007، تابع = STDEVP () برای محاسبه انحراف استاندارد جمعیت استفاده می شود، از سال 2010 = STDEV.Y (). توجه داشته باشید که فرمول های واریانس و انحراف معیار جامعه با فرمول های محاسبه واریانس نمونه و انحراف معیار متفاوت است. هنگام محاسبه آمار نمونه S 2و اسمخرج کسری است n - 1، و هنگام محاسبه پارامترها σ 2و σ - حجم جمعیت عمومی ن.

حساب سرانگشتی

در بیشتر موقعیت ها، بخش بزرگی از مشاهدات در اطراف میانه متمرکز شده و یک خوشه را تشکیل می دهند. در مجموعه‌های داده با چولگی مثبت، این خوشه در سمت چپ (یعنی پایین) انتظارات ریاضی و در مجموعه‌های داده با چولگی منفی، این خوشه در سمت راست (یعنی بالا) انتظارات ریاضی قرار دارد. برای داده‌های متقارن، میانگین و میانه یکسان هستند و مشاهدات حول میانگین متمرکز شده‌اند و توزیعی زنگ‌شکل را تشکیل می‌دهند. اگر توزیع چولگی مشخصی نداشته باشد و داده ها حول یک مرکز ثقل معین متمرکز شوند، می توان یک قانون کلی برای ارزیابی تغییرپذیری اعمال کرد که بیان می کند: اگر داده ها دارای توزیع زنگوله ای باشند، تقریباً 68٪ مشاهدات بیش از یک انحراف معیار از انتظارات ریاضی نیستند.تقریباً 95% مشاهدات بیش از دو انحراف معیار از انتظارات ریاضی نیستند و 99.7% مشاهدات بیش از سه انحراف معیار از انتظارات ریاضی نیستند.

بنابراین، انحراف معیار، که تخمینی از تغییرات میانگین حول میانگین است، به درک نحوه توزیع مشاهدات و شناسایی نقاط پرت کمک می کند. از یک قانون سرانگشتی برمی‌آید که برای توزیع‌های زنگ‌شکل، تنها یک مقدار از بیست با انتظارات ریاضی بیش از دو انحراف استاندارد متفاوت است. بنابراین، مقادیر خارج از بازه زمانی μ ± 2σ، را می توان پرت در نظر گرفت. علاوه بر این، تنها سه مورد از 1000 مشاهده با انتظارات ریاضی بیش از سه انحراف استاندارد متفاوت است. بنابراین، مقادیر خارج از بازه μ ± 3σتقریبا همیشه پرت هستند. برای توزیع هایی که به شدت کج هستند یا به شکل زنگ نیستند، می توان قانون تجربی Biename-Chebyshev را اعمال کرد.

بیش از صد سال پیش ریاضیدانان Biename و Chebyshev به طور مستقل کشف کردند دارایی مفیدانحراف معیار. آنها دریافتند که برای هر مجموعه داده، صرف نظر از شکل توزیع، درصد مشاهدات در فاصله ای بیش از کانحراف استاندارد از انتظارات ریاضی، نه کمتر (1 – 1/ k 2) * 100٪.

به عنوان مثال، اگر ک= 2، قانون Biename-Chebyshev بیان می کند که حداقل (1 - (1/2) 2) x 100٪ = 75٪ از مشاهدات باید در فاصله زمانی قرار داشته باشند. μ ± 2σ... این قانون برای هر کسی صادق است کبزرگتر از یک قانون Biename-Chebyshev بسیار کلی است و برای هر نوع توزیعی معتبر است. حداقل تعداد مشاهدات را نشان می دهد، فاصله ای که از آن تا انتظارات ریاضی از مقدار مشخص شده تجاوز نمی کند. با این حال، اگر توزیع به شکل زنگ باشد، قانون سرانگشتی با دقت بیشتری غلظت داده ها را حول مقدار مورد انتظار تخمین می زند.

محاسبه آمار توصیفی برای توزیع مبتنی بر فرکانس

اگر داده های اصلی در دسترس نباشد، تخصیص فرکانس تنها منبع اطلاعات می شود. در چنین شرایطی می توانید مقادیر تقریبی شاخص های توزیع کمی مانند میانگین حسابی، انحراف معیار، چارک ها را محاسبه کنید.

اگر داده های نمونه به شکل توزیع فرکانس ارائه شوند، می توان مقدار تقریبی میانگین حسابی را محاسبه کرد، با این فرض که تمام مقادیر درون هر کلاس در نقطه میانی کلاس متمرکز شده اند:

جایی که - میانگین نمونه، n- تعداد مشاهدات، یا حجم نمونه، با- تعداد کلاس ها در توزیع فرکانس، m j- نقطه میانی j-برو کلاس fjفرکانس مربوطه است jکلاس

برای محاسبه انحراف استاندارد از توزیع فرکانس، همچنین فرض می شود که تمام مقادیر درون هر کلاس در نقطه میانی کلاس متمرکز شده اند.

برای درک چگونگی تعیین ربع های سری بر اساس فرکانس، اجازه دهید محاسبه چارک پایین را بر اساس داده های سال 2013 در مورد توزیع جمعیت روسیه بر اساس درآمد سرانه متوسط ​​پول در نظر بگیریم (شکل 12).

برنج. 12. سهم جمعیت روسیه با سرانه درآمد نقدیبه طور متوسط ​​در ماه، روبل

برای محاسبه ربع اول یک سری تغییرات بازه ای، می توانید از فرمول استفاده کنید:

که در آن Q1 مقدار چارک اول است، xQ1 مرز پایینی بازه حاوی اولین چارک است (فاصله با فرکانس تجمعی تعیین می شود، اولی بیش از 25٪). i اندازه فاصله است. Σf مجموع فرکانس های کل نمونه است. احتمالاً همیشه برابر با 100٪ است. SQ1-1 فرکانس تجمعی فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین است. fQ1 فرکانس بازه ای است که شامل چارک پایینی است. فرمول چارک سوم از این نظر متفاوت است که در همه جاها، به جای Q1، باید از Q3 استفاده کنید و به جای آن، ¾ را جایگزین کنید.

در مثال ما (شکل 12)، چارک پایین در محدوده 7000.1 - 10000 است که فراوانی تجمعی آن 26.4٪ است. حد پایین این فاصله 7000 روبل است، مقدار فاصله 3000 روبل است، فراوانی تجمعی فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین 13.4٪ است، فرکانس بازه حاوی چارک پایین 13.0٪ است. بنابراین: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 = 9677 روبل.

دام با آمار توصیفی

در این پست، نحوه توصیف یک مجموعه داده را با استفاده از آمارهای مختلف که میانگین، پراکندگی و توزیع آن را تخمین می‌زند، بررسی کردیم. مرحله بعدی تجزیه و تحلیل و تفسیر داده ها است. تاکنون ویژگی های عینی داده ها را مطالعه کرده ایم و اکنون به تفسیر ذهنی آنها می پردازیم. دو اشتباه در کمین محقق است: انتخاب نادرست موضوع تحلیل و تفسیر نادرست نتایج.

تجزیه و تحلیل عملکرد 15 صندوق سرمایه گذاری مشترک بسیار پرریسک کاملاً بی طرفانه است. این منجر به نتایج کاملاً عینی شد: همه صندوق‌های سرمایه‌گذاری بازده متفاوتی دارند، پراکندگی بازده صندوق از -6.1 تا 18.5 متغیر است و میانگین بازده 6.08 است. عینیت تجزیه و تحلیل داده ها تضمین می شود انتخاب درستکل شاخص های کمی توزیع چندین روش برای تخمین میانگین و پراکندگی داده ها در نظر گرفته شد، مزایا و معایب آنها بیان شد. چگونه آمار مناسب را برای ارائه تحلیل عینی و بی طرفانه انتخاب می کنید؟ اگر توزیع داده‌های شما کمی انحراف داشته باشد، آیا باید میانه را بر میانگین حسابی انتخاب کنید؟ کدام شاخص با دقت بیشتری گسترش داده ها را مشخص می کند: انحراف استاندارد یا محدوده؟ آیا باید به چولگی مثبت توزیع اشاره کرد؟

از سوی دیگر، تفسیر داده ها یک فرآیند ذهنی است. مردم مختلفبا تفسیر نتایج یکسان به نتایج متفاوتی می رسند. هر کس دیدگاه خود را دارد. شخصی مجموع شاخص های میانگین سودآوری سالانه 15 صندوق با سطح ریسک بسیار بالا را خوب می داند و از درآمد دریافتی کاملا راضی است. دیگران ممکن است فکر کنند که این وجوه بازده بسیار کمی دارند. بنابراین، ذهنیت باید با صداقت، بی طرفی و وضوح نتیجه گیری جبران شود.

مسائل اخلاقی

تجزیه و تحلیل داده ها به طور جدایی ناپذیری با مسائل اخلاقی مرتبط است. باید نسبت به اطلاعات منتشر شده توسط روزنامه ها، رادیو، تلویزیون و اینترنت انتقاد کرد. با گذشت زمان، یاد خواهید گرفت که نه تنها در مورد نتایج، بلکه در مورد اهداف، موضوع و عینیت تحقیق نیز شک داشته باشید. سیاستمدار معروف بریتانیایی بنجامین دیزرائیلی بهتر از همه این را گفت: «دروغ سه نوع است: دروغ، دروغ آشکار و آمار».

همانطور که در یادداشت ذکر شد، مسائل اخلاقی در انتخاب نتایجی که باید گزارش شوند، به وجود می آیند. نتایج مثبت و منفی هر دو باید منتشر شود. علاوه بر این، هنگام ارائه یک ارائه یا گزارش کتبی، نتایج باید به صورت صادقانه، بی طرف و عینی ارائه شود. بین ارائه ناموفق و غیر صادقانه تمایز قائل شوید. برای این کار باید مشخص شود که قصد گوینده چه بوده است. گاهی گوینده اطلاعات مهم را نادیده می گیرد و گاهی عمداً (مثلاً اگر از میانگین حسابی برای تخمین میانگین داده های کاملاً نامتقارن استفاده می کند تا به نتیجه مطلوب برسد). همچنین نادیده گرفتن نتایجی که با دیدگاه محقق مطابقت ندارد، ناعادلانه است.

مطالب مورد استفاده کتاب لوین و سایر آمار برای مدیران. - M .: ویلیامز، 2004 .-- ص. 178-209

تابع QUARTILE برای سازگاری با نسخه های قبلی اکسل حفظ می شود

بیشتر از همه در معادله تمرین باید از میانگین حسابی استفاده کند که می تواند به عنوان میانگین حسابی، ساده و وزنی محاسبه شود.

میانگین حسابی (CA)-nرایج ترین نوع رسانه. در مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای فردی آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (مجموع) حجم ویژگی های مختلف مشخص می شوند، این حوزه کاربرد CA را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص تعمیم دهنده توضیح می دهد. به عنوان مثال: صندوق عمومی حقوق، مجموع حقوق همه کارکنان است.

برای محاسبه CA، باید مجموع تمام مقادیر مشخصه را بر تعداد آنها تقسیم کنید. CA در 2 شکل اعمال می شود.

بیایید ابتدا میانگین حسابی ساده را در نظر بگیریم.

1-CA ساده (شکل اولیه و تعریف کننده) برابر است با مجموع ساده مقادیر فردی ویژگی میانگین تقسیم شده بر تعداد کل این مقادیر (در صورت وجود مقادیر گروه بندی نشده صفت استفاده می شود):

محاسبات انجام شده را می توان در فرمول زیر خلاصه کرد:

(1)

جایی که - مقدار متوسط ​​ویژگی متغیر، یعنی میانگین حسابی ساده؛

به معنای جمع، یعنی افزودن ویژگی های فردی است.

ایکس- مقادیر فردی یک مشخصه متغیر که به آنها انواع می گویند.

n - تعداد واحدهای جمعیت

مثال 1،در صورتی که مشخص شود که هر یک از 15 کارگر چند قطعه ساخته اند، باید میانگین خروجی یک کارگر (قفل ساز) را پیدا کرد. تعدادی از ind. مقادیر ویژگی، عدد: 21; بیست؛ بیست؛ 19; 21; 19; هجده؛ 22; 19; بیست؛ 21; بیست؛ هجده؛ 19; بیست.

CA ساده با فرمول (1) محاسبه می شود، عدد .:

مثال 2... بیایید CA را بر اساس داده های مشروط برای 20 فروشگاه موجود در شرکت تجاری محاسبه کنیم (جدول 1). میز 1

توزیع مغازه های بازرگانی وسنا به تفکیک فضای خرده فروشی مربع م

برای محاسبه میانگین مساحت فروشگاه ( ) لازم است مساحت همه فروشگاه ها را جمع کرده و نتیجه را بر تعداد فروشگاه ها تقسیم کنید:

به این ترتیب میانگین مساحت فروشگاه برای این گروه از بنگاه های تجاری 71 متر مربع است.

بنابراین، برای تعیین CA ساده، باید مجموع تمام مقادیر یک ویژگی معین را بر تعداد واحدهایی که این ویژگی را دارند تقسیم کنید.

2

جایی که f 1 , f 2 , … ,f n – وزن (تکرار تکرار علائم مشابه)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها بر اساس فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیت.

جایی که NS- گزینه ها؛

f- فرکانس (وزن).

SA وزن دار ضریب تقسیم مجموع محصولات انواع و بسامدهای مربوط به آنها بر مجموع همه فرکانس ها است. فرکانس ها ( f) که در فرمول CA ظاهر می شوند معمولا نامیده می شوند ترازو، در نتیجه CA که با در نظر گرفتن وزن ها محاسبه می شود وزن دار نامیده می شود.

ما تکنیک محاسبه وزن CA را با استفاده از مثال 1 بالا نشان خواهیم داد. برای این کار، داده های اولیه را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم.

میانگین داده های گروه بندی شده به صورت زیر تعیین می شود: ابتدا گزینه ها در فرکانس ها ضرب می شوند، سپس محصولات جمع می شوند و مجموع حاصل بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود.

با توجه به فرمول (2) وزن CA برابر است با pc .:

NS

توزیع فروشگاه های وسنا بر اساس فضای خرده فروشی، مربع متر

بنابراین، نتیجه یکسان است. با این حال، این مقدار میانگین حسابی وزنی خواهد بود.

در مثال قبلی، با فرض مشخص بودن فرکانس‌های مطلق (تعداد فروشگاه) میانگین حسابی را محاسبه کردیم. با این حال، در تعدادی از موارد، فرکانس های مطلق وجود ندارند، اما فرکانس های نسبی شناخته شده هستند، یا، به طور معمول، فرکانس هایی که سهم یانسبت فرکانس ها در کل جمعیت

هنگام محاسبه استفاده وزنی CA فرکانس هاهنگامی که فرکانس در اعداد بزرگ و چند رقمی بیان می شود، به شما امکان می دهد محاسبات را ساده کنید. محاسبه به همین ترتیب انجام می شود، اما از آنجایی که میانگین با ضریب 100 افزایش می یابد، نتیجه باید بر 100 تقسیم شود.

سپس فرمول میانگین حسابی وزن دار به صورت زیر خواهد بود:

جایی که د- فرکانس، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل فرکانس ها.

در مثال ما، 2 ابتدا تعیین کنید وزن مخصوصفروشگاه ها بر اساس گروه در تعداد کل فروشگاه های وسنا. بنابراین، برای گروه اول، وزن مخصوص برابر با 10٪ است.
... ما داده های زیر را دریافت می کنیم جدول 3

هنگام کار با عبارات عددیگاهی اوقات نیاز به محاسبه مقدار میانگین آنها وجود دارد. میانگین حسابی نامیده می شود. در اکسل، یک ویرایشگر صفحه گسترده از مایکروسافت، نمی توان آن را به صورت دستی محاسبه کرد، بلکه از ابزارهای ویژه استفاده کرد. در این مقاله دقیقاً روش هایی ارائه می شود که به شما امکان می دهد تعداد میانگین حسابی را پیدا کرده و نمایش دهید.

روش 1: استاندارد

اول از همه، نحوه محاسبه میانگین حسابی در اکسل را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که به معنای استفاده از یک ابزار استاندارد برای این کار است. این روش ساده ترین و راحت ترین برای استفاده است، اما دارای معایبی نیز می باشد. اما بیشتر در مورد آنها بعداً، و اکنون بیایید به اجرای کار برویم.

1. سلول هایی را در ستون یا ردیف هایی که حاوی مقادیر عددی برای محاسبه هستند انتخاب کنید.
2. به برگه "صفحه اصلی" بروید.
3. در نوار ابزار در دسته "ویرایش"، روی دکمه "AutoSum" کلیک کنید، اما باید روی فلش کنار آن کلیک کنید تا یک لیست کشویی ظاهر شود.
4. در آن باید روی مورد "میانگین" کلیک کنید.

به محض انجام این کار، نتیجه محاسبه میانگین حسابی مقادیر انتخاب شده در سلول کنار آن ظاهر می شود. مکان آن به بلوک داده بستگی دارد، اگر یک ردیف را انتخاب کرده باشید، نتیجه در سمت راست انتخاب، اگر ستون، از پایین است.

اما همانطور که قبلا ذکر شد، این روش معایبی نیز دارد. بنابراین، شما نمی توانید مقداری را از محدوده سلول ها یا سلول های واقع در آن محاسبه کنید جاهای مختلف... به عنوان مثال، اگر جدول شما دارای دو ستون مجاور با مقادیر عددی است، با انتخاب آنها و انجام مراحل بالا، نتیجه هر ستون را به صورت جداگانه دریافت خواهید کرد.

روش 2: با استفاده از Function Wizard

راه های زیادی برای یافتن میانگین حسابی در اکسل وجود دارد و طبیعی است که با کمک آن ها می توان محدودیت های پیشنهادی روش قبلی را دور زد. اکنون در مورد انجام محاسبات با استفاده از Function Wizard صحبت خواهم کرد. بنابراین، در اینجا چیزی است که شما باید انجام دهید.

1. با فشار دادن دکمه سمت چپ ماوس، سلولی را که می خواهید نتیجه محاسبات را در آن مشاهده کنید، انتخاب کنید.
2. پنجره Function Wizard را با کلیک بر روی دکمه "Insert Function" واقع در سمت چپ نوار فرمول یا با استفاده از کلیدهای میانبر Shift + F3 باز کنید.
3. در پنجره ای که ظاهر می شود، خط "AVERAGE" را در لیست پیدا کنید، آن را انتخاب کنید و روی دکمه "OK" کلیک کنید.
4. یک پنجره جدید برای وارد کردن آرگومان های تابع ظاهر می شود. در آن دو فیلد خواهید دید: "Number1" و "Number2".
5. در فیلد اول، آدرس سلول هایی را که مقادیر عددی برای محاسبه در آنها قرار دارد، وارد کنید. این را می توان هم به صورت دستی و هم با استفاده از آن انجام داد ابزار ویژه... در حالت دوم، روی دکمه واقع در سمت راست فیلد ورودی کلیک کنید. پنجره Wizard جمع می شود و شما باید سلول ها را برای محاسبه با ماوس انتخاب کنید.
6. اگر محدوده دیگری از سلول های دارای داده در مکان دیگری در برگه قرار دارد، آن را در قسمت "Number2" مشخص کنید.
7. وارد کردن داده ها را تا زمانی که همه موارد مورد نیاز را مشخص کنید ادامه دهید.
8. روی دکمه OK کلیک کنید.

پس از تکمیل ورودی، پنجره Wizard بسته می شود و نتیجه محاسبات در سلولی که در همان ابتدا انتخاب کرده اید ظاهر می شود. حالا راه دوم را می دانید، نحوه محاسبه میانگین حسابی در اکسل. اما با آخرین آن فاصله دارد، بنابراین به جلو می رویم.

روش 3: از طریق نوار فرمول

این روش، نحوه محاسبه میانگین حسابی در اکسل، تفاوت زیادی با روش قبلی ندارد، اما در برخی موارد ممکن است راحت تر به نظر برسد، بنابراین ارزش جدا کردن آن را دارد. اغلب، بدین ترتیبفقط پیشنهاد می دهد گزینه جایگزینفراخوانی Function Wizard.

به محض اتمام تمام اقدامات لیست، پنجره Function Wizard را مشاهده می کنید که باید آرگومان ها را در آن وارد کنید. شما قبلاً می دانید که چگونه این کار را از روش قبلی انجام دهید، همه اقدامات بعدی تفاوتی ندارند.

روش 4: یک تابع را به صورت دستی وارد کنید

اگر می خواهید، اگر فرمول میانگین حسابی را در اکسل می دانید، می توانید از تعامل با Function Wizard اجتناب کنید. در برخی شرایط، وارد کردن دستی آن، روند محاسبه را چندین برابر افزایش می دهد.

برای درک تمام تفاوت های ظریف، باید به نحو فرمول نگاه کنید، به نظر می رسد این است:

AVERAGE (آدرس_سلول (شماره)؛ آدرس_سلول (شماره))

از نحو چنین برمی‌آید که در آرگومان‌های تابع لازم است یا آدرس محدوده سلول‌هایی که اعدادی که باید شمارش می‌شوند در آن قرار دارند، یا مستقیماً خود اعدادی که باید محاسبه شوند، بنویسیم. در عمل، استفاده از این روش به شرح زیر است:

میانگین (C4: D6؛ C8: D9)

روش 5: محاسبه مشروط

• سلولی را انتخاب کنید که در آن محاسبه انجام می شود.
• دکمه "درج تابع" را فشار دهید؛
• در پنجره جادوگر ظاهر شده در لیست، خط "cf.value" را انتخاب کنید.
• روی "OK" کلیک کنید.

پس از آن، پنجره ای برای وارد کردن آرگومان های تابع ظاهر می شود. این بسیار شبیه به آنچه قبلا نشان داده شده است، فقط اکنون ظاهر شده است زمینه اضافی- "وضعیت". در آن است که شرط باید وارد شود. بنابراین، با وارد کردن "> 1500"، تنها مقادیری که بزرگتر از مقدار مشخص شده هستند در نظر گرفته می شوند.

تحت مفهوم میانگین اعداد حسابیبه معنای نتیجه یک توالی ساده از محاسبات میانگین برای تعدادی از اعداد تعیین شده از قبل است. لازم به ذکر است که این مقدار در حال حاضر به طور گسترده توسط متخصصان در تعدادی از صنایع استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام انجام محاسبات توسط اقتصاددانان یا کارمندان صنعت آمار، فرمول های شناخته شده ای وجود دارد که در آن ها باید مقداری از این نوع داشته باشد. علاوه بر این، این شاخص به طور فعال در تعدادی از صنایع دیگر مرتبط با موارد فوق استفاده می شود.

یکی از ویژگی های محاسبه این مقدار، سادگی روش است. محاسبات انجام دهیدهرکسی میتواند. برای این کار نیازی به تحصیلات خاصی ندارید. اغلب نیازی به استفاده از فناوری رایانه نیست.

به عنوان پاسخ به این سوال که چگونه می توان میانگین حسابی را پیدا کرد، تعدادی موقعیت را در نظر بگیرید.

بیشترین گزینه سادهمحاسبه این مقدار محاسبه آن برای دو عدد است. روش محاسبه در این مورد بسیار ساده است:

1. در ابتدا لازم است عملیات جمع اعداد انتخابی انجام شود. همانطور که می گویند اغلب می توان این کار را به صورت دستی و بدون استفاده از فناوری الکترونیکی انجام داد.
2. پس از اینکه جمع انجام شد و نتیجه آن حاصل شد، باید تقسیم را انجام داد. این عملیات شامل تقسیم مجموع دو عدد اضافه شده بر دو - تعداد اعداد اضافه شده است. این عمل است که به شما امکان می دهد مقدار مورد نیاز را بدست آورید.

فرمول

بنابراین، فرمول محاسبه مقدار مورد نیاز در مورد دو به صورت زیر خواهد بود:

(A + B) / 2

نماد زیر در این فرمول اعمال می شود:

A و B اعداد از پیش انتخاب شده ای هستند که باید مقداری برای آنها پیدا کنید.

یافتن مقدار سه

محاسبه این مقدار در شرایطی که سه عدد انتخاب شده باشد تفاوت چندانی با گزینه قبلی نخواهد داشت:

1. برای انجام این کار، اعداد مورد نیاز برای محاسبه را انتخاب کرده و برای بدست آوردن آنها اضافه کنید مبلغ کل.
2. پس از یافتن مجموع سه داده شده، لازم است که روش تقسیم مجدد انجام شود. در این صورت مبلغ دریافتی باید بر سه تقسیم شود که با تعداد اعداد انتخاب شده مطابقت دارد.

فرمول

بنابراین، فرمول مورد نیاز برای محاسبه حساب سه به صورت زیر خواهد بود:

(A + B + C) / 3

در این فرمولعنوان زیر اتخاذ می شود:

الف، ب و ج اعدادی هستند که یافتن میانگین حسابی برای آنها ضروری است.

محاسبه میانگین حسابی چهار

همانطور که قبلاً با قیاس با گزینه های قبلی مشاهده می شود ، محاسبه این مقدار برای مقداری برابر با چهار به ترتیب زیر خواهد بود:

1. چهار رقم انتخاب شده است که میانگین حسابی برای آنها محاسبه می شود. در ادامه، جمع بندی انجام می شود و نتیجه نهایی این روش پیدا می شود.
2. حال برای به دست آوردن نتیجه نهایی باید حاصل جمع چهار را گرفته و بر چهار تقسیم کنید. داده های دریافتی مقدار مورد نیاز خواهد بود.

فرمول

از دنباله اقداماتی که در بالا برای یافتن میانگین حسابی برای چهار توضیح داده شد، می توانید فرمول زیر را بدست آورید:

(A + B + C + E) / 4

در این فرمولمتغیرها دارند مقدار بعدی:

A، B، C و E مواردی هستند که برای آنها باید مقدار میانگین حسابی را پیدا کرد.

با استفاده از این فرمول، همیشه می توانید مقدار مورد نیاز را برای تعداد معینی از اعداد محاسبه کنید.

محاسبه میانگین حسابی پنج

انجام این عملیات به الگوریتم خاصی از اقدامات نیاز دارد.

1. اول از همه، شما باید پنج عدد را انتخاب کنید که میانگین حسابی برای آنها محاسبه می شود. پس از این انتخاب، این اعداد مانند نسخه های قبلی فقط باید اضافه کنید و مبلغ نهایی را دریافت کنید.
2. مقدار حاصل باید بر تعداد آنها بر پنج تقسیم شود که به شما امکان می دهد مقدار مورد نیاز را بدست آورید.

فرمول

بنابراین، مانند گزینه های قبلاً در نظر گرفته شده، فرمول زیر را برای محاسبه میانگین حسابی به دست می آوریم:

(A + B + C + E + P) / 5

در این فرمول متغیرها دارای نام زیر هستند:

A، B، C، E و P اعدادی هستند که برای بدست آوردن میانگین حسابی لازم است.

فرمول محاسبه جهانی

با توجه به گزینه های مختلففرمول ها برای محاسبه میانگین حسابی، می توانید به این نکته توجه کنید که یک الگوی مشترک دارند.

بنابراین، استفاده از فرمول کلی برای یافتن میانگین حسابی کاربردی تر خواهد بود. پس از همه، موقعیت هایی وجود دارد که تعداد و اندازه محاسبات می تواند بسیار زیاد باشد. بنابراین، عاقلانه تر است که از یک فرمول جهانی استفاده کنید و هر بار خروجی نداشته باشید تکنولوژی فردیبرای محاسبه این مقدار

نکته اصلی در تعیین فرمول این است اصل محاسبه میانگین حسابی O.

این اصل، همانطور که از مثال های بالا می بینید، به شکل زیر است:

1. تعداد اعدادی که برای به دست آوردن مقدار مورد نیاز مشخص شده اند شمرده می شود. این عملیات را می توان هم به صورت دستی با تعداد کمی اعداد و هم با استفاده از فناوری رایانه انجام داد.
2. اعداد انتخاب شده خلاصه می شوند. در بیشتر شرایط، این عملیات با استفاده از رایانه انجام می شود، زیرا اعداد می توانند از دو، سه یا چند رقم تشکیل شوند.
3. جمعی که در نتیجه جمع اعداد انتخاب شده به دست می آید باید بر تعداد آنها تقسیم شود. این مقدار در مرحله اولیه محاسبه میانگین حسابی تعیین می شود.

بنابراین، فرمول کلی برای محاسبه میانگین حسابی اعداد انتخاب شده به صورت زیر خواهد بود:

(A + B + ... + N) / N

این فرمول شاملمتغیرهای زیر:

A و B اعدادی هستند که از قبل برای محاسبه میانگین حسابی آنها انتخاب شده اند.

N تعداد اعدادی است که برای محاسبه مقدار مورد نیاز گرفته شده است.

هر بار با جایگزینی اعداد انتخاب شده در این فرمول، همیشه می توانیم مقدار میانگین حسابی مورد نیاز را بدست آوریم.

همانطور که دیدیم، پیدا کردن میانگین حسابییک روش ساده است با این حال، باید مراقب محاسباتی بود که انجام می شود و نتیجه به دست آمده را بررسی کرد. این رویکرد با این واقعیت توضیح داده می شود که حتی در ساده ترین شرایط نیز احتمال خطا وجود دارد که می تواند محاسبات بعدی را تحت تأثیر قرار دهد. در این راستا توصیه می شود از رایانه هایی استفاده کنید که قادر به انجام محاسبات با هر پیچیدگی باشند.

میانگین حسابی در اکسل. جداول اکسل برای هر نوع محاسباتی عالی هستند. با مطالعه اکسل می توانید مسائل شیمی، فیزیک، ریاضیات، هندسه، زیست شناسی، آمار، اقتصاد و بسیاری موارد دیگر را حل کنید. ما حتی به این فکر نمی‌کنیم که یک ابزار قدرتمند در رایانه‌هایمان چیست، به این معنی که از آن به طور کامل استفاده نمی‌کنیم. بسیاری از والدین فکر می کنند که کامپیوتر فقط یک اسباب بازی گران قیمت است. اما بیهوده! البته، برای اینکه کودک واقعاً روی آن مطالعه کند، خود شما باید یاد بگیرید که چگونه روی آن کار کنید و سپس به کودک آموزش دهید. خوب، این یک موضوع دیگر است، اما امروز می خواهم در مورد چگونگی پیدا کردن میانگین حسابی در اکسل با شما صحبت کنم.

نحوه پیدا کردن میانگین حسابی در اکسل

قبلاً در مورد سریع در اکسل صحبت کرده ایم و امروز در مورد میانگین حسابی صحبت خواهیم کرد.

سلول را انتخاب کنید C12و با کمک Function Wizards در آن فرمول محاسبه میانگین حسابی را می نویسیم. برای انجام این کار، در نوار ابزار استاندارد، روی دکمه - کلیک کنید - درج تابع -fx (در تصویر بالا یک فلش قرمز رنگ در بالا وجود دارد). یک کادر محاوره ای باز می شود Function Wizard .

• در کادر انتخاب کنید دسته بندی ها — آماری ;
• در زمینه عملکرد را انتخاب کنید: میانگین ;
• روی دکمه کلیک کنید خوب .

باز خواهد شد پنجره بعدی آرگومان ها و توابع .

در زمینه شماره 1ورودی را خواهید دید C2: C11- خود برنامه محدوده سلول هایی را که برای آنها ضروری است تعیین کرده است میانگین حسابی را پیدا کنید

روی دکمه کلیک کنید خوبو در سلول C12میانگین حسابی نمرات ظاهر می شود.

معلوم می شود که محاسبه میانگین حسابی در اکسل اصلا دشوار نیست. و من همیشه از هر فرمولی می ترسیدم. آه، در زمان اشتباهی که مطالعه کردیم.