Modul je ena tistih stvari, za katero se zdi, da so vsi že slišali, v resnici pa je nihče ne razume normalno. Zato bo danes velika lekcija o reševanju enačb z moduli.

Takoj vam povem: lekcija ne bo težka. Na splošno so moduli na splošno razmeroma preprosta tema. »Ja, seveda, ni težko! Moji možgani kar pokajo od nje! " - bodo rekli mnogi študentje, toda vsi ti možganski zlomi se zgodijo zaradi dejstva, da večina ljudi nima znanja v glavi, ampak nekakšno sranje. In cilj te vaje je spremeniti sranje v znanje. :)

Malo teorije

Torej gremo. Začnimo z najpomembnejšim: kaj je modul? Naj vas spomnim, da je modul števila enako število, vendar brez znaka minus. To je na primer $ \\ left | -5 \\ desno | \u003d 5 $. Ali $ \\ left | -129,5 \\ desno | \u003d 129,5 $.

Je tako preprosto? Ja, preprosto. In kakšna je potem absolutna vrednost pozitivnega števila? Tu je še bolj preprosto: modul pozitivnega števila je enak samemu temu številu: $ \\ left | 5 \\ desno | \u003d 5 $; $ \\ levo | 129,5 \\ desno | \u003d 129,5 $ itd.

Izkazalo se je nenavadno: različne številke lahko ima isti modul. Na primer: $ \\ left | -5 \\ desno | \u003d \\ levo | 5 \\ desno | \u003d 5 $; $ \\ levo | -129,5 \\ desno | \u003d \\ levo | 129,5 \\ desno | \u003d 129,5 $. Preprosto je videti, katere so te številke, pri katerih so moduli enaki: te številke so nasprotne. Tako sami ugotavljamo, da so absolutne vrednosti nasprotnih števil enake:

\\ [\\ levo | -a \\ desno | \u003d \\ levo | \\ desno | \\]

Še eno pomembno dejstvo: modul ni nikoli negativen... Ne glede na število, ki ga vzamemo - pa naj bo pozitivno ali negativno - se njegov modul vedno izkaže kot pozitiven (ali v skrajnih primerih nič). Zato modul pogosto imenujemo absolutna vrednost števila.

Tudi če združimo definicijo modula za pozitivno in negativno število, potem dobimo globalno definicijo modula za vsa števila. Namreč: modul števila je enak samemu temu številu, če je število pozitivno (ali nič), ali enako nasprotnemu številu, če je število negativno. To lahko zapišete kot formulo:

Obstaja tudi nič modul, vendar je vedno nič. Poleg tega je nič edino število, ki nima nasprotja.

Če torej upoštevamo funkcijo $ y \u003d \\ left | x \\ right | $ in poskusite narisati njen graf, dobite to "daw":

Načrt modula in primer reševanja enačbe

Ta slika takoj pokaže, da je $ \\ left | -m \\ desno | \u003d \\ levo | m \\ right | $ in graf modula nikoli ne pade pod os abscise. Toda to še ni vse: rdeča črta označuje ravno črto $ y \u003d a $, kar nam pri pozitivnih $ a $ daje dve korenini hkrati: $ ((x) _ (1)) $ in $ ((x) _ ( 2)) $, o tem pa bomo govorili kasneje. :)

Poleg povsem algebrske definicije obstaja še geometrijska. Recimo, da sta na številski črti dve točki: $ ((x) _ (1)) $ in $ ((x) _ (2)) $. V tem primeru je izraz $ \\ left | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ je samo razdalja med navedenimi točkami. Ali, če želite, dolžina odseka, ki povezuje te točke:

Ta definicija tudi pomeni, da je modul vedno nenegativen. Toda dovolj opredelitev in teorije - pojdimo na resnične enačbe. :)

Osnovna formula

No, no, smo ugotovili definicijo. A lažje ni bilo. Kako rešiti enačbe, ki vsebujejo isti modul?

Mirno, samo mirno. Začnimo z najpreprostejšimi stvarmi. Razmislite o nečem takem:

\\ [\\ levo | x \\ desno | \u003d 3 \\]

Torej, modul $ x $ je 3. Kaj je lahko $ x $? No, sodeč po definiciji je $ x \u003d 3 $ v redu. Res:

\\ [\\ levo | 3 \\ desno | \u003d 3 \\]

Ali obstajajo še druge številke? Kapica tako rekoč namiguje, da obstaja. Na primer, $ x \u003d -3 $ - tudi zanj $ \\ left | -3 \\ desno | \u003d 3 $, tj. velja zahtevana enakost.

Torej, če poiščemo, pomislimo, bomo našli več številk? A prekinite: številk ni več. Enačba $ \\ left | x \\ right | \u003d 3 $ ima samo dve korenini: $ x \u003d 3 $ in $ x \u003d -3 $.

Zdaj pa malce zapletemo nalogo. Naj funkcija $ f \\ left (x \\ right) $ visi pod znakom modula namesto spremenljivke $ x $, na desno pa namesto tripleta poljubno število $ a $. Dobimo enačbo:

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d a \\]

No, kako to rešiti? Naj vas spomnim: $ f \\ levo (x \\ desno) $ je poljubna funkcija, $ a $ je poljubno število. Tisti. na splošno kateri koli! Na primer:

\\ [\\ levo | 2x + 1 \\ desno | \u003d 5 \\]

\\ [\\ levo | 10x-5 \\ desno | \u003d -65 \\]

Bodimo pozorni na drugo enačbo. O njem lahko takoj rečete: nima korenin. Zakaj? Vse je pravilno: ker zahteva, da je modul enak negativnemu številu, kar pa se nikoli ne zgodi, saj že vemo, da je modul vedno pozitivno število ali v skrajnih primerih nič.

Toda s prvo enačbo je vse bolj zabavno. Obstajata dve možnosti: bodisi je pod znakom modula pozitiven izraz in nato $ \\ left | 2x + 1 \\ desno | \u003d 2x + 1 $, ali pa je ta izraz še vedno negativen, nato pa $ \\ left | 2x + 1 \\ desno | \u003d - \\ levo (2x + 1 \\ desno) \u003d - 2x-1 $. V prvem primeru bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\\ [\\ levo | 2x + 1 \\ desno | \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

In nenadoma se izkaže, da je izraz podmodula $ 2x + 1 $ res pozitiven - je enak številu 5. To pomeni, to enačbo lahko varno rešimo - nastali koren bo del odgovora:

Tisti, ki so še posebej nezaupljivi, lahko poskusijo najti koren nadomestiti v prvotno enačbo in se prepričati, da bo pod modulom resnično pozitivno število.

Zdaj pa poglejmo primer negativnega izraza podmodula:

\\ [\\ levo \\ (\\ začetek (poravnava) & \\ levo | 2x + 1 \\ desno | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ konec (poravnava) \\ desno. \\ Rightarrow -2x-1 \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

Ups! Ponovno je vse jasno: domnevali smo, da je 2x 2x + 1 \\ lt 0 $ in posledično smo dobili, da $ 2x + 1 \u003d -5 $ - res je to izraz manj kot nič... Nastalo enačbo rešujemo, medtem ko že zagotovo vemo, da nam bo našel koren ustrezal:

Tako smo ponovno dobili dva odgovora: $ x \u003d 2 $ in $ x \u003d 3 $. Da, izkazalo se je, da je bila količina izračunov nekoliko večja kot v zelo preprosti enačbi $ \\ left | x \\ desno | \u003d 3 $, vendar se nič ni bistveno spremenilo. Torej jih morda obstaja univerzalni algoritem?

Da, tak algoritem obstaja. In zdaj ga bomo razstavili.

Kako se znebiti znaka modula

Dajmo nam enačbo $ \\ left | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d a $, s $ a \\ ge 0 $ (sicer, kot že vemo, ni korenin). Potem se lahko znebite znaka modula v skladu z naslednjim pravilom:

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d a \\ Pogled desno f \\ levo (x \\ desno) \u003d \\ pm a \\]

Tako se naša enačba z modulom razdeli na dva, vendar brez modula. To je vsa tehnologija! Poskusimo rešiti nekaj enačb. Začnimo s tem

\\ [\\ levo | 5x + 4 \\ desno | \u003d 10 \\ Rightarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Upoštevajmo ločeno, kdaj je desetica z plusom na desni, in ločeno - kdaj z minusom. Imamo:

\\ [\\ začetek (poravnava) & 5x + 4 \u003d 10 \\ Rightarrow 5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1,2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ Rightarrow 5x \u003d -14 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

To je vse! Dobili smo dve korenini: $ x \u003d 1,2 $ in $ x \u003d -2,8 $. Celotna rešitev je zajela dobesedno dve vrstici.

Ok, brez dvoma, poglejmo nekaj resnejšega:

\\ [\\ levo | 7-5x \\ desno | \u003d 13 \\]

Spet odpremo modul s plusom in minusom:

\\ [\\ začetek (poravnava) & 7-5x \u003d 13 \\ Rightarrow -5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1,2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ Rightarrow -5x \u003d -20 \\ Rightarrow x \u003d 4. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Spet nekaj vrstic - in odgovor je pripravljen! Kot rečeno, pri modulih ni nič težkega. Zapomniti si morate le nekaj pravil. Zato nadaljujemo in začnemo z res težjimi nalogami.

Spremenljiv desni ovitek

Zdaj razmislite o tej enačbi:

\\ [\\ levo | 3x-2 \\ desno | \u003d 2x \\]

Ta enačba se bistveno razlikuje od vseh prejšnjih. Kot? In to, da je desno od enačbe izraz $ 2x $ - in vnaprej ne moremo vedeti, ali je pozitiven ali negativen.

Kaj je treba storiti v tem primeru? Najprej moramo enkrat za vselej razumeti to če se izkaže, da je desna stran enačbe negativna, potem enačba ne bo imela korenin - že vemo, da modul ne more biti enak negativnemu številu.

In drugič, če je desni del še vedno pozitiven (ali enak nič), potem lahko delujete na enak način kot prej: modul samo odprite ločeno z znakom plus in ločeno - z minusom.

Tako oblikujemo pravilo za poljubni funkciji $ f \\ left (x \\ right) $ in $ g \\ left (x \\ right) $:

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d g \\ levo (x \\ desno) \\ Desno \\ levo \\ (\\ začeti (poravnati) & f \\ levo (x \\ desno) \u003d \\ pm g \\ levo (x \\ desno ), \\\\ & g \\ levo (x \\ desno) \\ ge 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

Glede naše enačbe dobimo:

\\ [\\ levo | 3x-2 \\ desno | \u003d 2x \\ Rightarrow \\ levo \\ (\\ začetek (poravnava) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\\\ konec (poravnava) \\ desno. \\]

No, nekako lahko rešimo zahtevo $ 2x \\ ge 0 $. Na koncu lahko neumno nadomestite korenine, ki jih dobimo iz prve enačbe, in preverite, ali neenakost velja ali ne.

Zato rešimo samo enačbo:

\\ [\\ začetek (poravnava) & 3x-2 \u003d 2 \\ Rightarrow 3x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ Rightarrow 3x \u003d 0 \\ Rightarrow x \u003d 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

No, katera od teh dveh korenin ustreza zahtevam $ 2x \\ ge 0 $? Ja, oboje! Odgovor bo torej dve številki: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ in $ x \u003d 0 $. To je celotna rešitev. :)

Ali sumim, da se nekaterim študentom že dolgočasi? No, poglejmo še bolj zapleteno enačbo:

\\ [\\ levo | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ desno | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Čeprav je videti hudobno, je v resnici enaka enačba oblike "modul je enak funkciji":

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d g \\ levo (x \\ desno) \\]

In rešuje se na enak način:

\\ [\\ levo | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ desno | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ Rightarrow \\ levo \\ (\\ začeti (poravnati) & ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ levo (x - ((x) ^ (3)) \\ desno), \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

Kasneje se bomo ukvarjali z neenakostjo - je nekako preveč hudobna (pravzaprav preprosta, vendar je ne bomo rešili). Za zdaj se raje lotimo nastalih enačb. Upoštevajmo prvi primer - to je, ko je modul razširjen z znakom plus:

\\ [((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

No, tukaj ni smiselno, da morate zbrati vse na levi, prinesti podobne in videti, kaj se bo zgodilo. Kaj se zgodi:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Skupni faktor $ ((x) ^ (2)) $ vzamemo izven oklepaja in dobimo zelo preprosto enačbo:

\\ [((x) ^ (2)) \\ levo (2x-3 \\ desno) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ levo [\\ začeti (poravnati) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1,5. \\]

Tu smo uporabili pomembno lastnost izdelka, zaradi katere smo prvotni polinom razložili na faktorje: produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič.

Zdaj pa se na enak način lotimo tudi druge enačbe, ki jo dobimo, ko modul razširimo z znakom minus:

\\ [\\ začeti (poravnati) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ levo (x - ((x) ^ (3)) \\ desno); \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ levo (-3x + 2 \\ desno) \u003d 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Spet isto: izdelek je nič, če je vsaj eden od dejavnikov nič. Imamo:

\\ [\\ levo [\\ začetek (poravnava) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ konec (poravnava) \\ desno. \\]

No, dobili smo tri korenine: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $ in $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Kateri od tega sklopa bo torej končni odgovor? Če želite to narediti, ne pozabite, da imamo dodatno omejitev neenakosti:

Kako lahko to zahtevo upoštevamo? Da, samo nadomestimo najdene korenine in preverimo, ali za te $ x $ velja neenakost ali ne. Imamo:

\\ [\\ začetek (poravnava) & x \u003d 0 \\ Desna smer x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1,5 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1,5 - ((1,5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Torej, koren $ x \u003d 1,5 $ nam ne ustreza. In le dve korenini se bosta odzvali:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Kot lahko vidite, tudi v tem primeru ni bilo nič zapletenega - enačbe z moduli vedno rešuje algoritem. Samo dobro morate poznati polinome in neenakosti. Zato preidemo na bolj zapletene naloge - že ne bo enega, ampak dva modula.

Enačbe z dvema moduloma

Do zdaj smo preučevali le največ enostavne enačbe - bil je en modul in nekaj drugega. To "nekaj drugega" smo poslali drugemu delu neenakosti, stran od modula, tako da se je na koncu vse zmanjšalo na enačbo oblike $ \\ left | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d g \\ levo (x \\ desno) $ ali še bolj preprosto $ \\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d a $.

Ampak vrtec končano - čas je, da razmislimo o nečem resnejšem. Začnimo z enačbami te vrste:

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d \\ levo | g \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \\]

To je enačba modula enaka modulu. V bistvu pomembna točka je odsotnost drugih izrazov in dejavnikov: le en modul na levi, še en modul na desni - in nič več.

Nekdo bo zdaj pomislil, da je takšne enačbe težje rešiti kot to, kar smo do zdaj preučevali. A ne: te enačbe je še lažje rešiti. Tu je formula:

\\ [\\ levo | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d \\ levo | g \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \\ Desna smer f \\ levo (x \\ desno) \u003d \\ pm g \\ levo (x \\ desno) \\]

Vse! Izraze podmodula samo enačimo tako, da enega od njih predponimo z znakom plus ali minus. In potem rešimo nastali dve enačbi - in korenine so pripravljene! Brez dodatnih omejitev, neenakosti itd. Vse je zelo preprosto.

Poskusimo rešiti to težavo:

\\ [\\ levo | 2x + 3 \\ desno | \u003d \\ levo | 2x-7 \\ desno | \\]

Osnovni Watson! Razširite module:

\\ [\\ levo | 2x + 3 \\ desno | \u003d \\ levo | 2x-7 \\ desno | \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d \\ pm \\ levo (2x-7 \\ desno) \\]

Upoštevajmo vsak primer posebej:

\\ [\\ začetek (poravnava) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ Rightarrow 3 \u003d -7 \\ Rightarrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ levo (2x-7 \\ desno) \\ Desno desno 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

V prvi enačbi ni korenin. Kajti kdaj znaša 3 $ \u003d -7 $? Kakšne so vrednosti $ x $? »Kaj za vraga je x $? Ste kamnirani? $ X $ sploh ni, «pravite. In imeli boste prav. Dobili smo enakost, ki ni odvisna od spremenljivke $ x $, in enaka sama ne drži. Zato ni korenin. :)

Z drugo enačbo je vse malo bolj zanimivo, a tudi zelo zelo preprosto:

Kot lahko vidite, je bilo vse rešeno v samo nekaj vrsticah - od linearne enačbe nismo pričakovali ničesar drugega. :)

Kot rezultat, končni odgovor je: $ x \u003d 1 $.

Kako je? Težko? Seveda ne. Poskusimo še nekaj:

\\ [\\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ desno | \\]

Spet imamo enačbo, kot je $ \\ left | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d \\ levo | g \\ levo (x \\ desno) \\ desno | $. Zato ga takoj prepišemo in razširimo znak modula:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ levo (x-1 \\ desno) \\]

Morda bo kdo zdaj vprašal: »Hej, kaj so to neumnosti? Zakaj je "plus ali minus" na desnem izrazu in ne na levem? " Pomiri se, zdaj bom vse razložil. Dejansko bi morali svojo enačbo prepisati na naslednji način:

Potem morate odpreti oklepaje, premakniti vse izraze v eno smer od enačbe (ker bo enačba očitno v obeh primerih kvadratna) in nato najti korenine. A strinjati se morate: če je pred tremi izrazi "plus-minus" (zlasti kadar je eden od teh izrazov kvadratni izraz), je to nekako bolj zapleteno kot situacija, ko je "plus-minus" pred pogoji.

Toda nič nam ne preprečuje, da bi prvotno enačbo prepisali na naslednji način:

\\ [\\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ desno | \\ Rightarrow \\ levo | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ desno | \u003d \\ levo | x-1 \\ desno | \\]

Kaj se je zgodilo? Nič posebnega: le zamenjali sta levo in desno stran. Malenkost, ki nam bo na koncu nekoliko olajšala življenje. :)

Na splošno rešujemo to enačbo ob upoštevanju možnosti s plusom in minusom:

\\ [\\ začetek (poravnava) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ levo (x-1 \\ desno) \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Prva enačba ima korenine $ x \u003d 3 $ in $ x \u003d 1 $. Drugi je praviloma natančen kvadrat:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ levo (x-1 \\ desno)) ^ (2)) \\]

Zato ima en koren: $ x \u003d 1 $. Toda to korenino smo že prejeli. Tako bosta v končni odgovor prišli le dve številki:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Naloga opravljena! Lahko ga vzamete s police in pojeste pito. V povprečju sta 2. :)

Pomembno... Prisotnost istih korenin pri različne možnosti razširitev modula pomeni, da se prvotni polinomi razgradijo na faktorje in med temi dejavniki bo zagotovo skupni. Res:

\\ [\\ začni (poravnaj) & \\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ desno |; \\\\ & \\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | \\ levo (x-1 \\ desno) \\ levo (x-2 \\ desno) \\ desno |. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Ena od lastnosti modula: $ \\ left | a \\ cdot b \\ desno | \u003d \\ levo | a \\ right | \\ cdot \\ left | b \\ right | $ (tj. modul zmnožka je enak zmnožku modulov), zato lahko prvotno enačbo prepišemo na naslednji način:

\\ [\\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | x-1 \\ desno | \\ cdot \\ levo | x-2 \\ desno | \\]

Kot lahko vidite, imamo res skupni dejavnik. Če zberete vse module na eni strani, lahko ta faktor izvlečete iz nosilca:

\\ [\\ začni (poravnaj) & \\ levo | x-1 \\ desno | \u003d \\ levo | x-1 \\ desno | \\ cdot \\ levo | x-2 \\ desno | \\\\ & \\ levo | x-1 \\ desno | - \\ levo | x-1 \\ desno | \\ cdot \\ levo | x-2 \\ desno | \u003d 0; \\\\ & \\ levo | x-1 \\ desno | \\ cdot \\ levo (1- \\ levo | x-2 \\ desno | \\ desno) \u003d 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

No, zdaj ne pozabite, da je izdelek nič, če je vsaj eden od dejavnikov nič:

\\ [\\ levo [\\ začeti (poravnati) & \\ levo | x-1 \\ desno | \u003d 0, \\\\ & \\ levo | x-2 \\ desno | \u003d 1. \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

Tako se je prvotna enačba z dvema moduloma zmanjšala na dve najpreprostejši enačbi, o katerih smo govorili na samem začetku lekcije. Takšne enačbe je mogoče rešiti dobesedno v nekaj vrsticah. :)

Ta pripomba se morda zdi po nepotrebnem zapletena in v praksi neuporabna. V resnici pa lahko naletite na veliko več zahtevne nalogekot tisti, ki jih danes preučujemo. V njih je mogoče module kombinirati s polinomi, aritmetičnimi koreninami, logaritmi itd. In v takih situacijah je sposobnost znižanja splošne stopnje enačbe, tako da nekaj postavimo zunaj oklepajev, lahko zelo, zelo koristna. :)

Zdaj bi rad analiziral še eno enačbo, ki se na prvi pogled zdi nora. Številni študentje se tega držijo - tudi tisti, ki mislijo, da dobro razumejo module.

Kljub temu je to enačbo še lažje rešiti kot tisto, kar smo prej obravnavali. In če razumete, zakaj, boste dobili še en trik za hitro reševanje enačb z moduli.

Torej enačba:

\\ [\\ levo | x - ((x) ^ (3)) \\ desno | + \\ levo | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ desno | \u003d 0 \\]

Ne, to ni tiskarska napaka: med moduli je plus. In ugotoviti moramo, pri koliko $ x $ je vsota dveh modulov enaka nič. :)

V čem je problem? In težava je v tem, da je vsak modul pozitivno število ali v skrajnem primeru nič. Kaj se zgodi, če dodate dve pozitivni številki? Očitno spet pozitivna številka:

\\ [\\ začetek (poravnava) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0,004 + 0,0001 \u003d 0,0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\]

Zadnja vrstica vam lahko da idejo: edini primer, ko je vsota modulov enaka nič, je, če je vsak modul enak nič:

\\ [\\ levo | x - ((x) ^ (3)) \\ desno | + \\ levo | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ desno | \u003d 0 \\ Desna puščica \\ levo \\ (\\ začeti (poravnati) & \\ levo | x - ((x) ^ (3)) \\ desno | \u003d 0, \\\\ & \\ levo | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ desno | \u003d 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

In kdaj je modul nič? Samo v enem primeru - kadar je izraz podmodula nič:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ desno smer \\ levo (x + 2 \\ desno) \\ levo (x-1 \\ desno) \u003d 0 \\ desno tipko \\ levo [\\ začeti (poravnati) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

Tako imamo tri točke, pri katerih je prvi modul ničliran: 0, 1 in −1; kot tudi dve točki, pri katerih je drugi modul ničliran: -2 in 1. Vendar pa moramo oba modula na nič hkrati, zato moramo med najdenimi številkami izbrati tiste, ki so vključeni v oba niza. Očitno obstaja samo ena taka številka: $ x \u003d 1 $ - to bo končni odgovor.

Metoda cepljenja

No, zajeli smo že kopico nalog in se naučili veliko trikov. Mislite, da je to vse? Vendar ne! Zdaj si bomo ogledali zadnji trik - in hkrati najpomembnejši. Gre za delitev enačb z modulom. Za kaj bo šlo? Vrnimo se malo nazaj in si oglejmo nekaj preprostih enačb. Na primer to:

\\ [\\ levo | 3x-5 \\ desno | \u003d 5-3x \\]

V bistvu že vemo, kako rešiti takšno enačbo, ker je to standardna konstrukcija, kot je $ \\ left | f \\ levo (x \\ desno) \\ desno | \u003d g \\ levo (x \\ desno) $. Toda poskusimo pogledati to enačbo z nekoliko drugačnega kota. Natančneje, upoštevajte izraz pod znakom modula. Naj vas spomnim, da je modul katerega koli števila lahko enak samemu številu ali pa je nasproten temu številu:

\\ [\\ levo | a \\ desno | \u003d \\ levo \\ (\\ začni (poravnaj) & a, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ & -a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ konec (poravnaj) \\ desno. \\]

Pravzaprav je ta dvoumnost celotna težava: ker se število pod modulom spreminja (odvisno od spremenljivke), nam ni jasno, ali je pozitivno ali negativno.

Kaj pa, če najprej zahtevate, da je ta številka pozitivna? Na primer, zahtevajmo $ 3x-5 \\ gt 0 $ - v tem primeru bomo zagotovo dobili pozitivno število pod znakom modula in se lahko popolnoma znebimo tega modula:

Tako se bo naša enačba spremenila v linearno, ki jo je enostavno rešiti:

Res je, da so vsa ta razmišljanja smiselna le pod pogojem $ 3x-5 \\ gt 0 $ - to zahtevo smo uvedli sami, da nedvoumno razkrijemo modul. Zato nadomestimo najdeni $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ v ta pogoj in preverimo:

Izkazalo se je, da za določeno vrednost $ x $ naša zahteva ni izpolnjena, ker Izkazalo se je, da je izraz enak nič, vendar moramo biti strogo večji od nič. Žalost. :(

Ampak v redu je! Navsezadnje obstaja še ena možnost $ 3x-5 \\ lt 0 $. Še več: obstaja tudi primer 3x-5 \u003d 0 $ $ - tudi to je treba upoštevati, sicer bo rešitev nepopolna. Torej, razmislite o primeru $ 3x-5 \\ lt 0 $:

Očitno se bo modul odprl z znakom minus. Potem pa se pojavi čudna situacija: tako leva kot desna v prvotni enačbi bosta imela isti izraz:

Zanima me, koliko takšnih $ x $ bo izraz $ 5-3x $ enak izrazu $ 5-3x $? Tudi kapitan bi se zadušil z dokazi iz takšnih enačb, vendar vemo, da je ta enačba identiteta, tj. velja za katero koli vrednost spremenljivke!

To pomeni, da nam ustreza kateri koli $ x $. Vendar imamo omejitev:

Z drugimi besedami, odgovor ne bo eno število, ampak celoten interval:

Na koncu je treba razmisliti še o enem primeru: 3x-5 \u003d 0 $. Tu je vse preprosto: pod modulom bo nič, modul nič pa je tudi nič (to neposredno izhaja iz definicije):

Potem pa je prvotna enačba $ \\ left | 3x-5 \\ desno | \u003d 5-3x $ bo prepisano na naslednji način:

Ta koren smo že dobili zgoraj, ko smo obravnavali primer $ 3x-5 \\ gt 0 $. Poleg tega je ta koren rešitev enačbe $ 3x-5 \u003d 0 $ - to je omejitev, ki smo jo sami uvedli, da modul ničel. :)

Tako smo poleg intervala zadovoljni tudi s številom, ki leži na samem koncu tega intervala:

Skupni končni odgovor: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ right] $. Takšno sranje v odgovoru na precej preprosto (v resnici linearno) enačbo ni zelo pogosto. z modulom No, navadite se: kompleksnost modula je v tem, da so odgovori v takih enačbah lahko popolnoma nepredvidljivi.

Veliko pomembnejša je še ena stvar: pravkar smo analizirali univerzalni algoritem za reševanje enačbe z modulacijo! In ta algoritem je sestavljen iz naslednjih korakov:

1. Vsak modul v enačbi nastavite na nič. Pridobimo več enačb;
2. Rešite vse te enačbe in označite korenine na številski premici. Posledično bo linija razdeljena na več intervalov, v vsakem od njih pa bodo vsi moduli nedvoumno razširjeni;
3. Rešite izvirno enačbo za vsak interval in združite odgovore.

To je vse! Ostaja samo eno vprašanje: kaj storiti s samimi koreninami, pridobljenimi v prvem koraku? Recimo, da imamo dve korenini: $ x \u003d 1 $ in $ x \u003d 5 $. Številčno črto bodo razdelili na 3 dele:

No, kakšni so intervali? Jasno je, da so trije:

1. Levo levo: $ x \\ lt 1 $ - enota sama ni vključena v interval;
2. Osrednje: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - tukaj je eno vključeno v interval, pet pa ni;
3. Najbolj desna: $ x \\ ge 5 $ - petica je vključena samo tukaj!

Mislim, da ste že ugotovili vzorec. Vsak interval vključuje levi konec in ne vključuje desnega konca.

Takšen posnetek se na prvi pogled zdi neprijeten, nelogičen in na splošno nekakšen zablod. Toda verjemite mi: po malo treninga boste ugotovili, da je to najbolj zanesljiv pristop in hkrati ne ovira nedvoumnega odpiranja modulov. Bolje je uporabiti takšno shemo kot vsakič razmišljati: levi / desni konec dajte trenutnemu intervalu ali ga "vrzite" v naslednjega.

V tem članku bomo podrobno analizirali absolutna vrednost števila... Bomo dali različne opredelitve modul številke, uvedemo zapis in damo grafične ilustracije. Pri tem upoštevajte različni primeri iskanje modula števila po definiciji. Po tem bomo našteli in utemeljili glavne lastnosti modula. Na koncu članka se pogovorimo o tem, kako se določi in najde modul kompleksnega števila.

Navigacija po strani.

Številski modul - opredelitev, zapis in primeri

Najprej predstavimo zapis modula števila... Modul števila a bo zapisan kot, to je levo in desno od števila, postavili bomo navpične pomišljaje, ki tvorijo znak modula. Tu je nekaj primerov. Na primer, modul −7 lahko zapišemo kot; modul 4,125 je zapisan kot, modul pa je zapisan kot.

Naslednja definicija modula se nanaša na in torej na cela števila ter na racionalna in iracionalna števila kot sestavne dele množice realnih števil. O modulu kompleksnih številk bomo govorili v.

Definicija.

Modul števila a Ali je število a samo, če je a pozitivno število, ali število −a, nasprotno število a, če je a negativno, ali 0, če je a \u003d 0.

Zvočna definicija modula števila je pogosto zapisana v naslednji obliki , ta zapis pomeni, da če je a\u003e 0, če je a \u003d 0 in če je a<0 .

Zapis lahko predstavimo v bolj kompaktni obliki ... Ta zapis pomeni, da če (a je večje ali enako 0) in če je a<0 .

Obstaja tudi zapis ... Tu je treba primer, kjer je a \u003d 0, pojasniti ločeno. V tem primeru imamo, vendar −0 \u003d 0, saj se nič šteje za število, ki je nasprotno sebi.

Dajmo primeri iskanja modula števila z uporabo zveneče definicije. Najdimo na primer module s številkama 15 in. Začnimo z iskanjem. Ker je število 15 pozitivno, je njegov modul po definiciji enak samemu temu številu, to je. In kakšna je absolutna vrednost števila? Ker je negativno število, je njegov modul enak nasprotnemu številu, to je številu ... Tako je.

Na koncu tega odstavka predstavljamo en zaključek, ki ga je zelo priročno uporabiti v praksi pri iskanju modula števila. Iz definicije modula števila izhaja, da modul števila je enak številu pod modulom, ne glede na njegov znak, in iz zgornjih primerov je to zelo jasno razvidno. Navedena izjava pojasnjuje, zakaj se imenuje tudi modul številke absolutna vrednost števila... Torej sta modul števila in absolutna vrednost števila enaka.

Modul števila kot razdalja

Geometrično je mogoče modul števila razlagati kot razdalja... Dajmo določitev modula števila skozi razdaljo.

Definicija.

Modul števila a Ali je razdalja od začetka na koordinatni premici do točke, ki ustreza številki a.

Ta opredelitev je skladna z definicijo modula števila iz prvega odstavka. Pojasnimo to točko. Oddaljenost od začetka do točke, ki ji ustreza pozitivno število, je enaka tej številki. Zero ustreza izvoru, zato je razdalja od začetka do točke s koordinato 0 enaka nič (ni vam treba odložiti niti enega enotnega segmenta niti niti enega segmenta, ki sestavlja kateri koli del enotnega segmenta, da bi prišli iz točka O do točke s koordinato 0). Razdalja od izhodišča do točke z negativno koordinato je enaka številu, nasprotnemu koordinati te točke, saj je enaka razdalji od začetka do točke, katere koordinata je nasprotno število.

Na primer, absolutna vrednost 9 je 9, saj je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 9 devet. Dajmo še en primer. Točka s koordinato -3,25 je od točke O oddaljena 3,25, torej .

Zvočna opredelitev modula števila je poseben primer določanja modula razlike dveh števil.

Definicija.

Različni modul dveh števil a in b je enaka razdalji med točkama koordinatne črte s koordinatama a in b.

To pomeni, da če so točke podane na koordinatni premici A (a) in B (b), je razdalja od točke A do točke B enaka modulu razlike med števili a in b. Če za točko B vzamemo točko O (izhodišče), potem dobimo definicijo modula števila, podanega na začetku tega odstavka.

Določanje modula števila skozi aritmetični kvadratni koren

Občasno se pojavi definicija modula v smislu aritmetičnega kvadratnega korena.

Na primer, izračunajmo absolutne vrednosti števil −30 in na podlagi te definicije. Imamo. Podobno izračunamo modul dveh tretjin: .

Opredelitev modula števila prek aritmetičnega kvadratnega korena se prav tako ujema z definicijo iz prvega odstavka tega člena. Pokažimo. Naj bo a pozitivno število, število −a pa negativno. Potem in , če je a \u003d 0, potem .

Lastnosti modula

Modul ima številne značilne rezultate - lastnosti modula... Zdaj bomo predstavili glavne in najpogosteje uporabljene. Pri utemeljitvi teh lastnosti se bomo oprli na opredelitev modula števila skozi razdaljo.

Začnimo z najočitnejšo lastnostjo modula - modul števila ne more biti negativen... V dobesedni obliki ima ta lastnost zapis obrazca za poljubno število a. To lastnost je zelo enostavno utemeljiti: modul števila je razdalja in razdalje ni mogoče izraziti kot negativno število.

Pojdimo na naslednjo lastnost modula. Absolutna vrednost števila je nič takrat in samo, če je to število nič... Modul nič je po definiciji nič. Zero ustreza izvoru, nobena druga točka na koordinatni črti ne ustreza ničli, saj je vsako realno število povezano z eno samo točko na koordinatni črti. Iz istega razloga katero koli število, ki ni nič, ustreza točki, ki ni izhodišče. In razdalja od izhodišča do katere koli točke, ki ni točka O, ni nič, saj je razdalja med dvema točkama nič, če in le, če ti točki sovpadata. Zgornje sklepanje dokazuje, da je samo modul nič enak nič.

Pojdi naprej. Nasprotna števila imajo enake module, to je za katero koli število a. Dejansko sta dve točki na koordinatni črti, katerih koordinate so nasprotne številke, na enaki razdalji od začetka, kar pomeni, da so absolutne vrednosti nasprotnih števil enake.

Naslednja lastnost modula je naslednja: modul zmnožka dveh števil je enak zmnožku modulov teh števil, tj. Po definiciji je modul zmnožka števil a in b bodisi b, če bodisi - (a b) če. Iz pravil množenja realnih števil izhaja, da je zmnožek absolutnih vrednosti števil a in b enak bodisi b bodisi - (a b) if, kar dokazuje obravnavano lastnost.

Modul količnika delitve a z b je enak količniku delitve modula števila a z modulom števila b, tj. Utemeljimo to lastnost modula. Ker je količnik enak zmnožku, potem. Na podlagi prejšnje lastnosti imamo ... Ostaja le uporaba enačbe, ki velja na podlagi definicije modula števila.

Naslednja lastnost modula je zapisana kot neenakost: , a, b in c so poljubna realna števila. Zapisana neenakost ni nič drugega kot neenakost trikotnika... Če želite to pojasniti, vzemite točke A (a), B (b), C (c) na koordinatni črti in upoštevajte izrojeni trikotnik ABC, katerega oglišča ležijo na eni ravni premici. Po definiciji je modul razlike enak dolžini odseka AB, - dolžini odseka AC in - dolžini odseka CB. Ker dolžina katere koli stranice trikotnika ne presega vsote dolžin drugih dveh stranic, je neenakost zato velja tudi neenakost.

Pravkar dokazana neenakost je v obliki veliko pogostejša ... Zapisana neenakost se običajno obravnava kot ločena lastnost modula s formulacijo: " Absolutna vrednost vsote dveh števil ne presega vsote absolutnih vrednosti teh števil". Toda neenakost izhaja neposredno iz neenakosti, če namesto b vzamemo b in vzamemo c \u003d 0.

Modul kompleksne številke

Dajmo določitev modula kompleksnega števila... Naj nam bo podarjeno kompleksno število, zapisano v algebrski obliki, kjer sta x in y nekaj realnih števil, ki predstavljata realni oziroma namišljeni del danega kompleksnega števila z in je namišljena enota.

Ena najtežjih tem za študente je reševanje enačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula. Za začetek ugotovimo, s čim je to povezano? Zakaj na primer kvadratne enačbe večina otrok klikne kot orehi in s tako ne tako zapletenim konceptom kot modul ima toliko težav?

Po mojem mnenju so vse te težave povezane s pomanjkanjem jasno oblikovanih pravil za reševanje enačb z modulom. Torej, odločitev kvadratna enačba, študent zagotovo ve, da mora najprej uporabiti diskriminatorno formulo, nato pa še formulo za korenine kvadratne enačbe. Kaj pa, če je v enačbi modul? Poskusili bomo jasno opisati potreben akcijski načrt za primer, ko enačba pod znakom modula vsebuje neznanko. Tu je nekaj primerov za vsak primer posebej.

Najprej pa se spomnimo definicija modula... Torej, modul števila a sama številka se imenuje if a nenegativni in -ače je številka a manj kot nič. Zapišete ga lahko takole:

| a | \u003d a, če je a ≥ 0 in | a | \u003d -a, če je a< 0

Ko že govorimo o geometrijskem pomenu modula, ne smemo pozabiti, da vsako realno število ustreza določeni točki na številski osi - njegovi k koordinirati. Torej, modul ali absolutna vrednost števila je razdalja od te točke do začetka številske osi. Razdalja je vedno navedena kot pozitivno število. Tako je absolutna vrednost katerega koli negativnega števila pozitivno število. Mimogrede, tudi v tej fazi se mnogi študentje začnejo zmedeti. V modulu je lahko katera koli številka, vendar je rezultat uporabe modula vedno pozitivno število.

Zdaj pa pojdimo neposredno na reševanje enačb.

1. Razmislite o enačbi oblike | x | \u003d c, kjer je c realno število. To enačbo je mogoče rešiti z uporabo definicije modula.

Vsa realna števila razdelimo v tri skupine: tista, ki so večja od nič, tista, ki so manjša od nič, in tretja skupina je številka 0. Zapišimo rešitev v obliki diagrama:

(± c, če je c\u003e 0

Če je | x | \u003d c, potem x \u003d (0, če je c \u003d 0

(brez korenin, če z< 0

1) | x | \u003d 5, ker 5\u003e 0, potem je x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, ker -pet< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, potem je x \u003d 0.

2. Enačba oblike | f (x) | \u003d b, kjer je b\u003e 0. Za rešitev te enačbe se je treba znebiti modula. To naredimo tako: f (x) \u003d b ali f (x) \u003d -b. Zdaj je treba vsako od dobljenih enačb rešiti posebej. Če je v prvotni enačbi b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, ker 4\u003e 0, potem

x + 2 \u003d 4 ali x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, ker 11\u003e 0, potem

x 2 - 5 \u003d 11 ali x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 brez korenin

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, ker -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Enačba oblike | f (x) | \u003d g (x). V smislu modula ima takšna enačba rešitve, če je njena desna stran večja ali enaka nič, tj. g (x) ≥ 0. Potem bomo imeli:

f (x) \u003d g (x)ali f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Ta enačba bo imela korenine, če je 5x - 10 ≥ 0. S tem se začne rešitev takšnih enačb.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Rešitev:

2x - 1 \u003d 5x - 10 ali 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Združujemo ODZ. in rešitev je:

Koren x \u003d 11/7 ne ustreza v skladu z OD, Z je manjši od 2 in x \u003d 3 izpolnjuje ta pogoj.

Odgovor: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. To neenakost rešimo z metodo intervalov:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Rešitev:

x - 1 \u003d 1 - x 2 ali x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 ali x \u003d 1 x \u003d 0 ali x \u003d 1

3. Kombiniramo raztopino in ODZ:

Primerne so samo korenine x \u003d 1 in x \u003d 0.

Odgovor: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Enačba oblike | f (x) | \u003d | g (x) |. Ta enačba je enakovredna naslednjim dvema enačbama f (x) \u003d g (x) ali f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Ta enačba je enakovredna naslednjim dvema:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 ali x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 ali x \u003d 4 x \u003d 2 ali x \u003d 1

Odgovor: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Enačbe, razrešene z metodo substitucije (variabilna substitucija). To metodo rešitve je najlažje razložiti v poseben primer... Torej, podajmo kvadratno enačbo z modulom:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Po lastnosti modula x 2 \u003d | x | 2, zato lahko enačbo prepišemo na naslednji način:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Zamenjajmo | x | \u003d t ≥ 0, potem bomo imeli:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Pri reševanju te enačbe dobimo t \u003d 1 ali t \u003d 5. Vrnimo se k zamenjavi:

| x | \u003d 1 ali | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Odgovor: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Vzemimo še en primer:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Po lastnosti modula x 2 \u003d | x | 2, torej

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Naredimo zamenjavo | x | \u003d t ≥ 0, potem:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Z rešitvijo te enačbe dobimo t \u003d -2 ali t \u003d 1. Vrnimo se k zamenjavi:

| x | \u003d -2 ali | x | \u003d 1

Brez korenin x \u003d ± 1

Odgovor: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Druga vrsta enačb - enačbe s "kompleksnim" modulom. Te enačbe vključujejo enačbe, ki imajo "module v modulu". Tovrstne enačbe je mogoče rešiti z uporabo lastnosti modula.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Nadaljevali bomo na enak način kot pri enačbah druge vrste. Ker 4\u003e 0, potem dobimo dve enačbi:

3 - | x | \u003d 4 ali 3 - | x | \u003d -4.

Zdaj v vsaki enačbi izrazimo modul x, nato | x | \u003d -1 ali | x | \u003d 7.

Rešimo vsako od dobljenih enačb. V prvi enačbi ni korenin, ker -Eno< 0, а во втором x = ±7.

Odgovor je x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. To enačbo rešujemo na enak način:

3 + | x + 1 | \u003d 5 ali 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 ali x + 1 \u003d -2. Brez korenin.

Odgovor: x \u003d -3, x \u003d 1.

Obstaja tudi univerzalna metoda za reševanje enačb z modulom. To je metoda razmika. Toda o tem bomo razmislili pozneje.

spletna stran s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva zahteva povezavo do vira.

Absolutna vrednost števila a Je razdalja od začetka do točke IN(a).

Če želite razumeti to definicijo, nadomestite spremenljivko a poljubno številko, na primer 3 in jo poskusite znova prebrati:

Absolutna vrednost števila 3 Je razdalja od začetka do točke IN(3 ).

Postane jasno, da modul ni nič drugega kot običajna razdalja. Poskusimo videti razdaljo od izhodišča do točke A ( 3 )

Oddaljenost od začetka do točke A ( 3 ) je enako 3 (tri enote ali trije koraki).

Modul števila je označen z dvema navpičnima črtama, na primer:

Modul številke 3 je označen na naslednji način:

Modul števila 4 je označen na naslednji način:

Modul števila 5 je označen na naslednji način:

Iskali smo modul števila 3 in ugotovili, da je enako 3. Torej pišemo:

Bere se tako: "Modul števila tri je tri"

Zdaj poskusimo najti modul števila -3. Ponovno se vrnite k definiciji in ji dodajte številko -3. Samo namesto pike A uporabite novo točko B... Točka A smo že uporabili v prvem primeru.

Številke modula - 3 je razdalja od začetka do točke B(—3 ).

Oddaljenost od ene točke do druge ne more biti negativna. Zato tudi modul katerega koli negativnega števila, ki je razdalja, ne bo negativen. Modul števila -3 bo številka 3. Oddaljenost od izhodišča do točke B (-3) je prav tako tri enote:

Bere se tako: "Modul števila minus tri je tri"

Absolutna vrednost števila 0 je 0, saj točka s koordinato 0 sovpada z začetkom, tj. razdalja od začetka do točke O (0) je enako nič:

"Ničelni modul je nič"

Sklepamo:

• Modul števila ne more biti negativen;
• Pri pozitivnem številu in ničli je modul enak samemu številu, pri negativnem številu pa nasprotnemu številu;
• Nasprotna števila imajo enake module.

Nasprotna števila

Pokličejo se številke, ki se razlikujejo samo po znakih nasprotno... Številki −2 in 2 sta na primer nasprotni. Razlikujejo se le po znakih. Število −2 ima znak minus, 2 pa znak plus, vendar ga ne vidimo, ker, kot smo že rekli, po tradiciji ne pišejo plus.

Več primerov nasprotnih števil:

Nasprotna števila imajo enake module. Najdimo na primer modula za −2 in 2

Slika prikazuje, da je razdalja od izhodišča do točk A (-2) in B (2) je enako enako dvema korakoma.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se našemu nova skupina Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

Izračuna se v skladu z naslednjimi pravili:

Za kratkost uporabite | a |... Torej, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100 itd.

Poljubne velikosti x ustreza dokaj natančni vrednosti | x|. In to pomeni identiteta ob= |x| kompleti ob kot nekateri argumentna funkcija x.

Razporedto funkcije predstavljeni spodaj.

Za x > 0 |x| = x, in za x< 0 |x|= -x; v zvezi s tem je črta y \u003d | x| ob x\u003e 0 v kombinaciji z ravno črto y \u003d x(simetrala prvega koordinatnega kota) in za x< 0 - с прямой y \u003d -x(simetrala drugega koordinatnega kota).

Izbrano enačbe pod znak vključi neznanke modul.

Samovoljni primeri takih enačb - | x— 1| = 2, |6 — 2x| =3x+ 1 itd.

Reševanje enačbvsebuje neznano pod modulom, temelji na dejstvu, da če je absolutna vrednost neznanega števila x enaka pozitivno število a, potem je to število x samo po sebi enako ali, ali -a.

na primer: če | x| \u003d 10, potem oz x\u003d 10 ali x = -10.

Razmislite reševanje posameznih enačb.

Analizirajmo rešitev enačbe | x- 1| = 2.

Razširimo modul potem razlika x- 1 je lahko enako + 2 ali - 2. Če je x - 1 \u003d 2, potem x \u003d 3; če x - 1 \u003d - 2, potem x \u003d - 1. Naredimo zamenjavo in dobimo, da obe vrednosti ustrezata enačbi.

Odgovor.Ta enačba ima dve korenini: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analizirajmo rešitev enačbe | 6 — 2x| = 3x+ 1.

Po razširitev moduladobimo: ali 6 - 2 x= 3x+ 1 ali 6 - 2 x= - (3x+ 1).

V prvem primeru x \u003d 1, v drugem pa x= - 7.

Preverjanje. Kdaj x= 1 |6 — 2x| = |4| = 4, 3x + 1 \u003d 4; izhaja iz sodišča, x = 1 - korendano enačbe.

Kdaj x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 \u003d - 20; od 20 ≠ -20, torej x \u003d - 7 ni koren te enačbe.

Odgovor. Imajoenačbe en koren: x = 1.

Enačbe te vrste so lahko rešiti in grafično.

Odločimo se torej npr, grafično enačba | x- 1| = 2.

Sprva izvedemo gradnjo funkcijska grafika ob = |x- 1 |. Prva je risanje grafa funkcije ob=x- 1:

Tisti del tega grafična umetnostki se nahaja nad osjo x ne bomo se spremenili. Za njo x - 1\u003e 0 in zato | x-1|=x-1.

Del grafa, ki se nahaja pod osjo x, bomo upodobili simetrično okoli te osi. Ker za ta del x - 1 < 0 и соответственно |x - 1|= - (x - ena). Posledično črta (polna črta) in volja graf funkcije y \u003d | x—1|.

Ta črta se bo križala z naravnost ob \u003d 2 v dveh točkah: M 1 z absciso -1 in M \u200b\u200b2 z absciso 3. In v skladu s tem enačba | x- 1 | \u003d 2 bosta dve korenini: x 1 = - 1, x 2 = 3.