Navadna diferencialna enačba se imenuje enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo te spremenljivke in njene izpeljanke (ali diferenciale) različnih vrst.

Vrstni red diferencialne enačbe se imenuje vrstni red najvišjega izpeljanka, ki ga vsebuje.

Poleg navadnih se preučujejo tudi delne diferencialne enačbe. To so enačbe, ki povezujejo neodvisne spremenljivke, neznano funkcijo teh spremenljivk in njene delne izpeljave glede na iste spremenljivke. Ampak bomo samo razmislili navadne diferencialne enačbe zato bomo besedo "navaden" zaradi kratkosti izpustili.

Primeri diferencialnih enačb:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Enačba (1) je četrtega reda, enačba (2) je tretjega reda, enačbi (3) in (4) je drugega reda, enačba (5) pa je prvega reda.

Diferencialna enačba n-th vrstni red ne mora vsebovati izrecno funkcije, vseh njenih izpeljank od prvega do n-th vrstni red in neodvisna spremenljivka. Ne sme vsebovati izrecno izpeljank nekaterih naročil, funkcije, neodvisne spremenljivke.

Na primer, v enačbi (1) očitno ni izpeljank tretjega in drugega reda, pa tudi funkcije; v enačbi (2) - izpeljanka in funkcija drugega reda; v enačbi (4) - neodvisna spremenljivka; v enačbi (5) - funkcije. Samo enačba (3) vsebuje izrecno vse izpeljanke, funkcijo in neodvisno spremenljivko.

Z reševanjem diferencialne enačbe se pokliče katera koli funkcija y \u003d f (x), ko ga nadomestimo v enačbo, postane identiteta.

Proces iskanja rešitve za diferencialno enačbo se imenuje vključevanje.

Primer 1. Poiščite rešitev za diferencialno enačbo.

Sklep. Zapišimo to enačbo v obliki. Rešitev je najti funkcijo po njenem izpeljanku. Začetna funkcija, kot je znano iz integralnega računa, je antiderivat za, tj.

To je to rešitev dane diferencialne enačbe ... Spreminjanje v njem C, bomo prejeli različne rešitve. Ugotovili smo, da je za diferencialno enačbo prvega reda neskončno veliko rešitev.

Splošna rešitev diferencialne enačbe n-th red je njegova rešitev, izražena eksplicitno glede na neznano funkcijo in vsebuje n neodvisne poljubne konstante, tj.

Rešitev diferencialne enačbe v primeru 1 je splošna.

Z določeno rešitvijo diferencialne enačbe imenuje se njegova rešitev, pri kateri so poljubnim konstantam dane posebne številčne vrednosti.

2. primer Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe in določeno rešitev za .

Sklep. Obe strani enačbe integriramo tolikokrat, kolikor je vrstni red diferencialne enačbe.

,

.

Kot rezultat smo dobili splošno rešitev -

dana diferencialna enačba tretjega reda.

Zdaj bomo našli določeno rešitev pod določenimi pogoji. Če želite to narediti, namesto poljubnih koeficientov nadomestite njihove vrednosti in pridobite

.

Če je poleg diferencialne enačbe v obliki podan tudi začetni pogoj, potem se taka težava imenuje problem Cauchyja ... Vrednosti in so nadomeščene v splošno rešitev enačbe in najdena je vrednost poljubne konstante C, in nato določeno rešitev enačbe za najdeno vrednost C... To je rešitev problema Cauchy.

3. primer Rešite problem Cauchyja za diferencialno enačbo iz primera 1 pod pogojem.

Sklep. V splošno rešitev nadomestimo vrednosti iz začetnega pogoja y = 3, x \u003d 1. Dobimo

Zapišemo rešitev problema Cauchyja za dano diferencialno enačbo prvega reda:

Reševanje diferencialnih enačb, tudi najpreprostejših, zahteva dobre spretnosti pri integraciji in sprejemanju izpeljank, vključno s kompleksnimi funkcijami. To je razvidno iz naslednjega primera.

4. primer Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe.

Sklep. Enačba je napisana tako, da lahko takoj integrirate obe njeni strani.

.

Uporabljamo metodo integracije s spreminjanjem spremenljivk (substitucija). Potem torej.

Potrebno je vzeti dx in zdaj - pozornost - to počnemo v skladu s pravili diferenciacije kompleksne funkcije, saj x in obstaja kompleksna funkcija ("jabolko" je ekstrakcija kvadratnega korena ali, kar je isto, stopnjevanje "polovica" in "mince" je izraz pod korenom):

Poiščite integral:

Vrnitev na spremenljivko x, dobimo:

.

To je splošna rešitev te diferencialne enačbe prve stopnje.

Pri reševanju diferencialnih enačb ne bodo potrebne le veščine iz prejšnjih oddelkov višje matematike, temveč tudi spretnosti iz osnovne, torej šolske matematike. Kot smo že omenili, v diferencialni enačbi katerega koli reda ne sme biti neodvisne spremenljivke, torej spremenljivke x... Znanje o sorazmernosti, ki ga šolanje ne pozabi (pa vendar nikomur), bo pomagalo rešiti to težavo. To je naslednji primer.

Diferencialne enačbe (DE). Ti dve besedi navadno prestrašita povprečnega laika. Diferencialne enačbe se mnogim učencem zdijo nekaj nezaslišanega in težko naučljivega. Uuuuuuu ... diferencialne enačbe, kako lahko vse to preživim ?!

To mnenje in ta odnos je v osnovi napačen, ker v resnici RAZLIČNE ENAKOSTI SO ENOSTAVNE IN TUDI ZABAVNE... Kaj morate vedeti in znati, da se naučite reševati diferencialne enačbe? Če želite uspešno preučevati difuro, morate biti sposobni vključevanja in razlikovanja. Bolje se teme preučujejo Izpeljanka funkcije ene spremenljivke in Nedoločen integral, lažje bomo razumeli diferencialne enačbe. Rekel bom več, če imate bolj ali manj spodobne veščine vključevanja, potem je tema praktično obvladovana! Več integralov različnih vrst lahko rešite, bolje je. Zakaj? Ker se je treba veliko integrirati. In razlikovati. Tudi toplo priporočam nauči se najti izpeljana implicitna funkcija.

V 95% primerov na testih obstajajo 3 vrste diferencialnih enačb prvega reda: enačbe z ločljivimi spremenljivkami, ki jih bomo upoštevali v tej lekciji; homogene enačbe in linearne nehomogene enačbe... Za začetnike v difuziji vam svetujem, da si preberete lekcije v tem vrstnem redu. Obstajajo še redkejše vrste diferencialnih enačb: skupne diferencialne enačbe, bernoullijeve enačbe in nekatere druge. Najpomembnejši od zadnjih dveh vrst so enačbe v skupnih diferencialih, saj poleg tega DE razmišljam tudi o novem materialu - delni integraciji.

Najprej se spomnimo običajnih enačb. Vsebujejo spremenljivke in števila. Najenostavnejši primer :. Kaj pomeni reševanje navadne enačbe? Pomeni najti veliko številkki izpolnjujejo to enačbo. Lahko je videti, da ima otroška enačba en koren :. Za zabavo naredimo preverjanje, nadomestimo najdeni koren v našo enačbo:

- dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da je rešitev pravilno najdena.

Razlike so podobne!

Diferencialna enačba prvo naročilo, vsebuje:
1) neodvisna spremenljivka;
2) odvisna spremenljivka (funkcija);
3) prvi odvod funkcije :.

V nekaterih primerih v enačbi prvega reda morda manjka "x" ali (in) "game" - pomembno tako da v DU je bil prvi izpeljanec in niso imeli izpeljanke višjih razredov - itd.

Kaj pomeni ?Reševanje diferencialne enačbe pomeni iskanje veliko funkcij ki izpolnjujejo to enačbo. Ta nabor funkcij se imenuje splošna rešitev diferencialne enačbe.

Primer 1

Rešite diferencialno enačbo

Polno strelivo. Kje začeti reševati katero koli diferencialno enačbo prvega reda?

Najprej morate izpeljanko prepisati v nekoliko drugačni obliki. Spomnimo se okornega zapisa izpeljanke :. Takšna oznaka izpeljanke se je marsikomu izmed vas verjetno zdela smešna in nepotrebna, toda prav ta difuzijsko vlada!

Torej na prvi stopnji izpeljanko prepišemo v obliki, ki jo potrebujemo:

V drugi fazi je vedno poglejte, če je mogoče razdeliti spremenljivke? Kaj pomeni razdelitev spremenljivk? Grobo rečeno, na levi moramo oditi samo "igralci", in na desni strani organizirati samo "x"... Ločevanje spremenljivk se izvaja z uporabo "šolskih" manipulacij: oklepaji, prenos izrazov iz dela v del s spremembo predznaka, prenos faktorjev iz dela v del po pravilu proporcije itd.

Diferenciali in so polni multiplikatorji in aktivni udeleženci sovražnosti. V obravnavanem primeru spremenljivke zlahka ločimo z metanjem multiplikatorjev v skladu s pravilom sorazmerja:

Spremenljivke so ločene. Na levi strani so samo "igre", na desni pa samo "X".

Naslednja stopnja - integriranje diferencialne enačbe... Preprosto, integrale obesimo na obe strani:

Seveda je treba vzeti integrale. V tem primeru so tabelarični:

Kot se spomnimo, je vsakemu antiderivativu dodeljena konstanta. Tu sta dva integrala, vendar je dovolj, da konstanto zapišemo enkrat. Skoraj vedno je pripisan desni strani.

Strogo rečeno, po prevzemu integralov se diferencialna enačba šteje za razrešeno. Edina stvar je, da naša "igra" ni izražena z "x", torej je predstavljena rešitev implicitno oblika. Pokliče se rešitev diferencialne enačbe v implicitni obliki splošni integral diferencialne enačbe... To pomeni, da je splošni integral.

Zdaj morate poskusiti najti splošno rešitev, to je, poskusiti eksplicitno predstaviti funkcijo.

Ne pozabite na prvo tehniko, ki je zelo pogosta in se pogosto uporablja v vajah. Ko se logaritem po integraciji pojavi na desni strani, je skoraj vedno smotrno konstanto zapisati tudi pod logaritem.

Tj. namesto tegavpisi so običajno napisani .

Tu je ista polnopravna konstanta kot. Zakaj je to potrebno? In zato, da lažje izrazimo "igro". Uporabljamo šolsko lastnost logaritmov: ... V tem primeru:

Zdaj lahko logaritme in module odstranite iz obeh delov s čisto vestjo:

Funkcija je predstavljena izrecno. To je splošna rešitev.

Veliko funkcij je splošna rešitev diferencialne enačbe.

Če navedete konstantno različne vrednosti, lahko dobite neskončno veliko zasebne rešitve diferencialna enačba. Katera koli od funkcij itd. bo zadostila diferencialni enačbi.

Splošna rešitev se včasih imenuje družina funkcij... V tem primeru je splošna rešitev Je družina linearnih funkcij, oziroma družina neposrednih razmerij.

Številne diferencialne enačbe je dokaj enostavno preizkusiti. To se naredi zelo preprosto, vzamemo najdeno rešitev in poiščemo izpeljanko:

V prvotno enačbo nadomestimo svojo rešitev in najdeni odvod:

- dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da je rešitev pravilno najdena. Z drugimi besedami, splošna rešitev izpolnjuje enačbo.

Po temeljitem žvečenju prvega primera je primerno odgovoriti na nekaj naivnih vprašanj o diferencialnih enačbah.

1) V tem primeru smo uspeli razdeliti spremenljivke :. Ali je to vedno mogoče storiti? Ne vedno. In še pogosteje spremenljivk ni mogoče razdeliti. Na primer, v homogene enačbe prvega reda, morate najprej zamenjati. V drugih vrstah enačb, na primer, v linearni nehomogeni enačbi prvega reda, za iskanje skupne rešitve morate uporabiti različne tehnike in metode. Ločljive enačbe, ki jih obravnavamo v prvi lekciji, so najpreprostejši tip diferencialnih enačb.

2) Ali je vedno mogoče integrirati diferencialno enačbo? Ne vedno. Zelo enostavno je najti "modno" enačbo, ki je ni mogoče integrirati, poleg tega pa obstajajo tudi trivialni integrali. Toda takšne DE je mogoče rešiti približno s posebnimi metodami. Jamstvo D'Alembert in Cauchy. ... uf, lurkmore.ru sem prav veliko bral.

3) V tem primeru smo dobili rešitev v obliki splošnega integrala ... Ali je vedno mogoče najti splošno rešitev iz splošnega integrala, torej izraziti "igro" v eksplicitni obliki? Ne vedno. Na primer:. No, kako lahko izrazimo "igro"?! V takih primerih je treba odgovor zapisati kot splošni integral. Poleg tega je včasih mogoče najti splošno rešitev, vendar je napisana tako okorno in okorno, da je bolje, da odgovor pustite v obliki splošnega integrala

Ne hitimo. Še en preprost daljinski upravljalnik in še ena tipična rešitev.

2. primer

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj

Po pogoju morate najti zasebna rešitev DE, ki izpolnjuje začetni pogoj. Imenuje se tudi ta formulacija vprašanja problem Cauchyja.

Najprej najdemo splošno rešitev. V enačbi ni spremenljivke "x", vendar to ne bi smelo biti zmedeno, glavno je, da vsebuje prvi odvod.

Izvedeni del prepišemo v zahtevani obliki:

Očitno je, da je spremenljivke mogoče razdeliti, fantje na levi, dekleta na desni:

Integriramo enačbo:

Dobljen je splošni integral. Tu sem narisal konstanto z zgornjo zvezdico, dejstvo je, da se bo kmalu spremenila v drugo konstanto.

Zdaj poskušamo splošni integral spremeniti v splošno rešitev (eksplicitno izrazite "igro"). Spomnimo se stare, dobre, šole: ... V tem primeru:

Konstanta v indikatorju izgleda nekako nekošerno, zato se običajno spusti z neba na zemljo. Podrobno se zgodi tako. Z uporabo lastnosti power funkcijo prepišemo na naslednji način:

Če je konstanta, potem je tudi neka konstanta, ki jo označujemo s črko:

Ne pozabite na "odmik" konstante, to je druga tehnika, ki se pogosto uporablja pri reševanju diferencialnih enačb.

Splošna rešitev je torej: Tako lepa družina eksponentnih funkcij.

Na zadnji stopnji je treba najti določeno rešitev, ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Tudi to je enostavno.

Kakšna je naloga? Treba se je pobrati taka vrednost konstante za izpolnitev določenega začetnega pogoja.

Lahko načrtujete na različne načine, toda morda bo najbolj razumljivo. V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "igre" pa dve:



Tj.

Različica standardne zasnove:

Najdeno konstantno vrednost nadomestimo v splošno rešitev:
- to je posebna rešitev, ki jo potrebujemo.

Preverimo. Preverjanje zasebne rešitve vključuje dve stopnji.

Najprej je treba preveriti, ali najdena določena rešitev res izpolnjuje začetni pogoj? Namesto "x" nadomestimo nič in vidimo, kaj se zgodi:
- ja, res se dobi dvojka, kar pomeni, da je začetni pogoj izpolnjen.

Druga stopnja je že znana. Vzamemo nastalo določeno rešitev in najdemo izpeljanko:

Nadomesti v prvotni enačbi:

- dobimo pravilno enakost.

Zaključek: določena rešitev je bila pravilno najdena.

Pojdimo na bolj smiselne primere.

3. primer

Rešite diferencialno enačbo

Sklep: Izpeljanko prepišemo v obliki, ki jo potrebujemo:

Ocenjujem, ali je spremenljivke mogoče razdeliti? Lahko. Drugi izraz prenesemo na desno stran s spremembo predznaka:

In multiplikatorje vržemo v skladu s pravilom sorazmerja:

Spremenljivke so ločene, integriramo oba dela:

Moram vas opozoriti, prihaja sodni dan. Če se nisi dobro učil nedoločeni integrali, so rešili nekaj primerov, potem nikamor ni več - zdaj jih boste morali obvladati.

Integral leve strani je enostavno najti, z integralom kotangensa se lahko spoprimemo s standardno tehniko, ki smo jo obravnavali v lekciji Integracija trigonometričnih funkcij Lansko leto:

Na desni strani smo dobili logaritem, po mojem prvem tehničnem priporočilu naj bo v tem primeru tudi konstanta zapisana pod logaritem.

Zdaj skušamo poenostaviti splošni integral. Ker imamo enake logaritme, se jih je povsem mogoče (in nujno) znebiti. Logaritme spakiramo v največji možni meri. Pakiranje poteka po treh lastnostih:

Prosimo, da te tri formule napišete v svoj delovni zvezek, zelo pogosto se uporabljajo pri reševanju difuzov.

Rešitev bom zapisal zelo podrobno:

Pakiranje je končano, logaritme odstranimo:

Ali lahko izrazite "igro"? Lahko. Obe strani morata biti na kvadrat. Vendar vam tega ni treba storiti.

Tretji tehnični nasvet: Če morate vzgojiti ali izvleči korenine, da dobite splošno rešitev, potem v večini primerov treba se je vzdržati teh dejanj in odgovor pustiti v obliki splošnega integrala. Dejstvo je, da bo splošna rešitev videti pretenciozno in grozno - z velikimi koreninami, znaki.

Zato odgovor zapišemo v obliki splošnega integrala. Šteje se, da je dobra praksa predstaviti splošni integral v obliki, torej na desni strani, če je mogoče, pustite samo konstanto. To ni treba storiti, vendar je vedno koristno ugajati profesorju ;-)

Odgovor: splošni integral:

Opomba: splošni integral katere koli enačbe lahko zapišemo na več načinov. Če torej vaš rezultat ne sovpada s prej znanim odgovorom, to ne pomeni, da ste enačbo napačno rešili.

Tudi splošni integral se preveri precej enostavno, glavno je, da ga lahko najdemo izpeljave implicitne funkcije... Razlikovanje odgovora:

Oba izraza pomnožimo z:

In delimo z:

Izvirna diferencialna enačba je natančno pridobljena, kar pomeni, da je splošni integral pravilno najden.

4. primer

Poiščite določeno rešitev za diferencialno enačbo, ki izpolnjuje začetni pogoj. Preveri.

To je primer samostojne rešitve. Naj vas spomnim, da je problem Cauchyja sestavljen iz dveh stopenj:
1) Iskanje splošne rešitve.
2) Iskanje zasebne rešitve.

Preverjanje se izvede tudi v dveh fazah (glej tudi primer primera 2), potrebujete:
1) Prepričajte se, da najdena določena rešitev resnično izpolnjuje začetni pogoj.
2) Preverite, ali določena rešitev na splošno izpolnjuje diferencialno enačbo.

Popolna rešitev in odgovor na koncu vaje.

5. primer

Poiščite določeno rešitev za diferencialno enačbo izpolnjujejo začetni pogoj. Preveri.

Sklep:Najprej najdemo splošno rešitev, ki vsebuje že pripravljene diferenciale, zato je rešitev poenostavljena. Ločevanje spremenljivk:

Integriramo enačbo:

Integral na levi je tabelaren, vzame se integral na desni po metodi, s katero funkcijo postavimo pod diferencialni znak:

Dobljen je splošni integral, ali je mogoče uspešno izraziti splošno rešitev? Lahko. Logaritme obesimo:

(Upam, da vsi razumejo preobrazbo, take stvari bi morale biti že znane)

Splošna rešitev je torej:

Poiščimo določeno rešitev, ki ustreza danemu začetnemu pogoju. V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "igre" pa logaritem dveh:

Bolj znan dizajn:

Najdeno vrednost konstante nadomestimo v splošno rešitev.

Odgovor: zasebna rešitev:

Preverjanje: Najprej preverimo, ali je začetni pogoj izpolnjen:
- vse je dobro.

Zdaj pa preverimo, ali najdena določena rešitev na splošno izpolnjuje diferencialno enačbo. Poiščite izpeljanko:

Pogledamo prvotno enačbo: - predstavljen je v diferencialih. Obstajata dva načina preverjanja. Izraziti je mogoče razliko od najdene izpeljanke:

Najdeno določeno rešitev in nastalo razliko nadomestimo v prvotno enačbo :

Uporabljamo osnovno logaritemsko identiteto:

Dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da je bila določena rešitev pravilno najdena.

Drugi način preverjanja je zrcaljen in bolj znan: iz enačbe izrazimo izpeljanko, zato delimo vse kose z:

In v transformirani DE nadomestimo dobljeno določeno raztopino in izpeljani derivat. Kot rezultat poenostavitev je treba doseči tudi pravilno enakost.

Primer 6

Rešite diferencialno enačbo. Odgovor je predstavljen v obliki splošnega integrala.

To je primer, naredi si sam, celovita rešitev in odgovor na koncu vadnice.

Katere težave čakajo pri reševanju diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami?

1) Ni vedno očitno (zlasti čajniku), da je mogoče spremenljivke deliti. Oglejmo si pogojni primer :. Tukaj morate izvleči faktoring iz oklepajev: in ločiti korenine :. Kako naprej, je jasno.

2) Težave pri sami integraciji. Integrali pogosto niso zelo preprosti in če obstajajo napake v veščinah iskanja nedoločen integral, potem bo s številnimi difuzami težko. Poleg tega je med prevajalci zbirk in priročnikov priljubljena logika, "ker je diferencialna enačba preprosta, potem naj bodo integrali bolj zapleteni."

3) Pretvorbe s konstanto. Kot so že vsi opazili, lahko s konstanto v diferencialnih enačbah naredite skoraj vse, kar želite. In takšne preobrazbe začetnikom niso vedno jasne. Poglejmo še en pogojni primer: ... V njem je priporočljivo vse pogoje pomnožiti z 2: ... Nastala konstanta je tudi nekakšna konstanta, ki jo lahko označimo z: ... Da, in ker je logaritem na desni strani, je priporočljivo konstanto prepisati v obliki druge konstante: .

Težava je v tem, da se pogosto ne obremenjujejo z indeksi in uporabljajo isto črko. Rezultat tega je zapis odločitve v naslednji obliki:

Kaj za vraga je to? Obstajajo tudi napake. Formalno, ja. In neformalno - napake ni, razume se, da se pri pretvorbi konstante še vedno dobi neka druga konstanta.

Ali tak primer, predpostavimo, da se med reševanjem enačbe dobi splošni integral. Ta odgovor se zdi grd, zato je priporočljivo spremeniti znake vseh multiplikatorjev: ... Formalno po zapisu spet pride do napake, morala bi biti zabeležena. Toda neformalno pomeni, da gre še vedno za neko drugo konstanto (zlasti ima lahko katero koli vrednost), zato spreminjanje predznaka konstante nima smisla in lahko uporabite isto črko.

Poskušal se bom izogniti površnemu pristopu in pri pretvorbi konstantam še vedno dodeliti različne indekse.

7. primer

Rešite diferencialno enačbo. Preveri.

Sklep: Ta enačba omogoča ločevanje spremenljivk. Ločevanje spremenljivk:

Vključujemo:

Tu stalnice ni treba opredeliti kot logaritma, saj iz tega ne bo nič dobrega.

Odgovor: splošni integral:

Preverjanje: Diferencirajte odgovor (implicitna funkcija):

Znebimo se ulomkov, zato pomnožimo oba izraza z:

Dobljena je izvirna diferencialna enačba, kar pomeni, da je splošni integral pravilno najden.

Primer 8

Poiščite zasebno rešitev daljinskega upravljalnika.
,

To je primer samostojne rešitve. Edini komentar je, da tukaj dobite splošni integral in, bolj pravilno, morate zmisliti, da ne najdete določene rešitve, ampak delni integral... Popolna rešitev in odgovor na koncu vaje.

Kot smo že omenili, se v difuzijah z ločljivimi spremenljivkami pogosto pojavijo ne zelo preprosti integrali. Tu je še nekaj takih primerov za neodvisno rešitev. Priporočam vsem, da rešijo primere 9–10, ne glede na stopnjo usposobljenosti, to vam bo omogočilo, da uresničite veščine iskanja integralov ali zapolnite vrzeli v znanju.

Primer 9

Rešite diferencialno enačbo

Primer 10

Rešite diferencialno enačbo

Ne pozabite, da obstaja več načinov, kako napisati splošni integral, in videz vaših odgovorov se lahko razlikuje od videza mojih odgovorov. Kratek potek rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Uspešna promocija!

Primer 4:Sklep: Poiščimo splošno rešitev. Ločevanje spremenljivk:


Vključujemo:



Splošni integral je pridobljen, poskušamo ga poenostaviti. Logaritme spakiramo in se jih znebimo:

I. Navadne diferencialne enačbe

1.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba je enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko x, zahtevana funkcija y in njegovih izpeljank ali diferencialov.

Diferencialna enačba je zapisana simbolično na naslednji način:

F (x, y, y ") \u003d 0, F (x, y, y") \u003d 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) \u003d 0

Diferencialna enačba se imenuje navadna, če je želena funkcija odvisna od ene neodvisne spremenljivke.

Z reševanjem diferencialne enačbe se imenuje funkcija, ki pretvori to enačbo v identiteto.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega izpeljanka, ki vstopa v to enačbo

Primeri.

1. Razmislite o diferencialni enačbi prvega reda

Rešitev te enačbe je funkcija y \u003d 5 ln x. Dejansko nadomeščanje y " v enačbo dobimo - identiteto.

To pa pomeni, da je funkcija y \u003d 5 ln x– rešitev te diferencialne enačbe.

2. Razmislite o diferencialni enačbi drugega reda y "- 5y" + 6y \u003d 0... Funkcija je rešitev te enačbe.

Prav zares,.

Z nadomestitvijo teh izrazov v enačbo dobimo :, - identiteto.

To pa pomeni, da je funkcija rešitev te diferencialne enačbe.

Integracija diferencialnih enačb imenuje se postopek iskanja rešitev za diferencialne enačbe.

Splošna rešitev diferencialne enačbe funkcija oblike , ki vključuje toliko neodvisnih poljubnih konstant kot vrstni red enačbe.

Z določeno rešitvijo diferencialne enačbe se imenuje rešitev, pridobljena iz splošne rešitve za različne številčne vrednosti poljubnih konstant. Vrednosti poljubnih konstant najdemo pri določenih začetnih vrednostih argumenta in funkcije.

Pokliče se graf določene rešitve diferencialne enačbe integralna krivulja.

Primeri

1. Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe prvega reda

xdx + ydy \u003d 0, če y\u003d 4 at x = 3.

Sklep. Integriramo obe strani enačbe

Komentiraj. Prostovoljno konstanto C, dobljeno kot rezultat integracije, lahko predstavimo v kateri koli obliki, primerni za nadaljnje transformacije. V tem primeru je ob upoštevanju kanonične enačbe kroga primerno v obliki predstaviti poljubno konstanto C.

- splošna rešitev diferencialne enačbe.

Posebna rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y \u003d 4 at x \u003d 3 najdemo iz splošne nadomestitve začetnih pogojev v splošno rešitev: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Z zamenjavo C \u003d 5 v splošno rešitev dobimo x 2 + y 2 = 5 2 .

To je posebna rešitev diferencialne enačbe, dobljene iz splošne rešitve za dane začetne pogoje.

2. Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe

Rešitev te enačbe je katera koli funkcija oblike, kjer je C poljubna konstanta. Dejansko z nadomestitvijo v enačbe dobimo:,.

Posledično ima ta diferencialna enačba neskončen nabor rešitev, saj za različne vrednosti konstante C enakost določa različne rešitve enačbe.

Na primer, z neposredno zamenjavo lahko zagotovite, da funkcije so rešitve enačbe.

Problem, pri katerem je treba najti določeno rešitev enačbe y "\u003d f (x, y) izpolnjujejo začetni pogoj y (x 0) \u003d y 0se imenuje Cauchyjev problem.

Rešitev enačbe y "\u003d f (x, y)izpolnjujejo začetni pogoj, y (x 0) \u003d y 0, se imenuje rešitev problema Cauchyja.

Rešitev problema Cauchy ima preprost geometrijski pomen. V resnici naj bi po teh definicijah rešili problem Cauchyja y "\u003d f (x, y) glede na to y (x 0) \u003d y 0, pomeni najti integralno krivuljo enačbe y "\u003d f (x, y) ki gre skozi dano točko M 0 (x 0,y 0).

II. Diferencialne enačbe prvega reda

2.1 Osnovni pojmi

Diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike F (x, y, y ") \u003d 0.

Diferencialna enačba prvega reda vključuje prvo izpeljanko in ne vključuje izpeljank višjega reda.

Enačba y "\u003d f (x, y) se imenuje enačba prvega reda, razrešena glede na izpeljanko.

Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda je funkcija oblike, ki vsebuje eno poljubno konstanto.

Primer.Razmislimo o diferencialni enačbi prvega reda.

Rešitev te enačbe je funkcija.

Če v tej enačbi nadomestimo njeno vrednost, dobimo

tj 3x \u003d 3x

Posledično je funkcija splošna rešitev enačbe za katero koli konstanto C.

Poiščite določeno rešitev te enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj y (1) \u003d 1 Nadomestitev začetnih pogojev x \u003d 1, y \u003d 1 v splošno rešitev enačbe dobimo od kod C \u003d 0.

Tako dobimo določeno rešitev iz splošnega z nadomestitvijo dobljene vrednosti v to enačbo C \u003d 0 - zasebna rešitev.

2.2. Ločljive diferencialne enačbe

Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami je enačba oblike: y "\u003d f (x) g (y) ali prek diferencialov, kjer f (x) in g (y)- določene funkcije.

Za tiste y, za katero enačba y "\u003d f (x) g (y) enakovredna enačbi, v katerem je spremenljivka y je prisoten samo na levi strani, spremenljivka x pa le na desni strani. Pravijo: »v enačbi y "\u003d f (x) g (y razdelimo spremenljivke. "

Enačba oblike se imenuje enačba z ločenimi spremenljivkami.

Integriranje obeh strani enačbe avtor x, dobimo G (y) \u003d F (x) + CJe splošna rešitev enačbe, kjer G (y) in F (x) - nekateri antiderivativi funkcij in f (x), C poljubna konstanta.

Algoritem za reševanje diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Primer 1

Reši enačbo y "\u003d xy

Sklep. Izpeljana funkcija y " zamenjajte z

razdelite spremenljivke

vključiti obe strani enakosti:

2. primer

2yy "\u003d 1 - 3x 2, če y 0 \u003d 3 ob x 0 \u003d 1

To je ločena spremenljivka enačbe. Predstavljajmo ga v diferencialih. Da bi to naredili, to enačbo prepišemo v obliko Od tod

Ugotavljamo, da integriramo obe strani zadnje enakosti

Nadomestitev začetnih vrednosti x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3najti OD 9=1-1+C, tj. C \u003d 9.

Zato bo želeni delni integral ali

3. primer

Enačimo krivuljo skozi točko M (2; -3) in ima tangento z naklonom

Sklep. Glede na stanje

To je ločljiva enačba. Če delimo spremenljivke, dobimo:

Z integracijo obeh strani enačbe dobimo:

Z uporabo začetnih pogojev, x \u003d 2 in y \u003d - 3 najti C:

Zato ima iskana enačba obliko

2.3. Linearne diferencialne enačbe prvega reda

Linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike y "\u003d f (x) y + g (x)

kje f (x) in g (x) - nekatere prednastavljene funkcije.

Če g (x) \u003d 0potem se linearna diferencialna enačba imenuje homogena in ima obliko: y "\u003d f (x) y

Če potem enačba y "\u003d f (x) y + g (x) imenovane heterogene.

Splošna rešitev linearne homogene diferenčne enačbe y "\u003d f (x) y je podana s formulo: kjer OD Je poljubna konstanta.

Še posebej, če C \u003d 0,potem je rešitev y \u003d 0 Če ima linearna homogena enačba obliko y "\u003d ky Kje k - neka konstanta, potem ima njena splošna rešitev obliko :.

Splošna rešitev linearne nehomogene diferenčne enačbe y "\u003d f (x) y + g (x) je podana s formulo ,

tiste. je enak vsoti splošne rešitve ustrezne linearne homogene enačbe in posamezne rešitve te enačbe.

Za linearno nehomogeno enačbo oblike y "\u003d kx + b,

kje k in b- nekatera števila in konstantna funkcija bodo posebna rešitev. Zato je splošna rešitev.

Primer... Reši enačbo y "+ 2y +3 \u003d 0

Sklep. Enačbo predstavljamo v obliki y "\u003d -2y - 3 Kje k \u003d -2, b \u003d -3 Splošna rešitev je podana s formulo.

Torej, kjer je C poljubna konstanta.

2.4. Rešitev linearnih diferencialnih enačb prvega reda z Bernoullijevo metodo

Iskanje splošne rešitve linearne diferencialne enačbe prvega reda y "\u003d f (x) y + g (x) se zmanjša na reševanje dveh diferencialnih enačb z ločenimi spremenljivkami z uporabo substitucije y \u003d uvkje u in v - neznane funkcije od x... Ta metoda rešitve se imenuje Bernoullijeva metoda.

Algoritem za reševanje linearne diferencialne enačbe prvega reda

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Uvedite zamenjavo y \u003d uv.

2. Diferencirajte to enakost y "\u003d u" v + uv "

3. Nadomestna y in y " v to enačbo: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)ali u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Razvrsti izraze enačbe tako, da u dajte iz oklepajev:

5. V oklepaju, ki ga enačimo nič, poiščemo funkcijo

To je ločljiva enačba:

Razdelimo spremenljivke in dobimo:

Od kod . .

6. Nadomestite dobljeno vrednost vv enačbo (iz točke 4):

in poiščite funkcijo To je ločljiva enačba:

7. Splošno rešitev zapišite v obliki: , tj. ...

Primer 1

Poiščite določeno rešitev enačbe y "\u003d -2y +3 \u003d 0 če y \u003d 1 ob x \u003d 0

Sklep. Rešimo z nadomestitvijo y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Zamenjava yin y " v to enačbo pridemo

Z razdelitvijo drugega in tretjega člana na levi strani enačbe izločimo skupni faktor u iz oklepajev

Izraz v oklepajih je enak nič in po rešitvi nastale enačbe najdemo funkcijo v \u003d v (x)

Prejeli enačbo z ločenimi spremenljivkami. Integriramo obe strani te enačbe: poiščimo funkcijo v:

Nadomestite nastalo vrednost v v enačbo dobimo:

To je enačba z ločenimi spremenljivkami. Integriramo obe strani enačbe: Poiščite funkcijo u \u003d u (x, c) Poiščimo splošno rešitev: Poiščimo določeno rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetne pogoje y \u003d 1 ob x \u003d 0:

III. Diferencialne enačbe višjega reda

3.1. Osnovni pojmi in definicije

Diferencialna enačba drugega reda je enačba, ki vsebuje izpeljanke, ki niso višje od drugega reda. V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana v obliki: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Splošna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je funkcija oblike, ki vključuje dve poljubni konstanti C 1 in C 2.

Delna rešitev diferencialne enačbe drugega reda je rešitev, dobljena iz splošne rešitve za nekatere vrednosti poljubnih konstant C 1 in C 2.

3.2. Linearne homogene diferencialne enačbe drugega reda z konstantni koeficienti.

Linearna homogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti se imenuje enačba oblike y "+ py" + qy \u003d 0kje strin q- konstantne vrednosti.

Algoritem za reševanje homogenih diferencialnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti

1. Diferencialno enačbo zapišite v obliki: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Sestavite njegovo značilno enačbo, ki označuje y " čez r 2, y " čez r, yv 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Vsebina članka

RAZLIČNE ENAKOSTI.Številni fizikalni zakoni, ki urejajo določene pojave, so zapisani v obliki matematične enačbe, ki izraža določeno razmerje med nekaterimi veličinami. Pogosto govorimo o razmerju med vrednostmi, ki se s časom spreminjajo, na primer ekonomičnost motorja, merjena z razdaljo, ki jo lahko avto prevozi z enim litrom goriva, je odvisna od hitrosti avtomobila. Ustrezna enačba vsebuje eno ali več funkcij in njihove izpeljave in se imenuje diferencialna enačba. (Hitrost spremembe oddaljenosti skozi čas določa hitrost; zato je hitrost izpeljanka razdalje; podobno je pospešek izpeljava hitrosti, saj pospešek določa hitrost spremembe hitrosti skozi čas.) Diferencialne enačbe so velike Pomembnost matematike in zlasti njenih aplikacij pojasnjuje dejstvo, da se preučevanje številnih fizikalnih in tehničnih problemov zmanjša na rešitev takšnih enačb. Diferencialne enačbe igrajo bistveno vlogo tudi v drugih znanostih, kot so biologija, ekonomija in elektrotehnika; pravzaprav se pojavijo povsod, kjer je potreben kvantitativni (numerični) opis pojavov (takoj, ko se okoliški svet spremeni v času in se razmere spremenijo z enega kraja na drugega).

Primeri.

Naslednji primeri nudijo boljše razumevanje, kako so različni problemi oblikovani v jeziku diferencialnih enačb.

1) Zakon razpada nekaterih radioaktivnih snovi je, da je stopnja razpada sorazmerna z razpoložljivo količino te snovi. Če x - količina snovi v nekem trenutku t, potem lahko ta zakon zapišemo takole:

kje dx/dt Je stopnja razpada in k - neka pozitivna konstanta, ki označuje dano snov. (Znak minus na desni kaže na to x sčasoma se zmanjša; znak plus, ki se vedno implicira, kadar noben znak ni izrecno naveden, bi to pomenil x sčasoma narašča.)

2) V posodi je sprva 10 kg soli, raztopljene v 100 m 3 vode. Če v posodo vlijemo čisto vodo s hitrostjo 1 m 3 na minuto in jo enakomerno zmešamo z raztopino, nastala raztopina pa izteka iz posode z enako hitrostjo, koliko soli bo v posodi ob vsakem nadaljnjem čas? Če x - takratna količina soli (v kg) v posodi t, nato v katerem koli trenutku t V posodi vsebuje 1 m 3 raztopine x/ 100 kg soli; zato se količina soli hitro zmanjšuje x/ 100 kg / min, oz

3) Naj telesna masa mob koncu vzmeti deluje sila obnavljanja, ki deluje sorazmerno z napetostjo vzmeti. Naj bo x - količina odstopanja telesa od ravnotežnega položaja. Nato po Newtonovem drugem zakonu, ki navaja, da je pospešek (drugi odvod iz x v času, označeno d 2 x/dt 2) sorazmerno z močjo:

Desna stran ima znak minus, ker sila obnavljanja zmanjša napetost vzmeti.

4) Zakon hladilnih teles pravi, da se količina toplote v telesu zmanjšuje sorazmerno z razliko v temperaturi med telesom in okoljem. Če se skodelica kave, segrete na temperaturo 90 ° C, nahaja v sobi s temperaturo 20 ° C, potem

kje T - temperatura kave v času t.

5) Minister za zunanje zadeve države Blefuscu trdi, da program orožja, ki ga je sprejela Liliputija, sili njegovo državo, da čim bolj poveča vojaške izdatke. Podobne izjave daje tudi zunanji minister Liliputije. Nastalo situacijo (v najpreprostejši interpretaciji) lahko natančno opišemo z dvema diferencialnima enačbama. Naj bo x in y - stroški oborožitve Liliputije in Blefuscuja. Ob predpostavki, da Liliputija poveča svoje stroške oborožitve s sorazmerno stopnjo povečanja stroškov oborožitve za Blefusk, in obratno, dobimo:

kjer so člani sekira in - avtor opisati vojaške izdatke posamezne države, k in l - pozitivne konstante. (Ta problem je na tak način leta 1939 prvič oblikoval L. Richardson.)

Potem ko je problem napisan v jeziku diferencialnih enačb, jih je treba poskusiti rešiti, tj. poiščite količine, katerih stopnje spremembe so vključene v enačbe. Včasih rešitve najdemo v obliki eksplicitnih formul, pogosteje pa jih je mogoče predstaviti le v približni obliki ali pridobiti kvalitativne informacije o njih. Pogosto je težko ugotoviti, ali rešitev sploh obstaja, kaj šele, da bi jo našli. Pomemben del teorije diferencialnih enačb sestavljajo tako imenovani "obstojni izrek", v katerem je dokazan obstoj rešitve za to ali ono vrsto diferencialnih enačb.

Prvotna matematična formulacija fizikalnega problema običajno vsebuje poenostavitvene predpostavke; merilo njihove smiselnosti je lahko stopnja skladnosti matematične rešitve z razpoložljivimi opazovanji.

Rešitve diferencialnih enačb.

Na primer diferencialna enačba dy/dx = x/yne izpolnjuje števila, temveč funkcija, v tem primeru taka, da ima njen graf na kateri koli točki, na primer v točki s koordinatami (2,3), tangenta z naklonom, enakim razmerju med koordinate (v našem primeru 2/3). To je enostavno videti, če zgradite veliko število točk in od vsake postavite kratek odsek z ustreznim naklonom. Rešitev bo funkcija, katere graf se vsake svoje točke dotakne ustreznega segmenta. Če je točk in odsekov dovolj, lahko okvirno začrtamo potek krivulj rešitve (tri take krivulje so prikazane na sliki 1). Skozi vsako točko gre skozi točno eno krivuljo rešitve y 0. Vsaka posamezna rešitev se imenuje posebna rešitev diferencialne enačbe; če je mogoče najti formulo, ki vsebuje vse posebne rešitve (z izjemo več posebnih), potem pravijo, da je bila pridobljena splošna rešitev. Določena rešitev je ena funkcija, medtem ko je splošna njihova celotna družina. Reševanje diferencialne enačbe pomeni iskanje posebne ali splošne rešitve. V našem primeru ima splošna rešitev obliko y 2 – x 2 = ckje c - poljubno število; posebna rešitev, ki gre skozi točko (1,1), ima obliko y = x in se dobi, ko c \u003d 0; posebna rešitev, ki gre skozi točko (2.1), ima obliko y 2 – x 2 \u003d 3. Pogoj, ki zahteva, da krivulja rešitve prehaja, na primer skozi točko (2,1), se imenuje začetni pogoj (saj določa izhodišče na krivulji rešitve).

Dokaže se lahko, da ima v primeru (1) splošna rešitev obliko x = ce –kt kje c Je konstanta, ki jo lahko določimo na primer z navedbo količine snovi pri t \u003d 0. Enačba iz primera (2) je poseben primer enačbe iz primera (1), ki ustreza k \u003d 1/100. Začetno stanje x \u003d 10 at t \u003d 0 daje določeno rešitev x = 10e –t/ sto. Enačba iz primera (4) ima splošno rešitev T = 70 + ce –kt in zasebna rešitev 70 + 130 - kt ; za določitev vrednosti k, so potrebni dodatni podatki.

Diferencialna enačba dy/dx = x/y se imenuje enačba prvega reda, saj vsebuje prvo izpeljavo (vrstni red najvišje izpeljane v njej šteje se vrstni red diferencialne enačbe). Za večino (čeprav ne vseh) diferencialnih enačb prve vrste, ki se pojavijo v praksi, skozi vsako točko gre le ena krivulja rešitve.

Obstaja več pomembnih vrst diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče rešiti v obliki formul, ki vsebujejo samo osnovne funkcije - stopinje, eksponente, logaritme, sinusi in kosinusi itd. Te enačbe vključujejo naslednje.

Ločljive enačbe.

Enačbe oblike dy/dx = f(x)/g(y) je mogoče rešiti tako, da ga zapišemo v diferenciale g(y)dy = f(x)dx in povezovanje obeh delov. V najslabšem primeru lahko rešitev predstavimo kot integrale znanih funkcij. Na primer, v primeru enačbe dy/dx = x/y imamo f(x) = x, g(y) = y... Zapis v obliki ydy = xdx in vključevanje, dobimo y 2 = x 2 + c... Enačbe z ločljivimi spremenljivkami vključujejo enačbe iz primerov (1), (2), (4) (rešiti jih je mogoče, kot je opisano zgoraj).

Enačbe v skupnih diferencialih.

Če ima diferencialna enačba obliko dy/dx = M(x,y)/N(x,y), kje M in N - dve dani funkciji, potem jo lahko predstavimo kot M(x,y)dx – N(x,y)dy \u003d 0. Če je leva stran diferencial neke funkcije F(x,y), potem lahko diferencialno enačbo zapišemo kot dF(x,y) \u003d 0, kar je enakovredno enačbi F(x,y) \u003d const. Tako so krivulje rešitve enačbe "črte konstantnih ravni" funkcije ali geometrijska mesta točk, ki izpolnjujejo enačbe F(x,y) = c... Enačba ydy = xdx (Slika 1) - z ločljivimi spremenljivkami in je tudi v skupnih diferencialih: da se prepričamo o slednjem, ga zapišemo v obliki ydy – xdx \u003d 0, tj. d(y 2 – x 2) \u003d 0. Funkcija F(x,y) je v tem primeru enako (1/2) ( y 2 – x 2); nekatere njegove konstantne ravni so prikazane na sl. eno.

Linearne enačbe.

Linearne enačbe so enačbe "prve stopnje" - neznana funkcija in njeni derivati \u200b\u200bvstopijo v takšne enačbe samo do prve stopnje. Tako ima linearna diferencialna enačba prvega reda obliko dy/dx + str(x) = q(x), kje str(x) in q(x) Ali so funkcije odvisne samo od x... Njegovo rešitev je vedno mogoče zapisati z uporabo integralov znanih funkcij. Številne druge vrste diferencialnih enačb prvega reda rešujemo s posebnimi tehnikami.

Enačbe višjega reda.

Številne diferencialne enačbe, s katerimi se soočajo fiziki, so enačbe drugega reda (tj. Enačbe, ki vsebujejo druge odvode). Takšna je na primer enačba preprostega harmoničnega gibanja iz primera (3), md 2 x/dt 2 = –kx... Na splošno lahko pričakujemo, da ima enačba drugega reda posebne rešitve, ki izpolnjujejo dva pogoja; na primer, lahko zahtevate, da krivulja rešitve gre skozi določeno točko v dani smeri. V primerih, ko diferencialna enačba vsebuje določen parameter (število, katerega vrednost je odvisna od okoliščin), obstajajo rešitve zahtevanega tipa samo za določene vrednosti tega parametra. Na primer, upoštevajte enačbo md 2 x/dt 2 = –kx in to zahtevajo y(0) = y(1) \u003d 0. Funkcija y 0 je zagotovo rešitev, če pa je celo število, ki je večkratnik str, tj. k = m 2 n 2 str2, kjer n - celo število, v resnici pa samo v tem primeru obstajajo druge rešitve, in sicer: y \u003d greh npx... Vrednosti parametra, pri katerih ima enačba posebne rešitve, se imenujejo značilnost ali lastne vrednosti; igrajo pomembno vlogo pri mnogih nalogah.

Enačba enostavnega harmoničnega gibanja služi kot primer pomembnega razreda enačb, in sicer linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti. Splošnejši (tudi drugorazredni) primer je enačba

kje a in b - dane konstante, f(x) Je dana funkcija. Takšne enačbe je mogoče rešiti na različne načine, na primer z uporabo integralne Laplaceove transformacije. Enako lahko rečemo za linearne enačbe višjih razredov s konstantnimi koeficienti. Pomembno vlogo imajo tudi linearne enačbe s spremenljivimi koeficienti.

Nelinearne diferencialne enačbe.

Enačbe, ki vsebujejo neznane funkcije in njihove izpeljanke do stopnje višje od prve ali na kakšen bolj zapleten način, imenujemo nelinearne. V zadnjih letih vzbujajo vedno več pozornosti. Bistvo je, da so fizikalne enačbe običajno linearne le v prvem približku; nadaljnje in natančnejše raziskave praviloma zahtevajo uporabo nelinearnih enačb. Poleg tega je veliko težav nelinearne narave. Ker so rešitve nelinearnih enačb pogosto zelo zapletene in jih je težko predstaviti s preprostimi formulami, je pomemben del sodobne teorije namenjen kvalitativni analizi njihovega vedenja, tj. razvoj metod, ki omogočajo, da brez reševanja enačbe povemo nekaj pomembnega o naravi rešitev kot celote: na primer, da so vse omejene, imajo periodično naravo ali so na določen način odvisne od koeficienti.

Približne rešitve diferencialnih enačb lahko najdemo številčno, vendar to traja veliko časa. S pojavom hitrih računalnikov se je ta čas močno zmanjšal, kar je odprlo nove možnosti za številčno rešitev številnih problemov, ki prej takšni rešitvi niso popustili.

Izreki o obstoju.

Izrek o obstoju je izrek, ki navaja, da ima pod določenimi pogoji določeno diferencialno enačbo rešitev. Obstajajo diferencialne enačbe, ki nimajo rešitev ali pa imajo več, kot je bilo pričakovano. Namen teorema o obstoju je prepričati nas, da ima dana enačba rešitev, in najpogosteje zagotoviti, da ima točno eno rešitev zahtevanega tipa. Na primer enačba, s katero smo se že srečali dy/dx = –2y ima točno eno rešitev, ki gre skozi vsako točko ravnine ( x,y), in ker smo že našli eno takšno rešitev, smo to enačbo v celoti rešili. Po drugi strani pa enačba ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ima veliko rešitev. Med njimi so neposredni y = 1, y \u003d –1 in krivulje y \u003d greh ( x + c). Rešitev je lahko sestavljena iz več segmentov teh ravnih črt in krivulj, ki prehajajo drug v drugega na točkah dotika (slika 2).

Delne diferencialne enačbe.

Navadna diferencialna enačba je neka izjava o izpeljavi neznane funkcije ene spremenljivke. Delna diferencialna enačba vsebuje funkcijo dveh ali več spremenljivk in izpeljank te funkcije glede na vsaj dve različni spremenljivki.

V fiziki so primeri takih enačb Laplaceova enačba

X, y) znotraj kroga, če so vrednosti u so določene na vsaki točki omejevalnega kroga. Ker so problemi z več kot eno spremenljivko v fiziki prej pravilo kot izjema, si lahko predstavljamo, kako obsežna je vsebina teorije PDE.

Ta spletni kalkulator vam omogoča spletno reševanje diferencialnih enačb. Dovolj je, da svojo enačbo vnesete v ustrezno polje, pri čemer z apostrofom označite "izpeljanko funkcije" in kliknete gumb "reši enačbo". Sistem, ki se izvaja na podlagi priljubljenega spletnega mesta WolframAlpha, bo dal podrobno rešitev diferencialne enačbe popolnoma brezplačno. Problem Cauchyja lahko nastavite tudi tako, da iz celotnega nabora možnih rešitev izberete količnik, ki ustreza danim začetnim pogojem. Problem Cauchyja vnesemo v ločeno polje.

Diferencialna enačba

Privzeta funkcija v enačbi je y je funkcija spremenljivke x... Lahko pa nastavite lastno oznako spremenljivke, če v enačbo na primer napišete y (t), bo kalkulator samodejno zaznal to y obstaja funkcija spremenljivke t... S kalkulatorjem lahko rešiti diferencialne enačbe poljubne zapletenosti in tipa: homogeni in nehomogeni, linearni ali nelinearni, prvega reda ali drugega in višjega reda, enačbe z ločljivimi ali neločljivimi spremenljivkami itd. Diferencialna rešitev enačba je podana v analitični obliki, ima podroben opis. Diferencialne enačbe so zelo pogoste v fiziki in matematiki. Brez njihovega izračuna ni mogoče rešiti številnih problemov (zlasti v matematični fiziki).

Ena od stopenj reševanja diferencialnih enačb je integracija funkcij. Obstajajo standardne metode za reševanje diferencialnih enačb. Enačbe je treba pripeljati v obliko z ločljivima spremenljivkama y in x ter ločeno integrirati ločeni funkciji. Če želite to narediti, je treba včasih opraviti določeno zamenjavo.