Dans cet article, nous examinerons la décision d'incomplète Équations carrées.

Mais nous répétons d'abord quelles équations sont appelées carrées. Équation du formulaire AH 2 + BX + C \u003d 0, où X est une variable et les coefficients A, B et avec certains nombres, et ≠ 0, appelé carré. Comme nous le voyons, le coefficient de X 2 n'est pas nul, et donc les coefficients de X ou un membre libre peuvent être nuls, dans ce cas, nous obtenons une équation carrée incomplète.

Les équations carrées incomplètes sont trois espèces:

1) si b \u003d 0, c ≠ 0, puis ah 2 + c \u003d 0;

2) si b ≠ 0, c \u003d 0, puis ah 2 + bx \u003d 0;

3) Si b \u003d 0, c \u003d 0, puis ah 2 \u003d 0.

• Comprenons comment résoudre équations de la forme AH 2 + C \u003d 0.

Pour résoudre l'équation en reportant un membre libre avec la partie droite de l'équation, nous obtenons

ah 2 \u003d -c. Depuis un ≠ 0, nous avons divisé les deux parties de l'équation à A, puis x 2 \u003d -c / a.

If -s / a\u003e 0, l'équation a deux racines

x \u003d ± √ (-C / a).

Si -c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Essayons de comprendre les exemples comment résoudre ces équations.

Exemple 1.. Décidez l'équation 2x 2 - 32 \u003d 0.

Réponse: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Exemple 2.. Décidez l'équation 2x 2 + 8 \u003d 0.

Réponse: L'équation des solutions n'a pas.

• Nous comprendrons comment résoudre équations du formulaire AH 2 + BX \u003d 0.

Pour résoudre l'équation AH 2 + BX \u003d 0, nous la décomposerons sur des multiplicateurs, c'est-à-dire que nous allons apporter les supports x, nous obtenons x (ah + b) \u003d 0. Le produit est zéro, si au moins un des multiplicateurs est zéro. Puis ou x \u003d 0, ou ah + b \u003d 0. Résolution de l'équation AH + B \u003d 0, nous obtenons AH \u003d - B, où x \u003d - B / A. L'équation du formulaire AH 2 + BX \u003d 0, a toujours deux racines x 1 \u003d 0 et x 2 \u003d - B / A. Voyez comment cela ressemble à une solution à la solution des équations de cette espèce.

Sécuriser nos connaissances sur un exemple spécifique.

Exemple 3.. Solvez l'équation 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 ou 3x - 12 \u003d 0

Réponse: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Équations troisième type AH 2 \u003d 0 Résolu très simple.

Si ah 2 \u003d 0, alors x 2 \u003d 0. L'équation a deux racines égales x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Pour plus de clarté, considérez le régime.

Nous serons convaincus lors de l'échantillonnage de l'exemple 4 que les équations de cette espèce sont résolues très simplement.

Exemple 4. Solvez l'équation 7x 2 \u003d 0.

Réponse: x 1, 2 \u003d 0.

Il n'est pas toujours possible de comprendre immédiatement quel type d'équation carrée incomplète que nous devons résoudre. Considérez l'exemple suivant.

Exemple 5. Résoudre l'équation

Multiplier les deux parties de l'équation sur un dénominateur commun, c'est-à-dire à 30

Socil

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Rappel des crochets

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Donnons des semblables

Nous transférons 99 de la partie gauche de l'équation à droite, changeant le signe à l'opposé

Réponse: pas de racines.

Nous avons démantelé comment les équations carrées incomplètes sont résolues. J'espère que maintenant vous n'aurez pas de difficultés avec des tâches similaires. Soyez prudent lorsque vous déterminez le type d'équation carrée incomplète, vous réussirez.

Si vous avez des questions sur ce sujet, inscrivez-vous à mes cours, nous résolvons les problèmes.

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Dans la poursuite du sujet "Décision des équations", le matériel de cet article vous présentera des équations carrées.

Considérons tout en détail: l'essence et l'enregistrement de l'équation carrée, définissent les termes concomitants, nous analyserons le schéma de la décision incomplète et équations complètesNous vous familiariserons avec les racines de formule et discriminants, établirons des liens entre les racines et les coefficients, et bien sûr, nous donnons une solution visuelle d'exemples pratiques.

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Équation carrée, ses types

Équation quadratique - c'est l'équation enregistrée comme a · x 2 + b · x + c \u003d 0où X. - variable, a, b et C. - Quelques chiffres, tandis que uNE.pas de zéro.

Souvent, les équations carrées s'appellent également le nom des équations du second degré, car, par essence, l'équation carrée est l'équation algébrique du deuxième degré.

Voyons un exemple définition spécifiée: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 · x 2 + 3, 1 · x + 0, 11 \u003d 0, etc. - Ce sont des équations carrées.

Définition 2.

Chiffres A, B et C. - ce sont les coefficients de l'équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0, avec le coefficient UNE. Il s'appelle le premier, ou plus ancien ou le coefficient de X 2, B - le deuxième coefficient, ou le coefficient lorsque X., mais C. Appelez un membre libre.

Par exemple, dans une équation carrée 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0 Le coefficient de senior est 6, le deuxième coefficient est − 2 et un membre libre est égal − 11 . Faites attention au fait que lorsque les coefficients B.et / ou c sont négatifs, une brève forme d'enregistrement de vue est utilisée. 6 · x 2 - 2 · x - 11 \u003d 0, mais non 6 · x 2 + (- 2) · x + (- 11) \u003d 0.

Nous clarifions également cet aspect: si les coefficients UNE. et / ou B. égal 1 ou alors − 1 , puis une participation explicite à l'enregistrement de l'équation carrée, ils peuvent ne pas être pris, ce qui s'explique par les caractéristiques du compte rendu de ces coefficients numériques. Par exemple, dans une équation carrée Y 2 - Y + 7 \u003d 0 Le coefficient de senior est 1 et le deuxième coefficient est − 1 .

Équations carrées spécifiées et non mariées

Par la valeur du premier coefficient, les équations carrées sont divisées en ci-dessus et non rémunérées.

Définition 3

L'équation carrée réduite - Il s'agit d'une équation carrée où le coefficient plus âgé est égal à 1. Pour d'autres valeurs du coefficient plus ancien, l'équation carrée n'est pas non valide.

Nous donnons des exemples: équations carrées x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sont présentées dans chacune desquelles le coefficient plus âgé est 1.

9 · x 2 - x - 2 \u003d 0 - une équation carrée intégrale, où le premier coefficient est différent de 1 .

Toute équation carrée non passée est possible de convertir en une équation donnée si elle est divisée des deux parties au premier coefficient (transformation équivalente). L'équation transformée aura les mêmes racines que celles spécifiées. Équation innue Ou ne pas avoir les racines du tout.

Considération exemple spécifique Démontrons clairement la transition d'une équation intégrale carrée à celle donnée.

Exemple 1.

L'équation est réglée 6 · x 2 + 18 · x - 7 \u003d 0 . Il est nécessaire de convertir l'équation initiale de la forme ci-dessus.

Décision

Le schéma spécifié ci-dessus est séparé par les deux parties de l'équation initiale sur le coefficient principal 6. Ensuite, nous obtenons: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3Et c'est la même chose que: (6 · x 2): 3 + (18 · x): 3 - 7: 3 \u003d 0 Et plus loin: (6: 6) · x 2 + (18: 6) · x - 7: 6 \u003d 0. D'ici: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0. Ainsi, une équation est considérée comme spécifiée.

Répondre: x 2 + 3 · x - 1 1 6 \u003d 0.

Équations carrées complètes et incomplètes

Se tourner vers la définition de l'équation carrée. Nous avons clarifié que A ≠ 0. Une telle condition est nécessaire à l'équation a · x 2 + b · x + c \u003d 0 C'était exactement carré parce que a \u003d 0 Il est essentiellement converti en Équation linéaire B · x + c \u003d 0.

Dans le cas où les coefficients B. et C.égal à zéro (ce qui est possible, à la fois individuellement et ensemble), l'équation carrée est appelée incomplète.

Définition 4.

Équation carrée incomplète - une telle équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0,où au moins un des coefficients B.et C.(ou les deux) est zéro.

Équation complète carrée - une équation carrée dans laquelle tous les coefficients numériques ne sont pas nuls.

Nous nous livrons à la raison pour laquelle les types d'équations carrées sont donnés exactement les noms.

Pour b \u003d 0 équation carrée prend le formulaire A · x 2 + 0 · x + c \u003d 0que la même chose est que A · x 2 + c \u003d 0. Pour C \u003d 0. L'équation carrée est enregistrée comme A · x 2 + b · x + 0 \u003d 0C'est équivalent a · x 2 + b · x \u003d 0. Pour B \u003d 0. et C \u003d 0. L'équation prendra la vue a · x 2 \u003d 0. Les équations que nous avons reçues sont différentes de l'équation complète carrée en ce que leurs parties gauche ne sont pas contenues ni un composant de la variable X ou d'un membre libre ou à la fois à la fois. En fait, ce fait a été demandé au nom d'un tel type d'équations - incomplète.

Par exemple, x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 et - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 sont des équations carrées complètes; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - équations carrées incomplètes.

Décision d'équations carrées incomplètes

La définition ci-dessus permet de distinguer les types suivants d'équations carrées incomplètes:

• a · x 2 \u003d 0, cette équation correspond aux coefficients B \u003d 0. et c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 pour b \u003d 0;
• a · x 2 + b · x \u003d 0 à c \u003d 0.

Considérez la décision de chaque type d'équation carrée incomplète.

Solution de l'équation A · x 2 \u003d 0

Comme mentionné ci-dessus, l'équation correspond aux coefficients B. et C.égal à zéro. L'équation a · x 2 \u003d 0 Il est possible de convertir l'équation à l'équivalent à celui-ci x 2 \u003d 0que nous obtenons, partageant les deux parties de l'équation source du nombre UNE.pas égal à zéro. Fait évident que la racine de l'équation x 2 \u003d 0 Ceci est zéro parce que 0 2 = 0 . Autres racines, cette équation n'a pas, ce qui est expliqué par les propriétés du degré: pour tout nombre p,pas égal à zéro, inégalité fidèle P 2\u003e 0ce qui suit que quand quand P ≠ 0. égalité P 2 \u003d 0ne sera jamais atteint.

Définition 5

Ainsi, pour une équation carrée incomplète A · x 2 \u003d 0 il y a la seule racine x \u003d 0..

Exemple 2.

Par exemple, nous résolvons une équation carrée incomplète - 3 · x 2 \u003d 0. C'est équivalent à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule root est x \u003d 0., Alors l'équation initiale a la seule racine - zéro.

En bref, la décision est composée de:

- 3 · x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solution de l'équation A · x 2 + c \u003d 0

Sur la file d'attente - la solution d'équations carrées incomplètes, où B \u003d 0, C ≠ 0, c'est-à-dire les équations de la forme A · x 2 + c \u003d 0. Nous transformons cette équation effectuée par une partie de l'équation à une autre, en modifiant le signe à l'opposé et divisant les deux parties de l'équation au nombre, pas égale à zéro:

• transfert C. dans la bonne partie, qui donne l'équation A · x 2 \u003d - C;
• nous divisons les deux parties de l'équation sur UNE., Je reçois à la fin x \u003d - c a.

Nos transformations sont équivalentes, respectivement, l'équation résultante est également équivalente à la source, et ce fait permet de conclure les racines de l'équation. De quoi sert les significations UNE. et C.la valeur de l'expression dépend - C A: il peut avoir un signe moins (disons si A \u003d 1. et C \u003d 2., alors - C A \u003d - 2 1 \u003d - 2) ou un signe plus (par exemple, si A \u003d - 2 et C \u003d 6., alors - C A \u003d - 6 - 2 \u003d 3); ce n'est pas zéro parce que C ≠ 0. Laissez-nous habiter plus en détail dans des situations quand - C A< 0 и - c a > 0 .

Dans le cas où - C a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P. L'égalité P 2 \u003d - C A ne peut pas être vraie.

Tout autrement, lorsque - C A\u003e 0: Rappelez la racine carrée, et il sera évident que l'équation X 2 \u003d - C A sera le nombre - C A, depuis - C A 2 \u003d - C A. Il n'est pas difficile de comprendre que le nombre est - c A est également la racine de l'équation x 2 \u003d - C a: en effet, - - C A 2 \u003d - C a.

Autre équation des racines n'aura pas. Nous pouvons le démontrer à l'aide de la méthode Nasty. Pour commencer, définissez les désignations trouvées au-dessus des racines comme x 1 et - x 1.. Je vais suggérer que l'équation x 2 \u003d - c a est aussi racine x 2qui diffère des racines x 1 et - x 1.. Nous savons que, substituant à l'équation à la place X. Ses racines, nous transformons l'équation en une égalité numérique juste.

Pour x 1 et - x 1. Nous écrivons: x 1 2 \u003d - C A, et pour x 2 - x 2 2 \u003d - C a. S'appuyant sur les propriétés des égalités numériques, remplissez une égalité droite d'une autre, ce qui nous donnera: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Utilisez les propriétés des actions avec des chiffres pour réécrire la dernière égalité comme (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. On sait que le travail de deux nombres est zéro puis et seulement si au moins un des chiffres est égal à zéro. De dit qu'il suit que x 1 - x 2 \u003d 0 et / ou x 1 + x 2 \u003d 0que la même chose x 2 \u003d x 1 et / ou x 2 \u003d - x 1. Il y avait une contradiction évidente, car au début, il a été convenu que la racine de l'équation x 2 diffère de x 1 et - x 1.. Ainsi, nous avons prouvé que l'équation n'a pas d'autres racines, à l'exception de X \u003d - C A et X \u003d - - C a.

Nous résumons tout le raisonnement ci-dessus.

Définition 6.

Équation carrée incomplète A · x 2 + c \u003d 0 équivalent à l'équation x 2 \u003d - C A, qui:

• n'aura pas de racines quand - C A< 0 ;
• il y aura deux racines X \u003d - C A et X \u003d - - - C A A avec - C a\u003e 0.

Nous donnons des exemples d'équations de résolution A · x 2 + c \u003d 0.

Exemple 3.

L'équation carrée est spécifiée 9 · x 2 + 7 \u003d 0.Il est nécessaire de trouver sa décision.

Décision

Nous transférons un membre libre de la partie droite de l'équation, puis l'équation prendra le formulaire 9 · x 2 \u003d - 7.
Nous divisons les deux parties de l'équation obtenue sur 9 , venez à x 2 \u003d - 7 9. Dans la partie droite, nous voyons un numéro avec un signe moins, ce qui signifie: l'équation spécifiée n'a pas de racines. Puis l'équation carrée incomplète d'origine 9 · x 2 + 7 \u003d 0 N'aura pas de racines.

Répondre: l'équation 9 · x 2 + 7 \u003d 0il n'a pas de racines.

Exemple 4.

Il est nécessaire de résoudre l'équation - x 2 + 36 \u003d 0.

Décision

Nous déplacons 36 vers le côté droit: - x 2 \u003d - 36.
Nous avons divisé les deux parties sur − 1 , obtenir x 2 \u003d 36. Dans la partie droite - positifD'ici, nous pouvons conclure que x \u003d 36 ou X \u003d - 36.
Retirez la racine et écrivez le résultat final: une équation carrée incomplète - x 2 + 36 \u003d 0 Il a deux racines x \u003d 6. ou alors x \u003d - 6.

Répondre: x \u003d 6. ou alors x \u003d - 6.

Solution de l'équation A · x 2 + B · x \u003d 0

Nous examinerons le troisième type d'équations carrées incomplètes lorsque C \u003d 0.. Trouver une décision d'une équation carrée incomplète a · x 2 + b · x \u003d 0, Nous utilisons la méthode de décomposition sur les multiplicateurs. Étaler sur des multiplicateurs du polynôme, qui se trouve dans la partie gauche de l'équation, en faisant un multiplicateur général pour les crochets X.. Cette étape permettra de convertir l'équation carrée incomplète d'origine à l'équivalent x · (A · x + b) \u003d 0. Et cette équation, à son tour, équivaut à la totalité des équations x \u003d 0. et A · x + b \u003d 0. L'équation A · x + b \u003d 0 Linéaire et sa racine: x \u003d - B a.

Définition 7.

Ainsi, une équation carrée incomplète a · x 2 + b · x \u003d 0 aura deux racines x \u003d 0. et x \u003d - B a.

Attachez le matériau par un exemple.

Exemple 5.

Il est nécessaire de trouver la solution de l'équation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Décision

Dirigeons X. Pour les supports et obtenir l'équation x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Cette équation est équivalente aux équations x \u003d 0. et 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Maintenant, il est nécessaire de résoudre l'équation linéaire résultante: 2 3 · x \u003d 2 2 7, X \u003d 2 2 7 2 3.

Résoudre brièvement l'équation à écrire de cette façon:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · X - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ou 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ou x \u003d 3 3 7

Répondre: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Discriminant, la formule racines de l'équation carrée

Pour trouver une solution d'équations carrées, il existe une formule pour les racines:

Définition 8

x \u003d - b ± d 2 · A Où D \u003d B 2 - 4 · A · C - le soi-disant discriminant d'une équation carrée.

Enregistrement X \u003d - B ± D 2 · A Essentiellement signifie que x 1 \u003d - B + D 2 · A, X 2 \u003d - B - D 2 · A.

Il sera utile de comprendre comment la formule spécifiée a été dérivée et comment l'appliquer.

La sortie des racines de l'équation carrée

Soyons mis au défi de résoudre l'équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Effectuer un certain nombre de transformations équivalentes:

• nous avons divisé les deux parties de l'équation pour le nombre uNE.autre que zéro, nous obtenons l'équation carrée réduite: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• nous soulignons la place complète du côté gauche de l'équation reçue:
  x 2 + BA · x + ca \u003d x 2 + 2 · B 2 · A · x + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + ca \u003d x + b 2 · A 2 - B 2 · A 2 + CA 2 + .
  Après cela, l'équation prendra la forme: X + B 2 · A 2 - B 2 · A 2 + C A \u003d 0;
• maintenant, il est possible de faire le transfert des deux derniers termes au côté droit, en modifiant le signe à l'opposé, après quoi nous obtenons: X + B 2 · A 2 \u003d B 2 · A 2 - C A;
• enfin, nous transformons l'expression enregistrée sur le côté droit de la dernière égalité:
  B 2 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - C A \u003d B 2 4 · A 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2.

Ainsi, nous sommes venus à l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, équivalente équivalente équivalente a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Nous avons compris la solution de telles équations dans les paragraphes précédents (décision d'équations carrées incomplètes). L'expérience acquise permet de conclure en ce qui concerne les racines de l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2:

• à B 2 - 4 · A · C 4 · A 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pour B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 \u003d 0, l'équation a la forme x + B 2 · A 2 \u003d 0, puis x + b 2 · A \u003d 0.

D'où la seule racine X \u003d - B 2 · A est évidente;

• pour B 2 - 4 · A · C 4 · A 2\u003e 0, il sera correct: X + B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 ou X \u003d B 2 · A - B 2 - 4 · A · C 4 · A 2, identique à X + - B 2 · A \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 ou X \u003d - B 2 · A - B 2 - 4 · · · · · A · C 4 · A 2, I.e. L'équation a deux racines.

Il est possible de conclure que la présence ou l'absence des racines de l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2 (et donc l'équation initiale) dépend du signe de l'expression b 2 - 4 · A · C 4 · A 2, enregistré sur le côté droit. Et le signe de cette expression est défini par le numéro du numérateur (dénominateur 4 · A 2 sera toujours positif), c'est-à-dire un signe d'expression B 2 - 4 · A · C. Cette expression B 2 - 4 · A · C Le nom est le discriminant d'une évacuation carrée et est défini comme sa désignation de la lettre D. Ici, vous pouvez enregistrer l'essence de la valeur discriminante - par sa valeur et que le signe est conclu si l'équation carrée aura des racines valides et, si elle est, quel est le nombre de racines - une ou deux.

Retour à l'équation X + B 2 · A 2 \u003d B 2 - 4 · A · C 4 · A 2. Je le réécris à l'aide de la désignation discriminante: X + B 2 · A 2 \u003d D 4 · A 2.

Nous formulerons à nouveau des conclusions:

Définition 9.

• pour RÉ.< 0 L'équation n'a pas de racines valides;
• pour D \u003d 0. L'équation a la seule racine X \u003d - B 2 · A;
• pour D\u003e 0 L'équation a deux racines: X \u003d - B 2 · A + D 4 · A 2 ou X \u003d - B 2 · A-D 4 · A 2. Ces racines basées sur les propriétés des radicaux peuvent être écrites sous la forme: x \u003d - B 2 · A + D 2 · A ou - B 2 · A-D 2 · A. Et quand nous révélons les modules et donnons les fractions à dénominateur commun, Nous obtenons: X \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A.

Ainsi, le résultat de notre raisonnement était l'élimination de la formule des racines de l'équation carrée:

x \u003d - B + D 2 · A, X \u003d - B - D 2 · A, discriminant RÉ. Calculé par formule D \u003d B 2 - 4 · A · C.

Ces formules permettent de discrimination ultérieure pour déterminer les deux racines valides. Lorsque le discriminant est nul, l'utilisation des deux formules donnera la même racine que seule décision équation carrée. Dans le cas où le discriminant est négatif, essayant d'utiliser la formule racine de l'équation carrée, nous ferons face à la nécessité de supprimer racine carrée de nombre négatifCe qui nous conduira au-delà des chiffres réels. Avec un discriminant négatif, l'équation carrée ne sera pas des racines valides, mais une paire de racines de conjugué de manière complète, déterminée par les mêmes formules racines obtenues par nous sont possibles.

Algorithme de résolution d'équations carrées sur des formules racines

Il est possible de résoudre l'équation carrée, en cycliste immédiatement la formule des racines, mais essentiellement, elles le font, si nécessaire, trouvent des racines complexes.

Dans la masse principale des cas, il est généralement impliqué pour la recherche de racines non complexes, mais valides de l'équation carrée. Ensuite, de manière optimale avant d'utiliser les formules des racines de l'équation carrée, déterminez d'abord le discriminant et assurez-vous qu'il n'est pas négatif (sinon, nous concluons que l'équation n'a aucune racine valide), puis procédez à calculer la valeur des racines.

Les arguments ci-dessus offrent la possibilité de formuler un algorithme de résolution d'une équation carrée.

Définition 10.

Résoudre une équation carrée a · x 2 + b · x + c \u003d 0, il est nécessaire:

• selon la formule D \u003d B 2 - 4 · A · C trouver la valeur du discriminant;
• avec D.< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• à d \u003d 0 trouver la seule racine de l'équation selon la formule X \u003d - B 2 · A;
• pour D\u003e 0, déterminez les deux racines valides de l'équation carrée en fonction de la formule X \u003d - B ± D 2 · A.

Notez que lorsque le discriminant est égal à zéro, vous pouvez utiliser la formule X \u003d - B ± D 2 · A, elle donnera le même résultat que la formule X \u003d - B 2 · A.

Considérer des exemples.

Exemples de solutions d'équations carrées

Nous donnons la solution d'exemples lorsque valeurs différentes discriminant.

Exemple 6.

Il est nécessaire de trouver les racines de l'équation x 2 + 2 · x - 6 \u003d 0.

Décision

Nous écrivons les coefficients numériques de l'équation carrée: A \u003d 1, B \u003d 2 et C \u003d - 6. Ensuite, nous agissons sur l'algorithme, c'est-à-dire Nous allons procéder à calculer le discriminant, pour lequel nous substituerons les coefficients A, B et C. Dans la formule du discriminant: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Nous avons donc obtenu d\u003e 0, et cela signifie que l'équation initiale aura deux racines valides.
Pour les trouver, nous utilisons la formule racine X \u003d - B ± D 2 · A et, substituant les valeurs correspondantes, nous obtenons: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Nous simplifions l'expression résultante, faisons un multiplicateur pour le panneau racine, suivi de la coupe de la fraction:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 ou X \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 ou x \u003d - 1 - 7

Répondre: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Exemple 7.

Il est nécessaire de résoudre l'équation carrée - 4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Décision

Déterminer le discriminant: D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Avec cette valeur discriminante, l'équation initiale n'aura qu'une seule racine définie par la formule X \u003d - B 2 · A.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Répondre: x \u003d 3, 5.

Exemple 8.

Il est nécessaire de résoudre l'équation 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0

Décision

Les coefficients numériques de cette équation seront les suivants: A \u003d 5, B \u003d 6 et C \u003d 2. Nous utilisons ces valeurs pour trouver un discriminant: D \u003d B 2 - 4 · A · C \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Le discriminant calculé est négatif, donc l'équation carrée initiale n'a pas de racines valides.

Dans le cas où la tâche consiste à spécifier des racines complexes, appliquez la formule racine, effectuant des actions avec des nombres complexes:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · I 10 ou X \u003d - 6 - 2 · I 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i ou x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Répondre: Il n'y a pas de racines valides; Les racines complexes sont les suivantes: - 3 5 + 1 5 · I, - 3 5 - 1 5 · I.

DANS programme scolaire Nombre normalement de rechercher des racines complexes, donc si lors de la solution, le discriminant est défini comme négatif, la réponse est immédiatement enregistrée qu'il n'y a pas de racines valides.

Racines de formule pour un second second coefficients

La formule des racines X \u003d - B ± D 2 · A (D \u003d B 2 - 4 · A · C) permet d'obtenir une autre formule, plus compacte, permettant de trouver des solutions d'équations carrées avec un coefficient égal à x (ou avec un coefficient de type 2 · N, par exemple, 2 · 3 ou 14 · LN 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Nous montrons comment cette formule est affichée.

Soyons la tâche de trouver la solution de l'équation carrée A · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Nous agissons sur l'algorithme: déterminer le discriminant D \u003d (2 · N) 2 - 4 · A · C \u003d 4 · N 2 - 4 · A · C \u003d 4 · (N 2 - A · C), puis utiliser la Formule racine:

x \u003d - 2 · n ± d 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 4 · N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - 2 · N ± 2 N 2 - A · C 2 · A, X \u003d - N ± N 2 - A · ca.

Laissez l'expression n 2 - A · C être indiquée comme D 1 (parfois d "). Puis la formule des racines de l'équation carrée à l'étude avec le second coefficient 2 · N prendra la forme:

x \u003d - n ± d 1 a, où d 1 \u003d n 2 - a · c.

Il est facile de voir que d \u003d 4 · d 1, ou d 1 \u003d d 4. En d'autres termes, D 1 est un quart du discriminant. Il est évident que le signe d 1 est identique au signe d, ce qui signifie que le signe D 1 peut également servir d'indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation carrée.

Définition 11.

Ainsi, pour trouver la solution de l'équation carrée avec le deuxième coefficient 2 · N, il est nécessaire:

• trouver D 1 \u003d N 2 - A · C;
• avec d 1.< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pour D 1 \u003d 0, déterminez la seule racine de l'équation en fonction de la formule X \u003d N A;
• pour D 1\u003e 0, déterminez les deux racines valides selon la formule X \u003d N ± D 1 A.

Exemple 9.

Il est nécessaire de résoudre l'équation carrée 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Décision

Le deuxième coefficient de l'équation spécifiée peut être représenté comme 2 · (- 3). Ensuite, réécrivez l'équation carrée spécifiée comme 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, où A \u003d 5, N \u003d - 3 et C \u003d - 32.

Nous calculons la quatrième partie de la discriminante: D 1 \u003d N 2 - A · C \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. La valeur obtenue positivement, cela signifie que l'équation comporte deux racines valides. Nous les définissons en fonction de la formule racine correspondante:

x \u003d - n ± d 1 a, x \u003d - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 ou x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ou x \u003d - 2

Il serait possible de faire des calculs et de la formule habituelle des racines de l'équation carrée, mais dans ce cas, la solution serait plus encombrante.

Répondre: x \u003d 3 1 5 ou x \u003d - 2.

Simplification de l'espèce d'équations carrées

Parfois, il est possible d'optimiser le type d'équation source, ce qui simplifiera le processus de calcul des racines.

Par exemple, une équation carrée 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 est clairement plus pratique pour la résolution de 1200 · x 2 à 400 · x - 700 \u003d 0.

Plus souvent, la simplification de l'espèce de l'équation carrée est effectuée par la multiplication ou la division de ses deux parties dans une sorte de nombre. Par exemple, nous avons montré un enregistrement simplifié de l'équation 1200 · x 2 à 400 · x-700 \u003d 0, obtenue en divisant les deux parties de 100.

Une telle conversion est possible lorsque les coefficients de l'équation carrée ne sont pas mutuels nombres simples. Puis divisant généralement les deux parties de l'équation au plus grand diviseur général valeurs absolues ses coefficients.

Par exemple, utilisez une équation carrée 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Nous définissons le noeud de valeurs absolues de ses coefficients: nœuds (12, 42, 48) \u003d nœud (noeud (12, 42), 48) \u003d nœud (6, 48) \u003d 6. Nous diviserons les deux parties de l'équation carrée d'origine à 6 et nous obtenons l'équation équivalente équation 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

La multiplication des deux parties de l'équation carrée se débarrasse généralement des coefficients fractionnaires. Dans le même temps, multiplié par le plus petit dénominateur général général de ses coefficients. Par exemple, si chaque partie de l'équation carrée 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 se multiplie de la CNO (6, 3, 1) \u003d 6, il sera ensuite enregistré dans plus de vue simple x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Enfin, nous notons que nous remarquons presque toujours les minus au premier coefficient de l'équation carrée, modifiant les signes de chaque membre de l'équation, qui est obtenu en multipliant (ou divisions) des deux parties de 1. Par exemple, d'une équation carrée - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, vous pouvez accéder à sa version simplifiée 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Communication entre les racines et les coefficients

La formule des racines des équations carrées x \u003d - B ± D 2 · A déjà connu de nous exprime les racines de l'équation à travers ses coefficients numériques. S'appuyant sur cette formule, nous avons la possibilité de définir d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules du théorème de Vieta sont les plus célèbres et applicables:

x 1 + x 2 \u003d - B a et x 2 \u003d c a.

En particulier, pour l'équation carrée réduite, la quantité des racines est le deuxième coefficient avec en face familieret le produit des racines est égal à un membre libre. Par exemple, selon l'espèce de l'équation carrée 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, il est possible de déterminer immédiatement que la somme de ses racines est de 7 3, et le produit des racines est 22 3.

Vous pouvez également trouver un certain nombre d'autres liens entre les racines et les coefficients de l'équation carrée. Par exemple, la somme des carrés des racines de l'équation carrée peut être exprimée à travers les coefficients:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - BA 2 - 2 · CA \u003d B 2 A 2 - 2 · CA \u003d B 2 - 2 · A · CA 2.

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Les équations carrées apparaissent souvent lors de la résolution de divers problèmes de physique et de mathématiques. Dans cet article, nous examinerons comment résoudre ces équivalons de manière universelle "par discriminant". Des exemples d'utilisation des connaissances gagnées sont également donnés dans l'article.

De quelles équations parlons-nous?

La figure ci-dessous montre une formule dans laquelle X est une variable inconnue et des caractères latins A, B, C sont des numéros connus.

Chacun de ces caractères s'appelle le coefficient. Comme vous pouvez le constater, le nombre "A" se tient devant la variable x, érigé dans la place. C'est le degré d'expression maximum, il est donc appelé une équation carrée. Il est souvent utilisé par un autre nom: l'équation du second ordre. La valeur d'A est un coefficient carré (debout à une variable dans un carré), B est un coefficient linéaire (il est situé à côté de la variable élevée au premier degré), enfin, le nombre C est un membre libre.

Il convient de noter que la forme de l'équation, illustrée dans la figure ci-dessus, est une expression carrée classique partagée. En plus de cela, il existe d'autres équations du deuxième ordre, dans lesquelles les coefficients B, C peuvent être nuls.

Lorsque la tâche consiste à résoudre l'égalité en question, cela signifie que de telles valeurs de la variable X doivent être constatées que cela le satisferait. Ici, tout d'abord, vous devez vous rappeler la chose suivante: car le degré maximal d'IX est 2, ce type d'expressions ne peut avoir plus de 2 solutions. Cela signifie que si, lors de la résolution de l'équation, 2 x valeurs ont été trouvées, qu'elle la satisfait, il est alors possible d'être sûr qu'il n'existe pas de 3ème nombre, substituant qu'au lieu de x, l'égalité serait également la vérité. Les solutions de l'équation en mathématiques sont appelées racines.

Méthodes de résolution des équations de second ordre

Des solutions d'équations de ce type nécessitent une connaissance de la théorie à leur sujet. Au cours de l'année scolaire, l'algèbre considère 4 diverses méthodes solutions. Énumérez-les:

• par la factorisation;
• en utilisant la formule pour un carré complet;
• appliquer un graphique de la fonction quadratique correspondante;
• en utilisant l'équation discriminante.

Plus de la première méthode consiste en sa simplicité, cependant, ce n'est pas pour toutes les équations pouvant être appliquées. La deuxième méthode est universelle, mais un peu volumineuse. La troisième méthode est distinguée par sa clarté, mais ce n'est pas toujours pratique et applicable. Enfin, l'utilisation de l'équation discriminante est un moyen universel et assez simple de trouver les racines de toute équation du second ordre. Par conséquent, dans l'article, considérons seulement cela.

Formule pour obtenir les racines de l'équation

Se tourner vers K. vue générale équation carrée. Nous l'écrivons: a * x² + b * x + c \u003d 0. Avant d'utiliser la manière dont il est de le résoudre "à travers discriminant", l'égalité doit toujours être donnée à l'esprit enregistré. C'est-à-dire qu'il devrait comprendre trois termes (ou moins si b ou b est 0).

Par exemple, s'il y a une expression: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², vous devez d'abord transférer tous ses membres sur un côté de l'égalité et plier les termes contenant la variable x dans le même degrés.

Dans ce cas, cette opération mènera à l'expression suivante: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, équivalente à l'équation 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (ici les parties gauche et droite de Égalité que nous avons été multiplié par -1).

Dans l'exemple ci-dessus a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Notez que tous les membres de l'égalité à l'étude sont toujours résumés les uns des autres, afin que le signe "-" apparaisse, cela signifie que le coefficient négatif est négatif comme le nombre C dans ce cas.

Après avoir enfreint ce moment, nous nous tournons maintenant vers la formule elle-même, ce qui permet d'obtenir les racines de l'équation carrée. Il a l'apparence qui est présentée sur la photo ci-dessous.

Comme on peut le voir à partir de cette expression, il vous permet de recevoir deux racines (vous devez faire attention au "±" signe). Pour ce faire, il suffit de remplacer les coefficients B, C et A.

Concept de discriminant

Dans le paragraphe précédent, une formule a été présentée, ce qui vous permet de résoudre rapidement une équation de second ordre. Il est appelé un discriminant dedans, c'est-à-dire d \u003d b²-4 * a * c.

Pourquoi cette partie de la formule est distinguée et elle a même propre nom? Le fait est que le discriminant lie les trois coefficients d'équation dans une seule expression. Le dernier fait signifie qu'il effectue entièrement des informations sur les racines, qui peuvent être exprimées par la liste suivante:

1. D\u003e 0: L'égalité a 2 solutions différentes, les deux représentent des nombres valides.
2. D \u003d 0: L'équation n'est qu'une racine, et c'est un nombre valide.

La tâche de déterminer le discriminant

Nous donnons un exemple simple, comment trouver discriminant. Que cette égalité soit donnée: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Nous le donnons à la forme standard, nous obtenons: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, d'où nous arrivons au Égalité: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. ici a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Maintenant, vous pouvez utiliser la formule nommée pour le discriminant: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Le nombre résultant est la réponse à la tâche. Depuis dans l'exemple discriminant moins zéroOn peut dire que cette équation carrée n'a aucune racine valide. Sa solution n'inclut que le nombre de types complexes.

Un exemple d'inégalité par discriminant

Nous résoudraons le problème d'un type quelque peu différent: l'égalité est -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Il est nécessaire de trouver de telles valeurs pour lesquelles D\u003e 0.

Dans ce cas, seuls 2 des 3 coefficients sont connus, il n'est donc pas possible de calculer la valeur exacte du discriminant, mais on sait qu'il est positif. Le dernier fait est utilisé dans la préparation de l'inégalité: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * C\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * C\u003e 0. La solution de l'inégalité obtenue conduit au résultat: C\u003e -3.

Vérifiez le numéro résultant. Pour ce faire, calculez D pendant 2 cas: c \u003d -2 et c \u003d -4. Le nombre -2 satisfait le résultat résultant (-2\u003e -3), le discriminant correspondant sera le suivant: D \u003d 12\u003e 0. À son tour, le nombre -4 ne satisfait pas à l'inégalité (-4t, tout nombre c plus -3 satisfera la condition.

Exemple d'équation de résolution

Nous donnons la tâche qui réside non seulement pour trouver un discriminant, mais également en résolvant l'équation. Il est nécessaire de trouver les racines de l'égalité -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Dans cet exemple, discriminant est égal prochaine signification: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Les racines de l'équation sont ensuite déterminées comme suit: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Ce sont les valeurs exactes des racines, s'il est nécessaire de calculer approximativement la racine, les chiffres sont obtenus: x \u003d -5,176 et x \u003d 0,676.

Tâche géométrique

Nous résoudrons la tâche qui nécessitera non seulement la capacité de calculer le discriminant, mais également de l'utilisation des compétences de la pensée et des connaissances abstraites, comment faire des équations carrées.

Bob avait une couverture teinte de 5 x 4 mètres. Le garçon voulait coudre un groupe continu de lui partout dans le périmètre beau tissu. Quelle épaisseur sera cette bande, s'il est connu que Bob a 10 m² de tissu.

Laissez la bande aura une épaisseur du X m, puis la zone de tissu long côté Les couvertures seront (5 + 2 * x) * x et, depuis les côtés longs 2, nous avons: 2 * x * (5 + 2 * x). Selon le côté court, la zone du tissu cousu sera de 4 * x, car ces côtés 2, alors nous obtenons la valeur de 8 * x. Notez que la longueur de 2 * x a été ajoutée au côté long, car la longueur de la couverture a augmenté de ce nombre. La zone de tissus globale est de 10 m². Par conséquent, nous obtenons l'égalité: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

Pour cet exemple, le discriminant est: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Sa racine est égale à 22. Profitant de la formule, nous trouvons les racines souhaitées: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Évidemment, de deux racines, selon la condition du problème, seul le nombre est de 0,5.

Ainsi, une bande de tissu que Bob coud à sa couverture aura une largeur de 50 cm.

DANS la société moderne La capacité d'effectuer des actions avec des équations contenant la variable soulevée sur le carré peut être utile dans de nombreux domaines d'activité et est largement utilisé dans la pratique dans les développements scientifiques et techniques. La preuve de cela peut servir la conception de navires marins et rivières, avions et missiles. Avec de tels calculs, les trajectoires de déplacer le plus différent tel, y compris des objets spatiaux. Des exemples avec une solution d'équations carrées sont utilisés non seulement dans les prévisions économiques, dans la conception et la construction de bâtiments, mais également dans les circonstances quotidiennes les plus ordinaires. Ils peuvent être nécessaires dans les campagnes touristiques, dans les sports, dans les magasins et dans d'autres situations très courantes.

Nous cassons l'expression sur les composants des multiplicateurs

Le degré d'équation est déterminé valeur maximum Le degré de variable que cette expression contient. Dans le cas où il est 2, une telle équation est simplement appelée carrée.

Si la langue des formules est exprimée, les expressions indiquées, quelle que soit leur apparence, peut toujours être causée lorsque partie gauche Les expressions se comptent en trois termes. Parmi eux: AX 2 (c'est-à-dire la variable érigée dans un carré avec son coefficient), BX (inconnu sans carré avec son coefficient) et C (composant libre, c'est-à-dire le numéro habituel). Tout cela dans le côté droit est égal à 0. Dans le cas où il n'y a personne de ses composantes des termes, à l'exception de l'AX 2, elle s'appelle une équation carrée incomplète. Exemples avec résolution de telles tâches, la valeur des variables dans lesquelles il est facile à trouver, devrait être considérée en premier.

Si l'expression apparaît sous la forme ressemble à une telle manière que deux, plus précisément, AX 2 et BX, l'expression sur l'expression sur l'expression du côté droit, est la plus facile à trouver une variable pour les crochets. Notre équation ressemblera maintenant à ceci: X (AX + B). Ensuite, il devient évident que ou x \u003d 0, ou la tâche est réduite à la recherche d'une variable de l'expression suivante: AX + B \u003d 0. La spécifiée dictée l'une des propriétés de multiplication. La règle indique que le produit de deux facteurs donne à la suite de 0 seulement si l'un d'entre eux est égal à zéro.

Exemple

x \u003d 0 ou 8x - 3 \u003d 0

En conséquence, nous obtenons deux racines de l'équation: 0 et 0,375.

Les équations de ce type peuvent décrire le mouvement des corps sous l'influence de la gravité, qui a commencé le mouvement d'un certain point adopté au début des coordonnées. Ici, l'enregistrement mathématique prend le formulaire suivant: Y \u003d V 0 T + GT 2/2. En substituant les valeurs nécessaires, assimilant le côté droit 0 et trouvant des inconnues possibles, vous pouvez découvrir le temps passant du moment de la hausse du corps jusqu'à sa chute, ainsi que de nombreuses autres valeurs. Mais nous en parlerons plus tard.

Décomposition de l'expression sur les multiplicateurs

La règle décrite ci-dessus vous permet de résoudre les tâches spécifiées et plus cas complexes. Considérons des exemples avec des équations carrées de résolution de ce type.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Cette square Treechlen C'est complet. Pour commencer, nous transformons l'expression et la décompose pour les multiplicateurs. Ils sont obtenus deux: (x-8) et (x-25) \u003d 0. En conséquence, nous avons deux racines 8 et 25.

Des exemples avec des équations carrées de résolution de grade 9 permettent à cette méthode de trouver une variable dans les expressions non seulement de la seconde, mais même des troisième et quatrième commandes.

Par exemple: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Avec la décomposition de la partie droite des multiplicateurs avec une variable, ils sont obtenus trois, c'est-à-dire (x-3), (x-3) et ( x + 3).

En conséquence, il devient évident que cette équation a trois racines: -3; -une; 3.

Extraire la racine carrée

Un autre cas équation incomplète Le deuxième ordre est l'expression, dans la langue des lettres présentées de manière à ce que le côté droit soit construit à partir des composants de l'AX 2 et C. Ici, pour la valeur de la variable, l'élément libre est transféré sur le côté droit, puis une racine carrée est extraite des deux parties de l'égalité. Il convient de noter que dans ce cas, les racines de l'équation généralement deux. Une exception ne peut être égale qu'à l'égalité, ne contenant généralement pas le terme C, où la variable est nulle, ainsi que les options d'expressions, lorsque le côté droit s'avère négatif. Dans ce dernier cas, les solutions n'existent pas du tout, car l'action ci-dessus ne peut pas être produite avec des racines. Des exemples de solutions d'équations carrées de ce type doivent être envisagées.

Dans ce cas, les racines de l'équation seront de -4 et 4.

Calcul d'un terrain terrestre

La nécessité de ces calculs est apparue dans une antiquité profonde, car le développement de mathématiques à bien des égards de ces temps distants était due à la nécessité de déterminer la plus précision de la zone et du périmètre des parcelles terrestres.

Des exemples avec des équations carrées de résolution élaborées sur la base de tâches de ce type doivent être considérées comme nous.

Donc, disons qu'il y a une parcelle rectangulaire de terre, dont la longueur est de 16 mètres de plus que la largeur. Il doit être trouvé une longueur, une largeur et un périmètre du site, s'il est connu que sa zone est égale à 612 m 2.

Commencer une affaire, prenez d'abord l'équation nécessaire. Noter par x la largeur du site, alors sa longueur sera (x + 16). De l'écriture, il suit que la zone est déterminée par l'expression x (x + 16), qui, selon la condition de notre problème, est 612. Cela signifie que x (x + 16) \u003d 612.

La solution d'équations carrées complètes et cette expression est précisément telle, ne peut être effectuée de la même manière. Pourquoi? Bien que le côté gauche contienne encore deux facteurs, le produit n'est pas du tout égal à 0, d'autres méthodes sont donc utilisées ici.

Discriminant

Tout d'abord, nous produirons les transformations nécessaires, puis apparence Cette expression ressemblera à ceci: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Cela signifie que nous avons reçu une expression sous la forme correspondant à la norme précédemment spécifiée, où A \u003d 1, B \u003d 16, C \u003d -612.

Cela peut être un exemple de résolution d'équations carrées par discriminant. Ici calculs requis Produit selon le schéma: D \u003d B 2 - 4AC. Cette valeur auxiliaire ne permet pas simplement de trouver les valeurs souhaitées dans l'équation du second ordre, elle détermine le nombre options possibles. Dans le cas d\u003e 0, il y en a deux; Quand D \u003d 0, il y a une racine. Dans le cas d<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sur les racines et leur formule

Dans notre cas, le discriminant est le suivant: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Cela suggère que la réponse de notre tâche existe. Si vous savez, K, la solution d'équations carrées doit être poursuivie à l'aide de la formule ci-dessous. Cela vous permet de calculer les racines.

Cela signifie que dans le cas présenté: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. La deuxième version de ce dilemme ne peut pas être une solution, car les dimensions de la terre ne peuvent pas être mesurées en valeurs négatives, cela signifie X (la largeur du site) est de 18 m. D'ici, nous calculons la longueur: 18 + 16 \u003d 34 et périmètre 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Exemples et objectifs

Nous continuons à étudier des équations carrées. Des exemples et une solution détaillée de plusieurs d'entre elles seront données plus loin.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Nous transférons tout à la partie gauche de l'égalité, nous ferons une transformation, c'est-à-dire que nous obtenons la forme de l'équation appelée standard et l'égaliser avec zéro.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Après avoir plié comme, nous définissons le discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Donc, notre équation aura deux racines. Nous les calculons selon la formule ci-dessus, ce qui signifie que le premier d'entre eux est 4/3 et le second.

2) révéler maintenant les énigmes d'une autre sorte.

Découvrez, y a-t-il des racines ici x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Pour obtenir une réponse globale, nous donnons un polynôme à la familiarité appropriée et calculez le discriminant. Dans l'exemple spécifié, la solution de l'équation carrée n'est pas nécessaire, car l'essence de la tâche n'est pas du tout cela. Dans ce cas, D \u003d 16 - 20 \u003d 4, ce qui signifie qu'il n'y a vraiment pas de racines.

Théorème de Vieta

Les équations carrées sont correctement résolues à travers les formules ci-dessus et discriminant lorsque la racine carrée est extraite de la dernière valeur. Mais cela n'arrive pas toujours. Cependant, il existe de nombreuses façons d'obtenir des variables dans ce cas. Exemple: solutions d'équations carrées sur le théorème Vieta. Elle porte le nom de celui qui a vécu au XVIe siècle en France et a fait une brillante carrière en raison de ses talents mathématiques et de ses cours. Le portrait peut être vu dans l'article.

Le modèle que le célèbre français a noté était le suivant. Il a prouvé que les racines de l'équation dans la quantité sont numériquement égales à -p \u003d b / a, et leur produit correspond à q \u003d c / a.

Envisagez maintenant des tâches spécifiques.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pour la simplicité, nous transformons l'expression:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Nous utilisons le théorème de Vieta, il nous donnera ce qui suit: le montant des racines est de -7 et leur travail -18. À partir de là, nous obtenons que les racines de l'équation sont des numéros -9 et 2. Après avoir effectué un chèque, assurez-vous que ces valeurs de variables conviennent vraiment à l'expression.

Équation de graphique et de parabola

Concepts La fonction quadratique et les équations carrées sont étroitement liées. Des exemples de ceux-ci ont déjà été démontrés plus tôt. Maintenant, considérons quelques énigmes mathématiques un peu plus. Toute équation du type décrit peut être imaginée. Une dépendance similaire tirée sous la forme d'un graphique est appelée parabole. Ses différents types sont présentés dans la figure ci-dessous.

Toute parabole a un sommet, c'est-à-dire que ses branches sortent. Dans le cas d'un\u003e 0, ils laissent haut dans l'infini et quand un<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Les images visuelles des fonctions aident à résoudre toutes les équations, y compris carré. Cette méthode s'appelle graphique. Et la valeur de la variable X est la coordonnée de l'abscisse aux points où le graphique du graphique traverse 0x. Les coordonnées des sommets peuvent être trouvées en fonction de la seule formule X 0 \u003d -B / 2a. Et, substituant la valeur résultante à l'équation initiale de la fonction, vous pouvez apprendre y 0, c'est-à-dire la deuxième coordonnée du sommet Pearabol appartenant à l'axe d'ordonnée.

Traverser les branches de Parabola avec l'axe Abscisse

Des exemples avec des solutions d'équations carrées sont beaucoup, mais il existe des modèles généraux. Considérez-les. Il est clair que l'intersection du graphique avec l'axe 0x à un\u003e 0 n'est possible que si 0 reçoit des valeurs négatives. Et pour A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sinon d<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Selon le graphique, les parabolas peuvent être identifiés et racines. L'inverse est également vrai. C'est-à-dire que si vous obtenez une image visuelle d'une fonction quadratique n'est pas facile, vous pouvez assimiler le côté droit de l'expression à 0 et résoudre l'équation obtenue. Et connaître les points d'intersection avec l'axe 0x, il est plus facile de construire un horaire.

De l'histoire

Avec l'aide d'équations contenant la variable élevée sur la place, dans les anciens jours non seulement fabriqués des calculs mathématiques et déterminé la zone de figures géométriques. Des calculs similaires de l'antique étaient nécessaires pour les grandes découvertes dans le domaine de la physique et de l'astronomie, ainsi que de compiler des prévisions astrologiques.

Comme les chiffres scientifiques modernes suggèrent, parmi les premières solutions d'équations carrées, les résidents de Babylone ont pris. Cela s'est passé dans quatre siècles avant le début de notre ère. Bien sûr, leurs calculs dans la racine différaient de maintenant adoptés et se sont avérés beaucoup primitifs. Par exemple, les mathématiciens mésopotamiens n'avaient aucune idée de l'existence de nombres négatifs. Les étrangers avaient également d'autres subtilités de ceux qui connaissent un élève de notre temps.

Peut-être même des scientifiques de Babylone, la solution d'équations carrées, une sauge d'Inde Budhoyama était engagée. Cela s'est passé dans environ huit siècles avant l'ère du Christ. Vrai, l'équation du deuxième ordre, les méthodes de résolution de ce qu'il a conduit était la plus simultanée. En plus de lui, de telles questions étaient intéressées par les mathématiciens anciens et chinois. En Europe, les équations carrées ont commencé à résoudre uniquement au début du XIIIe siècle, mais ils ont ensuite été utilisés dans leur travail de tels scientifiques tels que Newton, Descartes et bien d'autres.

J'espère que l'étude de cet article, vous apprendrez à trouver les racines d'une équation carrée complète.

Avec l'aide de discriminant, seules les équations carrées complètes sont résolues, pour résoudre des équations carrées, d'autres méthodes que vous trouvez dans l'article "La décision d'équations carrées incomplètes" sont utilisées.

Quelles équations carrées sont appelées plein? il Équations de la forme ah 2 + b x + c \u003d 0où les coefficients a, b et ne sont pas égaux à zéro. Donc, pour résoudre une équation complète carrée, il est nécessaire de calculer la discriminante D.

D \u003d B 2 - 4As.

Selon le type d'importance discriminant, nous écrirons la réponse.

Si discriminant est un nombre négatif (D< 0),то корней нет.

Si le discriminant est zéro, x \u003d (-b) / 2a. Lorsque le discriminant est un nombre positif (D\u003e 0),

puis x 1 \u003d (-b - √d) / 2a, et x 2 \u003d (-b + √d) / 2a.

Par example. Résoudre l'équation x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Réponse: 2

Résolvez l'équation 2. x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

Réponse: pas de racines.

Résolvez l'équation 2. x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Réponse: - 3.5; une.

Imaginons donc la solution d'équations carrées complètes par le schéma de la Figure1.

Selon ces formules, vous pouvez résoudre n'importe quelle équation carrée complète. Vous avez seulement besoin de surveiller attentivement l'équation a été enregistrée par un polynôme d'un type standard.

mais x 2 + Bx + c, Sinon, vous pouvez faire une erreur. Par exemple, dans l'enregistrement de l'équation x + 3 + 2x 2 \u003d 0, il est résolu à tort que

a \u003d 1, b \u003d 3 et c \u003d 2. Alors

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1, puis l'équation a deux racines. Et c'est incorrect. (Voir la solution de l'exemple 2 ci-dessus).

Par conséquent, si l'équation n'est pas écrite à ne pas être écrite à un polynôme d'une espèce standard, une équation carrée complète doit être enregistrée par un polynôme d'une espèce standard (en premier lieu doit être mal-àchée avec le plus grand indicateur, c'est-à-dire mais x 2 Puis avec plus petit – bx.et alors Dick libre de.

Lors de la résolution d'une équation carrée donnée et d'une équation carrée avec un coefficient même, avec le second terme, d'autres formules peuvent être utilisées. Faisons connaissance avec ces formules. Si dans une équation complète carrée au second terme, le coefficient sera même (B \u003d 2K), puis l'équation selon les formules de la figure 2 peut être résolue.

L'équation complète est appelée ce qui précède, si le coefficient est x 2 égal à un et l'équation prendra la forme x 2 + px + q \u003d 0. Une telle équation peut être donnée à résoudre ou est obtenue en divisant tous les coefficients à l'équation de coefficient. maisdebout pour x 2 .

La figure 3 montre le schéma de résolution de la case ci-dessus
équations. Considérez sur l'exemple de l'application des formules considérées dans cet article.

Exemple. Résoudre l'équation

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Diminons cette équation à l'aide des formules présentées dans le schéma de la figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3

On peut voir que le coefficient de X dans cette équation est un nombre paire, c'est-à-dire B \u003d 6 ou B \u003d 2K, d'où K \u003d 3. Ensuite, nous essayons de résoudre l'équation selon les formules présentées dans le diagramme D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (--1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (--1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3. Remarqué que tous les coefficients de cette équation carrée sont divisés en 3 et en effectuant une division, nous obtenons l'équation carrée réduite x 2 + 2x - 2 \u003d 0 en résolvant cette équation à l'aide de formules pour le carré spécifié
Équations Figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Réponse: -1 - √3; -1 + √3.

Comme nous le voyons, lors de la résolution de cette équation sur diverses formules, nous avons reçu la même réponse. Par conséquent, il est bien conscient des formules présentées dans le schéma de la figure 1, vous pouvez toujours résoudre toute équation carrée complète.

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