La racine carrée d'un nombre x est le nombre a, qui, multiplié par lui-même, donne le nombre x : a * a = a^2 = x, √x = a. Comme pour tout nombre, vous pouvez effectuer les opérations arithmétiques d'addition et de soustraction sur les racines carrées.

Instruction

• Tout d'abord, lors de l'ajout racines carrées essayer d'extraire ces racines. Cela sera possible si les nombres sous le signe racine sont des carrés parfaits. Par exemple, donnons l'expression √4 + √9. Le premier chiffre 4 est le carré du chiffre 2. Le deuxième chiffre 9 est le carré du chiffre 3. Il s'avère donc que : √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• S'il n'y a pas de carrés pleins sous le signe racine, essayez de retirer le multiplicateur du nombre sous le signe racine. Par exemple, disons que √24 + √54 est donné. Factorisez les nombres : 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Le nombre 24 a un facteur de 4, qui peut être retiré sous le signe racine carrée. Le nombre 54 a un facteur 9. Ainsi, il s'avère que : √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . À cet exempleà la suite de la suppression du facteur du signe racine, il s'est avéré simplifier l'expression donnée.
• Soit la somme de deux racines carrées le dénominateur d'une fraction, par exemple A / (√a + √b). Et laissez votre tâche consister à "se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur". Ensuite, vous pouvez utiliser la méthode suivante. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √a - √b. Ainsi, au dénominateur, la formule de multiplication abrégée sera obtenue : (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. Par analogie, si la différence des racines est donnée au dénominateur : √a - √b, alors le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés par l'expression √a + √b. Par exemple, étant donné une fraction 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Considérons un exemple plus complexe de suppression de l'irrationalité dans le dénominateur. Soit la fraction 12 / (√2 + √3 + √5) donnée. Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression √2 + √3 - √5 :
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Et enfin, si vous n'avez besoin que d'une valeur approximative, vous pouvez calculer les racines carrées sur la calculatrice. Calculez les valeurs séparément pour chaque nombre et notez-les avec la précision requise (par exemple, deux décimales). Et puis effectuez les opérations arithmétiques requises, comme avec les nombres ordinaires. Par exemple, supposons que vous souhaitiez connaître la valeur approximative de l'expression √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.

Le sujet sur les racines carrées est obligatoire dans programme scolaire cours de mathématiques. Vous ne pouvez pas vous en passer lorsque vous résolvez des équations quadratiques. Et plus tard, il devient nécessaire non seulement d'extraire les racines, mais également d'effectuer d'autres actions avec elles. Parmi eux sont assez complexes : exponentiation, multiplication et division. Mais il en existe aussi d'assez simples : la soustraction et l'addition de racines. Soit dit en passant, ils ne le semblent qu'à première vue. Les exécuter sans erreur n'est pas toujours facile pour quelqu'un qui commence tout juste à s'y familiariser.

Qu'est-ce qu'une racine mathématique ?

Cette action est apparue par opposition à l'exponentiation. Les mathématiques supposent la présence de deux opérations opposées. Il y a soustraction pour addition. La multiplication s'oppose à la division. L'action inverse du degré est l'extraction de la racine correspondante.

Si l'exposant est 2, alors la racine sera carrée. C'est le plus courant en mathématiques scolaires. Il n'a même pas d'indication qu'il est carré, c'est-à-dire qu'on ne lui attribue pas le numéro 2. La notation mathématique de cet opérateur (radical) est indiquée sur la figure.

De l'action décrite, sa définition suit en douceur. Pour extraire la racine carrée d'un certain nombre, vous devez savoir ce que l'expression radicale donnera lorsqu'elle sera multipliée par elle-même. Ce nombre sera la racine carrée. Si nous écrivons cela mathématiquement, nous obtenons ce qui suit : x * x \u003d x 2 \u003d y, ce qui signifie √y \u003d x.

Quelles actions peut-on entreprendre avec eux ?

À la base, une racine est une puissance fractionnaire qui a une unité dans le numérateur. Et le dénominateur peut être n'importe quoi. Par exemple, la racine carrée vaut deux. Par conséquent, toutes les actions pouvant être effectuées avec des degrés seront également valables pour les racines.

Et ils ont les mêmes exigences pour ces actions. Si la multiplication, la division et l'élévation à une puissance ne rencontrent pas de difficultés pour les élèves, l'addition des racines, ainsi que leur soustraction, prêtent parfois à confusion. Et tout cela parce que vous souhaitez effectuer ces opérations sans regarder le signe de la racine. Et c'est là que les erreurs commencent.

Quelles sont les règles d'addition et de soustraction ?

Vous devez d'abord vous souvenir de deux "non" catégoriques :

• il est impossible d'effectuer des additions et des soustractions de racines, comme pour les nombres premiers, c'est-à-dire qu'il est impossible d'écrire les expressions de racine de la somme sous un signe et d'effectuer des opérations mathématiques avec elles ;
• vous ne pouvez pas ajouter et soustraire des racines avec des exposants différents, tels que carré et cubique.

Un exemple illustratif de la première interdiction : √6 + √10 ≠ √16 mais √(6 + 10) = √16.

Dans le second cas, mieux vaut se limiter à simplifier les racines elles-mêmes. Et dans la réponse laissez leur somme.

Passons maintenant aux règles

1. Trouvez et groupez des racines similaires. Autrement dit, ceux qui ont non seulement les mêmes nombres sous le radical, mais eux-mêmes ont un indicateur.
2. Effectuez l'addition des racines combinées en un groupe par la première action. Il est facile à mettre en œuvre, car il suffit d'ajouter les valeurs qui précèdent les radicaux.
3. Extrayez les racines des termes dans lesquels l'expression radicale forme un carré entier. Autrement dit, ne rien laisser sous le signe du radical.
4. Simplifiez les expressions racine. Pour ce faire, vous devez les décomposer en facteurs premiers et voyez s'ils donnent le carré d'un certain nombre. Il est clair que cela est vrai si nous parlons sur la racine carrée. Lorsque l'exposant est trois ou quatre, alors les facteurs premiers doivent donner le cube ou la quatrième puissance du nombre.
5. Sortez de sous le signe du radical un facteur qui donne une puissance entière.
6. Voir s'il réapparaît termes similaires. Si oui, recommencez la deuxième étape.

Dans une situation où le problème ne nécessite pas la valeur exacte de la racine, celle-ci peut être calculée sur une calculatrice. Sans fin décimal, qui sera mis en évidence dans sa fenêtre, arrondi. Le plus souvent, cela se fait jusqu'aux centièmes. Et puis effectuez toutes les opérations pour les fractions décimales.

Ce sont toutes les informations sur la façon dont l'ajout des racines est effectué. Les exemples ci-dessous illustreront ce qui précède.

Première tâche

Calculez la valeur des expressions :

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18 ;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300 ;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Si vous suivez l'algorithme ci-dessus, vous pouvez voir qu'il n'y a rien pour les deux premières actions dans cet exemple. Mais vous pouvez simplifier certaines expressions radicales.

Par exemple, divisez 32 en deux facteurs 2 et 16 ; 18 sera égal au produit de 9 et 2 ; 128 est 2 par 64. Compte tenu de cela, l'expression s'écrira comme ceci :

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Maintenant, vous devez retirer du signe radical les facteurs qui donnent le carré du nombre. C'est 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . L'expression prendra la forme :

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Il faut simplifier un peu l'écriture. Pour cela, les coefficients sont multipliés avant les signes de la racine :

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Dans cette expression, tous les termes se sont avérés similaires. Par conséquent, il suffit de les plier. La réponse sera : 5√2.

b) Comme dans l'exemple précédent, l'addition des racines commence par leur simplification. Les expressions racine 75, 147, 48 et 300 seront représentées par les paires suivantes : 5 et 25, 3 et 49, 3 et 16, 3 et 100. Chacune d'elles a un nombre qui peut être extrait sous le signe racine :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Après simplification, la réponse est : 5√5 - 5√3. Il peut être laissé sous cette forme, mais il est préférable de retirer le facteur commun 5 de la parenthèse : 5 (√5 - √3).

c) Et encore factorisation : 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Après factorisation sous le signe racine, nous avons :

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Après réduction des termes similaires, on obtient le résultat : 7√11.

Exemple fractionnaire

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Les nombres suivants devront être factorisés : 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Comme pour ceux déjà considérés, vous devez retirer les facteurs sous la racine signe et simplifie l'expression :

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Cette expression nécessite de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Pour cela, multipliez le second terme par √2/√2 :

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pour terminer l'action, vous devez sélectionner la partie entière des facteurs devant les racines. Le premier vaut 1, le second vaut 2.

Addition et soustraction de racines- l'une des "pierres d'achoppement" les plus courantes pour ceux qui suivent un cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples pour la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline "mathématiques".

Afin de maîtriser la solution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses - comprendre les règles et acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant apportera cette compétence à l'automatisme, puis il n'aura rien à craindre à l'examen. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques avec addition, car les additionner est un peu plus facile que de les soustraire.

La façon la plus simple d'expliquer cela est avec l'exemple d'une racine carrée. En mathématiques, il existe un terme bien établi "carré". "Carré" signifie multiplier un nombre spécifique par lui-même une fois.. Par exemple, si vous mettez au carré 2, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Ainsi, la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, un lycéen doit connaître par cœur la table de multiplication. Pour ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau, il faut utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est donné sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers scolaires en mathématiques.

Les racines sont des types suivants :

• carré;
• cubique (ou le soi-disant troisième degré);
• quatrième degré;
• cinquième degré.

Règles d'ajout

Afin de résoudre avec succès exemple typique, il faut garder à l'esprit que tous les nombres racines peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour pouvoir les assembler, il faut les ramener à un seul patron. Si ce n'est pas possible, alors le problème n'a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent aussi souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.

L'addition n'est pas autorisée dans les affectations lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Ceci peut être illustré par un exemple illustratif :

• l'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et de 9 ;
• un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement: "racine de 4 + racine de 9 \u003d racine de 13".
• il est très facile de prouver que cette façon de résoudre est fausse. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement.
• à l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu'il est d'environ 3,6. Il reste maintenant à vérifier la solution ;
• racine de 4=2, et de 9=3 ;
• La somme de deux et trois est cinq. Ainsi, cet algorithme de résolution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré mais différent expressions numériques, il est sorti des parenthèses, et entre parenthèses est entré la somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Pour bien décider la tâche la plus simple, nécessaire:

1. Déterminez exactement ce qui doit être ajouté.
2. Découvrez s'il est possible d'additionner des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
3. S'ils ne peuvent pas être ajoutés, vous devez les transformer de manière à pouvoir les ajouter.
4. Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, il est nécessaire d'effectuer l'addition et d'écrire la réponse finale. L'addition peut être faite mentalement ou avec une calculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Afin de résoudre correctement un exemple d'addition, il est nécessaire, tout d'abord, de réfléchir à la manière dont il peut être simplifié. Pour ce faire, vous devez avoir une connaissance de base de ce qu'est la similarité.

La possibilité d'identifier des exemples similaires aide à résoudre rapidement le même type d'exemples d'addition, en les ramenant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'ajout typique, vous devez :

1. Trouvez-en des similaires et attribuez-les à un groupe (ou plusieurs groupes).
2. Réécrivez l'exemple existant de manière à ce que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c'est ce qu'on appelle le "groupement").
3. Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de manière à ce que les expressions similaires (qui ont le même indicateur et la même racine) se suivent également.

Après cela, un exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, et également savoir ce qu'est une racine et comment cela se produit.

Parfois, ces tâches semblent très compliquées à première vue, mais elles sont généralement facilement résolues en regroupant des tâches similaires. La chose la plus importante est la pratique, puis l'élève commencera à "cliquer sur des tâches comme des noix". L'addition de racine est l'une des branches les plus importantes des mathématiques, les enseignants doivent donc allouer suffisamment de temps pour l'étudier.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations aux racines carrées.

Fait 1.
\(\bullet\) N'en prenez pas un nombre négatif\(a\) (c'est-à-dire \(a\geqslant 0\) ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre \(a\) un tel nombre non négatif \(b\) est appelé, en le mettant au carré nous obtenons le nombre \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] Il découle de la définition que \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ces restrictions sont condition importante l'existence d'une racine carrée et il faut s'en souvenir !
Rappelez-vous que tout nombre au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, \(100^2=10000\geqslant 0\) et \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Qu'est-ce que \(\sqrt(25)\) ? Nous savons que \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Puisque par définition on doit trouver un nombre non négatif, \(-5\) ne convient pas, donc \(\sqrt(25)=5\) (puisque \(25=5^2\) ).
Trouver la valeur \(\sqrt a\) s'appelle prendre la racine carrée du nombre \(a\) , et le nombre \(a\) s'appelle l'expression racine.
\(\bullet\) Basé sur la définition, les expressions \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés nombres naturels de \(1\) à \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(tableau)\]

Fait 3.
Que peut-on faire avec des racines carrées ?
\(\balle\) La somme ou la différence des racines carrées N'EST PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous avez besoin de calculer, par exemple, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , alors vous devez d'abord trouver les valeurs \(\sqrt(25)\) et \(\sqrt (49)\ ) puis additionnez-les. Ainsi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a\) ou \(\sqrt b\) ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de \(\sqrt a+\sqrt b\), alors une telle expression n'est pas davantage convertie et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) nous pouvons trouver \(\sqrt(49)\) - c'est \(7\) , mais \(\sqrt 2\) ne peut pas être converti de quelque manière que ce soit, c'est pourquoi \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). De plus, cette expression, malheureusement, ne peut en aucun cas être simplifiée.\(\bullet\) Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, c'est-à-dire \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux parties des égalités aient un sens)
Exemple: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) En utilisant ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Prenons un exemple. Trouvez \(\sqrt(44100)\) . Puisque \(44100:100=441\) , alors \(44100=100\cdot 441\) . Selon le critère de divisibilité, le nombre \(441\) est divisible par \(9\) (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc, \(441:9=49\) , c'est-à-dire \(441=9\ cdot 49\) .
Ainsi, nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Prenons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Montrons comment saisir des nombres sous le signe de la racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression \(5\sqrt2\) (abréviation de l'expression \(5\cdot \sqrt2\) ). Puisque \(5=\sqrt(25)\) , alors \ Notez également que, par exemple,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Pourquoi donc? Expliquons avec l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas en quelque sorte convertir le nombre \(\sqrt2\) . Imaginez que \(\sqrt2\) est un certain nombre \(a\) . En conséquence, l'expression \(\sqrt2+3\sqrt2\) n'est rien d'autre que \(a+3a\) (un nombre \(a\) plus trois autres des mêmes nombres \(a\) ). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres \(a\) , c'est-à-dire \(4\sqrt2\) .

Fait 4.
\(\bullet\) On dit souvent "ne peut pas extraire la racine" lorsqu'il n'est pas possible de se débarrasser du signe \(\sqrt () \ \) de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un certain nombre. Par exemple, vous pouvez rooter le nombre \(16\) car \(16=4^2\) , donc \(\sqrt(16)=4\) . Mais extraire la racine du nombre \(3\) , c'est-à-dire trouver \(\sqrt3\) , c'est impossible, car il n'y a pas de nombre tel que le carré donne \(3\) .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les nombres \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. sont irrationnels.
Aussi irrationnels sont les nombres \(\pi\) (le nombre "pi", approximativement égal à \(3,14\) ), \(e\) (ce nombre est appelé le nombre d'Euler, approximativement égal à \(2 ,7\) ) etc.
\(\bullet\) Veuillez noter que tout nombre sera rationnel ou irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble de nombres réels (réels). Cet ensemble est désigné par la lettre \(\mathbb(R)\) .
Cela signifie que tous les nombres que nous connaissons actuellement sont appelés nombres réels.

Fait 5.
\(\bullet\) Le module d'un nombre réel \(a\) est un nombre non négatif \(|a|\) , égale à la distance du point \(a\) à \(0\) sur la droite réelle. Par exemple, \(|3|\) et \(|-3|\) sont égaux à 3, puisque les distances des points \(3\) et \(-3\) à \(0\) sont les identique et égal à \(3 \) .
\(\bullet\) Si \(a\) est un nombre non négatif, alors \(|a|=a\) .
Exemple : \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Si \(a\) est un nombre négatif, alors \(|a|=-a\) .
Exemple : \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module "mange" le moins, et les nombres positifs, ainsi que le nombre \(0\) , le module reste inchangé.
MAIS cette règle ne s'applique qu'aux nombres. Si vous avez un \(x\) inconnu (ou un autre inconnu) sous le signe du module, par exemple, \(|x|\) , dont nous ne savons pas s'il est positif, égal à zéro ou négatif, alors se débarrasser du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste donc : \(|x|\) . \(\bullet\) Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] L'erreur suivante est souvent commise : ils disent que \(\sqrt(a^2)\) et \((\sqrt a)^2\) sont la même chose. Ceci n'est vrai que lorsque \(a\) est un nombre positif ou zéro. Mais si \(a\) est un nombre négatif, alors ce n'est pas vrai. Il suffit de considérer un tel exemple. Prenons le nombre \(-1\) au lieu de \(a\). Alors \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , mais l'expression \((\sqrt (-1))^2\) n'existe pas du tout (car c'est impossible sous le signe racine de mettre des nombres négatifs !).
Par conséquent, nous attirons votre attention sur le fait que \(\sqrt(a^2)\) n'est pas égal à \((\sqrt a)^2\) ! Exemple 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), car \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Puisque \(\sqrt(a^2)=|a|\) , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression \(2n\) désigne un nombre pair)
Autrement dit, lors de l'extraction de la racine d'un nombre qui est dans un certain degré, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (notez que si le module n'est pas défini, alors il s'avère que la racine du nombre est égale à \(-25 \) ; mais rappelons-nous que, par définition de la racine, cela ne peut pas être : lors de l'extraction de la racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
\(\bullet\) Vrai pour les racines carrées : si \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aExemple:
1) comparer \(\sqrt(50)\) et \(6\sqrt2\) . Tout d'abord, nous transformons la deuxième expression en \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Ainsi, puisque \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Entre quels entiers est \(\sqrt(50)\) ?
Puisque \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) et \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Comparez \(\sqrt 2-1\) et \(0,5\) . Supposons \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un aux deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carré des deux parties))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était erronée et \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Notez que l'ajout d'un certain nombre aux deux côtés de l'inégalité n'affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux parties de l'inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Les deux côtés d'une équation/inégalité peuvent être élevés au carré UNIQUEMENT SI les deux côtés sont non négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez élever au carré les deux côtés, dans l'inégalité \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Notez que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres ! \(\bullet\) Afin d'extraire la racine (si elle est extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans le tableau des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles "centaines" elle se trouve, puis entre quelles "dizaines", puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenez \(\sqrt(28224)\) . Nous savons que \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) et ainsi de suite. Notez que \(28224\) est compris entre \(10\,000\) et \(40\,000\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(100\) et \(200\) .
Déterminons maintenant entre quelles "dizaines" se situe notre nombre (c'est-à-dire, par exemple, entre \(120\) et \(130\) ). Nous savons également par la table des carrés que \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etc., puis \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Nous voyons donc que \(28224\) est compris entre \(160^2\) et \(170^2\) . Par conséquent, le nombre \(\sqrt(28224)\) est compris entre \(160\) et \(170\) .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous ce que les nombres à un chiffre lors de la mise au carré donnent à la fin \ (4 \) ? Ce sont \(2^2\) et \(8^2\) . Par conséquent, \(\sqrt(28224)\) se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvez \(162^2\) et \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
D'où \(\sqrt(28224)=168\) . Voila !

Afin de résoudre correctement l'examen en mathématiques, il est tout d'abord nécessaire d'étudier le matériel théorique, qui introduit de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée facilement et de manière compréhensible pour les étudiants de tout niveau de formation est, en fait, une tâche plutôt difficile. Les manuels scolaires ne sont pas toujours à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen de mathématiques peut être difficile même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie en mathématiques, pas seulement pour ceux qui passent l'examen ?

1. Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile pour quiconque souhaite obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde. Tout dans la nature est ordonné et a une logique claire. C'est précisément ce qui se reflète dans la science, à travers laquelle il est possible de comprendre le monde.
2. Parce que ça développe l'intellect. En étudiant des documents de référence pour l'examen de mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées correctement et clairement. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser, de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de la systématisation et de la présentation du matériel pédagogique.

Teneur:

L'addition et la soustraction de racines carrées ne sont possibles que si elles ont la même expression de racine, c'est-à-dire que vous pouvez ajouter ou soustraire 2√3 et 4√3, mais pas 2√3 et 2√5. Vous pouvez simplifier l'expression racine pour les convertir en racines avec la même expression radicale (puis les ajouter ou les soustraire).

Pas

Partie 1 Comprendre les bases

1. 1 (expression sous le signe de la racine). Pour ce faire, divisez le nombre racine en deux facteurs, dont l'un est un nombre carré (un nombre à partir duquel une racine entière peut être extraite, par exemple 25 ou 9). Après cela, prenez la racine du nombre carré et notez la valeur trouvée devant le signe racine (le deuxième facteur restera sous le signe racine). Par exemple, 6√50 - 2√8 + 5√12. Les nombres devant le signe racine sont les facteurs des racines correspondantes, et les nombres sous le signe racine sont les nombres radicaux (expressions). Voici comment résoudre ce problème :
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ici, vous divisez 50 en facteurs 25 et 2 ; puis de 25 on extrait la racine égale à 5, et on enlève 5 sous la racine. Multipliez ensuite 5 par 6 (facteur à la racine) et obtenez 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Ici, vous divisez 8 en facteurs 4 et 2 ; puis de 4 vous extrayez la racine égale à 2, et sortez 2 sous la racine. Ensuite, vous multipliez 2 par 2 (facteur à la racine) et vous obtenez 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ici, vous divisez 12 en facteurs 4 et 3 ; puis de 4 vous extrayez la racine égale à 2, et sortez 2 sous la racine. Ensuite, vous multipliez 2 par 5 (facteur à la racine) et vous obtenez 10√3.
2. 2 Soulignez les racines dont les expressions de racine sont les mêmes. Dans notre exemple, l'expression simplifiée est : 30√2 - 4√2 + 10√3. Dans celui-ci, vous devez souligner les premier et deuxième termes ( 30√2 et 4√2 ), car ils ont le même numéro de racine 2. Seules ces racines peuvent être additionnées et soustraites.
3. 3 Si on vous donne une expression avec un grand nombre de termes, dont beaucoup ont les mêmes expressions radicales, utilisez des traits de soulignement simples, doubles, triples pour indiquer ces termes afin de faciliter la résolution de cette expression.
4. 4 Aux racines dont les expressions radicales sont identiques, additionnez ou soustrayez les facteurs devant le signe racine et laissez l'expression radicale identique (n'ajoutez ni ne soustrayez de nombres radicaux !). L'idée est de montrer combien de racines avec une certaine expression radicale sont contenues dans cette expression.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Partie 2 Pratiquer avec des exemples

1. 1 Exemple 1: √(45) + 4√5.
   • Simplifiez √(45). Facteur 45 : √(45) = √(9 x 5).
   • Déplacez 3 sous la racine (√9 = 3) : √(45) = 3√5.
   • Additionnez maintenant les facteurs aux racines : 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Exemple 2 : 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Simplifiez 6√(40). Facteur 40 : 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Déplacez 2 sous la racine (√4 = 2) : 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Multipliez les facteurs avant la racine et obtenez 12√10.
   • Maintenant, l'expression peut être écrite comme 12√10 - 3√(10) + √5. Puisque les deux premiers termes ont les mêmes nombres radicaux, vous pouvez soustraire le deuxième terme du premier et laisser le premier inchangé.
   • Vous obtiendrez : (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Exemple 3 9√5 -2√3 - 4√5. Ici, aucune des expressions radicales ne peut être factorisée, donc simplifier cette expression ne fonctionnera pas. Vous pouvez soustraire le troisième terme du premier (puisqu'ils ont le même nombre racine) et laisser le deuxième terme inchangé. Vous obtiendrez : (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Exemple 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Maintenant, vous pouvez simplement additionner 3 + 2 pour obtenir 5.
   • Réponse finale : 5 - 3√2.
5. 5 Exemple 5 Résoudre une expression contenant des racines et des fractions. Vous ne pouvez additionner et calculer que des fractions qui ont un (même) dénominateur commun. L'expression (√2)/4 + (√2)/2 est donnée.
   • Trouvez le plus petit dénominateur commun de ces fractions. C'est un nombre qui est divisible par chaque dénominateur. Dans notre exemple, le nombre 4 est divisible par 4 et 2.
   • Multipliez maintenant la seconde fraction par 2/2 (pour la ramener à un dénominateur commun ; la première fraction y a déjà été réduite) : (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé : (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Avant d'ajouter ou de soustraire des racines, assurez-vous de simplifier (si possible) les expressions radicales.

Mises en garde

• N'ajoutez ou ne soustrayez jamais des racines avec des expressions de racine différentes.
• Ne jamais additionner ou soustraire un entier et une racine, par exemple, 3 + (2x) 1/2 .
  • Remarque : "x" à la seconde puissance et la racine carrée de "x" sont la même chose (c'est-à-dire x 1/2 = √x).