В тази статия ще разгледаме решаването на непълно квадратни уравнения.

Но първо, нека повторим кои уравнения се наричат \u200b\u200bквадратни. Извиква се уравнение на формата ax 2 + bx + c \u003d 0, където x е променлива, а коефициентите a, b и c са някои числа, а a ≠ 0, се нарича квадрат... Както виждаме, коефициентът при x 2 не е нула и следователно коефициентите при x или свободният член могат да бъдат нула, в този случай получаваме непълно квадратно уравнение.

Непълните квадратни уравнения са от три вида:

1) Ако b \u003d 0, c ≠ 0, тогава ax 2 + c \u003d 0;

2) Ако b ≠ 0, c \u003d 0, тогава ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ако b \u003d 0, c \u003d 0, тогава ax 2 \u003d 0.

• Нека да разберем как са решени уравнения на формата ax 2 + c \u003d 0.

За да решим уравнението, прехвърляме свободния член с в дясната страна на уравнението, което получаваме

брадва 2 \u003d ‒c. Тъй като a ≠ 0, тогава разделяме двете страни на уравнението на a, тогава x 2 \u003d ‒c / a.

Ако ‒c / a\u003e 0, тогава уравнението има два корена

x \u003d ± √ (–c / a).

Ако ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Нека се опитаме да го разберем с примери за това как да решаваме такива уравнения.

Пример 1... Решете уравнението 2x 2 - 32 \u003d 0.

Отговор: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Пример 2... Решете уравнението 2x 2 + 8 \u003d 0.

Отговор: уравнението няма решения.

• Нека да разберем как решават те уравнения на формата ax 2 + bx \u003d 0.

За да решим уравнението ax 2 + bx \u003d 0, ние го факторизираме, тоест изваждаме x извън скобите, получаваме x (ax + b) \u003d 0. Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равно на нула. Тогава или x \u003d 0, или ax + b \u003d 0. Решавайки уравнението ax + b \u003d 0, получаваме ax \u003d - b, откъдето x \u003d - b / a. Уравнение на формата ax 2 + bx \u003d 0, винаги има два корена x 1 \u003d 0 и x 2 \u003d - b / a. Вижте как изглежда решението на уравнения от този тип на диаграмата.

Нека консолидираме знанията си с конкретен пример.

Пример 3... Решете 3x уравнението 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 или 3x - 12 \u003d 0

Отговор: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Уравнения от третия вид ax 2 \u003d 0 се решават много просто.

Ако ax 2 \u003d 0, тогава x 2 \u003d 0. Уравнението има два еднакви корена x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

За по-голяма яснота разгледайте диаграмата.

Нека се уверим, когато решаваме пример 4, че уравнения от този тип могат да бъдат решени много просто.

Пример 4. Решете 7x уравнение 2 \u003d 0.

Отговор: x 1, 2 \u003d 0.

Не винаги е ясно веднага какъв вид непълно квадратно уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.

Пример 5. Решете уравнението

Умножаваме двете страни на уравнението по общ знаменател, т.е. по 30

Намалете

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Нека разширим скобите

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Ето подобни

Преместете 99 от лявата страна на уравнението надясно, обърнете знака

Отговор: няма корени.

Ние анализирахме как се решават непълни квадратни уравнения. Надявам се сега да нямате затруднения с подобни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.

Ако имате въпроси по тази тема, запишете се за моите уроци, заедно ще решим възникналите проблеми.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Продължавайки темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко в детайли: същността и писането на квадратното уравнение, ще зададем свързани термини, ще анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, ще се запознаем с формулата на корените и дискриминанта, ще установим връзки между корени и коефициенти и разбира се ще дадем визуално решение на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Квадратно уравнение Е уравнение, написано като a x 2 + b x + c \u003d 0където х - променлива, a, b и ° С - някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат \u200b\u200bоще уравнения от втора степен, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример за илюстрация дадено определение: 9 x 2 + 16 x + 2 \u003d 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 и т.н. Има квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° С Дали са коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, докато коефициентът а се нарича първият, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициентът при х, и ° С наречен безплатен член.

Например в квадратно уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 най-високият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 а свободният срок е − 11 ... Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите би / или c са отрицателни, тогава се използва кратко означение на формата 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, но не 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите а и / или б са равни 1 или − 1 , тогава те не могат да вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записа на посочените числови коефициенти. Например в квадратно уравнение y 2 - y + 7 \u003d 0 най-високият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Намалени и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Намалено квадратно уравнение Е квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение не се намалява.

Нека да дадем примери: квадратните уравнения x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 са намалени, във всяко от които водещият коефициент е 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да се трансформира в намалено уравнение чрез разделяне на двете части на първия коефициент (еквивалентно преобразуване). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също нямат корени изобщо.

Съображение конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме изпълнението на прехода от нередуцирано квадратно уравнение към намалено.

Пример 1

Уравнението е 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Необходимо е първоначалното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Според горната схема разделяме двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3и това е същото като: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Следователно: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. По този начин се получава уравнение, което е еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него изяснихме това a ≠ 0... Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c \u003d 0 беше точно квадратна, тъй като за a \u003d 0 той по същество се преобразува в линейно уравнение b x + c \u003d 0.

В случая, когато коефициентите б и ° Сравен на нула (което е възможно както поотделно, така и съвместно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнение Е такова квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите би ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение - квадратно уравнение, при което всички числови коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо типовете квадратни уравнения са дадени точно с такива имена.

При b \u003d 0 квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c \u003d 0което е същото като a x 2 + c \u003d 0... Кога c \u003d 0 квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 \u003d 0което е еквивалентно на a x 2 + b x \u003d 0... Кога b \u003d 0 и c \u003d 0 уравнението става a x 2 \u003d 0... Получените от нас уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че лявите им страни не съдържат нито член с променлива x, нито свободен член, нито и двете наведнъж. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 и - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Горната дефиниция дава възможност да се разграничат следните типове непълни квадратни уравнения:

• a x 2 \u003d 0, такова уравнение съответства на коефициентите b \u003d 0 и с \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 при b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 при c \u003d 0.

Нека разгледаме последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както вече беше посочено по-горе, такова уравнение съответства на коефициентите б и ° Сравен на нула. Уравнението a x 2 \u003d 0 може да се трансформира в еквивалентно уравнение x 2 \u003d 0, което получаваме чрез разделяне на двете страни на първоначалното уравнение на числото ане е равно на нула. Очевиден факт е, че коренът на уравнението x 2 \u003d 0 е нула, защото 0 2 = 0 ... Това уравнение няма други корени, което може да се обясни със свойствата на степента: за произволно число p,не е равно на нула, неравенството е вярно p 2\u003e 0, от което следва, че за p ≠ 0 равенство р 2 \u003d 0никога няма да бъде постигнато.

Определение 5

По този начин, за непълно квадратно уравнение a x 2 \u003d 0, има уникален корен x \u003d 0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение - 3 x 2 \u003d 0... То е еквивалентно на уравнението x 2 \u003d 0, единственият му корен е x \u003d 0, тогава първоначалното уравнение също има един корен - нула.

Накратко, решението се формализира, както следва:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващата стъпка е решението на непълни квадратни уравнения, където b \u003d 0, c ≠ 0, т.е. уравнения на вида a x 2 + c \u003d 0... Ние преобразуваме това уравнение, като прехвърляме члена от едната страна на уравнението в друга, променяме знака в противоположната и разделяме двете страни на уравнението с число, което не е равно на нула:

• пренасям ° С вдясно, което дава уравнението a x 2 \u003d - c;
• разделяме двете страни на уравнението на а, получаваме в резултат x \u003d - c a.

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на първоначалното и този факт дава възможност да се направи заключение относно корените на уравнението. От какви са стойностите а и ° Сстойността на израза - c a зависи: той може да има знак минус (например, ако a \u003d 1 и c \u003d 2, тогава - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) или знак плюс (например, ако a \u003d - 2 и c \u003d 6, тогава - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); не е нула, защото c ≠ 0... Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случая, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стр равенството p 2 \u003d - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a\u003e 0: запомнете квадратния корен и става очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a е и коренът на уравнението x 2 \u003d - c a: наистина, - - c a 2 \u003d - c a.

Уравнението няма да има други корени. Можем да докажем това, използвайки противоречив метод. Като начало определяме обозначението за корените, намерени по-горе, като x 1 и - x 1... Нека приемем, че уравнението x 2 \u003d - c a също има корен x 2което е различно от корените x 1 и - x 1... Знаем, че чрез заместване в уравнението вместо х неговите корени, ние трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За x 1 и - x 1 пишем: x 1 2 \u003d - c a, и за x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числените равенства изваждаме едно истинско равенство от другия член по член, което ще ни даде: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Използваме свойствата на действията върху числата, за да пренапишем последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0което е същото x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d - x 1... Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението x 2 се различава от x 1 и - x 1... И така, доказахме, че уравнението няма други корени, с изключение на x \u003d - c a и x \u003d - - c a.

Нека обобщим всички разсъждения по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c \u003d 0 е еквивалентно на уравнението x 2 \u003d - c a, което:

• няма да има корени за - c a< 0 ;
• ще има два корена x \u003d - c a и x \u003d - - c a за - c a\u003e 0.

Нека дадем примери за решаване на уравненията a x 2 + c \u003d 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 \u003d 0.Необходимо е да се намери решение за него.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението ще приеме формата 9 х 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 \u003d - 7 9. От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 x 2 + 7 \u003d 0 няма да има корени.

Отговор: уравнението 9 x 2 + 7 \u003d 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението - x 2 + 36 \u003d 0.

Решение

Преместете 36 вдясно: - x 2 \u003d - 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме x 2 \u003d 36... От дясната страна - положително число, от тук можем да заключим, че x \u003d 36 или x \u003d - 36.
Нека извлечем корена и запишем крайния резултат: непълно квадратно уравнение - x 2 + 36 \u003d 0 има два корена x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Отговор: x \u003d 6 или x \u003d - 6.

Решение на уравнението a x 2 + b x \u003d 0

Нека анализираме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c \u003d 0... За да се намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x \u003d 0, ще използваме метода на факторизиране. Факторираме полинома от лявата страна на уравнението, като изваждаме общия коефициент извън скобите х... Тази стъпка ще направи възможно преобразуването на първоначалното непълно квадратно уравнение в неговия еквивалент x (a x + b) \u003d 0... И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набор от уравнения x \u003d 0 и a x + b \u003d 0... Уравнението a x + b \u003d 0 линеен и неговият корен е: x \u003d - b a.

Определение 7

По този начин, непълното квадратно уравнение a x 2 + b x \u003d 0 ще има два корена x \u003d 0 и x \u003d - b a.

Нека поправим материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решение на уравнението 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Решение

Вадя х скоби и вземете уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Това уравнение е еквивалентно на уравненията x \u003d 0 и 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Накратко пишем решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 или x \u003d 3 3 7

Отговор: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Дискриминант, формулата за корените на квадратно уравнение

За да се намери решение на квадратни уравнения, има коренна формула:

Определение 8

x \u003d - b ± D 2 a, където D \u003d b 2 - 4 a c - т. нар. дискриминант на квадратното уравнение.

Обозначението x \u003d - b ± D 2 · a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Не е излишно да се разбере как е получена посочената формула и как да се прилага.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека се изправим пред задачата за решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0... Нека извършим редица еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на числото а, ненулево, получаваме приведеното квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• сега е възможно да прехвърлим последните два члена в дясната страна, като сменим знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• накрая преобразуваме израза, написан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, което е еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0.

Ние анализирахме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решение на непълни квадратни уравнения). Вече полученият опит дава възможност да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• при b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 уравнението има формата x + b 2 a 2 \u003d 0, тогава x + b 2 a \u003d 0.

Следователно, единственият корен x \u003d - b 2 · a е очевиден;

• за b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 ще бъде вярно: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 или x \u003d b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, което е същото като x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 ac 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корени от уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (а оттам и първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 a c 4 · 2, написано от дясната страна. И знакът на този израз се задава от знака на числителя, (знаменател 4 а 2 винаги ще бъде положително), тоест със знака на израза b 2 - 4 a c... Този израз b 2 - 4 a c е дадено името - дискриминантът на квадратното уравнение и буквата D се определя като неговото обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по неговата стойност и знак се прави изводът дали квадратното уравнение ще има реални корени и, ако е така, какъв е броят на корените - един или два.

Да се \u200b\u200bвърнем към уравнението x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Пренаписваме го, като използваме обозначението за дискриминанта: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Нека отново формулираме заключенията:

Определение 9

• в д< 0 уравнението няма реални корени;
• в D \u003d 0 уравнението има един корен x \u003d - b 2 · a;
• в D\u003e 0 уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите, тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дроби до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, дискриминант д изчислено по формулата D \u003d b 2 - 4 a c.

Тези формули правят възможно с дискриминант, по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единствено решение квадратно уравнение. В случая, когато дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за корена на квадратно уравнение, ще бъдем изправени пред необходимостта да извлечем корен квадратен на отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. При отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка сложни конюгирани корени, определени от същите формули на корените, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратното уравнение, като се използва веднага формулата на корена, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В по-голямата част от случаите обикновено се търси не сложни, а истински корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, първо определете дискриминанта и се уверете, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това продължете да изчислявате стойности на корените.

Горните разсъждения позволяват да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, необходимо е:

• според формулата D \u003d b 2 - 4 a c намери стойността на дискриминанта;
• в D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D \u003d 0, намерете единствения корен на уравнението по формулата x \u003d - b 2 · a;
• за D\u003e 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x \u003d - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x \u003d - b ± D 2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x \u003d - b 2 · a.

Нека разгледаме някои примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем решение на примери за различни значения дискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Решение

Записваме числените коефициенти на квадратното уравнение: a \u003d 1, b \u003d 2 и c \u003d - 6... След това действаме според алгоритъма, т.е. нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a, b и ° С в дискриминантната формула: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

И така, получихме D\u003e 0, което означава, че първоначалното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x \u003d - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Нека опростим получения израз, като вземем фактора извън кореновия знак и след това намалим фракцията:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 или x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 или x \u003d - 1 - 7

Отговор: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратното уравнение - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... При тази стойност на дискриминанта първоначалното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Отговор: x \u003d 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Решение

Числовите коефициенти на това уравнение ще бъдат: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че първоначалното квадратно уравнение няма реални корени.

В случая, когато задачата е да се посочат сложни корени, ние прилагаме формулата за корените, изпълнявайки действия със сложни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i или x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Отговор: няма валидни корени; сложните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN училищна програма Като стандарт няма изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако по време на решението дискриминантът бъде определен като отрицателен, незабавно се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 ac) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, която позволява да се намерят решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с a коефициент на формата 2 n, например 2 3 или 14 ln 5 \u003d 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c) и след това използваме коренната формула:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a · ca.

Нека изразът n 2 - a · c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a · c.

Лесно е да се види, че D \u003d 4 · D 1, или D 1 \u003d D 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знакът на D, което означава, че знакът на D 1 може да служи и като индикатор за наличие или отсъствие на корени на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратното уравнение с втория коефициент 2 n, е необходимо:

• намерете D 1 \u003d n 2 - a · c;
• при D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• когато D 1 \u003d 0, определете единствения корен на уравнението по формулата x \u003d - n a;
• за D 1\u003e 0, определете два реални корена по формулата x \u003d - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Решение

Вторият коефициент от даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (- 3). След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, където a \u003d 5, n \u003d - 3 и c \u003d - 32.

Изчисляваме четвъртата част на дискриминанта: D 1 \u003d n 2 - ac \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Нека ги дефинираме според съответната коренна формула:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 или x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x \u003d 3 1 5 или x \u003d - 2.

Опростяване на изгледа на квадратните уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на първоначалното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му части с определен брой. Например, по-горе показахме опростена нотация на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа... Тогава обикновено и двете страни на уравнението се разделят на най-голямата общ делител абсолютни стойности неговите коефициенти.

Като пример използвайте квадратното уравнение 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Определете gcd на абсолютните стойности на неговите коефициенти: gcd (12, 42, 48) \u003d gcd (gcd (12, 42), 48) \u003d gcd (6, 48) \u003d 6. Нека разделим двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6 и ще получим еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Умножавайки двете страни на квадратното уравнение, обикновено се отървавате от дробни коефициенти. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогава тя ще бъде записана в повече проста форма x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, променяйки знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части по - 1. Например от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 можете да отидете на опростена версия на него 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Връзката между корените и коефициентите

Вече познатата формула за корените на квадратните уравнения x \u003d - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението по отношение на неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула можем да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за намаленото квадратно уравнение, сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния термин. Например под формата на квадратното уравнение 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 е възможно веднага да се определи, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението на корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициентите:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Квадратичните уравнения често се появяват при решаване на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин „чрез дискриминанта“. Примери за използване на получените знания също са дадени в статията.

За какви уравнения говорим?

Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските символи a, b, c представляват някои известни числа.

Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "а" е пред квадратната променлива x. Това е максималната мощност на представения израз, поради което той се нарича квадратно уравнение. Често се използва и другото му име: уравнение от втори ред. Стойността на самото е квадратният коефициент (означаващ променливата на квадрат), b е линейният коефициент (той е до променливата, повдигната до първата степен), и накрая, числото c е свободният член.

Имайте предвид, че формата на уравнението, показана на фигурата по-горе, е често срещан класически квадрат. В допълнение към него има и други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.

Когато проблемът е поставен за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които биха я удовлетворили. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на x е 2, тогава този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението са намерени 2 стойности на х, които го удовлетворяват, тогава можете да бъдете сигурни, че няма трето число, заместващо което вместо х, равенството също би било вярно. Решенията на уравнение в математиката се наричат \u200b\u200bкорени.

Методи за решаване на уравнения от втори ред

Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на известна теория за тях. Училищният курс по алгебра разглежда 4 различни методи решения. Нека ги изброим:

• използване на факторизация;
• използване на формулата за пълен квадрат;
• чрез прилагане на графиката на съответната квадратна функция;
• използвайки дискриминантното уравнение.

Предимството на първия метод се крие в неговата простота, но той не може да бъде приложен към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Следователно в статията ще го разгледаме само.

Формула за получаване на корените на уравнението

Нека се обърнем към общ изглед квадратно уравнение. Нека го запишем: a * x² + b * x + c \u003d 0. Преди да се използва методът за решаването му „чрез дискриминант“, равенството винаги трябва да се сведе до писмената форма. Тоест трябва да се състои от три термина (или по-малко, ако b или c е 0).

Например, ако има израз: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², първо трябва да преместите всичките му термини в едната страна на равенството и да добавите термините, съдържащи променливата x в същите правомощия.

В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, което е еквивалентно на уравнението 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (тук умножихме лявото и дясните страни на равенството с -1) ...

В горния пример a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Обърнете внимание, че всички условия на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, така че ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, както и числото c в този случай.

След като разгледахме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която дава възможност да се получат корените на квадратното уравнение. Той има формата, показана на снимката по-долу.

Както можете да видите от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За това е достатъчно да заместите коефициентите b, c и a в него.

Дискриминационна концепция

В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да разрешите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, т.е. D \u003d b²-4 * a * c.

Защо тази част от формулата е изолирана и дори има собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва и трите коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той напълно носи информация за корените, която може да бъде изразена от следния списък:

1. D\u003e 0: равенството има 2 различни решения, и двете от които са реални числа.
2. D \u003d 0: Уравнението има само един корен и е реално число.

Задачата за определяне на дискриминанта

Нека дадем прост пример за това как да намерим дискриминанта. Нека се даде следното равенство: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Нека го приведем към стандартната форма, получаваме: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, откъдето стигаме до равенството : -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Тук a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Сега можете да използвате посочената формула за дискриминанта: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като в примера дискриминанта по-малко от нула, тогава можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Само комплексно число ще бъде неговото решение.

Пример за неравенство чрез дискриминанта

Нека решим задачи от малко по-различен тип: като се има предвид равенството -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D\u003e 0.

В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но е известно, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c\u003e -3.

Нека проверим получения номер. За да направите това, изчислете D за 2 случая: c \u003d -2 и c \u003d -4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2\u003e -3), съответният дискриминант ще има стойността: D \u003d 12\u003e 0. На свой ред числото -4 не удовлетворява неравенството (-4 По този начин всички числа c, които са по-големи от -3, ще отговарят на условието.

Пример за решаване на уравнение

Нека представим проблем, който се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Трябва да намерите корените за равенството -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

В този пример дискриминантът е следваща стойност: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Тогава корените на уравнението се определят, както следва: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Това са точните стойности на корените, ако изчислите приблизителния корен, тогава получавате числата: x \u003d -5,176 и x \u003d 0,676.

Геометричен проблем

Нека решим проблем, който ще изисква не само способността да се изчислява дискриминанта, но и използването на умения за абстрактно мислене и знания как да се правят квадратни уравнения.

Боб имаше завивка 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красива материя... Колко дебела ще бъде тази лента, ако се знае, че Боб има 10 м² плат.

Нека лентата има дебелина x m, след това площта на плата по протежение дълга страна одеялата ще бъдат (5 + 2 * x) * x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). От късата страна площта на зашития плат ще бъде 4 * x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8 * x. Имайте предвид, че 2 * x е добавен към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се е увеличила с това число. Общата площ на плат, пришит към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенство: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

За този пример дискриминантът е: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо от постановката на проблема.

Така лентата от плат, която Боб ще пришие към одеялото си, ще бъде широка 50 см.

IN модерно общество способността за извършване на действия с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и е широко използвана на практика в научно-техническото развитие. Това се доказва от проектирането на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления, траекториите на движение на най-много различни тела, включително космически обекти. Примери с решението на квадратни уравнения се използват не само при икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и при най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими на къмпинг, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставните му фактори

Определя се степента на уравнението максимална стойност степен на променливата, която съдържа този израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадрат.

Ако използваме езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат сведени до формата когато лява страна изразът се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат със своя коефициент), bx (неизвестен без квадрат с неговия коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случая, когато на подобен полином липсва един от съставните му членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решението на такива проблеми, стойността на променливите, в които е лесно да се намери.

Ако изразът изглежда по такъв начин, че в израза отдясно има два термина, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да се намери x чрез поставяне на променливата извън скобите. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x (ax + b). Освен това става очевидно, че или x \u003d 0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax + b \u003d 0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото е, че произведението на два фактора води до 0, само ако единият от тях е равен на нула.

Пример

x \u003d 0 или 8x - 3 \u003d 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета като начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Замествайки необходимите стойности, приравнявайки дясната страна на 0 и откривайки възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента, в който тялото се издига до момента, в който пада, както и много други величини. Но ще говорим за това по-късно.

Факториране на израз

Описаното по-горе правило дава възможност да се решат посочените задачи в повече трудни случаи... Нека разгледаме примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Това квадратен трином завършено е. Първо, нека трансформираме израза и го факторизираме. Има два от тях: (x-8) и (x-25) \u003d 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решението на квадратни уравнения в степен 9 позволяват този метод да намери променлива в изрази не само на втория, но дори и на третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Когато разделим дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, т.е. (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратния корен

Друг случай непълно уравнение на втория ред е израз на езика на буквите, представен по такъв начин, че дясната страна е конструирана от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Изключение правят само равенства, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в много отношения в онези далечни времена се дължи на необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Примери с решението на квадратни уравнения, съставено въз основа на задачи от този вид, трябва да бъдат разгледани от нас.

И така, да предположим, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е 16 метра по-дълга от ширината. Намерете дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че площта му е 612 m 2.

Пристъпвайки към бизнеса, нека първо съставим необходимото уравнение. Нека обозначим с x ширината на секцията, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашия проблем е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения и този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна все още съдържа два фактора, продуктът изобщо не е 0, така че тук се прилагат други методи.

Дискриминанта

Първо, правим необходимите трансформации, тогава външен вид от този израз ще изглежда по следния начин: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Това означава, че имаме израз във формата, съответстваща на предварително посочения стандарт, където a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук необходими изчисления произведени по схемата: D \u003d b 2 - 4ac. Тази помощна величина не само дава възможност да се намерят необходимите количества в уравнението от втори ред, тя определя количеството възможни опции... Ако D\u003e 0, има две от тях; за D \u003d 0 има един корен. Ако D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Това показва, че проблемът ни има отговор. Ако знаете, k, решението на квадратните уравнения трябва да продължи с помощта на формулата по-долу. Тя ви позволява да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерите на парцела не могат да бъдат измерени в отрицателни стойности, така че x (т.е. ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18 + 16 \u003d 34, а периметърът 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме да изучаваме квадратни уравнения. Примери и подробно решение на няколко от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Прехвърляме всичко в лявата страна на равенството, правим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и я приравняваме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Добавяйки подобни, дефинираме дискриминанта: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги съгласно горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде 4/3, а вторият 1.

2) Сега ще разкрием загадките от различен вид.

Нека да разберем дали тук въобще има корени x 2 - 4x + 5 \u003d 1? За да получим изчерпателен отговор, нека доведем полинома до съответната позната форма и изчислим дискриминанта. В този пример решението на квадратното уравнение не е необходимо, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения, използвайки горните формули и дискриминанта, когато квадратният корен се извлича от стойността на последните. Но това не винаги е така. В този случай обаче има много начини да се получат стойностите на променливите. Пример: решаване на квадратни уравнения чрез теоремата на Виета. Тя е кръстена на някой, който е живял във Франция от 16-ти век и е направил блестяща кариера благодарение на неговия математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, забелязан от известния французин, беше следният. Той доказа, че корените на уравнението в сумата са числено равни на -p \u003d b / a, а произведението им съответства на q \u003d c / a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

За простота трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Ще използваме теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От това получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече са дадени по-рано. Сега нека разгледаме по-отблизо някои от математическите пъзели. Всяко уравнение от описания тип може да бъде визуализирано. Такава връзка, съставена под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, т.е. точка, от която излизат нейните клонове. Ако a\u003e 0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните изображения на функции помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. А стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени от току-що дадената формула x 0 \u003d -b / 2a. И, замествайки получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да откриете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща към оста на ординатите.

Пресичането на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a\u003e 0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Корените могат да се определят и от графиката на параболата. И обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуален образ на квадратна функция, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И знаейки точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се изгради графика.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи променлива на квадрат, в старите дни те не само правеха математически изчисления и определяха областите на геометричните фигури. Такива изчисления са били необходими на древните за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например, месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости на онези, които всяко ученик от нашето време знае.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия Баудхаяма се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случи около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване, които той даде, бяха най-простите. В допълнение към него китайските математици също се интересуваха от подобни въпроси в старите дни. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в своите трудове от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Надявам се, след като проучите тази статия, ще научите как да намерите корените на едно пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, други методи се използват за решаване на непълни квадратни уравнения, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Какви квадратни уравнения се наричат \u200b\u200bпълни? то уравнения на формата ax 2 + b x + c \u003d 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. Така че, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.

D \u003d b 2 - 4ac.

В зависимост от това каква стойност има дискриминантът, ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателен (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положително число (D\u003e 0),

тогава x 1 \u003d (-b - √D) / 2a и x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Например. Решете уравнението x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Отговор: - 3,5; един.

И така, нека представим решението на пълни квадратни уравнения по схемата на Фигура 1.

Тези формули могат да се използват за решаване на всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате, за да се уверите, че това уравнението беше написано като стандартен полином

и x 2 + bx + c, в противен случай можете да сгрешите. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 \u003d 0, можете погрешно да решите това

a \u003d 1, b \u003d 3 и c \u003d 2. Тогава

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином на стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином на стандартната форма (на първо място трябва да бъде мономът с най-големия показател, т.е. и x 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член от.

Когато се решава намалено квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент при втория член, могат да се използват и други формули. Нека се запознаем и с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение за втория член коефициентът е четен (b \u003d 2k), то уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при x 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q \u003d 0... Такова уравнение може да се даде за решението или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента истои на x 2 .

Фигура 3 показва схема за решаване на намаления квадрат
уравнения. Нека разгледаме като пример формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3

Може да се отбележи, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, т.е. b \u003d 6 или b \u003d 2k, откъдето k \u003d 3. Тогава ще се опитаме да разрешим уравнението по формулите, показани на диаграмата в фигура D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3... Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение са разделени на 3 и извършваме разделяне, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Решаваме това уравнение, като използваме формулите за намаленото квадратично
уравнения Фигура 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3.

Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.