Квадратният корен от числото x е числото a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a ^ 2 = x, √x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметични операции за събиране и изваждане с квадратни корени.

Инструкции

• Първо, при добавяне квадратни корениопитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде възможно, ако числата под коренния знак са перфектни квадрати. Например, нека бъде даден изразът √4 + √9. Първото число 4 е квадратът на числото 2. Второто число 9 е квадратът на числото 3. Така се оказва, че: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ако под коренния знак няма пълни квадрати, опитайте се да премахнете числовия фактор от коренния знак. Например, нека бъде даден изразът √24 + √54. Умножете числата: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. В числото 24 има фактор 4, който може да бъде изваден под знака корен квадратен... Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: √24 + √54 = √ (4 * 6) + √ (9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . V този примерв резултат на премахването на фактора от коренния знак се оказа опростяване на дадения израз.
• Нека сумата от два квадратни корена е знаменателят на дроб, например A / (√a + √b). И нека задачата преди вас „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следния метод. Умножете числителя и знаменателя на дробата по √a - √b. По този начин знаменателят е формулата за съкратено умножение: (√a + √b) * (√a - √b) = a - b. По аналогия, ако разликата между корените е дадена в знаменателя: √a - √b, тогава числителят и знаменателят на дробата трябва да се умножат по израза √a + √b. Например, нека на фракцията се даде 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√ 3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Помислете за по -сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дроб 12 / (√2 + √3 + √5). Необходимо е умножението на числителя и знаменателя на дробата с израза √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• И накрая, ако искате само приблизителна стойност, можете да използвате калкулатор, за да изчислите стойностите на квадратния корен. Изчислете стойностите отделно за всяко число и ги запишете с необходимата точност (например две десетични знака). И след това изпълнете необходимите аритметични операции, както с обикновените числа. Да предположим например, че искате да знаете приблизителната стойност на израза √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89.

Темата за квадратните корени е задължителна училищна програмакурс по математика. Не можете без тях при решаване на квадратни уравнения. И по -късно се налага не само извличане на корените, но и извършване на други действия с тях. Сред тях има доста сложни: степенуване, умножение и деление. Но има и доста прости: изваждане и добавяне на корени. Между другото, те изглеждат такива само на пръв поглед. Изпълнението им без грешки не винаги е лесно за някой, който тепърва започва да ги опознава.

Какво е математически корен?

Това действие възникна за разлика от степенуването. Математиката предполага две противоположни операции. Има изваждане за събиране. Умножението се противопоставя на делението. Обратният ефект на степента е извличането на съответния корен.

Ако степента е две, тогава коренът ще бъде квадратен. Той е най -разпространеният в училищната математика. Той дори няма индикация, че е квадрат, тоест до него не е присвоен номер 2. Математическата нотация на този оператор (радикал) е показана на фигурата.

От описаното действие неговото определение следва плавно. За да извлечете квадратния корен от число, трябва да разберете какво ще даде радикалният израз, когато се умножи сам по себе си. Това число ще бъде квадратният корен. Ако го напишете математически, получавате следното: x * x = x 2 = y, така че √y = x.

Какви действия можете да извършите с тях?

В основата си коренът е дробна степен с такава в числителя. А знаменателят може да бъде всичко. Например квадратният корен има два. Следователно, всички действия, които могат да се извършват с степени, ще бъдат верни и за корените.

И изискванията за тези действия са същите. Ако умножението, разделянето и повишаването на степен не срещат трудности за учениците, тогава добавянето на корени, подобно на тяхното изваждане, понякога води до объркване. И всичко това, защото искате да извършите тези операции, без да гледате коренния знак. И тук започват грешките.

Какви са правилата за тяхното добавяне и изваждане?

Първо, трябва да запомните две категорични „не“:

• не можете да извършвате събиране и изваждане на корени, както в прости числа, тоест невъзможно е да се записват радикални изрази на сумата под един знак и да се извършват математически операции с тях;
• не можете да добавяте и изваждате корени с различни показатели, например квадратни и кубични.

Илюстративен пример за първата забрана: √6 + √10 ≠ √16, но √ (6 + 10) = √16.

Във втория случай е по -добре да се ограничим до опростяване на самите корени. И в отговор оставете сумата им.

Сега към правилата

1. Намерете и групирайте подобни корени. Тоест тези, които не само имат еднакви числа под радикала, но и самите те имат един показател.
2. Извършете добавянето на корените, обединени в една група от първото действие. Той е лесен за изпълнение, защото трябва само да добавите стойностите, които стоят пред радикалите.
3. Извлечете корените от тези термини, при които радикалният израз образува цял квадрат. С други думи, не оставяйте нищо под знака на радикал.
4. Опростете радикалните изрази. За да направите това, трябва да ги разложите на основни фактории вижте дали дават квадрат с произволно число. Ясно е, че това е вярно, ако идваоколо квадратния корен. Когато показателят е три или четири, тогава простите фактори също трябва да дадат куб или четвърта степен на числото.
5. Премахнете от знака на радикала фактора, който дава цялата степен.
6. Вижте дали се е появил отново подобни термини... Ако е така, изпълнете втората стъпка отново.

В ситуация, в която задачата не изисква точна коренова стойност, тя може да бъде изчислена на калкулатор. Безкраен десетичен, който ще бъде маркиран в прозореца му, закръглете. Най -често това се прави до стотни. И след това изпълнете всички операции за десетични дроби.

Това е цялата информация за това как се извършва добавянето на root. Примерите по -долу ще илюстрират горното.

Първа задача

Изчислете стойността на изразите:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

а) Ако следвате горния алгоритъм, можете да видите, че няма нищо за първите две действия в този пример. Но някои радикални изрази могат да бъдат опростени.

Например, фактор 32 в два фактора 2 и 16; 18 ще бъде равно на произведението на 9 и 2; 128 е 2 на 64. Като се има предвид това, изразът ще бъде написан така:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Сега трябва да премахнете от радикалния знак тези фактори, които дават квадрата на числото. Това е 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Изразът ще приеме формата:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Трябва да опростим записа малко. За да направите това, умножете коефициентите пред знаците на корена:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

В този израз всички термини се оказаха сходни. Следователно те просто трябва да бъдат сгънати. Отговорът ще бъде: 5√2.

б) Подобно на предишния пример, добавянето на корени започва с опростяването им. Радикалните изрази 75, 147, 48 и 300 ще бъдат представени от следните двойки: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. Всеки от тях има номер, който може да бъде изваден под коренния знак :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

След опростяване отговорът е: 5√5 - 5√3. Може да се остави така, както е, но е по -добре общият коефициент 5 да се постави извън скобата: 5 (√5 - √3).

в) И отново факторизацията: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. След като премахнем множителите от коренния знак, имаме:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. След като въведем подобни условия, получаваме резултата: 7√11.

Пример с дробни изрази

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Ще бъде необходимо да се извадят следните числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Подобно на вече разгледаните, трябва да премахнете факторите от под корен знак и опростяване на израза:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) = - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Този израз изисква да се отървете от ирационалността в знаменателя. За да направите това, трябва да умножите втория член по √2 / √2:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

За пълнота на действията трябва да изберете цялата част от факторите пред корените. Първият е равен на 1, вторият - 2.

Добавяне и изваждане на корение един от най -често срещаните „препъни камъни“ за тези, които вземат курс по математика (алгебра) в гимназията. Много е важно обаче да се научите как правилно да ги събирате и изваждате, защото примери за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния Единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да овладеете решението на такива примери, имате нужда от две неща - да разберете правилата, а също и да развиете практика. След като е решил една или две дузини типични примери, студентът ще доведе това умение до автоматизъм и тогава няма да има от какво да се страхува на изпита. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметични операции с добавяне, защото добавянето им е малко по -лесно, отколкото изваждането им.

Най -лесният начин да се обясни това е с примера на квадратния корен. В математиката има утвърден термин "квадрат". „Квадрат“ означава умножаване на определено число веднъж само по себе си... Например, ако квадрат 2, получавате 4. Ако квадрат 7, получавате 49. Квадратът от 9 е 81. Така че квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7, а от 81 е 9.

По правило изучаването на тази тема в математиката започва с квадратни корени. За да го определи веднага, ученикът в гимназията трябва да знае таблицата за умножение наизуст. Тези, които не са сигурни в тази таблица, трябва да използват подсказки. Обикновено процесът на извличане на кореновия квадрат от число се дава под формата на таблица върху кориците на много училищни тетрадки по математика.

Корените са от следните видове:

• квадрат;
• кубичен (или т.нар. трета степен);
• четвърта степен;
• пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, трябва да се има предвид, че не всички коренни числа могат да се подреждат един с друг... За да могат да се сгъват, те трябва да бъдат доведени до общ модел. Ако това не е възможно, тогава проблемът няма решение. Такива проблеми често се срещат и в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Добавянето не е разрешено в задачи, когато радикалните изрази се различават един от друг. Това може да се илюстрира с илюстративен пример:

• студентът е изправен пред задачата: добавете квадратния корен от 4 и 9;
• неопитен студент, който не знае правилата, обикновено пише: "корен от 4 + корен от 9 = корен от 13".
• много е лесно да се докаже, че това решение е погрешно. За да направите това, трябва да намерите квадратния корен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
• с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3.6. Сега остава да проверим решението;
• коренът на 4 = 2 и на 9 = 3;
• Сумата от числата "две" и "три" е пет. По този начин този алгоритъм на решение може да се счита за неправилен.

Ако корените са с еднаква степен, но различни числови изрази, тя е извадена от скобите, а в скобите има сумата от два радикални израза... По този начин тя вече е извлечена от тази сума.

Алгоритъм за добавяне

За да вземете правилното решение най -простата задача, необходимо:

1. Определете какво точно изисква добавяне.
2. За да разберете дали е възможно да добавяте стойности помежду си, като се ръководите от правилата, съществуващи в математиката.
3. Ако те не могат да бъдат сгънати, трябва да ги трансформирате, така че да могат да бъдат сгънати.
4. След като извършите всички необходими трансформации, е необходимо да извършите добавяне и да запишете готовия отговор. Добавянето може да се извърши мислено или с помощта на микро калкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобни корени

За да решите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е сходството.

Способността да се идентифицират подобни помага за бързото решаване на същия тип примери за добавяне, като ги въвежда в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва:

1. Намерете подобни и ги изберете в една група (или в няколко групи).
2. Препишете отново съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат един и същ индикатор, да вървят ясно един след друг (това се нарича "групиране").
3. След това трябва да пренапишете израза отново, този път по такъв начин, че подобни (които имат същия индикатор и един и същ радикален номер) също да следват един друг.

След това опростен пример обикновено е лесен за решаване.

За да се реши правилно всеки пример за добавяне, е необходимо ясно да се разберат основните правила за добавяне, както и да се знае какво е корен и как се случва.

Понякога на пръв поглед подобни задачи изглеждат много трудни, но обикновено те лесно се решават чрез групиране на подобни. Най -важното е практиката и след това ученикът ще започне да „щрака върху проблеми като ядки“. Добавянето на корени е една от най -важните области на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.

Факт 1.
\ (\ bullet \) Нека вземем някои не отрицателно число\ (a \) (т.е. \ (a \ geqslant 0 \)). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \ (a \) се нарича такова неотрицателно число \ (b \), при квадратурата получаваме числото \ (a \): \ [\ sqrt a = b \ quad \ text (същото като) \ quad a = b ^ 2 \]От определението следва, че \ (a \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). Тези ограничения са важно условиесъществуването на квадратен корен и те трябва да се запомнят!
Припомнете си, че всяко число на квадрат дава неотрицателен резултат. Тоест \ (100 ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \) и \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \).
\ (\ bullet \) Какво е \ (\ sqrt (25) \)? Знаем, че \ (5 ^ 2 = 25 \) и \ ((- 5) ^ 2 = 25 \). Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \ (- 5 \) не се вписва, следователно \ (\ sqrt (25) = 5 \) (тъй като \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
Намирането на стойността \ (\ sqrt a \) се нарича вземане на квадратния корен от числото \ (a \), а числото \ (a \) се нарича радикален израз.
\ (\ bullet \) Въз основа на дефиницията изразът \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата с квадрати естествени числаот \ (1 \) до \ (20 \): \ [\ begin (масив) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 & \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 & \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 & \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 & \ quad14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 & \ quad15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 & \ quad16 ^ 2 = 256 \\ 7 ^ 2 = 49 & \ quad17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 & \ quad18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 & \ quad19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 & \ quad20 ^ 2 = 400 \\ \ hline \ end (масив) \]

Факт 3.
Какво може да се направи с квадратни корени?
\ (\ bullet \) Сумата или разликата на квадратните корени НЕ Е РАВНА на квадратния корен на сумата или разликата, т.е. \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \]По този начин, ако трябва да изчислите например \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \), тогава първоначално трябва да намерите стойностите \ (\ sqrt (25) \) и \ (\ sqrt (49) \) и след това ги сгънете. Следователно, \ [\ sqrt (25) + \ sqrt (49) = 5 + 7 = 12 \] Ако стойностите \ (\ sqrt a \) или \ (\ sqrt b \) не могат да бъдат намерени при добавяне на \ (\ sqrt a + \ sqrt b \), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава същият. Например в сумата \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) можем да намерим \ (\ sqrt (49) \) - това е \ (7 \), но \ (\ sqrt 2 \) не може да бъде следователно се преобразува по какъвто и да е начин \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) = \ sqrt 2 + 7 \)... За съжаление този израз не може да бъде опростен допълнително.\ (\ bullet \) Продуктът / коефициентът на квадратни корени е равен на квадратния корен на продукта / частното, т.е. \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ text (and) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ sqrt (768): \ sqrt3 = \ sqrt (768: 3) = \ sqrt (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ bullet \) Използвайки тези свойства, е удобно да се намерят квадратните корени на големи числа, като се факторират.
Нека разгледаме един пример. Намерете \ (\ sqrt (44100) \). Тъй като \ (44100: 100 = 441 \), тогава \ (44100 = 100 \ cdot 441 \). Въз основа на делимостта, числото \ (441 \) се дели на \ (9 \) (тъй като сумата от неговите цифри е 9 и се дели на 9), следователно \ (441: 9 = 49 \), че е \ (441 = 9 \ cdot 49 \).
Така получихме: \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \]Нека вземем друг пример: \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9)) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ dfrac (56) 3 \]
\ (\ bullet \) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака на квадратния корен, като използваме примера на израза \ (5 \ sqrt2 \) (стенография за израза \ (5 \ cdot \ sqrt2 \)). Тъй като \ (5 = \ sqrt (25) \), тогава \ Обърнете внимание също, че например
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \).

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбрахте, не можем по някакъв начин да преобразуваме числото \ (\ sqrt2 \). Нека си представим, че \ (\ sqrt2 \) е някакво число \ (a \). Съответно изразът \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) не е нищо повече от \ (a + 3a \) (едно число \ (a \) плюс още три от същото число \ (a \)). Знаем, че е равно на четири такива числа \ (a \), тоест \ (4 \ sqrt2 \).

Факт 4.
\ (\ bullet \) Често се казва „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \ (\ sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на някакво число. Например, можете да извлечете корена на числото \ (16 \), защото \ (16 = 4 ^ 2 \), следователно \ (\ sqrt (16) = 4 \). Но е невъзможно да се извлече коренът от числото \ (3 \), тоест да се намери \ (\ sqrt3 \), защото няма такова число, което да даде \ (3 \) в квадрата.
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числата \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \)и т.н. са ирационални.
Нерационални са и числата \ (\ pi \) (числото "pi", приблизително равно на \ (3.14 \)), \ (e \) (това число се нарича числото на Ойлер, приблизително е \ (2.7 \) ) и др.
\ (\ bullet \) Моля, обърнете внимание, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални (реални) числа.Този набор се обозначава с буквата \ (\ mathbb (R) \).
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\ (\ bullet \) Модулът на реално число \ (a \) е неотрицателно число \ (| a | \), равен на разстояниетоот точка \ (a \) до \ (0 \) на реалната линия. Например \ (| 3 | \) и \ (| -3 | \) са равни на 3, тъй като разстоянията от точки \ (3 \) и \ ( - 3 \) до \ (0 \) са еднакви и са равни на \ (3 \).
\ (\ bullet \) Ако \ (a \) е неотрицателно число, тогава \ (| a | = a \).
Пример: \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \). \ (\ bullet \) Ако \ (a \) е отрицателно число, тогава \ (| a | = -a \).
Пример: \ (| -5 | = - ( - 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - ( - \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
Казват, че модулът „изяжда“ минуса за отрицателни числа и модулът оставя положителните числа, както и числото \ (0 \), непроменено.
НОтова правило работи само за числа. Ако под знака на модула имате неизвестен \ (x \) (или някакъв друг неизвестен), например \ (| x | \), за който не знаем, положителен ли е, нулев или отрицателен, тогава се отървете от модула не можем. В този случай този израз остава такъв: \ (| x | \). \ (\ bullet \) Важат следните формули: \ [(\ large (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ голям ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a)), \ текст (предоставен) a \ geqslant 0 \]Допуска се много често срещана грешка: те казват, че \ (\ sqrt (a ^ 2) \) и \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) са еднакви. Това е вярно само ако \ (a \) е положително число или нула. Но ако \ (a \) е отрицателно число, това не е вярно. Достатъчно е да разгледаме такъв пример. Нека вземем числото \ (- 1 \) вместо \ (a \). Тогава \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), но изразът \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) изобщо не съществува (в края на краищата, не е възможно под коренния знак да се поставят отрицателни числа!).
Затова обръщаме вашето внимание на факта, че \ (\ sqrt (a ^ 2) \) не е равно на \ ((\ sqrt a) ^ 2 \)!Пример: 1) \ (\ sqrt (\ left ( - \ sqrt2 \ right) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \)от \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ фантом (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \). \ (\ bullet \) Тъй като \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \), тогава \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (изразът \ (2n \) означава четно число)
Тоест, при извличане на корен от число, което е до известна степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \ (\ sqrt (4 ^ 6) = | 4 ^ 3 | = 4 ^ 3 = 64 \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (имайте предвид, че ако модулът не е инсталиран, тогава се оказва, че коренът на номера е \ (- 25 \) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да бъде: винаги имаме положително число или нула, когато извличаме корен)
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (тъй като всяко число в четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как сравнявате два квадратни корена?
\ (\ bullet \) За квадратни корени е вярно: if \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \ (\ sqrt (50) \) и \ (6 \ sqrt2 \). Първо, нека преобразуваме втория израз в \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... По този начин, тъй като \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между кои цели числа е \ (\ sqrt (50) \)?
Тъй като \ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \) и \ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравнете \ (\ sqrt 2-1 \) и \ (0.5 \). Да предположим \ (\ sqrt2-1> 0,5 \): \ [\ begin (подравнено) & \ sqrt 2-1> 0.5 \ \ big | +1 \ quad \ text ((добавете по едно към двете страни)) \\ & \ sqrt2> 0.5 + 1 \ \ big | \ ^ 2 \ quad \ text ((квадрат от двете страни)) \\ & 2> 1.5 ^ 2 \\ & 2> 2.25 \ end (подравнен) \]Виждаме, че сме получили грешно неравенство. Следователно нашето предположение е погрешно и \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
Имайте предвид, че добавянето на число към двете страни на неравенството не влияе върху неговия знак. Умножението / делението на двете страни на неравенството с положително число също не влияе на неговия знак, а умножението / делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да квадрат на двете страни на уравнението / неравенство САМО КОГАТО и двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример, можете да квадрат на двете страни, в неравенството \ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ bullet \) Запомнете това \ [\ начало (подравнено) & \ sqrt 2 \ приблизително 1,4 \\ & \ sqrt 3 \ приблизително 1,7 \ край (подравнено) \]Познаването на приблизителната стойност на тези числа ще ви помогне при сравняване на числата! \ (\ bullet \) За да извлечете корена (ако е извлечен) от някакъв голям брой, който не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои "стотици" е, след това - между кои "десетки "и след това определете последната цифра от това число. Нека покажем как работи с пример.
Вземете \ (\ sqrt (28224) \). Знаем, че \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \) и т.н. Имайте предвид, че \ (28224 \) е между \ (10 ​​\, 000 \) и \ (40 \, 000 \). Следователно \ (\ sqrt (28224) \) е между \ (100 \) и \ (200 \).
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (тоест например между \ (120 \) и \ (130 \)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \) и т.н., тогава \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400 \), \ (130 ^ 2 = 16900 \), \ (140 ^ 2 = 19600 \), \ (150 ^ 2 = 22500 \), \ (160 ^ 2 = 25600 \), \ (170 ^ 2 = 28900 \). По този начин виждаме, че \ (28224 \) е между \ (160 ^ 2 \) и \ (170 ^ 2 \). Следователно числото \ (\ sqrt (28224) \) е между \ (160 \) и \ (170 \).
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа в края на \ (4 \), когато са на квадрат? Това са \ (2 ^ 2 \) и \ (8 ^ 2 \). Следователно \ (\ sqrt (28224) \) ще завърши с 2 или 8. Нека проверим това. Намерете \ (162 ^ 2 \) и \ (168 ^ 2 \):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \).
Следователно \ (\ sqrt (28224) = 168 \). Вола!

За да се реши адекватно изпита по математика, на първо място е необходимо да се изучи теоретичният материал, който въвежда множество теореми, формули, алгоритми и т. Н. На пръв поглед може да изглежда, че е съвсем прост. Намирането на източник, в който теорията за изпита по математика е представена лесно и разбираемо за студенти от всякакво ниво на обучение, всъщност е доста трудна задача. Учебните книги не винаги могат да се държат под ръка. И намирането на основните формули за изпита по математика може да бъде трудно дори в интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които се явяват на изпита?

1. Защото разширява кръгозора ви... Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг въпроси, свързани със знанията за света около. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Точно това е отразено в науката, чрез което е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелигентност... Изучавайки справочни материали за изпита по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли логично и да разсъждава, компетентно и ясно да формулира мисли. Той развива способността да анализира, обобщава, прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Съдържание:

Можете да добавяте и изваждате квадратни корени само ако те имат един и същ радикален израз, тоест можете да добавяте или изваждате 2√3 и 4√3, но не и 2√3 и 2√5. Можете да опростите радикала, за да ги преобразувате в корени със същия радикал (и след това да ги добавите или извадите).

Стъпки

Част 1 Разбиране на основите

1. 1 (израз под коренния знак).За да направите това, разделете радикалното число на два фактора, единият от които е квадратно число (число, от което можете да извлечете цял корен, например 25 или 9). След това извлечете корена от квадратния номер и запишете намерената стойност пред коренния знак (вторият фактор ще остане под коренния знак). Например 6√50 - 2√8 + 5√12. Числата преди коренния знак са факторите на съответните корени, а числата под коренния знак са радикалните числа (изрази). Ето как да разрешите този проблем:
   • 6√50 = 6√ (25 x 2) = (6 x 5) √2 = 30√2. Тук вие разчитате 50 на фактори 25 и 2; след това от 25 извличате корена, равен на 5, и изваждате 5 изпод корена. След това умножете 5 по 6 (коефициентът в корена) и получавате 30√2.
   • 2√8 = 2√ (4 x 2) = (2 x 2) √2 = 4√2. Тук факторизирате 8 на фактори 4 и 2; след това извлечете корена, равен на 2 от 4, и извадете 2 изпод корена. След това умножавате 2 на 2 (коефициентът в корена) и получавате 4√2.
   • 5√12 = 5√ (4 x 3) = (5 x 2) √3 = 10√3. Тук вие разчитате 12 на фактори 4 и 3; след това извлечете корена, равен на 2 от 4, и извадете 2 изпод корена. След това умножавате 2 по 5 (коефициентът в корена) и получавате 10√3.
2. 2 Подчертайте корени, чиито коренови изрази са еднакви.В нашия пример опростеният израз е: 30√2 - 4√2 + 10√3. В него трябва да подчертаете първия и втория термин ( 30√2 и 4√2 ), тъй като те имат един и същ корен номер 2. Само такива корени можете да добавяте и изваждате.
3. 3 Ако ви е даден израз с голям брой членове, много от които имат едни и същи радикални изрази, използвайте единични, двойни, тройни подчертавания, за да обозначите такива членове, за да улесните решаването на този израз.
4. 4 За корени, чиито радикални изрази са еднакви, добавете или извадете факторите пред кореновия знак и оставете радикалния израз същия (не добавяйте и не изваждайте радикални числа!). Идеята е да се покаже колко корени с определен радикален израз се съдържат в даден израз.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Част 2 Практикуване с примери

1. 1 Пример 1: √(45) + 4√5.
   • Опростете √ (45). Фактор 45: √ (45) = √ (9 x 5).
   • Преместете 3 навън от корена (√9 = 3): √ (45) = 3√5.
   • Сега добавете факторите в корените: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Пример 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Опростете 6√ (40). Фактор 40: 6√ (40) = 6√ (4 x 10).
   • Извадете 2 изпод корена (√4 = 2): 6√ (40) = 6√ (4 x 10) = (6 x 2) √10.
   • Умножете множителите пред корена, за да получите 12√10.
   • Сега изразът може да бъде записан като 12√10 - 3√ (10) + √5. Тъй като първите два члена имат един и същ радикален номер, можете да извадите втория член от първия и да оставите първия непроменен.
   • Получавате: (12-3) √10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Пример 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Никой от радикалните изрази не може да бъде факторизиран тук, така че този израз не може да бъде опростен. Можете да извадите третия член от първия (тъй като те имат еднакви радикални числа) и да оставите втория член непроменен. Получавате: (9-4) √5 -2√3 = 5√5 -2√3.
4. 4 Пример 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √ (3 x 3) = 3.
   • √4 = √ (2 x 2) = 2.
   • Сега можете просто да добавите 3 + 2, за да получите 5.
   • Крайният отговор е 5 - 3√2.
5. 5 Пример 5.Решете израз, съдържащ корени и дроби. Можете да добавяте и изчислявате само онези дроби, които имат общ (един и същ) знаменател. Даден е изразът (√2) / 4 + (√2) / 2.
   • Намерете най -ниския общ знаменател на тези дроби. Това е число, което се дели равномерно на всеки знаменател. В нашия пример 4 и 2 се делят на 4.
   • Сега умножете втората дроб с 2/2 (за да я доведете до общ знаменател; първата дроб вече е намалена до нея): (√2) / 2 x 2/2 = (2√2) / 4.
   • Добавете числителите на дробите и оставете знаменателя същия: (√2) / 4 + (2√2) / 4 = (3√2) / 4 .

• Не забравяйте да опростите (ако е възможно) радикалните изрази, преди да добавите или извадите корени.

Предупреждения

• Никога не добавяйте и не изваждайте корени с различни радикали.
• Никога не добавяйте или изваждайте цяло число и корен например 3 + (2x) 1/2 .
  • Забележка: "x" към една секунда степен и квадратният корен от "x" са еднакви (т.е. x 1/2 = √x).