Между корените и коефициентите на квадратното уравнение, в допълнение към кореновите формули има и други полезни отношения, които са зададени теорема на Виета... В тази статия ще дадем формулировка и доказателство за теоремата на Виета за квадратно уравнение... След това разгледайте теорема, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, определящи връзката между истинските корени алгебрично уравнение степен n и нейните коефициенти.

Навигация по страници.

Теорема на Vieta, формулировка, доказателство

От формулите за корените на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0 на формата, където D \u003d b 2 −4 a c, следва, че x 1 + x 2 \u003d −b / a, x 1 x 2 \u003d в / а. Тези резултати са одобрени теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0, тогава сумата от корените е равна на съотношението на коефициентите b и a, взето от противоположен знак, а произведението на корените е равно на съотношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателства.

Ще докажем теоремата на Vieta по следната схема: съставяме сумата и произведението на корените на квадратното уравнение с помощта на добре познатите коренни формули, след това преобразуваме получените изрази и се уверяваме, че те са равни на −b / a и c / a, съответно.

Нека започнем със сумата на корените, съставете я. Сега довеждаме фракциите до общ знаменател, ние имаме. В числителя на получената фракция, след което :. И накрая, след 2, получаваме. Това доказва първата връзка на теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Нека да преминем към втория.

Правим произведението на корените на квадратното уравнение :. Според правилото за умножаване на дроби, последно парче може да се запише като. Сега умножаваме скобите по скобите в числителя, но е по-бързо да свием този продукт по формулата за разликата на квадратите, Така . След това, като си спомним, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D \u003d b 2 −4 · a · c, тогава в последната дроб вместо D можем да заместим b 2 −4 · a · c, получаваме. След разширяване на скобите и леене подобни термини стигаме до част и нейното намаляване с 4 · a дава. Това доказва втората връзка на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, тогава доказателството на теоремата на Виета приема лаконична форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че когато дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, тогава важат и равенствата от теоремата на Виета. Всъщност, за D \u003d 0 коренът на квадратното уравнение е, а и тъй като D \u003d 0, т.е. b 2 −4 · a · c \u003d 0, откъдето b 2 \u003d 4 · a · c, тогава.

На практика теоремата на Vieta най-често се използва по отношение на намалено квадратно уравнение (с водещ коефициент, равен на 1) на формата x 2 + p x + q \u003d 0. Понякога се формулира за квадратни уравнения само от тази форма, което не ограничава общността, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете му части на ненулево число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сборът от корените на намаленото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0 е равен на коефициента при x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е свободният член, т.е. x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q.

Обратното на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предходния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корени на намаленото квадратно уравнение x 2 + px + q \u003d 0, тогава съотношенията x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q. От друга страна, от написаните отношения x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 + p x + q \u003d 0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и да го докажем.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 + x 2 \u003d −p и x 1 x 2 \u003d q, тогава x 1 и x 2 са корените на намаленото квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0.

Доказателства.

След заместване на коефициентите p и q в уравнението x 2 + p x + q \u003d 0, техните изрази по отношение на x 1 и x 2, той се трансформира в еквивалентно уравнение.

Замествайки числото x 1 в полученото уравнение вместо x, имаме равенството x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d 0, което за всеки x 1 и x 2 е истинско числово равенство 0 \u003d 0, тъй като x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 \u003d 0... Следователно x 1 е корен от уравнението x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, което означава, че x 1 е корен от еквивалентното уравнение x 2 + p x + q \u003d 0.

Ако уравнението x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 заместваме с x числото x 2, тогава получаваме равенството x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Това е валидно равенство, тъй като x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 \u003d 0... Следователно x 2 също е корен от уравнението x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, а оттам и уравненията x 2 + p x + q \u003d 0.

Това завършва доказателството на теоремата. обратна теорема Vieta.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и нейната обратна теорема. В този параграф ще анализираме решенията на няколко от най-типичните примери.

Започваме с прилагане на теорема, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да го използвате, за да проверите дали дадените две числа са корените на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на съотношенията. Ако и двете съотношения са изпълнени, тогава по силата на теорема, обратна на теоремата на Виета, се стига до заключението, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от съотношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 \u003d −5, x 2 \u003d 3, или 2), или 3) е двойка корени от квадратното уравнение 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x + 9 \u003d 0 са a \u003d 4, b \u003d −16, c \u003d 9. Според теоремата на Vieta, сумата от корените на квадратното уравнение трябва да бъде равна на −b / a, т.е. 16/4 \u003d 4, а произведението на корените трябва да бъде равно на c / a, т.е. / 4.

Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и ги сравним с току-що получените стойности.

В първия случай имаме x 1 + x 2 \u003d −5 + 3 \u003d −2. Получената стойност е различна от 4, така че по-нататъшна проверка не може да се извърши и според теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на дадено квадратно уравнение.

Нека да преминем към втория случай. Тук, тоест първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени от квадратно уравнение.

Остава последният случай. Тук и. И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Теоремата, противоположна на теоремата на Виета, на практика може да се използва за избор на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на намалените квадратни уравнения с целочислени коефициенти, тъй като в други случаи е доста трудно да се направи това. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратното уравнение, взето със знак минус, а произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разгледаме това с пример.

Вземете квадратното уравнение x 2 −5 x + 6 \u003d 0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корените на това уравнение, трябва да са налице двете равенства x 1 + x 2 \u003d 5 и x 1 x 2 \u003d 6. Остава да се намерят такива числа. В този случай е съвсем просто да се направи това: такива числа са 2 и 3, тъй като 2 + 3 \u003d 5 и 2 · 3 \u003d 6. По този начин 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Vieta, е особено удобна за използване за намиране на втория корен от намалено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен се намира от която и да е от връзките.

Да вземем например квадратното уравнение 512 x 2 −509 x - 3 \u003d 0. Тук е лесно да се види, че единият е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Значи x 1 \u003d 1. Вторият корен x 2 може да бъде намерен например от отношението x 1 x 2 \u003d c / a. Имаме 1 x 2 \u003d −3 / 512, откъдето x 2 \u003d −3 / 512. Ето как определихме и двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корените, можете да приложите формулите за корените на квадратното уравнение чрез дискриминанта.

Друг практическа употреба Теорема, обратна на теоремата на Виета, се състои в съставяне на квадратни уравнения за дадени корени x 1 и x 2. За целта е достатъчно да се изчисли сумата от корените, която дава коефициента при x с противоположния знак на намаленото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение с числата −11 и 23 като корени.

Решение.

Поставяме x 1 \u003d −11 и x 2 \u003d 23. Оценете сумата и произведението на тези числа: x 1 + x 2 \u003d 12 и x 1 x 2 \u003d −253. Следователно тези числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент -12 и отсечка -253. Тоест, x 2 −12 x - 253 \u003d 0 е желаното уравнение.

Отговор:

x 2 −12 x - 253 \u003d 0.

Теоремата на Vieta много често се използва за решаване на проблеми, свързани със знаците на корените на квадратните уравнения. Как е свързана теоремата на Виета със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q \u003d 0? Ето две подходящи твърдения:

• Ако свободният член q - положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или двете са положителни, или и двете са отрицателни.
• Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения произтичат от формулата x 1 x 2 \u003d q, както и правилата за умножение на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Нека разгледаме примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положително. Използвайки дискриминантната формула, намираме D \u003d (r + 2) 2 −4 1 (r - 1) \u003d r 2 + 4 r + 4−4 r + 4 \u003d r 2 +8, стойността на израза r 2 + 8 е положително за всяко реално r, като по този начин D\u003e 0 за всяко реално r. Следователно първоначалното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога са корените различни знаци... Ако знаците на корените са различни, тогава произведението им е отрицателно и според теоремата на Виета произведението на корените на намаленото квадратно уравнение е равно на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от онези стойности на r, за които свободният член r - 1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, трябва решаване линейно неравенство r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

в r<1 .

Формули на Vieta

По-горе говорихме за теоремата на Vieta за квадратно уравнение и анализирахме установените от него отношения. Но има формули, свързващи реалните корени и коефициенти на не само квадратни уравнения, но и кубични уравнения, четворни уравнения и като цяло, алгебрични уравнения степен n. Те се наричат формули на Vieta.

Нека напишем формулите на Vieta за алгебрично уравнение на степен n на формата, в този случай приемаме, че има n реални корени x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи):

Вземете формулите на Vieta позволява теорема за линейна факторизация, както и дефиницията на равни полиноми чрез равенството на всички съответстващи им коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни фактори на формата са равни. Разширявайки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, при n \u003d 2, имаме формулите на Vieta за квадратното уравнение, които вече са ни познати.

За кубичното уравнение формулите на Vieta са

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета са така наречените елементарни симетрични полиноми.

Списък на литературата.

• Алгебра: проучване. за 8 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г. Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то издание, Изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра и началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование. институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Образование, 2010. - 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Определянето на сумата от корените на уравнението е една от необходимите стъпки при решаването на квадратни уравнения (уравнения от формата ax² + bx + c \u003d 0, където експонентите a, b и c са произволни числа и a? 0) с подкрепата на теоремата на Виета.

Инструкции

1. Напишете квадратно уравнение като ax² + bx + c \u003d 0 Пример: Начално уравнение: 12 + x² \u003d 8x Правилно написано уравнение: x² - 8x + 12 \u003d 0

2. Приложете теоремата на Vieta, според която сумата от корените на уравнението ще бъде равна на числото "b", взето с противоположния знак, а произведението им ще бъде числото "c". Пример: В разглежданото уравнение, b \u003d -8, c \u003d 12, съответно: x1 + x2 \u003d 8 × 1 ∗ x2 \u003d 12

3. Разберете дали корените на уравненията са правилни или отрицателни числа. Ако и произведението, и сумата от корените са положителни числа, всички корени са правилно число. Ако произведението на корените е правилно и сумата от корените е отрицателно число, тогава и двата корена са отрицателни. Ако произведението на корените е отрицателно, тогава корените на един корен имат знак „+“ и друг знак „-". В този случай трябва да използвате допълнително правило: „Ако сумата от корените е положително число, коренът на най-големия модул също е положителен и ако сумата от корените е отрицателно число - коренът на най-големия модул - отрицателен. “Пример: В разглежданото уравнение както сумата, така и произведението са правилни числа: 8 и 12, така че и двата корена са положителни числа.

4. Решете получената система от уравнения, като вземете корени. Ще бъде по-удобно да започнете избора с факторите и след това, за да проверите, заместете всяка двойка фактори във второто уравнение и проверете дали сумата от тези корени съответства на решението Пример: x1 ∗ x2 \u003d 12 Подходящи двойки на корените са съответно: 12 и 1, 6 и 2, 4 и 3 Проверете получените двойки, подкрепящи уравнението x1 + x2 \u003d 8. Двойки 12 + 1 ≠ 86 + 2 \u003d 84 + 3 ≠ 8 Съответно корените на уравнението са числата 6 и 8.

Уравнението е равенство на формата f (x, y, ...) \u003d g (x, y, ..), където f и g са функции на една или няколко променливи. Намирането на корена на уравнение означава намиране на набор от аргументи, за които това равенство е валидно.

Ще имаш нужда

• Познания за математически преглед.

Инструкции

1. Може би имате уравнение от вида: x + 2 \u003d x / 5. Като начало прехвърляме всички компоненти на това равенство от дясната страна на лявата, променяйки знака на компонента в противоположната. Нула остава в дясната страна на това уравнение, т.е.получаваме следното: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2. Ето подобни термини. Получаваме следното: 4x / 5 + 2 \u003d 0.

3. Освен това от полученото редуцирано уравнение намираме неизвестния член, в случая това е x. Получената стойност на неизвестната променлива ще бъде решението на първоначалното уравнение. В този случай получаваме следното: x \u003d -2,5.

Подобни видеа

Забележка!
В резултат на решението могат да възникнат ненужни корени. Те няма да бъдат решение на първоначалното уравнение, дори ако сте решили всичко положително. Не забравяйте да проверите всички решения, които получавате.

Полезен съвет
Винаги проверявайте получените стойности на непознатото. Това може да се направи примитивно чрез заместване на получената стойност в началното уравнение. Ако равенството е правилно, тогава решението е правилно.

Теоремата на Виета установява пряка връзка между корените (x1 и x2) и експонентите (b и c, d) на уравнение като bx2 + cx + d \u003d 0. С помощта на тази теорема е позволено, без да се определят стойностите на корените, да се изчислява тяхната сума, нагло казано, в ума. В това няма нищо трудно, основното е да знаете някои правила.

Ще имаш нужда

• - калкулатор;
• - хартия за бележки.

Инструкции

1. Приведете изследваното квадратно уравнение в стандартна форма, така че всички показатели да преминават в низходящ ред, тоест в началото най-високата степен е x2, а в края нулевата степен е x0. Уравнението ще приеме формата: b * x2 + c * x1 + d * x0 \u003d b * x2 + c * x + d \u003d 0.

2. Проверете неотрицателността на дискриминанта. Тази проверка е необходима, за да се гарантира, че уравнението има корени. D (дискриминант) приема формата: D \u003d c2 - 4 * b * d. Тук има няколко опции. D - дискриминант - правилно, което означава, че уравнението има два корена. D - е равно на нула, следва, че има корен, но е двоен, тоест x1 \u003d x2. D - отрицателно, за учебен курс по алгебра това условие означава, че няма корени, за висшата математика има корени, но те са сложни.

3. Намерете сумата от корените на уравнението. Използвайки теоремата на Vieta, е лесно да се направи това: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Сумата от корените на уравнението е право пропорционална на „–c“ и обратно пропорционална на показателя „b“. А именно x1 + x2 \u003d -c / b. Определете произведението на корените чрез формулировката - произведението на корените на уравнението е право пропорционално на "d" и обратно пропорционално на показателя "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Забележка!
Ако получите отрицателен дискриминант, това не означава, че няма корени. Това означава, че корените на уравнението са така наречените сложни корени. Теоремата на Vieta е приложима в този случай, но нейната форма ще бъде леко променена: [-c + (- i) * (- c2 + 4 * b * d) 0,5] / \u003d x1,2

Полезен съвет
Ако се сблъскате не с квадратно уравнение, а с кубично или уравнение на степен n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn \u003d 0, тогава да изчислите сумата или произведението на корените на уравнението, можете също да използвате правилно теоремата на Виета: едно. –B1 / b0 \u003d x1 + x2 + x3 +…. + Xn, 2. b2 / b0 \u003d x1 * x2 +…. + xn-1 * xn, 3. (-1) n * (bn / b0) \u003d x1 * x2 * x3 * .... * Xn.

Ако след заместване на число в уравнение се получи правилното равенство, такова число се нарича корен. Корените могат да бъдат правилни, отрицателни и нулеви. Сред всеки набор от корени на уравнението се разграничават максимумът и минимумът.

Инструкции

1. Намерете всички корени на уравнението, измежду тях изберете отрицателния, ако има такъв. Да приемем, че ви е дадено квадратно уравнение 2x? -3x + 1 \u003d 0. Приложете формулата за намиране на корените на квадратно уравнение: x (1,2) \u003d / 2 \u003d / 2 \u003d / 2, след това x1 \u003d 2, x2 \u003d 1. Лесно е да се забележи, че сред тях няма негативни.

2. Също така е възможно да се намерят корените на квадратно уравнение, като се използва теоремата на Виета. Съгласно тази теорема x1 + x1 \u003d -b, x1? X2 \u003d c, където b и c са степента на уравнението x? + Bx + c \u003d 0, съответно. Прилагайки тази теорема, е позволено да не се изчислява дискриминанта bα -4ac, което в някои случаи може значително да опрости проблема.

3. Ако в квадратното уравнение показателят при x е четен, е позволено да се използва не основната, а съкратена формула за намиране на корените. Ако основната формула изглежда като x (1,2) \u003d [- b ±? (B? -4ac)] / 2a, то в съкратена форма тя се записва, както следва: x (1,2) \u003d [- b / 2 ±? (B? / 4-ac)] / a. Ако в квадратното уравнение няма пресичане, е доста лесно да се премести x извън скобите. И понякога лявата страна се сгъва в пълен квадрат: x? + 2x + 1 \u003d (x + 1)?.

4. Съществуват видове уравнения, които дават не само едно число, а цял набор от решения. Да кажем тригонометрични уравнения. И така, резултатът от уравнението 2sin? (2x) + 5sin (2x) -3 \u003d 0 ще бъде x \u003d? / 4+? K, където k е цяло число. Тоест, при заместване на която и да е целочислена стойност на параметъра k, аргументът x ще удовлетвори даденото уравнение.

5. При тригонометричните задачи може да се наложи да намерите всички отрицателни корени или най-високия от отрицателните. При решаването на такива задачи се използват логически разсъждения или методът на математическа индукция. Включете някои целочислени стойности за k в x \u003d? / 4+? K и наблюдавайте как се държи аргументът. Между другото, най-големият отрицателен корен в предишното уравнение ще бъде x \u003d -3? / 4 при k \u003d 1.

Подобни видеа

Забележка!
В този пример беше разгледан вариант на квадратното уравнение, в който a \u003d 1. За да решите пълното квадратно уравнение по същия метод, където a & ne 1, трябва да съставите спомагателно уравнение, довеждайки "a" до единство.

Полезен съвет
Използвайте този метод за решаване на уравнения, за да намерите бързо корени. Също така ще ви помогне, ако трябва да решите уравнение в главата си, без да прибягвате до бележки.

Сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

(Спомнете си, че горното квадратно уравнение е уравнение, където първият коефициент е 1).

Обяснение:

Нека квадратното уравнение брадва 2 +bx +° С \u003d 0 има корени х 1 и х 2. Тогава от теоремата на Виета:

Пример 1:

Горното уравнение x 2 - 7x + 10 \u003d 0 има корени 2 и 5.

Сумата от корените е 7, а продуктът е 10.

И в нашето уравнение вторият коефициент е -7, а прихващането е 10.

По този начин сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Доста често има квадратни уравнения, които могат лесно да бъдат изчислени с помощта на теоремата на Виета - освен това с нейна помощ е по-лесно да ги изчислим. Това е лесно да се провери както в предишния пример, така и в следващия.

Пример 2. Решаване на квадратно уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Решение.

Прилагаме теоремата на Виета и записваме две идентичности:

х един · х 2 = –24

х 1 + х 2 = 2

Избираме такива фактори за –24, така че сумата им да е равна на 2. След известно обсъждане намираме: 6 и –4. Да проверим:

6 · (- 4) \u003d –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Както забелязахте, на практика същността на теоремата на Виета е да разложи свободния член в даденото квадратно уравнение на фактори, така че сумата да е равна на втория коефициент с противоположния знак. Тези фактори ще бъдат корените.

Това означава, че корените на нашето квадратно уравнение са 6 и –4.

Отговор: х 1 = 6, х 2 = –4.

Пример 3. Решете квадратното уравнение 3x 2 + 2x - 5 \u003d 0.

Тук нямаме работа с даденото квадратно уравнение. Но такива уравнения могат да бъдат решени и с помощта на теоремата на Виета, ако техните коефициенти са балансирани - например, ако сборът от първия и третия коефициент е равен на втория с противоположния знак.

Решение.

Коефициентите на уравнението са балансирани: сумата от първия и третия член е равна на втория с противоположния знак:

3 + (–5) = –2.

Според теоремата на Виета

x 1 + x 2 \u003d –2/3
x 1 x 2 \u003d –5/3.

Трябва да намерим две числа, чиято сума е –2/3, а произведението е –5/3. Тези числа ще бъдат корените на уравнението.

Първото число се познава веднага: това е 1. В края на краищата при x \u003d 1 уравнението се превръща в най-простото събиране-изваждане:
3 + 2 - 5 \u003d 0. Как намирате втория корен?
Нека представим 1 като 3/3, така че всички числа да имат един и същ знаменател: по-лесно е по този начин. И по-нататъшното действие веднага се предполага. Ако x 1 \u003d 3/3, тогава:

3/3 + x 2 \u003d –2/3.

Решаваме просто уравнение:

x 2 \u003d –2/3 - 3/3.

Отговор: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d –5/3

Пример 4: Решаване на квадратно уравнение 7 х 2 – 6х – 1 = 0.

Решение:

Веднага се открива един корен - той привлича вниманието ви: х 1 \u003d 1 (защото се оказва проста аритметика: 7 - 6 - 1 \u003d 0).

Коефициентите на уравнението са балансирани: сумата от първото и третото са равни на второто с противоположния знак:
7 + (– 1) = 6.

В съответствие с теоремата на Vieta съставяме две идентичности (въпреки че в този случай е достатъчна една от тях):

х един · х 2 = –1/7
х 1 + х 2 = 6/7

Заместете стойността x 1 във всеки от тези два израза и намерете x 2:

х 2 = –1/7: 1 = –1/7

Отговор: х 1 = 1; х 2 = –1/7

Дискриминантът на намаленото квадратно уравнение.

Дискриминантът на намаленото квадратно уравнение може да се изчисли както по общата формула, така и по опростената:

КогаD \u003d 0 корените на горното уравнение могат да бъдат изчислени по формулата:

Ако D< 0, то уравнение не имеет корней.

Ако D \u003d 0, тогава уравнението има един корен.

Ако D\u003e 0, тогава уравнението има два корена.