Enostavna aritmetična sredina je povprečni izraz, pri določanju katerega je skupni obseg danega atributa agregati podatki so enakomerno porazdeljeni med vse enote, vključene v ta sklop. Torej je povprečna letna proizvodnja na delavca količina proizvodnje, ki bi padla na vsakega zaposlenega, če bi bila celotna količina proizvodnje enakomerno porazdeljena med vse zaposlene v organizaciji. Aritmetična sredina enostavne vrednosti se izračuna po formuli:

enostavna aritmetična sredina- Enako razmerju med vsoto posameznih vrednosti atributa in številom atributov v agregatu

Primer 1. Ekipa 6 delavcev prejme 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 tisoč rubljev na mesec.

Poiščite povprečno plačo Rešitev: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 tisoč rubljev.

Aritmetično tehtano povprečje

Če je obseg nabora podatkov velik in predstavlja niz porazdelitve, se izračuna tehtana aritmetična sredina. Tako se določi tehtana povprečna cena na enoto proizvodnje: celotni proizvodni strošek (vsota zmnožkov njegove količine in cene enote proizvodnje) se deli s celotno količino proizvodnje.

To predstavimo v obliki naslednje formule:

Utežena aritmetična sredina- je enak razmerju (vsota zmnožkov vrednosti atributa na pogostost ponavljanja tega atributa) proti (vsota frekvenc vseh atributov).Uporablja se, kadar se različice proučevane populacije pojavljajo neenako številokrat.

Primer 2. Poiščite povprečne mesečne plače delavcev v trgovini

Povprečno plačo lahko dobimo z deljenjem skupni znesek plače za skupno število delavci:

Odgovor: 3,35 tisoč rubljev.

Aritmetična sredina za intervalno serijo

Pri izračunu aritmetične sredine za intervalno variacijsko serijo najprej določite povprečje za vsak interval kot polovično vsoto zgornje in spodnje meje, nato pa povprečje celotne serije. Pri odprtih intervalih je vrednost spodnjega ali zgornjega intervala določena z vrednostjo intervalov, ki so ob njih.

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna.

Primer 3. Ugotovite povprečno starost učencev večernega oddelka.

Povprečja, izračunana iz intervalnih vrst, so približna. Stopnja njihovega približevanja je odvisna od tega, v kolikšni meri se dejanska porazdelitev populacijskih enot znotraj intervala približuje enakomerni.

Pri izračunu povprečij se lahko kot uteži uporabljajo ne samo absolutne, ampak tudi relativne vrednosti (frekvenca).

Vsaka oseba v sodobni svet, ki načrtuje najem posojila ali skladiščenje zelenjave za zimo, se občasno sooča s konceptom "povprečje". Ugotovimo: kaj je, katere vrste in razredi obstajajo ter zakaj se uporablja v statistiki in drugih disciplinah.

Povprečna vrednost - kaj je to?

Podobno ime (SV) je posplošena značilnost niza homogenih pojavov, ki jih določa kateri koli atribut kvantitativne spremenljivke.

Vendar ljudje, ki so daleč od tako nejasnih definicij, razumejo ta koncept kot povprečno količino nečesa. Na primer, pred najemom posojila bo bančni uslužbenec zagotovo vprašal potencialna stranka podatek o povprečnem dohodku za to leto, to je skupni znesek denarja, ki ga oseba zasluži. Izračuna se tako, da se celoletni zaslužek sešteje in deli s številom mesecev. Tako bo banka lahko ugotovila, ali bo njen komitent sposoben pravočasno odplačati dolg.

Zakaj se uporablja?

Praviloma se povprečne vrednosti pogosto uporabljajo za končno karakterizacijo določenih družbenih pojavov, ki so množične narave. Uporabljajo se lahko tudi za manjše izračune, kot v primeru posojila v zgornjem primeru.

Najpogosteje pa se povprečja še vedno uporabljajo za globalne namene. Primer enega od njih je izračun količine električne energije, ki jo državljani porabijo v enem koledarskem mesecu. Na podlagi pridobljenih podatkov se naknadno določijo najvišji normativi za kategorije prebivalstva, ki uživajo državne ugodnosti.

Prav tako je s pomočjo povprečnih vrednosti določena garancijska doba za servis določenih gospodinjski aparati, avtomobili, zgradbe itd. Na podlagi tako zbranih podatkov so nekoč nastali sodobni standardi dela in počitka.

Pravzaprav je vsak pojav sodobnega življenja, ki je množične narave, na tak ali drugačen način nujno povezan z obravnavanim pojmom.

Aplikacije

Ta pojav se pogosto uporablja v skoraj vseh eksaktnih znanostih, zlasti tistih eksperimentalne narave.

Iskanje povprečja je zelo pomembno v medicini, tehniki, kuhanju, ekonomiji, politiki itd.

Na podlagi podatkov, pridobljenih s takimi posplošitvami, razvijajo medicinske pripravke, učne načrte, določajo minimum življenjske plače in plače, sestavljajo študijske urnike, izdelujejo pohištvo, oblačila in obutev, higienske izdelke in še veliko več.

V matematiki se ta izraz imenuje "povprečna vrednost" in se uporablja za izvajanje odločitev različni primeri in naloge. Najenostavnejši med njimi sta seštevanje in odštevanje z navadnimi ulomki. Konec koncev, kot je znano, da bi rešili podobni primeri prinesite oba ulomka na skupni imenovalec.

Tudi v kraljici natančnih znanosti se pogosto uporablja izraz "povprečna vrednost", ki je blizu po pomenu. naključna spremenljivka". Večini je bolj znan kot "pričakovanje", pogosteje obravnavan v teoriji verjetnosti. Omeniti velja, da podoben pojav velja tudi pri izvajanju statističnih izračunov.

Povprečna vrednost v statistiki

Vendar se najpogosteje obravnavani koncept uporablja v statistiki. Kot veste, je ta znanost sama specializirana za izračune in analize kvantitativne značilnosti množične družabne dogodke. Zato se povprečna vrednost v statistiki uporablja kot specializirana metoda za doseganje njenih glavnih ciljev - zbiranje in analizo informacij.

Bistvo te statistične metode je nadomestiti posamezne edinstvene vrednosti obravnavane lastnosti z določeno uravnoteženo povprečno vrednostjo.

Primer je znana šala o hrani. Torej, v neki tovarni ob torkih za kosilo njegovi šefi običajno jedo mesno enolončnico, navadni delavci pa dušeno zelje. Na podlagi teh podatkov lahko sklepamo, da zaposleni v tovarni v povprečju ob torkih kosijo žemlje.

čeprav podan primer nekoliko pretirano, vendar ponazarja glavno pomanjkljivost metode iskanja povprečne vrednosti - izravnavo posameznih lastnosti predmetov ali osebnosti.

Povprečja se uporabljajo ne le za analizo zbranih informacij, ampak tudi za načrtovanje in napovedovanje nadaljnjih dejanj.

Uporablja se tudi za vrednotenje doseženih rezultatov (na primer izvedba načrta pridelave in žetve pšenice za pomladno-poletno sezono).

Kako izračunati

Čeprav glede na vrsto CV obstajajo različne formule za izračun, se v splošni teoriji statistike praviloma uporablja le ena metoda za izračun povprečne vrednosti lastnosti. Če želite to narediti, morate najprej sešteti vrednosti vseh pojavov in nato dobljeno vsoto deliti z njihovim številom.

Pri takšnih izračunih je vredno zapomniti, da ima povprečna vrednost vedno enako dimenzijo (ali enote) kot ločena enota populacije.

Pogoji za pravilen izračun

Zgoraj obravnavana formula je zelo preprosta in univerzalna, zato je v njej skoraj nemogoče narediti napako. Vendar je vedno vredno upoštevati dva vidika, sicer pridobljeni podatki ne bodo odražali dejanskega stanja.

CB razredi

Ko smo našli odgovore na glavna vprašanja: "Povprečna vrednost - kaj je to?", "Kje se uporablja?" in "Kako ga lahko izračunam?", je vredno vedeti, kateri razredi in vrste CB obstajajo.

Prvič, ta pojav je razdeljen na 2 razreda. To so strukturna in močnostna povprečja.

Vrste moči SW

Vsak od zgornjih razredov je razdeljen na vrste. Razred moči jih ima štiri.

• Aritmetična sredina je najpogostejši tip SV. Gre za povprečni izraz, pri določanju katerega je skupni obseg obravnavanega atributa v nizu podatkov enakomerno porazdeljen med vse enote tega niza.

  Ta vrsta je razdeljena na podvrste: preprosta in tehtana aritmetika SV.

• Srednja harmonična vrednost je indikator, ki je recipročna preprosta aritmetična sredina, izračunana iz recipročnih vrednosti zadevne značilnosti.

  Uporablja se v primerih, ko so posamezne vrednosti lastnosti in izdelka znane, podatki o frekvenci pa ne.

• Pri analizi stopenj rasti gospodarskih pojavov se največkrat uporablja geometrična sredina. Omogoča vam shranjevanje dela v nespremenjeni obliki posamezne vrednote dani znesek, ne znesek.

  Prav tako se zgodi, da je preprosto in uravnoteženo.

• Srednja kvadratna vrednost se uporablja pri izračunu posameznih kazalnikov kazalnikov, kot je koeficient variacije, ki označuje ritem proizvodnje itd.

  Prav tako se z njegovo pomočjo izračunajo povprečni premeri cevi, koles, povprečne stranice kvadrata in podobne številke.

  Tako kot vse druge vrste povprečnega SW je povprečni kvadrat preprost in utežen.

Vrste strukturnih veličin

Poleg povprečnih SW se v statistiki pogosto uporabljajo strukturni tipi. Primernejši so za izračun relativnih značilnosti vrednosti spremenljivega atributa in notranja struktura distribucijske linije.

Obstajata dve taki vrsti.

Povprečje(v matematiki in statistiki) množice števil - vsota vseh števil, deljena z njihovim številom. Je eno najpogostejših meril centralne tendence.

Predlagali so jo (skupaj z geometrično sredino in harmonično sredino) pitagorejci.

Posebna primera aritmetične sredine sta povprečje (splošne populacije) in vzorčno povprečje (vzorcev).

Uvod

Označite nabor podatkov X = (x 1 , x 2 , …, x n), potem je vzorčno povprečje običajno označeno z vodoravno črto nad spremenljivko (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , izgovorjeno " x s pomišljajem").

Grška črka μ se uporablja za označevanje aritmetične sredine celotne populacije. Za naključno spremenljivko, za katero je definirana srednja vrednost, je μ verjetnostno povprečje ali matematično pričakovanje naključne spremenljivke. Če nastavite X je zbirka naključna števila z verjetnostnim povprečjem μ, potem za kateri koli vzorec x jaz iz te zbirke μ = E( x jaz) je pričakovanje tega vzorca.

V praksi je razlika med μ in x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ta, da je μ tipična spremenljivka, ker lahko vidite vzorec namesto celotne populacije. Torej, če je vzorec predstavljen naključno (v smislu teorije verjetnosti), potem lahko x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (vendar ne μ) obravnavamo kot naključno spremenljivko, ki ima na vzorcu porazdelitev verjetnosti ( verjetnostna porazdelitev povprečja).

Obe ti količini se izračunata na enak način:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Če X je naključna spremenljivka, nato matematično pričakovanje X se lahko obravnava kot aritmetična sredina vrednosti pri ponovljenih meritvah količine X. To je manifestacija zakona velikih števil. Zato se za oceno neznanega matematičnega pričakovanja uporabi vzorčno povprečje.

V osnovni algebri je dokazano, da je povprečje n+ 1 številka nad povprečjem nštevila, če in samo, če je novo število večje od starega povprečja, manj, če in samo, če je novo število manjše od povprečja, in se ne spremeni, če in samo, če je novo število enako povprečju. Bolj n, manjša je razlika med novim in starim povprečjem.

Upoštevajte, da je na voljo več drugih "povprečij", vključno s potenčnim povprečjem, Kolmogorovim povprečjem, harmonično povprečjem, aritmetično-geometričnim povprečjem in različnimi uteženimi povprečji (npr. aritmetično uteženo povprečje, geometrično uteženo povprečje, harmonično uteženo povprečje) .

Primeri

• Za tri številke jih morate sešteti in deliti s 3:

• Za štiri številke jih morate sešteti in deliti s 4:

Ali lažje 5+5=10, 10:2. Ker smo sešteli 2 števili, kar pomeni, da koliko števil seštejemo, s toliko delimo.

Zvezna naključna spremenljivka

Za zvezno porazdeljeno vrednost f (x) (\displaystyle f(x)) aritmetična sredina na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) je definiran prek določenega integrala:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Nekaj ​​težav pri uporabi povprečja

Pomanjkanje robustnosti

Čeprav se aritmetična sredina pogosto uporablja kot sredina ali osrednji trend, ta koncept ne velja za robustne statistike, kar pomeni, da je aritmetična sredina predmet močan vpliv»velikih odstopanj«. Omeniti velja, da za porazdelitve z veliko asimetrijo aritmetična sredina morda ne ustreza konceptu "povprečja", vrednosti srednje vrednosti iz robustne statistike (na primer mediana) pa lahko bolje opišejo osrednji trend.

Klasičen primer je izračun povprečnega dohodka. Aritmetično sredino si lahko napačno razlagamo kot mediano, kar lahko privede do zaključka, da je ljudi z več dohodki več, kot jih je v resnici. "Povprečni" dohodek se razlaga tako, da je dohodek večine ljudi blizu te številke. Ta »povprečni« (v smislu aritmetične sredine) dohodek je višji od dohodka večine ljudi, saj visok dohodek z velikim odstopanjem od povprečja naredi aritmetično sredino močno poševno (nasprotno pa se mediana dohodka »upira«) taka poševnost). Vendar ta "povprečni" dohodek ne pove ničesar o številu ljudi blizu povprečnega dohodka (in ne pove nič o številu ljudi blizu modalnega dohodka). Če pa koncepta "povprečje" in "večina" jemljemo rahlo, potem lahko napačno sklepamo, da ima večina ljudi dohodke višje, kot so v resnici. Na primer, poročilo o "povprečnem" neto dohodku v Medini v Washingtonu, izračunanem kot aritmetično povprečje vseh letnih neto dohodkov prebivalcev, bo dalo presenetljivo velika številka zaradi Billa Gatesa. Razmislite o vzorcu (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetična sredina je 3,17, vendar je pet od šestih vrednosti pod to srednjo vrednostjo.

Obrestno obrestovanje

Če številke pomnožiti, vendar ne zložiti, morate uporabiti geometrično sredino, ne aritmetične sredine. Najpogosteje se ta incident zgodi pri izračunu donosnosti naložbe v finance.

Na primer, če so delnice v prvem letu padle za 10 % in v drugem letu narasle za 30 %, potem ni pravilno izračunati "povprečnega" povečanja v teh dveh letih kot aritmetične sredine (−10 % + 30 %) / 2. = 10 %; pravilno povprečje je v tem primeru podano s sestavljeno letno stopnjo rasti, od katere letna rast znaša le približno 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Razlog za to je, da imajo odstotki vsakič novo izhodišče: 30 % je 30 %. od števila, manjšega od cene na začetku prvega leta:če je delnica začela pri 30 $ in padla za 10 %, je na začetku drugega leta vredna 27 $. Če delnica zraste za 30 %, je ob koncu drugega leta vredna 35,1 USD. Aritmetično povprečje te rasti je 10%, a ker je delnica v 2 letih zrasla le za 5,1 USD, povprečno povečanje za 8,2% daje končni rezultat 35,1 USD:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Če na enak način uporabimo aritmetično sredino 10 %, ne bomo dobili dejanske vrednosti: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Obrestne obresti ob koncu 2. leta: 90 % * 130 % = 117 % , tj. skupno povečanje za 17 %, povprečne letne obresti pa znašajo 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \približno 108,2\%) , torej povprečno letno povečanje za 8,2 %.

Navodila

Pri izračunu aritmetične sredine neke spremenljivke, ki se ciklično spreminja (na primer faze ali kota), je treba biti še posebej previden. Na primer, povprečje 1° in 359° bi bilo 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ta številka je napačna iz dveh razlogov.

• Prvič, kotne mere so določene samo za obseg od 0° do 360° (ali od 0 do 2π, če se merijo v radianih). Tako lahko isti par števil zapišemo kot (1° in −1°) ali kot (1° in 719°). Povprečja vsakega para bodo drugačna: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Drugič, v tem primeru bi bila vrednost 0° (ekvivalentno 360°) geometrično najboljša sredina, saj številke manj odstopajo od 0° kot od katere koli druge vrednosti (vrednost 0° ima najmanjšo varianco). Primerjaj:
  • število 1° odstopa od 0° le za 1°;
  • število 1° odstopa od izračunanega povprečja 180° za 179°.

Povprečna vrednost za ciklično spremenljivko, izračunana po zgornji formuli, bo umetno premaknjena glede na realno povprečje na sredino številčnega območja. Zaradi tega se povprečje izračuna na drugačen način, in sicer se za povprečno vrednost izbere število z najmanjšo varianco ( osrednja točka). Poleg tega se namesto odštevanja uporablja modulo razdalja (tj. obodna razdalja). Na primer, modularna razdalja med 1° in 359° je 2°, ne 358° (na krogu med 359° in 360°==0° - ena stopinja, med 0° in 1° - tudi 1°, skupaj - 2 °).

4.3. Povprečne vrednosti. Bistvo in pomen povprečij

Povprečna vrednost v statistiki se imenuje generalizacijski kazalnik, ki označuje tipično raven pojava v določenih razmerah kraja in časa, ki odraža obseg spremenljivega atributa na enoto kvalitativno homogene populacije. V gospodarski praksi se uporablja široka paleta kazalnikov, izračunanih kot povprečja.

Na primer, splošni kazalnik dohodka delavcev v delniški družbi (JSC) je povprečni dohodek enega delavca, določen z razmerjem sklada plače in plačila socialne narave za obravnavano obdobje (leto, četrtletje, mesec) na število delavcev v delniški družbi.

Izračun povprečja je ena pogostih tehnik posploševanja; povprečje odraža tisto, kar je skupno (tipično) vsem enotam proučevane populacije, hkrati pa zanemarja razlike med posameznimi enotami. V vsakem pojavu in njegovem razvoju je kombinacija priložnost in potreba. Pri izračunu povprečij se zaradi delovanja zakona velikih števil naključnost medsebojno izničuje, uravnoveša, zato je mogoče abstrahirati od nepomembnih značilnosti pojava, od kvantitativnih vrednosti atributa v vsakem posameznem Ovitek. V zmožnosti abstrahiranja od naključnosti posameznih vrednosti je nihanja znanstvena vrednost povprečij kot povzemanje značilnosti agregata.

Kjer obstaja potreba po posploševanju, izračun takšnih značilnosti vodi do zamenjave številnih različnih posameznih vrednosti atributa srednje indikator, ki označuje celoto pojavov, ki omogoča prepoznavanje vzorcev, ki so značilni za množične družbene pojave, neopazne v posameznih pojavih.

Povprečje odraža značilno, tipično, realno raven proučevanih pojavov, označuje te ravni in njihove spremembe v času in prostoru.

Povprečje je povzetek značilnosti pravilnosti procesa v pogojih, v katerih poteka.

4.4. Vrste povprečij in metode za njihov izračun

Izbira vrste povprečja je odvisna od ekonomske vsebine določenega kazalnika in začetnih podatkov. V vsakem primeru se uporabi ena od povprečnih vrednosti: aritmetika, garmonični, geometrijski, kvadratni, kubični itd. Navedena povprečja sodijo v razred moč srednje.

Poleg potenčnih povprečij se v statistični praksi uporabljajo strukturna povprečja, ki se štejejo za modo in mediano.

Oglejmo si podrobneje močna sredstva.

Aritmetična sredina

Najpogostejša vrsta povprečja je povprečje aritmetika. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljivega atributa za celotno populacijo vsota vrednosti atributov njegovih posameznih enot. Za družbene pojave je značilna aditivnost (seštevanje) obsega spremenljivega atributa, kar določa obseg aritmetične sredine in pojasnjuje njeno razširjenost kot posplošljivega kazalca, na primer: skupni sklad plač je vsota plač vseh delavcev. , je bruto pridelek vsota pridelka s celotne setvene površine.

Če želite izračunati aritmetično sredino, morate vsoto vseh vrednosti lastnosti deliti z njihovim številom.

V obrazcu je uporabljena aritmetična sredina preprosto povprečje in tehtano povprečje. Enostavno povprečje služi kot začetna, definirajoča oblika.

enostavna aritmetična sredina je enak preprosti vsoti posameznih vrednosti povprečne lastnosti, deljeni s skupnim številom teh vrednosti (uporablja se v primerih, ko obstajajo nezdružene posamezne vrednosti lastnosti):

kje
- posamezne vrednosti spremenljivke (možnosti); m - število populacijskih enot.

Nadaljnje meje seštevanja v formulah ne bodo navedene. Na primer, treba je najti povprečni učinek enega delavca (ključavničarja), če je znano, koliko delov je proizvedel vsak od 15 delavcev, tj. glede na število posameznih vrednosti lastnosti, kosov:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Enostavna aritmetična sredina se izračuna po formuli (4.1), 1 kos:

Imenuje se povprečje možnosti, ki se ponavljajo različno število krat ali imajo različne uteži tehtano. Uteži so števila enot v različnih populacijskih skupinah (skupina združuje iste možnosti).

Aritmetično tehtano povprečje- povprečne združene vrednosti, - se izračuna po formuli:

, (4.2)

kje
- uteži (pogostost ponavljanja istih lastnosti);

- vsota zmnožkov velikosti značilnosti z njihovimi frekvencami;

- skupno število populacijskih enot.

Tehniko za izračun aritmetičnega uteženega povprečja bomo ponazorili z zgoraj obravnavanim primerom. Da bi to naredili, združimo začetne podatke in jih postavimo v tabelo. 4.1.

Tabela 4.1

Razporeditev delavcev za razvoj delov

Po formuli (4.2) je aritmetično tehtano povprečje enako, kosov:

V nekaterih primerih uteži morda niso predstavljene absolutne vrednosti, vendar relativno (v odstotkih ali delih enote). Potem bo formula za aritmetično tehtano povprečje videti takole:

kje
- posebno, tj. delež posamezne frekvence v skupni vsoti vseh

Če frekvence štejemo v ulomkih (koeficientih), potem
= 1, formula za aritmetično tehtano povprečje pa je:

Izračun aritmetičnega tehtanega povprečja iz skupinskih povprečij izvedemo po formuli:

,

kje f-število enot v vsaki skupini.

Rezultati izračuna aritmetične sredine skupinskih sredin so prikazani v tabeli. 4.2.

Tabela 4.2

Porazdelitev delavcev po povprečni delovni dobi

V tem primeru možnosti niso posamezni podatki o delovni dobi posameznih delavcev, temveč povprečja za posamezno delavnico. luske f je število delavcev v trgovinah. Zato bodo povprečne delovne izkušnje delavcev v celotnem podjetju leta:

.

Izračun aritmetične sredine v seriji porazdelitve

Če so vrednosti povprečnega atributa podane kot intervali (»od - do«), tj. serije intervalne porazdelitve, nato pa se pri izračunu aritmetične srednje vrednosti sredine teh intervalov vzamejo kot vrednosti značilnosti v skupinah, zaradi česar se oblikuje diskretna serija. Razmislite o naslednjem primeru (tabela 4.3).

Preidimo z intervalne serije na diskretno tako, da intervalne vrednosti zamenjamo z njihovimi povprečnimi vrednostmi / (preprosto povprečje

Tabela 4.3

Porazdelitev delavcev AO po višini mesečnih plač

vrednosti odprtih intervalov (prvi in ​​zadnji) so pogojno enačene z intervali, ki mejijo nanje (drugi in predzadnji).

Pri takšnem izračunu povprečja je dovoljena določena netočnost, saj se predpostavlja enakomerna porazdelitev enot atributa znotraj skupine. Vendar pa bo napaka tem manjša, čim ožji je interval in več kot je enot v intervalu.

Ko so najdene sredine intervalov, se izračuni izvedejo na enak način kot v diskretnem nizu - možnosti se pomnožijo s frekvencami (utežmi) in vsota produktov se deli z vsoto frekvenc (uteži) , tisoč rubljev:

.

Torej je povprečna raven plačila delavcev v JSC 729 rubljev. na mesec.

Izračun aritmetične sredine je pogosto povezan z velikimi stroški časa in dela. Vendar pa je v nekaterih primerih postopek za izračun povprečja mogoče poenostaviti in olajšati z uporabo njegovih lastnosti. Predstavimo (brez dokaza) nekaj osnovnih lastnosti aritmetične sredine.

Lastnost 1. Če so vse posamezne značilne vrednosti (tj. vse možnosti) zmanjšajte ali povečajte jazkrat, nato povprečna vrednost nove funkcije se bo ustrezno zmanjšala ali povečala jazenkrat.

Lastnost 2. Če so reducirane vse različice povprečne značilnostizašiti ali povečati za število A, nato aritmetično sredinoznatno zmanjša ali poveča za isto število A.

Nepremičnina 3. Če se zmanjšajo uteži vseh povprečenih možnosti ali povečati na do krat, se aritmetična sredina ne bo spremenila.

Kot povprečne uteži namesto absolutnih indikatorjev lahko uporabite specifična težnost v skupnem seštevku (deleži ali odstotki). To poenostavi izračun povprečja.

Za poenostavitev izračunov povprečja sledijo poti zmanjševanja vrednosti možnosti in frekvenc. Največja poenostavitev je dosežena, ko AMPAK vrednost ene od osrednjih možnosti z najvišjo frekvenco je izbrana kot / - vrednost intervala (za vrstice z enakimi intervali). Vrednost L imenujemo izvor, zato ta način izračuna povprečja imenujemo »metoda štetja od pogojne ničle« oz. »metoda trenutkov«.

Predpostavimo, da so vse možnosti X najprej zmanjšano za isto število A in nato zmanjšano v jaz enkrat. Dobimo novo variacijsko distribucijsko serijo novih različic .

Potem nove možnosti bo izraženo:

,

in njihova nova aritmetična sredina , -trenutek prvega naročila- formula:

.

Je enako povprečju prvotnih možnosti, najprej zmanjšano za AMPAK, in nato noter jaz enkrat.

Za pridobitev pravega povprečja potrebujete trenutek prvega reda m 1 , pomnožite s jaz in dodajte AMPAK:

.

Ta metoda se imenuje izračun aritmetične sredine iz variacijske vrste »metoda trenutkov«. Ta metoda se uporablja v vrstah z enakimi intervali.

Izračun aritmetične sredine po metodi momentov ponazarjajo podatki v tabeli. 4.4.

Tabela 4.4

Porazdelitev malih podjetij v regiji po vrednosti osnovnih proizvodnih sredstev (OPF) v letu 2000

Iskanje trenutka prvega reda

.

Potem, ob predpostavki, da je A = 19 in to vemo jaz= 2, izračunaj X, tisoč rubljev:

Vrste povprečnih vrednosti in metode za njihov izračun

Na stopnji statistične obdelave se lahko zastavijo različne raziskovalne naloge, za rešitev katerih je treba izbrati ustrezno povprečje. V tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo: vrednosti, ki predstavljajo števec in imenovalec povprečja, morajo biti med seboj logično povezane.

• povprečja moči;
• strukturna povprečja.

Vstavimo naslednji zapis:

Vrednosti, za katere se izračuna povprečje;

Povprečje, kjer zgornja vrstica označuje, da gre za povprečenje posameznih vrednosti;

Pogostost (ponovljivost posameznih vrednosti lastnosti).

Različna povprečja so izpeljana iz splošne formule za povprečje moči:

(5.1)

za k = 1 - aritmetična sredina; k = -1 - harmonična sredina; k = 0 - geometrična sredina; k = -2 - povprečni kvadratni koren.

Povprečja so preprosta ali tehtana. tehtana povprečja se imenujejo količine, ki upoštevajo, da imajo lahko nekatere različice vrednosti atributa različne številke, zato je treba vsako različico pomnožiti s tem številom. Z drugimi besedami, "uteži" so števila populacijskih enot v različnih skupinah, tj. vsaka možnost je "utežena" s svojo pogostostjo. Frekvenca f se imenuje statistična teža oz povprečje tehtanja.

Aritmetična sredina- najpogostejša vrsta medija. Uporablja se, ko se izračun izvaja na nezdruženih statističnih podatkih, kjer želite dobiti povprečni seštevek. Aritmetična sredina je taka povprečna vrednost lastnosti, po prejemu katere skupni obseg lastnosti v populaciji ostane nespremenjen.

Formula aritmetične sredine ( preprosto) ima obliko

kjer je n velikost populacije.

Na primer, povprečna plača zaposlenih v podjetju se izračuna kot aritmetično povprečje:

Odločilni kazalniki so plača vsakega zaposlenega in število zaposlenih v podjetju. Pri izračunu povprečja je skupna višina plač ostala enaka, a tako rekoč enakomerno porazdeljena med vse delavce. Na primer, treba je izračunati povprečno plačo zaposlenih v majhnem podjetju, kjer je zaposlenih 8 ljudi:

Pri izračunu povprečij se lahko posamezne vrednosti atributa, ki se povpreči, ponavljajo, zato se povprečje izračuna s pomočjo združenih podatkov. V tem primeru pogovarjamo se o uporabi utežena aritmetična sredina, ki je videti kot

(5.3)

Izračunati moramo torej povprečni tečaj delnice delniške družbe na borzi. Znano je, da so bile transakcije izvedene v 5 dneh (5 transakcij), število prodanih delnic po prodajnem tečaju pa je bilo razporejeno takole:

1 - 800 ac. - 1010 rubljev

2 - 650 ac. - 990 rubljev.

3 - 700 ak. - 1015 rubljev.

4 - 550 ac. - 900 rubljev.

5 - 850 ak. - 1150 rubljev.

Izhodiščno razmerje za določitev povprečne cene delnice je razmerje med skupnim zneskom poslov (OSS) in številom prodanih delnic (KPA).

Povprečne vrednosti se pogosto uporabljajo v statistiki. Povprečne vrednosti označujejo kvalitativne kazalnike komercialne dejavnosti: stroške distribucije, dobiček, donosnost itd.

Srednje To je ena najpogostejših posplošitev. Pravilno razumevanje bistva povprečja določa njegov poseben pomen v tržnem gospodarstvu, ko povprečje prek enega samega in naključnega omogoča prepoznavanje splošnega in potrebnega, prepoznavanje trenda vzorcev gospodarskega razvoja.

Povprečna vrednost - to so posploševalni kazalci, v katerih najdejo izraz delovanja splošni pogoji, zakonitosti proučevanega pojava.

Statistična povprečja so izračunana na podlagi množičnih podatkov pravilno statistično organiziranega množičnega opazovanja (kontinuiranega in selektivnega). Vendar pa bo statistično povprečje objektivno in tipično, če je izračunano iz množičnih podatkov za kvalitativno homogeno populacijo (masovni pojavi). Če na primer izračunamo povprečne plače v zadrugah in državnih podjetjih ter rezultat razširimo na celotno populacijo, potem je povprečje fiktivno, saj je izračunano za heterogeno populacijo in takšno povprečje izgubi vsak pomen.

S pomočjo povprečja gre tako rekoč za glajenje razlik v velikosti značilnosti, ki se iz takšnih ali drugačnih razlogov pojavijo v posameznih enotah opazovanja.

Na primer, povprečni rezultat prodajalca je odvisen od številnih dejavnikov: kvalifikacij, delovne dobe, starosti, oblike storitve, zdravja itd.

Povprečni rezultat odraža splošno lastnost celotne populacije.

Povprečna vrednost je odraz vrednosti proučevane lastnosti, zato se meri v enaki dimenziji kot ta lastnost.

Vsaka povprečna vrednost označuje proučevano populacijo glede na kateri koli atribut. Da bi dobili popolno in celovito sliko proučevane populacije v smislu številnih bistvenih značilnosti, je na splošno potreben sistem povprečnih vrednosti, ki lahko opišejo pojav iz različnih zornih kotov.

Obstajajo različna povprečja:

aritmetična sredina;

geometrična sredina;

povprečna harmonika;

efektivna vrednost;

kronološko povprečje.

Razmislite o nekaterih vrstah povprečij, ki se najpogosteje uporabljajo v statistiki.

Aritmetična sredina

Preprosta aritmetična sredina (neutežena) je enaka vsoti posameznih vrednosti značilnosti, deljena s številom teh vrednosti.

Posamezne vrednosti atributa se imenujejo različice in so označene z x (); število populacijskih enot je označeno z n, povprečna vrednost značilnosti - z . Zato je preprosta aritmetična sredina:

Glede na podatke serije diskretne porazdelitve je razvidno, da se iste vrednosti atributa (možnosti) ponavljajo večkrat. Torej se različica x pojavi v agregatu 2-krat, različica x pa 16-krat itd.

Število enakih vrednosti lastnosti v nizu porazdelitve se imenuje frekvenca ali utež in je označeno s simbolom n.

Izračunajte povprečno plačo na delavca v rubljih:

Masa plač za vsako skupino delavcev je enaka zmnožku možnosti in frekvence, vsota teh produktov pa daje skupno maso plač vseh delavcev.

V skladu s tem lahko izračune predstavimo v splošni obliki:

Nastala formula se imenuje utežena aritmetična sredina.

Statistično gradivo kot rezultat obdelave je mogoče predstaviti ne samo v obliki diskretnih porazdelitvenih serij, temveč tudi v obliki intervalnih variacijskih serij z zaprtimi ali odprtimi intervali.

Izračun povprečja za združene podatke se izvede po formuli utežene aritmetične sredine:

V praksi ekonomske statistike je včasih potrebno izračunati povprečje po skupinskih povprečjih ali po povprečjih posameznih delov populacije (delna povprečja). V takih primerih se kot možnosti (x) vzamejo skupinska ali delna povprečja, na podlagi katerih se izračuna skupno povprečje kot običajno aritmetično tehtano povprečje.

Osnovne lastnosti aritmetične sredine .

Aritmetična sredina ima več lastnosti:

1. Od zmanjšanja ali povečanja frekvenc vsake vrednosti atributa x za n-krat se vrednost aritmetične sredine ne bo spremenila.

Če vse frekvence delimo ali pomnožimo z določenim številom, se vrednost povprečja ne spremeni.

2. Skupni množitelj posameznih vrednosti atributa se lahko vzame iz znaka povprečja:

3. Povprečna vsota (razlika) dveh ali več količin je enaka vsoti (razliki) njihovih povprečij:

4. Če je x \u003d c, kjer je c konstantna vrednost, potem
.

5. Vsota odstopanj vrednosti značilnosti X od aritmetične sredine x je enaka nič:

Povprečna harmonika.

Skupaj z aritmetično sredino statistika uporablja harmonično sredino, recipročno vrednost aritmetične sredine vzajemnih vrednosti atributa. Tako kot aritmetična sredina je lahko enostavna in utežena.

Poleg povprečij sta značilnosti variacijske serije mod in mediana.

Moda - to je vrednost lastnosti (različice), ki se najpogosteje ponavlja v proučevani populaciji. Za serije diskretne porazdelitve bo način vrednost različice z najvišjo frekvenco.

Za serije intervalne porazdelitve z enakimi intervali je način določen s formulo:

kje
- začetna vrednost intervala, ki vsebuje modus;

- vrednost modalnega intervala;

- modalna intervalna frekvenca;

- pogostost intervala pred modalnim;

- pogostost intervala, ki sledi modalu.

Mediana je različica, ki se nahaja na sredini variacijske vrstice. Če je porazdelitvena serija diskretna in ima liho število članov, bo mediana varianta, ki se nahaja na sredini urejene serije (urejena serija je razporeditev populacijskih enot v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu).

Pri izračunu se povprečna vrednost izgubi.

Povprečje pomen množica števil je enaka vsoti števil S, deljeni s številom teh števil. Se pravi, izkaže se, da povprečje pomen je enako: 19/4 = 4,75.

Opomba

Če morate najti geometrično sredino samo za dve števili, potem ne potrebujete inženirskega kalkulatorja: izvlecite koren druge stopnje ( Kvadratni koren) iz katerega koli števila je mogoče narediti z najpogostejšim kalkulatorjem.

Koristen nasvet

Za razliko od aritmetične sredine na geometrično sredino velika odstopanja in nihanja med posameznimi vrednostmi v proučevanem nizu kazalnikov ne vplivajo tako močno.

Viri:

• Spletni kalkulator, ki izračuna geometrično sredino
• povprečje geometrijska formula

Povprečje vrednost je ena od značilnosti množice števil. Predstavlja število, ki ne more biti zunaj obsega, ki ga določata največja in najmanjša vrednost v tem nizu števil. Povprečje aritmetična vrednost - najpogosteje uporabljena vrsta povprečij.

Navodilo

Seštejte vsa števila v množici in jih delite s številom členov, da dobite aritmetično sredino. Odvisno od posebnih pogojev izračuna je včasih lažje vsako številko razdeliti na število vrednosti v nizu in rezultat sešteti.

Uporabite, na primer, vključeno v operacijski sistem Windows, če v mislih ni mogoče izračunati aritmetične sredine. Odprete ga lahko s pogovornim oknom zaganjalnika programov. Če želite to narediti, pritisnite "vroče tipke" WIN + R ali kliknite gumb "Start" in v glavnem meniju izberite ukaz "Zaženi". Nato v vnosno polje vnesite calc in pritisnite Enter ali kliknite gumb V redu. Enako lahko storite v glavnem meniju - odprite ga, pojdite na razdelek »Vsi programi« in v razdelku »Standard« ter izberite vrstico »Kalkulator«.

Vnesite zaporedno vsa števila v nizu tako, da za vsakim od njih (razen za zadnjim) pritisnete tipko Plus ali kliknete ustrezni gumb v vmesniku kalkulatorja. Številke lahko vnesete tudi s tipkovnico in s klikom na ustrezne gumbe vmesnika.

Pritisnite tipko za poševnico ali kliknite to v vmesniku kalkulatorja po vnosu zadnje nastavljene vrednosti in natisnite število števil v zaporedju. Nato pritisnite enačaj in kalkulator bo izračunal in prikazal aritmetično sredino.

Za isti namen lahko uporabite urejevalnik preglednic Microsoft Excel. V tem primeru zaženite urejevalnik in vnesite vse vrednosti zaporedja številk v sosednje celice. Če po vnosu vsake številke pritisnete Enter ali puščično tipko navzdol ali desno, urejevalnik sam premakne fokus vnosa v sosednjo celico.

Kliknite celico poleg zadnje vnesene številke, če ne želite videti samo aritmetične sredine. Razširite spustni meni grške sigme (Σ) ukazov za urejanje na zavihku Domov. Izberite vrstico " Povprečje” in urednik bo vstavil želeno formulo za izračun povprečja aritmetična vrednost v označeno celico. Pritisnite tipko Enter in vrednost bo izračunana.

Aritmetična sredina je ena od meritev osrednje težnje, ki se pogosto uporablja v matematiki in statističnih izračunih. Iskanje aritmetičnega povprečja več vrednosti je zelo preprosto, vendar ima vsaka naloga svoje nianse, ki jih je preprosto potrebno poznati za pravilno izvedbo izračunov.

Kaj je aritmetična sredina

Kako najti aritmetično sredino

Značilnosti dela z negativnimi števili

1. Iskanje skupne aritmetične sredine po standardni metodi;
2. Iskanje aritmetične sredine negativnih števil.
3. Izračun aritmetične sredine pozitivnih števil.

Odgovori vsakega od dejanj so zapisani ločeno z vejicami.

Naravni in decimalni ulomki

Pri delu z naravne frakcije zmanjšati jih je treba na skupni imenovalec, ki je pomnožen s številom števil v nizu. Števec odgovora bo vsota danih števcev prvotnih ulomkov.

• Inženirski kalkulator.

Navodilo

Upoštevajte, da v splošni primer povprečje geometrijska števila dobimo tako, da ta števila pomnožimo in iz njih izluščimo koren stopnje, ki ustreza številu števil. Na primer, če morate najti geometrično sredino petih števil, boste morali iz zmnožka izvleči stopinjski koren.

Če želite najti geometrično sredino dveh števil, uporabite osnovno pravilo. Poiščite njihov produkt in nato iz njega izluščite kvadratni koren, saj sta številki dve, kar ustreza stopnji korena. Na primer, da bi našli geometrično sredino števil 16 in 4, poiščite njihov produkt 16 4=64. Iz dobljenega števila izluščite kvadratni koren √64=8. To bo želeno vrednost. Prosimo, upoštevajte, da je aritmetična sredina teh dveh števil večja in enaka 10. Če koren ni vzet v celoti, zaokrožite rezultat na želeni vrstni red.

Za iskanje geometrične sredine več kot dveh števil uporabite tudi osnovno pravilo. Če želite to narediti, poiščite zmnožek vseh števil, za katere želite najti geometrično sredino. Iz nastalega produkta izluščite koren stopnje, ki je enak številu številk. Če želite na primer poiskati geometrično sredino števil 2, 4 in 64, poiščite njihov produkt. 2 4 64=512. Ker morate najti rezultat geometrične sredine treh števil, iz izdelka izluščite koren tretje stopnje. Težko je to storiti ustno, zato uporabite inženirski kalkulator. Če želite to narediti, ima gumb "x ^ y". Pokličite številko 512, pritisnite gumb "x^y", nato pokličite številko 3 in pritisnite gumb "1/x", za iskanje vrednosti 1/3 pritisnite gumb "=". Dobimo rezultat dviga 512 na potenco 1/3, kar ustreza korenu tretje stopnje. Dobite 512^1/3=8. To je geometrična sredina števil 2,4 in 64.

Z uporabo inženirskega kalkulatorja lahko geometrično sredino najdete na drug način. Poiščite gumb za prijavo na tipkovnici. Nato vzemite logaritem za vsako od števil, poiščite njihovo vsoto in jo delite s številom števil. Iz dobljenega števila vzemite antilogaritem. To bo geometrična sredina števil. Na primer, da bi našli geometrično sredino istih števil 2, 4 in 64, naredite niz operacij na kalkulatorju. Vnesite številko 2, nato pritisnite gumb za dnevnik, pritisnite gumb "+", vnesite številko 4 in znova pritisnite dnevnik in "+", vnesite 64, pritisnite dnevnik in "=". Rezultat bo število, ki je enako vsoti decimalnih logaritmov števil 2, 4 in 64. Dobljeno število delimo s 3, saj je to število števil, s katerimi iščemo geometrično sredino. Iz rezultata vzemite antilogaritem tako, da preklopite tipko register in uporabite isti ključ dnevnika. Rezultat je število 8, to je želena geometrična sredina.