Prva stopnja

Geometrijsko napredovanje. Izčrpen vodnik s primeri (2019)

Številčno zaporedje

Sedimo torej in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Lahko napišete poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih). Ne glede na to, koliko številk napišemo, lahko vedno rečemo, katera je prva, katera druga, in tako do zadnje, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer zaporedja števil:

Številčno zaporedje je niz številk, ki jim je mogoče dodeliti enolično številko.

Na primer, za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh sekund. Druga številka (na primer -th številka) je vedno ena.

Številka s številko se imenuje th član zaporedja.

Ponavadi imenujemo celotno zaporedje neko črko (na primer,) in vsak član tega zaporedja je ista črka z indeksom, enakim številu tega člana :.

V našem primeru:

Najpogostejši vrsti napredovanja sta aritmetični in geometrijski. V tej temi bomo govorili o drugi vrsti - geometrijsko napredovanje.

Zakaj potrebujemo geometrijsko napredovanje in njegovo zgodovino nastanka.

Že v starih časih se je italijanski matematik Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci) ukvarjal z reševanjem praktičnih trgovinskih potreb. Menih je bil postavljen pred nalogo, da s pomočjo najmanjše količine uteži določi blago? Fibonacci v svojih spisih dokazuje, da je tak sistem uteži optimalen: To je ena prvih situacij, v kateri so se ljudje morali soočiti z geometrijskim napredovanjem, za katerega ste verjetno že slišali in imate vsaj splošni koncept... Ko popolnoma razumete temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?

Trenutno v življenjski praksi geometrijsko napredovanje se kaže pri vlaganju denarja v banko, ko se znesek obresti obračuna na znesek, nabran na računu za preteklo obdobje. Z drugimi besedami, če daš denar na vezani depozit v hranilnico, se bo čez leto depozit povečal za več kot prvotni znesek, tj. nov znesek bo enak depozitu, pomnoženemu z. V naslednjem letu se bo ta znesek povečal za, tj. takrat dobljeni znesek se pomnoži z znova in tako naprej. Podobna situacija je opisana v problemih izračuna t obrestno obrestovanje- odstotek se vsakič vzame iz zneska na računu ob upoštevanju prejšnjih obresti. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.

Obstaja veliko več preprostih primerov, ko se uporablja geometrijsko napredovanje. Na primer, širjenje gripe: ena oseba je okužila osebo, ona pa drugo osebo, zato je drugi val okužbe oseba, oni pa drugo ... itd. .

Mimogrede, finančna piramida, isti MMM, je preprost in suh izračun, ki temelji na lastnostih geometrijskega napredovanja. Zanimivo? Ugotovimo.

Geometrijsko napredovanje.

Recimo, da imamo številčno zaporedje:

Takoj boste odgovorili, da je enostavno in ime takega zaporedja - aritmetično napredovanje z razliko svojih članov. Kaj pa to:

Če prejšnjo odštejete od naslednje številke, boste videli, da vsakič, ko dobite novo razliko (in tako naprej), vendar zaporedje zagotovo obstaja in ga je enostavno opaziti - vsako naslednje število je krat večje od prejšnjega ena!

Ta vrsta zaporedja številk se imenuje geometrijsko napredovanje in je označena z.

Geometrijska progresija () je številčno zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Omejitve, da prvi izraz () ni enak in ne naključen. Recimo, da jih ni, prvi člen pa je še vedno enak in q je enak, hmm .. naj, potem se izkaže:

Strinjajte se, da to ni več nobeno napredovanje.

Kot si lahko predstavljate, bomo dobili enake rezultate, če gre za katero koli število, ki ni nič, in. V teh primerih napredovanja preprosto ne bo, saj bo celotna številčna serija bodisi vse ničle bodisi ena številka in vse druge ničle.

Zdaj pa se pogovorimo podrobneje o imenovalcu geometrijskega napredovanja, torej o.

Ponovimo: je številka, kolikokrat se spremeni vsak naslednji izraz geometrijsko napredovanje.

Kaj misliš, da je to lahko? Pravilno, pozitivno in negativno, ne pa nič (o tem smo govorili nekoliko višje).

Recimo, da imamo pozitivnega. Naj tudi v našem primeru. Kaj je drugi mandat in? Na to lahko enostavno odgovorite:

Vse je pravilno. V skladu s tem, če, potem imajo vsi naslednji člani napredovanja enak znak - oni pozitivno.

Kaj če negativno? Na primer, a. Kaj je drugi mandat in?

To je povsem druga zgodba.

Poskusite prešteti obdobje tega napredovanja. Koliko ste dobili? Imam. Če se torej znaki članov geometrijskega napredovanja izmenjujejo. To pomeni, da če vidite napredovanje z izmeničnimi znaki na njegovih članih, potem je njen imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga, da se preizkusite pri reševanju problemov na to temo.

Zdaj pa malo vadimo: poskusite določiti, katera številska zaporedja so geometrijska progresija in katera aritmetična:

Razumeš? Primerjajmo svoje odgovore:

• Geometrijsko napredovanje - 3, 6.
• Aritmetično napredovanje - 2, 4.
• Niti aritmetična niti geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vrnimo se k svojemu zadnjemu napredovanju in poskusimo poiskati njegov izraz na enak način kot v aritmetiki. Kot ugibate, jo lahko najdete na dva načina.

Vsak izraz zaporedoma pomnožimo z.

Torej, ta član opisanega geometrijskega napredovanja je enak.

Kot ugibate, boste zdaj sami izpeljali formulo, ki vam bo pomagala najti katerega koli člana geometrijskega napredovanja. Ali pa ste ga že sami izpostavili in opisovali, kako korak za korakom najti tega člana? V tem primeru preverite pravilnost svojih razlogov.

Ponazorimo to na primeru iskanja tistega člana danega napredovanja:

Z drugimi besedami:

Sami poiščite vrednost člana danega geometrijskega napredovanja.

Se je zgodilo? Primerjajmo svoje odgovore:

Bodite pozorni, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo zaporedoma pomnožili z vsakim prejšnjim izrazom geometrijskega napredovanja.
Poskusimo to obliko "depersonalizirati" - spravili jo bomo v splošno obliko in dobili:

Izpeljana formula je pravilna za vse vrednosti, tako pozitivne kot negativne. Preverite sami, tako da izračunate člane geometrijskega napredovanja z naslednjimi pogoji: a.

Ste šteli? Primerjajmo pridobljene rezultate:

Strinjate se, da bi bilo mogoče najti člana napredovanja na enak način kot člana, vendar obstaja možnost napačnega štetja. In če smo že našli tisti člen geometrijskega napredovanja, kaj je lahko lažje kot uporaba "odrezanega" dela formule.

Neskončno padajoče geometrijsko napredovanje.

V zadnjem času smo govorili o tem, da jih je lahko več in manj kot nič vendar obstajajo posebni pomeni, za katere se imenuje geometrijsko napredovanje neskončno zmanjšuje.

Zakaj mislite, da je takšno ime?
Najprej zapišite nekaj geometrijskega napredovanja, sestavljenega iz članov.
Recimo, a, nato:

Vidimo, da je vsak naslednji izraz za en faktor manjši od prejšnjega, vendar bo še kakšno število? Takoj boste odgovorili ne. Zato neskončno padajoče - upada, zmanjšuje in nikoli ne postane nič.

Da bi jasno razumeli, kako izgleda vizualno, poskusimo narisati graf našega napredovanja. Torej, v našem primeru ima formula naslednjo obliko:

Za nas je običajno, da gradimo odvisnost od grafikonov, zato:

Bistvo izraza se ni spremenilo: v prvem zapisu smo pokazali odvisnost vrednosti elementa geometrijskega napredovanja od njegove serijske številke, v drugem zapisu pa smo preprosto vzeli vrednost izraza geometrijskega napredovanja kot in zaporedna številka ni bila označena kako, ampak kako. Vse, kar je še treba storiti, je zgraditi graf.
Poglejmo, kaj boste dobili. Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

Vidiš? Funkcija se zmanjša, se nagiba k nič, vendar je nikoli ne prečka, zato se neskončno zmanjšuje. Označimo svoje točke na grafu in hkrati, kaj pomeni koordinata in pomen:

Poskusite shematsko prikazati graf geometrijskega napredovanja, če je tudi njegov prvi člen enak. Analizirajte, kakšna je razlika z našim prejšnjim grafikonom?

Vam je uspelo? Tukaj je graf, ki sem ga dobil:

Zdaj, ko ste popolnoma razumeli osnove teme geometrijskega napredovanja: veste, kaj je, veste, kako najti njen izraz in veste tudi, kaj je neskončno upadajoče geometrijsko napredovanje, pojdimo na njegovo glavno lastnost.

Lastnost geometrijskega napredovanja.

Se spomnite lastnosti članov aritmetičnega napredovanja? Da, da, kako najti vrednost določenega števila napredovanja, ko obstajajo prejšnje in nadaljnje vrednosti članov določenega napredovanja. Se spomnite? To:

Zdaj se soočamo s popolnoma enakim vprašanjem za člane geometrijskega napredovanja. Če želimo izpeljati podobno formulo, začnimo z risanjem in razmišljanjem. Videli boste, da je zelo enostavno in če pozabite, ga lahko iznesete sami.

Vzemimo še eno preprosto geometrijsko napredovanje, v katerem poznamo in. Kako najti? Z aritmetičnim napredovanjem je to enostavno in preprosto, kaj pa tukaj? Pravzaprav tudi v geometrijskem ni nič zapletenega - vsako vrednost, ki ste nam jo dali, morate zapisati s pomočjo formule.

Vprašate, kaj naj zdaj naredimo s tem? Zelo preprosto je. Za začetek bomo te formule prikazali na sliki in z njimi poskušali izvajati različne manipulacije, da bomo dosegli vrednost.

Izvlečemo se iz števil, ki smo jih dobili, osredotočili se bomo le na njihovo izražanje s formulo. Poiskati moramo poudarjeno vrednost oranžna pozna svoje sosede. Poskusimo z njimi različna dejanja, zaradi česar lahko pridemo.

Dodatek.
Poskusimo dodati dva izraza in dobili smo:

Iz tega izraza, kot lahko vidite, nikakor ne moremo izraziti, zato bomo poskusili z drugo možnostjo - odštevanjem.

Odštevanje.

Kot lahko vidite, tudi iz tega ne moremo izraziti, zato bomo te izraze poskušali pomnožiti med seboj.

Množenje.

Zdaj pazljivo preglejte, kaj imamo, pomnožite člane geometričnega napredovanja, ki smo nam jih dali, v primerjavi s tem, kar je treba najti:

Ugani, o čem govorim? Tako je, da ugotovimo, da moramo vzeti Kvadratni koren od pomnoženih med seboj v bližini iskanih števil geometrijskega napredovanja:

Izvoli. Sami ste izpeljali lastnost geometrijskega napredovanja. Poskusite to formulo napisati v jeziku splošni pogled... Se je zgodilo?

Ste pozabili pogoj za? Pomislite, zakaj je pomembno, na primer, poskusite ga izračunati sami, če. Kaj se zgodi v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, saj je formula videti takole:

V skladu s tem ne pozabite na to omejitev.

Zdaj pa izračunajmo, čemu je enako

Pravilen odgovor - ! Če v izračunu niste pozabili druge možne vrednosti, ste odličen fant in lahko takoj nadaljujete s treningom, če pa ste pozabili, preberite spodnje razprave in bodite pozorni, zakaj je treba zapisati obe korenini v odgovoru.

Narišimo obe naši geometrijski progresiji - eno s pomenom, drugo pa s pomenom in preverimo, ali imata oba pravico do obstoja:

Da bi preverili, ali takšen geometrijski napredek obstaja ali ne, je treba preveriti, ali je enak med vsemi njegovimi danimi člani? Izračunajte q za prvi in ​​drugi primer.

Poglejte, zakaj moramo napisati dva odgovora? Ker je predznak zahtevanega izraza odvisen od tega, ali je pozitiven ali negativen! In ker ne vemo, kaj je, moramo oba odgovora zapisati s plusom in minusom.

Zdaj, ko ste osvojili glavne točke in izpeljali formulo za lastnost geometrijskega napredovanja, najdite, vedite in

Prejete odgovore primerjajte s pravilnimi:

Kaj menite, kaj pa, če ne bi dobili vrednosti članov geometrijske progresije, ki mejijo na zahtevano število, ampak enako oddaljene od njega. Na primer, moramo najti, in so dana in. Ali lahko v tem primeru uporabimo formulo, ki smo jo izpeljali? Poskusite to možnost potrditi ali zanikati na enak način, tako da zapišete, iz česa je sestavljena vsaka vrednost, kot ste to storili, ko ste prvotno izpeljali formulo.
Kaj si naredil?

Zdaj pa poglej še enkrat.
in temu primerno:

Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo s sosednjimi z zahtevanimi pogoji geometrijskega napredovanja, pa tudi z enako oddaljena od iskanih članov.

Tako ima naša začetna formula obliko:

To je, če smo v prvem primeru to rekli, zdaj pravimo, da je lahko enako kateremu koli naravnemu številu, ki je manjše. Glavna stvar je biti enak za obe dani številki.

Vadite naprej konkretni primeri, le previdno bodite!

1. ,. Najti.
2. ,. Najti.
3. ,. Najti.

Odločil sem se? Upam, da ste bili izjemno pozorni in opazili majhen ulov.

Rezultate primerjamo.

V prvih dveh primerih mirno uporabimo zgornjo formulo in dobimo naslednje vrednosti:

V tretjem primeru ob natančnem premisleku o zaporednih številkah števil, ki smo nam jih dali, razumemo, da niso enako oddaljeni od številke, ki jo iščemo: je prejšnja številka, vendar odstranjena v položaju, zato ni mogoče za uporabo formule.

Kako ga lahko rešimo? Pravzaprav ni tako težko, kot se sliši! Zapišimo z vami, iz česa je sestavljena vsaka številka, ki nam jo damo, in zahtevano število.

Torej, imamo in. Poglejmo, kaj lahko storite z njimi? Predlagam, da se deli z. Dobimo:

Podatke nadomestimo v formulo:

Naslednji korak, ki ga lahko najdemo - za to moramo narediti kubični koren od nastale številke.

In zdaj še enkrat pogledamo, kaj imamo. Imamo ga, vendar ga moramo najti, ta pa je enak:

Našli smo vse potrebne podatke za izračun. Nadomestite v formulo:

Naš odgovor: .

Poskusite sami rešiti še en podoben problem:
Glede na :,
Najti:

Koliko ste dobili? Imam - .

Kot vidite, pravzaprav potrebujete zapomnite si samo eno formulo-. Vse ostalo lahko kadar koli sami umaknete brez težav. Če želite to narediti, preprosto napišite na papir najpreprostejše geometrijsko napredovanje in zapišite, kaj je po zgornji formuli vsako njegovo število enako.

Vsota članov geometrijske progresije.

Zdaj razmislite o formulah, ki nam omogočajo hiter izračun vsote članov geometrijske progresije v določenem intervalu:

Da bi izpeljali formulo za vsoto članov končne geometrijske napredovanja, pomnožimo vse dele višje enačbe z. Dobimo:

Pozorno poglejte: kaj imata skupni zadnji formuli? Tako je, na primer skupni člani itd., Razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo od 2. enačbe odšteti 1.. Kaj si naredil?

Zdaj izrazite izraz geometrijskega napredovanja s formulo in nastali izraz nadomestite z našo zadnjo formulo:

Izraz združite v skupine. Morali bi dobiti:

Preostane le še izraziti:

Skladno s tem v tem primeru.

Kaj če? Katera formula potem deluje? Predstavljajte si geometrijsko napredovanje pri. Kakšna je? Pravilno niz enakih števil bo formula videti takole:

V aritmetičnem in geometričnem napredovanju je veliko legend. Ena izmed njih je legenda o Sethu, ustvarjalcu šaha.

Mnogi vedo, da so šahovsko igro izumili v Indiji. Ko jo je hindujski kralj spoznal, je bil navdušen nad njeno duhovitostjo in raznolikostjo možnih položajev v njej. Ko je kralj izvedel, da si ga je izmislil eden od njegovih podanikov, se je odločil, da ga bo osebno nagradil. K sebi je poklical izumitelja in mu naročil, naj ga prosi za vse, kar hoče, obljubil pa je, da bo izpolnil še tako spretno željo.

Seta je prosil za čas za razmislek in ko se je naslednji dan kralju prikazal Seth, je kralja presenetil z neprimerljivo skromnostjo njegove zahteve. Prosil je, naj podeli pšenično zrno za prvi kvadrat šahovnice, za drugega za pšenična zrna, za tretjega, za četrtega itd.

Kralj je bil jezen in odgnal Setha, rekoč, da je bila hlapčeva prošnja nevredna kraljeve velikodušnosti, vendar je obljubil, da bo hlapec dobil svoja zrna za vse celice deske.

In zdaj vprašanje: z uporabo formule za vsoto članov geometrijske progresije izračunajte, koliko zrn naj dobi Seta?

Začnimo z razmišljanjem. Ker je Seta glede na pogoj prosil za pšenično zrno za prvi kvadrat šahovnice, za drugega, za tretjega, za četrtega itd., To vidimo v težavi prihaja o geometrijskem napredovanju. Kaj je v tem primeru enako?
Prav.

Skupaj celice šahovnice. Skladno s tem. Vse podatke imamo, ostane le, da jih nadomestimo v formulo in izračunamo.

Da bi predstavljali vsaj približno "lestvice" določenega števila, pretvorimo z uporabo lastnosti stopnje:

Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, katero številko boste na koncu dobili, če pa ne, mi boste morali verjeti na besedo: končna vrednost izraza bo.
Tj.

kvintilijon kvadrilijonov bilijonov milijard milijonov tisoč.

Fuh) Če si želite predstavljati ogromnost tega števila, potem ocenite, kako velik hlev bi moral vsebovati celotno količino žita.
Pri višini hleva m in širini m bi se morala njegova dolžina raztezati na km, t.j. dvakrat tako daleč kot od Zemlje do Sonca.

Če bi bil kralj močan v matematiki, bi lahko predlagal, da znanstvenik sam prešteje zrna, ker bi za preštevanje milijona zrn potreboval vsaj en dan neumornega štetja, in glede na to, da je treba šteti kvintiljone, bi zrna je treba šteti vse življenje.

Zdaj pa rešimo preprost problem za vsoto članov geometrijske progresije.
Vasya, učenka razreda 5 A, ima gripo, vendar še naprej hodi v šolo. Vsak dan Vasya okuži dve osebi, ta pa še dve osebi itd. V razredu so ljudje. Čez koliko dni bo cel razred zbolel za gripo?

Torej, prvi član geometrijskega napredovanja je Vasya, torej oseba. Ta član geometrijskega napredovanja sta osebi, ki ju je okužil prvi dan prihoda. skupni znesekčlani napredovanja je enako številu študentov 5A. Skladno s tem govorimo o napredovanju, pri katerem:

Zamenjajmo svoje podatke v formuli za vsoto članov geometrijske progresije:

Ves dan bo zbolel ves razred. Ali ne verjamete v formule in številke? Poskusite sami prikazati "okužbo" učencev. Se je zgodilo? Poglejte, kako izgleda zame:

Sami izračunajte, koliko dni bi učenci potrebovali gripo, če bi vsak okužil osebo in bi bila oseba v razredu.

Kakšno vrednost ste dobili? Izkazalo se je, da so vsi začeli zbolevati po enem dnevu.

Kot lahko vidite, je takšna naloga in risanje k njej podobna piramidi, v katero vsaka naslednja "pripelje" nove ljudi. Prej ali slej pa nastopi trenutek, ko slednji ne more nikogar privabiti. Če si predstavljamo, da je razred izoliran, bo oseba iz verige zaprla verigo (). Če je bila torej oseba vpletena v finančno piramido, v kateri je bil dan denar, če pripeljete še dva udeleženca, potem oseba (oz. splošni primer) ne bi pripeljal nikogar, zato bi izgubil vse, kar so vložili v to finančno prevaro.

Vse, kar je bilo rečeno zgoraj, se nanaša na padajočo ali naraščajočo geometrijsko napredovanje, toda, kot se spomnite, imamo posebno vrsto - neskončno padajočo geometrijsko napredovanje. Kako izračunati vsoto svojih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene značilnosti? Urediva skupaj.

Torej, najprej poglejmo to številko neskončno padajočega geometrijskega napredovanja iz našega primera:

Zdaj pa poglejmo formulo za vsoto geometrijskega napredovanja, izpeljano nekoliko prej:
ali

Za kaj si prizadevamo? Tako je, graf kaže, da se nagiba k nič. To pomeni, da ko bo skoraj enako, pri izračunu izraza dobimo skoraj. V zvezi s tem menimo, da lahko pri izračunu vsote neskončno padajočega geometrijskega napredovanja ta nosilec zanemarimo, saj bo enak.

- formula je vsota členov neskončno padajočega geometrijskega napredovanja.

POMEMBNO! Formulo uporabljamo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije le, če pogoj izrecno navaja, da moramo najti vsoto neskončnoštevilo članov.

Če je navedeno določeno število n, potem uporabimo formulo za vsoto n izrazov, četudi oz.

Zdaj pa vadimo.

1. Poiščite vsoto prvih členov geometrijskega napredovanja z in.
2. Poiščite vsoto členov neskončno padajočega geometrijskega napredovanja z in.

Upam, da ste bili izjemno pozorni. Primerjajmo svoje odgovore:

Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju in čas je, da preidete s teorije na prakso. Najpogostejši problemi z geometrijskim napredovanjem, na katere naletimo na izpitu, so problemi z obrestnimi merami. O njih se bomo pogovarjali.

Naloge za izračun sestavljenih obresti.

Verjetno ste že slišali za tako imenovano formulo sestavljenih obresti. Ali razumete kaj misli? Če ne, ugotovimo, kajti po samem postopku boste takoj razumeli in tukaj je geometrijski napredek.

Vsi gremo v banko in vemo, da obstajajo različne pogoje na depozite: to je tako rok kot dodatna storitev in obresti z dvema različne poti njegovo obračunavanje je preprosto in zapleteno.

OD preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se zaračunajo enkrat na koncu roka pologa. To pomeni, da če rečemo, da za leto damo 100 rubljev, bo to pripisano šele konec leta. V skladu s tem bomo do konca pologa prejeli rublje.

Obrestno obrestovanje- to je možnost, pri kateri obstaja kapitalizacija obresti, tj. njihovo dodajanje znesku vloge in naknadni izračun dohodka ne od začetnega, ampak od nabranega zneska vloge. Uporaba velikih začetnic se ne dogaja nenehno, ampak z določeno pogostostjo. Takšna obdobja so praviloma enaka in banke najpogosteje uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.

Recimo, da damo enake rublje po letnih stopnjah, vendar z mesečno kapitalizacijo vloge. Kaj dobimo?

Ali tukaj vse razumete? Če ne, ugotovimo po fazah.

Na banko smo prinesli rublje. Do konca meseca bi moral imeti na našem računu znesek, sestavljen iz naših rubljev plus obresti, to je:

Strinjam se?

Lahko ga postavimo zunaj nosilca in dobimo:

Se strinjate, ta formula je že bolj podobna tisti, ki smo jo napisali na začetku. Treba se je še spopasti z obrestmi

V izjavi o problemu nam povedo o letnem. Kot veste, se ne pomnožimo z - obresti pretvorimo v decimalk, tj .:

Prav? Zdaj vprašate, od kod številka? Zelo preprosto!
Ponavljam: izjava o problemu pravi o LETNO natečene obresti MESEČNO... Kot veste, nam bo banka čez leto dni zaračunala del letnih obresti na mesec:

Uresničili? Zdaj poskusite napisati, kako bo videti ta del formule, če rečem, da se obresti izračunavajo dnevno.
Vam je uspelo? Primerjajmo rezultate:

Dobro opravljeno! Vrnimo se k svoji nalogi: zapišite, koliko bo nakazanih na naš račun za drugi mesec, ob upoštevanju, da se na skupni znesek depozita zaračunajo obresti.
Tukaj sem dobil:

Ali z drugimi besedami:

Mislim, da ste že opazili vzorec in v vsem tem videli geometrijsko napredovanje. Zapišite, čemu bo enak njegov član ali, z drugimi besedami, koliko denarja bomo prejeli konec meseca.
Končano? Preverjanje!

Kot lahko vidite, če denar vložite v banko eno leto z enostavnimi obrestmi, potem boste prejeli rublje, če pa po zapleteni stopnji - rublje. Korist je majhna, vendar se to zgodi šele med letom, vendar je za daljše obdobje kapitalizacija veliko bolj donosna:

Razmislimo o drugi vrsti težav z obrestnimi obrestmi. Po tem, kar ste ugotovili, bo za vas osnovno. Torej naloga:

Podjetje Zvezda je v to industrijo začelo vlagati leta 2000 s kapitalom v dolarjih. Vsako leto od leta 2001 dobiva dobiček, ki je iz kapitala preteklega leta. Kolikšen dobiček bo konec leta 2003 dobilo podjetje Zvezda, če dobiček ni umaknjen iz obtoka?

Kapital družbe "Zvezda" leta 2000.
- kapital družbe "Zvezda" leta 2001.
- kapital družbe "Zvezda" leta 2002.
- kapital družbe "Zvezda" leta 2003.

Lahko pa na kratko napišemo:

Za naš primer:

2000, 2001, 2002 in 2003.

Ustrezno:
rubljev
Upoštevajte, da v tej težavi nimamo delitve na niti z, saj je odstotek podan LETNO in se izračuna LETNO. Se pravi, ko berete težavo za sestavljene obresti, bodite pozorni na to, kolikšen odstotek je dan in v katerem obdobju se zaračuna, in šele nato nadaljujte z izračuni.
Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju.

Telovaditi.

1. Poiščite eksponentni izraz, če je to znano, in
2. Poiščite vsoto prvih členov geometrijskega napredovanja, če je to znano, in
3. MDM Capital je začel vlagati v industrijo leta 2003 in je imel kapital v dolarjih. Vsako leto, od leta 2004 dalje, ustvarja dobiček, ki je iz kapitala preteklega leta. Družba "MSK Cash Flow" je začela vlagati v industrijo v letu 2005 v višini 10.000 USD, leta 2006 pa je začela ustvarjati dobiček v višini. Koliko dolarjev je kapital enega podjetja več kot drugega konec leta 2007, če dobiček ni bil umaknjen iz obtoka?

Odgovori:

1. Ker stavek problema ne pravi, da je napredovanje neskončno in je treba najti vsoto določenega števila njegovih članov, se izračun izvede po formuli:
2. 
   MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - poveča se za 100%, to je 2-krat.
   Ustrezno:
   rubljev
   MSK denarni tokovi:

   2005, 2006, 2007.
   - se poveča za, to je v krat.
   Ustrezno:
   rubljev
   rubljev

Povzemimo.

1) Geometrijska progresija () je številčno zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

2) Enačba članov geometrijske progresije -.

3) lahko zavzame poljubne vrednosti, razen in.

• če pa imajo vsi naslednji člani napredovanja enak znak - oni pozitivno;
• če, potem vsi nadaljnji člani napredovanja nadomestni znaki;
• at - napredovanje se imenuje neskončno padajoče.

4), ker je lastnost geometrijskega napredovanja (sosednji izrazi)

ali
, na (enako oddaljeni izrazi)

Pri iskanju tega ne pozabite odgovora bi morala biti dva.

Na primer

5) Vsota članov geometrijske progresije se izračuna po formuli:
ali

Če se napredovanje neskončno zmanjšuje, potem:
ali

POMEMBNO! Formulo uporabljamo za vsoto členov neskončno padajočega geometrijskega napredovanja le, če pogoj izrecno navaja, da je treba najti vsoto neskončnega števila členov.

6) Težave za obrestne obresti se izračunajo tudi po formuli -tega člena geometrijskega napredovanja, če sredstva niso umaknjena iz obtoka:

GEOMETRIJSKI NAPREDEK. KRATKO O GLAVNEM

Geometrijsko napredovanje() je številčno zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Imenovalec geometrijskega napredovanja lahko zavzame katere koli vrednosti, razen in.

• Če imajo potem vsi naslednji člani napredovanja enak znak - so pozitivni;
• če, potem se vsi nadaljnji člani napredovanja izmenjujejo z znaki;
• at - napredovanje se imenuje neskončno padajoče.

Enačba članov geometrijske progresije - .

Vsota članov geometrijske progresije izračunano po formuli:
ali

Formula za n-ti člen geometrijskega napredovanja je zelo preprosta. Tako v pomenu kot v splošnem videzu. Toda za formulo n-tega izraza obstajajo najrazličnejši problemi - od zelo primitivnih do precej resnih. In v procesu našega spoznavanja bomo zagotovo upoštevali oboje. No, spoznajmo se?)

Torej, za začetek formulan

Tu je:

b n = b 1 · q n -1

Formula kot formula, nič nadnaravnega. Videti je še bolj preprosto in bolj kompaktno kot podobna formula za. Pomen formule je prav tako preprost, kot klobučevina.

Ta formula vam omogoča, da po NJEGOVI ŠTEVILKI poiščete VSAKEGA člana geometrijskega napredovanja " n".

Kot lahko vidite, je pomen popolna analogija z aritmetičnim napredovanjem. Število n poznamo - izraz lahko izračunamo tudi pod to številko. Kaj želimo. Ne da bi jih veliko, velikokrat zaporedoma pomnožili s "q". To je celotna poanta.)

Razumem, da bi vam morale biti na tej ravni dela s progresijami že vse vrednosti, vključene v formulo, jasne, vendar vseeno menim, da je moja dolžnost razbrati vsako. Za vsak slučaj.

Torej gremo:

b 1 – najprejčlan geometrijske progresije;

q – ;

n- številka člana;

b n – nth (nth)član geometrijske progresije.

Ta formula povezuje štiri glavne parametre katerega koli geometrijskega napredovanja - bn, b 1 , q in n... In okoli teh štirih ključnih figur se vrtijo vse naloge v napredovanju.

"Kako je prikazan?"- Slišim radovedno vprašanje ... Osnovno! Poglej!

Čemu je enako drugiččlan napredka? Ni problema! Neposredno pišemo:

b 2 = b 1 q

In tretji mandat? Tudi problem ni! Pomnožimo drugi člen še enkrat naprejq.

Všečkaj to:

B 3 = b 2 q

Spomnimo se, da je drugi člen po drugi strani enak b 1 q in ta izraz nadomestimo v našo enakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobimo:

B 3 = b 1 q 2

Zdaj pa preberite naš vnos v ruščini: Tretji izraz je enak prvemu članu, pomnoženemu s q v drugič stopnjo. Ali razumeš? Ne še? Prav, še en korak.

Kaj je četrti mandat? Vse enako! Pomnožite prejšnji(tj. tretji izraz) z q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Skupaj:

B 4 = b 1 q 3

In spet prevajamo v ruščino: četrti izraz je enak prvemu članu, pomnoženemu s q v tretjič stopnjo.

Itd. Torej, kako? Imate vzorec? Ja! Za kateri koli izraz s poljubnim številom bo vedno enako število faktorjev q (tj. Stopnja imenovalca) eno manj od števila zahtevanega izrazan.

Zato bo naša formula brez možnosti:

b n =b 1 · q n -1

To je vse.)

No, rešimo težave, verjetno?)

Reševanje težav s formulonth član geometrijskega napredovanja.

Začnimo, kot običajno, z neposredno uporabo formule. Tu je tipična težava:

Eksponentno je znano, da b 1 = 512 in q = -1/2. Poiščite deseti izraz v napredovanju.

Seveda je to težavo mogoče rešiti brez kakršnih koli formul. Neposredno v smislu geometrijskega napredovanja. Ampak se moramo ogreti s formulo za n-ti mandat, kajne? Tako se ogrejemo.

Naši podatki za uporabo formule so naslednji.

Prvi izraz je znan. 512 je.

b 1 = 512.

Imenovalec napredovanja je znan tudi: q = -1/2.

Ostane le še ugotoviti, kakšno je število člana n. Ni problema! Nas zanima deseti mandat? Torej v splošni formuli nadomestimo deset namesto n.

In natančno štejemo aritmetiko:

Odgovor: -1

Kot lahko vidite, se je deseti čas napredovanja izkazal z minusom. Ni čudno: imenovalec napredovanja je -1/2, tj. negativnoštevilko. In to nam pove, da se znaki našega napredovanja izmenjujejo, da.)

Tu je vse preprosto. In tu je podobna naloga, vendar nekoliko bolj zapletena v smislu izračunov.

Eksponentno je znano, da:

b 1 = 3

Poiščite trinajsti izraz v napredovanju.

Vse je enako, le da je tokrat imenovalec napredovanja iracionalno... Koren dveh. No, v redu je. Formula je univerzalna stvar, spopada se s poljubnimi številkami.

Delamo neposredno po formuli:

Formula je seveda delovala, kot bi morala, toda ... tu bodo nekateri zamrznili. Kaj storiti naprej s korenom? Kako dvigniti koren na dvanajsto stopnjo?

Kako, kako ... Morate razumeti, da je katera koli formula seveda dobra stvar, vendar znanje vse dosedanje matematike ni preklicano! Kako graditi? Da, lastnosti stopinj, ki jih je treba zapomniti! Pretvorimo korenino v delni eksponent in - v skladu s formulo za stopnjevanje.

Všečkaj to:

Odgovor: 192

In to je vse.)

Kaj je glavna težava pri neposredni uporabi formule n-izraza? Ja! Glavna težava je delajte z diplomami! In sicer - stopnjevanje negativna števila, frakcije, korenine in podobno. Torej tisti, ki imajo težave s tem, nujna prošnja za ponovitev stopinj in njihovih lastnosti! V nasprotnem primeru boste upočasnili v tej temi, ja ...)

Zdaj pa rešimo tipične težave pri iskanju enega od elementov formuleče so dana vsa druga. Za uspešno rešitev takšnih težav je recept enoten in strašno preprost - pisanje formulenth član na splošno! Točno v zvezku poleg pogoja. Potem pa iz stanja ugotovimo, kaj nam je bilo dano in česa primanjkuje. In izražamo iz formule zahtevano vrednost... Vse!

Na primer, tako neškodljiva naloga.

Peti člen geometrijskega napredovanja z imenovalcem 3 je 567. Poiščite prvi člen tega napredovanja.

Nič zapletenega. Delamo neposredno po uroku.

Zapišemo formulo za n-ti izraz!

b n = b 1 · q n -1

Kaj nam je bilo dano? Najprej je naveden imenovalec napredovanja: q = 3.

Poleg tega smo dobili peti mandat: b 5 = 567 .

Vse? Ne! Dobili smo tudi številko n! To je petica: n = 5.

Upam, da že razumete, kaj je na posnetku b 5 = 567 naenkrat sta skrita dva parametra - to je že peti izraz (567) in njegovo število (5). V podobni lekciji o tem sem že govoril o tem, toda mislim, da vas ni odveč opozoriti.)

Zdaj svoje podatke nadomestimo v formulo:

567 = b 1 · 3 5-1

Štejemo aritmetiko, poenostavimo in dobimo preprosto linearna enačba:

81 b 1 = 567

Rešimo in dobimo:

b 1 = 7

Kot vidite, z iskanjem prvega člana ni težav. Ko pa iščemo imenovalec q in številke n morda obstajajo presenečenja. In tudi nanje morate biti pripravljeni (na presenečenja), ja.)

Na primer ta težava:

Peti člen geometrijskega napredovanja s pozitivnim imenovalcem je 162, prvi člen tega napredovanja pa 2. Poiščite imenovalec napredovanja.

Tokrat imamo prvi in ​​peti izraz ter najdemo imenovalec napredovanja. Začnimo torej.

Napišemo formulonth član!

b n = b 1 · q n -1

Naši začetni podatki bodo naslednji:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Premalo pomena q... Ni problema! Zdaj ga bomo našli.) V formulo nadomestimo vse, kar vemo.

Dobimo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Preprosta enačba četrte stopnje. Ampak zdaj - previdno! V tej fazi rešitve mnogi učenci takoj radostno izvlečejo korenino (četrta stopnja) in dobijo odgovor. q=3 .

Všečkaj to:

q 4 = 81

q = 3

Toda pravzaprav je to nedokončan odgovor. Natančneje, nepopolno. Zakaj? Bistvo je, da je odgovor tak q = -3 ustreza tudi: (-3) 4 je tudi 81!

To je posledica dejstva, da enačba moči x n = a vedno je dve nasprotni korenini ob celon . Z plusom in minusom:

Oba ustrezata.

Na primer reševanje (tj. drugič stopnja)

x 2 = 9

Iz nekega razloga niste presenečeni nad videzom dva korenine x = ± 3? Tu je ista stvar. In s katerim koli drugim celo stopnja (četrta, šesta, deseta itd.) bo enaka. Podrobnosti - v temi o

torej pravilna rešitev bi bilo tako:

q 4 = 81

q= ± 3

V redu, našli smo znake. Kateri je pravilen - plus ali minus? No, še enkrat preberemo stanje problema v iskanju Dodatne informacije. Seveda ga morda ni, toda pri tej nalogi takšne informacije na voljo. V našem stanju je v navadnem besedilu rečeno, da je napredovanje dano s pozitivni imenovalec.

Zato je odgovor očiten:

q = 3

Tu je vse preprosto. Kaj bi bilo po vašem mnenju, če bi bila izjava o težavi takšna:

Peti člen geometrijskega napredovanja je 162, prvi člen tega napredovanja pa 2. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kakšna je razlika? Ja! V stanju nič ni rečeno o znamenju imenovalca. Niti neposredno niti posredno. In tu bi naloga že imela dve rešitvi!

q = 3 in q = -3

Da, da! In s plusom in minusom.) Matematično bi to dejstvo pomenilo, da obstajajo dve progresiji ki ustrezajo pogoju težave. In za vsakega - svoj imenovalec. Za zabavo vadite in zapišite prvih pet članov vsakega.)

Zdaj pa vadimo najti številko člana. To je najtežja naloga, ja. Toda tudi bolj kreativni.)

Podana je geometrijska stopnja:

3; 6; 12; 24; …

Kakšno je število 768 v tem napredovanju?

Prvi korak je še vedno enak: pisanje formulenth član!

b n = b 1 · q n -1

In zdaj, kot ponavadi, vanj nadomestimo podatke, ki jih poznamo. Hm ... ni zamenjano! Kje je prvi izraz, kje je imenovalec, kje je vse ostalo ?!

Kje, kje ... In zakaj rabimo oči? Pleskajte s trepalnicami? Tokrat nam je napredovanje dano neposredno v obliki zaporedje. Vidite prvi izraz? Vidimo! To je trojka (b 1 = 3). Kaj pa imenovalec? Zaenkrat je še ne vidimo, je pa zelo enostavno šteti. Če seveda razumete.

Torej štejemo. Neposredno v smislu geometrijskega napredovanja: vzamemo katerega koli njegovega člana (razen prvega) in delimo s prejšnjim.

Vsaj takole:

q = 24/12 = 2

Kaj še vemo? Poznamo tudi določenega člana tega napredovanja, ki je enak 768. Pod neko številko n:

b n = 768

Njegova številka nam ni znana, vendar je naša naloga natančno najti.) Torej iščemo. V formulo smo že prenesli vse potrebne podatke za zamenjavo. Sama ne vem.)

Torej nadomestimo:

768 = 3,2n -1

Izvajamo elementarne - oba dela razdelimo na tri in enačbo prepišemo v običajno obliko: neznano na levi, znano - na desni.

Dobimo:

2 n -1 = 256

Tukaj je zanimiva enačba. Najti moramo "n". Kaj je nenavadno? Ja, ne trdim. Pravzaprav je to najpreprosteje. Tako se imenuje, ker neznano (v ta primer to številko n) stoji v indikator stopnjo.

V fazi spoznavanja geometrijske napredovanja (to je deveti razred) eksponentnih enačb ne učijo reševanja, ja ... To je tema za srednjo šolo. Ni pa nič strašnega. Tudi če ne veste, kako so takšne enačbe rešene, bomo poskušali najti svojo n ki jih vodi preprosta logika in zdrava pamet.

Začnemo sklepati. Na levi imamo dvojko do določene mere... Za zdaj še ne vemo, kaj točno je to diploma, vendar to ni strašljivo. Toda po drugi strani trdno vemo, da je ta stopnja enaka 256! Torej se spomnimo, v kolikšni meri nam dva daje 256. Se spomniš? Ja! IN osmi stopnja!

256 = 2 8

Če se še niste spomnili ali s prepoznavanjem stopenj problema, potem je tudi v redu: dva zaporedoma dvignemo na kvadrat, na kocko, na četrto stopnjo, peto itd. Dejansko je izbor, a na tej ravni - kar vožnja.

Tako ali drugače dobimo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Torej 768 je devetičlan našega napredka. To je to, težava je rešena.)

Odgovor: 9

Kaj? Dolgočasno? Se naveličali elementarizma? Strinjam se. Jaz tudi. Pojdimo na naslednjo stopnjo.)

Zahtevnejše naloge.

In zdaj težave rešujemo bolj naglo. Ne ravno super kul, vendar jih čaka še nekaj dela, da pridejo do odgovora.

Na primer to.

Poiščite drugi člen geometrijskega napredovanja, če je četrti člen -24, sedmi člen pa 192.

To je klasika žanra. Znana sta dva različna člana napredovanja, vendar je treba najti še nekaj članov. Poleg tega vsi člani NISO sosednji. Kar je sprva neprijetno, ja ...

Tako kot v nadaljevanju bomo obravnavali dva načina za reševanje takih problemov. Prva metoda je univerzalna. Algebrski. Deluje brezhibno z vsemi izvornimi podatki. Zato bomo začeli z njim.)

Vsak izraz zapišemo po formuli nth član!

Vse je povsem tako kot pri aritmetičnem napredovanju. Samo tokrat sodelujemo z drugo splošna formula. To je vse.) A bistvo je enako: vzamemo in enega za drugim svoje začetne podatke nadomestimo v formulo n-tega pojma. Za vsakega člana - svojega.

Za četrtega člana pišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tukaj je. Ena enačba je pripravljena.

Za sedmega člana pišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Skupaj smo dobili dve enačbi za isti napredek .

Od njih zbiramo sistem:

Kljub strašljivemu videzu je sistem dokaj preprost. Najbolj očitna rešitev je navadna zamenjava. Izražamo b 1 iz zgornje enačbe in nadomestimo v spodnjo:

Potem, ko smo se malo poigrali z spodnjo enačbo (z zmanjšanjem moči in delitvijo na -24), dobimo:

q 3 = -8

Mimogrede, do iste enačbe lahko pridete na preprostejši način! Kako? Zdaj vam bom pokazal še eno skrivnost, a zelo lepo, močno in uporaben način rešitve podobnih sistemov. Takšni sistemi, v enačbah katerih sedijo deluje samo. Vsaj en. Klican metoda delitve pojmov enačba v drugo.

Pred nami je torej sistem:

V obeh enačbah na levi - sestava in na desni je samo številka. To je zelo dober znak.) Vzemimo in ... delimo, recimo, spodnjo enačbo z zgornjo! Kaj pomeni, deliti eno enačbo na drugo? Zelo preprosto. Vzamemo leva stran ena enačba (spodnja) in razdeli jo naprej leva stran druga enačba (zgoraj). Desna stran je podobna: desna stran enačba razdeli na desna stran drugo.

Celoten postopek delitve je videti takole:

Zdaj, ko smo zmanjšali vse, kar se zmanjša, dobimo:

q 3 = -8

Zakaj je ta metoda dobra? Da, ker je v postopku takšne delitve vse, kar je slabo in neprijetno, mogoče varno zmanjšati in ostane popolnoma neškodljiva enačba! Zato je tako pomembno imeti samo množenja v vsaj eni od enačb sistema. Ni množenja - ni česa za zmanjšanje, ja ...

Na splošno si ta metoda (tako kot mnogi drugi netrivialni načini reševanja sistemov) zasluži celo ločeno lekcijo. Vsekakor ga bom podrobneje analiziral. Nekega dne…

Vendar je vseeno, kako rešujete sistem, v vsakem primeru moramo zdaj rešiti nastalo enačbo:

q 3 = -8

Ni problema: izvlecite koren (kubični) in končali ste!

Upoštevajte, da vam pri ekstrahiranju tukaj ni treba dodati plus / minus. Imamo liho (tretjo) stopnjo korena. In tudi odgovor je enak, da.)

Torej, imenovalec napredovanja je bil najden. Minus dva. Odlično! Postopek je v teku.)

Za prvi izraz (recimo iz zgornje enačbe) dobimo:

Odlično! Poznamo prvi izraz, poznamo imenovalec. In zdaj imamo priložnost najti katerega koli člana napredovanja. Vključno z drugim.)

Za drugi mandat je vse povsem preprosto:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odgovor: -6

Tako smo postavili algebrski način reševanja problema. Zapleteno? Ne res, se strinjam. Dolgo in dolgočasno? Da, popolnoma. Toda včasih lahko znatno zmanjšate količino dela. Za to obstaja grafični način. Dobro staro in nam znano.)

Risanje problema!

Ja! Točno tako. Ponovno narišite naš napredek na številčni osi. Ni treba slediti vladarju, ni treba vzdrževati enakih intervalov med člani (ki mimogrede ne bodo enaki, saj je napredovanje geometrijsko!), Ampak preprosto shematsko nariši naše zaporedje.

Dobil sem ga takole:

In zdaj pogledamo sliko in razmišljamo. Koliko enakih dejavnikov "q" deli četrti in sedmičlani? Tako je, trije!

Zato imamo vso pravico zapisati:

-24q 3 = 192

Zato q zdaj zlahka iščemo:

q 3 = -8

q = -2

To je super, imenovalec je že v našem žepu. In zdaj spet pogledamo sliko: koliko takih imenovalcev sedi med njimi drugič in četrtičlani? Dva! Za zapis povezave med temi izrazi bo torej imenovalec na kvadrat.

Torej pišemo:

b 2 · q 2 = -24 od kod b 2 = -24/ q 2

Najdeni imenovalec nadomestimo v izraz za b 2, preštejemo in dobimo:

Odgovor: -6

Kot lahko vidite, je vse veliko lažje in hitreje kot prek sistema. Poleg tega tukaj sploh ni bilo treba šteti prvega mandata! Sploh ne.)

Tu je preprost in intuitiven način osvetlitve. Ima pa tudi resno pomanjkljivost. Ste že uganili? Ja! Deluje samo za zelo kratke rezine napredovanja. Tiste, pri katerih razdalje med člani, ki nas zanimajo, niso zelo velike. Toda v vseh drugih primerih je že težko risati sliko, ja ... Potem problem rešujemo analitično, prek sistema.) In sistemi so univerzalna stvar. Obravnavati je mogoče poljubne številke.

Še en epski izziv:

Drugi člen geometrijskega napredovanja je za 10 večji od prvega, tretji pa za 30 več kot drugi. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kaj je kul? Sploh ne! Vse enako. Izjavo problema spet prevedemo v čisto algebro.

1) Vsak izraz zapišemo po formuli nth član!

Drugi izraz: b 2 = b 1 q

Tretji izraz: b 3 = b 1 q 2

2) Povezavo med člani zapišemo iz izjave o problemu.

Prebrali smo pogoj: "Drugi izraz geometrijskega napredovanja je 10 več kot prvi." Stop, to je dragoceno!

Torej pišemo:

b 2 = b 1 +10

In to frazo prevedemo v čisto matematiko:

b 3 = b 2 +30

Imamo dve enačbi. Združujemo jih v sistem:

Sistem je videti preprost. Obstaja pa veliko različnih indeksov za črke. Namesto drugega in tretjega izraza njihovega izraza nadomestimo s prvim izrazom in imenovalcem! Ali smo jih zaman slikali?

Dobimo:

Toda tak sistem ni več darilo, ja ... Kako to rešiti? Na žalost univerzalni skrivni urok za reševanje kompleksnih nelinearno v matematiki ni sistemov in jih ne more biti. To je fantastično! Toda prva stvar, ki bi vam morala pasti na pamet, ko poskušate zlomiti tako trdo matico, je ugotoviti vendar se ena od enačb sistema zmanjša na čudovit pogled, ki na primer omogoča enostavno izražanje ene od spremenljivk skozi drugo?

Torej, ocenimo. Prva enačba sistema je očitno preprostejša od druge. Mučili ga bomo.) Ali ne bi poskusili iz prve enačbe nekaj izraziti skozi nekaj? Ker želimo najti imenovalec q, potem bi bilo najugodneje, če bi izrazili b 1 skozi q.

Poskusimo torej narediti ta postopek s prvo enačbo z uporabo dobrih starih:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Vse! Tako smo izrazili nepotrebno uporabimo spremenljivko (b 1) skozi potrebno(q). Da, niso dobili najbolj preprostega izraza. Delček ... Toda naš sistem je na spodobni ravni, ja.)

Tipično. Vemo, kaj storiti.

Pišemo ODZ (obvezno!) :

q ≠ 1

Vse pomnožimo z imenovalcem (q-1) in prekinemo vse ulomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vse delimo z deset, odpremo oklepaje, zberemo vse na levi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rešimo rezultat in dobimo dve korenini:

q 1 = 1

q 2 = 3

Končni odgovor je le en: q = 3 .

Odgovor: 3

Kot lahko vidite, je način reševanja večine problemov za formulo n-tega člena geometrijskega napredovanja vedno enak: beri previdno pogoj problema in z uporabo formule za n-ti člen prevedemo celoto koristne informacije v čisto algebro.

In sicer:

1) Vsak izraz, naveden v nalogi s formulo, zapišemo ločenonta član.

2) Iz pogoja problema prevedemo povezavo med pojmi v matematično obliko. Sestavimo enačbo ali sistem enačb.

3) Rešimo nastalo enačbo ali sistem enačb, najdemo neznane parametre napredovanja.

4) V primeru dvoumnega odgovora natančno preberemo stanje težave v iskanju dodatnih informacij (če obstajajo). Prejeti odgovor preverimo tudi s pogoji DLO (če obstajajo).

Zdaj pa naštejmo glavne težave, ki najpogosteje vodijo do napak v procesu reševanja problemov na geometrijski progresiji.

1. Elementarna aritmetika. Dejanja z ulomki in negativnimi števili.

2. Če imate težave z vsaj eno od teh treh točk, se boste v tej temi neizogibno zmotili. Na žalost ... Zato ne bodite leni in ponovite zgoraj omenjeno. In sledite povezavam - pojdite. Včasih pomaga.)

Spremenjene in ponavljajoče se formule.

Zdaj pa si oglejmo nekaj tipičnih izpitnih težav z manj znano predstavitvijo stanja. Da, uganili ste! to spremenjen in ponavljajoče se formule n-tega izraza. Takšne formule smo že srečali in delali v aritmetičnem napredovanju. Tu je vse enako. Bistvo je enako.

Na primer takšna naloga OGE:

Geometrijski napredek je podan s formulo b n = 3 2 n ... Poiščite vsoto prvega in četrtega člana.

Tokrat nam napredovanje ni povsem znano. V obliki neke formule. Pa kaj? Ta formula - tudi formulanth član! Vsi vemo, da lahko formulo za n-ti izraz zapišemo tako v splošni obliki, s črkami kot za poseben napredek... OD posebne prvi izraz in imenovalec.

V našem primeru smo pravzaprav dobili splošno izrazno formulo za geometrijsko napredovanje z naslednjimi parametri:

b 1 = 6

q = 2

Preverimo?) Zapišimo formulo n-tega izraza v splošno obliko in jo nadomestimo vanj b 1 in q... Dobimo:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Poenostavite ga s faktorjizacijo in lastnostmi moči, da dobite:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kot vidite, je vse pošteno. Toda naš cilj z vami ni prikazati izpeljavo določene formule. To je lirična digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je rešiti problem po formuli, ki nam je dana v pogoju. Catch?) Torej delamo s spremenjeno formulo neposredno.

Štejemo prvi mandat. Nadomestna n=1 v splošno formulo:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Všečkaj to. Mimogrede, ne bom len in še enkrat vas bom opozoril na tipičnega blooperja z izračunom prvega člana. NE TREBA pogledati formule b n= 3 2n, takoj pohitite s pisanjem, da je prvi izraz trojka! To je groba napaka, ja ...)

Nadaljujmo. Nadomestna n=4 in preštejte četrti izraz:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

In na koncu izračunamo potreben znesek:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Druga težava.

Geometrijsko napredovanje je določeno s pogoji:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Poiščite četrti izraz v napredovanju.

Tu je napredovanje podano z rekurzivno formulo. No, v redu.) Kako delati s takšno formulo - tudi mi vemo.

Torej delujemo. Korak za korakom.

1) Štejte dve zaporedomačlan progresije.

Prvi mandat nam je že dodeljen. Minus sedem. Toda naslednji, drugi izraz je mogoče enostavno izračunati z uporabo ponavljajoče se formule. Če razumete, kako to deluje, seveda.)

Torej štejemo drugi mandat glede na dobro znano najprej:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Upoštevamo imenovalec napredovanja

Tudi težav ni. Naravnost, deli drugiččlan dne najprej.

Dobimo:

q = -21/(-7) = 3

3) Zapišemo formulonth člana v običajni obliki in upoštevajte želenega člana.

Torej, poznamo prvi izraz in tudi imenovalec. Torej pišemo:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Odgovor: -189

Kot lahko vidite, se delo s takimi formulami za geometrijsko napredovanje samo po sebi ne razlikuje od tistega za aritmetično napredovanje. Pomembno je le razumeti splošno bistvo in pomen teh formul. No, tudi pomen geometrijskega napredovanja je treba razumeti, ja.) In potem ne bo neumnih napak.

No, rešimo to sami?)

Čisto osnovne naloge za ogrevanje:

1. Podana je geometrijska progresija, pri kateri b 1 = 243 in q = -2/3. Poiščite šesti izraz v napredovanju.

2. Splošni izraz geometrijskega napredovanja je podan s formulo b n = 5∙2 n +1 . Poiščite številko zadnjega trimestnega člana tega napredovanja.

3. Geometrijsko napredovanje določajo pogoji:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Poiščite peti izraz v napredovanju.

Malo bolj zapleteno:

4. Podana je geometrijska stopnja:

b 1 =2048; q =-0,5

Kateri je šesti negativni izraz?

Kaj se zdi super težko? Sploh ne. Rešila vas bo logika in razumevanje pomena geometrijskega napredovanja. No, formula za n-ti mandat, seveda.

5. Tretji člen geometrijskega napredovanja je -14, osmi pa 112. Poiščite imenovalec napredovanja.

6. Vsota prvega in drugega člena geometrijskega napredovanja je 75, vsota drugega in tretjega člena pa 150. Poiščite šesti člen napredovanja.

Odgovori (v neredu): 6; -3888; -en; 800; -32; 448.

To je skoraj vse. Ostaja le, da se naučimo šteti vsota prvih n izrazov geometrijskega napredovanja ja odkrijte neskončno padajoče geometrijsko napredovanje in njegov znesek. Mimogrede, zelo zanimiva in nenavadna stvar! Več o tem v naslednjih lekcijah.)

Če vsako naravno število n ujemajo s pravo številko a n , potem pravijo, da je dano številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Številsko zaporedje je torej funkcija naravnega argumenta.

Številka a 1 se imenujejo prvi član zaporedja , številka a 2 — drugi mandat , številka a 3 — tretjič itd. Številka a n se imenujejo nti član zaporedja in naravno število n — njegovo številko .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1 član zaporedja a n +1 se imenujejo pozneje (proti a n ), vendar a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite določiti zaporedje, morate določiti metodo, ki vam omogoča, da poiščete člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje dano z formule n-tega izraza , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovem številu.

Na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko določimo s formulo

a n= 2n - 1,

in zaporedje izmeničnega 1 in -1 - po formuli

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti rekurzivna formula, to je formula, ki izraža katerega koli člana zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) članov.

Na primer

če a 1 = 1 , ampak a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem se prvih sedem članov številskega zaporedja nastavi na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Kliče se zaporedje končni če ima končno število članov. Kliče se zaporedje neskončno če ima neskončno veliko članov.

Na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje osnovnih števil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Kliče se zaporedje narašča če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Kliče se zaporedje zmanjševanje če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

Na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - padajoče zaporedje. ◄

Kliče se zaporedje, katerega elementi se z naraščajočim številom ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Zlasti monotona zaporedja so naraščajoča in padajoča zaporedja.

Aritmetično napredovanje

Aritmetično napredovanje pokliče se zaporedje, katerega član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetično napredovanje, če sploh naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - nekaj številk.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjimi člani danega aritmetičnega napredovanja vedno stalna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Številka d se imenujejo razlika aritmetičnega napredovanja.

Če želite nastaviti aritmetično napredovanje, je dovolj, da navedete njegov prvi člen in razliko.

Na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem se najde prvih pet članov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim izrazom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primer

poiščite trideseti člen aritmetičnega napredovanja

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

vsak član aritmetičnega napredovanja, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjih in naslednjih članov.

številke a, b in c so zaporedni člani nekega aritmetičnega napredovanja takrat in samo, če je eno od njih enako aritmetični sredini drugih dveh.

Na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetično napredovanje.

Uporabimo zgornjo trditev. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Torej,

◄

Upoštevajte to n -treti izraz aritmetičnega napredovanja najdemo ne samo skozi a 1 , ampak tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primer

za a 5 je mogoče napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

potem očitno

kateri koli član aritmetičnega napredovanja, začenši z drugim, je enak polovični vsoti članov tega aritmetičnega napredovanja, enako oddaljenih od njega.

Poleg tega velja za vsako aritmetično napredovanje enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primer

v aritmetičnem napredovanju

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kot

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

prvi n člani aritmetičnega napredovanja je enako zmnožku polovičnega seštevka ekstremnih členov na število izrazov:

Iz tega izhaja zlasti, da če je treba sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

Na primer

v aritmetičnem napredovanju 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična stopnja, potem so vrednosti a 1 , a n, d, n inS n povezani z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, se iz teh formul določijo ustrezne vrednosti drugih dveh količin, združene v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetično napredovanje je monotono zaporedje. Pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje mirujoče.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje pokliče se zaporedje, katerega član je od drugega, enak prejšnjemu, pomnožen z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - nekaj številk.

Tako je razmerje naslednjega člana danega geometrijskega napredovanja do prejšnjega konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Številka q se imenujejo imenovalec geometrijskega napredovanja.

Če želite nastaviti geometrijsko napredovanje, je dovolj, da navedete njen prvi člen in imenovalec.

Na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem se najde prvih pet članov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ta izraz lahko najdemo po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak član geometrijskega napredovanja, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (sorazmerno) prejšnjega in naslednjih členov.

Ker je tudi obratna trditev resnična, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni člani neke geometrijske napredovanja takrat in samo, če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrijska sredina drugih dveh.

Na primer

dokažimo, da zaporedje, dano s formulo b n= -3 2 n , je eksponentno napredovanje. Uporabimo zgornjo trditev. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Torej,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kar dokazuje zahtevano trditev. ◄

Upoštevajte to n -treti izraz geometrijskega napredovanja najdemo ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji mandat b k , za katero je dovolj, da uporabimo formulo

b n = b k · q n - k.

Na primer

za b 5 je mogoče napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člana geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak zmnožku članov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega velja za vsako geometrijsko napredovanje enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primer

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kot

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n člani geometrijske progresije z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= Opomba 1

Upoštevajte, da če morate povzeti izraze

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

Na primer

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem so vrednosti b 1 , b n, q, n in S n povezani z dvema formulama:

Če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem se iz teh formul določijo ustrezne vrednosti drugih dveh količin, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim izrazom b 1 in imenovalec q naslednji monotone lastnosti :

• napredovanje narašča, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• napredovanje se zmanjšuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

Če q< 0 , potem se geometrijsko napredovanje izmenjuje: njeni lihočleni imajo enak znak kot prvi člen, sodoštevi pa imajo nasprotni znak. Jasno je, da izmenično geometrijsko napredovanje ni monotono.

Delo prvega n člane geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoče geometrijsko napredovanje

Neskončno padajoče geometrijsko napredovanje se imenuje neskončno geometrijsko napredovanje, katerega modul imenovalca je manjši 1 , tj

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoče geometrijsko napredovanje morda ni padajoče zaporedje. To ustreza primeru

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu se zaporedje izmenjuje. Na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajočega geometrijskega napredovanja je število, na katero je vsota prvega n člani napredovanja z neomejenim povečevanjem števila n ... To število je vedno končno in je izraženo s formulo

Na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Oglejmo si samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d potem

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetično napredovanje z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q potem

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetično napredovanje z razliko log aq .

Na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetično napredovanje z razliko lg 6 . ◄

Poglejmo nekaj serij.

7 28 112 448 1792...

Popolnoma jasno je, da je vrednost katerega koli njegovega elementa natančno štirikrat večja od prejšnjega. Pomeni, dano vrstico je napredovanje.

Neskončno zaporedje števil se imenuje geometrijsko napredovanje. glavna značilnost kar pomeni, da se naslednja številka dobi iz prejšnje z množenjem z določeno številko. To je izraženo z naslednjo formulo.

a z +1 = a z q, kjer je z številka izbranega elementa.

Skladno s tem je z ∈ N.

Obdobje, ko se v šoli preučuje geometrijsko napredovanje, je 9. razred. Primeri vam bodo pomagali razumeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na podlagi te formule lahko najdemo imenovalec napredovanja, kot sledi:

Niti q niti b z ne moreta biti nič. Prav tako vsak od elementov napredovanja ne sme biti enak nič.

Če želite izvedeti naslednjo številko v nizu, morate zadnjo pomnožiti z q.

Če želite nastaviti to napredovanje, morate določiti njegov prvi element in imenovalec. Po tem je mogoče najti katerega koli od naslednjih članov in njihovo vsoto.

Sorte

Glede na q in a 1 je to napredovanje razdeljeno na več vrst:

• Če sta oba 1 in q večja od ena, se takšno zaporedje z vsakim povečuje naslednji element geometrijsko napredovanje. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a 1 = 3, q ​​= 2 - oba parametra sta večja od enega.

Nato lahko številčno zaporedje zapišemo takole:

3 6 12 24 48 ...

• Če je | q | manj kot ena, to je množenje z njo enakovredno deljenju, potem je napredovanje s podobnimi pogoji padajoče geometrijsko napredovanje. Primer tega je predstavljen spodaj.

Primer: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je več kot ena, q je manj.

Nato lahko številčno zaporedje zapišemo na naslednji način:

6 2 2/3 ... - kateri koli element je 3-krat večji od elementa, ki mu sledi.

• Izmenični znak. Če q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra sta manjša od nič.

Nato lahko številčno zaporedje zapišemo na naslednji način:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Obstaja veliko formul za priročno uporabo geometrijskih progresij:

• Formula z-tega člana. Omogoča izračun postavke pod določeno številko brez izračuna prejšnjih številk.

Primer:q = 3, a 1 = 4. Izračunati je treba četrti element napredovanja.

Sklep:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Vsota prvih elementov, katerih število je z... Izračuna vsoto vseh elementov v zaporedju doa zvključujoče.

Ker (1-q) je v imenovalcu, potem (1 - q)≠ 0, zato q ni enako 1.

Opomba: če je q = 1, potem bi bilo napredovanje niz neskončno ponavljajočih se števil.

Vsota geometrijskega napredovanja, primeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5.

Sklep:S 5 = 22 - izračun po formuli.

• Znesek, če |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primer:a 1 = 2 , q= 0,5. Poiščite znesek.

Sklep:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Nekatere lastnosti:

• Značilna lastnost. Če je izpolnjen naslednji pogoj izvede za katero koliz, potem je podana številčna serija geometrijski napredek:

a z 2 = a z -1 · az + 1

• Prav tako kvadrat katerega koli števila geometrijske napredovanja najdemo tako, da dodamo kvadratke drugih dveh števil v dani vrstici, če so enako oddaljeni od tega elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 kjet- razdalja med temi številkami.

• Elementise razlikujejo po qčas.
• Logaritmi elementov napredovanja tvorijo tudi napredovanje, vendar že aritmetično, torej je vsak od njih za določeno število večji od prejšnjega.

Primeri nekaterih klasičnih problemov

Za boljše razumevanje, kaj je geometrijsko napredovanje, lahko pomagajo primeri z rešitvijo za 9. razred.

• Pogoji:a 1 = 3, a 3 = 48. Najdiq.

Rešitev: vsak naslednji element je večji od prejšnjega vq čas.Nekatere elemente je treba izraziti skozi druge z uporabo imenovalca.

Torej,a 3 = q 2 · a 1

Pri zamenjaviq= 4

• Pogoji:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6.

Sklep:Za to je dovolj, da poiščemo q, prvi element, in ga nadomestimo v formulo.

a 3 = q· a 2 , torej,q= 2

a 2 = q A 1,torej a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Poiščite četrti element napredovanja.

Rešitev: za to je dovolj, da četrti element izrazimo skozi prvi in ​​skozi imenovalec.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primer uporabe:

• Stranka banke je položila varščino v višini 10.000 rubljev, v skladu s katero bo stranka vsako leto k znesku glavnice dodala 6% glavnice. Koliko bo imel račun čez 4 leta?

Rešitev: začetni znesek je 10 tisoč rubljev. To pomeni, da bo imelo eno leto po naložbi znesek 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Skladno s tem bo znesek na računu v enem letu izražen na naslednji način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

To pomeni, da se vsako leto znesek poveča za 1,06-krat. To pomeni, da je za iskanje zneska sredstev na računu v 4 letih dovolj, da poiščemo četrti element napredovanja, ki ga poda prvi element, enak 10 tisoč, in imenovalec, enak 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primeri nalog za izračun vsote:

Geometrijski napredek se uporablja pri različnih problemih. Primer za iskanje vsote lahko podamo na naslednji način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rešitev: vsi podatki, potrebni za izračun, so znani, samo jih morate nadomestiti v formulo.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj vsoto prvih šestih elementov.

Sklep:

V geomu. napredovanje, je vsak naslednji element q-krat večji od prejšnjega, to je, če želite izračunati vsoto, morate poznati elementa 1 in imenovalecq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobno morate najtia 1 vedetia 2 inq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrijsko napredovanje v matematiki nič manj pomemben kot aritmetika. Geometrijsko napredovanje je zaporedje števil b1, b2, ..., b [n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s konstantnim številom. Kliče se to število, ki je tudi značilno za stopnjo povečanja ali zmanjšanja napredovanja imenovalec geometrijskega napredovanja in označujejo

Za popolno dodelitev geometrijskega napredovanja je poleg imenovalca treba poznati ali določiti njegov prvi člen. Za pozitivno vrednost imenovalca je napredovanje monotono zaporedje in če se to zaporedje števil monotono zmanjšuje in, za, monotono povečuje. Primer, ko je imenovalec enak enoti, v praksi ni upoštevan, saj imamo zaporedje enakih števil, njihovo seštevanje pa ni praktičnega pomena.

Splošni izraz geometrijskega napredovanja izračunano po formuli

Vsota prvih n izrazov geometrijskega napredovanja določena s formulo

Razmislite o rešitvah klasičnih problemov o geometrijskem napredovanju. Začnimo z najpreprostejšimi za razumevanje.

Primer 1. Prvi člen geometrijskega napredovanja je 27, njegov imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest izrazov geometrijskega napredovanja.

Rešitev: Zapišite težavo v obrazec

Za izračune uporabimo formulo za n-ti člen geometrijskega napredovanja

Na njegovi podlagi najdemo neznane člane napredovanja

Kot lahko vidite, izračun pogojev geometrijskega napredovanja ni težaven. Samo napredovanje bo videti tako

Primer 2. Navedeni so prvi trije izrazi geometrijskega napredovanja: 6; -12; 24. Poiščite imenovalec in njegov sedmi člen.

Rešitev: Izračunajte imenovalec geomitričnega napredovanja na podlagi njegove definicije

Dobili smo izmenično geometrijsko napredovanje, katerega imenovalec je -2. Sedmi izraz se izračuna po formuli

To je rešilo težavo.

Primer 3. Geometrijski napredek podata dva člana ... Poiščite deseti izraz v napredovanju.

Sklep:

Zapišimo dane vrednosti skozi formule

V skladu s pravili bi bilo treba najti imenovalec in nato poiskati želeno vrednost, a za deseti mandat imamo

Enako formulo je mogoče dobiti na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti članek serije delimo z drugim, kar dobimo

Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim izrazom, dobimo desetega

Tako lahko za takšna opravila s hitrim preprostim preoblikovanjem poiščete pravo rešitev.

Primer 4. Geometrijsko napredovanje podajajo ponavljajoče se formule

Poiščite imenovalec geometrijskega napredovanja in vsoto prvih šestih členov.

Sklep:

Dane podatke zapišimo v obliki sistema enačb

Izrazi imenovalec tako, da drugo enačbo delimo s prvo

Poiščite prvi člen napredovanja iz prve enačbe

Izračunajmo naslednjih pet izrazov, da poiščemo vsoto geometrijskega napredovanja