5.1 Pojem srednje vrednosti

Povprečna vrednost - je posploševalni kazalnik, ki označuje tipično raven pojava. Izraža vrednost lastnosti na enoto populacije.

Povprečje vedno posplošuje količinsko variacijo lastnosti, tj. v srednjih vrednostih se posamezne razlike enot prebivalstva zaradi naključnih okoliščin ugasnejo. V nasprotju s povprečjem absolutna vrednost, ki označuje raven lastnosti posamezne enote populacije, ne omogoča primerjave vrednosti lastnosti v enotah, ki pripadajo različnim populacijam. Če je torej treba primerjati ravni plač delavcev v dveh podjetjih, potem na tej podlagi ni mogoče primerjati dveh delavcev različnih podjetij. Plače delavcev, izbranih za primerjavo, morda niso značilne za ta podjetja. Če primerjamo velikost plačnih sredstev v obravnavanih podjetjih, potem število zaposlenih ni upoštevano in zato ni mogoče določiti, kje je višja plača. Na koncu lahko primerjamo samo povprečja, tj. koliko v povprečju prejme en delavec v posameznem podjetju. Tako je treba izračunati povprečje kot posploševalno značilnost populacije.

Izračun povprečja je ena od pogostih tehnik posploševanja; povprečje zanika tisto, kar je skupno, kar je značilno (značilno) za vse enote preučevane populacije, hkrati pa prezre razlike med posameznimi enotami. V vsakem pojavu in njegovem razvoju obstaja kombinacija naključja in potrebe. Pri izračunu povprečij se zaradi delovanja zakona velikih števil možnosti izničijo in uravnotežijo, zato se lahko abstrahiramo od nepomembnih značilnosti pojava in kvantitativnih vrednosti atributa v vsakem posameznem primeru. Sposobnost abstrahiranja naključnosti posameznih vrednosti, nihanj in predstavlja znanstveno vrednost povprečij kot posploševalnih značilnosti agregatov.

Da je povprečje resnično tipično, ga je treba izračunati na podlagi nekaterih načel.

Oglejmo si nekaj splošnih načel uporabe povprečij.
1. Povprečje je treba določiti za populacije, sestavljene iz kakovostno homogenih enot.
2. Povprečje je treba izračunati za populacijo, ki jo sestavlja dovolj veliko število enot.
3. Povprečje je treba izračunati za prebivalstvo, katerega enote so v normalnem, naravnem stanju.
4. Povprečje je treba izračunati ob upoštevanju ekonomske vsebine preučevanega kazalnika.

5.2. Vrste povprečij in kako jih izračunati

Poglejmo zdaj vrste povprečij, značilnosti njihovega izračuna in obseg. Povprečja delimo v dva velika razreda: povprečja moči in strukturna povprečja.

TO povprečna moč vključuje take najbolj znane in pogosto uporabljene vrste, kot so geometrijska sredina, aritmetična sredina in korenska srednja kvadrat.

Kot strukturna povprečja modo in mediano.

Poglejmo si povprečja moči. Povprečne moči so lahko enostavne in tehtane, odvisno od predstavitve začetnih podatkov. Preprosto povprečje izračuna se iz nerazvrščenih podatkov in ima naslednjo splošno obliko:

kjer je X i - možnosti (vrednost) povprečene lastnosti;

n je število možnosti.

Povprečna teža se izračuna po združenih podatkih in ima splošno obliko

,

kjer je X i varianta (vrednost) povprečene značilnosti ali srednja vrednost intervala, v katerem se varianta meri;
m - kazalnik stopnje povprečja;
f i - frekvenca, ki prikazuje, kolikokrat se pojavi vrednost i-e povprečene značilnosti.

Za primer navedimo izračun povprečne starosti študentov v skupini 20 ljudi:

Povprečna starost se izračuna po preprosti povprečni formuli:

Združimo prvotne podatke. Dobimo naslednje distribucijske serije:

Kot rezultat razvrščanja v skupine dobimo nov kazalnik - pogostost, ki označuje število študentov, starih X let. Posledično bo povprečna starost študentov v skupini izračunana z uporabo tehtane povprečne formule:

Splošne formule za izračun povprečja moči imajo eksponent (m). Glede na vrednost, ki jo zavzame, ločimo naslednje vrste povprečnih moči:
povprečna harmonika, če je m \u003d -1;
geometrična sredina, če je m -\u003e 0;
aritmetična sredina, če je m \u003d 1;
koren srednje vrednosti, če je m \u003d 2;
povprečno kubično, če je m \u003d 3.

Formule stopnje so podane v tabeli. 4.4.

Če za enake začetne podatke izračunamo vse vrste povprečij, se njihove vrednosti izkažejo za neenake. Tu velja pravilo večnosti povprečij: s povečanjem eksponenta m se poveča tudi ustrezna povprečna vrednost:

V statistični praksi se pogosteje kot druge vrste tehtanih povprečij uporabljajo aritmetična povprečja in harmonska tehtana povprečja.

Preglednica 5.1

Vrste povprečnih moči

Tip moči povprečno	Kazalo stopnja (m)	Formula za izračun
		Preprosto	Uteženo
Harmonična	-1
Geometrijska	0
Aritmetika	1
Kvadratno	2
Kubični	3

Harmonska sredina ima bolj zapleteno konstrukcijo kot aritmetična sredina. Harmonska sredina se uporablja za izračune, kadar se kot uteži ne uporabljajo sestavljene enote - nosilci elementa, temveč zmnožek teh enot na vrednosti lastnosti (tj. M \u003d Xf). Pri povprečnem izpadu harmonike se je treba zateči v primerih določanja, na primer povprečnih stroškov dela, časa, materialov na enoto proizvodnje, za en del za dva (tri, štiri itd.) Podjetja, delavce, ki se ukvarjajo s proizvodnjo iste vrste izdelka , isti del, izdelek.

Glavna zahteva za formulo za izračun povprečja je, da imajo vse stopnje izračuna resnično vsebinsko utemeljitev; nastala povprečna vrednost bi morala nadomestiti posamezne vrednosti atributa za vsak predmet, ne da bi prekinila povezavo med posameznimi in zbirnimi kazalniki. Z drugimi besedami, povprečno vrednost je treba izračunati tako, da ob zamenjavi vsake posamezne vrednosti povprečenega kazalnika s povprečjem ostane nek končni zbirni kazalnik, ki je tako ali drugače povezan s povprečenim, nespremenjen. Ta seštevek se imenuje določanje, saj narava njegovega razmerja s posameznimi vrednostmi določa posebno formulo za izračun povprečja. Pokažimo to pravilo na primeru geometrijske sredine.

Geometrijska srednja formula

najpogosteje se uporablja pri izračunu povprečne vrednosti na podlagi posamezne relativne dinamike.

Geometrična sredina se uporablja, če je podano zaporedje verižnih relativnih vrednosti dinamike, kar kaže na primer na povečanje obsega proizvodnje v primerjavi z ravnjo preteklega leta: i 1, i 2, i 3, ..., i n. Očitno je, da obseg proizvodnje v zadnjem letu določa njegova začetna raven (q 0) in poznejše povečanje v letih:

q n \u003d q 0 × i 1 × i 2 × ... × i n.

Če vzamemo q n kot opredeljevalni kazalnik in posamezne vrednosti dinamike nadomestimo s povprečjem, pridemo do relacije

Od tod

5.3. Strukturna povprečja

Poseben tip povprečnih vrednosti - strukturna povprečja - se uporablja za preučevanje notranje strukture niza porazdelitve vrednosti atributov, pa tudi za oceno povprečne vrednosti (tipa moči), če v skladu z razpoložljivimi statističnimi podatki njenega izračuna ni mogoče izvesti (na primer, če v obravnavanem primeru ni bilo podatkov in na obseg proizvodnje ter na višino stroškov po skupinah podjetij).

Kazalniki se najpogosteje uporabljajo kot strukturna povprečja moda - vrednost atributa, ki se najpogosteje ponavlja - in mediane - vrednost lastnosti, ki razvrsti zaporedje njenih vrednosti na dva enaka dela. Posledično v eni polovici enot populacije vrednost lastnosti ne presega mediane ravni, v drugi polovici pa ne.

Če ima preučevana značilnost diskretne vrednosti, pri izračunu načina in mediane ni posebnih težav. Če podatke o vrednosti značilnosti X predstavimo v obliki urejenih intervalov njene spremembe (intervalske vrste), se izračun načina in mediane nekoliko zaplete. Ker mediana vrednosti deli celotno populacijo na dva števila, enaka številu, se izkaže, da je v nekaterih intervalih atributa X. Z uporabo interpolacije najdemo srednjo vrednost v tem srednjem intervalu:

,

kjer je X Me spodnja meja medianega intervala;
h Me - njegova vrednost;
(Vsota m) / 2 - polovica skupnega števila opazovanj ali polovica obsega kazalnika, ki se uporablja kot utež v formulah za izračun povprečja (v absolutnem ali relativnem smislu);
S Me-1 - vsota opazovanj (ali obseg tehtalne lastnosti), zbranih pred začetkom srednjega intervala;
m Me - število opazovanj ali obseg atributa uteži v medianem intervalu (tudi v absolutnem ali relativnem smislu).

V našem primeru lahko dobimo celo tri srednje vrednosti - na podlagi značilnosti števila podjetij, obsega proizvodnje in skupnih stroškov proizvodnje:

Tako ima polovica podjetij stroške na enoto več kot 125,19 tisoč rubljev, polovica celotnega obsega proizvodnje se proizvede s stopnjo stroškov na izdelek več kot 124,79 tisoč rubljev. in 50% skupnih stroškov nastane, ko so stroški enega izdelka nad 125,07 tisoč rubljev. Upoštevajte tudi, da obstaja določena težnja k povečanju stroškov, saj je Me 2 \u003d 124,79 tisoč rubljev, povprečna raven pa 123,15 tisoč rubljev.

Pri izračunu modalne vrednosti lastnosti na podlagi podatkov intervalske serije je treba biti pozoren na dejstvo, da so intervali enaki, saj je od tega odvisen kazalnik ponovljivosti vrednosti lastnosti X. Za intervalno vrsto z enakimi intervali se vrednost načina določi kot

kjer je X Mo spodnja vrednost modalnega intervala;
m Mo - število opazovanj ali obseg tehtalne funkcije v modalnem intervalu (v absolutnem ali relativnem smislu);
m Mo -1 - enako za interval pred modalnim;
m Mo + 1 - enako za interval, ki sledi modalu;
h - vrednost intervala sprememb lastnosti v skupinah.

Za naš primer lahko na podlagi značilnosti števila podjetij, obsega proizvodnje in višine stroškov izračunamo tri modalne vrednosti. V vseh treh primerih je modalni interval enak, saj sta za isti interval največje število podjetij in obseg proizvodnje ter skupni znesek proizvodnih stroškov:

Tako najpogosteje obstajajo podjetja s stopnjo proizvodnih stroškov 126,75 tisoč rubljev, najpogosteje se proizvodi proizvajajo s stopnjo stroškov 126,69 tisoč rubljev, najpogosteje pa so proizvodni stroški razloženi s stopnjo stroškovnih stroškov 123,73 tisoč rubljev.

5.4. Kazalniki variacije

Specifični pogoji, v katerih se nahaja vsak od preučevanih objektov, pa tudi značilnosti lastnega razvoja (družbeni, ekonomski itd.) So izraženi z ustreznimi številčnimi ravnmi statističnih kazalnikov. V to smer, sprememba, tiste. neskladje med ravnmi istega kazalnika za različne predmete je objektivno in pomaga razumeti bistvo proučevanega pojava.

Za merjenje razlik v statistiki se uporablja več metod.

Najenostavneje je izračunati kazalnik obseg variacij Н kot razlika med največjo (X max) in najmanjšo (X min) vrednostmi atributa:

H \u003d X max - X min.

Obseg variacij pa prikazuje le skrajne vrednosti lastnosti. Ponovljivost vmesnih vrednosti tukaj ni upoštevana.

Strožje značilnosti so kazalniki variabilnosti glede na povprečno raven lastnosti. Najenostavnejši kazalnik te vrste je povprečni linearni odklon L kot aritmetična sredina absolutnih odstopanj atributa od njegove povprečne ravni:

Pri ponovljivosti posameznih vrednosti X se uporabi formula za aritmetično tehtano povprečje:

(Spomnimo se, da je algebrska vsota odstopanj od srednje vrednosti enaka nič.)

Kazalec srednjega linearnega odklona je našel široko uporabo v praksi. Z njeno pomočjo se na primer analizira sestava zaposlenih, ritem proizvodnje, enotnost oskrbe z materiali in razvijejo sistemi materialnih spodbud. Toda na žalost ta kazalnik otežuje izračune verjetnostne vrste, otežuje uporabo metod matematične statistike. Zato se v statističnih znanstvenih raziskavah najpogosteje uporablja indikator variance.

Variacija značilnosti (s 2) se določi na podlagi kvadratne srednje moči:

.

Pokliče se eksponent s enak standardni odklon.

V splošni teoriji statistike je indikator variance ocena indikatorja istoimenske teorije verjetnosti in (kot vsota kvadratov odstopanj) ocena variance matematične statistike, kar omogoča uporabo določb teh teoretičnih disciplin za analizo družbeno-ekonomskih procesov.

Če je sprememba ocenjena na podlagi majhnega števila opazovanj neomejene splošne populacije, se povprečna vrednost lastnosti določi z nekaj napake. Izračunana varianca je nagnjena k zmanjšanju. Za pridobitev nepristranske ocene je treba varianco vzorca, pridobljeno s prej navedenimi formulami, pomnožiti z vrednostjo n / (n - 1). Posledično je z majhnim številom opazovanj (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Običajno že pri n\u003e (15–20) odstopanje med pristranskimi in nepristranskimi ocenami postane nepomembno. Iz istega razloga pristranskost v formuli za dodajanje variance običajno ni upoštevana.

Če naredimo več vzorcev iz splošne populacije in vsakič določimo povprečno vrednost lastnosti, potem nastane težava pri oceni variabilnosti povprečja. Ocenite varianco srednja vrednost je mogoče in na podlagi samo enega vzorčnega opazovanja po formuli

,

kjer je n velikost vzorca; s 2 - varianca lastnosti, izračunana iz vzorčnih podatkov.

Količina nosi ime povprečna napaka vzorčenja in je značilnost odstopanja vzorčne sredine atributa X od njegove prave povprečne vrednosti. Kazalnik povprečne napake se uporablja za oceno zanesljivosti rezultatov vzorčnega opazovanja.

Kazalniki relativne razpršenosti.Da bi označili merilo variabilnosti preučevane lastnosti, izračunamo nihanja relativnih vrednosti. Omogočajo primerjavo narave razpršenosti v različnih porazdelitvah (različne enote opazovanja iste lastnosti v dveh populacijah, pri različnih povprečnih vrednostih, pri primerjavi nasprotnih populacij). Izračun kazalnikov mere relativne razpršenosti se izvede kot razmerje med absolutnim kazalnikom razpršenosti in aritmetično sredino, pomnoženo s 100%.

1. Koeficient nihanja odraža relativno variabilnost skrajnih vrednosti značilnosti okoli povprečja

.

2. Relativni linearni izklop označuje delež povprečne vrednosti znaka absolutnih odstopanj od povprečne vrednosti

.

3. Koeficient variacije:

je najpogostejši kazalnik variabilnosti, ki se uporablja za oceno tipičnosti povprečij.

V statistiki se štejejo populacije s koeficientom variacije nad 30–35% za heterogene.

Ta metoda ocenjevanja variacij ima tudi pomembno pomanjkljivost. Dejansko naj, na primer, začetna populacija delavcev s povprečno delovno dobo 15 let s standardnim odklonom s \u003d 10 let "stari" še 15 let. Zdaj \u003d 30 let, standardni odklon pa je še vedno 10. Prej heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7%), zato se sčasoma izkaže za precej homogeno (10/30 × 100 \u003d 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Teoretične raziskave v statistiki: sob. Sci. Trudy. - M.: Statistika, 1974. S. 19-57.

Najpomembnejša lastnost povprečja je, da odraža splošno, ki je značilno za vse enote preučevane populacije. Vrednosti lastnosti posameznih enot populacije se spreminjajo pod vplivom številnih dejavnikov, med katerimi so lahko tako osnovni kot naključni. Bistvo povprečja je v tem, da vzajemno kompenzira odstopanja vrednosti atributa, ki so posledica delovanja naključnih faktorjev, in kopiči (upošteva) spremembe, ki jih povzroči delovanje glavnih dejavnikov. To omogoča, da povprečje odraža tipično raven lastnosti in se odvzame od posameznih značilnosti posameznih enot.

Da je povprečje resnično tipično, ga je treba izračunati na podlagi nekaterih načel.

Osnovna načela za uporabo povprečij.

1. Povprečje je treba določiti za populacije, sestavljene iz kakovostno homogenih enot.

2. Povprečje je treba izračunati za populacijo, ki jo sestavlja dovolj veliko število enot.

3. Povprečje je treba izračunati za prebivalstvo v stacionarnih pogojih (kadar se vplivni dejavniki ne spremenijo ali se ne spremenijo bistveno).

4. Povprečje je treba izračunati ob upoštevanju ekonomske vsebine preučevanega kazalnika.

Izračun večine specifičnih statistik temelji na uporabi:

· Povprečni agregat;

· Povprečna moč (harmonična, geometrijska, aritmetična, kvadratna, kubična);

· Povprečno kronološko (glej poglavje).

Vsa povprečja, razen skupnega povprečja, lahko izračunamo v dveh različicah - kot tehtano ali netehtano.

Povprečni agregat. Uporablja se formula:

kje w i= x i* f i;

x i- i-ta različica povprečne lastnosti;

f i, - teža jaz- prva možnost.

Zakon o povprečni moči. Na splošno je formula za izračun:

kjer je stopnja k- vrsta povprečne moči.

Povprečne vrednosti, izračunane na podlagi stopenjskih pravil za enake začetne podatke, niso enake. S povečanjem eksponenta k se poveča tudi ustrezna povprečna vrednost:

Povprečno kronološko. Za trenutni časovni niz z enakimi presledki med datumi se izračuna po formuli:

,

kje x 1 in x n vrednost kazalnika na začetnem in končnem datumu.

Formule povprečne moči

Primer. Glede na tabelo. 2.1 izračunati je treba povprečne plače za tri podjetja na splošno.

Preglednica 2.1

Plače podjetij JSC

Konkretna formula za izračun je odvisna od podatkov v tabeli. 7 je originalnih. V skladu s tem so možne naslednje možnosti: podatki v stolpcih 1 (število PKM) in 2 (mesečna plačilna lista); ali - 1 (število PKM) in 3 (povprečna plača); ali 2 (mesečna plačilna lista) in 3 (povprečna plača).

Če so na voljo samo podatki iz stolpcev 1 in 2... Rezultati teh grafov vsebujejo potrebne vrednosti za izračun želenega povprečja. Uporabljena je povprečna agregatna formula:

Če so na voljo samo podatki iz stolpcev 1 in 3, potem je imenovalec prvotnega razmerja znan, njegov števec pa ni znan. Vendar je plačilno listo mogoče dobiti tako, da povprečno plačo pomnožimo s številom PKM. Zato lahko skupno povprečje izračunamo s formulo ponderirana aritmetična sredina:

Upoštevati je treba, da teža ( f i) v nekaterih primerih je lahko produkt dveh ali celo treh pomenov.

Poleg tega je v statistični praksi povprečje aritmetika neuteženo:

kjer je n obseg prebivalstva.

To povprečje se uporabi, kadar uteži ( f i) odsoten (vsaka različica funkcije se pojavi samo enkrat) ali enak drug drugemu.

Če so na voljo samo podatki v stolpcih 2 in 3., to pomeni, da je števec prvotnega razmerja znan, njegov imenovalec pa ni znan. Število PKM za vsako podjetje je mogoče dobiti tako, da se plačilna lista deli s povprečno plačo. Nato se izračuna povprečna plača za tri podjetja kot celoto po formuli povprečno harmonično ponderirano:

Če so uteži enake ( f i) povprečni kazalnik lahko izračunamo z netehtana povprečna harmonika:

V našem primeru smo uporabili različne oblike sredstev, vendar smo dobili enak odgovor. To je posledica dejstva, da je bilo za določene podatke vsakič doseženo enako začetno povprečno razmerje.

Povprečja je mogoče izračunati iz diskretnih in intervalnih variacijskih serij. V tem primeru se izračun izvede po aritmetično tehtanem povprečju. Za diskretno vrsto se ta formula uporablja na enak način kot v zgornjem primeru. V intervalskih serijah za izračun so določene srednje točke intervalov.

Primer. Glede na tabelo. 2.2 določili bomo vrednost povprečnega denarnega dohodka na prebivalca na mesec v pogojni regiji.

Preglednica 2.2

Začetni podatki (različice)

Za iskanje povprečne vrednosti v Excelu (ni pomembno številska, besedilna, odstotna ali druga vrednost) obstaja veliko funkcij. In vsak od njih ima svoje značilnosti in prednosti. Dejansko je pri tej nalogi mogoče določiti določene pogoje.

Na primer, povprečne vrednosti niza števil v Excelu se izračunajo s pomočjo statističnih funkcij. Svojo formulo lahko vnesete tudi ročno. Razmislimo o različnih možnostih.

Kako najti aritmetično sredino števil?

Če želite najti aritmetično sredino, dodajte vsa števila v nizu in vsoto delite s številom. Na primer študentove ocene iz računalništva: 3, 4, 3, 5, 5. Kaj presega četrtino: 4. Aritmetično sredino smo našli po formuli: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Kako to hitro storiti z Excelovimi funkcijami? Vzemimo na primer niz naključnih števil v nizu:

Ali: aktivirajte celico in preprosto ročno vnesite formulo: \u003d AVERAGE (A1: A8).

Zdaj pa poglejmo, kaj še lahko naredi funkcija AVERAGE.

Poiščite aritmetično sredino prvih dveh in zadnjih treh števil. Formula: \u003d POVPREČNO (A1: B1; F1: H1). Rezultat:

Povprečno glede na stanje

Pogoj za iskanje aritmetične sredine je lahko številčno merilo ali besedilo. Uporabili bomo funkcijo: \u003d AVERAGEIF ().

Poiščite aritmetično sredino števil, večjih ali enakih 10.

Funkcija: \u003d AVERAGEIF (A1: A8, "\u003e \u003d 10")

Tretji argument - "Obseg povprečenja" - je izpuščen. Prvič, ni potrebno. Drugič, obseg, ki ga analizira program, vsebuje SAMO številske vrednosti. Celice, določene v prvem argumentu, bodo iskane po pogoju, navedenem v drugem argumentu.

Pozor! Merila za iskanje lahko določite v celici. In v formuli naredite povezavo do nje.

Poiščimo povprečno vrednost števil po besedilnem kriteriju. Na primer, povprečna prodaja izdelka "tabele".

Funkcija bo videti tako: \u003d AVERAGEIF ($ A $ 2: $ A $ 12; A7; $ B $ 2: $ B $ 12). Obseg - stolpec z imeni izdelkov. Kriterij iskanja je povezava do celice z besedo "tabele" (namesto povezave A7 lahko vstavite besedo "tabele"). Obseg povprečenja - tiste celice, iz katerih bodo podatki za izračun povprečja.

Kot rezultat izračuna funkcije dobimo naslednjo vrednost:

Pozor! Za besedilno merilo (pogoj) je treba določiti obseg povprečenja.

Kako izračunati tehtano povprečno ceno v Excelu?

Kako smo vedeli tehtano povprečno ceno?

Formula: \u003d SUMPRODUCT (C2: C12; B2: B12) / SUM (C2: C12).

S formulo SUMPRODUCT ugotovimo skupne prihodke po prodaji celotne količine blaga. In funkcija SUM - sešteje količino blaga. Z delitvijo skupnega prihodka od prodaje izdelka s skupnim številom enot izdelka smo ugotovili tehtano povprečno ceno. Ta kazalnik upošteva "težo" posamezne cene. Njegov delež v skupni masi vrednosti.

Standardni odmik: formula v Excelu

Razlikovati med standardnim odklonom za splošno populacijo in za vzorec. V prvem primeru gre za koren splošne variance. V drugem, iz variance vzorca.

Za izračun te statistike je sestavljena formula variance. Iz njega se pridobiva korenina. Toda Excel ima že pripravljeno funkcijo za iskanje standardnega odklona.

Standardni odklon je vezan na obseg prvotnih podatkov. To ni dovolj za figurativni prikaz variacije analiziranega obsega. Koeficient variacije se izračuna tako, da dobimo relativno raven variance podatkov:

standardni odklon / aritmetična sredina

Formula v Excelu je videti tako:

STDEVP (obseg vrednosti) / AVERAGE (obseg vrednosti).

Koeficient variacije se izračuna kot odstotek. Zato v celici nastavimo format odstotkov.

Znaki enot statističnih agregatov so po svojem pomenu različni, na primer plače delavcev istega poklica v katerem koli podjetju v istem časovnem obdobju niso enake, cene enakih proizvodov na trgu so različne, donos kmetijskih pridelkov na kmetijah okrožja itd. Zato se za določitev vrednosti značilne značilnosti celotnega preučenega sklopa enot izračunajo povprečne vrednosti.
Povprečna vrednost – je posploševalna značilnost nabora posameznih vrednosti določene kvantitativne značilnosti.

Agregat, ki ga preučuje kvantitativno merilo, je sestavljen iz posameznih vrednosti; na njih vplivajo tako pogosti vzroki kot posamezne razmere. V povprečju se odstopanja, značilna za posamezne vrednosti, ugasnejo. Povprečje, ki je funkcija nabora posameznih vrednosti, predstavlja celoten sklop kot eno vrednost in odraža skupno, ki je značilno za vse njegove enote.

Imenuje se povprečje, izračunano za populacije, sestavljene iz kakovostno homogenih enot tipična sekundarna... Tako lahko na primer izračunate povprečno mesečno plačo zaposlenega v določeni poklicni skupini (rudar, zdravnik knjižničar). Seveda se ravni mesečnih plač rudarjev zaradi razlike v njihovi usposobljenosti, delovni dobi, delovnem času na mesec in številnih drugih dejavnikih razlikujejo med seboj in od ravni povprečnih plač. Vendar povprečna raven odraža glavne dejavnike, ki vplivajo na višino plač, in vzajemno kompenzira razlike, ki nastanejo zaradi posameznih značilnosti zaposlenega. Povprečne plače odražajo tipično raven plače za določeno vrsto delavca. Pred pridobivanjem tipičnega povprečja bi morala biti opravljena analiza, kako določena populacija je kvalitativno homogena. Če je agregat sestavljen iz ločenih delov, ga je treba razdeliti na tipične skupine (povprečna temperatura v bolnišnici).

Poimenujejo se povprečne vrednosti, uporabljene kot značilnosti za heterogene populacije povprečja sistema... Na primer povprečni bruto domači proizvod (BDP) na prebivalca, povprečna poraba različnih skupin blaga na osebo in druge podobne vrednosti, ki predstavljajo posploševalne značilnosti države kot enotnega gospodarskega sistema.

Povprečje je treba izračunati za populacije z dovolj velikim številom enot. Izpolnjevanje tega pogoja je potrebno, da začne veljati zakon večjih števil, zaradi česar se naključna odstopanja posameznih vrednosti od splošne tendence medsebojno izničijo.

Vrste povprečij in kako jih izračunati

Izbira vrste povprečja je določena z ekonomsko vsebino določenega kazalnika in začetnimi podatki. Vsako povprečno vrednost pa je treba izračunati tako, da ko nadomesti vsako različico povprečene lastnosti, končno, posploševalno ali, kot jo običajno imenujejo, kazalnik, ki določa, kar je povezano s povprečnim kazalnikom. Na primer, kadar se dejanske hitrosti na ločenih odsekih poti zamenjajo s povprečno hitrostjo, se skupna razdalja, ki jo je vozilo prevozilo v istem času, ne sme spremeniti; ko se dejanske plače posameznih zaposlenih v podjetju nadomestijo s povprečnimi plačami, se sklad plač ne bi smel spreminjati. Posledično je v vsakem konkretnem primeru, odvisno od narave razpoložljivih podatkov, le ena resnična povprečna vrednost kazalnika, ki ustreza lastnostim in bistvu preučenega družbeno-ekonomskega pojava.
Najpogosteje se uporabljajo aritmetična sredina, harmonična sredina, geometrična sredina, koren srednja kvadratna in kubična sredina.
Navedena povprečja spadajo v razred močpovprečja in so kombinirani s splošno formulo:
,
kje je povprečna vrednost preiskane značilnosti;
m - kazalnik stopnje povprečja;
- trenutna vrednost (varianta) povprečnega atributa;
n je število lastnosti.
Glede na vrednost eksponenta m ločimo naslednje vrste pogonskih sredstev:
pri m \u003d -1 - povprečna harmonika;
pri m \u003d 0 - geometrična sredina;
za m \u003d 1 - aritmetična sredina;
za m \u003d 2 - povprečno kvadrat;
z m \u003d 3 - povprečna kubična.
Če uporabimo enake začetne podatke, večji je eksponent m v zgornji formuli, večja je srednja vrednost:
.
Ta lastnost povprečja moči, da se poveča s povečanjem eksponenta odločilne funkcije, se imenuje pravilo mažorenskih povprečij.
Vsako od označenih povprečij ima lahko dve obliki: preprostoin ponderirana.
Preprosta srednja oblikauporablja se, kadar se povprečje izračuna iz primarnih (nerazvrščenih) podatkov. Utežena oblika- pri izračunu povprečja za sekundarne (združene) podatke.

Aritmetična sredina

Aritmetična sredina se uporablja, kadar je obseg populacije vsota vseh posameznih vrednosti atributa spremenljivke. Upoštevati je treba, da če vrsta povprečja ni navedena, je mišljena aritmetična sredina. Njegova logična formula je:

Preprosta aritmetična sredina izračunano z nerazvrščenimi podatki po formuli:
ali,
kje so posamezne vrednosti atributa;
j je zaporedna številka opazovalne enote, za katero je značilna vrednost;
N je število opazovalnih enot (velikost populacije).
Primer. V predavanju "Povzetek in združevanje statističnih podatkov" so bili upoštevani rezultati opazovanja delovne dobe ekipe 10 ljudi. Izračunajmo povprečno delovno dobo delavcev ekipe. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

V skladu s formulo aritmetične sredine praštevila tudi izračunajo kronološka povprečjače so časovni intervali, za katere so predstavljene značilne vrednosti, enaki.
Primer. Količina prodanih izdelkov v prvem četrtletju je znašala 47 den. enote, za drugo 54, za tretjo 65 in za četrto 58 dni. enote Povprečni četrtletni promet je (47 + 54 + 65 + 58) / 4 \u003d 56 den. enote
Če so kazalniki trenutkov podani v kronološki vrsti, jih pri izračunu povprečja nadomestijo polovične vsote vrednosti na začetku in koncu obdobja.
Če sta trenutka več kot dva in so razmiki med njima enaki, potem se povprečje izračuna po formuli za povprečno kronološko

,
kjer je n število krat
V primeru, ko so podatki razvrščeni po značilnih vrednostih (tj. zgrajena je diskretna variacijska distribucijska serija) z povprečno aritmetično ponderiranoizračuna se s frekvencami ali frekvencami opazovanja določenih vrednosti značilnosti, katerih število (k) je znatno manjše od števila opazovanj (N)
,
,
kjer je k število skupin variacijske serije,
i - številka skupine variacijske serije.
Ker, a, dobimo formule, ki se uporabljajo za praktične izračune:
in
Primer. Izračunajmo povprečno delovno dobo delovnih skupin za združene vrstice.
a) z uporabo frekvenc:

b) z uporabo frekvenc:

V primeru, ko so podatki razvrščeni po intervalih , tj. so predstavljeni v obliki intervalske serije porazdelitve, pri izračunu aritmetične sredine se kot vrednost atributa vzame sredina intervala, ki temelji na predpostavki enakomerne porazdelitve populacijskih enot v tem intervalu. Izračun se izvede po enačbah:
in
kje je sredina intervala :,
kjer in so spodnja in zgornja meja intervalov (pod pogojem, da zgornja meja tega intervala sovpada z spodnjo mejo naslednjega intervala).

Primer. Izračunajmo aritmetično sredino intervalske variacijske serije, zgrajene na podlagi rezultatov študije letnih plač 30 delavcev (glej predavanje "Povzetek in združevanje statističnih podatkov").
Tabela 1 - Intervalne variacijske serije porazdelitve.

uAH ali uAH
Aritmetična sredina, izračunana na podlagi začetnih podatkov in niha variacij intervalov, morda ne bo sovpadala zaradi neenakomerne porazdelitve vrednosti lastnosti znotraj intervalov. V tem primeru za natančnejši izračun aritmetično tehtanega povprečja ne bi smeli uporabiti središč intervalov, temveč enostavna aritmetična sredstva, izračunana za vsako skupino ( povprečja skupine). Pokliče se povprečje, izračunano iz povprečja skupine s tehtano izračunsko formulo splošno povprečje.
Aritmetična sredina ima številne lastnosti.
1. Vsota odstopanj variante od srednje vrednosti je enaka nič:
.
2. Če se vse vrednosti variante povečajo ali zmanjšajo za vrednost A, se tudi povprečna vrednost poveča ali zmanjša za isto vrednost A:

3. Če se posamezna možnost poveča ali zmanjša za B-krat, se bo tudi povprečna vrednost povečala ali zmanjšala za enako število krat:
ali
4. Vsota zmnožkov variante na frekvence je enaka zmnožku povprečne vrednosti na vsoto frekvenc:

5. Če so vse frekvence deljene ali pomnožene s katerim koli številom, se aritmetična sredina ne bo spremenila:

6) če so frekvence v vseh intervalih enake med seboj, potem je ponderirana aritmetična sredina enaka preprosti aritmetični sredini:
,
kjer je k število skupin variacijske serije.

Z uporabo lastnosti srednje vrednosti je lažje izračunati.
Predpostavimo, da se vse različice (x) najprej zmanjšajo za isto število A, nato pa zmanjšajo za B-krat. Največja poenostavitev je dosežena, ko je vrednost sredine intervala z največjo frekvenco izbrana kot A, vrednost intervala (za vrstice z enakimi intervali) pa kot B. Količino A imenujemo izvor, zato se imenuje ta način izračuna povprečja načinb ohm, štetje od pogojne ničle ali način trenutkov.
Po takšni transformaciji dobimo novo variacijsko distribucijsko serijo, katere različice so enake. Njihova aritmetična sredina, imenovana trenutek prvega naročila,je izražen s formulo in je glede na drugo in tretjo lastnost aritmetične sredine enak povprečju prvotnih možnosti, zmanjšano najprej za A, nato pa za B-krat, tj.
Za pridobivanje realno povprečje(povprečje začetne serije) morate trenutek prvega reda pomnožiti z B in dodati A:

Izračun aritmetične sredine s pomočjo trenutkov ponazarjajo podatki v tabeli. 2.
Tabela 2 - Razporeditev delavcev v podjetniški delavnici po delovnem dobu

Poiščite trenutek prvega naročila ... Nato, vedoč, da je A \u003d 17,5 in B \u003d 5, izračunamo povprečno delovno dobo delavcev v trgovini:
letih

Povprečna harmonika
Kot je prikazano zgoraj, se aritmetična sredina uporablja za izračun povprečne vrednosti lastnosti v primerih, ko so znane njene različice x in njihova frekvenca f.
Če statistični podatki ne vsebujejo pogostosti f za posamezne različice x populacije, ampak so predstavljeni kot njihov zmnožek, se uporabi formula povprečno harmonično ponderirano... Za izračun povprečja označimo kje. Z nadomestitvijo teh izrazov v formulo za aritmetično tehtano povprečje dobimo formulo za harmonično tehtano povprečje:
,
kjer je prostornina (teža) vrednosti atributa indikatorja v intervalu s številom i (i \u003d 1,2, ..., k).

Tako se povprečni harmonik uporablja v primerih, ko ne seštejejo možnosti same, temveč njihove vzajemne vrednosti: .
V primerih, ko je teža vsake možnosti enaka enoti, tj. posamezne vrednosti inverznega atributa se pojavijo enkrat, se uporabi povprečna harmonika preprosta:
,
kje so ločene različice nasprotnega znaka, ki se pojavijo enkrat;
N - število možnosti.
Če obstajajo harmonska povprečja za dva dela populacije, se skupno povprečje za celotno populacijo izračuna po formuli:

in poklical ponderirana harmonska sredina iz skupinskih sredin.

Primer. Med trgovanjem na menjalnici so bile v prvi uri dela sklenjene tri transakcije. Podatki o znesku prodaje grivne in tečaju grivne glede na ameriški dolar so podani v tabeli. 3 (stolpca 2 in 3). Določite povprečni tečaj grivne v primerjavi z ameriškim dolarjem za prvo uro trgovanja.
Tabela 3 - Podatki o poteku trgovanja na menjalnici

Povprečni tečaj dolarja je določen z razmerjem med količino grivne, prodane med vsemi transakcijami, in količino dolarjev, pridobljenih kot rezultat istih transakcij. Skupni znesek prodaje grivne je znan iz stolpca 2 tabele, število dolarjev, kupljenih v vsaki transakciji, pa se določi tako, da se znesek prodaje grivne deli z njenim tečajem (stolpec 4). V treh transakcijah je bilo kupljenih 22 milijonov dolarjev To pomeni, da je bil povprečni tečaj grivne za en dolar
.
Nastala vrednost je resnična, ker zamenjava z dejanskimi menjalnimi tečaji grivne v transakcijah ne bo spremenila skupnega zneska prodaje grivne, ki deluje kot kazalnik, ki določa: Mln UAH
Če je bila za izračun uporabljena aritmetična sredina, tj. grivna, nato po menjalnem tečaju za nakup 22 milijonov dolarjev. porabiti bi bilo treba 110,66 milijona UAH, kar ni res.

Geometrijska sredina
Geometrična sredina se uporablja za analizo dinamike pojavov in vam omogoča določitev povprečne stopnje rasti. Pri izračunu geometrijske sredine so posamezne vrednosti lastnosti relativni kazalniki dinamike, zgrajeni v obliki verižnih količin, kot razmerje med vsako stopnjo in prejšnjo.
Preprosta geometrijska sredina se izračuna po formuli:
,
kje je znak dela,
N je število povprečenih vrednosti.
Primer.Število registriranih kaznivih dejanj v 4 letih se je povečalo za 1,57-krat, vključno s 1. - 1,08-krat, za 2. - 1,1-krat, za 3. - 1,18-krat in za četrtega - 1,12-krat. Potem je povprečna letna stopnja rasti števila kaznivih dejanj :, tj. število registriranih kaznivih dejanj se je v povprečju letno povečalo za 12%.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96