V večini primerov so podatki koncentrirani okoli določenega središčna točka. Tako je za opis katerega koli niza podatkov dovolj navesti povprečno vrednost. Oglejmo si zaporedno tri numerične značilnosti, ki se uporabljajo za oceno povprečne vrednosti porazdelitve: aritmetično sredino, mediano in modus.

Povprečje

Aritmetična sredina (pogosto imenovana preprosto povprečje) je najpogostejša ocena srednje vrednosti porazdelitve. Je rezultat deljenja vsote vseh opazovanih številskih vrednosti z njihovim številom. Za vzorec, sestavljen iz številk X 1, X 2, …, Xn, povprečje vzorca (označeno z ) je enako = (X 1 + X 2 + … + Xn) / n, oz

kje je povprečje vzorca, n- Velikost vzorca, Xjaz – i-ti element vzorcev.

Prenesite opombo v ali obliki, primeri v obliki

Razmislite o izračunu aritmetičnega povprečja petletnih povprečnih letnih donosov 15 vzajemnih skladov z zelo visoka stopnja tveganje (slika 1).

riž. 1. Povprečni letni donosi 15 zelo tveganih vzajemnih skladov

Vzorčna sredina se izračuna na naslednji način:

to dober dohodek, zlasti v primerjavi s 3–4-odstotnim donosom, ki so ga prejeli vlagatelji bank ali kreditnih zadrug v istem časovnem obdobju. Če razvrstimo donose, lahko ugotovimo, da ima osem skladov donose nadpovprečne, sedem pa podpovprečne. Aritmetična sredina deluje kot ravnotežna točka, tako da skladi z nizkimi donosi uravnotežijo sklade z visokimi donosi. Pri izračunu povprečja sodelujejo vsi elementi vzorca. Nobena druga ocena srednje vrednosti porazdelitve nima te lastnosti.

Kdaj izračunati aritmetično sredino? Ker je aritmetična sredina odvisna od vseh elementov v vzorcu, prisotnost ekstremnih vrednosti pomembno vpliva na rezultat. V takšnih situacijah lahko aritmetična sredina popači pomen numeričnih podatkov. Zato je treba pri opisu niza podatkov, ki vsebuje ekstremne vrednosti, navesti mediano ali aritmetično sredino in mediano. Če na primer iz vzorca odstranimo donose sklada RS Emerging Growth, se vzorčno povprečje donosov 14 skladov zmanjša za skoraj 1 % na 5,19 %.

Mediana

Mediana predstavlja srednjo vrednost urejenega niza števil. Če niz ne vsebuje ponavljajočih se števil, bo polovica njegovih elementov manjša od mediane in polovica večja od nje. Če vzorec vsebuje ekstremne vrednosti, je za oceno sredine bolje uporabiti mediano kot aritmetično sredino. Za izračun mediane vzorca ga je treba najprej naročiti.

Ta formula je dvoumna. Njegov rezultat je odvisen od tega, ali je število sodo ali liho n:

• Če vzorec vsebuje liho število elementov, je mediana enaka (n+1)/2-th element.
• Če vzorec vsebuje sodo število elementov, leži mediana med srednjima elementoma vzorca in je enaka aritmetični sredini, izračunani nad tema dvema elementoma.

Za izračun mediane vzorca, ki vsebuje donose 15 vzajemnih skladov z zelo visokim tveganjem, morate najprej razvrstiti neobdelane podatke (slika 2). Potem bo mediana nasprotna številki srednjega elementa vzorca; v našem primeru št. 8. Excel ima posebna funkcija=MEDIAN(), ki deluje tudi z neurejenimi nizi.

riž. 2. Mediana 15 sredstev

Tako je mediana 6,5. To pomeni, da donosnost polovice zelo tveganih skladov ne presega 6,5, donosnost druge polovice pa jo presega. Upoštevajte, da mediana 6,5 ​​ni veliko večja od srednje vrednosti 6,08.

Če iz vzorca izločimo donosnost sklada RS Emerging Growth, se mediana preostalih 14 skladov zniža na 6,2 %, torej ne tako pomembno kot aritmetična sredina (slika 3).

riž. 3. Mediana 14 sredstev

Moda

Izraz je prvi skoval Pearson leta 1894. Moda je število, ki se največkrat pojavlja v vzorcu (najbolj modno). Moda dobro opisuje na primer tipično reakcijo voznikov na semaforski znak, da se ustavi. Klasičen primer uporaba mode - izbira velikosti serije čevljev ali barve ozadja. Če ima porazdelitev več načinov, potem rečemo, da je večmodalna ali multimodalna (ima dva ali več "vrhov"). Multimodalna distribucija daje pomembna informacija o naravi preučevane spremenljivke. Na primer, v socioloških raziskavah, če spremenljivka predstavlja preferenco ali odnos do nečesa, potem multimodalnost lahko pomeni, da obstaja več izrazito različnih mnenj. Multimodalnost služi tudi kot pokazatelj, da vzorec ni homogen in da so lahko opazovanja ustvarjena z dvema ali več "prekrivajočimi se" porazdelitvami. Za razliko od aritmetične sredine izstopajoči ne vplivajo na način. Za zvezno porazdeljene naključne spremenljivke, kot je povprečni letni donos vzajemnih skladov, način včasih sploh ne obstaja (ali nima smisla). Ker lahko ti indikatorji zavzamejo zelo različne vrednosti, so ponavljajoče se vrednosti izjemno redke.

Kvartili

Kvartili so metrike, ki se najpogosteje uporabljajo za vrednotenje porazdelitve podatkov pri opisovanju lastnosti velikih numeričnih vzorcev. Medtem ko mediana razdeli urejeno matriko na pol (50 % elementov matrike je manjših od mediane in 50 % večjih), kvartili razdelijo urejen niz podatkov na štiri dele. Vrednosti Q 1, mediane in Q 3 so 25., 50. oziroma 75. percentil. Prvi kvartil Q 1 je število, ki vzorec razdeli na dva dela: 25 % elementov je manjših od prvega kvartila in 75 % večjih od njega.

Tretji kvartil Q 3 je število, ki prav tako deli vzorec na dva dela: 75 % elementov je manjših od tretjega kvartila in 25 % večjih od njega.

Če želite izračunati kvartile v različicah Excela pred 2007, uporabite funkcijo =QUARTILE(array,part). Od Excela 2010 se uporabljata dve funkciji:

• =QUARTILE.ON(niz,del)
• =QUARTILE.EXC(matrika,del)

Ti dve funkciji dajeta malo različne pomene(slika 4). Na primer, pri izračunu kvartilov vzorca, ki vsebuje povprečne letne donose 15 vzajemnih skladov z zelo visokim tveganjem, je Q 1 = 1,8 oziroma –0,7 za QUARTILE.IN oziroma QUARTILE.EX. Mimogrede, prej uporabljena funkcija QUARTILE ustreza sodobna funkcijaČETRTINC VKLJ. Za izračun kvartilov v Excelu z uporabo zgornjih formul podatkovnega niza ni treba razporediti.

riž. 4. Računanje kvartilov v Excelu

Naj še enkrat poudarimo. Excel lahko izračuna kvartile za univariato diskretne serije, ki vsebuje vrednosti naključna spremenljivka. Izračun kvartilov za porazdelitev na podlagi frekvence je podan spodaj v razdelku.

Geometrijska sredina

Za razliko od aritmetičnega povprečja vam geometrično povprečje omogoča, da ocenite stopnjo spremembe spremenljivke skozi čas. Geometrijska sredina je koren n diplomo iz dela n količine (v Excelu se uporablja funkcija =SRGEOM):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Podoben parameter - geometrična povprečna vrednost stopnje dobička - se določi s formulo:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Kje R i– stopnja dobička za jazčasovno obdobje.

Recimo, da je začetna naložba 100.000 USD. Do konca prvega leta pade na 50.000 USD, do konca drugega leta pa se povrne na začetno raven 100.000 USD -letno obdobje je enako 0, saj sta začetni in končni znesek sredstev enaka. Vendar pa je aritmetično povprečje letnih stopenj dobička = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 ali 25 %, saj je stopnja dobička v prvem letu R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5, v drugi R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Hkrati je geometrična sredina vrednosti stopnje dobička za dve leti enaka: G = [(1–0,5) * (1+1 ) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Tako geometrična sredina natančneje odraža spremembo (natančneje odsotnost sprememb) obsega naložb v dveletnem obdobju kot aritmetična pomeni.

Zanimiva dejstva. Prvič, geometrična sredina bo vedno manjša od aritmetične sredine istih števil. Razen v primeru, ko so vse vzete številke med seboj enake. Drugič, ob upoštevanju lastnosti pravokotni trikotnik, lahko razumemo, zakaj se povprečje imenuje geometrijsko. Višina pravokotnega trikotnika, spuščena na hipotenuzo, je povprečni sorazmernik med projekcijama krakov na hipotenuzo, vsak krak pa je povprečni sorazmernik med hipotenuzo in njeno projekcijo na hipotenuzo (slika 5). To daje geometrijski način za konstruiranje geometrične sredine dveh segmentov (dolžin): sestaviti morate krog na vsoti teh dveh segmentov kot premera, nato pa višino, obnovljeno od točke njune povezave do presečišča s krogom bo dal želeno vrednost:

riž. 5. Geometrična narava geometrijske sredine (slika iz Wikipedije)

Druga pomembna lastnost numeričnih podatkov je njihova variacija, ki označuje stopnjo razpršenosti podatkov. Dva različna vzorca se lahko razlikujeta v srednjih vrednostih in variancah. Vendar, kot je prikazano na sl. 6 in 7 imata lahko dva vzorca enake variacije, vendar različna povprečja, ali ista povprečja in popolnoma različne variacije. Podatki, ki ustrezajo poligonu B na sl. 7, spreminjajo veliko manj kot podatki, na podlagi katerih je bil poligon A zgrajen.

riž. 6. Dve simetrični zvonasti porazdelitvi z enakim razmazom in različnimi srednjimi vrednostmi

riž. 7. Dve simetrični zvonasti porazdelitvi z enakimi srednjimi vrednostmi in različnimi razmiki

Obstaja pet ocen variacije podatkov:

• Obseg,
• interkvartilni razpon,
• disperzija,
• standardni odklon,
• koeficient variacije.

Obseg

Razpon je razlika med največjim in najmanjšim elementom vzorca:

Razpon = XNajveč – XMin

Razpon vzorca, ki vsebuje povprečne letne donose 15 vzajemnih skladov z zelo visokim tveganjem, je mogoče izračunati z uporabo urejene matrike (glej sliko 4): Razpon = 18,5 – (–6,1) = 24,6. To pomeni, da je razlika med najvišjo in najnižjo povprečno letno donosnostjo zelo tveganih skladov 24,6 %.

Obseg meri celotno širjenje podatkov. Čeprav je obseg vzorca zelo preprosta ocena celotnega širjenja podatkov, je njegova slabost v tem, da ne upošteva natančno, kako so podatki porazdeljeni med najmanjše in največje elemente. Ta učinek je jasno viden na sl. 8, ki prikazuje vzorce z enakim obsegom. Lestvica B dokazuje, da če vzorec vsebuje vsaj eno ekstremno vrednost, je obseg vzorca zelo nenatančna ocena širjenja podatkov.

riž. 8. Primerjava treh vzorcev z enakim razponom; trikotnik simbolizira nosilec lestvice, njegova lokacija pa ustreza vzorčni sredini

Interkvartilni razpon

Interkvartil ali povprečje je razlika med tretjim in prvim kvartilom vzorca:

Interkvartilni razpon = Q 3 – Q 1

Ta vrednost nam omogoča, da ocenimo razpršitev 50 % elementov in ne upoštevamo vpliva ekstremnih elementov. Interkvartilni razpon vzorca, ki vsebuje povprečne letne donose 15 vzajemnih skladov z zelo visokim tveganjem, je mogoče izračunati z uporabo podatkov na sliki. 4 (na primer za funkcijo QUARTILE.EXC): interkvartilni razpon = 9,8 – (–0,7) = 10,5. Interval, omejen s številkama 9,8 in -0,7, se pogosto imenuje srednja polovica.

Upoštevati je treba, da vrednosti Q 1 in Q 3 in s tem interkvartilni razpon niso odvisne od prisotnosti izstopajočih vrednosti, saj njihov izračun ne upošteva nobene vrednosti, ki bi bila manjša od Q 1 ali večja kot Q 3 . Skupaj kvantitativne značilnosti vrednosti, kot so mediana, prvi in ​​tretji kvartil ter interkvartilni razpon, na katere ne vplivajo odstopanja, se imenujejo robustne mere.

Čeprav razpon in interkvartilni razpon zagotavljata ocene celotnega oziroma povprečnega razmika vzorca, nobena od teh ocen ne upošteva natančno, kako so podatki porazdeljeni. Varianca in standardni odklon so brez te pomanjkljivosti. Ti kazalniki vam omogočajo, da ocenite stopnjo nihanja podatkov okoli povprečne vrednosti. Varianca vzorca je približek aritmetične sredine, izračunane iz kvadratov razlik med vsakim vzorčnim elementom in vzorčno sredino. Za vzorec X 1, X 2, ... X n je vzorčna varianca (označena s simbolom S 2) podana z naslednjo formulo:

IN splošni primer vzorčna varianca je vsota kvadratov razlik med vzorčnimi elementi in vzorčno sredino, deljena z vrednostjo, ki je enaka velikosti vzorca minus ena:

Kje - aritmetična sredina, n- Velikost vzorca, X i - jaz element izbora X. V Excelu do različice 2007 za izračune vzorčna varianca uporabljena je bila funkcija =DISP(), od različice 2010 pa je bila uporabljena funkcija =DISP.V().

Najbolj praktična in splošno sprejeta ocena širjenja podatkov je standardni odklon vzorca. Ta indikator je označen s simbolom S in je enak kvadratni koren iz vzorčne variance:

V Excelu pred različico 2007 je bila za izračun standardnega vzorčnega odstopanja uporabljena funkcija =STDEV.(), od različice 2010 pa funkcija =STDEV.V(). Za izračun teh funkcij je podatkovno polje lahko neurejeno.

Niti vzorčna varianca niti vzorčni standardni odklon ne moreta biti negativna. Edina situacija, v kateri sta lahko indikatorja S 2 in S enaka nič, je, če so vsi elementi vzorca med seboj enaki. To je absolutno neverjeten primer razpon in interkvartilni razpon sta prav tako nič.

Številčni podatki so sami po sebi spremenljivi. Vsaka spremenljivka lahko sprejme veliko različne pomene. Na primer, različni vzajemni skladi imajo različne stopnje donosa in izgube. Zaradi variabilnosti numeričnih podatkov je zelo pomembno preučevati ne le ocene povprečja, ki so sumarne narave, ampak tudi ocene variance, ki označujejo širjenje podatkov.

Disperzija in standardni odklon vam omogočata, da ocenite širjenje podatkov okoli povprečne vrednosti, z drugimi besedami, določite, koliko vzorčnih elementov je nižjih od povprečja in koliko večjih. Disperzija ima nekaj dragocenih matematičnih lastnosti. Vendar je njegova vrednost kvadrat merske enote - kvadratni odstotek, kvadratni dolar, kvadratni palec itd. Zato je naravna mera razpršenosti standardna deviacija, ki je izražena v običajnih merskih enotah – odstotkih dohodka, dolarjih ali palcih.

Standardni odklon vam omogoča, da ocenite količino variacije vzorčnih elementov okoli povprečne vrednosti. V skoraj vseh situacijah je večina opazovanih vrednosti v območju plus ali minus en standardni odklon od povprečja. Posledično je ob poznavanju aritmetične sredine vzorčnih elementov in standardnega vzorčnega odklona mogoče določiti interval, ki mu pripada večina podatkov.

Standardni odklon donosov za 15 vzajemnih skladov z zelo visokim tveganjem je 6,6 (slika 9). To pomeni, da se donosnost večine skladov od povprečne vrednosti razlikuje za največ 6,6 % (tj. niha v območju od –S= 6,2 – 6,6 = –0,4 do +S= 12,8). Pravzaprav je petletni povprečni letni donos 53,3 % (8 od 15) skladov znotraj tega razpona.

riž. 9. Standardni odklon vzorca

Upoštevajte, da so pri seštevanju kvadratov razlik vzorčni elementi, ki so bolj oddaljeni od povprečja, ponderirani močneje kot elementi, ki so bližje povprečju. Ta lastnost je glavni razlog, zakaj se povprečje najpogosteje uporablja za oceno srednje vrednosti porazdelitve. aritmetična vrednost.

Koeficient variacije

Za razliko od prejšnjih ocen razpršenosti je koeficient variacije relativna ocena. Vedno se meri v odstotkih in ne v enotah izvirnih podatkov. Koeficient variacije, označen s simboli CV, meri disperzijo podatkov okoli srednje vrednosti. Koeficient variacije je enak standardni deviaciji, deljeni z aritmetično sredino in pomnoženi s 100 %:

Kje S- standardni odklon vzorca, - povprečje vzorca.

Koeficient variacije omogoča primerjavo dveh vzorcev, katerih elementi so izraženi v različnih merskih enotah. Na primer, vodja službe za dostavo pošte namerava obnoviti svojo floto tovornjakov. Pri nalaganju paketov je treba upoštevati dve omejitvi: težo (v funtih) in prostornino (v kubičnih čevljih) vsakega paketa. Recimo, da je v vzorcu, ki vsebuje 200 vrečk, povprečna teža 26,0 funtov, standardni odklon teže 3,9 funtov, povprečna prostornina vreče je 8,8 kubičnih čevljev in standardni odklon prostornine 2,2 kubičnih čevljev. Kako primerjati razlike v teži in prostornini paketov?

Ker se merske enote za težo in prostornino med seboj razlikujejo, mora vodja primerjati relativno razpršitev teh količin. Koeficient variacije teže je CV W = 3,9 / 26,0 * 100 % = 15 %, koeficient variacije prostornine pa je CV V = 2,2 / 8,8 * 100 % = 25 %. Tako je relativna variacija v prostornini paketov veliko večja od relativne variacije v njihovi teži.

Obrazec za distribucijo

Tretja pomembna lastnost vzorca je oblika njegove porazdelitve. Ta porazdelitev je lahko simetrična ali asimetrična. Za opis oblike porazdelitve je treba izračunati njeno povprečje in mediano. Če sta oba enaka, velja, da je spremenljivka simetrično porazdeljena. Če je srednja vrednost spremenljivke večja od mediane, ima njena porazdelitev pozitivno asimetrijo (slika 10). Če je mediana večja od povprečja, je porazdelitev spremenljivke negativno poševna. Pozitivna asimetrija se pojavi, ko se povprečje poveča na nenavadno visoke vrednosti. Negativna asimetrija se pojavi, ko se povprečje zmanjša na nenavadno majhne vrednosti. Spremenljivka je simetrično porazdeljena, če ne zavzame nobenih ekstremnih vrednosti v obe smeri, tako da se velike in majhne vrednosti spremenljivke medsebojno izničijo.

riž. 10. Tri vrste distribucij

Podatki, prikazani na lestvici A, so negativno poševni. Ta slika prikazuje dolg rep in poševnost v levo, ki jo povzroča prisotnost nenavadno majhnih vrednosti. Te izjemno majhne vrednosti premaknejo povprečno vrednost v levo, zaradi česar je manjša od mediane. Podatki, prikazani na lestvici B, so porazdeljeni simetrično. Leva in desna polovica porazdelitve sta zrcalni sliki samih sebe. Velike in majhne vrednosti se uravnotežijo, povprečje in mediana pa sta enaki. Podatki, prikazani na lestvici B, so pozitivno izkrivljeni. Ta slika prikazuje dolg rep in poševnost v desno, ki jo povzroča prisotnost nenavadno visokih vrednosti. Te prevelike vrednosti premaknejo povprečje v desno, zaradi česar je večje od mediane.

V Excelu lahko opisno statistiko pridobite z dodatkom Paket analize. Pojdite skozi meni podatki → Analiza podatkov, v oknu, ki se odpre, izberite vrstico Opisna statistika in kliknite V redu. V oknu Opisna statistika obvezno navedite Vnosni interval(Slika 11). Če želite videti opisno statistiko na istem listu kot izvirne podatke, izberite izbirni gumb Izhodni interval in določite celico, kamor naj bo postavljen zgornji levi kot prikazane statistike (v našem primeru $C$1). Če želite izpisati podatke v nov list ali v nova knjiga, samo izberite ustrezno stikalo. Potrdite polje zraven Sumarna statistika. Po želji lahko tudi izbirate težavnostna stopnja,kth najmanjši ink-ti največji.

Če na depozit podatki v območju Analiza ne vidite ikone Analiza podatkov, morate najprej namestiti dodatek Paket analize(glej na primer).

riž. 11. Opisna statistika petletnih povprečnih letnih donosov skladov z zelo visokimi stopnjami tveganja, izračunana z dodatkom Analiza podatkov Excel programi

Excel izračuna številne zgoraj obravnavane statistike: povprečje, mediano, način, standardni odklon, varianco, razpon ( interval), najmanjša, največja in velikost vzorca ( preverite). Excel izračuna tudi nekatere statistike, ki so za nas nove: standardna napaka, kurtosis in asimetrija. Standardna napaka enaka standardnemu odklonu, deljenemu s kvadratnim korenom velikosti vzorca. Asimetrija označuje odstopanje od simetrije porazdelitve in je funkcija, ki je odvisna od kuba razlik med vzorčnimi elementi in povprečno vrednostjo. Kurtoza je merilo relativne koncentracije podatkov okoli povprečja v primerjavi z repi porazdelitve in je odvisno od razlik med vzorčnimi elementi in povprečjem, povišanim na četrto potenco.

Izračun deskriptivne statistike za populacijo

Srednja vrednost, razpon in oblika zgoraj obravnavane porazdelitve so značilnosti, določene iz vzorca. Če pa nabor podatkov vsebuje numerične meritve celotne populacije, je mogoče njene parametre izračunati. Takšni parametri vključujejo pričakovano vrednost, disperzijo in standardni odklon populacije.

Pričakovana vrednost enaka vsoti vseh vrednosti v populaciji, deljeni z velikostjo populacije:

Kje µ - pričakovana vrednost, Xjaz- jaz opazovanje spremenljivke X, N- obseg splošne populacije. V Excelu se za izračun matematičnega pričakovanja uporablja ista funkcija kot za aritmetično povprečje: =AVERAGE().

Varianca populacije enaka vsoti kvadratov razlik med elementi generalne populacije in mat. pričakovanje deljeno z velikostjo populacije:

Kje σ 2– razpršenost splošne populacije. V Excelu pred različico 2007 se funkcija =VARP() uporablja za izračun variance populacije, začenši z različico 2010 =VARP().

Standardni odklon populacije enako kvadratnemu korenu variance populacije:

V Excelu pred različico 2007 se funkcija =STDEV() uporablja za izračun standardnega odklona populacije, začenši z različico 2010 =STDEV.Y(). Upoštevajte, da se formule za populacijsko varianco in standardni odklon razlikujejo od formul za izračun vzorčne variance in standardnega odklona. Pri izračunu vzorčne statistike S 2 in S imenovalec ulomka je n – 1, in pri izračunu parametrov σ 2 in σ - obseg splošne populacije N.

Osnovno pravilo

V večini primerov je velik delež opazovanj skoncentriran okoli mediane in tvori skupino. V nizih podatkov s pozitivno asimetrijo se ta grozd nahaja levo (tj. pod) matematičnim pričakovanjem, v nizih z negativno asimetrijo pa se ta gruče nahaja desno (tj. nad) matematičnim pričakovanjem. Pri simetričnih podatkih sta povprečje in mediana enaki, opazovanja pa se združujejo okoli povprečja in tvorijo zvonasto porazdelitev. Če porazdelitev ni jasno poševna in so podatki koncentrirani okoli težišča, je pravilo, ki ga je mogoče uporabiti za oceno variabilnosti, da če imajo podatki zvonasto porazdelitev, je približno 68 % opazovanj znotraj en standardni odklon pričakovane vrednosti, približno 95 % opazovanj ni več kot dva standardna odklona od matematičnega pričakovanja in 99,7 % opazovanj ni več kot tri standardna odklona od matematičnega pričakovanja.

Tako standardni odklon, ki je ocena povprečne variacije okoli pričakovane vrednosti, pomaga razumeti, kako so opazovanja porazdeljena, in prepoznati izstopajoče vrednosti. Osnovno pravilo je, da se za zvonaste porazdelitve samo ena vrednost od dvajsetih razlikuje od matematičnega pričakovanja za več kot dva standardna odklona. Zato so vrednosti zunaj intervala µ ± 2σ, se lahko štejejo za izstopajoče. Poleg tega se samo tri od 1000 opazovanj razlikujejo od matematičnega pričakovanja za več kot tri standardne deviacije. Torej vrednosti izven intervala µ ± 3σ so skoraj vedno izstopajoči. Za porazdelitve, ki so močno poševne ali niso zvonaste, je mogoče uporabiti pravilo Bienamay-Chebysheva.

Pred več kot sto leti sta matematika Bienamay in Chebyshev neodvisno odkrila uporabna lastnina standardni odklon. Ugotovili so, da je za kateri koli niz podatkov, ne glede na obliko porazdelitve, odstotek opazovanj, ki ležijo v razdalji k standardni odkloni od matematičnega pričakovanja, ne manj (1 – 1/ k 2)*100 %.

Na primer, če k= 2, pravilo Bienname-Chebyshev navaja, da mora vsaj (1 – (1/2) 2) x 100 % = 75 % opazovanj ležati v intervalu µ ± 2σ. To pravilo velja za vse k, ki presega eno. Pravilo Bienamay-Chebysheva je zelo splošno in velja za porazdelitve katere koli vrste. Določa najmanjše število opazovanj, od katerih razdalja do matematičnega pričakovanja ne presega določene vrednosti. Če pa je porazdelitev v obliki zvona, pravilo natančneje oceni koncentracijo podatkov okoli pričakovane vrednosti.

Izračun deskriptivne statistike za porazdelitev na podlagi frekvence

Če izvirni podatki niso na voljo, postane frekvenčna porazdelitev edini vir informacij. V takšnih situacijah je mogoče izračunati približne vrednosti kvantitativnih kazalcev porazdelitve, kot so aritmetična sredina, standardni odklon in kvartili.

Če so vzorčni podatki predstavljeni kot frekvenčna porazdelitev, je mogoče izračunati približek aritmetične sredine ob predpostavki, da so vse vrednosti v vsakem razredu koncentrirane na sredini razreda:

Kje - povprečje vzorca, n- število opazovanj ali velikost vzorca, z- število razredov v frekvenčni porazdelitvi, m j- sredina j razred, fj- ustrezna frekvenca j- razred.

Za izračun standardnega odklona od frekvenčne porazdelitve se tudi predpostavlja, da so vse vrednosti v vsakem razredu koncentrirane na sredini razreda.

Da bi razumeli, kako se kvartili serije določajo na podlagi frekvenc, upoštevajte izračun spodnjega kvartila na podlagi podatkov za leto 2013 o porazdelitvi ruskega prebivalstva glede na povprečni denarni dohodek na prebivalca (slika 12).

riž. 12. Delež ruskega prebivalstva s povprečnim dohodkom na prebivalca denarni dohodek povprečje na mesec, rubljev

Za izračun prvega kvartila niza intervalnih variacij lahko uporabite formulo:

kjer je Q1 vrednost prvega kvartila, xQ1 je spodnja meja intervala, ki vsebuje prvi kvartil (interval je določen z akumulirano frekvenco, ki prva preseže 25 %); i – vrednost intervala; Σf – vsota frekvenc celotnega vzorca; verjetno vedno enako 100 %; SQ1–1 – akumulirana frekvenca intervala pred intervalom, ki vsebuje spodnji kvartil; fQ1 – frekvenca intervala, ki vsebuje spodnji kvartil. Formula za tretji kvartil se razlikuje po tem, da morate na vseh mestih uporabiti Q3 namesto Q1 in nadomestiti ¾ namesto ¼.

V našem primeru (slika 12) je spodnji kvartil v območju 7000,1 – 10.000, katerega akumulirana frekvenca je 26,4 %. Spodnja meja tega intervala je 7000 rubljev, vrednost intervala je 3000 rubljev, akumulirana frekvenca intervala pred intervalom, ki vsebuje spodnji kvartil, je 13,4%, frekvenca intervala, ki vsebuje spodnji kvartil, je 13,0%. Tako: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 rub.

Pasti, povezane z opisno statistiko

V tej objavi smo pogledali, kako opisati nabor podatkov z uporabo različnih statističnih podatkov, ki ocenjujejo njegovo povprečje, širjenje in porazdelitev. Naslednji korak je analiza in interpretacija podatkov. Do sedaj smo proučevali objektivne lastnosti podatkov, sedaj pa prehajamo na njihovo subjektivno interpretacijo. Raziskovalec se sooča z dvema napakama: nepravilno izbranim predmetom analize in nepravilno interpretacijo rezultatov.

Analiza donosov 15 zelo tveganih vzajemnih skladov je precej nepristranska. Pripeljal je do povsem objektivnih zaključkov: vsi vzajemni skladi imajo različne donose, razpon donosov skladov se giblje od -6,1 do 18,5, povprečna donosnost pa je 6,08. Zagotovljena je objektivnost analize podatkov prava izbira skupni kvantitativni kazalniki distribucije. Obravnavanih je bilo več metod za ocenjevanje povprečja in razpršenosti podatkov ter prikazane njihove prednosti in slabosti. Kako izbrati pravo statistiko za objektivno in nepristransko analizo? Če je porazdelitev podatkov rahlo poševna, ali bi morali izbrati mediano namesto povprečja? Kateri indikator natančneje označuje širjenje podatkov: standardni odklon ali razpon? Ali naj poudarimo, da je distribucija pozitivno nagnjena?

Po drugi strani pa je interpretacija podatkov subjektiven proces. Različni ljudje pridejo do različnih zaključkov pri interpretaciji istih rezultatov. Vsak ima svoje stališče. Nekdo meni, da so skupni povprečni letni donosi 15 skladov z zelo visoko stopnjo tveganja dobri in je zelo zadovoljen s prejetim dohodkom. Drugi morda menijo, da imajo ti skladi prenizke donose. Tako je treba subjektivnost nadomestiti s poštenostjo, nevtralnostjo in jasnostjo sklepov.

Etična vprašanja

Analiza podatkov je neločljivo povezana z etičnimi vprašanji. Biti morate kritični do informacij, ki jih širijo časopisi, radio, televizija in internet. Sčasoma se boste naučili biti skeptični ne le do rezultatov, ampak tudi do ciljev, predmeta in objektivnosti raziskave. Slavni britanski politik Benjamin Disraeli je to najbolje povedal: "Obstajajo tri vrste laži: laži, preklete laži in statistika."

Kot je navedeno v opombi, se pri izbiri rezultatov, ki naj bodo predstavljeni v poročilu, pojavijo etična vprašanja. Objaviti je treba tako pozitivne kot negativne rezultate. Poleg tega morajo biti pri izdelavi poročila ali pisnega poročila rezultati predstavljeni pošteno, nevtralno in objektivno. Treba je razlikovati med neuspešnimi in nepoštenimi predstavitvami. Za to je treba ugotoviti, kakšne so bile namere govorca. Včasih govorec pomembne informacije izpusti zaradi nevednosti, včasih pa namerno (na primer, če z aritmetično sredino oceni povprečje očitno izkrivljenih podatkov, da bi dobil želeni rezultat). Nepošteno je tudi zamolčanje rezultatov, ki ne ustrezajo raziskovalčevemu stališču.

Uporabljeno je gradivo iz knjige Levin et al. – M.: Williams, 2004. – str. 178–209

Funkcija QUARTILE je bila ohranjena zaradi združljivosti s starejšimi različicami Excela.

Predvsem v ekv. V praksi moramo uporabiti aritmetično sredino, ki jo lahko izračunamo kot preprosto in uteženo aritmetično sredino.

Aritmetično povprečje (SA)-n Najpogostejša vrsta povprečja. Uporablja se v primerih, ko je obseg spremenljive značilnosti za celotno populacijo vsota vrednosti značilnosti njenih posameznih enot. Za družbene pojave je značilna aditivnost (totalnost) obsega različnih značilnosti, kar določa obseg uporabe SA in pojasnjuje njegovo razširjenost kot splošnega indikatorja, na primer: splošni sklad plač je vsota plač vseh zaposlenih.

Če želite izračunati SA, morate vsoto vseh vrednosti funkcij deliti z njihovim številom. SA se uporablja v dveh oblikah.

Najprej si oglejmo preprosto aritmetično povprečje.

1-CA preprosto (začetna, definirajoča oblika) je enaka preprosti vsoti posameznih vrednosti značilnosti, ki se povprečijo, deljeni s skupnim številom teh vrednosti (uporablja se, kadar obstajajo nezdružene vrednosti indeksa značilnosti):

Izvedene izračune je mogoče posplošiti v naslednjo formulo:

(1)

Kje - povprečno vrednost spremenljive značilnosti, to je preprosto aritmetično povprečje;

pomeni seštevanje, to je seštevanje posameznih značilnosti;

x- posamezne vrednosti spremenljive lastnosti, ki se imenujejo variante;

n - število enot populacije

Primer 1, treba je najti povprečni učinek enega delavca (mehanika), če je znano, koliko delov je izdelal vsak od 15 delavcev, tj. glede na vrsto ind. vrednosti atributov, kos: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Enostavna SA se izračuna po formuli (1), št.:

Primer2. Izračunajmo SA na podlagi pogojnih podatkov za 20 trgovin, vključenih v trgovsko podjetje (tabela 1). Tabela 1

Porazdelitev trgovin trgovskega podjetja "Vesna" po prodajnem območju, m2. M

Za izračun povprečne površine trgovine ( ) potrebno je sešteti površine vseh trgovin in dobljeni rezultat deliti s številom trgovin:

Tako je povprečna površina trgovine za to skupino maloprodajnih podjetij 71 m2.

Zato morate za določitev preprostega SA deliti vsoto vseh vrednosti danega atributa s številom enot, ki imajo ta atribut.

2

Kje f 1 , f 2 , … ,f n – teža (pogostost ponavljanja enakih znakov);

– vsota zmnožkov velikosti značilnosti in njihove frekvence;

– skupno število populacijskih enot.

Kje X- opcije;

f- frekvenca (teža).

Uteženi SA je količnik deljenja vsote zmnožkov opcij in njihovih ustreznih frekvenc z vsoto vseh frekvenc. frekvence ( f), ki se pojavljajo v formuli SA, se običajno kličejo luske, zaradi česar se SA, izračunan ob upoštevanju uteži, imenuje ponderiran.

Ponazorili bomo tehniko izračuna uteženega SA z zgoraj obravnavanim primerom 1. Da bi to naredili, bomo združili začetne podatke in jih postavili v tabelo.

Povprečje združenih podatkov se določi na naslednji način: najprej se možnosti pomnožijo s frekvencami, nato se zmnožki seštejejo in dobljena vsota se deli z vsoto frekvenc.

Po formuli (2) je uteženi SA enak, kos .:

p

Razporeditev trgovin Vesna po prodajnih površinah, kv. m

Tako je bil rezultat enak. Vendar bo to že utežena aritmetična sredina vrednosti.

V prejšnjem primeru smo izračunali aritmetično povprečje, če so znane absolutne frekvence (število trgovin). Vendar pa v številnih primerih ni absolutnih frekvenc, vendar so znane relativne frekvence ali, kot se običajno imenujejo, frekvence, ki prikazujejo delež oz delež frekvenc v celotnem nizu.

Pri izračunu SA ponderirane uporabe frekvence vam omogoča poenostavitev izračunov, ko je frekvenca izražena z velikimi večmestnimi številkami. Izračun je narejen na enak način, vendar, ker se izkaže, da se povprečna vrednost poveča za 100-krat, je treba rezultat deliti s 100.

Potem bo formula za aritmetično tehtano povprečje videti takole:

Kje d– pogostost, tj. delež posamezne frekvence v skupni vsoti vseh frekvenc.

V našem primeru 2 najprej definiramo specifična težnost trgovin po skupinah v skupnem številu trgovin Vesna. Torej, za prvo skupino specifična teža ustreza 10%
. Dobimo naslednje podatke Tabela3

Pri delu z številski izrazi včasih je treba izračunati njihovo povprečno vrednost. imenujemo aritmetična sredina. V Excelu, Microsoftovem urejevalniku preglednic, je mogoče ne izračunati ročno, ampak uporabiti posebna orodja. Ta članek bo predstavil metode, ki vam omogočajo, da ugotovite in izpeljete število aritmetične sredine.

Metoda 1: standardna

Najprej si oglejmo način izračuna aritmetične sredine v Excelu, ki vključuje uporabo standardnega orodja za to. Metoda je najenostavnejša in najbolj priročna za uporabo, vendar ima tudi nekaj pomanjkljivosti. Toda več o njih kasneje, zdaj pa preidimo na dokončanje naloge.

1. Izberite celice v stolpcu ali vrstici, ki vsebujejo številske vrednosti, ki jih želite izračunati.
2. Pojdite na zavihek "Domov".
3. V orodni vrstici v kategoriji »Urejanje« kliknite na gumb »Samodejna vsota«, vendar morate klikniti puščico poleg njega, da se prikaže spustni seznam.
4. V njem morate klikniti element »Povprečje«.

Takoj, ko to storite, se bo rezultat izračuna aritmetične sredine izbranih vrednosti pojavil v celici zraven. Njegova lokacija bo odvisna od podatkovnega bloka; če ste izbrali vrstico, se bo rezultat nahajal desno od izbora, če bo stolpec, bo spodaj.

Toda kot smo že omenili, ima ta metoda tudi slabosti. Torej ne boste mogli izračunati vrednosti iz obsega celic ali celic, ki se nahajajo v njih različni kraji. Na primer, če vaša tabela vsebuje dva sosednja stolpca s številskimi vrednostmi, boste z izbiro in izvedbo zgoraj opisanih korakov dobili rezultat za vsak stolpec posebej.

2. način: Uporaba čarovnika za funkcije

V Excelu obstaja veliko načinov za iskanje aritmetične sredine in seveda je z njihovo pomočjo mogoče zaobiti omejitve prejšnje metode. Zdaj bomo govorili o izvajanju izračunov s čarovnikom za funkcije. Torej, tukaj je tisto, kar morate storiti.

1. S klikom na levi gumb miške izberite celico, v kateri želite videti rezultat izračuna.
2. Odprite okno čarovnika za funkcije s klikom na gumb »Vstavi funkcijo«, ki se nahaja na levi strani vrstice s formulami, ali z uporabo bližnjičnih tipk Shift+F3.
3. V oknu, ki se prikaže, na seznamu poiščite vrstico »POVPREČNO«, jo označite in kliknite gumb »V redu«.
4. Pojavilo se bo novo okno za vnos funkcijskih argumentov. V njem boste videli dve polji: "Številka1" in "Številka2".
5. V prvo polje vnesite naslove celic, v katerih se nahajajo številske vrednosti za izračun. To je mogoče storiti ročno ali z uporabo posebno orodje. V drugem primeru kliknite na gumb, ki se nahaja na desni strani vnosnega polja. Okno čarovnika se bo strnilo in z miško boste morali izbrati celice za izračun.
6. Če se drug obseg celic s podatki nahaja drugje na listu, ga označite v polju »Številka2«.
7. Nadaljujte z vnosom podatkov, dokler ne vnesete vseh zahtevanih podatkov.
8. Kliknite OK.

Ko končate vnos, se okno čarovnika zapre, rezultat izračuna pa se prikaže v celici, ki ste jo izbrali na samem začetku. Zdaj poznate drugi način izračuna aritmetične sredine v Excelu. Vendar še zdaleč ni zadnji, zato pojdimo naprej.

3. način: prek vrstice s formulami

Ta metoda, kako izračunati aritmetično sredino v Excelu, se ne razlikuje veliko od prejšnje, vendar se v nekaterih primerih morda zdi bolj priročna, zato jo je vredno preučiti. večinoma, ta metoda samo ponudbe Alternativna možnost klic čarovnika za funkcije.

Takoj, ko so vsa dejanja na seznamu končana, se pred vami prikaže okno čarovnika za funkcije, kjer morate vnesti argumente. To že veste iz prejšnje metode; vsa naslednja dejanja se ne razlikujejo.

4. način: Ročno vnašanje funkcije

Če želite, se lahko izognete interakciji s čarovnikom za funkcije, če poznate formulo aritmetične sredine v Excelu. V nekaterih primerih bo ročni vnos večkrat pospešil postopek izračuna.

Če želite razumeti vse nianse, morate pogledati sintakso formule, izgleda takole:

AVERAGE(naslov_celice(število);naslov_celice(število))

Iz sintakse sledi, da je treba v argumentih funkcije določiti bodisi naslov obsega celic, v katerem se nahajajo številke, ki jih je treba izračunati, ali same številke, ki jih je treba izračunati. V praksi je uporaba te metode videti takole:

AVERAGE(C4:D6,C8:D9)

5. način: izračun po pogoju

• izberite celico, v kateri bo opravljen izračun;
• kliknite gumb "vstavi funkcijo";
• v oknu čarovnika, ki se prikaže, na seznamu izberite vrstico »averageif«;
• Kliknite OK.

Po tem se prikaže okno za vnos argumentov funkcije. Je zelo podoben tistemu, kar je bilo prikazano prej, le da se je pojavilo zdaj dodatno polje- "Pogoj". Tukaj je treba vnesti pogoj. Tako bodo z vnosom »>1500« upoštevane samo tiste vrednosti, ki so večje od navedene vrednosti.

Pod pojmom povprečje aritmetična števila pomeni rezultat enostavnega zaporedja izračunov povprečne vrednosti za vrsto vnaprej določenih števil. Opozoriti je treba, da to vrednost trenutno pogosto uporabljajo strokovnjaki v številnih panogah. Formule so na primer znane za izračune ekonomistov ali delavcev v statistični industriji, kjer je zahtevana vrednost te vrste. Poleg tega se ta kazalnik aktivno uporablja v številnih drugih panogah, ki so povezane z zgoraj navedenim.

Ena od značilnosti izračuna te vrednosti je preprostost postopka. Izvedite izračune Vsakdo lahko to stori. Za to ne potrebujete posebne izobrazbe. Pogosto ni potrebe po uporabi računalniške tehnologije.

Če želite odgovoriti na vprašanje, kako najti aritmetično sredino, razmislite o številnih situacijah.

Večina preprosta možnost izračun dane vrednosti je izračun za dve števili. Postopek izračuna v tem primeru je zelo preprost:

1. Na začetku morate izvesti operacijo seštevanja izbranih številk. To je pogosto mogoče storiti, kot pravijo, ročno, brez uporabe elektronske opreme.
2. Ko je izvedeno seštevanje in je rezultat dobljen, je treba izvesti deljenje. Ta operacija vključuje deljenje vsote dveh seštetih števil z dva – število dodanih števil. To dejanje vam bo omogočilo pridobitev zahtevane vrednosti.

Formula

Tako bo formula za izračun zahtevane vrednosti v primeru dveh videti takole:

(A+B)/2

Ta formula uporablja naslednji zapis:

A in B sta vnaprej izbrani številki, za kateri morate najti vrednost.

Iskanje vrednosti za tri

Izračun te vrednosti v situaciji, ko so izbrane tri številke, se ne bo veliko razlikoval od prejšnje možnosti:

1. Če želite to narediti, izberite številke, potrebne za izračun, in jih dodajte, da dobite skupni znesek.
2. Ko je ta vsota tri najdena, je treba ponovno izvesti postopek deljenja. V tem primeru je treba dobljeni znesek deliti s tri, kar ustreza številu izbranih številk.

Formula

Tako bo formula, potrebna za izračun aritmetične tri, videti takole:

(A+B+C)/3

V tej formuli Sprejet je naslednji zapis:

A, B in C so številke, za katere boste morali najti aritmetično sredino.

Računanje aritmetične sredine štirih

Kot je že razvidno po analogiji s prejšnjimi možnostmi, bo izračun te vrednosti za količino, ki je enaka štirim, v naslednjem vrstnem redu:

1. Izberejo se štiri števke, za katere je treba izračunati aritmetično sredino. Nato se izvede seštevanje in najde končni rezultat tega postopka.
2. Zdaj, da bi dobili končni rezultat, bi morali vzeti dobljeno vsoto štiri in jo deliti s štiri. Prejeti podatki bodo zahtevana vrednost.

Formula

Iz zgoraj opisanega zaporedja dejanj za iskanje aritmetične sredine za štiri lahko dobite naslednjo formulo:

(A+B+C+E)/4

V tej formuli spremenljivke imajo naslednja vrednost:

A, B, C in E so tisti, za katere je treba najti vrednost aritmetične sredine.

S to formulo bo vedno mogoče izračunati zahtevano vrednost za določeno število številk.

Izračun aritmetične sredine pet

Izvajanje te operacije bo zahtevalo določen algoritem dejanj.

1. Najprej morate izbrati pet števil, za katere se bo izračunala aritmetična sredina. Po tem izboru je treba te številke, tako kot v prejšnjih možnostih, le sešteti in dobiti končni znesek.
2. Nastali znesek bo treba deliti z njihovim številom za pet, kar vam bo omogočilo, da dobite zahtevano vrednost.

Formula

Tako, podobno kot pri prej obravnavanih možnostih, dobimo naslednjo formulo za izračun aritmetične sredine:

(A+B+C+E+P)/5

V tej formuli so spremenljivke označene na naslednji način:

A, B, C, E in P so števila, za katera je potrebno pridobiti aritmetično sredino.

Univerzalna formula za izračun

Izvajanje pregleda različne možnosti formule za izračun aritmetične sredine, lahko ste pozorni na dejstvo, da imajo skupen vzorec.

Zato bo bolj praktično uporabiti splošno formulo za iskanje aritmetične sredine. Navsezadnje obstajajo situacije, ko sta lahko število in obseg izračunov zelo velika. Zato bi bilo pametneje uporabiti univerzalno formulo in je ne izpisati vsakič individualna tehnologija za izračun te vrednosti.

Glavna stvar pri določanju formule je princip izračuna aritmetične sredine O.

To načelo, kot je razvidno iz navedenih primerov, izgleda takole:

1. Prešteje se število števil, ki so navedena za pridobitev zahtevane vrednosti. To operacijo je mogoče izvesti ročno z majhnim številom številk ali z uporabo računalniške tehnologije.
2. Izbrana števila se seštejejo. Ta operacija se v večini primerov izvaja z uporabo računalniške tehnologije, saj so številke lahko sestavljene iz dveh, treh ali več števk.
3. Znesek, dobljen s seštevanjem izbranih števil, je treba deliti z njihovim številom. Ta vrednost se določi na začetni stopnji izračuna aritmetične sredine.

Tako bo splošna formula za izračun aritmetične sredine niza izbranih števil videti takole:

(A+B+...+N)/N

Ta formula vsebuje naslednje spremenljivke:

A in B sta števili, ki sta vnaprej izbrani za izračun njihove aritmetične sredine.

N je število števil, ki so bila vzeta za izračun zahtevane vrednosti.

Z vsakokratno zamenjavo izbranih števil v to formulo lahko vedno dobimo zahtevano vrednost aritmetične sredine.

Kot je razvidno, iskanje aritmetične sredine je preprost postopek. Vendar morate biti previdni pri izvedenih izračunih in preveriti dobljene rezultate. Ta pristop je razložen z dejstvom, da tudi v najpreprostejših situacijah obstaja možnost prejema napake, ki lahko nato vpliva na nadaljnje izračune. V zvezi s tem je priporočljivo uporabljati računalniško tehnologijo, ki je sposobna izvajati izračune katere koli kompleksnosti.

Aritmetična sredina v excelu. Excelove tabele so idealne za vse vrste izračunov. Po študiju Excela boste lahko reševali probleme iz kemije, fizike, matematike, geometrije, biologije, statistike, ekonomije in mnogih drugih. Sploh ne pomislimo, kako zmogljivo orodje je na naših računalnikih, kar pomeni, da ga ne izkoristimo v celoti. Mnogi starši mislijo, da je računalnik le draga igrača. Ampak zaman! Seveda, da bi otrok dejansko vadil na njem, se morate sami naučiti delati na njem in nato otroka učiti. No, to je že druga tema, a danes bi rad govoril z vami o tem, kako najti aritmetično sredino v Excelu.

Kako najti aritmetično sredino v Excelu

O hitrem v Excelu smo že govorili, danes pa bomo govorili o aritmetičnem povprečju.

Izberite celico C12 in s pomočjo Čarovniki za funkcije Vanj zapišimo formulo za izračun aritmetične sredine. Če želite to narediti, v standardni orodni vrstici kliknite gumb - Vstavljanje funkcije –fx (na zgornji sliki je na vrhu rdeča puščica). Odpre se pogovorno okno Mojster funkcije .

• Izberite v polju kategorije — Statistični ;
• Na terenu Izberite funkcijo: POVPREČJE ;
• Kliknite gumb v redu .

Odpre se naslednje okno Argumenti in funkcije .

Na terenu Številka 1 videli boste posnetek C2:C11– program je sam določil obseg celic, za katere je potreben poiščite aritmetično sredino.

Kliknite gumb v redu in v celici C12 Prikazala se bo aritmetična sredina rezultatov.

Izkazalo se je, da izračunati aritmetično sredino v Excelu sploh ni težko. In vedno sem se bal vseh vrst formul. Eh, učila sva se ob nepravem času.