Aritmetična progresija poimenuj zaporedje števil (izrazi progresije)

Pri kateri se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega z novim izrazom, ki se tudi imenuje razlika v stopnji ali napredovanju.

Tako lahko z določitvijo koraka napredovanja in njegovega prvega člena poiščete katerega koli od njegovih elementov s formulo

Lastnosti aritmetične progresije

1) Vsak člen aritmetične progresije, začenši z drugim številom, je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana progresije.

Velja tudi obratno. Če je aritmetična sredina sosednjih sodih (lihih) členov progresije enaka členu, ki stoji med njima, potem je to zaporedje števil aritmetična progresija. S to izjavo je zelo enostavno preveriti katero koli zaporedje.

Z lastnostjo aritmetične progresije lahko zgornjo formulo posplošimo na naslednjo

To je enostavno preveriti, če izraze napišete desno od enačaja

V praksi se pogosto uporablja za poenostavitev izračunov v problemih.

2) Vsota prvih n členov aritmetične progresije se izračuna po formuli

Dobro si zapomnite formulo za vsoto aritmetične progresije, nepogrešljiva je pri izračunih in jo pogosto najdemo v preprostih življenjskih situacijah.

3) Če ne želite najti celotne vsote, ampak del zaporedja, ki se začne od njegovega k-tega člena, vam bo naslednja formula za vsoto koristna

4) Praktično zanimivo je iskanje vsote n členov aritmetične progresije, začenši s k-tim številom. Če želite to narediti, uporabite formulo

S tem zaključimo teoretično gradivo in preidemo na reševanje običajnih problemov v praksi.

Primer 1. Poiščite štirideseti člen aritmetične progresije 4;7;...

rešitev:

Glede na stanje, ki ga imamo

Določimo korak napredovanja

Z dobro znano formulo najdemo štirideseti člen napredovanja

Primer 2. Aritmetična progresija je podana s tretjim in sedmim členom. Poiščite prvi člen napredovanja in vsoto deset.

rešitev:

Zapišimo dane elemente progresije s pomočjo formul

Od druge enačbe odštejemo prvo, tako dobimo korak napredovanja

Najdeno vrednost nadomestimo v katero koli od enačb, da poiščemo prvi člen aritmetične progresije

Izračunamo vsoto prvih desetih členov napredovanja

Brez zahtevnih izračunov smo našli vse zahtevane količine.

Primer 3. Aritmetična progresija je podana z imenovalcem in enim od njegovih členov. Poiščite prvi člen napredovanja, vsoto njegovih 50 členov, začenši s 50, in vsoto prvih 100.

rešitev:

Zapišimo formulo za stoti element progresije

in poiščite prvega

Na podlagi prvega najdemo 50. člen napredovanja

Iskanje vsote dela progresije

in vsoto prvih 100

Znesek napredovanja je 250.

Primer 4.

Poiščite število členov aritmetičnega napredovanja, če:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

rešitev:

Zapišimo enačbe glede na prvi člen in korak napredovanja ter ju določimo

Dobljene vrednosti nadomestimo s formulo vsote, da določimo število členov v vsoti

Izvajamo poenostavitve

in reši kvadratno enačbo

Od dveh najdenih vrednosti le številka 8 ustreza pogojem problema. Tako je vsota prvih osmih členov napredovanja 111.

Primer 5.

Reši enačbo

1+3+5+...+x=307.

Rešitev: Ta enačba je vsota aritmetične progresije. Izpišimo njen prvi člen in poiščimo razliko v napredovanju

Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti izraz zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem členov številskega zaporedja določenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravna števila:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - določeno število.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetične progresije je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje poznejšega roka danega geometrijsko napredovanje prejšnjemu je konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak produktu drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člane geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Preden se začnemo odločati težave z aritmetično progresijo, razmislimo, kaj je številsko zaporedje, saj je aritmetična progresija poseben primerštevilčno zaporedje.

Številsko zaporedje je številski niz, katerega vsak element ima svojo zaporedno številko. Elemente te množice imenujemo člani zaporedja. Serijska številka elementa zaporedja je označena z indeksom:

Prvi element zaporedja;

Peti element zaporedja;

- "n-ti" element zaporedja, tj. element "stoji v čakalni vrsti" na številki n.

Med vrednostjo zaporednega elementa in njegovo zaporedno številko obstaja povezava. Zato lahko zaporedje obravnavamo kot funkcijo, katere argument je zaporedna številka elementa zaporedja. Z drugimi besedami, lahko rečemo, da zaporedje je funkcija naravnega argumenta:

Zaporedje je mogoče nastaviti na tri načine:

1 . Zaporedje je mogoče določiti s tabelo. V tem primeru preprosto nastavimo vrednost vsakega člana zaporedja.

Nekdo se je na primer odločil, da se bo lotil upravljanja osebnega časa in za začetek preštel, koliko časa preživi na VKontakte med tednom. Z zapisom časa v tabelo bo prejel zaporedje, sestavljeno iz sedmih elementov:

Prva vrstica tabele označuje številko dneva v tednu, druga - čas v minutah. Vidimo, da je v ponedeljek nekdo preživel 125 minut na VKontakte, to je v četrtek - 248 minut, in to je v petek le 15.

2 . Zaporedje je mogoče določiti s formulo n-tega člena.

V tem primeru je odvisnost vrednosti elementa zaporedja od njegovega števila izražena neposredno v obliki formule.

Na primer, če , potem

Da bi našli vrednost elementa zaporedja z dano številko, zamenjamo številko elementa v formulo n-tega člena.

Enako naredimo, če moramo najti vrednost funkcije, če je vrednost argumenta znana. Vrednost argumenta nadomestimo v funkcijsko enačbo:

Če npr. , To

Naj še enkrat opozorim, da je v zaporedju, za razliko od poljubne številske funkcije, argument lahko le naravno število.

3 . Zaporedje je mogoče podati s formulo, ki izraža odvisnost vrednosti člana zaporedja številka n od vrednosti prejšnjih členov. V tem primeru ni dovolj, da poznamo samo številko člana zaporedja, da bi našli njegovo vrednost. Določiti moramo prvega člana ali prvih nekaj članov zaporedja.

Na primer, upoštevajte zaporedje ,

Poiščemo lahko vrednosti članov zaporedja v zaporedju, začenši s tretjim:

To pomeni, da se vsakič, ko najdemo vrednost n-tega člena zaporedja, vrnemo k prejšnjima dvema. Ta metoda določanja zaporedja se imenuje ponavljajoče se, iz latinske besede recurro- Pridi nazaj.

Zdaj lahko definiramo aritmetično progresijo. Aritmetična progresija je preprost poseben primer številskega zaporedja.

Aritmetična progresija je številsko zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu.

Številka je poklicana razlika aritmetične progresije. Razlika aritmetične progresije je lahko pozitivna, negativna ali enaka nič.

Če je naslov="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} povečevanje.

Na primer, 2; 5; 8; enajst;...

Če je , potem je vsak člen aritmetične progresije manjši od prejšnjega in progresija je zmanjševanje.

Na primer, 2; -1; -4; -7;...

Če , potem so vsi členi napredovanja enaki istemu številu in napredovanje je stacionarni.

Na primer 2;2;2;2;...

Glavna lastnost aritmetične progresije:

Poglejmo risbo.

To vidimo

, in hkrati

Če seštejemo ti dve enakosti, dobimo:

.

Obe strani enakosti delimo z 2:

Torej je vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, enak aritmetični sredini obeh sosednjih:

Še več, saj

, in hkrati

, To

, in zato

Vsak člen aritmetičnega napredovanja, ki se začne z title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula th člena.

Vidimo, da členi aritmetične progresije zadoščajo naslednjim razmerjem:

in končno

Imamo formula n-tega člena.

POMEMBNO! Vsak člen aritmetične progresije je mogoče izraziti z in. Če poznate prvi člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdete katerega koli od njegovih členov.

Vsota n členov aritmetične progresije.

V poljubni aritmetični progresiji so vsote členov, ki so enako oddaljeni od skrajnih, med seboj enake:

Razmislite o aritmetični progresiji z n členi. Naj bo vsota n členov te progresije enaka .

Razporedimo pogoje napredovanja najprej v naraščajočem vrstnem redu številk in nato v padajočem vrstnem redu:

Dodajmo v parih:

Vsota v vsakem oklepaju je , število parov je n.

Dobimo:

Torej, vsoto n členov aritmetične progresije je mogoče najti z uporabo formul:

Razmislimo reševanje problemov aritmetične progresije.

1 . Zaporedje je podano s formulo n-tega člena: . Dokaži, da je to zaporedje aritmetična progresija.

Dokažimo, da je razlika med dvema sosednjima členoma zaporedja enaka istemu številu.

Ugotovili smo, da razlika med dvema sosednjima členoma zaporedja ni odvisna od njunega števila in je konstanta. Zato je to zaporedje po definiciji aritmetična progresija.

2 . Glede na aritmetično progresijo -31; -27;...

a) Poiščite 31 členov napredovanja.

b) Ugotovi, ali je število 41 vključeno v to progresijo.

A) To vidimo;

Zapišimo formulo za n-ti člen našega napredovanja.

Na splošno

V našem primeru , Zato

Ali pa je aritmetika vrsta urejenega številskega zaporedja, katerega lastnosti preučujemo šolski tečaj algebra. Ta članek podrobno obravnava vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja.

Kakšno napredovanje je to?

Preden preidemo na vprašanje (kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja), je vredno razumeti, o čem govorimo.

Vsako zaporedje realnih števil, ki ga dobimo tako, da vsakemu prejšnjemu številu prištejemo (odštejemo) neko vrednost, imenujemo algebraična (aritmetična) progresija. Ta definicija, če jo prevedemo v matematični jezik, ima obliko:

Tukaj je i serijska številka elementa vrstice a i. Tako lahko, če poznate samo eno startno številko, enostavno obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje progresijska razlika.

Preprosto je mogoče dokazati, da za obravnavano vrsto števil velja naslednja enakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi našli vrednost n-tega elementa po vrstnem redu, bi morali dodati razliko d prvemu elementu a 1 n-1-krat.

Kaj je vsota aritmetične progresije: formula

Preden navedete formulo za navedeni znesek, je vredno razmisliti o preprostem posebnem primeru. Glede na napredovanje naravnih števil od 1 do 10 morate najti njihovo vsoto. Ker je v progresiji malo členov (10), je možno problem rešiti neposredno, torej sešteti vse elemente po vrsti.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Ena stvar vredna razmisleka zanimiva stvar: ker se vsak člen razlikuje od naslednjega za isto vrednost d = 1, bo parno seštevanje prvega z desetim, drugega z devetim in tako naprej dalo enak rezultat. res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot lahko vidite, je teh vsot le 5, to je natanko dvakrat manj od števila elementov niza. Če nato število vsot (5) pomnožite z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, dobljenega v prvem primeru.

Če posplošimo te argumente, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ta izraz kaže, da sploh ni potrebno seštevati vseh elementov po vrsti, dovolj je poznati vrednost prvega a 1 in zadnjega a n skupno število n pogoji.

Menijo, da je Gauss prvi pomislil na to enakost, ko je iskal rešitev danega problema. šolski učitelj naloga: seštej prvih 100 celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, podana v prejšnjem odstavku, odgovarja na vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja (prvi elementi), vendar je pogosto v nalogah treba sešteti vrsto števil sredi napredovanja. Kako narediti?

Na to vprašanje najlažje odgovorimo tako, da upoštevamo naslednji primer: naj bo treba najti vsoto členov od m-tega do n-tega. Za rešitev problema morate dani segment od m do n progresije predstaviti v obliki nove številske serije. V takih m-ta reprezentacijačlen a m bo prvi, a n pa bo oštevilčen z n-(m-1). V tem primeru z uporabo standardne formule za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Spodaj je številčno zaporedje, morali bi najti vsoto njegovih členov, začenši s 5. in konča z 12.:

Dane številke kažejo, da je razlika d enaka 3. Z izrazom za n-ti element lahko najdete vrednosti 5. in 12. člena napredovanja. Izkazalo se je:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Če poznate vrednosti števil na koncih obravnavanega algebraičnega napredovanja, pa tudi veste, katera števila v nizu zasedajo, lahko uporabite formulo za vsoto, dobljeno v prejšnjem odstavku. Izkazalo se bo:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poiščite vsoto prvih 12 elementov s standardno formulo, nato izračunajte vsoto prvih 4 elementov z isto formulo, nato pa odštejte drugega od prve vsote.

I. V. Jakovlev | Materiali za matematiko | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta podzaporedje. Zato se moramo pred definiranjem aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko pogovoriti pomemben konceptštevilčno zaporedje.

Naknadno zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere se ena za drugo izpisujejo določene številke. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ta niz številk je natanko primer zaporedja.

Opredelitev. Številsko zaporedje je niz števil, v katerem je vsakemu številu mogoče pripisati enolično število (to je, povezano z enim samim naravnim številom)1. Število n imenujemo n-ti člen zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru je prvo število 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6 peti člen zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Na splošno je n-ti člen zaporedja označen z an (ali bn, cn itd.).

Zelo priročna situacija je, ko lahko n-ti člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n podaja zaporedje: 1; 1; 1; 1; : : :

Vsak niz številk ni zaporedje. Tako segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, ki bi jih bilo treba preštevilčiti. Tudi množica R vseh realnih števil ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen (začenši od drugega) enak vsoti prejšnjega člena in nekega fiksnega števila (imenovanega razlika aritmetične progresije).

Na primer, zaporedje 2; 5; 8; enajst; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; : : : je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Ekvivalentna definicija: zaporedje an imenujemo aritmetična progresija, če je razlika an+1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).

Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je razlika pozitivna, in padajoča, če je razlika negativna.

1 Tukaj pa je bolj jedrnata definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N ! R.

Zaporedja se privzeto štejejo za neskončna, kar pomeni, da vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče nas ne moti, da upoštevamo končna zaporedja; pravzaprav lahko vsako končno množico števil imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljen iz petih številk.

Formula za n-ti člen aritmetičnega napredovanja

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve števili: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljuben člen aritmetičnega napredovanja?

Dobiti zahtevano formulo N-ti člen aritmetične progresije ni težak. Naj an

Problem 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; : : : poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.

rešitev. Po formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji za katero koli

Z drugimi besedami, vsak člen aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

kar je bilo zahtevano.

Na splošno aritmetična progresija an izpolnjuje enakost

a n = a n k+ a n+k

za vsak n > 2 in vsak naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkazalo se je, da formula (2) služi ne le kot nujen, temveč tudi kot zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak za aritmetično progresijo. Če enakost (2) velja za vse n > 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.

Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:

a na n 1= a n+1a n:

Iz tega lahko vidimo, da razlika an+1 an ni odvisna od n, kar natanko pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetične progresije je mogoče oblikovati v obliki ene izjave; Za udobje bomo to storili za tri številke (to je situacija, ki se pogosto pojavi pri težavah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.

Problem 2. (MSU, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in označite razliko te progresije.

rešitev. Po lastnosti aritmetične progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Če je x = 1, potem dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni primeren.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto števil od 1 do 100, in tiho sedel in bral časopis. Vendar je v nekaj minutah en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Karl Friedrich Gauss, kasneje eden od največji matematiki v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila naslednja. Pustiti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

in dodajte ti dve formuli:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, skupno pa je torej 100 izrazov

2S = 101 100 = 10100;

To idejo uporabimo za izpeljavo formule vsote

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uporabno modifikacijo formule (3) dobimo, če vanjo nadomestimo formulo n-tega člena an = a1 + (n 1)d:

Naloga 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

rešitev. Trimestna števila, ki so večkratniki 13, tvorijo aritmetično napredovanje, pri čemer je prvi člen 104, razlika pa 13; N-ti člen tega napredovanja ima obliko:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko členov vsebuje naše napredovanje. Če želite to narediti, rešimo neenakost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano količino:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2