Glede na vzorčno anketo so bili vlagatelji razvrščeni glede na višino depozita v mestni Sberbank:

Določite:

1) obseg variacije;

2) povprečna velikost depozita;

3) povprečno linearno odstopanje;

4) disperzija;

5) standardni odklon;

6) koeficient variacije prispevkov.

rešitev:

Ta porazdelitvena serija vsebuje odprte intervale. V takšnih serijah se običajno predpostavlja, da je vrednost intervala prve skupine enaka vrednosti intervala naslednje skupine, vrednost intervala zadnje skupine pa je enaka vrednosti intervala skupine prejšnji.

Vrednost intervala druge skupine je enaka 200, zato je tudi vrednost prve skupine enaka 200. Vrednost intervala predzadnje skupine je enaka 200, kar pomeni, da bo tudi zadnji interval enak. imajo vrednost 200.

1) Določimo obseg variacije kot razliko med največjo in najmanjšo vrednostjo atributa:

Razpon variacije velikosti depozita je 1000 rubljev.

2) Povprečna velikost prispevka bo določena z uporabo formule za tehtano aritmetično povprečje.

Najprej določimo diskretno vrednost atributa v vsakem intervalu. Če želite to narediti, z uporabo preproste formule aritmetične sredine poiščemo sredine intervalov.

Povprečna vrednost prvega intervala bo:

drugi - 500 itd.

Rezultate izračuna vpišimo v tabelo:

Povprečni depozit v mestni Sberbank bo 780 rubljev:

3) Povprečno linearno odstopanje je aritmetična sredina absolutnih odstopanj posameznih vrednosti značilnosti od skupnega povprečja:

Postopek za izračun povprečnega linearnega odstopanja v seriji intervalne porazdelitve je naslednji:

1. Utežena aritmetična sredina se izračuna, kot je prikazano v odstavku 2).

2. Absolutna odstopanja od povprečja se določijo:

3. Nastala odstopanja se pomnožijo s frekvencami:

4. Poiščite vsoto tehtanih odstopanj brez upoštevanja znaka:

5. Vsota tehtanih odstopanj se deli z vsoto frekvenc:

Primerno je uporabiti tabelo podatkov za izračun:

Povprečno linearno odstopanje velikosti depozita strank Sberbank je 203,2 rublja.

4) Disperzija je aritmetična sredina kvadratnih odklonov posamezne vrednosti atributa od aritmetične sredine.

Izračun variance v serijah intervalne porazdelitve se izvede po formuli:

Postopek za izračun variance v tem primeru je naslednji:

1. Določite tehtano aritmetično sredino, kot je prikazano v odstavku 2).

2. Poiščite odstopanja od povprečja:

3. Kvadrat odstopanja vsake možnosti od povprečja:

4. Pomnožite kvadrate odstopanj z utežmi (frekvencami):

5. Seštejte nastale izdelke:

6. Dobljeni znesek se deli z vsoto uteži (pogostnosti):

Zložimo izračune v tabelo:

Program Excel zelo cenijo tako profesionalci kot amaterji, saj lahko z njim delajo uporabniki katere koli ravni znanja. Na primer, vsak z minimalnimi "komunikacijskimi" veščinami v Excelu lahko nariše preprost graf, naredi spodoben krožnik itd.

Hkrati vam ta program omogoča celo izvajanje različnih vrst izračunov, na primer izračunov, vendar to zahteva nekoliko drugačno stopnjo usposabljanja. Če pa ste se šele začeli pobliže seznanjati s tem programom in vas zanima vse, kar vam bo pomagalo postati naprednejši uporabnik, je ta članek za vas. Danes vam bom povedal, kakšno je povprečje standardni odklon formula v Excelu, zakaj je sploh potrebna in, strogo gledano, kdaj se uporablja. Pojdi!

kaj je

Začnimo s teorijo. Standardni odklon se običajno imenuje Kvadratni koren, dobljeno iz aritmetične sredine vseh kvadratov razlik med razpoložljivimi vrednostmi, kot tudi njihove aritmetične sredine. Mimogrede, ta vrednost se običajno imenuje grška črka "sigma". Standardni odklon se izračuna s formulo STANDARDEVAL; program to naredi za uporabnika sam.

Bistvo tega koncepta je ugotoviti stopnjo variabilnosti instrumenta, to je, da je na svoj način indikator, ki izhaja iz deskriptivne statistike. Opredeljuje spremembe volatilnosti instrumenta v določenem časovnem obdobju. Z uporabo formul STANDARDEVAL lahko ocenite standardni odklon vzorca, medtem ko je logično in besedilne vrednosti so prezrti.

Formula

Pomaga izračunati standardno odstopanje v excel formula, ki je samodejno na voljo v Excelu. Če ga želite najti, morate v Excelu poiskati razdelek s formulo in nato izbrati tistega z imenom STANDARDEVAL, tako da je zelo preprosto.

Po tem se pred vami prikaže okno, v katerega boste morali vnesti podatke za izračun. Predvsem je treba v posebni polji vnesti dve številki, po katerih bo program sam izračunal standardni odklon za vzorec.

Nedvomno so matematične formule in izračuni precej zapleteno vprašanje in vsi uporabniki se z njim ne morejo takoj spopasti. Če pa se poglobite malo globlje in pogledate zadevo nekoliko podrobneje, se izkaže, da ni vse tako žalostno. Upam, da ste se o tem prepričali na primeru izračuna standardnega odklona.

Video v pomoč

X i - naključne (trenutne) spremenljivke;

X̅– povprečna vrednost naključnih spremenljivk za vzorec se izračuna po formuli:

Torej, varianca je povprečni kvadrat odstopanj . To pomeni, da se povprečna vrednost najprej izračuna, nato pa vzame razlika med vsako izvirno in povprečno vrednostjo je na kvadrat , sešteje in nato deli s številom vrednosti v dani populaciji.

Razlika med posamezno vrednostjo in povprečjem odraža mero odstopanja. V kvadratu, tako da vsa odstopanja postanejo izključno pozitivna števila in se izogibati medsebojnemu uničevanju pozitivnih in negativnih odstopanj pri njihovem seštevanju. Nato glede na kvadrat odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino.

rešitev čarobna beseda"Disperzija" je sestavljena samo iz teh treh besed: povprečje - kvadrat - odstopanja.

Standardni odklon (MSD)

Če vzamemo kvadratni koren variance, dobimo tako imenovani " standardni odklon". Obstajajo imena "standardni odklon" ali "sigma" (iz imena grške črke σ .). Formula za standardni odklon je:

Torej, disperzija je sigma na kvadrat ali standardni odklon na kvadrat.

Standardni odklon seveda označuje tudi mero razpršenosti podatkov, vendar ga je zdaj (za razliko od razpršenosti) mogoče primerjati z izvirnimi podatki, saj imajo enake merske enote (to je jasno iz formule za izračun). Razpon variacije je razlika med skrajnimi vrednostmi. Standardni odklon kot merilo negotovosti je prav tako vključen v številne statistične izračune. Uporablja se za določitev stopnje točnosti različne ocene in napovedi. Če je variacija zelo velika, bo velik tudi standardni odklon, zato bo napoved netočna, kar se bo izrazilo na primer v zelo širokih intervalih zaupanja.

Zato se pri metodah statistične obdelave podatkov pri ocenjevanju nepremičnin, odvisno od zahtevane natančnosti naloge, uporablja pravilo dveh ali treh sigm.

Za primerjavo pravila dveh sigm in pravil treh sigm uporabimo Laplaceovo formulo:

Ž - Ž ,

kjer je Ф(x) Laplaceova funkcija;

Najmanjša vrednost

β = največja vrednost

s = sigma vrednost (standardni odklon)

a = povprečje

V tem primeru se uporablja zasebni pogled Laplaceova formula, ko sta meji α in β vrednosti naključne spremenljivke X enako oddaljeni od središča porazdelitve a = M(X) za določeno vrednost d: a = a-d, b = a+d. oz (1) Formula (1) določa verjetnost danega odstopanja d naključne spremenljivke X c normalno pravo distribucija od nje matematično pričakovanje M(X) = a. Če v formuli (1) zaporedno vzamemo d = 2s in d = 3s, dobimo: (2), (3).

Pravilo dveh sigm

Lahko je skoraj zanesljivo (z verjetnostjo zaupanja 0,954), da vse vrednosti naključne spremenljivke X z normalnim porazdelitvenim zakonom odstopajo od njenega matematičnega pričakovanja M(X) = a za znesek, ki ni večji od 2s (dva standardna odklona ). Verjetnost zaupanja (Pd) je verjetnost dogodkov, ki so običajno sprejeti kot zanesljivi (njihova verjetnost je blizu 1).

Geometrično ponazorimo pravilo dveh sigm. Na sl. Slika 6 prikazuje Gaussovo krivuljo z distribucijskim središčem a. Ploščina, omejena s celotno krivuljo in osjo Ox, je enaka 1 (100%), ploščina krivuljnega trapeza med abscisama a–2s in a+2s pa je po pravilu dveh sigm enaka na 0,954 (95,4 % celotne površine). Površina zasenčenih območij je 1-0,954 = 0,046 (»5% celotne površine). Ta območja se imenujejo kritična regija naključne spremenljivke. Vrednosti naključne spremenljivke, ki spadajo v kritično območje, so malo verjetne in so v praksi običajno sprejete kot nemogoče.

Pogojna verjetnost nemogoče vrednosti se imenuje stopnja pomembnosti naključne spremenljivke. Stopnja pomembnosti je povezana z verjetnostjo zaupanja s formulo:

kjer je q stopnja pomembnosti, izražena v odstotkih.

Pravilo treh sigm

Pri reševanju vprašanj, ki zahtevajo večjo zanesljivost, ko je verjetnost zaupanja (Pd) enaka 0,997 (natančneje 0,9973), se namesto pravila dveh sigm po formuli (3) uporablja pravilo tri sigme

Po navedbah pravilo treh sigm z verjetnostjo zaupanja 0,9973 bo kritično območje območje vrednosti atributov zunaj intervala (a-3s, a+3s). Stopnja pomembnosti je 0,27 %.

Z drugimi besedami, verjetnost, da absolutna vrednost odstopanja bodo presegla trikratno standardno deviacijo, zelo majhna, in sicer enaka 0,0027 = 1-0,9973. To pomeni, da se bo to zgodilo le v 0,27 % primerov. Takšni dogodki, ki temeljijo na načelu nemogoče malo verjetnih dogodkov, se lahko štejejo za praktično nemogoče. Tisti. vzorčenje je zelo natančno.

To je bistvo pravila treh sigm:

Če je naključna spremenljivka porazdeljena normalno, potem absolutna vrednost njenega odstopanja od matematičnega pričakovanja ne presega trikratne standardne deviacije (MSD).

V praksi se pravilo treh sigm uporablja na naslednji način: če porazdelitev preučevane naključne spremenljivke ni znana, vendar je pogoj, določen v zgornjem pravilu, izpolnjen, obstaja razlog za domnevo, da je preučevana spremenljivka normalno porazdeljena ; sicer ni normalno razporejen.

Stopnja pomembnosti je vzeta glede na dovoljeno stopnjo tveganja in nalogo. Za vrednotenje nepremičnin se običajno uporabi manj natančen vzorec po pravilu dveh sigm.

Razpršenost. Standardni odklon

Razpršenost je aritmetična sredina kvadratnih odstopanj vsake vrednosti atributa od skupnega povprečja. Odvisno od izvornih podatkov je lahko varianca neutežena (enostavna) ali utežena.

Varianca se izračuna po naslednjih formulah:

· za nezdružene podatke

· za združene podatke

Postopek za izračun utežene variance:

1. določite aritmetično tehtano povprečje

2. ugotavljajo se odstopanja variante od povprečja

3. kvadrirajte odstopanje posamezne možnosti od povprečja

4. pomnožite kvadrate odstopanj z utežmi (frekvencami)

5. povzemite nastale produkte

6. dobljeni znesek se deli z vsoto lestvic

Formulo za določanje variance lahko pretvorimo v naslednjo formulo:

- preprosto

Postopek za izračun variance je preprost:

1. določi aritmetično sredino

2. kvadrirajte aritmetično sredino

3. kvadrat vsako možnost v vrsti

4. poiščite možnost vsote kvadratov

5. vsoto kvadratov delimo z njihovim številom, tj. določi srednji kvadrat

6. določi razliko med povprečjem kvadrata karakteristike in kvadratom povprečja

Tudi formulo za določanje utežene variance lahko pretvorimo v naslednjo formulo:

tiste. disperzija je enaka razliki med povprečjem kvadratov vrednosti atributa in kvadratom aritmetične sredine. Pri uporabi transformirane formule odpade dodaten postopek za izračun odstopanj posameznih vrednosti značilnosti od x in odpade napaka v izračunu, povezana z zaokroževanjem odstopanj.

Disperzija ima številne lastnosti, od katerih nekatere olajšajo izračun:

1) disperzija konstantne vrednosti je nič;

2) če se vse različice vrednosti atributov zmanjšajo za enako število, se varianca ne bo zmanjšala;

3) če se vse različice vrednosti atributov zmanjšajo za enako število krat (krat), se bo varianca zmanjšala za faktor

Standardni odklon S- predstavlja kvadratni koren variance:

· za nezdružene podatke:

;

· za variacijsko serijo:

Razpon variacije, linearna srednja vrednost in standardni odklon so poimenovane količine. Imajo enake merske enote kot posamezne vrednote znak.

Varianca in standardni odklon sta najpogosteje uporabljeni meri variacije. To je razloženo z dejstvom, da so vključeni v večino izrekov teorije verjetnosti, ki služi kot temelj matematične statistike. Poleg tega je varianco mogoče razstaviti na sestavne elemente, kar omogoča ovrednotenje vpliva različni dejavniki, kar povzroča variacijo lastnosti.

Izračun kazalnikov variacije za banke, razvrščene po stopnji dobička, je prikazan v tabeli.

Povprečna linearna in standardna deviacija kažeta, koliko vrednost značilnosti v povprečju niha med enotami in proučevano populacijo. Torej, v v tem primeru Povprečna vrednost nihanja v višini dobička so: glede na povprečno linearno odstopanje 0,882 milijona rubljev; s standardnim odklonom - 1,075 milijona rubljev. Standardni odklon je vedno večji od srednjega linearnega odklona. Če je porazdelitev značilnosti blizu normalne, potem obstaja povezava med S in d: S=1,25d ali d=0,8S. Standardni odklon kaže, kako se nahaja večina populacijskih enot glede na aritmetično sredino. Ne glede na obliko porazdelitve, 75 vrednosti atributa spada v interval x 2S in vsaj 89 vseh vrednosti spada v interval x 3S (teorem P.L. Chebysheva).

Kvadratni koren variance se imenuje standardni odklon od povprečja, ki se izračuna na naslednji način:

Osnovno algebrska transformacija Formula standardnega odklona ga vodi do naslednje oblike:

Ta formula se v praksi izračunov pogosto izkaže za bolj priročno.

Standardni odklon, tako kot povprečni linearni odklon, kaže, koliko v povprečju posamezne vrednosti lastnosti odstopajo od njihove povprečne vrednosti. Standardni odklon je vedno večji od srednjega linearnega odklona. Med njimi obstaja naslednje razmerje:

Če poznate to razmerje, lahko uporabite znane kazalnike za določitev neznanega, na primer, vendar (JAZ izračunajte a in obratno. Standardni odklon meri absolutno velikost variabilnosti značilnosti in je izražen v enakih merskih enotah kot vrednosti značilnosti (rublji, tone, leta itd.). Je absolutno merilo variacije.

Za alternativni znaki, na primer prisotnost ali odsotnost višja izobrazba, formule zavarovanja, disperzije in standardnega odklona so naslednje:

Pokažimo izračun standardnega odklona po podatkih diskretne serije, ki označuje porazdelitev študentov ene od univerzitetnih fakultet po starosti (tabela 6.2).

Tabela 6.2.

Rezultati pomožnih izračunov so podani v stolpcih 2-5 tabele. 6.2.

Povprečna starost študenta, let, je določena s formulo utežene aritmetične sredine (stolpec 2):

Kvadratna odstopanja posamezne starosti učenca od povprečja so v stolpcih 3-4, zmnožki kvadratov odstopanj in pripadajočih frekvenc pa v stolpcu 5.

Varianco starosti učencev, let, poiščemo s formulo (6.2):

Potem je o = l/3,43 1,85 *oda, tj. Vsaka posamezna vrednost starosti študenta odstopa od povprečja za 1,85 leta.

Koeficient variacije

V svoji absolutni vrednosti standardni odklon ni odvisen samo od stopnje variacije značilnosti, temveč tudi od absolutnih ravni možnosti in povprečja. Zato primerjajte povprečje standardni odkloni Variacijske serije z različnimi povprečnimi stopnjami so neposredno nemogoče. Da bi lahko naredili takšno primerjavo, je treba poiskati specifična težnost povprečno odstopanje (linearno ali kvadratno) v aritmetičnem povprečju, izraženo v odstotkih, tj. izračunati relativne mere variacije.

Linearni koeficient variacije izračunano po formuli

Koeficient variacije določeno z naslednjo formulo:

V koeficientih variacije ni odpravljena le neprimerljivost, povezana z različnimi merskimi enotami preučevane lastnosti, temveč tudi neprimerljivost, ki nastane zaradi razlik v vrednosti aritmetičnih sredin. Poleg tega indikatorji variacije označujejo homogenost populacije. Populacija se šteje za homogeno, če koeficient variacije ne presega 33 %.

Glede na tabelo. 6.2 in zgoraj pridobljene rezultate izračuna določimo koeficient variacije, %, po formuli (6.3):

Če koeficient variacije presega 33 %, potem to kaže na heterogenost proučevane populacije. Dobljena vrednost v našem primeru kaže, da je populacija študentov po starosti homogena po sestavi. Tako je pomembna funkcija posploševanja indikatorjev variacije ocenjevanje zanesljivosti povprečij. Manj c1, a2 in V, bolj homogen je nastali niz pojavov in bolj zanesljivo je nastalo povprečje. V skladu s "pravilom treh sigm", ki ga upošteva matematična statistika, se v serijah z normalno porazdelitvijo ali nizih, ki so jim blizu, odstopanja od aritmetične sredine, ki ne presegajo ±3, pojavijo v 997 primerih od 1000. Tako vemo, X in a, lahko dobite splošno začetno predstavo o seriji variacij. Če je npr.povprečje plača zaposlenega v podjetju 25.000 rubljev, a je enako 100 rubljev, potem je z verjetnostjo, ki je blizu gotovosti, mogoče trditi, da plače zaposlenih v podjetju nihajo v območju (25.000 ± ± 3 x 100), tj. od 24.700 do 25.300 rubljev.