Modul je ena tistih stvari, za katere se zdi, da so že vsi slišali, a jih v resnici nihče zares ne razume. Zato bo danes velika lekcija, namenjena reševanju enačb z moduli.

Takoj bom rekel: lekcija ne bo težka. In na splošno so moduli razmeroma preprosta tema. »Ja, seveda, ni zapleteno! To mi gre na živce!« - bo rekel marsikateri študent, a vsi ti možganski zlomi nastanejo zaradi dejstva, da večina ljudi nima znanja v glavi, ampak nekakšno sranje. In cilj te lekcije je spremeniti sranje v znanje :).

Malo teorije

Torej, gremo. Začnimo z najpomembnejšim: kaj je modul? Naj vas spomnim, da je modul števila preprosto isto število, vendar brez znaka minus. To je na primer $\left| -5 \desno|=5$. Ali $\levo| -129,5 \desno|=129,5 $.

Je tako preprosto? Da, preprosto. Kolikšna je potem absolutna vrednost pozitivnega števila? Tu je še preprosteje: modul pozitivnega števila je enak samemu številu: $\left| 5 \desno|=5$; $\levo| 129,5 \right|=129,5 $ itd.

Izkazalo se je zanimivo: različne številke ima lahko isti modul. Na primer: $\levo| -5 \desno|=\levo| 5 \desno|=5$; $\levo| -129,5 \desno|=\levo| 129,5\desno|=129,5 USD. Preprosto je videti, kakšna števila so to, ki imajo enake module: ta števila so nasprotna. Tako ugotavljamo sami, da so moduli nasprotnih števil enaki:

\[\levo| -a \desno|=\levo| a\desno|\]

Še ena pomembno dejstvo: modul ni nikoli negativen. Ne glede na število, ki ga vzamemo - naj bo pozitivno ali negativno - se njegov modul vedno izkaže za pozitiven (ali v skrajnem primeru nič). Zato se modul pogosto imenuje absolutna vrednost števila.

Poleg tega, če združimo definicijo modula za pozitivno in negativno število, potem dobimo globalno definicijo modula za vsa števila. Namreč: modul števila je enak številu samemu, če je število pozitivno (ali nič), oziroma enak nasprotnemu številu, če je število negativno. To lahko zapišete kot formulo:

Obstaja tudi modul nič, vendar je vedno enak nič. Poleg tega je ničla edina številka, ki nima nasprotja.

Torej, če upoštevamo funkcijo $y=\left| x \right|$ in poskusite narisati njegov graf, dobili boste nekaj takega:

Graf modula in primer reševanja enačbe

Iz te slike je takoj jasno, da $\left| -m \desno|=\levo| m \right|$ in graf modula nikoli ne pade pod os x. Vendar to še ni vse: rdeča črta označuje premico $y=a$, ki nam pri pozitivnem $a$ daje dva korena hkrati: $((x)_(1))$ in $((x) _(2)) $, a o tem bomo govorili kasneje :)

Poleg čisto algebraične definicije obstaja še geometrijska. Recimo, da sta na številski premici dve točki: $((x)_(1))$ in $((x)_(2))$. V tem primeru je izraz $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ je preprosto razdalja med podanimi točkami. Ali, če želite, dolžina odseka, ki povezuje te točke:

Ta definicija tudi pomeni, da je modul vedno nenegativen. Ampak dovolj definicij in teorije - pojdimo k pravim enačbam :)

Osnovna formula

V redu, uredili smo definicijo. Vendar to ni olajšalo stvari. Kako rešiti enačbe, ki vsebujejo prav ta modul?

Mirno, samo mirno. Začnimo z najpreprostejšimi stvarmi. Razmislite o nečem takem:

\[\levo| x\desno|=3\]

Torej je modul $x$ 3. Čemu bi lahko bil enak $x$? No, sodeč po definiciji smo kar zadovoljni z $x=3$. res:

\[\levo| 3\desno|=3\]

Ali obstajajo druge številke? Zdi se, da Cap namiguje, da obstaja. Na primer, $x=-3$ je tudi $\left| -3 \desno|=3$, tj. je zahtevana enakost izpolnjena.

Morda bomo torej, če iščemo in razmišljamo, našli več številk? A priznajmo si: številk ni več. Enačba $\levo| x \right|=3$ ima samo dva korena: $x=3$ in $x=-3$.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Naj namesto spremenljivke $x$ pod znakom modula visi funkcija $f\left(x \desno)$, namesto trojčka na desni postavimo poljubno število$a$. Dobimo enačbo:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\]

Torej, kako lahko to rešimo? Naj vas spomnim: $f\left(x \right)$ je poljubna funkcija, $a$ je poljubno število. Tisti. Karkoli! Na primer:

\[\levo| 2x+1 \desno|=5\]

\[\levo| 10x-5 \desno|=-65\]

Bodimo pozorni na drugo enačbo. O njem lahko takoj rečete: nima korenin. Zakaj? Vse je pravilno: ker zahteva, da je modul enak negativnemu številu, kar se nikoli ne zgodi, saj že vemo, da je modul vedno pozitivno število ali v skrajnem primeru nič.

Toda s prvo enačbo je vse bolj zabavno. Obstajata dve možnosti: ali je pod znakom modula pozitiven izraz in nato $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ ali je ta izraz še vedno negativen in nato $\left| 2x+1 \desno|=-\levo(2x+1 \desno)=-2x-1$. V prvem primeru bo naša enačba prepisana na naslednji način:

\[\levo| 2x+1 \desno|=5\Desna puščica 2x+1=5\]

In nenadoma se izkaže, da je submodularni izraz $2x+1$ res pozitiven - enak je številu 5. To je lahko varno rešimo to enačbo - dobljeni koren bo del odgovora:

Tisti posebej nezaupljivi lahko poskusite najdeni koren nadomestiti v prvotno enačbo in se prepričati, da je pod modulom res pozitivno število.

Zdaj pa poglejmo primer negativnega submodularnega izraza:

\[\levo\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Desna puščica 2x+1=-5\]

Ups! Spet je vse jasno: predpostavili smo, da je $2x+1 \lt 0$, in kot rezultat smo dobili, da je $2x+1=-5$ - res, to je izraz manj kot nič. Rešimo nastalo enačbo, medtem ko že zagotovo vemo, da nam bo najdeni koren ustrezal:

Skupno smo ponovno dobili dva odgovora: $x=2$ in $x=3$. Da, količina izračunov se je izkazala za nekoliko večjo kot v zelo preprosti enačbi $\left| x \right|=3$, vendar se ni bistveno spremenilo nič. Torej morda obstaja nekaj univerzalni algoritem?

Da, takšen algoritem obstaja. In zdaj ga bomo analizirali.

Znebiti se znaka modula

Naj nam bo dana enačba $\left| f\left(x \right) \right|=a$ in $a\ge 0$ (sicer, kot že vemo, ni korenin). Nato se lahko znebite znaka modula z naslednjim pravilom:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=a\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm a\]

Tako se naša enačba z modulom razdeli na dve, vendar brez modula. To je vsa tehnologija! Poskusimo rešiti nekaj enačb. Začnimo s tem

\[\levo| 5x+4 \desno|=10\Desna puščica 5x+4=\pm 10\]

Upoštevajmo ločeno, kdaj je na desni deset plus, posebej pa, kdaj je minus. Imamo:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\desna puščica 5x=-14\desna puščica x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Dobili smo dva korena: $x=1,2$ in $x=-2,8$. Celotna rešitev je zajela dobesedno dve vrstici.

Ok, brez dvoma, poglejmo nekaj bolj resnega:

\[\levo| 7-5x\desno|=13\]

Spet odpremo modul s plusom in minusom:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Desna puščica -5x=-20\Desna puščica x=4. \\\konec(poravnaj)\]

Ponovno nekaj vrstic - in odgovor je pripravljen! Kot sem rekel, pri modulih ni nič zapletenega. Zapomniti si morate le nekaj pravil. Zato gremo naprej in začnemo z resnično bolj kompleksnimi nalogami.

Primer spremenljivke na desni strani

Zdaj razmislite o tej enačbi:

\[\levo| 3x-2 \desno|=2x\]

Ta enačba se bistveno razlikuje od vseh prejšnjih. kako In dejstvo, da je desno od enačaja izraz $2x$ - in ne moremo vnaprej vedeti, ali je pozitiven ali negativen.

Kaj storiti v tem primeru? Najprej moramo to razumeti enkrat za vselej če se desna stran enačbe izkaže za negativno, potem enačba ne bo imela korenin- že vemo, da modul ne more biti enak negativnemu številu.

In drugič, če je desni del še vedno pozitiven (ali enak nič), potem lahko ravnate popolnoma enako kot prej: preprosto odprite modul ločeno z znakom plus in ločeno z znakom minus.

Tako oblikujemo pravilo za poljubni funkciji $f\left(x \right)$ in $g\left(x \right)$ :

\[\levo| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \desno)=\pm g\left(x \desno) ), \\& g\levo(x \desno)\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]

V povezavi z našo enačbo dobimo:

\[\levo| 3x-2 \right|=2x\desna puščica \levo\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No, bomo že nekako kos zahtevi $2x\ge 0$. Na koncu lahko neumno zamenjamo korene, ki jih dobimo iz prve enačbe in preverimo, ali neenakost drži ali ne.

Torej rešimo samo enačbo:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\desna puščica 3x=0\desna puščica x=0. \\\konec(poravnaj)\]

No, kateri od teh dveh korenov izpolnjuje zahtevo $2x\ge 0$? Da oboje! Zato bosta odgovor dve števili: $x=(4)/(3)\;$ in $x=0$. To je rešitev :)

Sumim, da se nekateri študenti že dolgočasijo? No, poglejmo še bolj zapleteno enačbo:

\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \desno|=x-((x)^(3))\]

Čeprav je videti zlobno, je v resnici še vedno ista enačba oblike "modul je enako funkciji":

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)\]

In rešuje se na povsem enak način:

\[\levo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \levo(x-((x)^(3)) \desno), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\konec(poravnaj) \desno.\]

Z neenakostjo se bomo ukvarjali kasneje - nekako je preveč zlobna (pravzaprav je preprosta, a je ne bomo rešili). Zaenkrat se je bolje ukvarjati z nastalimi enačbami. Razmislimo o prvem primeru - to je, ko je modul razširjen z znakom plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

No, ni pametno, da morate zbrati vse z leve, prinesti podobne in videti, kaj se zgodi. In to se zgodi:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\konec(poravnaj)\]

Skupni faktor $((x)^(2))$ vzamemo iz oklepajev in dobimo zelo preprosto enačbo:

\[((x)^(2))\levo(2x-3 \desno)=0\desna puščica \levo[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\konec(poravnaj) \desno.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Pri tem smo izkoristili pomembno lastnost zmnožka, zaradi katere smo faktorizirali prvotni polinom: zmnožek je enak nič, kadar je vsaj eden od faktorjev enak nič.

Sedaj pa na popolnoma enak način obravnavajmo drugo enačbo, ki jo dobimo z razširitvijo modula z znakom minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\levo(x-((x)^(3)) \desno); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\levo(-3x+2 \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]

Spet ista stvar: produkt je enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič. Imamo:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \desno.\]

No, dobili smo tri korene: $x=0$, $x=1,5$ in $x=(2)/(3)\;$. No, kaj od tega niza bo šlo v končni odgovor? Če želite to narediti, ne pozabite, da imamo dodatno omejitev v obliki neenakosti:

Kako upoštevati to zahtevo? Samo nadomestimo najdene korenine in preverimo, ali neenakost velja za te $x$ ali ne. Imamo:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\desna puščica x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\desna puščica x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\konec(poravnaj)\]

Tako nam koren $x=1,5$ ne ustreza. In kot odgovor bosta samo dve korenini:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kot vidite, tudi v tem primeru ni bilo nič zapletenega - enačbe z moduli se vedno rešujejo z algoritmom. Samo dobro morate razumeti polinome in neenakosti. Zato prehajamo na bolj zapletene naloge - ne bo že en, ampak dva modula.

Enačbe z dvema moduloma

Doslej smo študirali le največ preproste enačbe— bil je en modul in nekaj drugega. To »še nekaj« smo poslali v drug del neenačbe, stran od modula, da bi se na koncu vse zreduciralo na enačbo oblike $\left| f\left(x \desno) \right|=g\left(x \desno)$ ali še bolj preprosto $\left| f\levo(x \desno) \desno|=a$.

Ampak vrtec konec - čas je, da razmislimo o nečem resnejšem. Začnimo z enačbami, kot je ta:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\]

To je enačba oblike "modul je enak modulu". V bistvu pomembna točka je odsotnost drugih izrazov in dejavnikov: le en modul na levi, še en modul na desni - in nič več.

Nekdo bo zdaj mislil, da so takšne enačbe težje rešljive kot to, kar smo preučevali do sedaj. Ampak ne: te enačbe je še lažje rešiti. Tukaj je formula:

\[\levo| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|\Desna puščica f\levo(x \desno)=\pm g\levo(x \desno)\]

Vse! Submodularne izraze enostavno enačimo tako, da pred enega od njih postavimo znak plus ali minus. In potem rešimo nastali dve enačbi - in korenine so pripravljene! Brez dodatnih omejitev, brez neenakosti itd. Vse je zelo preprosto.

Poskusimo rešiti ta problem:

\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\]

Osnovno Watson! Razširitev modulov:

\[\levo| 2x+3 \desno|=\levo| 2x-7 \desno|\Desna puščica 2x+3=\pm \levo(2x-7 \desno)\]

Razmislimo o vsakem primeru posebej:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\levo(2x-7 \desno)\Desna puščica 2x+3=-2x+7. \\\konec(poravnaj)\]

Prva enačba nima korenin. Ker kdaj je $3=-7$? Pri katerih vrednostih $x$? »Kaj za vraga je $x$? Ste nakamnjeni? Tam sploh ni $x$,« pravite. In imeli boste prav. Dobili smo enakost, ki ni odvisna od spremenljivke $x$, hkrati pa sama enakost ni pravilna. Zato ni korenin. :)

Pri drugi enačbi je vse malo bolj zanimivo, a tudi zelo, zelo preprosto:

Kot lahko vidite, je bilo vse rešeno dobesedno v nekaj vrsticah - od linearne enačbe nismo pričakovali ničesar drugega :).

Posledično je končni odgovor: $x=1$.

Torej, kako? Težko? Seveda ne. Poskusimo nekaj drugega:

\[\levo| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\]

Spet imamo enačbo v obliki $\left| f\levo(x \desno) \desno|=\levo| g\levo(x \desno) \desno|$. Zato ga takoj prepišemo in razkrijemo znak modula:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \levo(x-1 \desno)\]

Morda bo zdaj kdo vprašal: »Hej, kakšne neumnosti? Zakaj se »plus-minus« pojavi na desnem izrazu in ne na levem?« Pomiri se, zdaj bom vse razložil. Pravzaprav bi morali našo enačbo prepisati na naslednji način:

Nato morate odpreti oklepaje, premakniti vse člene na eno stran znaka enakovrednosti (ker bo enačba v obeh primerih očitno kvadratna) in nato poiskati korenine. Vendar morate priznati: ko se "plus-minus" pojavi pred tremi členi (še posebej, če je eden od teh izrazov kvadratni izraz), izgleda nekako bolj zapleteno kot situacija, ko se "plus-minus" pojavi pred samo dvema izrazoma.

Toda nič nam ne preprečuje, da prvotno enačbo prepišemo takole:

\[\levo| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|\Desna puščica \levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|=\levo| x-1 \desno|\]

Kaj se je zgodilo? Nič posebnega: le levo in desno stran so zamenjali. Malenkost, ki nam bo navsezadnje nekoliko olajšala življenje.

Na splošno rešimo to enačbo, pri čemer upoštevamo možnosti s plusom in minusom:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\levo(x-1 \desno)\Desna puščica ((x)^(2))-2x+1=0. \\\konec(poravnaj)\]

Prva enačba ima korena $x=3$ in $x=1$. Drugi je na splošno natančen kvadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\levo(x-1 \desno))^(2))\]

Zato ima samo en koren: $x=1$. Toda to korenino smo pridobili že prej. Tako bosta v končni odgovor vključeni samo dve številki:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misija končana! Lahko vzameš pito s police in jo poješ. Dva sta, tvoja je srednja :)

Pomembna opomba. Prisotnost enakih korenin za različne možnosti razširitev modula pomeni, da so prvotni polinomi faktorizirani, med temi faktorji pa bo zagotovo skupni. res:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| ((x)^(2))-3x+2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|=\levo| \levo(x-1 \desno)\levo(x-2 \desno) \desno|. \\\konec(poravnaj)\]

Ena od lastnosti modula: $\left| a\cdot b \desno|=\levo| a \desno|\cdot \levo| b \right|$ (tj. modul produkta je enak produktu modulov), zato lahko prvotno enačbo prepišemo takole:

\[\levo| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|\]

Kot lahko vidite, imamo res skupni faktor. Zdaj, če zberete vse module na eni strani, lahko ta dejavnik odstranite iz oklepaja:

\[\begin(align)& \left| x-1 \desno|=\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|; \\& \levo| x-1 \desno|-\levo| x-1 \desno|\cdot \levo| x-2 \desno|=0; \\& \levo| x-1 \desno|\cdot \levo(1-\levo| x-2 \desno| \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]

No, zdaj pa si zapomnite, da je produkt enak nič, ko je vsaj eden od faktorjev enak nič:

\[\levo[ \begin(align)& \left| x-1 \desno|=0, \\& \levo| x-2 \desno|=1. \\\end(align) \desno.\]

Tako se je prvotna enačba z dvema moduloma zreducirala na dve najpreprostejši enačbi, o katerih smo govorili na samem začetku lekcije. Take enačbe je mogoče rešiti dobesedno v nekaj vrsticah :)

Ta pripomba se morda zdi po nepotrebnem zapletena in v praksi neuporabna. Vendar pa lahko v resnici naletite na veliko več kompleksne naloge, kot tiste, ki jih analiziramo danes. V njih lahko module kombiniramo s polinomi, aritmetičnimi koreni, logaritmi itd. In v takšnih situacijah je zmožnost znižanja splošne stopnje enačbe tako, da nekaj vzamemo iz oklepajev, lahko zelo, zelo koristna.

Zdaj bi rad analiziral še eno enačbo, ki se na prvi pogled morda zdi nora. Veliko študentov se ob tem zatakne, tudi tisti, ki mislijo, da dobro razumejo module.

Vendar je to enačbo še lažje rešiti kot to, kar smo si ogledali prej. In če razumete zakaj, boste dobili še en trik za hitro reševanje enačb z moduli.

Enačba je torej:

\[\levo| x-((x)^(3)) \desno|+\levo| ((x)^(2))+x-2 \desno|=0\]

Ne, to ni tipkarska napaka: to je plus med moduli. In ugotoviti moramo, pri katerem $x$ je vsota dveh modulov enaka nič :).

V čem je sploh problem? Toda težava je v tem, da je vsak modul pozitivno število ali v skrajnem primeru nič. Kaj se zgodi, če seštejete dve pozitivni števili? Očitno spet pozitivna številka:

\[\začetek(poravnaj)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\konec(poravnaj)\]

Zadnja vrstica vam lahko da idejo: edini čas, ko je vsota modulov nič, je, če je vsak modul enak nič:

\[\levo| x-((x)^(3)) \desno|+\levo| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2)) \right|=0 \\\end(align) \right.\.

In kdaj je modul enak nič? Samo v enem primeru - ko je submodularni izraz enak nič:

\[((x)^(2))+x-2=0\Desna puščica \levo(x+2 \desno)\levo(x-1 \desno)=0\Desna puščica \levo[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \desno.\]

Tako imamo tri točke, na katerih se prvi modul ponastavi na nič: 0, 1 in −1; kot tudi dve točki, kjer se drugi modul ponastavi na nič: −2 in 1. Vendar pa moramo oba modula ponastaviti na nič hkrati, zato moramo med najdenimi številkami izbrati tista, ki so vključena v oba sklopa. Očitno obstaja samo eno takšno število: $x=1$ - to bo končni odgovor.

Metoda cepitve

Pa smo že obdelali kup problemov in se naučili veliko tehnik. Misliš, da je to vse? Vendar ne! Zdaj si bomo ogledali končno tehniko - in hkrati najpomembnejšo. Govorili bomo o enačbah cepitve z modulom. O čem se bomo sploh pogovarjali? Vrnimo se malo nazaj in poglejmo eno preprosto enačbo. Na primer to:

\[\levo| 3x-5 \desno|=5-3x\]

Takšno enačbo načeloma že znamo rešiti, saj gre za standardno konstrukcijo oblike $\left| f\levo(x \desno) \desno|=g\levo(x \desno)$. Toda poskusimo pogledati to enačbo z nekoliko drugačnega zornega kota. Natančneje, upoštevajte izraz pod znakom modula. Naj vas spomnim, da je modul katerega koli števila lahko enak samemu številu ali pa je nasproten temu številu:

\[\levo| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Pravzaprav je v tej dvoumnosti ves problem: ker se število pod modulom spreminja (odvisno je od spremenljivke), nam ni jasno, ali je pozitivno ali negativno.

Kaj pa, če na začetku zahtevate, da je to število pozitivno? Na primer, zahtevamo, da je $3x-5 \gt 0$ - v tem primeru bomo zagotovo dobili pozitivno število pod znakom modula in tega prav tega modula se lahko popolnoma znebimo:

Tako se bo naša enačba spremenila v linearno, ki jo je mogoče zlahka rešiti:

Res je, vse te misli so smiselne samo pod pogojem $3x-5 \gt 0$ - to zahtevo smo uvedli sami, da bi nedvoumno razkrili modul. Zato najdeno $x=\frac(5)(3)$ nadomestimo s tem pogojem in preverimo:

Izkazalo se je, da za navedeno vrednost $x$ naša zahteva ni izpolnjena, ker izkazalo se je, da je izraz enak nič in potrebujemo, da je strogo večji od nič. žalostno :(

Ampak je v redu! Navsezadnje obstaja še ena možnost $3x-5 \lt 0$. Še več: obstaja tudi primer $3x-5=0$ - tudi to je treba upoštevati, sicer bo rešitev nepopolna. Torej, razmislite o primeru $3x-5 \lt 0$:

Očitno se bo modul odprl z znakom minus. Toda potem se pojavi nenavadna situacija: tako na levi kot na desni v prvotni enačbi bo štrlel isti izraz:

Zanima me, pri kolikšnih $x$ bo izraz $5-3x$ enak izrazu $5-3x$? Tudi kapitan Očitnost bi se ob takih enačbah zadušil v slini, a vemo: ta enačba je identiteta, tj. velja za katero koli vrednost spremenljivke!

To pomeni, da nam bo vsak $x$ ustrezal. Vendar imamo omejitev:

Z drugimi besedami, odgovor ne bo ena sama številka, ampak cel interval:

Končno je treba upoštevati še en primer: $3x-5=0$. Tukaj je vse preprosto: pod modulom bo nič, modul nič pa je tudi enak nič (to izhaja neposredno iz definicije):

Toda potem izvirna enačba $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ bo prepisano na naslednji način:

Ta koren smo že dobili zgoraj, ko smo obravnavali primer $3x-5 \gt 0$. Poleg tega je ta koren rešitev enačbe $3x-5=0$ - to je omejitev, ki smo jo sami uvedli za ponastavitev modula :).

Tako se bomo poleg intervala zadovoljili tudi s številom, ki leži čisto na koncu tega intervala:

Skupni končni odgovor: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Ni prav pogosto videti takšnega sranja v odgovoru na precej preprosto (v bistvu linearno) enačbo z modulom, res? No, navadite se: težava modula je, da so odgovori v takšnih enačbah lahko povsem nepredvidljivi.

Nekaj ​​drugega je veliko bolj pomembno: pravkar smo analizirali univerzalni algoritem za reševanje enačbe z modulom! In ta algoritem je sestavljen iz naslednjih korakov:

1. Vsak modul v enačbi izenačite z nič. Dobimo več enačb;
2. Rešite vse te enačbe in označite korenine na številski premici. Posledično bo ravna črta razdeljena na več intervalov, v vsakem od katerih so vsi moduli edinstveno razkriti;
3. Rešite prvotno enačbo za vsak interval in združite svoje odgovore.

To je vse! Ostaja samo eno vprašanje: kaj storiti s koreninami, pridobljenimi v koraku 1? Recimo, da imamo dva korena: $x=1$ in $x=5$. Številsko premico bodo razdelili na 3 dele:

Kakšni so torej intervali? Jasno je, da so trije:

1. Skrajno levo: $x \lt 1$ — sama enota ni vključena v interval;
2. Središče: $1\le x \lt 5$ - tukaj je ena vključena v interval, pet pa ni vključenih;
3. Skrajno desno: $x\ge 5$ - pet je vključenih samo tukaj!

Mislim, da že razumete vzorec. Vsak interval vključuje levi konec in ne vključuje desnega.

Na prvi pogled se lahko tak vnos zdi neprijeten, nelogičen in na splošno nekakšen nor. Toda verjemite mi: po malo vaje boste ugotovili, da je ta pristop najbolj zanesljiv in ne moti nedvoumnega odpiranja modulov. Bolje je uporabiti takšno shemo, kot da vsakič razmišljate: dajte levi / desni konec trenutnemu intervalu ali ga "vrzite" v naslednjega.

V tem članku bomo podrobno analizirali absolutna vrednost števila. Bomo dali različne definicije modul števila, uvesti zapis in grafično ponazoriti. Hkrati pa razmislimo različni primeri iskanje modula števila po definiciji. Nato bomo našteli in utemeljili glavne lastnosti modula. Na koncu članka bomo govorili o tem, kako se določi in najde modul kompleksnega števila.

Navigacija po straneh.

Številski modul - definicija, zapis in primeri

Najprej se predstavimo oznaka modula števila. Modul števila a bomo zapisali kot , to pomeni, da bomo levo in desno od števila postavili navpične črtice, da tvorimo znak modula. Naj navedemo nekaj primerov. Na primer, modul −7 lahko zapišemo kot ; modul 4.125 je zapisan kot , modul pa ima zapis v obliki .

Naslednja definicija modula se nanaša na , torej na , in na cela števila ter na racionalna in iracionalna števila kot sestavne dele množice realnih števil. Govorili bomo o modulu kompleksnega števila v.

Opredelitev.

Modul števila a– to je bodisi samo število a, če je a pozitivno število, bodisi število −a, nasprotno število a, če je a negativno število, ali 0, če je a=0.

Izražena definicija modula števila je pogosto zapisana v naslednji obliki , ta vnos pomeni, da če a>0 , če a=0 in če a<0 .

Zapis je mogoče predstaviti v bolj strnjeni obliki . Ta zapis pomeni, da če je (a večje ali enako 0) in če je a<0 .

Obstaja tudi vstop . Tukaj bi morali posebej pojasniti primer, ko je a=0. V tem primeru imamo , toda −0=0, saj se nič šteje za število, ki je sebi nasprotno.

Dajmo primeri iskanja modula števila z uporabo navedene definicije. Na primer, poiščimo module števil 15 in . Začnimo z iskanjem. Ker je število 15 pozitivno, je njegov modul po definiciji enak temu številu samemu, to je . Kaj je modul števila? Ker je negativno število, je njegov modul enak številu, ki je nasprotno številu, to je številu . Tako, .

Za zaključek te točke predstavljamo en sklep, ki je zelo priročen za uporabo v praksi pri iskanju modula števila. Iz definicije modula števila sledi, da modul števila je enak številu pod znakom modula brez upoštevanja njegovega predznaka, in iz zgoraj obravnavanih primerov je to zelo jasno razvidno. Navedena trditev pojasnjuje, zakaj se imenuje tudi modul števila absolutna vrednost števila. Torej sta modul števila in absolutna vrednost števila ena in ista.

Modul števila kot razdalja

Geometrično si lahko modul števila razlagamo kot razdalja. Dajmo določanje modula števila z razdaljo.

Opredelitev.

Modul števila a– to je razdalja od izhodišča na koordinatni premici do točke, ki ustreza številu a.

Ta definicija je skladna z definicijo modula števila, podano v prvem odstavku. Razjasnimo to točko. Razdalja od izhodišča do točke, ki ustreza pozitivnemu številu, je enaka temu številu. Nič ustreza izhodišču, zato je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 0 enaka nič (ni vam treba dati na stran enega segmenta enote in niti enega segmenta, ki sestavlja katerikoli del enotskega segmenta, da bi da pridemo iz točke O v točko s koordinato 0). Razdalja od izhodišča do točke z negativno koordinato je enaka številu, ki je nasprotno koordinati te točke, saj je enaka razdalji od izhodišča do točke, katere koordinata je nasprotno število.

Na primer, modul števila 9 je enak 9, saj je razdalja od izhodišča do točke s koordinato 9 enaka devet. Povejmo še en primer. Točka s koordinato −3,25 se nahaja na razdalji 3,25 od točke O, torej .

Navedena definicija modula števila je poseben primer definicije modula razlike dveh števil.

Opredelitev.

Modul razlike dveh števil a in b je enaka razdalji med točkama koordinatne premice s koordinatama a in b.

To pomeni, da če sta točki na koordinatni premici A(a) in B(b) podani, potem je razdalja od točke A do točke B enaka modulu razlike med številoma a in b. Če vzamemo točko O (izhodišče) kot točko B, potem dobimo definicijo modula števila, podanega na začetku tega odstavka.

Določanje modula števila z uporabo aritmetičnega kvadratnega korena

Občasno se pojavi določanje modula preko aritmetičnega kvadratnega korena.

Izračunajmo na primer module števil −30 in na podlagi te definicije. Imamo. Podobno izračunamo modul dveh tretjin: .

Definicija modula števila skozi aritmetični kvadratni koren je prav tako skladna z definicijo iz prvega odstavka tega člena. Pokažimo ga. Naj bo a pozitivno število in naj bo −a negativno število. Potem in , če je a=0, potem .

Lastnosti modula

Modul ima številne značilne rezultate - lastnosti modula. Zdaj bomo predstavili glavne in najpogosteje uporabljene od njih. Pri utemeljevanju teh lastnosti se bomo oprli na definicijo modula števila v smislu razdalje.

Začnimo z najbolj očitno lastnostjo modula - Modul števila ne more biti negativno število. V dobesedni obliki ima ta lastnost obliko za poljubno število a. To lastnost je zelo enostavno utemeljiti: modul števila je razdalja in razdalje ni mogoče izraziti kot negativno število.

Pojdimo na naslednjo lastnost modula. Modul števila je nič, če in samo če je to število nič. Modul nič je po definiciji nič. Ničla ustreza izhodišču; nobena druga točka na koordinatni premici ne ustreza ničli, saj je vsako realno število povezano z eno točko na koordinatni premici. Iz istega razloga vsako število, ki ni nič, ustreza točki, ki ni izhodišče. In razdalja od izhodišča do katere koli točke, razen točke O, ni nič, saj je razdalja med dvema točkama nič, če in samo če ti točki sovpadata. Zgornje sklepanje dokazuje, da je samo modul nič enak nič.

Kar daj. Nasprotna števila imajo enake module, to je za poljubno število a. Dejansko sta dve točki na koordinatni premici, katerih koordinate sta nasprotni števili, enako oddaljeni od izhodišča, kar pomeni, da sta modula nasprotnih števil enaka.

Naslednja lastnost modula je: Modul zmnožka dveh števil je enak zmnožku modulov teh števil, to je . Po definiciji je modul produkta števil a in b enak a·b, če , ali −(a·b), če . Iz pravil množenja realnih števil sledi, da je zmnožek modulov števil a in b enak a·b, , ali −(a·b), če je , kar dokazuje obravnavano lastnost.

Modul količnika a, deljenega z b, je enak količniku modula števila, deljenega z modulom b, to je . Utemeljimo to lastnost modula. Ker je količnik enak produktu, potem. Na podlagi prejšnjega premoženja imamo . Vse kar ostane je, da uporabimo enakost , ki velja na podlagi definicije modula števila.

Naslednja lastnost modula je zapisana kot neenakost: , a , b in c so poljubna realna števila. Zapisana neenakost ni nič drugega kot neenakost trikotnika. Da bo to jasno, vzemimo točke A(a), B(b), C(c) na koordinatni premici in razmislimo o degeneriranem trikotniku ABC, katerega oglišča ležijo na isti premici. Po definiciji je modul razlike enak dolžini segmenta AB, - dolžini segmenta AC in - dolžini segmenta CB. Ker dolžina katere koli stranice trikotnika ne presega vsote dolžin drugih dveh stranic, potem neenakost velja , torej tudi neenakost velja.

Pravkar dokazana neenakost je veliko pogostejša v obliki . Zapisana neenakost se običajno obravnava kot ločena lastnost modula s formulacijo: " Modul vsote dveh števil ne presega vsote modulov teh števil" Toda neenakost sledi neposredno iz neenakosti, če namesto b postavimo −b in vzamemo c=0.

Modul kompleksnega števila

Dajmo definicija modula kompleksnega števila. Naj nam bo dano kompleksno število, zapisano v algebraični obliki, kjer sta x in y nekaj realnih števil, ki predstavljata realni in imaginarni del danega kompleksnega števila z, in je imaginarna enota.

Ena najtežjih tem za študente je reševanje enačb, ki vsebujejo spremenljivko pod znakom modula. Najprej ugotovimo, s čim je to povezano? Zakaj na primer večina otrok razbija kvadratne enačbe kot orehe, vendar ima toliko težav s tako daleč od zapletenega koncepta, kot je modul?

Po mojem mnenju so vse te težave povezane s pomanjkanjem jasno oblikovanih pravil za reševanje enačb z modulom. Torej, odločanje kvadratna enačba, učenec zagotovo ve, da mora najprej uporabiti diskriminantno formulo, nato pa še formule za korenine kvadratne enačbe. Kaj storiti, če je v enačbi najden modul? Poskušali bomo jasno opisati potreben akcijski načrt za primer, ko enačba vsebuje neznanko pod znakom modula. Za vsak primer bomo podali več primerov.

Toda najprej se spomnimo definicija modula. Torej, modulo števila a sama ta številka se imenuje, če a nenegativno in -a, če št a manj kot nič. Lahko zapišete takole:

|a| = a, če je a ≥ 0 in |a| = -a če a< 0

Ko govorimo o geometrijskem pomenu modula, je treba zapomniti, da vsako realno število ustreza določeni točki na številski osi - njeni koordinirati. Torej je modul ali absolutna vrednost števila razdalja od te točke do izhodišča numerične osi. Razdalja je vedno navedena kot pozitivno število. Tako je modul katerega koli negativnega števila pozitivno število. Mimogrede, tudi na tej stopnji se mnogi učenci začnejo zmedati. Modul lahko vsebuje poljubno število, vendar je rezultat uporabe modula vedno pozitivno število.

Zdaj pa pojdimo neposredno k reševanju enačb.

1. Razmislite o enačbi oblike |x| = c, kjer je c realno število. To enačbo je mogoče rešiti z uporabo definicije modula.

Vsa realna števila razdelimo v tri skupine: tista, ki so večja od nič, tista, ki so manjša od nič, tretja skupina pa je število 0. Rešitev zapišemo v obliki diagrama:

(±c, če je c > 0

Če |x| = c, potem je x = (0, če je c = 0

(brez korenin, če z< 0

1) |x| = 5, ker 5 > 0, potem je x = ±5;

2) |x| = -5, ker -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, potem je x = 0.

2. Enačba oblike |f(x)| = b, kjer je b > 0. Za rešitev te enačbe se je potrebno znebiti modula. To naredimo tako: f(x) = b ali f(x) = -b. Zdaj morate rešiti vsako od nastalih enačb posebej. Če je v prvotni enačbi b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, ker 4 > 0, torej

x + 2 = 4 ali x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, ker 11 > 0, torej

x 2 – 5 = 11 ali x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 brez korenin

3) |x 2 – 5x| = -8, ker -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Enačba oblike |f(x)| = g(x). Glede na pomen modula bo taka enačba imela rešitve, če je njena desna stran večja ali enaka nič, tj. g(x) ≥ 0. Potem bomo imeli:

f(x) = g(x) oz f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ta enačba bo imela korene, če je 5x – 10 ≥ 0. Tu se začne reševanje takih enačb.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rešitev:

2x – 1 = 5x – 10 ali 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Kombiniramo O.D.Z. in rešitev, dobimo:

Koren x = 11/7 se ne ujema z O.D.Z., je manjši od 2, vendar x = 3 izpolnjuje ta pogoj.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Rešimo to neenačbo z intervalno metodo:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rešitev:

x – 1 = 1 – x 2 ali x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ali x = 1 x = 0 ali x = 1

3. Kombiniramo raztopino in O.D.Z.:

Primerna sta samo korena x = 1 in x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Enačba oblike |f(x)| = |g(x)|. Takšna enačba je enakovredna naslednjima enačbama f(x) = g(x) ali f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ta enačba je enakovredna naslednjima dvema:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ali x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ali x = 4 x = 2 ali x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Enačbe rešene z metodo substitucije (zamenjava spremenljivke). Ta metoda rešitve je najlažje razložena v konkreten primer. Torej, dobimo kvadratno enačbo z modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2, tako da lahko enačbo prepišemo na naslednji način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem bomo imeli:

t 2 – 6t + 5 = 0. Pri reševanju te enačbe ugotovimo, da je t = 1 ali t = 5. Vrnimo se k zamenjavi:

|x| = 1 ali |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Poglejmo še en primer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po lastnosti modula x 2 = |x| 2 torej

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Naredimo zamenjavo |x| = t ≥ 0, potem:

t 2 + t – 2 = 0. Če rešimo to enačbo, dobimo t = -2 ali t = 1. Vrnimo se k zamenjavi:

|x| = -2 ali |x| = 1

Ni korenin x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

6. Druga vrsta enačb so enačbe s "kompleksnim" modulom. Take enačbe vključujejo enačbe, ki imajo »module znotraj modula«. Enačbe te vrste je mogoče rešiti z uporabo lastnosti modula.

1) |3 – |x|| = 4. Ravnali bomo enako kot pri enačbah druge vrste. Ker 4 > 0, potem dobimo dve enačbi:

3 – |x| = 4 ali 3 – |x| = -4.

Zdaj izrazimo modul x v vsaki enačbi, nato pa |x| = -1 ali |x| = 7.

Rešimo vsako od nastalih enačb. V prvi enačbi ni korenin, ker -1< 0, а во втором x = ±7.

Odgovori x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. To enačbo rešimo na podoben način:

3 + |x + 1| = 5 ali 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ali x + 1 = -2. Brez korenin.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Obstaja tudi univerzalna metoda za reševanje enačb z modulom. To je intervalna metoda. Vendar si ga bomo ogledali kasneje.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Absolutna vrednost števila a je razdalja od izhodišča do točke A(a).

Da bi razumeli to definicijo, zamenjajmo spremenljivko a poljubno številko, na primer 3 in jo poskusite znova prebrati:

Absolutna vrednost števila 3 je razdalja od izhodišča do točke A(3 ).

Postane jasno, da modul ni nič drugega kot navadna razdalja. Poskusimo videti razdaljo od izhodišča do točke A( 3 )

Razdalja od izhodišča do točke A( 3 ) je enako 3 (tri enote ali trije koraki).

Modul števila je označen z dvema navpičnima črtama, na primer:

Modul števila 3 označimo takole: |3|

Modul števila 4 označimo takole: |4|

Modul števila 5 je označen takole: |5|

Iskali smo modul števila 3 in ugotovili, da je enako 3. Zapišemo torej:

Bere se kot: "Modul števila tri je tri"

Zdaj pa poskusimo najti modul števila -3. Spet se vrnemo k definiciji in vanjo nadomestimo številko -3. Samo namesto pike A uporabite novo točko B. Pika A smo uporabili že v prvem primeru.

Modul števila - 3 je razdalja od izhodišča do točke B(—3 ).

Razdalja od ene točke do druge ne more biti negativna. Zato tudi modul katerega koli negativnega števila, ki je razdalja, ne bo negativen. Modul števila -3 bo število 3. Razdalja od izhodišča do točke B(-3) je prav tako enaka trem enotam:

Bere se kot: "Modul minus tri je tri."

Modul števila 0 je enak 0, saj točka s koordinato 0 sovpada z izhodiščem, tj. razdalja od izhodišča do točke O(0) enako nič:

"Modul nič je nič"

Izvajamo zaključke:

• Modul števila ne more biti negativen;
• Za pozitivno število in ničlo je modul enak samemu številu, za negativno število pa nasprotno število;
• Nasprotna števila imajo enake module.

Nasprotna števila

Števila, ki se razlikujejo le po predznakih, imenujemo nasprotje. Na primer, števili −2 in 2 sta nasprotni. Razlikujejo se le po znakih. Število −2 ima znak minus, 2 pa znak plus, vendar ga ne vidimo, ker se plus, kot smo že povedali, tradicionalno ne piše.

Več primerov nasprotnih števil:

Nasprotna števila imajo enake module. Na primer, poiščimo modula za −2 in 2

Slika prikazuje razdaljo od izhodišča do točk A (−2) in B (2) enako enaka dvema korakoma.

Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se nam nova skupina VKontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah

A se izračuna v skladu z naslednjimi pravili:

Zaradi jedrnatosti so uporabljeni zapisi |a|. Torej, |10| = 10; - 1/3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 itd.

Vsaka velikost X ustreza dokaj natančni vrednosti | X|. In to pomeni identiteta pri= |X| kompleti pri kot nekateri funkcija argumenta X.

Urnik to funkcije predstavljeno spodaj.

Za x > 0 |x| = x, in za x< 0 |x|= -x; v zvezi s tem vrstica y = | x| pri x> 0 v kombinaciji z ravno črto y = x(simetrala prvega koordinatnega kota), in kdaj X< 0 - с прямой y = -x(simetrala drugega koordinatnega kota).

Ločeno enačbe pod znak vključi neznanke modul.

Poljubni primeri takih enačb - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1 itd.

Reševanje enačb ki vsebuje neznanko pod znakom modula, temelji na dejstvu, da če je absolutna vrednost neznanega števila x enaka pozitivno število a, potem je samo to število x enako a ali -a.

Na primer:, če | X| = 10, potem oz X=10 oz X = -10.

Razmislimo reševanje posameznih enačb.

Analizirajmo rešitev enačbe | X- 1| = 2.

Razširimo modul potem razlika X- 1 je lahko enako + 2 ali - 2. Če je x - 1 = 2, potem X= 3; če X- 1 = - 2, torej X= - 1. Naredimo zamenjavo in ugotovimo, da obe vrednosti izpolnjujeta enačbo.

Odgovori. Zgornja enačba ima dva korena: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Analizirajmo rešitev enačbe | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Po razširitev modula dobimo: ali 6 - 2 X= 3X+ 1 ali 6 - 2 X= - (3X+ 1).

V prvem primeru X= 1, v drugi pa X= - 7.

Pregled. pri X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; izhaja iz sodišča, X = 1 - korenina dano enačbe.

pri x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; ker je 20 ≠ -20, torej X= - 7 ni koren te enačbe.

Odgovori. U enačba ima samo en koren: X = 1.

Enačbe te vrste so lahko rešiti in grafično.

Torej se odločimo Na primer, grafično enačba | X- 1| = 2.

Najprej bomo zgradili funkcijska grafika pri = |x- 1|. Najprej narišimo graf funkcije pri=X- 1:

Ta del tega grafične umetnosti, ki se nahaja nad osjo X Ne bomo ga spremenili. Za njo X- 1 > 0 in torej | X-1|=X-1.

Del grafa, ki se nahaja pod osjo X, upodobimo simetrično glede na to os. Ker za ta del X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Posledično linija(polna črta) in bo graf funkcije y = | X—1|.

Ta črta se bo sekala z naravnost pri= 2 v dveh točkah: M 1 z absciso -1 in M ​​2 z absciso 3. In v skladu s tem enačba | X- 1| =2 bosta dva korena: X 1 = - 1, X 2 = 3.