Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi član zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti izraz zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem členov številskega zaporedja določenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če obstaja naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - določeno število.

Tako je razlika med poznejšimi in prejšnjimi pogoji danega aritmetična progresija vedno konstantno:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetične progresije je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje med naslednjim členom dane geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člane geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Matematika je kajljudje nadzorujejo naravo in sebe.

Sovjetski matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijsko napredovanje.

Poleg nalog o aritmetičnih progresijah so pri sprejemnih izpitih pri matematiki pogoste tudi težave, povezane s pojmom geometrijske progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate poznati lastnosti geometrijskih progresij in imeti dobre veščine njihove uporabe.

Ta članek je posvečen predstavitvi osnovnih lastnosti geometrijske progresije. Tukaj so tudi primeri reševanja tipičnih problemov., izposojeno iz nalog sprejemnih izpitov pri matematiki.

Najprej si oglejmo osnovne lastnosti geometrijske progresije in se spomnimo najpomembnejših formul in trditev, povezanih s tem pojmom.

Opredelitev.Številsko zaporedje se imenuje geometrijsko napredovanje, če je vsako število, začenši z drugim, enako prejšnjemu, pomnoženo z istim številom. Število imenujemo imenovalec geometrijskega napredovanja.

Za geometrijsko napredovanjeformule veljajo

, (1)

Kje . Formula (1) se imenuje formula splošnega člena geometrijske progresije, formula (2) pa predstavlja glavno lastnost geometrijske progresije: vsak člen progresije sovpada z geometrično sredino sosednjih členov in .

Opomba, da se prav zaradi te lastnosti zadevna progresija imenuje "geometrična".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

, (3)

Za izračun zneska prvi člani geometrijskega napredovanjavelja formula

Če označimo , potem

Kje . Ker je , je formula (6) posplošitev formule (5).

V primeru, ko in geometrijsko napredovanjese neskončno zmanjšuje. Za izračun zneskavseh členov neskončno padajoče geometrijske progresije se uporablja formula

. (7)

Na primer, z uporabo formule (7) lahko pokažemo, Kaj

Kje . Te enakosti dobimo iz formule (7) pod pogojem, da , (prva enakost) in , (druga enakost).

Izrek.Če, potem

Dokaz. Če, potem

Izrek je dokazan.

Preidimo na primere reševanja problemov na temo "Geometrijsko napredovanje".

Primer 1. Podano: , in . Najti .

rešitev.Če uporabimo formulo (5), potem

Odgovor: .

Primer 2. Naj bo. Najti .

rešitev. Ker in , uporabimo formule (5), (6) in dobimo sistem enačb

Če drugo enačbo sistema (9) delimo s prvo, potem ali . Iz tega izhaja, da . Razmislimo o dveh primerih.

1. Če, potem iz prve enačbe sistema (9) imamo.

2. Če , potem .

Primer 3. Naj , in . Najti .

rešitev. Iz formule (2) sledi oz. Od , torej oz.

Po stanju. Vendar pa zato. Ker in potem imamo tukaj sistem enačb

Če drugo enačbo sistema delimo s prvo, potem ali .

Ker ima enačba edinstven primeren koren. V tem primeru izhaja iz prve enačbe sistema.

Ob upoštevanju formule (7) dobimo.

Odgovor: .

Primer 4. Podano: in . Najti .

rešitev. Od takrat.

Od , torej oz

Po formuli (2) imamo . Pri tem iz enakosti (10) dobimo oz.

Vendar po pogoju torej.

Primer 5. Znano je, da. Najti .

rešitev. Po izreku imamo dve enakosti

Od , torej oz. Ker torej.

Odgovor: .

Primer 6. Podano: in . Najti .

rešitev. Ob upoštevanju formule (5) dobimo

Od takrat. Od , in , potem .

Primer 7. Naj bo. Najti .

rešitev. Po formuli (1) lahko zapišemo

Zato imamo oz. Znano je, da in , torej in .

Odgovor: .

Primer 8. Poiščite imenovalec neskončne padajoče geometrijske progresije, če

In .

rešitev. Iz formule (7) sledi in . Od tu in iz pogojev problema dobimo sistem enačb

Če je prva enačba sistema kvadrirana, in nato dobljeno enačbo delite z drugo enačbo, potem dobimo

ali .

Odgovor: .

Primer 9. Poiščite vse vrednosti, za katere je zaporedje , , geometrijsko napredovanje.

rešitev. Naj , in . Po formuli (2), ki določa glavno lastnost geometrijske progresije, lahko zapišemo ali .

Od tu dobimo kvadratno enačbo, katerih korenine so In .

Preverimo: če, potem in ; če , potem , in .

V prvem primeru imamo in , v drugem pa – in .

Odgovor: , .

Primer 10.Reši enačbo

, (11)

kje in .

rešitev. Leva stran enačbe (11) je vsota neskončne padajoče geometrijske progresije, v kateri je in , ob upoštevanju: in .

Iz formule (7) sledi, Kaj . V zvezi s tem ima enačba (11) obliko oz . Primeren koren kvadratna enačba je

Odgovor: .

Primer 11. p zaporedje pozitivnih številtvori aritmetično progresijo, A – geometrijsko napredovanje, kaj ima to opraviti z . Najti .

rešitev. Ker aritmetično zaporedje, To (glavna lastnost aritmetične progresije). Zaradi, potem ali . To pomeni, da ima geometrijsko napredovanje obliko. Po formuli (2), potem to zapišemo.

Od in , potem . V tem primeru izraz dobi obliko oz. Po pogoju, torej iz enačbedobimo edina odločitev obravnavani problem, tj. .

Odgovor: .

Primer 12. Izračunajte vsoto

. (12)

rešitev. Pomnožimo obe strani enakosti (12) s 5 in dobimo

Če od nastalega izraza odštejemo (12)., To

ali .

Za izračun nadomestimo vrednosti v formulo (7) in dobimo . Od takrat.

Odgovor: .

Tukaj podani primeri reševanja nalog bodo kandidatom koristili pri pripravah na sprejemne izpite. Za globlji študij metod reševanja problemov, povezana z geometrijsko progresijo, je lahko uporabljen učni pripomočki s seznama priporočene literature.

1. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni oddelki šolski kurikulum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj elementarna matematika v nalogah in vajah. 2. knjiga: Številska zaporedja in napredovanja. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate še vprašanja?

Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Že v Starodavni Egipt poznal ne samo aritmetiko, ampak tudi geometrijsko progresijo. Tukaj je na primer problem iz Rhindovega papirusa: »Sedem obrazov ima sedem mačk; Vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miš poje sedem klasov in iz vsakega klasja ječmena lahko zraste sedem mernikov ječmena. Kako velika so števila v tem nizu in njihova vsota?

riž. 1. Staroegipčanski problem geometrijske progresije

Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi ob drugih časih. Na primer, v napisanem v 13. stoletju. "Knjiga o abaku" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem se na poti v Rim pojavi 7 stark (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 torb, od katerih vsaka vsebuje 7 hlebcev, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih ima vsak 7 nožnic. Problem je vprašanje, koliko predmetov je.

Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . To formulo lahko na primer dokažemo takole: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

S n dodamo število b 1 q n in dobimo:

Od tod S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) in dobimo potrebno formulo.

Že na eni od glinenih plošč starega Babilona, ​​ki sega v 6. stol. pr. n. št e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Res je, kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kako so to dejstvo vedeli Babilonci. .

Hiter porast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v indijski, se vedno znova uporablja kot vizualni simbol prostranosti vesolja. V znameniti legendi o pojavu šaha vladar daje izumitelju šaha možnost, da si sam izbere nagrado, in vpraša za število pšeničnih zrn, ki jih bo dobil, če bo eno postavljeno na prvo polje šahovnice, dve pa na drugo, štiri na tretje, osem na četrto itd., vsakič ko se število podvoji. Vladyka je tako mislil govorimo o, kvečjemu nekaj vrečk, a se je zmotil. Lahko vidimo, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) zrn, kar je izraženo kot 20-mestno število; tudi če bi bila posejana vsa površina Zemlje, bi trajalo vsaj 8 let, da se zbere potrebna količina zrn. Ta legenda se včasih razlaga kot navedba tako rekoč neomejenih možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.

Preprosto je videti, da je ta številka v resnici 20-mestna:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (natančnejši izračun daje 1,84∙10 19). Vendar me zanima, če lahko ugotovite, s katero števko se konča ta številka?

Geometrična progresija je lahko naraščajoča, če je imenovalec večji od 1, ali padajoča, če je manjši od ena. V slednjem primeru lahko število q n za dovolj velik n postane poljubno majhno. Medtem ko naraščajoča geometrijska progresija narašča nepričakovano hitro, se padajoča geometrijska progresija prav tako hitro zmanjšuje.

Čim večji je n, tem šibkeje se število q n razlikuje od nič in čim bližje je vsota n členov geometrijske progresije S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) številu S = b 1 / ( 1 – q). (Tako je na primer razmišljal F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Toda vprašanje, kakšen je pomen seštevanja CELOTNEGA geometrijskega napredovanja z neskončnim številom členov, matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno.

Padajočo geometrijsko progresijo lahko opazimo na primer v Zenonovih aporijah »Polovična delitev« in »Ahil in želva«. V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (ob predpostavki dolžine 1) vsota neskončnega števila odsekov 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je seveda primer od zornega kota idej o končni vsoti neskončne geometrijske progresije. In vendar - kako je to mogoče?

V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj tukaj imenovalec napredovanja ni 1/2, ampak neko drugo število. Naj na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se giblje s hitrostjo u, začetna razdalja med njima pa je l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva pa se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil preteče ta segment, bo razdalja med njim in želvo postala enaka l (u /v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohiteti želvo pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom l in imenovalec u /v. Ta vsota - segment, ki ga bo Ahil na koncu pretekel do mesta srečanja z želvo - je enaka l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ampak spet, kako naj si ta rezultat razlagamo in zakaj sploh ima smisel? za dolgo časa ni bilo zelo jasno.

Arhimed je uporabil vsoto geometrijske progresije za določitev površine segmenta parabole. Naj bo ta odsek parabole omejen s tetivo AB in naj bo tangenta v točki D parabole vzporedna z AB. Naj bo C razpolovišče AB, E razpolovišče AC, F razpolovišče CB. Narišimo premice, vzporedne z DC skozi točke A, E, F, B; Naj tangenta, narisana v točki D, seka te premice v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabolo pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q, parabolo pa v točki R. V skladu s splošno teorijo koničnih prerezov je DC premer parabole (to je segmenta, vzporednega z njeno osjo); ona in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v kateri je enačba parabole zapisana kot y 2 = 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina odsek, vzporeden z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).

Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, in ker je DK = 2DL, potem je KA = 4LH. Ker je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole je enaka površini trikotnika ΔADB in ploščinam segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih lahko izvedete isto operacijo - razdelite na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:

Ploščina trikotnika ΔAHD je enaka polovici ploščine trikotnika ΔALD (imata skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za 2-krat), kar pa je enako polovici ploščine ​​trikotnika ΔAKD in torej polovico ploščine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Prav tako je ploščina trikotnika ΔDRB enaka eni četrtini ploščine trikotnika ΔDFB. Torej sta površini trikotnikov ΔAHD in ΔDRB skupaj enaki četrtini površine trikotnika ΔADB. Ponavljanje te operacije, ko se uporabi za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbralo trikotnike, katerih površina, vzeta skupaj, bo 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzetih skupaj, in torej 16-krat manjša od ploščine trikotnika ΔADB. In tako naprej:

Tako je Arhimed dokazal, da »vsak segment med ravno črto in parabolo tvori štiri tretjine trikotnika z enako osnovo in enako višino«.

Geometrična progresija je skupaj z aritmetiko pomembna vrsta števil, ki se preučuje v šolski tečaj algebra v 9. razredu. V tem članku si bomo ogledali imenovalec geometrijske progresije in kako njegova vrednost vpliva na njene lastnosti.

Opredelitev geometrijske progresije

Najprej podajmo definicijo te številske serije. Geometrična progresija je niz racionalnih števil, ki nastane z zaporednim množenjem prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.

Na primer, števila v nizu 3, 6, 12, 24, ... so geometrijsko napredovanje, ker če pomnožite 3 (prvi element) z 2, dobite 6. Če pomnožite 6 z 2, dobite 12 in tako naprej.

Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje številko elementa v nizu.

Zgornjo definicijo napredovanja lahko v matematičnem jeziku zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem je an = b * a1 in spet pridemo do definicije zadevnega niza števil. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati velike vrednosti n.

Imenovalec geometrijske progresije

Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen ali večji ali manjši od ena. Vse zgornje možnosti vodijo do različnih zaporedij:

• b > 1. Obstaja naraščajoča vrsta racionalnih števil. Na primer 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, se bo celotno zaporedje povečalo le v absolutni vrednosti, zmanjšalo pa se bo odvisno od predznaka števil.
• b = 1. Pogosto se ta primer ne imenuje progresija, saj obstaja običajna serija enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.

Formula za znesek

Preden nadaljujete s pregledom posebne naloge Z uporabo imenovalca obravnavane vrste progresije je treba podati pomembno formulo za vsoto njenih prvih n elementov. Formula je videti takole: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje členov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj, da poznate samo prvi element in imenovalec, da bi našli vsoto poljubno številočlani.

Neskončno padajoče zaporedje

Zgoraj je bilo razloženo, kaj je to. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to številsko vrsto. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, nagiba k ničli, ko je povišano na velike potence, to je b∞ => 0, če je -1

Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote neskončno padajoče geometrijske progresije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.

Zdaj pa si oglejmo več problemov, kjer bomo pokazali, kako pridobljeno znanje uporabiti na določenih številkah.

Naloga št. 1. Izračun neznanih elementov progresije in vsote

Pri podani geometrijski progresiji je imenovalec progresije 2, njen prvi element pa 3. Čemu bosta enaka njen 7. in 10. člen in kakšna je vsota njenih sedmih začetnih elementov?

Pogoj problema je precej preprost in vključuje neposredno uporabo zgornjih formul. Torej, za izračun številke elementa n uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, če nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Uporabimo dobro znano formulo za vsoto in določimo to vrednost za prvih 7 elementov serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problem št. 2. Določanje vsote poljubnih elementov progresije

Naj bo -2 enako imenovalcu geometrijske progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba vsoto od vključno 5. do 10. elementa te serije.

Zastavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Lahko se reši na 2 načina različne metode. Za popolnost predstavitve teme predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je preprosta: izračunati morate dve ustrezni vsoti prvih členov in nato od enega odšteti drugega. Izračunamo manjši znesek: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo večjo vsoto: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu sešteti samo 4 členi, saj je 5. že vključen v znesek, ki ga je treba izračunati glede na pogoje problema. Na koncu vzamemo razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2. način. Pred zamenjavo števil in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med m in n členom zadevne serije. Delamo popolnoma enako kot pri 1. metodi, le da najprej delamo s simboličnim prikazom zneska. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V nastali izraz lahko nadomestite znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Naloga št. 3. Kaj je imenovalec?

Naj bo a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, pod pogojem, da je njegova neskončna vsota 3, in vemo, da je to padajoča vrsta števil.

Na podlagi pogojev problema ni težko uganiti, katero formulo je treba uporabiti za njegovo rešitev. Seveda za vsoto progresije, ki neskončno pada. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Ostaja, da nadomestimo znane vrednosti in dobimo zahtevano število: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ali -0,333 (3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da pri tej vrsti zaporedja modul b ne sme presegati 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3|

Naloga št. 4. Obnovitev niza številk

Naj sta podana 2 elementa številske serije, na primer 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je treba rekonstruirati celotno vrsto, saj vemo, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.

Za rešitev naloge morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsak znani izraz. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tu določimo imenovalec tako, da vzamemo peti koren razmerja členov, znanih iz izjave problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Tako smo našli imenovalec progresije bn in geometrijsko progresijo bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.

Kje se uporabljajo geometrijske progresije?

Če ne bi bilo praktične uporabe te številske serije, bi bila njena študija zmanjšana na čisto teoretični interes. Toda takšna aplikacija obstaja.

Spodaj so 3 najbolj znani primeri:

• Zenonov paradoks, v katerem spretni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja števil.
• Če postavite pšenična zrna na vsako polje šahovnice, tako da na 1. polje postavite 1 zrno, na 2. - 2, na 3. - 3 in tako naprej, boste potrebovali, da zapolnite vsa polja na plošči. 18446744073709551615 zrna!
• V igri "Hanojski stolp" je za premikanje diskov z ene palice na drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, kar pomeni, da njihovo število eksponentno raste s številom n uporabljenih diskov.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je zelo preprosta. Tako po pomenu kot po splošni podobi. Toda pri formuli n-tega člena obstajajo vse vrste težav - od zelo primitivnih do zelo resnih. In v procesu našega poznanstva bomo zagotovo upoštevali oboje. No, se spoznajmo?)

Torej, pravzaprav za začetek formulan

Tukaj je:

b n = b 1 · qn -1

Formula je le formula, nič nadnaravnega. Izgleda še bolj preprosto in kompaktno kot podobna formula za. Tudi pomen formule je tako preprost kot škornji iz klobučevine.

Ta formula vam omogoča, da poiščete KATERIKOLI člen geometrijskega napredovanja PO NJEGOVEM ŠTEVILU " n".

Kot lahko vidite, je pomen popolna analogija z aritmetično progresijo. Število n poznamo – pod to številko lahko štejemo tudi člen. Katerega hočemo. Brez večkratnega množenja s "q" veliko, velikokrat. To je bistvo.)

Razumem, da bi vam morale biti na tej stopnji dela s progresijami vse količine, vključene v formulo, že jasne, vendar vseeno menim, da je moja dolžnost, da vsako dešifriram. Za vsak slučaj.

Torej, gremo:

b 1 – prvičlen geometrijske progresije;

q – ;

n– člansko številko;

b n – n-ti (nth)člen geometrijske progresije.

Ta formula povezuje štiri glavne parametre katere koli geometrijske progresije - bn, b 1 , q in n. In vse težave pri napredovanju se vrtijo okoli teh štirih ključnih številk.

"Kako se odstrani?"– slišim radovedno vprašanje ... Osnovno! poglej!

Čemu je enako drugočlan napredovanja? Brez problema! Pišemo neposredno:

b 2 = b 1 ·q

Kaj pa tretji član? Tudi ni problem! Drugi člen pomnožimo še enkrat naprejq.

Všečkaj to:

B 3 = b 2 q

Spomnimo se, da je drugi člen enak b 1 ·q in ta izraz nadomestimo v našo enakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobimo:

B 3 = b 1 ·q 2

Zdaj pa preberimo naš vnos v ruščini: tretjičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in drugo stopnje. Ali razumeš? Ne še? V redu, še en korak.

Kaj je četrti izraz? Vse enako! Pomnožite prejšnji(tj. tretji člen) na q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Skupaj:

B 4 = b 1 ·q 3

In spet prevajamo v ruščino: četrtičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in tretji stopnje.

In tako naprej. Kako je torej? Ste ujeli vzorec? ja! Za kateri koli člen s poljubnim številom bo število enakih faktorjev q (tj. stopnja imenovalca) vedno enega manj od števila želenega članan.

Zato bo naša formula brez možnosti:

b n =b 1 · qn -1

To je vse.)

No, verjetno rešimo težave?)

Reševanje problemov s formulaminčlen geometrijskega napredovanja.

Začnimo, kot običajno, z neposredno uporabo formule. Tukaj je tipična težava:

V geometrijskem napredovanju je znano, da b 1 = 512 in q = -1/2. Poiščite deseti člen napredovanja.

Seveda je ta problem mogoče rešiti brez kakršnih koli formul. Neposredno v smislu geometrijske progresije. Vendar se moramo ogreti s formulo za n-ti člen, kajne? Tukaj se ogrevamo.

Naši podatki za uporabo formule so naslednji.

Prvi član je znan. To je 512.

b 1 = 512.

Znan je tudi imenovalec napredovanja: q = -1/2.

Vse, kar ostane, je ugotoviti, koliko je število členov n. Brez problema! Nas zanima deseti mandat? Zato v splošno formulo nadomestimo deset namesto n.

In natančno izračunajte aritmetiko:

Odgovor: -1

Kot lahko vidite, se je deseti člen napredovanja izkazal za minus. Nič presenetljivega: naš imenovalec napredovanja je -1/2, tj. negativnoštevilo. In to nam pove, da se znaki našega napredovanja izmenjujejo, da.)

Tukaj je vse preprosto. Tukaj je podoben problem, vendar nekoliko bolj zapleten v smislu izračunov.

V geometrijski progresiji je znano, da:

b 1 = 3

Poiščite trinajsti člen napredovanja.

Vse je po starem, le da je tokrat imenovalec napredovanja neracionalno. Koren iz dva. No, to je v redu. Formula je univerzalna stvar, kos je vsem številkam.

Delamo neposredno po formuli:

Formula je seveda delovala, kot bi morala, ampak ... tukaj se nekaterim zatakne. Kaj storiti s korenom? Kako dvigniti koren na dvanajsto potenco?

Kako-kako ... Morate razumeti, da je vsaka formula seveda dobra stvar, vendar znanje vse prejšnje matematike ni preklicano! Kako graditi? Da, zapomnite si lastnosti stopinj! Spremenimo koren v delna stopnja in – po formuli za povišanje stopnje v stopnjo.

Všečkaj to:

Odgovor: 192

In to je vse.)

Kaj je glavna težava pri neposredni uporabi formule n-tega člena? ja! Glavna težava je delo z diplomami! Namreč, potenciranje negativna števila, ulomki, koreni in podobne strukture. Torej tisti, ki imate s tem težave, prosim ponovite stopnje in njihove lastnosti! Sicer boš tudi to temo upočasnil, ja...)

Zdaj pa rešimo tipične težave pri iskanju eden od elementov formule, če so podani vsi drugi. Za uspešno reševanje tovrstnih težav je recept enoten in strašno preprost - napiši formulončlan in splošni pogled! Kar v zvezku zraven pogoja. In potem iz stanja razberemo, kaj nam je dano in kaj manjka. In izražamo iz formule zahtevana vrednost. Vse!

Na primer, tako neškodljiva težava.

Peti člen geometrijske progresije z imenovalcem 3 je 567. Poiščite prvi člen te progresije.

Nič zapletenega. Delamo neposredno po uroku.

Zapišimo formulo za n-ti člen!

b n = b 1 · qn -1

Kaj nam je dano? Najprej je podan imenovalec napredovanja: q = 3.

Poleg tega nam je dano peti član: b 5 = 567 .

Vsi? ne! Tudi mi smo dobili številko n! To je pet: n = 5.

Upam, da že razumete, kaj je na posnetku b 5 = 567 dva parametra sta skrita hkrati - to je sam peti izraz (567) in njegova številka (5). O tem sem že govoril v podobni lekciji, vendar mislim, da je vredno omeniti tudi tukaj.)

Zdaj svoje podatke nadomestimo s formulo:

567 = b 1 ·3 5-1

Naredimo aritmetiko, poenostavimo in dobimo nekaj preprostega linearna enačba:

81 b 1 = 567

Rešimo in dobimo:

b 1 = 7

Kot lahko vidite, z iskanjem prvega izraza ni težav. Toda pri iskanju imenovalca q in številke n Lahko pride tudi do presenečenj. In tudi nanje morate biti pripravljeni (presenečenja), ja.)

Na primer ta težava:

Peti člen geometrijske progresije s pozitivnim imenovalcem je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Tokrat dobimo prvi in ​​peti člen in najdemo imenovalec napredovanja. Izvolite.

Napišemo formulonth član!

b n = b 1 · qn -1

Naši začetni podatki bodo naslednji:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Manjkajoča vrednost q. Brez problema! Poiščimo zdaj.) V formulo nadomestimo vse, kar vemo.

Dobimo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Preprosta enačba četrte stopnje. In zdaj - previdno! Vklopljeno na tej stopnji rešitve, marsikateri študent takoj veselo izlušči koren (četrte stopnje) in dobi odgovor q=3 .

Všečkaj to:

q4 = 81

q = 3

Toda pravzaprav je to nedokončan odgovor. Natančneje, nepopolno. Zakaj? Bistvo je, da je odgovor q = -3 primerno tudi: (-3) 4 bo tudi 81!

To je zato, ker enačba moči x n = a vedno ima dva nasprotna korena pri celon . S plusom in minusom:

Oba sta primerna.

Na primer pri odločanju (tj. drugo stopinj)

x 2 = 9

Iz neznanega razloga niste presenečeni nad videzom dva korenine x=±3? Tukaj je enako. In s katero koli drugo celo stopnja (četrta, šesta, deseta itd.) bodo enaki. Podrobnosti so v temi o

Zato pravilna rešitev bo takole:

q 4 = 81

q= ±3

V redu, uredili smo znake. Katera je pravilna - plus ali minus? No, ponovno preberimo izjavo o problemu v iskanju Dodatne informacije. Seveda morda ne obstaja, vendar v tej težavi takšne informacije na voljo. Naš pogoj v golem besedilu navaja, da je podana progresija pozitivni imenovalec.

Zato je odgovor očiten:

q = 3

Tukaj je vse preprosto. Kaj mislite, kaj bi se zgodilo, če bi bila izjava o problemu takšna:

Peti člen geometrijske progresije je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Kakšna je razlika? ja! V stanju nič predznak imenovalca ni omenjen. Niti neposredno niti posredno. In tukaj bi že imel problem dve rešitvi!

q = 3 in q = -3

Da Da! Tako s plusom kot z minusom.) Matematično bi to dejstvo pomenilo, da obstajajo dva napredovanja, ki ustrezajo pogojem problema. In vsak ima svoj imenovalec. Za zabavo vadite in zapišite prvih pet izrazov vsakega.)

Zdaj pa vadimo iskanje številke člana. Ta problem je najtežji, ja. Ampak tudi bolj ustvarjalen.)

Glede na geometrijsko progresijo:

3; 6; 12; 24; …

Katero število v tem napredovanju je število 768?

Prvi korak je še vedno enak: napiši formulonth član!

b n = b 1 · qn -1

In zdaj, kot običajno, vanj nadomestimo podatke, ki jih poznamo. Hm ... ne gre! Kje je prvi člen, kje je imenovalec, kje je vse ostalo?!

Kje, kje ... Zakaj potrebujemo oči? Utripate s trepalnicami? Tokrat nam je napredovanje podano neposredno v obrazcu zaporedja. Lahko vidimo prvega člana? Vidimo! To je trojka (b 1 = 3). Kaj pa imenovalec? Tega še ne vidimo, vendar ga je zelo enostavno prešteti. Če seveda razumeš...

Torej štejemo. Neposredno glede na pomen geometrijskega napredovanja: vzamemo katerega koli od njegovih členov (razen prvega) in delimo s prejšnjim.

Vsaj takole:

q = 24/12 = 2

Kaj še vemo? Poznamo tudi nek člen te progresije, ki je enak 768. Pod neko številko n:

b n = 768

Ne poznamo njegove številke, a naša naloga je ravno to, da ga najdemo.) Torej iščemo. Vse potrebne podatke za zamenjavo v formulo smo že prenesli. Nevede.)

Tukaj nadomestimo:

768 = 3 2n -1

Naredimo elementarne - obe strani delimo s tri in prepišemo enačbo v običajni obliki: neznanka je na levi, znana je na desni.

Dobimo:

2 n -1 = 256

To je zanimiva enačba. Najti moramo "n". Kaj, nenavadno? Ja, ne trdim. Pravzaprav je to najenostavnejša stvar. Tako se imenuje, ker neznano (in v tem primeru to številko n) stroški v indikator stopnje.

Na stopnji spoznavanja geometrijske progresije (to je deveti razred) te ne učijo reševati eksponentnih enačb, ja ... To je tema za srednjo šolo. Ampak ni nič strašnega. Tudi če ne veste, kako se takšne enačbe rešujejo, poskusimo najti našo n, ki ga vodita preprosta logika in zdrava pamet.

Začnimo govoriti. Na levi strani imamo dvojko do določene stopnje. Ne vemo še, kaj natančno je ta diploma, vendar to ni strašljivo. Zagotovo pa vemo, da je ta stopnja enaka 256! Torej si zapomnimo, v kolikšni meri nam dvojka daje 256. Se spomnite? ja! IN osmo stopnje!

256 = 2 8

Če se ne spomnite ali imate težave s prepoznavanjem stopinj, potem je tudi to v redu: samo zaporedno kvadrirajte dve, kocko, četrto, peto in tako naprej. Selekcija, pravzaprav, vendar na tej ravni bo delovala precej dobro.

Tako ali drugače dobimo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Torej 768 je devetičlan našega napredovanja. To je to, problem rešen.)

Odgovor: 9

Kaj? dolgočasno? Ste naveličani elementarnih stvari? Se strinjam. In jaz tudi. Pojdimo na naslednjo stopnjo.)

Bolj zapletene naloge.

Zdaj pa rešimo zahtevnejše probleme. Niso ravno super kul, a takšni, ki zahtevajo malo dela, da pridejo do odgovora.

Na primer ta.

Poiščite drugi člen geometrijskega napredovanja, če je njegov četrti člen -24 in sedmi člen 192.

To je klasika žanra. Znana sta dva različna izraza napredovanja, vendar je treba najti drug izraz. Poleg tega vsi člani NISO sosednji. Kar je na začetku zmedeno, ja ...

Tako kot pri reševanju takšnih težav bomo obravnavali dve metodi. Prva metoda je univerzalna. Algebraic. Deluje brezhibno z vsemi izvornimi podatki. Tu bomo torej začeli.)

Vsak izraz opišemo s formulo nth član!

Vse je popolnoma enako kot pri aritmetični progresiji. Samo tokrat delamo s drugo splošna formula. To je vse.) Toda bistvo je enako: vzamemo in enega po enega Začetne podatke nadomestimo s formulo za n-ti člen. Za vsakega člana - svoje.

Za četrti člen zapišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jejte. Ena enačba je pripravljena.

Za sedmi člen zapišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Skupaj smo dobili dve enačbi za enako napredovanje .

Iz njih sestavimo sistem:

Kljub grozečemu videzu je sistem precej preprost. Najbolj očitna rešitev je preprosta zamenjava. Izražamo b 1 iz zgornje enačbe in jo nadomestimo v spodnjo:

Po tem, ko smo se malo poigrali s spodnjo enačbo (zmanjšanje potenc in deljenje z -24), dobimo:

q 3 = -8

Mimogrede, do te iste enačbe je mogoče priti na enostavnejši način! Kateri? Zdaj vam bom pokazal še eno skrivnost, a zelo lepo, močno in uporaben način rešitve za takšne sisteme. Takšni sistemi, katerih enačbe vključujejo samo dela. Vsaj v enem. Poklican metoda delitve eno enačbo v drugo.

Torej, pred nami je sistem:

V obeh enačbah na levi - delo, na desni pa je samo številka. To je zelo dober znak.) Vzemimo in ... delimo, recimo, spodnjo enačbo z zgornjo! Kaj pomeni, delimo eno enačbo z drugo? Zelo preprosto. Vzemimo ga leva stran ena enačba (spodnja) in razdeliti ona na leva stran druga enačba (zgornja). Desna stran je podobna: desna stran ena enačba razdeliti na desna stran drugo.

Celoten postopek delitve izgleda takole:

Če zmanjšamo vse, kar je mogoče zmanjšati, dobimo:

q 3 = -8

Kaj je dobrega pri tej metodi? Da, saj se lahko v procesu takšne delitve vse slabo in neprijetno varno zmanjša in ostane popolnoma neškodljiva enačba! Zato je tako pomembno imeti samo množenje v vsaj eni od enačb sistema. Ni množenja - ni kaj zmanjšati, ja ...

Na splošno si ta metoda (kot mnoge druge netrivialne metode reševanja sistemov) celo zasluži ločeno lekcijo. Vsekakor si bom podrobneje ogledal. Nekega dne…

Vendar ni pomembno, kako natančno rešite sistem, v vsakem primeru moramo zdaj rešiti nastalo enačbo:

q 3 = -8

Ni problema: izvlecite kubični koren in končali ste!

Upoštevajte, da pri ekstrakciji tukaj ni treba dati plusa/minusa. Naš koren je lihe (tretje) stopnje. In odgovor je enak, da.)

Torej, imenovalec napredovanja je bil najden. Minus dva. Super! Postopek je v teku.)

Za prvi člen (recimo iz zgornje enačbe) dobimo:

Super! Poznamo prvi člen, poznamo imenovalec. In zdaj imamo priložnost najti katerega koli člana napredovanja. Vključno z drugim.)

Za drugi mandat je vse zelo preprosto:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odgovor: -6

Torej smo razčlenili algebraično metodo reševanja problema. Težko? Ne res, se strinjam. Dolgo in dolgočasno? Da, vsekakor. Toda včasih lahko znatno zmanjšate količino dela. Za to obstaja grafična metoda. Dobro staro in nam znano.)

Narišimo problem!

ja! točno tako. Spet upodabljamo naše napredovanje na številski osi. Ni treba slediti ravnilu, ni treba vzdrževati enakih intervalov med členi (ki, mimogrede, ne bodo enaki, saj je napredovanje geometrijsko!), ampak preprosto shematično Narišimo naše zaporedje.

Dobil sem takole:

Zdaj pa poglejte sliko in ugotovite. Koliko enakih faktorjev "q" loči četrti in sedmiččlani? Tako je, tri!

Zato imamo vso pravico zapisati:

-24·q 3 = 192

Od tu je zdaj preprosto najti q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, imenovalec že imamo v žepu. Zdaj pa še enkrat poglejmo sliko: koliko takšnih imenovalcev je vmes drugo in četrtičlani? Dva! Zato bomo za zapis povezave med temi izrazi sestavili imenovalec na kvadrat.

Torej pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , kje b 2 = -24/ q 2

Najdeni imenovalec nadomestimo v izraz za b 2, preštejemo in dobimo:

Odgovor: -6

Kot lahko vidite, je vse veliko preprostejše in hitrejše kot prek sistema. Še več, tukaj nam prvega termina sploh ni bilo treba šteti! Nasploh.)

Tukaj je tako preprosta in vizualna pot-luč. Ima pa tudi resno pomanjkljivost. Ste uganili? ja! Dobro je samo za zelo kratke dele napredovanja. Tiste, kjer razdalje med člani, ki nas zanimajo, niso zelo velike. V vseh drugih primerih pa je že težko narisati sliko, ja ... Potem problem rešujemo analitično, preko sistema.) In sistemi so univerzalne stvari. Obvladajo poljubne številke.

Še en epski izziv:

Drugi člen geometrijskega napredovanja je 10 večji od prvega, tretji člen pa 30 večji od drugega. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kaj, kul? Sploh ne! Vse enako. Izjavo problema ponovno prevedemo v čisto algebro.

1) Vsak člen opišemo s formulo nth član!

Drugi člen: b 2 = b 1 q

Tretji člen: b 3 = b 1 q 2

2) Iz naloge naloge zapišemo povezavo med členi.

Preberemo pogoj: "Drugi člen geometrijske progresije je 10 večji od prvega." Nehajte, to je dragoceno!

Torej pišemo:

b 2 = b 1 +10

In ta stavek prevedemo v čisto matematiko:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dve enačbi. Združimo jih v sistem:

Sistem je videti preprost. Za črke pa je preveč različnih indeksov. Zamenjajmo namesto drugega in tretjega člena njuna izraza skozi prvi člen in imenovalec! Ali smo jih zaman slikali?

Dobimo:

Ampak tak sistem ni več darilo, ja ... Kako to rešiti? Na žalost ni univerzalnega skrivnega uroka za reševanje kompleksov nelinearni Sistemov v matematiki ni in jih ne more biti. To je fantastično! Toda prva stvar, ki bi vam morala priti na misel, ko poskušate streti tako trd oreh, je ugotoviti Toda ali ni mogoče eno od enačb sistema reducirati na čudovit razgled, ki omogoča, na primer, enostavno izražanje ene od spremenljivk v smislu druge?

Ugotovimo. Prva enačba sistema je očitno enostavnejša od druge. Mučili ga bomo.) Ali ne bi morali poskusiti iz prve enačbe nekaj izraziti skozi nekaj? Ker želimo najti imenovalec q, potem bi bilo za nas najbolj ugodno izraziti b 1 skozi q.

Poskusimo torej izvesti ta postopek s prvo enačbo z uporabo dobrih starih:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Vse! Tako smo izrazili nepotrebno dajte nam spremenljivko (b 1) skozi potrebno(q). Da, to ni najpreprostejši izraz, ki ga imamo. Nekakšen delček ... Ampak naš sistem je na spodobni ravni, ja.)

Tipično. Vemo, kaj storiti.

Pišemo ODZ (Nujno!) :

q ≠ 1

Vse pomnožimo z imenovalcem (q-1) in prekličemo vse ulomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vse delimo z deset, odpremo oklepaje in zberemo vse od leve:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rešimo rezultat in dobimo dva korena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Končni odgovor je le en: q = 3 .

Odgovor: 3

Kot lahko vidite, je pot do rešitve večine problemov, ki vključujejo formulo n-tega člena geometrijske progresije, vedno enaka: preberi pozorno pogoj problema in z uporabo formule n-tega člena prevedemo celotno koristne informacije v čisto algebro.

namreč:

1) Vsak člen, podan v nalogi, posebej opišemo po formulinth član.

2) Iz pogojev problema prevedemo povezavo med členi v matematično obliko. Sestavimo enačbo ali sistem enačb.

3) Nastalo enačbo ali sistem enačb rešimo, poiščemo neznane parametre progresije.

4) V primeru dvoumnega odgovora natančno preberite pogoje naloge in poiščite dodatne informacije (če obstajajo). Prejeti odgovor preverimo tudi s pogoji DL (če obstajajo).

Zdaj pa naštejmo glavne težave, ki najpogosteje vodijo do napak v procesu reševanja problemov geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije z ulomki in negativnimi števili.

2. Če imate težave z vsaj eno od teh treh točk, boste v tej temi neizogibno delali napake. Na žalost ... Zato ne bodite leni in ponovite zgoraj omenjeno. In sledite povezavam - pojdite. Včasih pomaga.)

Spremenjene in ponavljajoče se formule.

Zdaj pa si poglejmo nekaj tipičnih izpitnih težav z manj znano predstavitvijo stanja. Da, da, uganili ste! to spremenjeno in ponavljajoče se formule n-tega člena. S takimi formulami smo se že srečali in delali na aritmetični progresiji. Tukaj je vse podobno. Bistvo je isto.

Na primer, ta problem iz OGE:

Geometrijsko napredovanje podaja formula b n = 3 2 n . Poiščite vsoto njegovega prvega in četrtega člena.

Tokrat napredovanje pri nas ni tako kot običajno. V obliki nekakšne formule. Pa kaj? Ta formula je tudi formulanth član! Ti in jaz veva, da lahko formulo za n-ti izraz zapišemo tako v splošni obliki, s črkami kot za specifično napredovanje. Z specifična prvi člen in imenovalec.

V našem primeru nam je pravzaprav podana splošna terminska formula za geometrijsko progresijo z naslednjimi parametri:

b 1 = 6

q = 2

Bomo preverili?) Zapišimo formulo za n-ti člen v splošni obliki in jo nadomestimo v b 1 in q. Dobimo:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Poenostavimo z uporabo faktorizacije in lastnosti potenc in dobimo:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kot vidite, je vse pošteno. Toda naš cilj ni prikazati izpeljavo določene formule. To je tako, lirična digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je rešiti problem po formuli, ki nam je podana v pogoju. Ali razumete?) Torej delamo neposredno s spremenjeno formulo.

Štejemo prvi termin. Zamenjajmo n=1 v splošno formulo:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Všečkaj to. Mimogrede, ne bom len in vas še enkrat opozorim na tipično napako pri izračunu prvega izraza. NE, gledam formulo b n= 3 2n, takoj hiti pisati, da je prvi rok trojka! To je velika napaka, ja ...)

Nadaljujmo. Zamenjajmo n=4 in preštejte četrti člen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

In končno izračunamo potrebno količino:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Druga težava.

Geometrijsko napredovanje določajo pogoji:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Poiščite četrti člen napredovanja.

Tukaj je napredovanje podano s ponavljajočo se formulo. No, v redu.) Kako delati s to formulo – vemo tudi mi.

Torej ukrepamo. Korak za korakom.

1) Štejte dve zaporedničlan napredovanja.

Prvi mandat nam je že dan. Minus sedem. Toda naslednji, drugi člen, je mogoče enostavno izračunati s formulo ponavljanja. Če razumete načelo njegovega delovanja, seveda.)

Torej štejemo drugi mandat po znanem prvem:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Izračunaj imenovalec progresije

Tudi ni problema. Naravnost, razdelimo se drugo kurac na prvi.

Dobimo:

q = -21/(-7) = 3

3) Zapišite formulončlen v običajni obliki in izračunajte zahtevani člen.

Torej poznamo prvi člen in tudi imenovalec. Torej pišemo:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Odgovor: -189

Kot lahko vidite, se delo s takimi formulami za geometrijsko progresijo v bistvu ne razlikuje od dela za aritmetično progresijo. Pomembno je le razumeti splošno bistvo in pomen teh formul. No, razumeti morate tudi pomen geometrijskega napredovanja, ja.) In potem ne bo neumnih napak.

No, se odločimo sami?)

Zelo osnovne naloge za ogrevanje:

1. Glede na geometrijsko progresijo, v kateri b 1 = 243, a q = -2/3. Poiščite šesti člen napredovanja.

2. Splošni člen geometrijske progresije je podan s formulo b n = 5∙2 n +1 . Poiščite številko zadnjega trimestnega člena tega napredovanja.

3. Geometrijsko napredovanje je podano s pogoji:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Poiščite peti člen napredovanja.

Malo bolj zapleteno:

4. Glede na geometrijsko progresijo:

b 1 =2048; q =-0,5

Čemu je enak šesti negativni člen?

Kaj se zdi super težko? Sploh ne. Rešila vas bo logika in razumevanje pomena geometrijske progresije. No, formula za n-ti člen, seveda.

5. Tretji člen geometrijske progresije je -14, osmi člen pa 112. Poiščite imenovalec progresije.

6. Vsota prvega in drugega člena geometrijske progresije je 75, vsota drugega in tretjega člena pa 150. Poišči šesti člen progresije.

Odgovori (v razsulu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoraj vse. Vse, kar moramo storiti, je naučiti se šteti vsota prvih n členov geometrijske progresije da odkrijte neskončno padajoča geometrijska progresija in njegovo količino. Mimogrede, zelo zanimiva in nenavadna stvar! Več o tem v naslednjih lekcijah.)