Opredelitev. Največji naravno število, s katerim sta števili a in b deljeni brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj (GCD) te številke.

Poiščimo največjega skupni delilnikštevilki 24 in 35.
Delitelji števila 24 so števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili imenujemo medsebojno prime.

Opredelitev. Naravna števila imenujemo medsebojno prime, če je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.

Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Izmed dejavnikov, vključenih v razširitev prvega od teh števil, prečrtamo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Preostala faktorja sta 2 * 2 * 3. Njun produkt je enak 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.

Najti največji skupni delitelj

2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj števil 15, 45, 75 in 180 je število 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, faktorizirajmo 75 in 60 na prafaktorje: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (torej faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poiščejo tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.

Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razložite na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik števil 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljivo z vsemi temi števili.

Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Popolno število so imenovali število, ki je enako vsoti vseh svojih deliteljev (brez števila samega). Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33.550.336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda znanstveniki še vedno ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila izhaja iz dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevila, torej praštevila so kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Elementi, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, tj. za vsakim praštevilom stoji še večje praštevilo. število.
Da bi našli praštevila, je drug grški matematik iz istega časa, Eratosten, prišel do te metode. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal eno, ki ni niti praštevilo niti sestavljeno število, nato pa skozi 1 prečrtal vsa števila, ki prihajajo za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka po 2 je bila 3. Nato so bile po dve prečrtane vse številke za 3 (števila, ki so bila večkratnika 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala samo praštevila neprečrtana.

Matematični izrazi in naloge zahtevajo veliko dodatnega znanja. NOC je eden glavnih, še posebej pogosto se uporablja v Tematika se preučuje v srednji šoli in ni posebej težko razumeti snovi, ki je seznanjena s potencami in tabelo množenja, ne bo imela težav pri prepoznavanju potrebnih števil in odkrivanju rezultat.

Opredelitev

Skupni večkratnik je število, ki ga lahko v celoti razdelimo na dve števili hkrati (a in b). Najpogosteje se to število dobi z množenjem prvotnih števil a in b. Število mora biti deljivo z obema številoma hkrati, brez odstopanj.

NOC je sprejeta oznaka kratko ime, zbrano od prvih slov.

Načini za pridobitev številke

Metoda množenja števil ni vedno primerna za iskanje LCM; veliko boljša je za preprosta enomestna ali dvomestna števila. Običajno je razdelitev na faktorje; večje kot je število, več faktorjev bo.

Primer #1

Za najpreprostejši primer šole običajno uporabljajo praštevila, eno- ali dvomestna števila. Na primer, rešiti morate naslednjo nalogo, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 7 in 3, rešitev je precej preprosta, samo ju pomnožite. Kot rezultat, obstaja številka 21, manjše številke preprosto ni.

Primer št. 2

Druga različica naloge je veliko težja. Podani sta številki 300 in 1260, iskanje LOC je obvezno. Za rešitev težave se predvidevajo naslednji ukrepi:

Razstavljanje prvega in drugega števila na enostavne faktorje. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je končana.

Druga stopnja vključuje delo z že pridobljenimi podatki. Vsaka od prejetih številk mora sodelovati pri izračunu končnega rezultata. Za vsak faktor je največje število pojavitev vzeto iz prvotnih števil. NOC je skupno število, zato je treba faktorje iz števil v njem ponoviti, vsakega posebej, tudi tiste, ki so prisotni v enem izvodu. Obe začetni številki vsebujeta številke 2, 3 in 5, v različnih potencah pa je prisotna le v enem primeru.

Če želite izračunati končni rezultat, morate vsako število vzeti na največjo potenco, predstavljeno v enačbi. Vse, kar ostane, je, da pomnožite in dobite odgovor, če je pravilno izpolnjen, naloga je razdeljena na dva koraka brez razlage:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je celotna težava, če poskušate izračunati zahtevano število z množenjem, potem odgovor zagotovo ne bo pravilen, saj je 300 * 1260 = 378.000.

Pregled:

6300 / 300 = 21 - pravilno;

6300 / 1260 = 5 - pravilno.

Pravilnost dobljenega rezultata ugotavljamo s preverjanjem - deljenjem LCM z obema izvirnima številoma; če je število v obeh primerih celo število, je odgovor pravilen.

Kaj pomeni NOC v matematiki?

Kot veste, v matematiki ni niti ene neuporabne funkcije, ta ni izjema. Najpogostejši namen tega števila je zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec. Kaj se običajno preučuje v razredih 5-6 Srednja šola. Dodatno je tudi skupni delitelj za vse večkratnike, če so taki pogoji prisotni v problemu. Tak izraz lahko najde večkratnike ne samo dveh števil, ampak tudi mnogih več- tri, pet in tako naprej. Več kot je številk, več je dejanj v nalogi, vendar se kompleksnost ne poveča.

Na primer, glede na številke 250, 600 in 1500 morate najti njihov skupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ta primer podrobno opisuje faktorizacijo brez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sestavo izraza je treba navesti vse faktorje, v tem primeru so podani 2, 5, 3 - za vsa ta števila je treba določiti največjo stopnjo.

Pozor: vse faktorje je treba pripeljati do popolne poenostavitve, če je le mogoče, dekomponirati na nivo enomestnosti.

Pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - pravilno;

2) 3000 / 600 = 5 - drži;

3) 3000 / 1500 = 2 - pravilno.

Ta metoda ne zahteva nobenih trikov ali sposobnosti na genialni ravni, vse je preprosto in jasno.

Še en način

V matematiki je marsikaj povezano, marsikaj se da rešiti na dva ali več načinov, enako velja za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika LCM. Naslednjo metodo lahko uporabimo v primeru preprostih dvomestnih in enomestnih števil. Sestavi se tabela, v katero se navpično vnese množitelj, vodoravno množitelj, zmnožek pa se navede v presekajočih se celicah stolpca. Tabelo lahko prikažete s črto, vzamete številko in zapišete rezultate množenja te številke s celimi števili, od 1 do neskončnosti, včasih je dovolj 3-5 točk, druga in naslednja števila so podvržena istemu računskemu postopku. Vse se dogaja, dokler se ne najde skupni večkratnik.

Glede na številke 30, 35, 42 morate najti LCM, ki povezuje vse številke:

1) Večkratniki števila 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Večkratniki števila 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Večkratniki 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Opaziti je, da so vse številke precej različne, edina skupna številka med njimi je 210, torej bo NOK. Med procesi, vključenimi v ta izračun, je tudi največji skupni delitelj, ki se izračuna po podobnih principih in se pogosto pojavlja pri sosednjih problemih. Razlika je majhna, vendar precejšnja, LCM vključuje izračun števila, ki je deljeno z vsemi danimi začetnimi vrednostmi, GCD pa vključuje izračun najvišjo vrednost s katerim se delijo prvotna števila.

Druga številka: b=

Ločilo tisočic Brez ločila presledkov "´

rezultat:

Največji skupni delitelj gcd( a,b)=6

Najmanjši skupni večkratnik LCM( a,b)=468

Največje naravno število, ki ga lahko brez ostanka delimo s številoma a in b, imenujemo največji skupni delitelj(GCD) teh številk. Označeno z gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ali hcf(a,b).

Najmanjši skupni večkratnik LCM dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. Označeno z LCM(a,b) ali lcm(a,b).

Celi števili a in b se imenujeta medsebojno prime, če nimata skupnih deliteljev, razen +1 in −1.

Največji skupni delitelj

Naj sta podani dve pozitivni števili a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. najti tako številko λ , ki deli števila a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.

1) V tem članku bomo besedo številka razumeli kot celo število.

Pustiti a 1 ≥ a 2 in pustite

Kje m 1 , a 3 je nekaj celih števil, a 3 <a 2 (ostanek delitve a 1 na osebo a 2 mora biti manj a 2).

Pretvarjajmo se, da λ deli a 1 in a 2 potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. trditev članka »Deljivost števil. Preizkus deljivosti«). Iz tega sledi, da vsak skupni delitelj a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delilnik a 2 in a 3 potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 je tudi deljivo s λ . Torej skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšana na enostavnejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .

če a 3 ≠0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem

,

Kje m 1 in a 4 je nekaj celih števil, ( a 4 ostanek pri deljenju a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim razmišljanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 sovpada s skupnimi delitelji števil a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi delilniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... so števila, ki nenehno padajo, in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato na nekem koraku n, ostanek delitve a n naprej a n+1 bo enako nič ( a n+2 =0).

.

Vsak skupni delitelj λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n+1 . Velja tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n+1 so tudi delitelji števil a n−1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n+1 je število a n+1, ker a n in a n+1 so deljivi s a n+1 (zapomni si to a n+2 =0). Zato a n+1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .

Upoštevajte, da je številka a n+1 je največji delitelj števil a n in a n+1 , saj je največji delitelj a n+1 je sam a n+1 . če a n+1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi običajni delitelji števil a 1 in a 2. številka a n+1 se imenuje največji skupni deliteljštevilke a 1 in a 2 .

Številke a 1 in a 2 so lahko pozitivna ali negativna števila. Če je eno od števil enako nič, potem bo največji skupni delitelj teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj števil nič je nedefiniran.

Pokliče se zgornji algoritem Evklidski algoritem najti največji skupni delitelj dveh celih števil.

Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil

Poiščite največji skupni delitelj dveh števil 630 in 434.

• Korak 1. Število 630 delite s 434. Ostanek je 196.
• Korak 2. Število 434 delite s 196. Ostanek je 42.
• Korak 3. Število 196 razdelite na 42. Ostanek je 28.
• Korak 4. Število 42 delite z 28. Ostanek je 14.
• 5. korak. Število 28 delite s 14. Ostanek je 0.

V 5. koraku je ostanek deljenja 0. Zato je največji skupni delitelj števil 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta števili 2 in 7 tudi delitelja števil 630 in 434.

Kopraštevila

Opredelitev 1. Naj bo največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Nato se pokličejo te številke soprosta števila, ki nima skupnega delitelja.

Izrek 1. če a 1 in a 2 soprosti števili in λ neko število, nato poljuben skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .

Dokaz. Razmislite o evklidskem algoritmu za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).

.

Iz pogojev izreka sledi, da je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 in zato a n in a n+1 je 1. To je a n+1 =1.

Pomnožimo vse te enakosti z λ , Potem

.

Naj skupni delilec a 1 λ in a 2 da δ . Potem δ je vključen kot množitelj v a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Deljivost števil", trditev 2). Nadalje δ je vključen kot množitelj v a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato dejavnik pri a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Če tako razmišljamo, smo prepričani, da δ je vključen kot množitelj v a n−1 λ in m n−1 a n λ , torej v a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Ker a n+1 =1, torej δ je vključen kot množitelj v λ . Zato število δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .

Oglejmo si posebne primere izreka 1.

Posledica 1. Pustiti a in c Praštevila so relativna b. Nato njihov izdelek ac je praštevilo glede na b.

res Iz izreka 1 ac in b imajo enake skupne delitelje kot c in b. Ampak številke c in b razmeroma preprosto, tj. imajo en sam skupni delitelj 1. Potem ac in b imajo tudi en sam skupni delitelj 1. Zato ac in b medsebojno preprosta.

Posledica 2. Pustiti a in b soprosta števila in pustimo b deli ak. Potem b deli in k.

res Iz pogoja odobritve ak in b imajo skupni delitelj b. Na podlagi izreka 1, b mora biti skupni delitelj b in k. Zato b deli k.

Posledico 1 lahko posplošimo.

Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m so praštevila glede na število b. Potem a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, je produkt teh števil praštevil glede na število b.

2. Naj imamo dve vrstici številk

tako, da je vsako število v prvem nizu praštevilo v razmerju vsakega števila v drugem nizu. Nato izdelek

Poiskati morate števila, ki so deljiva z vsakim od teh števil.

Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1 kje s neko število. če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, torej

Kje s 1 je neko celo število. Potem

je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2 .

a 1 in a 2 so relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:

Najti moramo najmanjši skupni večkratnik teh števil.

Iz zgoraj navedenega sledi, da vsak večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik številk ε in a 3 in nazaj. Najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 da ε 1. Nato večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik številk ε 1 in a 4. Najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 da ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.

V posebnem primeru, ko so številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Naprej, saj a 3 praštevila glede na števila a 1 , a 2 potem a 3 praštevilo a 1 · a 2 (posledica 1). Pomeni najmanjši skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a 1 · a 2 · a 3. Če sklepamo na podoben način, pridemo do naslednjih trditev.

Izjava 1. Najmanjši skupni večkratnik soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enak njihovemu produktu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Izjava 2. Vsako število, ki je deljivo z vsakim od soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je tudi deljiv z njihovim produktom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kako najti LCM (najmanjši skupni večkratnik)

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

1. metoda. LCM lahko najdete po vrsti za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite, če jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe števili majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Vendar pa obstajajo primeri, ko morate najti LCM za dvomestna ali trimestna števila, pa tudi, ko so začetna števila tri ali celo več.

Metoda 2. LCM lahko najdete tako, da prvotna števila faktorizirate na prafaktorje.
Po razčlenjevanju je treba iz nastalega niza prafaktorjev prečrtati enaka števila. Preostale številke prvega števila bodo množitelj za drugo, preostale številke drugega pa bodo množitelj za prvo.

Primer za številki 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 lahko poiščemo, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Če želite to narediti, faktorizirajmo 75 in 60 na preproste faktorje:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, se faktorja 3 in 5 pojavita v obeh vrsticah. Miselno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, vključene v razširitev vsakega od teh števil. Pri razčlenjevanju števila 75 nam ostane število 5, pri razčlenjevanju števila 60 pa 2 * 2.
To pomeni, da moramo za določitev LCM za števili 75 in 60 pomnožiti preostala števila iz razširitve 75 (to je 5) s 60 in pomnožiti števila, ki ostanejo iz razširitve 60 (to je 2 * 2) s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za števili 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določite NKM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, faktorizirajmo vse številke
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše od vseh števil (to je število 12) in gremo zaporedno skozi njegove faktorje ter jih prečrtamo, če v vsaj eni od drugih vrstic števil naletimo na enak faktor, ki še ni prečrtano.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtajmo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. korak. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3, prisotno pa je v prafaktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ne pričakujemo nobenih dejanj. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razgradnji števila 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev LOC zaključena. Ostaja le še izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzemite preostale faktorje števila 16 (naslednji v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta metoda omogoča, da to storite hitreje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števil. Delitelj naravnega števila a- je naravno število, ki deli dano število a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Ta števila so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b- to je število, s katerim sta obe dani števili deljeni brez ostanka a in b.

Skupni večkratniki več števil je število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi mnogokratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je to 90. To število imenujemo najmanjšiskupni večkratnik (CMM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če sta in soprosti števili, potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov za LCM( m, n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.

Torej, Čebiševljeva funkcija. in:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).

Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo povezavo z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

Kje p 1 ,...,p k- različna praštevila in d 1 ,...,d k in e 1 ,...,e k— nenegativna cela števila (lahko so ničle, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato NOC ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, dekompozicija LCM vsebuje vse prafaktorje, vključene v vsaj eno od dekompozicij števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega množitelja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:

- razstavljajo števila na prafaktorje;

- največji razpad (zmnožek faktorjev največjega števila danih) prenesemo na faktorje želenega produkta, nato pa dodamo faktorje iz razčlenitve ostalih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali se pojavljajo v njem. manjkrat;

— dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Vsaki dve ali več naravnih števil ima svoj LCM. Če številki nista večkratnika ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njun LCM enak produktu teh števil.

Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) dopolnimo s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Prafaktorje največjega števila 30 dopolnimo s faktorjem 5 števila 25, dobljeni produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. To je najmanjši možni produkt (150, 250, 300 ...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak produktu danih števil.

Pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapiši potence vseh prafaktorjev:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse glavne delitelje (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

rešitev. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapišemo največje potence vseh pradeliteljev in jih pomnožimo:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.