Vsako ločeno vzeto vrednost v celoti določa njena porazdelitvena funkcija. Tudi za reševanje praktičnih problemov je dovolj poznati več numeričnih značilnosti, zaradi katerih je mogoče v kratki obliki predstaviti glavne značilnosti naključne spremenljivke.

Te vrednosti vključujejo predvsem pričakovana vrednost in disperzija .

Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Označeno je kot.

Večina na preprost način matematično pričakovanje naključne spremenljivke X (š) poišči kot integralniLebesgue glede na verjetnostno mero R izvirno verjetnostni prostor

Najdete lahko tudi matematično pričakovanje vrednosti kot Lebesgueov integral od NS po porazdelitvi verjetnosti P X velikosti X:

kjer je množica vseh možnih vrednosti X.

Matematično pričakovanje funkcij naključne spremenljivke X je preko distribucije P X. Na primer, če X- naključna spremenljivka z vrednostmi v in f (x)- nedvoumno Borelfunkcijo NS , potem:

Če F (x)- distribucijska funkcija X, potem je matematično pričakovanje reprezentabilno integralniLebesgue - Stieltjes (ali Riemann - Stieltjes):

poleg tega pa integrabilnost X v smislu ( * ) ustreza končnosti integrala

V posebnih primerih, če X ima diskretno porazdelitev z verjetnimi vrednostmi x k, k = 1, 2,. , potem pa verjetnosti

če X ima popolnoma neprekinjeno porazdelitev z gostoto verjetnosti p (x), potem

v tem primeru je obstoj matematičnega pričakovanja enakovreden absolutni konvergenci ustrezne serije ali integrala.

Lastnosti matematičnega pričakovanja naključne spremenljivke.

• Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako tej vrednosti:

C- konstantna;

• M = C.M [X]

• Matematično pričakovanje vsote naključno vzetih vrednosti je enako vsoti njihovih matematičnih pričakovanj:

• Matematično pričakovanje produkta neodvisnih naključno vzetih količin = produkt njihovih matematičnih pričakovanj:

M = M [X] + M [Y]

če X in Y neodvisen.

če se niz konvergira:

Algoritem za izračun matematičnega pričakovanja.

Lastnosti diskretnih naključnih spremenljivk: vse njihove vrednosti je mogoče preštevilčiti naravna števila; izenači vsako vrednost z verjetnostjo, ki ni nič.

1. Pomnožite pare po vrsti: x i na p i.

2. Dodajte produkt vsakega para x i p i.

Na primer, za n = 4 :

Porazdelitvena funkcija diskretne naključne spremenljivke postopoma se naglo poveča na tistih točkah, katerih verjetnosti imajo pozitiven predznak.

Primer: Poiščite pričakovano vrednost po formuli.

Disperzija neprekinjena naključna spremenljivka X, katere možne vrednosti pripadajo celotni osi Ox, je določena z enakostjo:

Namen storitve. Spletni kalkulator je namenjen reševanju problemov, pri katerih bodisi gostota porazdelitve f (x) ali distribucijsko funkcijo F (x) (glej primer). Običajno pri takšnih nalogah morate najti matematično pričakovanje, povprečje standardni odklon, narišite grafe funkcij f (x) in F (x).

Navodilo. Izberite vrsto izvornih podatkov: porazdelitev gostote f (x) ali porazdelitvena funkcija F (x).

Gostota porazdelitve f (x) je podana:

Funkcija porazdelitve F (x) je podana:

Kontinuirana naključna spremenljivka je podana z gostoto verjetnosti
(Rayleighov zakon o distribuciji - uporablja se v radijski tehniki). Poiščite M (x), D (x).

Imenuje se naključna spremenljivka X neprekinjeno če je njegova porazdelitvena funkcija F (X) = P (X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija porazdelitve neprekinjene naključne spremenljivke se uporablja za izračun verjetnosti zadeti naključno spremenljivko v danem intervalu:
P (α< X < β)=F(β) - F(α)
in za neprekinjeno naključno spremenljivko ni pomembno, ali so njene meje vključene v ta interval ali ne:
P (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gostota porazdelitve neprekinjena naključna spremenljivka je funkcija
f (x) = F ’(x), izpeljanka porazdelitvene funkcije.

Lastnosti porazdelitvene gostote