Cjelobrojni izraz je matematički izraz koji se sastoji od brojeva i doslovnih varijabli pomoću zbrajanja, oduzimanja i množenja. Također, cijeli brojevi uključuju izraze koji uključuju dijeljenje s bilo kojim brojem osim nule.

Koncept frakcijskog racionalnog izraza

Frakcijski izraz je matematički izraz koji, osim operacija zbrajanja, oduzimanja i množenja izvedenih na brojevima i abecednim varijablama, kao i dijeljenje brojem koji nije jednak nuli, sadrži i dijeljenje izrazima s abecednim varijablama.

Racionalni izrazi su svi cjeloviti i razlomljeni izrazi. Racionalne jednadžbe jednadžbe su u kojima su lijeva i desna strana racionalni izrazi. Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva i desna strana cjeloviti izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva cjelinom.

Ako su u racionalnoj jednadžbi lijeva ili desna strana frakcijski izrazi, tada se takva racionalna jednadžba naziva frakcijskom.

Primjeri razlomljenih racionalnih izraza

1.x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (x-4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Shema za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe

1. U jednadžbi pronađi zajednički nazivnik svih razlomaka.

2. Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom.

3. Riješi rezultirajuću cijelu jednadžbu.

4. Provjerite korijene i iz njih izuzmite one koji nestaju pod zajedničkim nazivnikom.

Budući da rješavamo frakcijske racionalne jednadžbe, bit će varijabli u nazivnicima razlomaka. To znači da će biti u zajedničkom nazivniku. I u drugoj točki algoritma množimo zajedničkim nazivnikom, tada se mogu pojaviti strani korijeni. Na kojem će zajednički nazivnik biti jednak nuli, što znači da će množenje njime biti besmisleno. Stoga na kraju svakako provjerite dobivene korijene.

Razmotrimo primjer:

Riješite racionalnu jednadžbu razlomaka: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Držimo se opća shema: prvo pronađi zajednički nazivnik svih razlomaka. Dobivamo x * (x-5).

Pomnožite svaki razlomak zajedničkim nazivnikom i napišite rezultirajuću cijelu jednadžbu.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Pojednostavnimo rezultirajuću jednadžbu. Dobivamo:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

Dobili smo jednostavnu reduciranu kvadratnu jednadžbu. Riješavamo ga s bilo kojim od poznate metode, dobivamo korijene x \u003d -2 i x \u003d 5.

Sada provjeravamo dobivena rješenja:

Zamijeni brojeve -2 i 5 u zajednički nazivnik. Kada je x \u003d -2, zajednički nazivnik x * (x-5) ne nestaje, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Stoga će broj -2 biti korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Kada je x \u003d 5, zajednički nazivnik x * (x-5) postaje nula. Stoga ovaj broj nije korijen izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, jer će postojati dijeljenje s nulom.

Već smo naučili kako rješavati kvadratne jednadžbe. Sada ćemo proučene metode proširiti na racionalne jednadžbe.

Što je racionalno izražavanje? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi nazivaju se izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih stupnjeva i znakova matematičkih operacija.

Sukladno tome, racionalne jednadžbe su jednadžbe oblika :, gdje - racionalni izrazi.

Prije smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se svode na linearne. Razmotrimo sada one racionalne jednadžbe koje se također mogu svesti na kvadratne.

Primjer 1

Riješi jednadžbu :.

Odluka:

Razlomak je 0 ako i samo ako mu je brojnik 0, a nazivnik nije 0.

Dobivamo sljedeći sustav:

Prva jednadžba u sustavu je kvadratna jednadžba. Prije nego što ga riješimo, podijelimo sve njegove koeficijente s 3. Dobivamo:

Dobivamo dva korijena :; ...

Budući da 2 nikad nije jednako 0, moraju biti zadovoljena dva uvjeta: ... Budući da se niti jedan od gornjih korijena jednadžbe ne poklapa s nevaljanim vrijednostima varijable koje su dobivene rješavanjem druge nejednakosti, obje su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu da biste dobili 0 na desnoj strani.

2. Transformirajte i pojednostavnite lijevu stranu, privedite sve razlomke zajednički nazivnik.

3. Rezultirajući razlomak jednak je 0, prema sljedećem algoritmu: .

4. Zapišite korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi, a u odgovoru zadovoljavaju drugu nejednakost.

Uzmimo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješi jednadžbu :.

Odluka

Na samom početku prenosimo sve pojmove na lijevu stranu tako da 0 ostane na desnoj strani. Dobivamo:

Sada lijevu stranu jednadžbe dovodimo do zajedničkog nazivnika:

Ova je jednadžba ekvivalentna sustavu:

Prva jednadžba u sustavu je kvadratna jednadžba.

Koeficijenti ove jednadžbe :. Izračunavamo diskriminaciju:

Dobivamo dva korijena :; ...

Sada ćemo riješiti drugu nejednakost: umnožak čimbenika nije jednak 0 ako i samo ako niti jedan od čimbenika nije jednak 0.

Moraju biti ispunjena dva uvjeta: ... Dobivamo onaj od dva korijena prve jednadžbe, samo jedan odgovara - 3.

Odgovor:.

U ovoj smo se lekciji prisjetili što je racionalan izraz, a također smo naučili i riješiti racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe.

U sljedećoj ćemo lekciji racionalne jednadžbe promatrati kao modele iz stvarnog života, a također ćemo razmotriti i probleme kretanja.

Popis referenci

1. Bašmakov M.I. Algebra, razred 8. - M.: Obrazovanje, 2004 (monografija).
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i sur. Algebra, 8. 5. izdanje - M.: Obrazovanje, 2010 (monografija).
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, razred 8. Vodič za obrazovne ustanove... - M.: Obrazovanje, 2006 (monografija).

1. Festival pedagoških ideja " Javna lekcija" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domaća zadaća

Nastavljamo razgovor o rješavanje jednadžbi... U ovom ćemo se članku zadržati na racionalne jednadžbe i principi rješavanja racionalnih jednadžbi u jednoj varijabli. Prvo, shvatimo kakve se jednadžbe nazivaju racionalnima, dajmo definiciju cjelovitih racionalnih i frakcijskih racionalnih jednadžbi i dajmo primjere. Dalje, dobit ćemo algoritme za rješavanje racionalnih jednadžbi i, naravno, razmotriti rješenja tipičnih primjera sa svim potrebnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Na temelju izrečenih definicija dat ćemo nekoliko primjera racionalnih jednadžbi. Na primjer, x \u003d 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 \u003d 0, sve su to racionalne jednadžbe.

Iz prikazanih primjera jasno je da racionalne jednadžbe, poput, međutim, jednadžbi drugih vrsta, mogu biti ili s jednom varijablom, ili s dvije, tri itd. varijable. U sljedećim odlomcima govorit ćemo o rješavanju racionalnih jednadžbi u jednoj varijabli. Rješavanje jednadžbi u dvije varijable a velik broj njih zaslužuje posebnu pažnju.

Osim što racionalne jednadžbe dijele brojem nepoznatih varijabli, dijele se i na cjelovite i razlomljene. Dajmo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Racionalna jednadžba naziva se cijelaako su i njegov lijevi i desni dio cjeloviti racionalni izrazi.

Definicija.

Ako je barem jedan od dijelova racionalne jednadžbe frakcijski izraz, tada se takva jednadžba naziva razlomljeno racionalno (ili frakcijski racionalno).

Jasno je da cijele jednadžbe ne sadrže podjelu s varijablom; naprotiv, frakcijske racionalne jednadžbe nužno sadrže podjelu s varijablom (ili varijablom u nazivniku). Dakle 3 x + 2 \u003d 0 i (x + y) (3 x 2 -1) + x \u003d −y + 0,5 Jesu li cjelovite racionalne jednadžbe, oba dijela su cijeli izrazi. A i x: (5 x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 su primjeri frakcijskih racionalnih jednadžbi.

Završavajući ovaj odjeljak, obratimo pozornost na činjenicu da su linearne jednadžbe i kvadratne jednadžbe do danas poznate cjelovite racionalne jednadžbe.

Rješavanje cijelih jednadžbi

Jedan od glavnih pristupa rješavanju cjelokupnih jednadžbi je njihovo svođenje na ekvivalent algebarske jednadžbe... To se uvijek može učiniti izvedbom sljedećih ekvivalentnih transformacija jednadžbe:

• prvo se izraz s desne strane izvorne cijele jednadžbe prenosi na lijevu stranu s suprotni znakdobiti nulu s desne strane;
• nakon toga, na lijevoj strani jednadžbe, rezultirajući standardni oblik.

Rezultat je algebarska jednadžba koja je ekvivalentna izvornoj cjelovitoj jednadžbi. Dakle, u najjednostavnijim slučajevima rješenje cijelih jednadžbi svodi se na rješenje linearnih ili kvadratnih jednadžbi, a u opći slučaj - na rješenje algebarske jednadžbe stupnja n. Radi jasnoće, pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite korijene cijele jednadžbe 3 (x + 1) (x - 3) \u003d x (2 x - 1) −3.

Odluka.

Svedimo rješenje cijele ove jednadžbe na rješenje njoj jednake algebarske jednadžbe. Da bismo to učinili, prvo prenosimo izraz s desne strane na lijevu, kao rezultat, dolazimo do jednadžbe 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d 0... I, drugo, transformiramo izraz nastao na lijevoj strani u polinom standardnog oblika izvođenjem potrebnih: 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d (3 x + 3) (x - 3) −2 x 2 + x + 3 \u003d 3 x 2 −9 x + 3 x - 9−2 x 2 + x + 3 \u003d x 2 −5 x - 6... Dakle, rješavanje izvorne cijele jednadžbe svodi se na rješavanje kvadratna jednadžba x 2 −5 x - 6 \u003d 0.

Izračunavamo njegov diskriminant D \u003d (- 5) 2 −4 1 (−6) \u003d 25 + 24 \u003d 49, pozitivan je, što znači da jednadžba ima dva stvarna korijena, koja nalazimo formulom za korijene kvadratne jednadžbe:

Za potpuno povjerenje nastupit ćemo provjera pronađenih korijena jednadžbe... Prvo provjeravamo korijen 6, zamjenjujući ga varijablom x u izvornoj jednadžbi cijelog broja: 3 (6 + 1) (6−3) \u003d 6 (2 6−1) −3, što je isto, 63 \u003d 63. Ovo je valjana numerička jednakost, pa je x \u003d 6 doista korijen jednadžbe. Sada provjeravamo korijen -1, imamo 3 (−1 + 1) (−1−3) \u003d (- 1) (2 (−1) −1) −3, odakle je 0 \u003d 0. Za x \u003d -1, izvorna jednadžba također se pretvorila u pravu numeričku jednakost, stoga je x \u003d -1 također korijen jednadžbe.

Odgovor:

6 , −1 .

Ovdje također treba napomenuti da je pojam "stupanj cijele jednadžbe" povezan s prikazom cijele jednadžbe u obliku algebarske jednadžbe. Dajmo odgovarajuću definiciju:

Definicija.

Stupanj cijele jednadžbe je stupanj ekvivalentne algebarske jednadžbe.

Prema ovoj definiciji, cijela jednadžba iz prethodnog primjera drugog je stupnja.

Na ovome bi se moglo završiti s rješenjem cijelih racionalnih jednadžbi, ako ne jednom, ali ... Kao što je poznato, rješenje algebarskih jednadžbi stupnja višeg od drugog povezano je sa značajnim poteškoćama, a za jednadžbe višeg stupnja od četvrtog uopće ne postoje općenite korijenske formule. Stoga, za rješavanje cijelih jednadžbi treće, četvrte i više visoki stupnjevi često morate pribjeći drugim metodama rješenja.

U takvim se slučajevima temelji pristup rješavanju cjelokupnih racionalnih jednadžbi metoda faktorizacije... U tom se slučaju pridržava sljedećeg algoritma:

• prvo, osiguravaju da na desnoj strani jednadžbe postoji nula, za to se izraz prenosi s desne strane cijele jednadžbe na lijevu;
• zatim je rezultirajući izraz s lijeve strane predstavljen kao umnožak nekoliko čimbenika, što vam omogućuje da prijeđete na skup nekoliko jednostavnijih jednadžbi.

Gornji algoritam za rješavanje cjelokupne jednadžbe faktorizacijom zahtijeva detaljno objašnjenje Na primjer.

Primjer.

Riješi cijelu jednadžbu (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) \u003d 2 x (x 2 −10 x + 13).

Odluka.

Prvo, kao i obično, prenosimo izraz s desne strane na lijevu stranu jednadžbe, ne zaboravljajući promijeniti znak, dobit ćemo (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) \u003d 0. Ovdje je posve očito da nije preporučljivo transformirati lijevu stranu rezultirajuće jednadžbe u polinom standardnog oblika, jer će to dobiti algebarsku jednadžbu četvrtog stupnja oblika x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x - 13 \u003d 0, čije je rješenje teško.

S druge strane, očito je da na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe možete x 2 −10 · x + 13, predstavljajući ga na taj način kao proizvod. Imamo (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x - 1) \u003d 0... Rezultirajuća jednadžba ekvivalentna je izvornoj cjelovitoj jednadžbi, a ona se, pak, može zamijeniti skupom od dvije kvadratne jednadžbe x 2 −10 x + 13 \u003d 0 i x 2 −2 x - 1 \u003d 0. Pronaći njihov korijen prema poznatim formulama korijena putem diskriminanta nije teško, korijeni su jednaki. Oni su željeni korijeni izvorne jednadžbe.

Odgovor:

Za rješavanje cjelokupnih racionalnih jednadžbi također je korisno nova metoda promjenjivog ubrizgavanja... U nekim vam slučajevima omogućuje prelazak na jednadžbe čiji je stupanj niži od stupnja izvorne cijele jednadžbe.

Primjer.

Pronađite stvarne korijene racionalne jednadžbe (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 \u003d −2 (x 2 + 3 x - 4).

Odluka.

Svođenje cijele ove racionalne jednadžbe na algebarsku jednadžbu je, blago rečeno, ne baš dobra ideja, jer ćemo u ovom slučaju doći do potrebe za rješavanjem jednadžbe četvrtog stupnja koja nema racionalnih korijena. Stoga ćete morati potražiti drugo rješenje.

Ovdje je lako primijetiti da možete uvesti novu varijablu y i zamijeniti je izrazom x 2 + 3 · x. Ova nas zamjena vodi do cijele jednadžbe (y + 1) 2 + 10 \u003d −2 (y - 4), koja, nakon prenošenja izraza −2 (y - 4) na lijevu stranu i zatim transformacije izraza tamo izrađenog izraza, svodi na kvadratnu jednadžbu y 2 + 4 y + 3 \u003d 0. Korijene ove jednadžbe y \u003d −1 i y \u003d −3 lako je pronaći, na primjer, mogu se odabrati na temelju teorema obrnutog od Vieta-inog teorema.

Sada se okrećemo drugom dijelu metode uvođenja nove varijable, odnosno obrnutoj zamjeni. Izvođenjem obrnute promjene dobivamo dvije jednadžbe x 2 + 3 x \u003d −1 i x 2 + 3 x \u003d −3, koje se mogu prepisati kao x 2 + 3 x + 1 \u003d 0 i x 2 + 3 x + 3 \u003d 0. Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, pronalazimo korijene prve jednadžbe. A druga kvadratna jednadžba nema stvarnih korijena, jer je njezin diskriminant negativan (D \u003d 3 2 −4 · 3 \u003d 9−12 \u003d −3).

Odgovor:

Općenito, kad imamo posla s cijelim jednadžbama visokih stupnjeva, uvijek bismo trebali biti spremni za pretraživanje nestandardna metoda ili umjetni trik za njihovo rješavanje.

Rješavanje frakcijsko racionalnih jednadžbi

Prvo će biti korisno shvatiti kako riješiti razlomljene racionalne jednadžbe oblika, gdje su p (x) i q (x) cjeloviti racionalni izrazi. A onda ćemo pokazati kako rješenje preostalih razlomljeno racionalnih jednadžbi svesti na rješenje jednadžbi naznačenog oblika.

Jedan od pristupa rješavanju jednadžbe temelji se na sljedećoj tvrdnji: numerički razlomak u / v, gdje je v nula broj (inače ćemo naići na broj koji nije definiran), jednak je nuli ako i samo ako je njegova brojnik je jednak nuli, tada je, ako i samo ako je u \u003d 0. Zahvaljujući ovoj izjavi, rješenje jednadžbe svodi se na ispunjavanje dvaju uvjeta p (x) \u003d 0 i q (x) ≠ 0.

Ovaj zaključak odgovara sljedećem algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe ... Da biste riješili frakcijsku racionalnu jednadžbu oblika, trebate

• riješiti cijelu racionalnu jednadžbu p (x) \u003d 0;
• i provjeriti je li ispunjen uvjet q (x) satisfied 0 za svaki pronađeni korijen, i
• ako je zadovoljan, tada je ovaj korijen korijen izvorne jednadžbe;
• ako ne, onda je ovaj korijen neprimjeren, odnosno nije korijen izvorne jednadžbe.

Pogledajmo primjer primjene zvučnog algoritma pri rješavanju frakcijske racionalne jednadžbe.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Ovo je razlomljeno racionalna jednadžba oblika, gdje je p (x) \u003d 3 x - 2, q (x) \u003d 5 x 2 −2 \u003d 0.

Prema algoritmu za rješavanje dijelom racionalnih jednadžbi ove vrste, prvo moramo riješiti jednadžbu 3 x - 2 \u003d 0. to linearna jednadžbačiji je korijen x \u003d 2/3.

Preostaje provjeriti postoji li taj korijen, odnosno provjeriti zadovoljava li uvjet 5 · x 2 −2 ≠ 0. Zamjenom u izrazu 5 · x 2 −2 umjesto x brojem 2/3, dobit ćemo. Uvjet je zadovoljen, stoga je x \u003d 2/3 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

2/3 .

Rješenju frakcijske racionalne jednadžbe možemo pristupiti s malo drugačijeg položaja. Ova je jednadžba ekvivalentna cijeloj jednadžbi p (x) \u003d 0 na varijabli x izvorne jednadžbe. Odnosno, možete se držati ovoga algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe :

• riješiti jednadžbu p (x) \u003d 0;
• pronaći ODZ varijable x;
• uzeti korijene koji pripadaju rasponu dopuštenih vrijednosti - oni su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Na primjer, riješimo frakcijsku racionalnu jednadžbu pomoću ovog algoritma.

Primjer.

Riješi jednadžbu.

Odluka.

Prvo riješite kvadratnu jednadžbu x 2 −2 x - 11 \u003d 0. Njegovi se korijeni mogu izračunati pomoću korijenske formule za paran drugi koeficijent, imamo D 1 \u003d (- 1) 2 -1 (−11) \u003d 12, i.

Drugo, pronalazimo ODV varijable x za izvornu jednadžbu. Sastoji se od svih brojeva za koje je x 2 + 3 x ≠ 0, što je isto x (x + 3) ≠ 0, odakle je x ≠ 0, x ≠ −3.

Preostaje provjeriti jesu li korijeni pronađeni u prvom koraku uključeni u ODZ. Očito da. Stoga izvorna frakcijska racionalna jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Imajte na umu da je ovaj pristup povoljniji od prvog ako je lako pronaći GDV, a posebno je koristan ako su u ovom slučaju korijeni jednadžbe p (x) \u003d 0 iracionalni, na primjer ili racionalni, ali s prilično velikim brojnikom i / ili nazivnikom, na primjer, 127/1101 i -31/59. To je zbog činjenice da će u takvim slučajevima provjera stanja q (x) ≠ 0 zahtijevati značajne računske napore, a lakše je izuzeti strane korijene u ODZ-u.

U drugim slučajevima, pri rješavanju jednadžbe, posebno kada su korijeni jednadžbe p (x) \u003d 0 cjeloviti, korisnije je koristiti prvi od predstavljenih algoritama. Odnosno, preporučljivo je odmah pronaći korijene cijele jednadžbe p (x) \u003d 0, a zatim provjeriti je li za njih zadovoljen uvjet q (x) ≠ 0, a ne pronaći ODV, a zatim riješiti jednadžbu p (x) \u003d 0 na ovom ODV-u ... To je zbog činjenice da je u takvim slučajevima obično lakše izvršiti provjeru nego pronaći ODU.

Razmotrimo rješenje dvaju primjera za ilustraciju navedenih nijansi.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Prvo, pronalazimo korijene cijele jednadžbe (2 x - 1) (x - 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) \u003d 0, sastavljen pomoću brojnika razlomka. Lijeva strana ove je jednadžbe proizvod, a prava jednaka nuli, stoga je prema metodi rješavanja jednadžbi faktorizacijom ova jednadžba ekvivalent skupu od četiri jednadžbe 2 x - 1 \u003d 0, x - 6 \u003d 0, x 2 −5 x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0. Tri od ovih jednadžbi su linearne, a jedna kvadratna, možemo ih riješiti. Iz prve jednadžbe nalazimo x \u003d 1/2, iz druge - x \u003d 6, iz treće - x \u003d 7, x \u003d −2, iz četvrte - x \u003d −1.

S pronađenim korijenima prilično je lako provjeriti da li nazivnik razlomka na lijevoj strani izvorne jednadžbe nestaje s njima, i, naprotiv, nije tako lako odrediti ODV, jer će to zahtijevaju rješavanje algebarske jednadžbe petog stupnja. Stoga ćemo napustiti pronalazak ODZ-a u korist provjere korijena. Da biste to učinili, zauzvrat ih zamijenite umjesto varijable x u izraz x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112dobiveni nakon zamjene i usporedite ih s nulom: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 \u003d 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 \u003d 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 \u003d 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 \u003d −720 ≠ 0;
(-1) 5 -1 (-1) 4 + 57 (-1) 3 -1 (-1) 2 + 26 (-1) + 112 \u003d 0.

Dakle, 1/2, 6 i −2 su željeni korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe, a 7 i −1 su strani korijeni.

Odgovor:

1/2 , 6 , −2 .

Primjer.

Pronađite korijene razlomljene racionalne jednadžbe.

Odluka.

Prvo pronalazimo korijene jednadžbe (5 x 2 −7 x - 1) (x - 2) \u003d 0... Ova je jednadžba ravna kombinaciji dvije jednadžbe: kvadratne 5 x 2 −7 x - 1 \u003d 0 i linearne x - 2 \u003d 0. Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, pronalazimo dva korijena, a iz druge jednadžbe imamo x \u003d 2.

Provjeravati ne nestaje li nazivnik za pronađene vrijednosti x prilično je neugodno. I sasvim je jednostavno odrediti raspon dopuštenih vrijednosti varijable x u izvornoj jednadžbi. Stoga ćemo djelovati kroz ODZ.

U našem slučaju ODZ varijable x izvorne frakcijske racionalne jednadžbe čine svi brojevi, osim onih za koje je zadovoljen uvjet x 2 + 5 x - 14 \u003d 0. Korijeni ove kvadratne jednadžbe su x \u003d −7 i x \u003d 2, iz čega zaključujemo o ODZ-u: sastoji se od svih x takvih da.

Preostaje provjeriti pripadaju li pronađeni korijeni i x \u003d 2 rasponu dopuštenih vrijednosti. Korijeni - pripadaju, dakle, oni su korijeni izvorne jednadžbe, a x \u003d 2 - ne pripada, dakle, ovo je strani korijen.

Odgovor:

Također će biti korisno zaustaviti se odvojeno na slučajevima kada se u brojniku nalazi broj u razlomljenoj racionalnoj jednadžbi oblika, odnosno kada je p (x) predstavljen nekim brojem. Pri čemu

• ako se ovaj broj razlikuje od nule, tada jednadžba nema korijena, budući da je razlomak nula onda i samo ako je njegov brojnik nula;
• ako je ovaj broj nula, tada je korijen jednadžbe bilo koji broj iz ODZ-a.

Primjer.

Odluka.

Budući da je brojnik razlomka na lijevoj strani jednadžbe nula broj, ni u kojem x vrijednost ovog razlomka ne može biti jednaka nuli. Stoga ova jednadžba nema korijena.

Odgovor:

bez korijena.

Primjer.

Riješi jednadžbu.

Odluka.

Brojilac razlomka s lijeve strane ove frakcijske racionalne jednadžbe sadrži nulu, pa je vrijednost tog razlomka nula za bilo koji x za koji to ima smisla. Drugim riječima, rješenje ove jednadžbe je bilo koja vrijednost x iz ODV ove varijable.

Preostaje odrediti ovaj raspon dopuštenih vrijednosti. Uključuje sve takve vrijednosti x za koje je x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Rješenja jednadžbe x 4 + 5 x 3 \u003d 0 su 0 i −5, jer je ova jednadžba ekvivalentna jednadžbi x 3 (x + 5) \u003d 0, a ona je pak kombinacija dviju jednadžbi x 3 \u003d 0 i x + 5 \u003d 0, odakle su ti korijeni vidljivi. Stoga je traženi raspon dopuštenih vrijednosti bilo koji x, osim x \u003d 0 i x \u003d −5.

Dakle, razlomljena racionalna jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja, a to su bilo koji brojevi koji nisu nula i minus pet.

Odgovor:

Napokon, vrijeme je da razgovaramo o rješavanju proizvoljnih frakcijskih racionalnih jednadžbi. Mogu se zapisati kao r (x) \u003d s (x), gdje su r (x) i s (x) racionalni izrazi, a barem je jedan razlomak. Gledajući unaprijed, recimo da se njihovo rješenje svodi na rješavanje jednadžbi oblika koji nam je već poznat.

Poznato je da prijenos pojma s jedne strane jednadžbe na drugu s suprotnim predznakom dovodi do ekvivalentne jednadžbe; stoga je jednadžba r (x) \u003d s (x) ekvivalentna jednadžbi r (x) - s (x) \u003d 0.

Također znamo da možete imati bilo što što je identično ovom izrazu. Dakle, racionalni izraz s lijeve strane jednadžbe r (x) - s (x) \u003d 0 uvijek možemo transformirati u identično jednak racionalni ulomak oblika.

Dakle, prelazimo s izvorne frakcijske racionalne jednadžbe r (x) \u003d s (x) na jednadžbu, a njezino rješenje, kako smo gore pronašli, svodi se na rješavanje jednadžbe p (x) \u003d 0.

Ali ovdje je nužno uzeti u obzir činjenicu da se prilikom zamjene r (x) - s (x) \u003d 0 za, a nadalje za p (x) \u003d 0, raspon dopuštenih vrijednosti varijable x može proširiti .

Stoga se izvorna jednadžba r (x) \u003d s (x) i jednadžba p (x) \u003d 0, do koje smo došli, mogu pokazati nepravdnima, a rješavanjem jednadžbe p (x) \u003d 0 možemo dobiti korijene koji će biti strani korijeni izvorne jednadžbe r (x) \u003d s (x). Moguće je identificirati i u odgovor ne uključiti strane korijene bilo provjerom ili provjerom da pripadaju DGS-u izvorne jednadžbe.

Sažimamo ove podatke u algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe r (x) \u003d s (x)... Da biste riješili frakcijsku racionalnu jednadžbu r (x) \u003d s (x), trebate

• Dobijte nulu s desne strane prenoseći izraz s desne strane s suprotnim predznakom.
• Izvršite radnje s razlomcima i polinomima na lijevoj strani jednadžbe, pretvarajući ga tako u racionalni razlomak oblika.
• Riješi jednadžbu p (x) \u003d 0.
• Identificirajte i izuzmite strane korijene, što se vrši zamjenom u izvornoj jednadžbi ili provjerom pripadaju li ODZ-u izvorne jednadžbe.

Za veću jasnoću prikazujemo čitav lanac rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi:
.

Pogledajmo rješenja nekoliko primjera s detaljnim objašnjenjem tijeka rješenja kako bismo pojasnili gornji blok informacija.

Primjer.

Riješi frakcijsku racionalnu jednadžbu.

Odluka.

Djelovat ćemo u skladu s upravo dobivenim algoritmom rješenja. I prvo, prenosimo pojmove s desne strane jednadžbe na lijevu, kao rezultat, prelazimo na jednadžbu.

U drugom koraku moramo pretvoriti frakcijski racionalni izraz s lijeve strane rezultirajuće jednadžbe u oblik razlomka. Da bismo to učinili, racionalne razlomke smanjujemo na zajednički nazivnik i pojednostavljujemo rezultirajući izraz :. Dakle, dolazimo do jednadžbe.

U sljedećem koraku moramo riješiti jednadžbu −2 x - 1 \u003d 0. Naći x \u003d −1 / 2.

Preostaje provjeriti je li pronađeni broj −1/2 strani korijen izvorne jednadžbe. Da biste to učinili, možete provjeriti ili pronaći ODV varijable x izvorne jednadžbe. Pokažimo oba pristupa.

Počnimo s provjerom. Zamijeni −1/2 u izvornu jednadžbu za x da bi se dobilo isto, −1 \u003d −1. Zamjena daje točnu numeričku jednakost, stoga je x \u003d −1 / 2 korijen izvorne jednadžbe.

Sada ćemo pokazati kako se zadnja točka algoritma provodi kroz ODZ. Raspon dopuštenih vrijednosti izvorne jednadžbe skup je svih brojeva, osim -1 i 0 (za x \u003d -1 i x \u003d 0 nazivnici razlomaka nestaju). Korijen x \u003d −1 / 2 pronađen u prethodnom koraku pripada GDZ-u; stoga je x \u003d −1 / 2 korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor:

−1/2 .

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe.

Odluka.

Moramo riješiti razlomljeno racionalnu jednadžbu, prođimo kroz sve korake algoritma.

Prvo, prenosimo pojam s desne na lijevu stranu, dobivamo.

Drugo, transformiramo izraz s lijeve strane :. Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe x \u003d 0.

Njegov je korijen očit - on je nula.

Na četvrtom koraku ostaje saznati je li pronađeni korijen izvan izvorne frakcijsko racionalne jednadžbe. Kada se supstituira u izvornu jednadžbu, dobiva se izraz. Očito, to nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Odakle zaključujemo da je 0 strani korijen. Stoga izvorna jednadžba nema korijena.

7, što dovodi do jednadžbe. Iz ovoga možemo zaključiti da bi izraz u nazivniku lijeve strane trebao biti jednak onome s desne strane, tj. Sada oduzimamo od oba dijela trojke :. Po analogiji, odakle i dalje.

Provjera pokazuje da su oba pronađena korijena korijeni izvorne frakcijske racionalne jednadžbe.

Odgovor:

Popis referenci.

• Algebra: studija. za 8 cl. opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih institucija / A. G. Mordkovich. - 11. izdanje, Izbrisano. - M.: Mnemosina, 2009. - 215 str .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Razred 9: udžbenik. za opće obrazovanje. institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : bolesno. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Primjer ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\\ (\\ frak (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frak (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Kako se rješavaju frakcijske racionalne jednadžbe?

Glavno što se trebate sjetiti frakcijskih racionalnih jednadžbi jest pisati u njih. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite na prihvatljivost. U suprotnom, mogu se pojaviti strani korijeni, a cijela će se odluka smatrati netočnom.

Algoritam za rješavanje frakcijsko-racionalne jednadžbe:

Zapišite i "riješite" DHS.

Pomnoži svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i poništi rezultirajuće razlomke. U tom će slučaju nazivnici nestati.

Zapiši jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješi rezultirajuću jednadžbu.

Pronađene korijene provjerite ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli provjeru u koraku 7.

Ne pamtite algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i pamtit će se sam po sebi.

Primjer ... Riješiti frakcijsku racionalnu jednadžbu \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer ... Pronađite korijene razlomke racionalne jednadžbe \\ (\u003d 0 \\)

Odluka:

Odgovor: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

"Racionalne jednadžbe s polinomima" jedna je od najčešćih tema u ispitne stavke Jedinstveni državni ispit iz matematike. Iz tog razloga vrijedi platiti njihovo ponavljanje posebna pažnja... Mnogi se studenti suočavaju s problemom pronalaska diskriminanta, premještanjem pokazatelja s desne na lijevu stranu i dovođenjem jednadžbe u zajednički nazivnik, što otežava izvršavanje takvih zadataka. Rješavanje racionalnih jednadžbi u pripremi za ispit na našoj web stranici pomoći će vam da se brzo nosite s problemima bilo koje složenosti i savršeno prođete test.

Odaberite obrazovni portal "Školkovo" za uspješnu pripremu za objedinjeni ispit iz matematike!

Upoznati pravila za izračunavanje nepoznanica i lako doći do njih točni rezultati, koristite našu internetsku uslugu. Portal Shkolkovo jedinstvena je platforma koja sadrži potrebno Objedinjeni materijali za državni ispit... Naši su učitelji sistematizirali i prikazali u razumljivom obliku sva matematička pravila. Uz to, pozivamo školarce da se okušaju u rješavanju tipičnih racionalnih jednadžbi čija se baza neprestano ažurira i nadopunjuje.

Za učinkovitiju pripremu za testiranje, preporučujemo da slijedite našu posebnu metodu i započnete ponavljanjem pravila i rješavanjem jednostavnih problema, postupno prelazeći na složenije. Tako će maturant moći sebi istaknuti najteže teme i usredotočiti se na njihov studij.

Počnite se pripremati za završno testiranje sa Školkovom već danas, a rezultat neće dugo doći! Odaberite najviše lagan primjer od predloženih. Ako ste brzi s izrazom, prijeđite na više težak zadatak... Tako možete poboljšati svoje znanje do rješavanja USE zadataka iz matematike na razini profila.

Obrazovanje nisu dostupni samo diplomcima iz Moskve, već i školarcima iz drugih gradova. Provedite, na primjer, nekoliko sati dnevno učeći na našem portalu i vrlo brzo moći ćete se nositi s jednadžbama bilo koje složenosti!