U ovom ćemo članku pogledati rješavanje nepotpunih kvadratne jednadžbe.

Ali prvo, ponovimo koje se jednadžbe nazivaju kvadratnim. Jednadžba oblika ax 2 + bx + c \u003d 0, gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b i c neki su brojevi, a a ≠ 0, naziva se kvadrat... Kao što vidimo da koeficijent pri x 2 nije nula, pa prema tome koeficijenti pri x ili slobodnom članu mogu biti nula, u ovom slučaju dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu.

Nepotpune kvadratne jednadžbe su tri vrste:

1) Ako je b \u003d 0, c ≠ 0, tada je ax 2 + c \u003d 0;

2) Ako je b ≠ 0, c \u003d 0, tada je ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ako je b \u003d 0, c \u003d 0, tada je ax 2 \u003d 0.

• Idemo shvatiti kako oni odlučuju jednadžbe oblika ax 2 + c \u003d 0.

Da bismo riješili jednadžbu, slobodni pojam s prenosimo na desnu stranu jednadžbe, dobivamo

sjekira 2 \u003d ‒c. Budući da je a ≠ 0, tada obje strane jednadžbe dijelimo s a, tada je x 2 \u003d ‒c / a.

Ako je ‒c / a\u003e 0, tada jednadžba ima dva korijena

x \u003d ± √ (–c / a).

Ako je ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokušajmo to shvatiti na primjerima kako riješiti takve jednadžbe.

Primjer 1... Riješi 2x jednadžbu 2 - 32 \u003d 0.

Odgovor: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Primjer 2... Riješi 2x jednadžbu 2 + 8 \u003d 0.

Odgovor: jednadžba nema rješenja.

• Idemo shvatiti kako oni odlučuju jednadžbe oblika ax 2 + bx \u003d 0.

Da bismo riješili jednadžbu ax 2 + bx \u003d 0, računamo je, odnosno izvadimo x izvan zagrada, dobivamo x (ax + b) \u003d 0. Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od čimbenika jednak nuli. Tada je ili x \u003d 0, ili ax + b \u003d 0. Rješavajući jednadžbu ax + b \u003d 0, dobivamo ax \u003d - b, odakle je x \u003d - b / a. Jednadžba oblika ax 2 + bx \u003d 0, uvijek ima dva korijena x 1 \u003d 0 i x 2 \u003d - b / a. Pogledajte kako na shemi izgleda rješenje jednadžbi ove vrste.

Utvrdimo svoje znanje na konkretnom primjeru.

Primjer 3... Riješi 3x jednadžbu 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 ili 3x - 12 \u003d 0

Odgovor: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Jednadžbe treće vrste ax 2 \u003d 0 rješavaju se vrlo jednostavno.

Ako je ax 2 \u003d 0, tada je x 2 \u003d 0. Jednadžba ima dva jednaka korijena x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Radi jasnoće, razmotrite dijagram.

Prilikom rješavanja primjera 4, pobrinimo se da je jednadžbe ove vrste vrlo lako riješiti.

Primjer 4. Riješi 7x jednadžbu 2 \u003d 0.

Odgovor: x 1, 2 \u003d 0.

Nije uvijek odmah jasno kakvu nepotpunu kvadratnu jednadžbu moramo riješiti. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 5. Riješi jednadžbu

Pomnožite obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom, odnosno 30

Smanjiti

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Proširite zagrade

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Evo sličnih

Pomaknite 99 s lijeve strane jednadžbe udesno, obrnuto.

Odgovor: nema korijena.

Analizirali smo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Nadam se da sada nećete imati poteškoća s takvim zadacima. Budite oprezni pri određivanju vrste nepotpune kvadratne jednadžbe, tada ćete uspjeti.

Ako imate pitanja o ovoj temi, prijavite se na moje lekcije, zajedno ćemo riješiti nastale probleme.

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Nastavljajući temu "Rješavanje jednadžbi", materijal u ovom članku upoznat će vas s kvadratnim jednadžbama.

Razmotrimo sve u detalje: suštinu i zapis kvadratne jednadžbe, postavit ćemo povezane pojmove, analizirat ćemo shemu za rješavanje nepotpunih i cjelovite jednadžbe, upoznat ćemo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostaviti veze između korijena i koeficijenata i, naravno, dati ilustrativno rješenje za praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njezini tipovi

Kvadratna jednadžba Je li jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c \u003d 0gdje x - varijabla, a, b i c - neki brojevi, dok anije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je u osnovi kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.

Dajmo primjer za ilustraciju dana definicija: 9 x 2 + 16 x + 2 \u003d 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 itd. Jesu li kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c Jesu li koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, dok je koeficijent a naziva se prvi ili stariji ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent ili koeficijent pri x, i c nazvao slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 viši koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je − 11 ... Obratimo pažnju na činjenicu da kada se koeficijenti bi / ili c su negativni, tada se koristi kratki zapis oblika 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, ali ne 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Razjasnimo i ovaj aspekt: \u200b\u200bako su koeficijenti a i / ili b su jednaki 1 ili − 1 , tada možda neće izričito sudjelovati u bilježenju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima bilježenja naznačenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 - y + 7 \u003d 0 najveći koeficijent je 1, a drugi koeficijent − 1 .

Smanjene i reducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne se jednadžbe dijele na reducirane i nesmanjene.

Definicija 3

Smanjena kvadratna jednadžba Je kvadratna jednadžba, gdje je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta kvadratna jednadžba se ne smanjuje.

Evo primjera: kvadratne jednadžbe x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 su smanjene, u svakoj je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - nesmanjena kvadratna jednadžba, gdje se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Bilo koja nesmanjena kvadratna jednadžba može se transformirati u smanjenu jednadžbu dijeljenjem oba dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba imat će iste korijene kao i dana nesmanjena jednadžba ili također uopće nemaju korijena.

Obzir konkretan primjer omogućit će nam da jasno pokažemo provedbu prijelaza iz nesvedene kvadratne jednadžbe u smanjenu.

Primjer 1

Jednadžba je 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Potrebno je pretvoriti izvornu jednadžbu u reducirani oblik.

Odluka

Prema gornjoj shemi, dijelimo obje strane izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 6. Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3a ovo je isto kao: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Stoga: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Tako se dobiva jednadžba koja je ekvivalentna datoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0... Sličan uvjet nužan je za jednadžbu a x 2 + b x + c \u003d 0 bio upravo kvadratni, jer za a \u003d 0 u biti se pretvara u linearna jednadžba b x + c \u003d 0.

U slučaju kada koeficijenti b i cjednaka nuli (što je moguće, i pojedinačno i zajedno), kvadratna se jednadžba naziva nepotpunom.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba Je li takva kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0,gdje je barem jedan od koeficijenata bi c(ili oboje) je nula.

Puna kvadratna jednadžba - kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razgovarajmo zašto su tipovi kvadratnih jednadžbi dobili upravo takva imena.

Za b \u003d 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c \u003d 0što je isto što i a x 2 + c \u003d 0... Kada c \u003d 0 kvadratna je jednadžba zapisana kao a x 2 + b x + 0 \u003d 0što je ekvivalentno a x 2 + b x \u003d 0... Kada b \u003d 0 i c \u003d 0 jednadžba postaje a x 2 \u003d 0... Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni pojam s varijablom x, ni slobodni pojam, ni oboje. Zapravo je ta činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 su pune kvadratne jednadžbe; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gornja definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

• a x 2 \u003d 0, takva jednadžba odgovara koeficijentima b \u003d 0 i c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 pri c \u003d 0.

Razmotrimo uzastopno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je gore spomenuto, ova jednadžba odgovara koeficijentima b i cjednak nuli. Jednadžba a x 2 \u003d 0 moguće je transformirati u ekvivalentnu jednadžbu x 2 \u003d 0, koju dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe brojem anije jednako nuli. Očigledna je činjenica da je korijen jednadžbe x 2 \u003d 0 nula je jer 0 2 = 0 ... Ova jednadžba nema drugih korijena, što se može objasniti svojstvima stupnja: za bilo koji broj p,nije jednako nuli, nejednakost je istinita p 2\u003e 0, iz čega proizlazi da za p ≠ 0 jednakost p 2 \u003d 0nikada se neće postići.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 \u003d 0 postoji jedinstveni korijen x \u003d 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu - 3 x 2 \u003d 0... Ekvivalentno je jednadžbi x 2 \u003d 0, njegov jedini korijen je x \u003d 0, tada izvorna jednadžba također ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, odluka se donosi kako slijedi:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeći je korak rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c \u003d 0... Ovu jednadžbu transformiramo prijenosom pojma s jedne strane jednadžbe na drugu, mijenjanjem predznaka u suprotnu i dijeljenjem obje strane jednadžbe brojem koji nije jednak nuli:

• prenijeti c udesno, što daje jednadžbu a x 2 \u003d - c;
• dijelimo obje strane jednadžbe sa a, dobivamo kao rezultat x \u003d - c a.

Naše su transformacije ekvivalentne, odnosno dobivena jednadžba također je ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključka o korijenima jednadžbe. Iz onoga što su vrijednosti a i cvrijednost izraza - c a ovisi: može imati znak minus (na primjer, ako a \u003d 1 i c \u003d 2, tada - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) ili znak plus (na primjer, ako a \u003d - 2 i c \u003d 6, tada - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); nije jednako nuli jer c ≠ 0... Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 \u003d - c a ne može biti istina.

Sve je drugačije kad je - c a\u003e 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 \u003d - c a. Lako je shvatiti da je broj - - c a ujedno i korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a: zaista, - - c a 2 \u003d - c a.

Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo demonstrirati kontradiktornom metodom. Za početak definiramo oznaku za gornje korijene kao x 1 i - x 1... Pretpostavimo da jednadžba x 2 \u003d - c a također ima korijen x 2koja se razlikuje od korijena x 1 i - x 1... Znamo da zamjenom u jednadžbi umjesto x svoje korijene, transformiraju jednadžbu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 i - x 1 zapisujemo: x 1 2 \u003d - c a, a za x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava numeričkih jednakosti oduzimamo jednu istinsku jednakost od drugog pojma koji će nam dati: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Svojstva radnji na brojevima koristimo da zadnju jednakost prepišemo kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Poznato je da je umnožak dva broja nula onda i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x 1 - x 2 \u003d 0 i / ili x 1 + x 2 \u003d 0što je isto x 2 \u003d x 1 i / ili x 2 \u003d - x 1... Nastala je očita kontradikcija, jer se isprva dogovorilo da je korijen jednadžbe x 2 razlikuje se od x 1 i - x 1... Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x \u003d - c a i x \u003d - - c a.

Sažimamo sva gore navedena obrazloženja.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c \u003d 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 \u003d - c a, koja:

• neće imati korijena za - c a< 0 ;
• imat će dva korijena x \u003d - c a i x \u003d - - c a za - c a\u003e 0.

Dajmo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c \u003d 0.

Primjer 3

Dat je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 \u003d 0.Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Odluka

Slobodni pojam prenosimo na desnu stranu jednadžbe, a zatim jednadžba poprima oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe sa 9 , dolazimo do x 2 \u003d - 7 9. Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: dana jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 \u003d 0 neće imati korijena.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 \u003d 0nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu - x 2 + 36 \u003d 0.

Odluka

Pomaknite 36 na desnu stranu: - x 2 \u003d - 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , shvaćamo x 2 \u003d 36... S desne strane - pozitivan broj, odavde to možemo zaključiti x \u003d 36 ili x \u003d - 36.
Izdvojite korijen i zapišite konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba - x 2 + 36 \u003d 0 ima dva korijena x \u003d 6 ili x \u003d - 6.

Odgovor: x \u003d 6 ili x \u003d - 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 + b x \u003d 0

Razmotrimo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c \u003d 0... Da bi se pronašlo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x \u003d 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktoriziramo polinom s lijeve strane jednadžbe, izuzimajući zajednički faktor izvan zagrada x... Ovaj će korak omogućiti pretvaranje izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njegov ekvivalent x (a x + b) \u003d 0... A ova je jednadžba pak ekvivalent skupu jednadžbi x \u003d 0 i a x + b \u003d 0... Jednadžba a x + b \u003d 0 linearno, a korijen mu je: x \u003d - b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x \u003d 0 imat će dva korijena x \u003d 0 i x \u003d - b a.

Popravimo gradivo na primjeru.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Odluka

Izvadite x zagrade i dobijemo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ova je jednadžba ekvivalentna jednadžbama x \u003d 0 i 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Sada morate riješiti rezultirajuću linearnu jednadžbu: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Ukratko napišemo rješenje jednadžbe kako slijedi:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ili 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 ili x \u003d 3 3 7

Odgovor: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminirajuća, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Da bi se pronašlo rješenje kvadratnih jednadžbi, postoji korijenska formula:

Definicija 8

x \u003d - b ± D 2 a, gdje D \u003d b 2 - 4 a c - takozvani diskriminanti kvadratne jednadžbe.

Oznaka x \u003d - b ± D 2 · a u osnovi znači da je x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0... Izvršimo niz ekvivalentnih transformacija:

• podijeliti obje strane jednadžbe brojem a, nenula, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• odaberite puni kvadrat s lijeve strane rezultirajuće jednadžbe:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Nakon toga jednadžba će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• sada je moguće posljednja dva pojma prenijeti na desnu stranu promjenom znaka u suprotnu, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• konačno, transformiramo izraz napisan s desne strane posljednje jednakosti:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dakle, došli smo do jednadžbe x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c \u003d 0.

Rješenje takvih jednadžbi analizirali smo u prethodnim odlomcima (rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključka u vezi s korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• u b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• za b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 jednadžba ima oblik x + b 2 a 2 \u003d 0, tada je x + b 2 a \u003d 0.

Dakle, jedini korijen x \u003d - b 2 · a;

• za b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 bit će točno: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x \u003d b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, što je isto kao x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 ac 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorna jednadžba) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · 2 ispisan na desnoj strani. A znak ovog izraza postavlja se znakom brojnika, (nazivnika 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 - 4 a c... Ovaj izraz b 2 - 4 a c dan je naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definirano je kao njegova oznaka. Ovdje možete zapisati bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuje se hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene i, ako da, koliki je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se jednadžbi x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Prepisujemo ga koristeći oznaku za diskriminaciju: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Ponovno formulirajmo zaključke:

Definicija 9

• na D< 0 jednadžba nema stvarnih korijena;
• na D \u003d 0 jednadžba ima jedan korijen x \u003d - b 2 · a;
• na D\u003e 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu zapisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i razlomke smanjimo na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bilo je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato formulom D \u003d b 2 - 4 a c.

Te formule omogućuju, s diskriminantom većom od nule, utvrđivanje oba stvarna korijena. Kada je diskriminanta nula, primjenom obje formule dobit će se isti korijen jedina odluka kvadratna jednadžba. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući upotrijebiti formulu za korijen kvadratne jednadžbe, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja korijen od negativan broj, što će nas odvesti dalje od stvarnih brojeva. S negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati stvarne korijene, ali je moguće par složenih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednadžbu moguće je riješiti neposrednom uporabom korijenske formule, ali u osnovi to se radi kada je potrebno pronaći složene korijene.

U većini slučajeva obično se traži ne traženje složenih, već stvarnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije nego što upotrijebite formule za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminant i osigurati da on nije negativan (u suprotnom ćemo zaključiti da jednadžba nema stvarnih korijena), a zatim nastaviti s izračunavanjem vrijednosti korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Da bi se riješila kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, nužno je:

• prema formuli D \u003d b 2 - 4 a c pronaći vrijednost diskriminanta;
• na D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• za D \u003d 0, pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x \u003d - b 2 · a;
• za D\u003e 0 odredite dva stvarna korijena kvadratne jednadžbe formulom x \u003d - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x \u003d - b ± D 2 · a, to će dati isti rezultat kao i formula x \u003d - b 2 · a.

Razmotrimo neke primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Dajmo rješenje primjera za različita značenja diskriminirajući.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Odluka

Zapišemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c \u003d - 6... Dalje, ponašamo se prema algoritmu, tj. krenimo s izračunavanjem diskriminante, za koju zamjenjujemo koeficijente a, b i c u diskriminacijsku formulu: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Dakle, dobili smo D\u003e 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x \u003d - b ± D 2 · a i, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavnimo rezultirajući izraz uzimajući faktor izvan znaka korijena, a zatim smanjujući razlomak:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 ili x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 ili x \u003d - 1 - 7

Odgovor: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Odluka

Definirajmo diskriminaciju: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba imat će samo jedan korijen, određen formulom x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Odgovor: x \u003d 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 g 2 + 6 g + 2 \u003d 0

Odluka

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a \u003d 5, b \u003d 6 i c \u003d 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Izračunati diskriminant je negativan, pa izvorna kvadratna jednadžba nema stvarnih korijena.

U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu za korijene izvodeći radnje s složenim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i ili x \u003d - 3 5 - 1 5 i.

Odgovor: nema valjanih korijena; složeni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školski program Kao standard ne postoji zahtjev za traženjem složenih korijena, stoga, ako je tijekom rješenja diskriminant utvrđen kao negativan, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Korijenska formula za parne koeficijente

Korijenska formula x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 ac) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s ujednačenim koeficijentom na x (ili s koeficijentom) oblika 2 n, na primjer, 2 · 3 ili 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Pokažimo kako je izvedena ova formula.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom traženja rješenja kvadratne jednadžbe a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Djelujemo u skladu s algoritmom: određujemo diskriminantan D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), a zatim koristimo korijensku formulu:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ca.

Neka se izraz n 2 - a · c označi kao D 1 (ponekad se označava sa D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a · c.

Lako je vidjeti da je D \u003d 4 · D 1 ili D 1 \u003d D 4. Drugim riječima, D1 je četvrtina diskriminanta. Očito je da je znak D 1 isti kao i znak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, za pronalazak rješenja kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n potrebno je:

• naći D 1 \u003d n 2 - a · c;
• na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kada je D 1 \u003d 0, jedini korijen jednadžbe odredite formulom x \u003d - n a;
• za D 1\u003e 0 odrediti dva stvarna korijena formulom x \u003d - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Odluka

Drugi koeficijent zadane jednadžbe može se predstaviti kao 2 · (- 3). Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, gdje je a \u003d 5, n \u003d - 3 i c \u003d - 32.

Izračunavamo četvrti dio diskriminanta: D 1 \u003d n 2 - ac \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva stvarna korijena. Definirajmo ih prema odgovarajućoj korijenskoj formuli:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 ili x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 ili x \u003d - 2

Bilo bi moguće provesti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju rješenje bi bilo glomaznije.

Odgovor: x \u003d 3 1 5 ili x \u003d - 2.

Pojednostavljivanje pogleda na kvadratne jednadžbe

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti postupak izračuna korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem oba njegova dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni zapis jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, dobiven dijeljenjem oba dijela s 100.

Takva je transformacija moguća kada se koeficijenti kvadratne jednadžbe međusobno ne međusobno razlikuju primarni brojevi... Tada se obično obje strane jednadžbe podijele s najvećom zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegovi koeficijenti.

Kao primjer upotrijebite kvadratnu jednadžbu 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Odredite gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12, 42, 48) \u003d gcd (gcd (12, 42), 48) \u003d gcd (6, 48) \u003d 6. Podijelimo obje strane izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobivamo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se riješite frakcijskih koeficijenata. U ovom slučaju pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada će biti zapisano u više jednostavna forma x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Na kraju napominjemo da se minusa gotovo uvijek rješavamo pri prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s - 1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Odnos korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x \u003d - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih numeričkih koeficijenata. Na temelju ove formule možemo odrediti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive su formule Vieta teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za smanjenu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent sa suprotni znak, a umnožak korijena jednak je slobodnom terminu. Na primjer, pomoću oblika kvadratne jednadžbe 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti koeficijentima:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Kvadratne se jednadžbe često pojavljuju pri rješavanju različitih problema iz fizike i matematike. U ovom ćemo članku pogledati kako te jednakosti riješiti na univerzalni način "putem diskriminanta". U članku su navedeni i primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednadžbama govorimo?

Donja slika prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinski simboli a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijentom. Kao što vidite, broj "a" nalazi se ispred kvadratne varijable x. To je maksimalna snaga prikazanog izraza, zbog čega se naziva kvadratnom jednadžbom. Često se koristi njegov drugi naziv: jednadžba drugog reda. Vrijednost a sama je kvadratni koeficijent (stoji na varijabli na kvadrat), b je linearni koeficijent (nalazi se uz varijablu povišenu na prvi stepen), i na kraju, broj c je slobodni pojam.

Obratite pažnju da je oblik jednadžbe prikazan na gornjoj slici uobičajeni klasični kvadratni izraz. Uz nju postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b, c mogu biti nula.

Kad se problem postavlja radi rješavanja razmatrane jednakosti, to znači da treba pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje je prvo što treba zapamtiti sljedeće: budući da je maksimalan stupanj x 2, ova vrsta izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako su, prilikom rješavanja jednadžbe, pronađene 2 vrijednosti x koje je zadovoljavaju, tada možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamjenom kojeg umjesto x, jednakost bi također bila istina. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se korijenima.

Metode rješavanja jednadžbi drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. Školski tečaj algebre ispituje 4 različite metode rješenja. Navedimo ih:

• koristeći faktorizaciju;
• koristeći formulu za puni kvadrat;
• primjenom grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
• koristeći diskriminacijsku jednadžbu.

Prednost prve metode leži u njenoj jednostavnosti, međutim, ne može se primijeniti na sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća je metoda značajna po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I na kraju, upotreba diskriminacijske jednadžbe univerzalni je i prilično jednostavan način pronalaska korijena apsolutno svake jednadžbe drugog reda. Stoga ćemo ga u članku samo razmotriti.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Okrenimo se opći pogled kvadratna jednadžba. Zapišimo: a * x² + b * x + c \u003d 0. Prije korištenja metode rješavanja "putem diskriminanta", jednakost se uvijek treba svesti na pisani oblik. Odnosno, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², tada prvo morate sve njegove pojmove premjestiti na jednu stranu jednakosti i dodati pojmove koji sadrže varijablu x u iste moći.

U ovom će slučaju ova operacija dovesti do sljedećeg izraza: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, što je ekvivalentno jednadžbi 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (ovdje smo pomnožili lijevu i desne strane jednakosti za -1) ...

U gornjem primjeru, a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Imajte na umu da se svi uvjeti razmatrane jednakosti uvijek zbrajaju među sobom, pa ako se pojavi znak "-", to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, poput broja c u ovom slučaju.

Nakon ispitivanja ove točke, okrećemo se samoj formuli koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Ima oblik prikazan na donjoj fotografiji.

Kao što možete vidjeti iz ovog izraza, omogućuje vam dobivanje dva korijena (trebali biste obratiti pažnju na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je u njega zamijeniti koeficijente b, c i a.

Diskriminirajući koncept

U prethodnom je odlomku dana formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantan, odnosno D \u003d b²-4 * a * c.

Zašto je ovaj dio formule izoliran, pa čak i ima vlastito ime? Činjenica je da diskriminant povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Potonja činjenica znači da u potpunosti sadrži informacije o korijenima, koje se mogu izraziti na sljedećem popisu:

1. D\u003e 0: jednakost ima 2 različita rješenja, a oba su stvarni brojevi.
2. D \u003d 0: Jednadžba ima samo jedan korijen i stvarni je broj.

Zadatak utvrđivanja diskriminanta

Dajmo jednostavan primjer kako pronaći diskriminant. Neka se dobije sljedeća jednakost: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Dovedimo je do standardnog oblika, dobivamo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, odakle dolazimo do jednakosti : -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Ovdje a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Sada možete koristiti imenovanu formulu za diskriminant: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je u primjeru diskriminant manje od nule, tada možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema stvarnih korijena. Samo će složeni brojevi biti njegovo rješenje.

Primjer diskriminirajuće nejednakosti

Riješimo probleme malo drugačijeg tipa: s obzirom na jednakost -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Potrebno je pronaći takve vrijednosti c za koje je D\u003e 0.

U ovom su slučaju poznata samo 2 od 3 koeficijenta, pa neće biti moguće izračunati točnu vrijednost diskriminanta, ali je poznato da je pozitivan. Posljednju činjenicu koristimo pri izradi nejednakosti: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Rješenje dobivene nejednakosti dovodi do rezultata: c\u003e -3.

Provjerimo primljeni broj. Da biste to učinili, izračunajte D za 2 slučaja: c \u003d -2 i c \u003d -4. Broj -2 zadovoljava dobiveni rezultat (-2\u003e -3), odgovarajući diskriminant imat će vrijednost: D \u003d 12\u003e 0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4 Dakle, bilo koji brojevi c koji su veći od -3 zadovoljit će uvjet.

Primjer rješavanja jednadžbe

Iznesemo problem koji se sastoji ne samo u pronalaženju diskriminanta, već i u rješavanju jednadžbe. Morate pronaći korijene za jednakost -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

U ovom primjeru diskriminant je sljedeća vrijednost: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Tada su korijeni jednadžbe definirani na sljedeći način: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). To su točne vrijednosti korijena, ako izračunate približni korijen, tada ćete dobiti brojeve: x \u003d -5,176 i x \u003d 0,676.

Geometrijski problem

Riješimo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminante, već i upotrebu apstraktnih vještina razmišljanja i znanje o tome kako izraditi kvadratne jednadžbe.

Bob je imao poplun od 5 x 4 metra. Dječak je želio šivati \u200b\u200bkontinuiranu traku od prekrasna tkanina... Koliko će ova traka biti debela ako se zna da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu od x m, a zatim područje tkanine uzduž duga strana deke će biti (5 + 2 * x) * x, a budući da postoje 2 duge stranice, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratkoj strani, površina ušivenog platna bit će 4 * x, budući da postoje 2 te stranice, dobit ćemo vrijednost 8 * x. Imajte na umu da je 2 * x dodano na dugu stranu jer se dulja pokrivača povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivene na pokrivač iznosi 10 m². Stoga dobivamo jednakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

U ovom primjeru diskriminant je: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Korijen mu je 22. Koristeći formulu, pronalazimo potrebne korijene: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Očito je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan za izjavu problema.

Tako će traka tkanine koju će Bob prišiti na svoj pokrivač biti široka 50 cm.

U moderno društvo sposobnost izvođenja radnji s jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima djelovanja i široko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. O tome svjedoči dizajn morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih proračuna, putanje kretanja najviše različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i gradnji zgrada, već i u najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogli bi biti potrebni na kampiranju, na sportskim priredbama, u trgovinama tijekom kupnje i u drugim vrlo čestim situacijama.

Razdvojimo izraz na njegove sastavne čimbenike

Određuje se stupanj jednadžbe maksimalna vrijednost stupanj varijable koju ovaj izraz sadrži. Ako je jednaka 2, tada se takva jednadžba naziva kvadrat.

Ako se služimo jezikom formula, tada se ti izrazi, bez obzira kako izgledali, uvijek mogu svesti na oblik kada lijeva strana izraz se sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (odnosno varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo s desne strane jednako je 0. U slučaju kada sličnom polinomu nedostaje jedan od sastavnih članaka, s izuzetkom ax 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Prvo treba razmotriti primjere rješenja takvih problema, vrijednost varijabli u kojima je lako pronaći.

Ako izraz izgleda tako da u izrazu s desne strane postoje dva pojma, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x postavljanjem varijable izvan zagrada. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x (ax + b). Nadalje, postaje očito da je ili x \u003d 0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax + b \u003d 0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo je da umnožak dvaju čimbenika rezultira 0 samo ako je jedan od njih jednak nuli.

Primjer

x \u003d 0 ili 8x - 3 \u003d 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbama ove vrste može se opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela pomicati od određene točke uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje prolazi od trenutka kada se tijelo digne do trenutka pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje naznačenih zadataka u više slučajeva teški slučajevi... Razmotrimo primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ovaj kvadratni trinom je dovršen. Prvo, transformirajmo izraz i ubrojimo ga. Postoje ih dvije: (x-8) i (x-25) \u003d 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri rješenja kvadratnih jednadžbi u razredu 9 omogućuju ovoj metodi pronalaženje varijable u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kada se desna strana računa na faktore s varijablom, postoje tri, to jest (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Još jedan slučaj nepotpuna jednadžba drugog reda je izraz na jeziku slova predstavljen na takav način da je desna strana izrađena od komponenata ax 2 i c. Ovdje se za dobivanje vrijednosti varijable slobodni pojam prenosi na desnu stranu, a zatim se kvadratni korijen ekstrahira s obje strane jednakosti. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Izuzetak su samo jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže negativnom. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvoditi s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

U ovom će slučaju korijeni jednadžbe biti brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se u davnim vremenima, jer je razvoj matematike u mnogim aspektima u ona daleka vremena bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću utvrde površine i opsezi zemljišnih čestica.

Trebali bismo razmotriti primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi, sastavljenim na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje čija je duljina duža od širine 16 metara. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta ako znate da je njegova površina 612 m 2.

Pristupajući poslu, napravimo najprije potrebnu jednadžbu. Označimo s x širinu odjeljka, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema stanju našeg problema, 612. To znači da je x (x + 16) \u003d 612.

Rješenje cjelovitih kvadratnih jednadžbi, a ovaj je izraz upravo to, ne može se postići na isti način. Zašto? Iako lijeva strana još uvijek sadrži dva čimbenika, proizvod uopće nije 0, pa se ovdje primjenjuju druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, izvršimo potrebne transformacije izgled ovog izraza izgledat će ovako: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi putem diskriminante. Ovdje potrebni izračuni proizvedeno prema shemi: D \u003d b 2 - 4ac. Ova pomoćna veličina ne samo da omogućuje pronalaženje potrebnih veličina u jednadžbi drugog reda, već određuje količinu moguće opcije... Ako je D\u003e 0, njih su dva; za D \u003d 0 postoji jedan korijen. Ako je D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminator je: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To ukazuje na to da naš problem ima odgovor. Ako znate, k, rješenje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću donje formule. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u predstavljenom slučaju: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se dimenzije zemljišne čestice ne mogu mjeriti u negativnim vrijednostima, pa je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo duljinu: 18 + 16 \u003d 34, a opseg 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo s proučavanjem kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljno rješenje nekoliko od njih bit će navedeni u nastavku.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Sve prebacujemo na lijevu stranu jednakosti, vršimo transformaciju, odnosno dobivamo oblik jednadžbe, koja se obično naziva standardnom, i izjednačavamo je s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Dodajući slične, definiramo diskriminaciju: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša će jednadžba imati dva korijena. Izračunavamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prva od njih biti 4/3, a druga 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Otkrijmo ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovedimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunajmo diskriminaciju. U ovom primjeru rješenje kvadratne jednadžbe nije potrebno, jer u tome uopće nije bit problema. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da doista nema korijena.

Vietin teorem

Prikladno je riješiti kvadratne jednadžbe pomoću gornjih formula i diskriminanta kada se kvadratni korijen izvuče iz vrijednosti potonjeg. Ali to nije uvijek slučaj. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi Vietinim teoremom. Nazvana je po nekome tko je živio u Francuskoj iz 16. stoljeća i ostvario briljantnu karijeru zahvaljujući njegovom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov se portret može vidjeti u članku.

Uzorak koji je primijetio slavni Francuz bio je sljedeći. Dokazao je da su korijeni jednadžbe u zbroju numerički jednaki -p \u003d b / a, a njihov umnožak odgovara q \u003d c / a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Radi jednostavnosti transformiramo izraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Koristit ćemo Vietin teorem, što će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov je proizvod -18. Iz ovoga dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Grafikon parabole i jednadžba

Pojmovi kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe usko su povezani. Primjeri za to već su dani ranije. Pogledajmo sada malo zagonetki iz matematike malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisanog tipa može se vizualizirati. Takav odnos, nacrtan u obliku grafa, naziva se parabola. Njegovi su različiti tipovi prikazani na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njezine grane. Ako je a\u003e 0, oni idu visoko do beskonačnosti, a kada a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda naziva se grafička. A vrijednost varijable x koordinata je apscise u točkama gdje se linija grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći upravo zadanom formulom x 0 \u003d -b / 2a. I, zamjenjujući dobivenu vrijednost u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koja pripada osi ordinata.

Sjecište grana parabole s osi apscise

Puno je primjera s rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i općeniti obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je presjek grafa s osi 0x za a\u003e 0 moguć samo ako y 0 poprimi negativne vrijednosti. A za<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Korijeni se mogu odrediti i iz grafa parabole. Istina je i obrnuto. Odnosno, ako nije lako dobiti vizualnu sliku kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući točke presjeka s osi 0x, lakše je izgraditi graf.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže varijablu na kvadrat, u stara vremena nisu samo radili matematičke proračune i određivali područja geometrijskih oblika. Takvi su proračuni drevni bili potrebni za grandiozna otkrića na polju fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što pretpostavljaju moderni znanstvenici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. Dogodilo se to četiri stoljeća prije naše ere. Naravno, njihovi su se izračuni bitno razlikovali od trenutno prihvaćenih i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također im nisu bile poznate druge suptilnosti onih koje poznaje bilo koji školarac našeg doba.

Možda i ranije od babilonskih znanstvenika, mudrac iz Indije Baudhayama prihvatio se rješenja kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode rješavanja koje je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, kineska matematičara također su u stara vremena zanimala slična pitanja. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, no kasnije su ih u svojim radovima koristili tako veliki znanstvenici poput Newtona, Descartesa i mnogih drugih.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Pomoću diskriminante rješavaju se samo cjelovite kvadratne jednadžbe, a druge metode koriste se za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, što ćete naći u članku "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi".

Koje kvadratne jednadžbe nazivamo potpunim? to jednadžbe oblika ax 2 + b x + c \u003d 0, gdje koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da biste riješili punu kvadratnu jednadžbu, trebate izračunati diskriminaciju D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Ovisno o tome kakvu vrijednost ima diskriminator, zapisat ćemo odgovor.

Ako je diskriminator negativan (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminanta nula, tada je x \u003d (-b) / 2a. Kada je diskriminanta pozitivan broj (D\u003e 0),

tada je x 1 \u003d (-b - √D) / 2a i x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Na primjer. Riješi jednadžbu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odgovor: 2.

Riješi jednadžbu 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odgovor: nema korijena.

Riješi jednadžbu 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odgovor: - 3,5; jedan.

Dakle, predstavimo rješenje cjelovitih kvadratnih jednadžbi shemom na slici 1.

Te se formule mogu koristiti za rješavanje bilo koje potpune kvadratne jednadžbe. Samo trebate biti oprezni da to osigurate jednadžba je napisana kao standardni polinom

i x 2 + bx + c, u suprotnom, možete pogriješiti. Na primjer, pisanjem jednadžbe x + 3 + 2x 2 \u003d 0, to možete pogrešno odlučiti

a \u003d 1, b \u003d 3 i c \u003d 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi rješenje gornjeg primjera 2).

Stoga, ako jednadžba nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednadžba mora napisati kao polinom standardnog oblika (na prvom mjestu treba biti monom s najvećim eksponentom, tj. i x 2 , zatim s manje – bxa zatim besplatni član iz.

Prilikom rješavanja smanjene kvadratne jednadžbe i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom u drugom članu, možete koristiti druge formule. Upoznajmo i ove formule. Ako je u punoj kvadratnoj jednadžbi s drugim članom koeficijent paran (b \u003d 2k), tada se jednadžba može riješiti pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se reduciranom ako je koeficijent pri x 2 jednak je jedinici i jednadžba poprima oblik x 2 + px + q \u003d 0... Takva se jednadžba može dati za rješenje ili se dobiva dijeljenjem svih koeficijenata jednadžbe s koeficijentom istoji na x 2 .

Na slici 3 prikazana je shema rješavanja smanjenog kvadrata
jednadžbe. Pogledajmo primjer primjene formula raspravljenih u ovom članku.

Primjer. Riješi jednadžbu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3

Može se primijetiti da je koeficijent pri x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b \u200b\u200b\u003d 6 ili b \u003d 2k, odakle je k \u003d 3. Tada ćemo jednadžbu pokušati riješiti formulama prikazanim na dijagramu slika D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3... Primijetivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi podijeljeni s 3 i izvršavajući dijeljenje, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Riješimo ovu jednadžbu pomoću formula za smanjenu kvadratnu jednadžbu
jednadžbe Slika 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.

Kao što vidite, kad smo rješavali ovu jednadžbu pomoću različitih formula, dobili smo isti odgovor. Stoga, dobro savladavši formule prikazane na dijagramu na slici 1., uvijek možete riješiti bilo koju kompletnu kvadratnu jednadžbu.

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.